ค่าคงที่การเชื่อมต่อ

ในฟิสิกส์ค่าคงที่การคู่ควบหรือพารามิเตอร์การคู่ควบเกจ (หรือเรียกง่ายๆ ว่าการคู่ควบ ) คือตัวเลขที่กำหนดความแรงของแรงที่กระทำในการปฏิสัมพันธ์เดิมที ค่าคงที่การคู่ควบเชื่อมโยงแรงที่กระทำระหว่างวัตถุคงที่สองชิ้นกับ " ประจุ " ของวัตถุ (เช่น ประจุไฟฟ้าสำหรับไฟฟ้าสถิตและมวลสำหรับแรงโน้มถ่วงแบบนิวตัน ) หารด้วยระยะทางยกกำลังสองระหว่างวัตถุ ดังนั้น: ในสำหรับแรงโน้มถ่วงแบบนิวตัน และในสำหรับไฟฟ้าสถิตคำอธิบายนี้ยังคงใช้ได้ในฟิสิกส์สมัยใหม่สำหรับทฤษฎีเชิงเส้นที่มีวัตถุคงที่และตัวนำแรง ที่ ไม่มี มวล ^{[ 1 ]}${\displaystyle r^{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F=Gm_{1}m_{2}/r^{2}}$${\displaystyle k_{\text{e}}}$${\displaystyle F=k_{\text{e}}q_{1}q_{2}/r^{2}}$

นิยามที่ทันสมัยและทั่วไปกว่านั้นใช้ลากรางเจียน (หรือเทียบเท่ากับแฮมิลโทเนียน ) ของระบบ โดยปกติแล้ว ลากรางเจียน (หรือ แฮมิลโทเนียน ) ของระบบที่อธิบายปฏิสัมพันธ์สามารถแยกออกเป็นส่วนจลน์และส่วนปฏิสัมพันธ์ได้คือ ลากรางเจียน (หรือ แฮมิลโทเนียน) ในทฤษฎีสนาม ลากรางเจียนจะมีเทอมสนาม 3 เทอมขึ้นไปเสมอ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าอิเล็กตรอนเริ่มต้น (สนาม 1) ทำปฏิกิริยากับโฟตอน (สนาม 2) ทำให้เกิดสถานะสุดท้ายของอิเล็กตรอน (สนาม 3) ในทางตรงกันข้ามส่วนจลน์จะมีเพียงสองสนามเสมอ ซึ่งแสดงถึงการแพร่กระจายอย่างอิสระของอนุภาคเริ่มต้น (สนาม 1) ไปสู่สถานะต่อมา (สนาม 2) ค่าคงที่การเชื่อมต่อจะกำหนดขนาดของส่วนจลน์เมื่อเทียบกับส่วนปฏิสัมพันธ์ (หรือระหว่างสองส่วนของส่วนปฏิสัมพันธ์หากมีหลายสนามที่เชื่อมต่อกันแตกต่างกัน) ตัวอย่างเช่นประจุไฟฟ้าของอนุภาคเป็นค่าคงที่การเชื่อมต่อที่บ่งบอกถึงปฏิสัมพันธ์กับสนามที่นำพาประจุสองสนามและ สนาม โฟตอน หนึ่ง สนาม (ดังนั้นจึงมีแผนภาพไฟน์แมนทั่วไปที่มีลูกศรสองลูกและเส้นหยักหนึ่งเส้น) เนื่องจากโฟตอนเป็นตัวกลาง ของแรง แม่เหล็กไฟฟ้าการเชื่อมต่อนี้จึงเป็นตัวกำหนดว่าอิเล็กตรอนจะรู้สึกถึงแรงดังกล่าวมากน้อยเพียงใด และค่าของมันถูกกำหนดโดยการทดลอง เมื่อพิจารณาจากลากรางเจียนของ QEDจะเห็นได้ว่า การเชื่อมต่อนี้เป็นตัวกำหนดสัดส่วนระหว่างเทอมจลน์ และเทอมปฏิสัมพันธ์ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}$${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$${\displaystyle T={\bar {\psi }}(i\hbar c\gamma ^{\sigma }\partial _{\sigma }-mc^{2})\psi -{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$${\displaystyle V=-e{\bar {\psi }}(\hbar c\gamma ^{\sigma }A_{\sigma })\psi }$

