ในทางเรขาคณิตทรงกลมเทียมคือพื้นผิวใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$เป็นตัวอย่างที่โด่งดังที่สุดของพื้นผิวทรงกลมเทียมพื้นผิวทรงกลมเทียมคือพื้นผิวที่จมอยู่ในของเหลวอย่างราบรื่นเป็นช่วงๆ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$โดยมีค่าความโค้งเกาส์ เซียนติดลบคงที่ "พื้นผิวทรงกลมเทียมรัศมีR " คือพื้นผิวใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$^{พื้นผิว ชนิดนี้}มีค่าความโค้ง −1/ R²ที่แต่ละจุด ชื่อของมันมาจากความคล้ายคลึงกับทรงกลมรัศมีRซึ่งเป็นพื้นผิวที่มีค่าความโค้ง 1/ R²ตัวอย่างเช่น พื้นผิวแทรกทรอยด์พื้นผิวของดีนีพื้นผิวเบรธเตอร์และพื้นผิวคูเอ็น

คำว่า "ทรงกลมเทียม" ได้รับการนำเสนอโดยEugenio Beltramiในบทความปี 1868 ของเขาเกี่ยวกับแบบจำลองของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก^{[ 1 ]}

โดยทั่วไปแล้ว "ทรงกลมเทียม" มักหมายถึงแทร็กทรอยด์แทร็กทรอยด์ ได้มาจาก การหมุน แท ร็ กทริกซ์ รอบเส้นกำกับ ของมัน ตัวอย่างเช่น ทรงกลมเทียม (ครึ่งทรงกลมเทียม) (รัศมี 1) คือพื้นผิวการหมุนของแทร็กทริกซ์ที่กำหนดพารามิเตอร์โดย^{[ 2 ]}

${\displaystyle t\mapsto \left(t-\tanh t,\operatorname {sech} \,t\right),\quad \quad 0\leq t<\infty .}$

เป็นปริภูมิเอกฐาน (เส้นศูนย์สูตรเป็นจุดเอกฐาน) แต่บริเวณที่ห่างจากจุดเอกฐานจะมีค่าความโค้งเกาส์เซียน เป็นลบคงที่ ดังนั้นจึงสมมาตรกับระนาบไฮเปอร์โบลิกในระดับ ท้องถิ่น

ชื่อ "ทรงกลมเทียม" (pseudosphere) มาจากลักษณะที่พื้นผิวสองมิติ ของทรงกลมเทียมมีค่าความโค้งเกาส์เซียนเป็นลบคงที่ เช่นเดียวกับทรงกลมที่มีพื้นผิวที่มีค่าความโค้งเกาส์เซียนเป็นบวกคงที่ และเช่นเดียวกับที่ทรงกลม มี รูปทรงเรขาคณิตโค้งเป็นบวกคล้ายโดมในทุกจุดทรงกลมเทียมทั้งลูกก็มีรูปทรงเรขาคณิตโค้งเป็นลบคล้ายอานม้าใน ทุกจุดเช่น กัน

ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1693 คริสเตียนฮุยเกนส์พบว่าปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกลมเทียมมีค่าจำกัด^{[ 3 ]}แม้ว่ารูปร่างจะมีขนาดอนันต์ตามแกนการหมุนก็ตาม สำหรับรัศมีขอบ R ที่กำหนดพื้นที่คือ4π R²เช่นเดียวกับทรงกลม ในขณะที่ปริมาตรคือ2/3 π R³ ^{และ ดังนั้นจึง} เป็นครึ่งหนึ่งของทรงกลมที่มี^{รัศมี}นั้น^{[ 4 ] [ 5 ]}

ทรงกลมเทียมเป็นพื้นฐานทางเรขาคณิตที่สำคัญสำหรับศิลปะและการสอน เกี่ยวกับผ้าทาง คณิตศาสตร์^{[ 6 ]}

ความสอดคล้องของเส้นตรงคือกลุ่มเส้นตรงที่มีพารามิเตอร์ 2 ตัวใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$สามารถเขียนได้ดังนี้$${\displaystyle X(u,v,t)=x(u,v)+tp(u,v)}$$โดยที่แต่ละตัวเลือกของ${\displaystyle u,v\in \mathbb {R} }$เลือกสายตระกูลเฉพาะสายหนึ่ง

พื้นผิวโฟกัสของเส้นตรงคอนกรุเอนซ์ คือพื้นผิวที่สัมผัสกับเส้นตรงคอนกรุเอนซ์ ณ แต่ละจุดบนพื้นผิวนั้น$${\displaystyle \det \left(\partial _{u}X,\partial _{v}X,p\right)=0}$$สมการข้างต้นขยายเป็นสมการกำลังสองใน${\displaystyle t}$:$${\displaystyle \det(\partial _{u}x(u,v)+t\partial _{u}p(u,v),\partial _{v}x(u,v)+t\partial _{v}p(u,v),p(u,v))=0}$$ดังนั้น สำหรับแต่ละ${\displaystyle (u,v)\in \mathbb {R} ^{2}}$โดยทั่วไปแล้วมีทางเลือกอยู่สองทาง${\displaystyle t_{1}(u,v),t_{2}(u,v)}$ดังนั้น ความสอดคล้องของเส้นตรงทั่วไปจึงมีพื้นผิวโฟกัสสองพื้นผิวที่กำหนดพารามิเตอร์โดย${\displaystyle t_{1}(u,v),t_{2}(u,v)}$.

