มูน (1963)และฮอฟฟ์แมน (1964)สังเกตว่า${\displaystyle m\times n}$กราฟของรุก (หรือในความหมายเดียวกัน ตามที่พวกเขาอธิบายไว้ คือ กราฟเส้นของกราฟสองส่วนสมบูรณ์)${\displaystyle K_{m,n}}$) มีคุณสมบัติทั้งหมดดังต่อไปนี้:

• มันมี${\displaystyle mn}$จุดยอดหนึ่งจุดสำหรับแต่ละช่องสี่เหลี่ยมของ${\displaystyle m\times n}$กระดานหมากรุก จุดยอดแต่ละจุดอยู่ติดกับ${\displaystyle m+n-2}$ขอบที่เชื่อมต่อเข้ากับ${\displaystyle m-1}$ช่องสี่เหลี่ยมที่มีลำดับเดียวกันและ${\displaystyle n-1}$ช่องสี่เหลี่ยมในไฟล์เดียวกัน
• รูปสามเหลี่ยมในกราฟของหมากรุกเกิดจากการรวมกันของสี่เหลี่ยมสามอันในแถวหรือแนวเดียวกัน เมื่อ${\displaystyle m\neq n}$, อย่างแน่นอน${\displaystyle n{\tbinom {m}{2}}}$ขอบ (เส้นที่เชื่อมช่องสี่เหลี่ยมในแถวเดียวกัน) เป็นของ${\displaystyle m-2}$สามเหลี่ยม; ที่เหลือ${\displaystyle m{\tbinom {n}{2}}}$ขอบ (เส้นที่เชื่อมต่อช่องสี่เหลี่ยมในไฟล์เดียวกัน) เป็นของ${\displaystyle n-2}$รูปสามเหลี่ยม เมื่อ${\displaystyle m=n}$ขอบแต่ละด้านเป็นของ${\displaystyle m-2=n-2}$รูปสามเหลี่ยม
• จุดยอดสองจุดที่ไม่ติดกันทุกคู่จะเป็นของกลุ่มที่ไม่ซ้ำกัน${\displaystyle 4}$- วงจรจุดยอดกล่าวคือ สี่เหลี่ยมผืนผ้าเพียงรูปเดียวที่ใช้จุดยอดทั้งสองเป็นมุม

พวกเขาแสดงให้เห็นว่า ยกเว้นในกรณีดังกล่าว${\displaystyle m=n=4}$คุณสมบัติเหล่านี้เป็นเอกลักษณ์เฉพาะของกราฟของหมากรุก กล่าวคือ กราฟของหมากรุกเป็นกราฟเพียงกราฟเดียวที่มีจำนวนจุดยอด ขอบ จำนวนสามเหลี่ยมต่อขอบ และมีวงจร 4 วงที่ไม่ซ้ำกันผ่านจุดยอดสองจุดที่ไม่ติดกัน^{[ 8 ] [ 9 ]}

เมื่อไร${\displaystyle m=n}$เงื่อนไขเหล่านี้อาจย่อได้โดยการระบุว่า${\displaystyle n\times n}$กราฟของรุกเป็นกราฟปกติอย่างเข้มข้นที่มีพารามิเตอร์ ${\displaystyle \operatorname {srg} (n^{2},2n-2,n-2,2)}$พารามิเตอร์เหล่านี้อธิบายถึงจำนวนจุดยอด จำนวนขอบต่อจุดยอด จำนวนสามเหลี่ยมต่อขอบ และจำนวนเพื่อนบ้านร่วมกันสำหรับจุดยอดสองจุดที่ไม่ติดกัน ตามลำดับ^{[ 1 ]}ในทางกลับกัน กราฟปกติอย่างเข้มข้นทุกกราฟที่มีพารามิเตอร์เหล่านี้จะต้องเป็น${\displaystyle n\times n}$กราฟของเรือ เว้นแต่${\displaystyle n=4}$[ ^{8 ] [ 9 ]​}