ค่าคงที่การเชื่อมโยงมีบทบาทสำคัญในพลศาสตร์ ตัวอย่างเช่น มักมีการกำหนดลำดับชั้นของการประมาณค่าโดยพิจารณาจากความสำคัญของค่าคงที่การเชื่อมโยงต่างๆ ในการเคลื่อนที่ของก้อนเหล็กแม่เหล็กขนาดใหญ่ แรงแม่เหล็กอาจมีความสำคัญมากกว่าแรงโน้มถ่วงเนื่องจากขนาดสัมพัทธ์ของค่าคงที่การเชื่อมโยง อย่างไรก็ตาม ในกลศาสตร์คลาสสิก โดยทั่วไปแล้วเราจะตัดสินใจโดยตรงโดยการเปรียบเทียบแรง อีกตัวอย่างที่สำคัญของบทบาทสำคัญของค่าคงที่การเชื่อมโยงคือ พวกมันเป็นพารามิเตอร์การขยายตัวสำหรับการคำนวณหลักการพื้นฐานโดยอาศัยทฤษฎีการรบกวนซึ่งเป็นวิธีการคำนวณหลักในสาขาฟิสิกส์หลายสาขา

ค่าคงที่แบบไร้มิติเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติในทฤษฎีสนามควอนตัมในทฤษฎีควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพ ค่าคงที่แบบไร้มิติ มีบทบาทพิเศษ กล่าว คือ เป็นเพียงตัวเลขบริสุทธิ์ ตัวอย่างของค่าคงที่แบบไร้มิติดังกล่าวคือค่าคงที่โครงสร้างละเอียด

${\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}},}$

โดยที่eคือประจุของอิเล็กตรอนε₀คือค่า สภาพยอมทางไฟฟ้า ของ สุญญากาศħคือ ค่าคงที่ _ของพลังค์แบบลดทอนและcคือความเร็วแสง ค่าคงที่นี้เป็นสัดส่วนกับกำลังสองของความแรงของการเชื่อมต่อระหว่างประจุของอิเล็กตรอนกับสนาม แม่เหล็กไฟฟ้า

ใน ทฤษฎีเกจแบบไม่เชิงอะเบเลียนพารามิเตอร์การเชื่อมต่อเกจจะปรากฏในลากรางเจียนดังนี้ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\frac {1}{4g^{2}}}{\rm {Tr}}\,G_{\mu \nu }G^{\mu \nu },}$

(โดยที่Gคือ เทนเซอร์ สนาม เกจ ) ในบางแบบแผน ในอีกแบบแผนที่ใช้กันอย่างแพร่หลายGจะถูกปรับขนาดใหม่เพื่อให้สัมประสิทธิ์ของเทอมจลน์เป็น 1/4 และปรากฏในอนุพันธ์ร่วมแปรซึ่งควรเข้าใจว่าคล้ายกับเวอร์ชันไร้มิติของประจุพื้นฐานที่กำหนดไว้ดังนี้ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\frac {e}{\sqrt {\varepsilon _{0}\hbar c}}}={\sqrt {4\pi \alpha }}\approx 0.30282212\ ~~.}$

ในทฤษฎีสนามควอนตัมที่มีค่าคงที่การเชื่อมต่อgถ้าgมีค่าน้อยกว่า 1 มากๆ จะเรียกว่าทฤษฎีนั้นมีการเชื่อมต่อแบบอ่อนในกรณีนี้ ทฤษฎีนั้นสามารถอธิบายได้ดีด้วยการขยายอนุกรมกำลังของgซึ่งเรียกว่า ทฤษฎีการรบกวนถ้าค่าคงที่การเชื่อมต่อมีค่าประมาณหนึ่งหรือมากกว่า จะเรียกว่าทฤษฎีนั้นมีการเชื่อมต่อแบบแรงตัวอย่างของทฤษฎีหลังนี้คือ ทฤษฎี แฮดรอนิกของอันตรกิริยาแบบแรง (ซึ่งเป็นเหตุผลที่เรียกว่าแรงตั้งแต่แรก) ในกรณีเช่นนี้ จำเป็นต้องใช้วิธีการที่ไม่ใช่การรบกวนในการศึกษาทฤษฎี