สำหรับกลุ่มเส้นตรงที่ตั้งฉากกับพื้นผิวเรียบ พื้นผิวโฟกัสทั้งสองจะสอดคล้องกับเส้นโค้งวิวัฒนาการของพื้นผิวนั้น ซึ่งก็คือตำแหน่งของจุดศูนย์กลางความโค้งหลัก

ในปี ค.ศ. 1879 เบียนคีพิสูจน์ว่า ถ้าเส้นตรงที่เท่ากันทุกประการมีลักษณะที่จุดที่สอดคล้องกันบนพื้นผิวโฟกัสทั้งสองอยู่ห่างกันเป็นระยะคงที่ 1 นั่นคือ${\displaystyle |t_{1}(u,v)-t_{2}(u,v)|=1}$ดังนั้น พื้นผิวโฟกัสทั้งสองจึงมีความโค้งคงที่ที่ -1

ในปี ค.ศ. 1880 ลีได้พิสูจน์บทกลับบางส่วน ให้${\textstyle X}$เป็นพื้นผิวทรงกลมเทียม จากนั้นจะมีพื้นผิวทรงกลมเทียมที่สองอยู่${\textstyle {\hat {X}}}$และความสอดคล้องของเส้น${\textstyle {\mathcal {L}}}$โดยที่${\textstyle X}$และ${\textstyle {\hat {X}}}$พื้นผิวโฟกัสของ${\textstyle {\mathcal {L}}}$. นอกจากนี้,${\textstyle {\hat {X}}}$และ${\textstyle {\mathcal {L}}}$อาจสร้างขึ้นจาก${\textstyle X}$โดยการอินทิเกรตลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ(ODE )

ครึ่งทรงกลมเทียมที่มีความโค้ง −1 ถูกปกคลุมด้วยส่วนภายในของโฮโรไซเคิลในแบบจำลองระนาบครึ่งของปวงกาเรตัวเลือกที่สะดวกอย่างหนึ่งคือส่วนของระนาบครึ่งที่มีy ≥ 1 [ ^{7 ] จาก} นั้นแผนที่การปกคลุมจะเป็นคาบใน ทิศทาง xที่มีคาบ 2 πและนำโฮโรไซเคิลy = cไปยังเส้นเมริเดียนของทรงกลมเทียมและจีโอเดสิกแนวตั้งx = cไปยังแทร็กทริซที่สร้างทรงกลมเทียม การแมปนี้เป็นไอโซเมตรีเฉพาะที่ ดังนั้นจึงแสดงส่วนy ≥ 1ของระนาบครึ่งบนเป็นพื้นที่ปกคลุมสากลของทรงกลมเทียม การแมปที่แม่นยำคือ

${\displaystyle (x,y)\mapsto {\big (}v(\operatorname {arcosh} y)\cos x,v(\operatorname {arcosh} y)\sin x,u(\operatorname {arcosh} y){\big )},}$

ที่ไหน

${\displaystyle t\mapsto {\big (}u(t)=t-\operatorname {tanh} t,v(t)=\operatorname {sech} t{\big )}}$

คือการกำหนดพารามิเตอร์ของเส้นแทรกทริกซ์ข้างต้น

ในแหล่งข้อมูลบางแหล่งที่ใช้แบบจำลองไฮเปอร์โบโลอิดของระนาบไฮเปอร์โบลิก ไฮเปอร์โบโลอิดจะถูกเรียกว่าทรงกลมเทียม [ ^{8 ] การ} ใช้คำนี้เป็นเพราะไฮเปอร์โบโลอิดสามารถคิดได้ว่าเป็นทรงกลมที่มีรัศมีจินตนาการซึ่งฝังอยู่ในปริภูมิMinkowski

พื้นผิวทรงกลมเทียมสามารถสร้างขึ้นจากคำตอบของสมการไซน์-กอร์ดอนได้^{[ 9 ]}การพิสูจน์แบบร่างเริ่มต้นด้วยการกำหนดพารามิเตอร์ใหม่ของแทร็กทรอยด์ด้วยพิกัดที่สมการเกาส์-โคดัซซีสามารถเขียนใหม่เป็นสมการไซน์-กอร์ดอนได้

บนพื้นผิวหนึ่ง ให้ลากเครื่องหมายกากบาทที่แต่ละจุด โดยชี้ไปยังทิศทางความโค้งหลัก ทั้งสองทิศทาง เครื่องหมายกากบาทเหล่านี้สามารถรวมกันเป็นเส้นโค้งสองกลุ่ม ซึ่งประกอบกันเป็นระบบพิกัดบนพื้นผิว ให้เขียนระบบพิกัดได้ดังนี้${\displaystyle (x,y)}$.

