ในเรขาคณิตเชิง พีชคณิต มอร์ฟิซึมของสกีม (schemes)เป็นการสรุปทั่วไปของมอร์ฟิซึมของวาไรตีเชิงพีชคณิต (algebraic varieties ) เช่นเดียวกับที่สกีม (scheme ) เป็นการสรุป ทั่วไป ของวาไรตีเชิงพีชคณิต โดยนิยามแล้ว มอร์ฟิ ซึม คือมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่ของสกีม

มอร์ฟิซึมของสแต็กพีชคณิตเป็นการขยายความของมอร์ฟิซึมของสกีม

ตามนิยามแล้ว มอร์ฟิซึมของสกีมก็คือมอร์ฟิซึมของปริภูมิที่มีวงแหวนเฉพาะที่นั่นเองไอโซมอร์ฟิซึมจึงถูกนิยามตามนั้น

ตามคำจำกัดความ แผนผังจะมีแผนภูมิแอฟฟินแบบเปิด ดังนั้นมอร์ฟิซึมของแผนผังจึงสามารถอธิบายได้ในแง่ของแผนภูมิดังกล่าว (เปรียบเทียบกับคำจำกัดความของมอร์ฟิซึมของวาไรตี้ ) ^{[ 1 ]}ให้ ƒ: X → Yเป็นมอร์ฟิซึมของแผนผัง ถ้าxเป็นจุดของXเนื่องจาก ƒ มีความต่อเนื่อง จึงมีเซตย่อยแอฟฟินแบบเปิดU = Spec AของXที่มีxและV = Spec BของYที่ ƒ( U ) ⊆ Vจากนั้น ƒ: U → Vเป็นมอร์ฟิซึมของแผนผังแอฟฟินและดังนั้นจึงถูกเหนี่ยวนำโดยโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนB → A บางอย่าง (ดู#กรณีแอฟฟิน ) ในความเป็นจริง เราสามารถใช้คำอธิบายนี้เพื่อ "กำหนด" มอร์ฟิซึมของแผนผังได้ กล่าวคือ ƒ: X → Yเป็นมอร์ฟิซึมของแผนผังถ้ามันถูกเหนี่ยวนำในท้องถิ่นโดยโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนระหว่างวงแหวนพิกัดของแผนภูมิแอฟฟิน

• หมายเหตุ : การกำหนดมอร์ฟิซึมของสกีมเป็นมอร์ฟิซึมของปริภูมิวงแหวนนั้นไม่เหมาะสม เหตุผลหนึ่งที่เห็นได้ชัดคือมีตัวอย่างของมอร์ฟิซึมของปริภูมิวงแหวนระหว่างสกีมแอฟฟินซึ่งไม่ได้เกิดจากโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน (ตัวอย่างเช่น^{[ 2 ]}มอร์ฟิซึมของปริภูมิวงแหวน:

  ${\displaystyle \operatorname {Spec} k(x)\to \operatorname {Spec} k[y]_{(y)}=\{\eta =(0),s=(y)\}}$

ที่ส่งจุดเฉพาะไปยังsและมาพร้อมกับ) ในเชิงแนวคิดมากขึ้น คำจำกัดความของมอร์ฟิซึมของสคีมจำเป็นต้องจับภาพ " ธรรมชาติ ท้องถิ่นของ Zariski " หรือการกำหนดตำแหน่งของวงแหวน [ ^{3 ] มุม}มองนี้ (เช่น พื้นที่วงแหวนท้องถิ่น) เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการวางนัยทั่วไป ( โทโพส )${\displaystyle k[y]_{(y)}\to k(x),\,y\mapsto x}$

ให้f  : X → Yเป็นมอร์ฟิซึมของสกีมที่มีแล้ว สำหรับแต่ละจุดxของXโฮโมมอร์ฟิซึมบนสตอล์กคือ: ${\displaystyle \phi :{\mathcal {O}__{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}__{X}}$

${\displaystyle \phi :{\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}}$

เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนเฉพาะที่ กล่าวคือและด้วยเหตุนี้จึงเหนี่ยวนำให้เกิดโฮโมมอร์ฟิซึมแบบฉีดของฟิลด์ตกค้าง${\displaystyle \phi ({\mathfrak {m}}_{f(x)})\subseteq {\mathfrak {m}}_{x}}$

${\displaystyle \phi :k(f(x))\hookrightarrow k(x)}$.