ในทฤษฎีสนามควอนตัมมิติของการเชื่อมต่อมีบทบาทสำคัญในคุณสมบัติการปรับค่าใหม่ของทฤษฎี^{[ 2 ]}และด้วยเหตุนี้จึงมีผลต่อการประยุกต์ใช้ทฤษฎีการรบกวน หากการเชื่อมต่อไม่มีมิติในระบบหน่วยธรรมชาติ (เช่น) เช่นใน QED, QCD และปฏิสัมพันธ์แบบอ่อนทฤษฎีจะสามารถปรับค่าใหม่ได้ และเทอมทั้งหมดของอนุกรมการขยายจะมีค่าจำกัด (หลังจากการปรับค่าใหม่) หากการเชื่อมต่อมีมิติ เช่นในแรงโน้มถ่วง ( ) ทฤษฎีเฟอร์มิ ( ) หรือทฤษฎีการรบกวนไครัลของแรงที่แข็งแกร่ง ( ) ทฤษฎีมักจะไม่สามารถปรับค่าใหม่ได้ การขยายการรบกวนในการเชื่อมต่ออาจยังคงเป็นไปได้ แม้ว่าจะอยู่ภายใต้ข้อจำกัด^{[ 3 ] [ 4 ]}เนื่องจากเทอมลำดับสูงส่วนใหญ่ของอนุกรมจะมีค่าอนันต์ ${\displaystyle c=1}$${\displaystyle \hbar =1}$${\displaystyle [G_{N}]={\text{energy}}^{-2}}$${\displaystyle [G_{F}]={\text{energy}}^{-2}}$${\displaystyle [F]={\text{energy}}}$

เราสามารถตรวจสอบทฤษฎีสนามควอนตัมในช่วงเวลาหรือระยะทางสั้นๆ ได้โดยการเปลี่ยนความยาวคลื่นหรือโมเมนตัมkของตัวตรวจสอบที่ใช้ เมื่อใช้ตัวตรวจสอบที่มีความถี่สูง (เช่น เวลาสั้น) เราจะเห็นอนุภาคเสมือนมีส่วนร่วมในทุกกระบวนการ การละเมิดการอนุรักษ์พลังงาน ที่เห็นได้ชัดนี้ อาจเข้าใจได้ในเชิงอนุมานโดยการตรวจสอบความสัมพันธ์ของความไม่แน่นอน

${\displaystyle \Delta E\Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}},}$

ซึ่งในทางปฏิบัติแล้วอนุญาตให้เกิดการละเมิดดังกล่าวได้ในช่วงเวลาสั้นๆ ข้อสังเกตข้างต้นใช้ได้เฉพาะกับบางรูปแบบของทฤษฎีสนามควอนตัม โดยเฉพาะอย่างยิ่งการควอนตัมแบบแคนอนิกในภาพ ปฏิสัมพันธ์

ในการกำหนดรูปแบบอื่น เหตุการณ์เดียวกันนี้จะถูกอธิบายโดยอนุภาค "เสมือน" ที่หลุดออกจากมวลเปลือกกระบวนการดังกล่าวจะปรับค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อใหม่และทำให้มันขึ้นอยู่กับระดับพลังงานμที่เราตรวจสอบการเชื่อมต่อ การขึ้นอยู่ของค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อg ( μ ) กับระดับพลังงานเรียกว่า "การเปลี่ยนแปลงของค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อ" ทฤษฎีของการเปลี่ยนแปลงของค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่ออธิบายได้ด้วยกลุ่มการปรับค่าใหม่ (renormalization group ) แม้ว่าควรจำไว้ว่ากลุ่มการปรับค่าใหม่เป็นแนวคิดทั่วไปที่อธิบายการเปลี่ยนแปลงระดับใด ๆ ในระบบทางกายภาพ (ดูบทความฉบับเต็มสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม)