เมื่อไร${\displaystyle n=4}$นอกจากนี้ยังมีกราฟปกติอีกชนิดหนึ่งที่เรียกว่ากราฟชริคขันเดซึ่งมีพารามิเตอร์เดียวกันกับกราฟทั่วไป${\displaystyle 4\times 4}$กราฟของรุก^{[ 10 ]} กราฟ Shrikhande มีคุณสมบัติเดียวกันกับที่ Moon และ Moser ระบุไว้ สามารถแยกแยะได้จาก${\displaystyle 4\times 4}$กราฟของรุก (rook's graph) ในแง่ที่ว่าบริเวณใกล้เคียงของแต่ละจุดยอดในกราฟชริคฮันเด (Shrikhande graph) เชื่อมต่อกันเพื่อสร้างเป็น${\displaystyle 6}$-วัฏจักรในทางตรงกันข้าม ใน${\displaystyle 4\times 4}$กราฟของรุก (rook's graph) บริเวณใกล้เคียงของแต่ละจุดยอดจะก่อให้เกิดรูปสามเหลี่ยมสองรูป รูปหนึ่งสำหรับอันดับของมัน และอีกรูปหนึ่งสำหรับไฟล์ของมัน โดยไม่มีขอบเชื่อมจากส่วนหนึ่งของบริเวณใกล้เคียงไปยังอีกส่วนหนึ่ง^{[ 11 ]}อีกวิธีหนึ่งในการแยกแยะ${\displaystyle 4\times 4}$กราฟของเรือจากกราฟ Shrikhande ใช้ จำนวน การครอบคลุมคลิก :${\displaystyle n=4}$กราฟของเรือสามารถครอบคลุมได้ด้วยคลิกสี่กลุ่ม (แถวทั้งสี่หรือแถวทั้งสี่ของกระดานหมากรุก) ในขณะที่ต้องใช้คลิกหกกลุ่มเพื่อครอบคลุมกราฟ Shrikhande ^{[ 10 ]}

กราฟของรุก (Rook's graphs) เป็นกราฟ สมมาตรที่จุดยอดทุกจุด สามารถเชื่อมต่อกันได้ (vertex-transitive ) ซึ่งหมายความว่ากราฟเหล่านี้มีสมมาตรที่เชื่อมต่อจุดยอดทุกจุดกับจุดยอดอื่นๆ ทุกจุด นี่หมายความว่าจุดยอดทุกจุดมีจำนวนขอบเท่ากัน:${\displaystyle (m+n-2)}$- ปกติกราฟของเรือเป็นกราฟปกติเพียงกราฟเดียวที่สร้างขึ้นจากการเคลื่อนที่ของหมากรุกมาตรฐานในลักษณะนี้^{[ 12 ]}เมื่อ${\displaystyle m\neq n}$สมมาตรของกราฟของหมากรุกเกิดจากการสลับแถวและคอลัมน์ของกราฟอย่างอิสระ ดังนั้นกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของกราฟจึงมี${\displaystyle m!n!}$องค์ประกอบ เมื่อ${\displaystyle m=n}$กราฟมีสมมาตรเพิ่มเติมที่สลับแถวและคอลัมน์ ดังนั้นจำนวนออโตมอร์ฟิซึมจึงเป็น${\displaystyle 2n!^{2}}$[ ^{13 ]​}

จุดยอดสองจุดใดๆ ในกราฟของหมากรุกจะอยู่ห่างกันหนึ่งหรือสองระยะ ขึ้นอยู่กับว่าจุดยอดทั้งสองนั้นอยู่ติดกันหรือไม่ติดกันตามลำดับ จุดยอดสองจุดที่ไม่ติดกันใดๆ สามารถแปลงเป็นจุดยอดสองจุดที่ไม่ติดกันอื่นๆ ได้โดยสมมาตรของกราฟ เมื่อกราฟของหมากรุกไม่ใช่กราฟสี่เหลี่ยมจัตุรัส คู่ของจุดยอดที่อยู่ติดกันจะตกอยู่ในวงโคจร สองวง ของกลุ่มสมมาตร ขึ้นอยู่กับว่าจุดยอดทั้งสองนั้นอยู่ติดกันในแนวนอนหรือแนวตั้ง แต่เมื่อกราฟเป็นกราฟสี่เหลี่ยมจัตุรัส จุดยอดสองจุดที่อยู่ติดกันใดๆ ก็สามารถแมปเข้าหากันได้โดยสมมาตร และกราฟจึงมีคุณสมบัติการถ่ายทอดระยะทาง^{[ 14 ]}