(อันที่จริง φ แมปกำลังที่nของอุดมคติสูงสุดไปยัง กำลังที่ nของอุดมคติสูงสุด และด้วยเหตุนี้จึงเหนี่ยวนำให้เกิดการแมประหว่างปริภูมิโคแทนเจนต์ (ซาริสกี) )

สำหรับแต่ละรูปแบบXจะมีมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ

${\displaystyle \theta :X\to \operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),}$

ซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิซึมก็ต่อเมื่อXเป็นแอฟฟินเท่านั้น θ ได้มาจากการเชื่อมต่อU → target ซึ่งมาจากข้อจำกัดไปยังเซตย่อยแอฟฟินเปิดUของXข้อเท็จจริงนี้สามารถกล่าวได้ดังนี้: สำหรับแผนผังX ใดๆ และวงแหวนA ใดๆ จะมีการจับคู่แบบทั่วถึงตามธรรมชาติ:

${\displaystyle \operatorname {Mor} (X,\operatorname {Spec} (A))\cong \operatorname {Hom} (A,\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})).}$

(พิสูจน์: แผนที่จากขวาไปซ้ายคือการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงที่ต้องการ กล่าวโดยย่อ θ คือการเชื่อมโยง) ${\displaystyle \phi \mapsto \operatorname {Spec} (\phi )\circ \theta }$

ยิ่งไปกว่านั้น ข้อเท็จจริงนี้ (ความสัมพันธ์ผกผัน) สามารถนำมาใช้เพื่อกำหนดลักษณะของแผนผังเชิงเส้นตรงได้กล่าวคือ แผนผังXเป็นแผนผังเชิงเส้นตรงก็ต่อเมื่อ สำหรับแต่ละแผนผังSแผนที่ธรรมชาติ

${\displaystyle \operatorname {Mor} (S,X)\to \operatorname {Hom} (\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),\Gamma (S,{\mathcal {O}}_{S}))}$

เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง^{[ 4 ]} (พิสูจน์: ถ้าแผนที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงแล้วและXจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับตามทฤษฎีบทของโยเนดะส่วนกลับนั้นชัดเจน) ${\displaystyle \operatorname {Mor} (-,X)\simeq \operatorname {Mor} (-,\operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}))}$${\displaystyle \operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

กำหนดให้Sเป็นโครงร่างพื้นฐานจากนั้นมอร์ฟิซึมจะเรียกว่าโครงร่างเหนือSหรือ โครงร่าง Sโดยแนวคิดของคำศัพท์นี้คือโครงร่างXพร้อมกับแผนที่ไปยังโครงร่างพื้นฐานSตัวอย่างเช่นเวกเตอร์บันเดิลE → Sเหนือโครงร่างSคือโครงร่าง S${\displaystyle p:X\to S}$

S- มอ ร์ฟิซึมจากp : X → Sไปยังq : Y → Sคือมอร์ฟิซึม ƒ: X → Yของสกีมที่p = q ∘ ƒ เมื่อกำหนดS-สกีม แล้ว การมองSว่าเป็นS- สกี ม เหนือตัวมันเองผ่านแผนที่เอกลักษณ์S-มอร์ฟิซึมจะเรียกว่าS-เซกชันหรือเรียกสั้น ๆ ว่าเซกชัน${\displaystyle X\to S}$${\displaystyle S\to X}$

S -scheme ทั้งหมดประกอบกันเป็นหมวดหมู่: วัตถุในหมวดหมู่นี้คือS -scheme และมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่นี้คือS-มอร์ฟิซึม (หมวดหมู่นี้คือหมวดหมู่สไลซ์ของหมวดหมู่ของ schemes ที่มีวัตถุพื้นฐานคือS )

ให้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริง และให้ ${\displaystyle \varphi :B\to A}$

${\displaystyle {\begin{cases}\varphi ^{a}:\operatorname {Spec} A\to \operatorname {Spec} B,\\{\mathfrak {p}}\mapsto \varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})\end{cases}}}$

ให้เป็นแผนที่เหนี่ยวนำ จากนั้น

• ${\displaystyle \varphi ^{a}}$เป็นแบบต่อเนื่อง^{[ 5 ]}
• ถ้าเป็นการส่งทั่วถึง ก็จะเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมไปยังภาพของมัน^{[ 6 ]}${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi ^{a}}$
• สำหรับอุดมคติIของA ทุก ^{ประการ} [ ^{7 ]}${\displaystyle {\overline {\varphi ^{a}(V(I))}}=V(\varphi ^{-1}(I)).}$
• ${\displaystyle \varphi ^{a}}$มีภาพหนาแน่นก็ต่อเมื่อเคอร์เนลของประกอบด้วย สมาชิกที่ เป็นนิลโพเทนต์ (พิสูจน์: สูตรก่อนหน้าโดยที่I = 0) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อBถูกลดรูปมีภาพหนาแน่นก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันหนึ่ง ต่อหนึ่ง${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi ^{a}}$${\displaystyle \varphi }$

ให้f : Spec A → Spec B เป็นมอร์ฟิซึมของสกีมระหว่างสกีมเชิงเส้นตรงที่มีแผนที่พูลแบ็ก: B → Aการที่มันเป็นมอร์ฟิซึมของปริภูมิที่มีวงแหวนเฉพาะที่นั้นแปลได้เป็นข้อความต่อไปนี้: ถ้าเป็นจุดของSpec A${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x={\mathfrak {p}}_{x}}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{f(x)}=\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}}_{x})}$.