กลุ่มการปรับค่าใหม่ให้วิธีการที่เป็นทางการในการหาค่าการเปลี่ยนแปลงของการเชื่อมต่อ แต่ปรากฏการณ์ที่อยู่เบื้องหลังการเปลี่ยนแปลงนั้นสามารถเข้าใจได้โดยสัญชาตญาณ^{[ 5 ]}ดังที่อธิบายไว้ในบทนำ ค่า คง ที่การเชื่อมต่อจะ กำหนดขนาดของแรงซึ่งมีพฤติกรรมตามระยะทางเป็น การพึ่งพา ได้รับการอธิบายครั้งแรกโดยฟาราเดย์ว่าเป็นการลดลงของฟลักซ์ แรง : ที่จุดBซึ่งอยู่ห่างจากวัตถุAเป็นระยะ แรงนี้จะเป็นสัดส่วนกับฟลักซ์สนามที่ผ่านพื้นผิวพื้นฐานSที่ตั้งฉากกับเส้นABเมื่อฟลักซ์กระจายอย่างสม่ำเสมอทั่วพื้นที่ มันจะลดลงตามมุมตันที่รองรับพื้นผิวSในมุมมองสมัยใหม่ของทฤษฎีสนามควอนตัมมาจากการแสดงออกในพื้นที่ตำแหน่งของตัวแพร่กระจายของตัวนำแรง สำหรับวัตถุที่มีปฏิสัมพันธ์ค่อนข้างอ่อน เช่น ในแม่เหล็กไฟฟ้า แรงโน้มถ่วง หรือปฏิสัมพันธ์นิวเคลียร์ในระยะทางสั้นๆ การแลกเปลี่ยนตัวพาแรงเพียงตัวเดียวเป็นการประมาณค่าเบื้องต้นที่ดีของปฏิสัมพันธ์ระหว่างวัตถุ และในทางคลาสสิก ปฏิสัมพันธ์จะเป็นไปตามกฎ-law (โปรดทราบว่าหากตัวพาแรงมีมวล จะมีการพึ่งพาเพิ่มเติม ) เมื่อปฏิสัมพันธ์รุนแรงมากขึ้น (เช่น ประจุหรือมวลมีขนาดใหญ่ขึ้น หรือมีขนาดเล็กกว่า) หรือเกิดขึ้นในช่วงเวลาที่สั้นกว่า (มีขนาดเล็กกว่า) จะมีตัวพาแรงเกี่ยวข้องมากขึ้น หรือ มีการสร้าง คู่ของอนุภาคขึ้น ดูรูปที่ 1 ส่งผลให้พฤติกรรมเปลี่ยนแปลงไปในทางคลาสสิกเทียบเท่ากับว่าฟลักซ์สนามไม่แพร่กระจายอย่างอิสระในอวกาศอีกต่อไป แต่จะถูกบดบังจากประจุของอนุภาคเสมือนเพิ่มเติม หรือปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาคเสมือนเหล่านี้ เป็นการสะดวกที่จะแยกกฎอันดับแรกออกจากการพึ่งพา -dependency เพิ่มเติมนี้จากนั้นจึงนำส่วนหลังนี้มาพิจารณาโดยการรวมอยู่ใน coupling ซึ่งจะกลายเป็นขึ้นอยู่กับ-dependency (หรือเทียบเท่ากับขึ้นอยู่ กับ μ ) เนื่องจากอนุภาคเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องนอกเหนือจากการประมาณตัวพาแรงเดี่ยวเป็นอนุภาคเสมือน เสมอ กล่าวคือ ความผันผวนของสนามควอนตัมชั่วคราว จึงเข้าใจได้ว่าเหตุใดการเปลี่ยนแปลงของค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อจึงเป็นปรากฏการณ์ควอนตัมและสัมพัทธภาพอย่างแท้จริง นั่นคือ เป็นผลจาก ไดอะแกรมไฟน์แมนลำดับสูงที่มีต่อความแรงของแรง ${\displaystyle 1/r^{2}}$${\displaystyle 1/r^{2}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 1/r^{2}}$${\displaystyle 1/r^{2}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 1/r^{2}}$${\displaystyle 1/r^{2}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 1/r}$

เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อแบบแปรผันสามารถอธิบายผลกระทบควอนตัมระดับจุลภาคได้อย่างมีประสิทธิภาพ จึงมักเรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อที่มีประสิทธิภาพซึ่งแตกต่างจากค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อแบบคงที่ที่ปรากฏในลากรางเจียนหรือแฮมิลโทเนียน

ในทฤษฎีสนามควอนตัมฟังก์ชันเบตา β ( g )เข้ารหัสการเปลี่ยนแปลงของพารามิเตอร์การเชื่อมต่อgโดยกำหนดจากความสัมพันธ์

${\displaystyle \beta (g)=\mu {\frac {\partial g}{\partial \mu }}={\frac {\partial g}{\partial \ln \mu }},}$

โดยที่μคือระดับพลังงานของกระบวนการทางกายภาพที่กำหนด หากฟังก์ชันเบตาของทฤษฎีสนามควอนตัมเป็นศูนย์ ทฤษฎีนั้นจะเป็นทฤษฎีที่ไม่ขึ้นกับระดับพลังงาน (scale-invariant )