เมื่อไร${\displaystyle m}$และ${\displaystyle n}$เป็น กลุ่ม เฉพาะสัมพัทธ์กลุ่มสมมาตร${\displaystyle S_{m}\times S_{n}}$กราฟของหมากรุกประกอบด้วยกลุ่มวัฏจักรเป็นกลุ่มย่อย${\displaystyle C_{mn}=C_{m}\times C_{n}}$ซึ่งทำงานโดยการสลับสับเปลี่ยนแบบวนรอบ${\displaystyle mn}$จุดยอด ดังนั้นในกรณีนี้ กราฟของหมากรุกจึงเป็นกราฟวงกลม^{[ 15 ]}

กราฟของหมากรุกสี่เหลี่ยมเป็นกราฟที่เชื่อมต่อกันแบบเอกพันธุ์หมายความว่าไอโซมอร์ฟิซึมทุกตัวระหว่างกราฟย่อยที่เหนี่ยวนำที่เชื่อมต่อกันสองตัวสามารถขยายเป็นออโตมอร์ฟิซึมของกราฟทั้งหมดได้^{[ 16 ]}

กราฟของหมากรุกยังสามารถมองได้ว่าเป็นกราฟเส้นของกราฟสองส่วนสมบูรณ์K — กล่าวคือ มีจุดยอดหนึ่งจุดสำหรับแต่ละขอบของK และจุดยอดสองจุดของกราฟของหมากรุกจะอยู่ติดกันก็ต่อเมื่อขอบที่สอดคล้องกันของกราฟสองส่วนสมบูรณ์มีจุดปลายร่วมกัน^{[ 2 ] [ 17 ]}ในมุมมองนี้ ขอบในกราฟสองส่วนสมบูรณ์จาก จุดยอดที่ iบนด้านหนึ่งของการแบ่งสองส่วนไปยังจุดยอดที่j บนอีกด้านหนึ่งจะสอดคล้องกับช่องสี่เหลี่ยม ^บนกระดานหมากรุกที่มีพิกัด( i , j ) [ ^{1 ]}

กราฟสองส่วนใดๆ ก็เป็นกราฟย่อยของกราฟสองส่วนสมบูรณ์ และในทำนองเดียวกัน กราฟเส้นใดๆ ของกราฟสองส่วนก็เป็นกราฟย่อยที่เหนี่ยวนำของกราฟเรือ^{[ 18 ]}กราฟเส้นของกราฟสองส่วนเป็นกราฟสมบูรณ์ : ในกราฟเส้นเหล่านั้น และในกราฟย่อยที่เหนี่ยวนำใดๆ จำนวนสีที่จำเป็นในการระบายสีจุดยอด ใดๆ จะเท่ากับจำนวนจุดยอดในกราฟย่อยสมบูรณ์ ที่ใหญ่ที่สุด กราฟเส้นของกราฟสองส่วนเป็นตระกูลที่สำคัญของกราฟสมบูรณ์: พวกมันเป็นหนึ่งในตระกูลจำนวนน้อยที่Chudnovsky et al. (2006) ใช้ ในการจำแนกลักษณะของกราฟสมบูรณ์และเพื่อแสดงว่ากราฟทุกกราฟที่ไม่มีรูคี่และไม่มีแอนติรูคี่เป็นกราฟสมบูรณ์^{[ 19 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กราฟเรือเองก็เป็นกราฟสมบูรณ์