(การพิสูจน์: โดยทั่วไปประกอบด้วยgในAที่มีภาพเป็นศูนย์ในฟิลด์เศษเหลือk ( x ) นั่นคือ มีภาพในอุดมคติสูงสุดดังนั้น เมื่อทำงานในวงแหวนท้องถิ่นถ้าแล้วเป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ และ ก็เป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์เช่นกัน) ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{x}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$${\displaystyle g(f(x))=0\Rightarrow \varphi (g)\in \varphi ({\mathfrak {m}}_{f(x))})\subseteq {\mathfrak {m}}_{x}\Rightarrow g\in \varphi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})}$${\displaystyle g(f(x))\neq 0}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \varphi (g)}$

ดังนั้น โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนแต่ละอันB → Aจะกำหนดมอร์ฟิซึมของแผนผัง Spec A → Spec Bและในทางกลับกัน มอร์ฟิซึมทั้งหมดระหว่างแผนผังเหล่านั้นก็เกิดขึ้นในลักษณะเดียวกันนี้

• ให้Rเป็นฟิลด์หรือสำหรับแต่ละR-พีชคณิตAการระบุองค์ประกอบของAเช่นfในAคือการให้โฮโมมอร์ฟิซึมของR- พีชคณิต เช่นนั้นดังนั้นถ้าXเป็นสกีมเหนือS = Spec Rแล้วการใช้และใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า Spec เป็นตัวผกผันขวาของฟังก์ชันส่วนทั่วโลก เราจะได้โดยที่โปรดสังเกตว่าความเท่าเทียมกันนั้นเป็นความเท่าเทียมกันของริง${\displaystyle \mathbb {Z} .}$${\displaystyle R[t]\to A}$${\displaystyle t\mapsto f}$${\displaystyle A=\operatorname {Hom} _{R-{\text{alg}}}(R[t],A)}$${\displaystyle A=\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$$${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=\operatorname {Mor} _{S}(X,\mathbb {A} _{S}^{1})}$$${\displaystyle \mathbb {A} _{S}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])}$
• ในทำนองเดียวกัน สำหรับS -scheme X ใดๆ จะมีการระบุกลุ่มการคูณดังนี้: โดยที่คือscheme ของกลุ่ม การ คูณ$${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=\operatorname {Mor} _{S}(X,\mathbb {G} _{m})}$$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}=\operatorname {Spec} (R[t,t^{-1}])}$
• ตัวอย่างของมอร์ฟิซึมจำนวนมากมาจากตระกูลที่กำหนดพารามิเตอร์โดยปริภูมิฐานบางอย่าง ตัวอย่างเช่นเป็นมอร์ฟิซึมเชิงโปรเจกทีฟของวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟ โดยที่ปริภูมิฐานกำหนดพารามิเตอร์ควอดริกใน$${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y][a,b,c]}{(ax^{2}+bxy+cy^{2})}}\right)\to {\text{Proj}}(\mathbb {C} [a,b,c])=\mathbb {P} _{a,b,c}^{2}}$$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

เมื่อกำหนดมอร์ฟิซึมของสกีมเหนือสกีมS แล้ว มอร์ฟิซึมไปยังผลคูณไฟเบอร์ที่เกิดจากเอกลักษณ์และf เรียกว่ามอร์ฟิซึมกราฟของf ส่วนมอ ร์ฟิซึมกราฟของเอกลักษณ์เรียกว่า มอร์ฟิ ซึม แนวทแยง${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X\to X\times _{S}Y}$${\displaystyle 1_{X}:X\to X}$

มอร์ฟิซึมประเภทจำกัดเป็นหนึ่งในเครื่องมือพื้นฐานสำหรับการสร้างตระกูลของวาไรตี้ มอร์ฟิซึมจะเป็นประเภทจำกัดก็ต่อเมื่อมีคัฟเวอร์อยู่ซึ่งไฟเบอร์สามารถถูกคลุมด้วยสกีมเชิงเส้นจำนวนจำกัดทำให้มอร์ฟิซึมของวงแหวนที่เหนี่ยวนำกลายเป็นมอร์ฟิซึมประเภทจำกัดตัวอย่างทั่วไปของมอร์ฟิซึมประเภทจำกัดคือตระกูลของสกีม ตัวอย่างเช่น ${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (A_{i})\to S}$${\displaystyle X\times _{S}\operatorname {Spec} (A_{i})}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (B_{ij})}$${\displaystyle A_{i}\to B_{ij}}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [x,y,z]}{(x^{n}+zy^{n},z^{5}-1)}}\right)\to \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [z]}{(z^{5}-1)}}\right)}$