พารามิเตอร์การเชื่อมต่อของทฤษฎีสนามควอนตัมสามารถเปลี่ยนแปลงได้ แม้ว่า ทฤษฎี สนาม คลาสสิกที่สอดคล้องกัน จะไม่เปลี่ยนแปลงตามมาตราส่วน ก็ตาม ในกรณีนี้ ฟังก์ชันเบตาที่ไม่เป็นศูนย์จะบอกเราว่าการไม่เปลี่ยนแปลงตามมาตราส่วนแบบคลาส สิ กนั้นผิดปกติ

ถ้าฟังก์ชันเบตาเป็นบวก ค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อที่สอดคล้องกันจะเพิ่มขึ้นตามพลังงานที่เพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่น ในควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ (QED) เราพบ ว่าฟังก์ชันเบตา เป็นบวก โดยใช้ทฤษฎีการรบกวนโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่พลังงานต่ำα ≈ 1/137ในขณะที่ที่ระดับพลังงานของโบซอน Zประมาณ 90  GeVเราวัดได้α ≈ 1/127

ยิ่งไปกว่านั้น ฟังก์ชันเบตาแบบรบกวนบอกเราว่าค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อยังคงเพิ่มขึ้น และ QED จะมีการเชื่อมต่อที่แข็งแกร่งขึ้นที่พลังงานสูง อันที่จริง ค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อดูเหมือนจะกลายเป็นอนันต์ที่พลังงานจำกัดค่าหนึ่ง ปรากฏการณ์นี้ถูกสังเกตครั้งแรกโดยLev Landauและเรียกว่าLandau poleอย่างไรก็ตาม เราไม่สามารถคาดหวังได้ว่าฟังก์ชันเบตาแบบรบกวนจะให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำที่ค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อที่แข็งแกร่ง ดังนั้นจึงเป็นไปได้ว่า Landau pole เป็นสิ่งผิดปกติที่เกิดจากการประยุกต์ใช้ทฤษฎีการรบกวนในสถานการณ์ที่ทฤษฎีนั้นไม่ถูกต้องอีกต่อไป พฤติกรรมการปรับขนาดที่แท้จริงของค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อที่พลังงานสูงยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด ${\displaystyle \alpha }$

ในทฤษฎีเกจแบบไม่เชิงอะเบเลียน ฟังก์ชันเบตาอาจเป็นค่าลบ ดังที่ค้นพบครั้งแรกโดยแฟรงค์ วิลเชคเดวิดโพลิทเซอร์และเดวิด กรอสตัวอย่างเช่นฟังก์ชันเบตาสำหรับควอนตัมโครโมไดนามิกส์ (QCD) และเป็นผลให้ค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อ QCD ลดลงที่พลังงานสูง^{[ 5 ]}

นอกจากนี้ ค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อจะลดลงแบบลอการิทึม ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่เรียกว่าอิสรภาพเชิงอะซิมโทติก (ซึ่งการค้นพบนี้ได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ในปี 2004) ค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อจะลดลงโดยประมาณเป็น

${\displaystyle \alpha _{\text{s}}(k^{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {g_{\text{s}}^{2}(k^{2})}{4\pi }}\approx {\frac {1}{\beta _{0}\ln \left({k^{2}}/{\Lambda ^{2}}\right)}},}$

โดยที่พลังงานของกระบวนการที่เกี่ยวข้องและβ ₀คือค่าคงที่ที่คำนวณครั้งแรกโดย Wilczek, Gross และ Politzer ${\displaystyle k}$

ในทางกลับกัน ค่าการเชื่อมต่อจะเพิ่มขึ้นเมื่อพลังงานลดลง ซึ่งหมายความว่าค่าการเชื่อมต่อจะมีค่ามากที่พลังงานต่ำ และเราไม่สามารถพึ่งพาทฤษฎีการรบกวน ได้อีกต่อไป ดังนั้น ค่าคงที่การเชื่อมต่อที่แท้จริงจึงถูกกำหนดไว้ที่ระดับพลังงานที่กำหนดเท่านั้น ใน QCD โดยทั่วไปจะเลือกระดับมวลของโบซอน Z ซึ่งให้ค่าคงที่การเชื่อมต่อที่แข็งแกร่ง α _s (M _Z ² ) = 0.1179 ± 0.0010 ^{[ 8 ]}ในปี 2023 Atlas วัดค่าα _s (M _Z ² ) = 0.1183 ± 0.0009ซึ่งเป็นค่าที่แม่นยำที่สุดเท่าที่เคยมีมา^{[ 6 ] [ 7 ]}การวัดที่แม่นยำที่สุดมาจากการคำนวณ QCD แบบแลตติส การศึกษาการสลายตัวของเทาเลปตอน รวมถึงการตีความสเปกตรัมโมเมนตัมตามขวางของโบซอน Z ใหม่^{[ 9 ]}