โดยทั่วไปแล้ว ณ แต่ละจุดบนพื้นผิวทรงกลมเสมือนจะมีทิศทางเชิงเส้นกำกับสองทิศทาง ซึ่งความโค้งจะเป็นศูนย์ตามแนวทิศทางเหล่านั้น ให้มุมระหว่างทิศทางเชิงเส้นกำกับทั้งสองเป็น${\displaystyle \theta }$.

ทฤษฎีบทหนึ่งกล่าวว่า$${\displaystyle \partial _{xx}\theta -\partial _{yy}\theta =\sin \theta }$$โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับแทร็กทรอยด์ สมการเกาส์-โคดัซซีคือสมการไซน์-กอร์ดอนที่ใช้กับคำตอบโซลิตอนสถิต ดังนั้นสมการเกาส์-โคดัซซีจึงเป็นไปตามเงื่อนไข ในพิกัดเหล่านี้รูปแบบพื้นฐานที่หนึ่งและ ที่สอง ถูกเขียนในลักษณะที่ทำให้เห็นได้อย่างชัดเจนว่าความโค้งเกาส์เซียนคือ −1 สำหรับคำตอบใดๆ ของสมการไซน์-กอร์ดอน

จากนั้น คำตอบใดๆ ของสมการไซน์-กอร์ดอน สามารถนำมาใช้ระบุรูปแบบพื้นฐานแรกและรูปแบบพื้นฐานที่สอง ซึ่งสอดคล้องกับสมการเกาส์-โคดัซซี นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีบทที่ว่า ชุดข้อมูลเริ่มต้นดังกล่าว สามารถนำมาใช้ระบุพื้นผิวที่จมอยู่ในน้ำได้อย่างน้อยในระดับท้องถิ่น${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

ความเชื่อมโยงระหว่างสมการไซน์-กอร์ดอนและพื้นผิวทรงกลมเทียมหมายความว่าเราสามารถระบุคำตอบของสมการด้วยพื้นผิวได้ จากนั้น วิธีใดก็ตามที่สร้างคำตอบไซน์-กอร์ดอนใหม่จากคำตอบเก่า จะสร้างพื้นผิวทรงกลมเทียมใหม่จากคำตอบเก่าโดยอัตโนมัติ และในทางกลับกัน

ตัวอย่างบางส่วนของคำตอบไซน์-กอร์ดอนและพื้นผิวที่เกี่ยวข้องมีดังต่อไปนี้:

• โซลิตอนเดี่ยวแบบคงที่: ทรงกลมเทียม
• โซลิตอนเดี่ยวที่เคลื่อนที่: พื้นผิวของดีนี
• วิธีแก้ปัญหาการระบายอากาศ: พื้นผิวระบายอากาศ
• 2-โซลิตอน: พื้นผิวคูเอ็น

• ทฤษฎีบทของฮิลเบิร์ต (เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์)
• พื้นผิวของดินี
• เขาของกาเบรียล
• ไฮเปอร์โบโลอิด
• โครงสร้างไฮเปอร์โบโลอิด
• กึ่งทรงกลม
• สมการไซน์-กอร์ดอน
• ทรงกลม
• พื้นผิวของการปฏิวัติ

• สติลเวลล์, จอห์น (1996). แหล่งที่มาของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก . สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกันและสมาคมคณิตศาสตร์ลอนดอน. ISBN 0-8218-0529-0.
• Henderson, DW; Taimina, D. (2006). "ประสบการณ์ทางเรขาคณิต: เรขาคณิตแบบยุคลิดและแบบไม่ยุคลิดพร้อมประวัติศาสตร์" สุนทรียศาสตร์และคณิตศาสตร์ (PDF) . Springer-Verlag.
• คาสเนอร์, เอ็ดเวิร์ด; นิวแมน, เจมส์ (1940). คณิตศาสตร์และจินตนาการ . ไซมอน แอนด์ ชูสเตอร์ . หน้า 140, 145, 155.
• Rogers, C.; Schief, Wolfgang K., บรรณาธิการ (2002). การแปลง Bäcklund และ Darboux: เรขาคณิตและการประยุกต์ใช้สมัยใหม่ในทฤษฎีโซลิตอน . ตำราคณิตศาสตร์ประยุกต์ของเคมบริดจ์. เคมบริดจ์ นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-0-521-01288-1.

• ไม่ใช่ยูคลิด
• การถักโครเชต์ระนาบไฮเปอร์โบลิก: บทสัมภาษณ์กับเดวิด เฮนเดอร์สัน และไดน่า ไทมินา
• พื้นผิวทรงกลมเทียมในพิพิธภัณฑ์คณิตศาสตร์เสมือนจริง