เป็นมอร์ฟิซึมประเภทจำกัด ตัวอย่างง่ายๆ ที่ไม่ใช่มอร์ฟิซึมประเภทจำกัดคือโดยที่เป็นฟิลด์ อีกตัวอย่างหนึ่งคือ ยูเนียนที่ไม่ทับซ้อนกันแบบอนันต์ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]))\to \operatorname {Spec} (k)}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \coprod ^{\infty }X\to X}$

มอร์ฟิซึมของสกีมเป็นการฝังตัวแบบปิดก็ต่อเมื่อเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง: ${\displaystyle i:Z\to X}$

1. ${\displaystyle i}$นิยามโฮมีโอเมอร์ฟิซึมของหนึ่งไปยังภาพของมัน${\displaystyle Z}$
2. ${\displaystyle i^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$เป็นฟังก์ชันทั่วถึง (surjective)

เงื่อนไขนี้เทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้: เมื่อกำหนดเซตเปิดเชิงเส้นตรงจะมีอุดมคติอยู่ตัวหนึ่งที่ทำให้ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)=U\subseteq X}$${\displaystyle I\subseteq R}$${\displaystyle i^{-1}(U)=\operatorname {Spec} (R/I)}$

แน่นอนว่า ผลหาร (แบบมีระดับ) ใดๆ ก็ตามจะกำหนดโครงร่างย่อยของ( ) พิจารณาโครงร่างกึ่งแอฟฟินและเซตย่อยของแกนที่อยู่ใน จากนั้น ถ้าเราเลือกเซตย่อยแบบเปิดชีฟอุดมคติคือในขณะที่บนเซตเปิดแอฟฟินนั้นไม่มีอุดมคติ เนื่องจากเซตย่อยไม่ตัดกับแผนภูมินี้ ${\displaystyle R/I}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle \operatorname {Proj} (R)}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}-\{0\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x,y,y^{-1}])}$${\displaystyle (x)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x,y,x^{-1}])}$

มอร์ฟิซึมแบบแยกส่วนกำหนดตระกูลของสกีมซึ่งคล้ายคลึงกับ ปริภูมิทอพอโลยีแบบ เฮาส์ดอร์ฟ ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดมอร์ฟิซึมแบบแยกส่วนในปริภูมิวิเคราะห์ที่เกี่ยวข้องทั้งสองจะเป็นเฮาส์ดอร์ฟ เรากล่าวว่ามอร์ฟิซึมของสกีมเป็นแบบแยกส่วนหากมอร์ฟิซึมแนวทแยงเป็นการฝังแบบปิด ในทางทอพอโลยี เงื่อนไขที่คล้ายคลึงกันสำหรับปริภูมิที่จะเป็นเฮาส์ดอร์ฟคือ ถ้าเซตแนวทแยง ${\displaystyle X\to S}$${\displaystyle {\text{Sch}}/\mathbb {C} }$${\displaystyle X(\mathbb {C} )^{an}\to S(\mathbb {C} )^{an}}$${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle \Delta _{X/S}:X\to X\times _{S}X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Delta =\{(x,x)\in X\times X\}}$

เป็นเซตย่อยปิดของอย่างไรก็ตาม แผนผังส่วนใหญ่ไม่ใช่แบบเฮาส์ดอร์ฟในฐานะปริภูมิเชิงทอพอโลยี เนื่องจากทอพอโลยีซาริสกีโดยทั่วไปไม่ใช่แบบเฮาส์ดอร์ฟอย่างมาก ${\displaystyle X\times X}$

มอร์ฟิซึมส่วนใหญ่ที่พบในทฤษฎีสกีมจะเป็นแบบแยกส่วน ตัวอย่างเช่น พิจารณาสกีมเชิงเส้นตรง

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\right)}$

เนื่องจากรูปแบบผลิตภัณฑ์คือ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} ).}$

${\displaystyle X\times _{\mathbb {C} }X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\otimes _{\mathbb {C} }{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\right)}$

เส้นอุดมคติที่กำหนดแนวทแยงถูกสร้างขึ้นโดย

${\displaystyle x\otimes 1-1\otimes x,y\otimes 1-1\otimes y}$

การแสดงให้เห็นว่าโครงร่างแนวทแยงเป็นแบบแอฟฟินและปิด การคำนวณแบบเดียวกันนี้สามารถใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าโครงร่างเชิงโปรเจกทีฟก็แยกออกจากกันได้เช่นกัน