เนื่องจากกราฟของหมากรุกเป็นกราฟที่สมบูรณ์แบบ จำนวนสีที่ต้องการในการระบายสีกราฟใดๆ จึงมีขนาดเท่ากับขนาดของคลิกที่ใหญ่ที่สุด คลิกของกราฟหมากรุกคือเซตย่อยของแถวเดียวหรือคอลัมน์เดียว และคลิกที่ใหญ่ที่สุดจะมีขนาดmax( m , n )ดังนั้นนี่จึงเป็นจำนวนสีของกราฟด้วยการระบายสีn สีของกราฟหมากรุกขนาด n × nอาจตีความได้ว่าเป็นตารางละติน : มันอธิบายวิธีการเติมแถวและคอลัมน์ของ ตารางขนาด n × nด้วย ค่าที่แตกต่างกัน nค่าในลักษณะที่ค่าเดียวกันจะไม่ปรากฏสองครั้งในแถวหรือคอลัมน์ใดๆ^{[ 20 ]}ในทำนองเดียวกัน การระบายสีกราฟหมากรุกรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะสอดคล้องกับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าละติน^{[ 21 ]}แม้ว่าการหาการระบายสีที่เหมาะสมที่สุดของกราฟหมากรุกจะตรงไปตรงมา แต่การพิจารณาว่าการระบายสีบางส่วนสามารถขยายไปสู่การระบายสีกราฟทั้งหมดได้หรือไม่นั้น เป็นปัญหา NP-complete (ปัญหานี้เรียกว่า การขยายการระบายสีล่วงหน้า ) ในทำนองเดียวกัน การพิจารณาว่าตารางละตินบางส่วนสามารถทำให้สมบูรณ์เป็นตารางละตินเต็มได้หรือไม่นั้นถือเป็น NP-complete ^{[ 22 ]}

	เอ	ข	ค	ง	อี	เอฟ	จี	ชม.
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	เอ	ข	ค	ง	อี	เอฟ	จี	ชม.

การจัดวางเรือแปดตัวบนกระดานหมากรุกโดยไม่โจมตีกัน ซึ่งก่อให้เกิดเซตอิสระสูงสุดในกราฟของเรือแต่ละตัว

เซตอิสระในกราฟของเรือคือเซตของจุดยอด ซึ่งไม่มีจุดยอดสองจุดใดอยู่ในแถวหรือคอลัมน์เดียวกันของกราฟ ในแง่ของหมากรุก เซตอิสระนี้สอดคล้องกับการวางเรือที่ไม่มีเรือสองลำใดโจมตีกัน กราฟที่สมบูรณ์แบบอาจอธิบายได้ว่าเป็นกราฟที่ในทุกกราฟย่อยที่เหนี่ยวนำ ขนาดของเซตอิสระที่ใหญ่ที่สุดเท่ากับจำนวนคลิกในการแบ่งจุดยอดของกราฟออกเป็นจำนวนคลิกขั้นต่ำ ในกราฟของเรือ เซตของแถวหรือเซตของคอลัมน์ (แล้วแต่ว่าเซตใดมีจำนวนเซตน้อยกว่า) ก่อให้เกิดการแบ่งส่วนที่เหมาะสมที่สุดดังกล่าว ดังนั้นขนาดของเซตอิสระที่ใหญ่ที่สุดในกราฟจึงเท่ากับ^min ( m , n ) ^{[ 1} ]

กราฟของรุกเป็นกราฟที่มีการครอบคลุมอย่างดี : เซตอิสระ ทุกเซต ในกราฟของรุกสามารถขยายเป็นเซตอิสระสูงสุดได้ และเซตอิสระสูงสุด ทุกเซต ในกราฟของรุกจะมีขนาดเท่ากันคือmin ( m , n ) ^{[ 23 ]}

จำนวนการครอบงำของกราฟคือจำนวนสมาชิกขั้นต่ำในบรรดาเซตการครอบงำทั้งหมด บนกราฟของเรือ เซตของจุดยอดจะเป็นเซตการครอบงำก็ต่อเมื่อช่องสี่เหลี่ยมที่สอดคล้องกันครอบครอง หรืออยู่ห่างจากช่องสี่เหลี่ยมทั้งหมดบนกระดานm × n ใน ^ระยะ การเคลื่อนที่ของเรือ สำหรับ กระดาน m × nจำนวนการครอบงำคือmin( m , n ) ^{[ 24} ]