ในควอนตัมโครโมไดนามิกส์ (QCD) ปริมาณ Λ เรียกว่ามาตราส่วน QCDค่าคือ ^{[ 5 ]}สำหรับรสชาติควาร์ก "แอคทีฟ" สามชนิดกล่าวคือเมื่อพลังงาน-โมเมนตัมที่เกี่ยวข้องในกระบวนการอนุญาตให้ผลิตเฉพาะควาร์กอัพ ดาวน์ และสเตรนจ์เท่านั้น แต่ไม่ใช่ควาร์กที่หนักกว่า ซึ่งสอดคล้องกับพลังงานที่ต่ำกว่า 1.275 GeV ที่พลังงานสูงกว่า Λ จะมีค่าน้อยลง เช่นMeV ^{[ 10 ]}เหนือ มวล ควาร์ก ล่าง ประมาณ 5  GeVความหมายของ มาตราส่วน Λ _MSของแผนการลบขั้นต่ำ (MS) ได้รับการอธิบายไว้ในบทความเกี่ยวกับการแปลงมิติ อัตราส่วนมวล โปรตอนต่ออิเล็กตรอนถูกกำหนดโดยมาตราส่วน QCD เป็นหลัก ${\displaystyle \Lambda _{\rm {MS}}=332\pm 17{\text{ MeV}}}$${\displaystyle \Lambda _{\rm {MS}}=210\pm 14}$

ใน ทฤษฎีสตริงนั้นสถานการณ์แตกต่างออกไปอย่างน่าทึ่งเนื่องจากมีไดลาตอน รวมอยู่ ด้วย การวิเคราะห์สเปกตรัมของสตริงแสดงให้เห็นว่าสนามนี้จะต้องมีอยู่ ไม่ว่าจะเป็นในสตริงโบซอนิกหรือ ในภาค NS–NSของซูเปอร์สตริงการใช้ตัวดำเนินการจุดยอด จะเห็นได้ว่าการกระตุ้นสนามนี้เทียบเท่ากับการเพิ่มเทอมให้กับแอคชั่นที่สนามสเกลาร์เชื่อมต่อกับสเกลาร์ริชชีดังนั้นสนามนี้จึงเป็นฟังก์ชันทั้งหมดที่ประกอบด้วยค่าคงที่การเชื่อมต่อ ค่าคงที่การเชื่อมต่อเหล่านี้ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ล่วงหน้า ปรับได้ หรือเป็นพารามิเตอร์สากล พวกมันขึ้นอยู่กับพื้นที่และเวลาในลักษณะที่ถูกกำหนดแบบไดนามิก แหล่งข้อมูลที่อธิบายการเชื่อมต่อของสตริงราวกับว่ามันคงที่ มักจะอ้างถึงค่าคาดหวังสุญญากาศซึ่งค่านี้สามารถมีค่าใดก็ได้ในทฤษฎีโบซอนิกที่ไม่มีซูเปอร์โพเทนเชียล

• การหาปริมาณเชิงแคนอนการปรับค่ามาตรฐาน และการควบคุมมิติ
• ทฤษฎีสนามควอนตัมโดยเฉพาะอย่างยิ่งควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์และควอนตัมโครโมไดนามิกส์
• สนามกลูออน , เทนเซอร์ความแข็งแรงของสนามกลูออน

• ข้อมูลสำหรับประชาชนเกี่ยวกับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ ประจำปี 2004
• ภาควิชาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ มหาวิทยาลัยรัฐจอร์เจีย – ค่าคงที่การเชื่อมโยงสำหรับแรงพื้นฐาน
• หนังสือ "An introduction to quantum field theory" โดย MEPeskin และ HDSchroeder, ISBN 0-201-50397-2