ข้อควรระวังเพียงอย่างเดียวคือเมื่อทำการเชื่อมต่อแผนผังหลายๆ แบบเข้าด้วยกันตัวอย่างเช่น หากเราพิจารณาแผนภาพของการรวมเข้าด้วยกัน

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} (R[x,x^{-1}])&&\\&\searrow &\\&&\operatorname {Spec} (R[x])\\&\nearrow &\\\operatorname {Spec} (R[x,x^{-1}])&&\end{matrix}}}$

จากนั้นเราจะได้อนาล็อกเชิงทฤษฎีโครงร่างของเส้นคลาสสิกที่มีจุดกำเนิดสองจุด

มอร์ฟิซึมเรียกว่าเป็น มอร์ฟิซึม ที่เหมาะสมหากเป็นมอ ร์ฟิซึมที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้${\displaystyle f:X\to S}$

1. แยกจากกัน
2. ประเภทจำกัด
3. ปิดให้บริการทั่วโลก

เงื่อนไขสุดท้ายหมายความว่า เมื่อกำหนดมอร์ฟิซึมแล้วมอร์ฟิซึมการเปลี่ยนฐานจะเป็นการฝังตัวแบบปิด ตัวอย่างมอร์ฟิซึมที่เหมาะสมส่วนใหญ่ที่รู้จักกันนั้นเป็นแบบโปรเจคทีฟ แต่ตัวอย่างของวาไรตี้ที่เหมาะสมซึ่งไม่ใช่แบบโปรเจคทีฟสามารถพบได้โดยใช้เรขาคณิตแบบทอริก ${\displaystyle S'\to S}$${\displaystyle S'\times _{S}X}$

มอร์ฟิซึมเชิงโปรเจกทีฟกำหนดตระกูลของวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟบนสกีมฐานที่กำหนดไว้ โปรดทราบว่ามีคำจำกัดความสองแบบ: คำจำกัดความของ Hartshorne ซึ่งระบุว่ามอร์ฟิซึมเรียกว่าเชิงโปรเจกทีฟหากมีการฝังตัวแบบปิดและ คำจำกัดความ ของ EGAซึ่งระบุว่าสกีมเป็นเชิงโปรเจกทีฟหากมี โมดูล กึ่งสอดคล้อง -โมดูลที่มีชนิดจำกัดซึ่งมีการฝังตัวแบบปิด คำจำกัดความที่สองมีประโยชน์เพราะลำดับที่แน่นอนของ-โมดูลสามารถใช้ในการกำหนดมอร์ฟิซึมเชิงโปรเจกทีฟได้ ${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}^{n}=\mathbb {P} ^{n}\times S}$${\displaystyle X\in {\text{Sch}}/S}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$${\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$

มอร์ฟิซึมเชิงโปรเจคทีฟกำหนดโครงร่างเชิงโปรเจคทีฟ ตัวอย่างเช่น ${\displaystyle f:X\to \{*\}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{n}+y^{n}-z^{n})}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} )}$

กำหนดเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟที่มีจีนัส เหนือ${\displaystyle (n-1)(n-1)/2}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

ถ้าเรากำหนดให้เป็นมอร์ฟิซึมเชิงโปรเจกทีฟ ${\displaystyle S=\mathbb {A} _{t}^{1}}$

${\displaystyle {\underline {\operatorname {Proj} }}_{S}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{S}[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]}{\left(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5}-tx_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\right)}}\right)\to S}$

กำหนดกลุ่มของแมนิโฟลด์ Calabi-Yauที่เสื่อมสภาพ

ตัวอย่างที่มีประโยชน์อีกอย่างหนึ่งของมอร์ฟิซึมเชิงโปรเจกทีฟคือดินสอเลฟ เชตซ์ (Lefschetz pencils ) ซึ่งเป็นมอร์ฟิซึมเชิงโปรเจกทีฟเหนือฟิลด์บางฟิลด์เช่น เมื่อกำหนดพื้นผิวเรียบที่กำหนดโดยพหุนามเอกพันธุ์จะมีมอร์ฟิซึมเชิงโปรเจกทีฟ ${\displaystyle \pi :X\to \mathbb {P} _{k}^{1}=\operatorname {Proj} (k[s,t])}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X_{1},X_{2}\subseteq \mathbb {P} _{k}^{n}}$${\displaystyle f_{1},f_{2}}$

${\displaystyle {\underline {\operatorname {Proj} }}_{\mathbb {P} ^{1}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf_{1}+tf_{2})}}\right)\to \mathbb {P} ^{1}}$