บนกราฟของเรือk -dominating set คือเซตของจุดยอดที่มีช่องที่สอดคล้องกันโจมตีช่องอื่นๆ ทั้งหมด (ผ่านการเคลื่อนที่ของเรือ) อย่างน้อยkครั้งk -tuple dominating set บนกราฟของเรือ k-tuple dominating set คือเซตของจุดยอดที่มีช่องที่สอดคล้องกันโจมตีช่องอื่นๆ ทั้งหมดอย่างน้อยkครั้ง และตัวมันเองถูกโจมตีอย่างน้อยk − 1ครั้ง จำนวนสมาชิกขั้นต่ำในบรรดาk -dominating set และk -tuple dominating set ทั้งหมดคือk -domination number และk -tuple domination number ตาม ลำดับบนกระดานสี่เหลี่ยม และสำหรับk ^ที่ เป็นเลขคู่ k -domination number คือnk /2เมื่อn ≥ ( k² − 2k )/4และk < 2nในทำนองเดียวกันk -tuple domination ^numberคือn ( k ⁺ 1)/2เมื่อkเป็นเลขคี่และน้อยกว่า2n ^[ 25 ]

กราฟของเรือทุกตัวประกอบด้วยวงจรแฮมิลโทเนียน [ ^{26 ] อย่างไรก็ตาม}วงจรเหล่านี้อาจเกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ระหว่างช่องสี่เหลี่ยมที่อยู่ห่างกันมากภายในแถวหรือคอลัมน์เดียวของกระดานหมากรุก ในทางกลับกัน การศึกษา "การเดินของเรือ" ในคณิตศาสตร์ของหมากรุกโดยทั่วไปมุ่งเน้นไปที่กรณีพิเศษของวงจรแฮมิลโทเนียนเหล่านี้ โดยที่เรือถูกจำกัดให้เคลื่อนที่ได้เฉพาะช่องสี่เหลี่ยมที่อยู่ติดกัน การเดินของเรือแบบก้าวเดียวเหล่านี้มีอยู่เฉพาะบนกระดานที่มีจำนวนช่องสี่เหลี่ยมเป็นเลขคู่เท่านั้น พวกมันมีบทบาทสำคัญในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของโกโมรีที่ว่า หากนำช่องสี่เหลี่ยมสองช่องที่มีสีตรงข้ามกันออกจากกระดานหมากรุกมาตรฐาน ช่องสี่เหลี่ยมที่เหลือสามารถถูกปกคลุมด้วยโดมิโนได้เสมอ^{[ 27 ]}พวกมันถูกนำเสนอควบคู่ไปกับการเดินของม้าในงานชิ้นแรกที่กล่าวถึงการเดินของหมากรุก คือ Kavyalankara ของ Rudrata ในศตวรรษที่9 ในภาษาสันสกฤต^{[ 28 ]}

สเปกตรัม ของ กราฟของหมากรุก ( ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ประชิด ) ประกอบด้วยค่าลักษณะเฉพาะทั้งสี่ค่า${\displaystyle m+n-2}$,${\displaystyle m-2}$,${\displaystyle n-2}$, และ${\displaystyle -2}$เนื่องจากค่าเหล่านี้เป็นจำนวนเต็มทั้งหมด กราฟของรุกจึงเป็นกราฟจำนวนเต็มมีเพียงสามประเภทของกราฟ (และกราฟพิเศษจำนวนจำกัด) ที่สามารถมีค่าลักษณะเฉพาะสี่ค่า โดยหนึ่งในสี่ค่านั้นเป็นจำนวนเต็ม${\displaystyle -2}$หนึ่งในสามคลาสนั้นคือคลาสของกราฟเรือ สำหรับการรวมกันส่วนใหญ่ของ${\displaystyle m}$และ${\displaystyle n}$,${\displaystyle m\times n}$กราฟของรุกมีลักษณะเฉพาะทางสเปกตรัม: ไม่มีกราฟอื่นใดที่มีสเปกตรัมเหมือนกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อ${\displaystyle n=2}$หรือ${\displaystyle n=m-1}$หรือเมื่อตัวเลขทั้งสอง${\displaystyle m}$และ${\displaystyle n}$ผลรวมต้องได้อย่างน้อย 18 และไม่มีแบบฟอร์ม${\displaystyle 2t^{2}\pm t}$[ ^{29 ]​}