ให้ดินสอ

ตัวอย่างคลาสสิกที่ดีของโครงร่างเชิงโปรเจกทีฟคือการสร้างมอร์ฟิซึมเชิงโปรเจกทีฟซึ่งแยกตัวประกอบผ่านม้วนตรรกะ ตัวอย่างเช่น พิจารณาและกลุ่มเวกเตอร์สิ่งนี้สามารถใช้สร้างกลุ่ม-bundle เหนือ ได้ หากเราต้องการสร้างมอร์ฟิซึมเชิงโปรเจกทีฟโดยใช้ชีฟนี้ เราสามารถใช้ลำดับที่แน่นอน เช่น ${\displaystyle S=\mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}={\mathcal {O}}_{S}\oplus {\mathcal {O}}_{S}\oplus {\mathcal {O}}_{S}(3)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}})}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}(-d)\oplus {\mathcal {O}}_{S}(-e)\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0}$

ซึ่งกำหนดชีฟโครงสร้างของแผนผังเชิงโปรเจกทีฟใน${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}}).}$

มอร์ฟิซึมแบบราบมีนิยามทางพีชคณิต แต่มีการตีความทางเรขาคณิตที่ชัดเจนมาก: ตระกูลแบบราบสอดคล้องกับตระกูลของวาไรตี้ที่เปลี่ยนแปลง "อย่างต่อเนื่อง" ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{(xy-t))}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])}$

เป็นกลุ่มของเส้นโค้งควอดริกเชิงเส้นเรียบที่ลดรูปเป็นตัวหารตัดปกติ

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(xy)}}\right)}$

ณ จุดเริ่มต้น

คุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งที่มอร์ฟิซึมแบบราบต้องมีคือ มิติของไฟเบอร์ต้องเท่ากัน ตัวอย่างที่ไม่ใช่มอร์ฟิซึมแบบราบอย่างง่ายๆ ก็คือ โบลว์อัพ เนื่องจากไฟเบอร์เป็นได้ทั้งจุดหรือสำเนาของบางสิ่ง ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

ให้เป็นมอร์ฟิซึมของสกีม เรากล่าวว่าเป็นแบบราบที่จุด ถ้ามอร์ฟิซึมที่เหนี่ยวนำให้ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชันที่แน่นอนดังนั้นเป็นแบบราบถ้ามันเป็นแบบราบที่ทุกจุดของ นอกจากนี้มันยังเป็นแบบราบอย่างซื่อสัตย์ถ้ามันเป็นมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึง ${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f(x)}\to {\mathcal {O}}_{x}}$${\displaystyle -\otimes _{{\mathcal {O}}_{f(x)}}{\mathcal {O}}_{x}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

เมื่อใช้สัญชาตญาณทางเรขาคณิตของเรา ก็เห็นได้ชัดว่า

${\displaystyle f:\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])}$

ไม่แบนราบเนื่องจากไฟเบอร์เหนือจุดนั้นรวมกับไฟเบอร์ที่เหลือเป็นเพียงจุดเดียว แต่เราสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ได้โดยใช้คำนิยามด้วยพีชคณิตเฉพาะที่: พิจารณาไอเดียลเนื่องจากเราได้มอร์ฟิซึมพีชคณิตเฉพาะที่ ${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(x)\in \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy)).}$${\displaystyle f({\mathfrak {p}})=(x)\in \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])}$

${\displaystyle f_{\mathfrak {p}}:\left(\mathbb {C} [x]\right)_{(x)}\to \left(\mathbb {C} [x,y]/(xy)\right)_{(x)}}$

ถ้าเราใช้เทนเซอร์

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} [x]_{(x)}{\overset {\cdot x}{\longrightarrow }}\mathbb {C} [x]_{(x)}}$

ด้วยแผนที่ ${\displaystyle (\mathbb {C} [x,y]/(xy))_{(x)}}$

${\displaystyle (\mathbb {C} [x,y]/(xy)))_{(x)}{\xrightarrow {\cdot x}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))_{(x)}}$

มีเคอร์เนลที่ไม่เป็นศูนย์เนื่องจากการหายไปของซึ่งแสดงให้เห็นว่ามอร์ฟิซึมนั้นไม่แบนราบ ${\displaystyle xy}$

มอร์ฟิซึมของแผนผังเชิงเส้นตรงจะไม่มีกิ่งก้านสาขาหากเราสามารถใช้สิ่งนี้สำหรับกรณีทั่วไปของมอร์ฟิซึมของแผนผังได้เรากล่าวว่าไม่มีกิ่งก้านสาขาที่จุดถ้ามีบริเวณใกล้เคียงแบบเปิดเชิงเส้นตรงและบริเวณแบบเปิดเชิงเส้นตรงที่ทำให้และจากนั้น มอร์ฟิซึมจะไม่มีกิ่งก้านสาขาหากไม่มีกิ่งก้านสาขาที่ทุกจุดใน ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \Omega _{X/Y}=0}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle V\subseteq Y}$${\displaystyle f(U)\subseteq V}$${\displaystyle \Omega _{U/V}=0.}$${\displaystyle X}$

ตัวอย่างหนึ่งของมอร์ฟิซึมที่แบนราบและโดยทั่วไปไม่แตกแขนง ยกเว้นที่จุดใดจุดหนึ่ง คือ

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])}$

เราสามารถคำนวณค่าความแตกต่างสัมพัทธ์ ได้ โดยใช้ลำดับดังกล่าว

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}\otimes _{\mathbb {C} [t]}\mathbb {C} [t]dt\to \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dt\oplus {\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dx\right)/(nx^{n-1}dx-dt)\to \Omega _{X/Y}\to 0}$

แสดง

${\displaystyle \Omega _{X/Y}\cong \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dx\right)/(x^{n-1}dx)\neq 0}$

ถ้าเราพิจารณาไฟเบอร์แล้ว มอร์ฟิซึมจะแตกแขนงออกไปเนื่องจาก ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \Omega _{X_{0}/\mathbb {C} }=\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{x^{n}}}dx\right)/(x^{n-1}dx)}$

มิฉะนั้นเราจะมี

${\displaystyle \Omega _{X_{\alpha }/\mathbb {C} }=\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{(x^{n}-\alpha )}}dx\right)/(x^{n-1}dx)\cong {\frac {\mathbb {C} [x]}{(\alpha )}}dx\cong 0}$

แสดงให้เห็นว่ามันไม่แตกแขนงออกไปในที่อื่นๆ

มอร์ฟิซึมของสกีมเรียกว่าเอทาล (étale)ถ้ามันแบนราบและไม่แตกแขนง สิ่งเหล่านี้เป็นอนาล็อกทางพีชคณิตเรขาคณิตของปริภูมิปกคลุม (covering spaces) ตัวอย่างหลักสองตัวอย่างที่ควรนึกถึงคือปริภูมิปกคลุมและ ส่วนขยายฟิลด์แยกส่วน จำกัด (finite separable field extensions ) ตัวอย่างในกรณีแรกสามารถสร้างได้โดยการพิจารณาการปกคลุมแบบแตกแขนง (branched coverings)และจำกัดให้อยู่ในโลคัสที่ไม่แตกแขนง ${\displaystyle f:X\to Y}$

ตามนิยาม ถ้าXและSเป็นสกีม (เหนือสกีมพื้นฐานหรือริงB บางตัว ) แล้วมอร์ฟิซึมจากSไปยังX (เหนือB ) จะเป็น จุด SของXและเราสามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle X(S)=\{f\mid f:S\to X{\text{ over }}B\}}$

สำหรับเซตของจุดS ทั้งหมดของ Xแนวคิดนี้เป็นการขยายแนวคิดของคำตอบของระบบสมการพหุนามในเรขาคณิตพีชคณิตแบบคลาสสิก แท้จริงแล้ว ให้X = Spec( A ) โดยที่สำหรับพีชคณิตB Rการให้ จุด RของXคือการให้โฮโมมอร์ฟิซึมพีชคณิตA → Rซึ่งในทางกลับกันก็เท่ากับการให้โฮโมมอร์ฟิซึม ${\displaystyle A=B[t_{1},\dots ,t_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})}$

${\displaystyle B[t_{1},\dots ,t_{n}]\to R,\,t_{i}\mapsto r_{i}}$

ที่ฆ่าปลาดังนั้นจึงมีการระบุตัวตนตามธรรมชาติ _:

${\displaystyle X(\operatorname {Spec} R)=\{(r_{1},\dots ,r_{n})\in R^{n}|f_{1}(r_{1},\dots ,r_{n})=\cdots =f_{m}(r_{1},\dots ,r_{n})=0\}.}$

ตัวอย่าง : ถ้าXเป็นS -scheme ที่มีแผนที่โครงสร้าง π: X → Sแล้วS -point ของX (เหนือS ) ก็เหมือนกับส่วนตัดของ π

ในทฤษฎีหมวดหมู่บทพิสูจน์ของโยเนดะกล่าวว่า เมื่อกำหนดหมวดหมู่Cแล้ว ฟังก์ชันคอนทราแวเรียนต์

${\displaystyle C\to {\mathcal {P}}(C)=\operatorname {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Sets} ),\,X\mapsto \operatorname {Mor} (-,X)}$

มีความซื่อสัตย์อย่างสมบูรณ์ (โดยที่หมายถึงหมวดหมู่ของพรีชีฟบนC ) การนำทฤษฎีบทเสริมไปใช้กับC = หมวดหมู่ของสกีมเหนือBจะได้ว่า สกีมเหนือBถูกกำหนดโดยจุดต่างๆ ของมัน ${\displaystyle {\mathcal {P}}(C)}$

ปรากฏว่าในความเป็นจริงแล้ว การพิจารณาจุดS ที่มีเพียงแค่แผนผังเชิงเส้นตรง S ก็เพียงพอ แล้ว เนื่องจากแผนผังและมอร์ฟิซึมระหว่างจุดเหล่านั้นได้มาจากการเชื่อมต่อแผนผังเชิงเส้นตรงและมอร์ฟิซึมระหว่างจุดเหล่านั้นเข้าด้วยกัน ด้วยเหตุนี้ โดยทั่วไปจึงมักเขียนX ( R ) = X (SpecR )และมองXเป็นฟังก์ชันจากหมวดหมู่ของ พีชคณิต B แบบสลับ ที่ไปยัง เซต

ตัวอย่าง : กำหนดให้S -schemes X , Yที่ มีแผนที่โครงสร้างp , q

${\displaystyle (X\times _{S}Y)(R)=X(R)\times _{S(R)}Y(R)=\{(x,y)\in X(R)\times Y(R)\mid p(x)=q(y)\}}$.

ตัวอย่าง : โดยที่Bยังคงหมายถึงวงแหวนหรือแผนผัง สำหรับแต่ละแผนผังB Xจะมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งตามธรรมชาติ

${\displaystyle \mathbf {P} _{B}^{n}(X)=}${คลาสไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มเส้นตรงLบนXพร้อมด้วย ส่วนตัดทั่วโลก n + 1 ส่วนที่สร้างL };

อันที่จริง ส่วนs _iของLกำหนดมอร์ฟิซึม(ดูเพิ่มเติมที่การสร้างโปรเจกต์ #โปรเจกต์ทั่วโลก ) ${\displaystyle X\to \mathbf {P} _{B}^{n},\,x\mapsto (s_{0}(x):\dots :s_{n}(x))}$

หมายเหตุ : มุมมองข้างต้น (ซึ่งเรียกว่าฟังก์ชันของจุดและเป็นผลงานของ Grothendieck) มีผลกระทบอย่างมากต่อรากฐานของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ตัวอย่างเช่น การทำงานกับฟังก์ชัน (เสมือน) ที่มีค่าเป็นหมวดหมู่ แทนที่จะเป็นฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเซต นำไปสู่แนวคิดของสแต็กซึ่งช่วยให้สามารถติดตามมอร์ฟิซึมระหว่างจุด (เช่น มอร์ฟิซึมระหว่างมอร์ฟิซึม) ได้

แผนที่เชิงตรรกะของสกีมถูกนิยามในลักษณะเดียวกันสำหรับวาไรตี้ ดังนั้น แผนที่เชิงตรรกะจากสกีมลดรูปXไปยังสกีมแยกYคือชั้นสมมูลของคู่ที่ประกอบด้วยเซตย่อยเปิดหนาแน่นUของXและมอร์ฟิซึมถ้าXไม่สามารถลดรูปได้ฟังก์ชันเชิงตรรกะบนXตามคำนิยาม คือแผนที่เชิงตรรกะจากXไปยังเส้นแอฟฟินหรือเส้นโปรเจคทีฟ${\displaystyle (U,f_{U})}$${\displaystyle f_{U}:U\to Y}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}.}$

แผนที่เชิงตรรกะจะครอบงำก็ต่อเมื่อมันส่งจุดทั่วไปไปยังจุดทั่วไปเท่านั้น^{[ 8 ]}

โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนระหว่างฟิลด์ฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องเหนี่ยวนำแผนที่ตรรกะเด่น (แม้แต่แผนที่ตรรกะ) ^{[ 9 ]}ตัวอย่างเช่น Spec k [ x ] และ Spec k ( x ) มีฟิลด์ฟังก์ชันเดียวกัน (นั่นคือk ( x )) แต่ไม่มีแผนที่ตรรกะจากตัวแรกไปยังตัวหลัง อย่างไรก็ตาม เป็นความจริงที่ว่าการรวมฟิลด์ฟังก์ชันของวาไรตี้พีชคณิตใด ๆ จะเหนี่ยวนำแผนที่ตรรกะเด่น (ดูมอร์ฟิซึมของวาไรตี้พีชคณิต#คุณสมบัติ )

• การฝังแบบปกติ
• เซตที่สร้างได้ (โทโพโลยี)
• โฮมีโอมอร์ฟิซึมสากล