ลำดับ (หนังสือ)
 H. Halberstam และ KF Roth: Sequences ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2, Springer, นิวยอร์ก, ไฮเดลเบิร์ก, เบอร์ลิน, 1983 | |
| ผู้เขียน | เอช. ฮัลเบอร์สแตม และ เคเอฟ รอธ |
|---|---|
| สำนักพิมพ์ | สำนักพิมพ์ Clarendon Press ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1; สำนักพิมพ์ Springer, นิวยอร์ก ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2 |
เผยแพร่เป็นภาษาอังกฤษ | พ.ศ. 2509 ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1; 2526 พิมพ์ครั้งที่ 2. |
| ISBN | 9781461382294ฉบับที่ 2 |
| โอซีแอลซี | 877577079 ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1; 7330436683 ฉบับที่ 2. |
Sequencesเป็นหนังสือ คณิตศาสตร์ เกี่ยวกับลำดับจำนวนเต็มเขียนโดย Heini Halberstamและ Klaus Rothตีพิมพ์ในปี 1966 โดย Clarendon Pressและตีพิมพ์ซ้ำในปี 1983 พร้อมการแก้ไขเล็กน้อยโดย Springer-Verlag [ 1 ] [ 2 ] แม้ว่าจะวางแผนไว้ให้เป็นส่วนหนึ่งของชุดสองเล่ม [ 3 ] [ 4 ] แต่ เล่มที่สองก็ไม่เคยได้รับการตีพิมพ์
หัวข้อ
หนังสือเล่มนี้มีห้าบท[ 3 ]แต่ละบทค่อนข้างสมบูรณ์ในตัวเอง[ 4 ] [ 5 ]และจัดเรียงอย่างหลวมๆ ตามเทคนิคต่างๆ ที่ใช้ในการแก้ปัญหาในสาขานี้[ 4 ]พร้อมภาคผนวกเกี่ยวกับเนื้อหาพื้นฐานในทฤษฎีจำนวนที่จำเป็นสำหรับการอ่านหนังสือเล่มนี้[ 3 ]แทนที่จะสนใจลำดับเฉพาะ เช่นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนกำลังสองหัวข้อของหนังสือเล่มนี้คือทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของลำดับโดยทั่วไป[ 6 ] [ 7 ]
บทแรกพิจารณาความหนาแน่นตามธรรมชาติของลำดับ และแนวคิดที่เกี่ยวข้อง เช่นความหนาแน่นของ Schnirelmannพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความหนาแน่นของเซตผลรวมของลำดับ รวมถึงทฤษฎีบทของ Mann ที่ว่าความหนาแน่นของ Schnirelmann ของเซตผลรวมมีค่าอย่างน้อยเท่ากับผลรวมของความหนาแน่นของ Schnirelmann และทฤษฎีบทของ Kneserเกี่ยวกับโครงสร้างของลำดับที่มีความหนาแน่นเชิงเส้นกำกับล่างเป็นแบบย่อยบวก ศึกษาองค์ประกอบสำคัญซึ่งเป็นลำดับที่เมื่อบวกกับลำดับอื่นที่มีความหนาแน่นของ Schnirelmann ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง จะทำให้ความหนาแน่นเพิ่มขึ้น พิสูจน์ว่าฐานบวกเป็นองค์ประกอบสำคัญ และยกตัวอย่างองค์ประกอบสำคัญที่ไม่ใช่ฐานบวก[ 3 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]
บทที่สองเกี่ยวข้องกับจำนวนการแสดงแทนของจำนวนเต็มเป็นผลรวมขององค์ประกอบจำนวนหนึ่งจากลำดับที่กำหนด และรวมถึงทฤษฎีบท Erdős–Fuchsซึ่งระบุว่าจำนวนการแสดงแทนนี้ไม่สามารถใกล้เคียงกับฟังก์ชันเชิงเส้นได้ บทที่สามยังคงศึกษาจำนวนการแสดงแทนโดยใช้วิธีความน่าจะเป็นโดยรวมถึงทฤษฎีบทที่ว่ามีฐานบวกอันดับสองซึ่งจำนวนการแสดงแทนเป็นลอการิทึม ซึ่งต่อมาได้รับการเสริมความแข็งแกร่งให้กับทุกอันดับในทฤษฎีบท Erdős–Tetali [ 3 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]
หลังจากบทเกี่ยวกับทฤษฎีตะแกรงและตะแกรงขนาดใหญ่ (ซึ่งน่าเสียดายที่ขาดการพัฒนาที่สำคัญที่เกิดขึ้นไม่นานหลังจากตีพิมพ์หนังสือ) [ 6 ] [ 7 ]บทสุดท้ายจะกล่าวถึงลำดับดั้งเดิมของจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นลำดับเช่นจำนวนเฉพาะที่ไม่มีสมาชิกใดหารลงตัวด้วยสมาชิกอื่น บทนี้รวมถึงทฤษฎีบทของ Behrendที่กล่าวว่าลำดับดังกล่าวต้องมีความหนาแน่นเชิงลอการิทึมเป็นศูนย์ และการสร้างลำดับดั้งเดิมที่มีความหนาแน่นตามธรรมชาติใกล้เคียงกับ 1/2 ซึ่งดูเหมือนจะขัดแย้งกันโดยAbram Samoilovitch Besicovitchนอกจากนี้ยังกล่าวถึงลำดับที่ประกอบด้วยจำนวนเต็มคูณทั้งหมดของสมาชิกทฤษฎีบท Davenport–Erdősที่กล่าวว่าความหนาแน่นตามธรรมชาติและเชิงลอการิทึมที่ต่ำกว่ามีอยู่และเท่ากันสำหรับลำดับดังกล่าว และการสร้างลำดับของตัวคูณที่ไม่มีความหนาแน่นตามธรรมชาติที่เกี่ยวข้องของ Besicovitch [ 3 ] [ 6 ] [ 7 ]
ผู้ชมและการตอบรับ
หนังสือเล่มนี้มุ่งเป้าไปที่นักคณิตศาสตร์และนักศึกษาคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ไม่เหมาะสำหรับผู้อ่านทั่วไป[ 4 ]อย่างไรก็ตาม ผู้วิจารณ์JWS Casselsแนะนำว่าอาจเข้าถึงได้สำหรับนักศึกษาระดับปริญญาตรีขั้นสูงในสาขาคณิตศาสตร์[ 6 ]
ผู้วิจารณ์ EM Wright ตั้งข้อสังเกตว่าหนังสือเล่มนี้มี "งานวิจัยที่ถูกต้องแม่นยำ" "การนำเสนอที่อ่านง่ายที่สุด" และ "หัวข้อที่น่าสนใจ" [ 5 ]ผู้วิจารณ์Marvin Knoppอธิบายว่าหนังสือเล่มนี้ "ยอดเยี่ยม" และเป็นหนังสือเล่มแรกที่ให้ภาพรวมของคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบบวก[ 4 ]ในทำนองเดียวกัน แม้ว่า Cassels จะกล่าวถึงการมีอยู่ของเนื้อหาเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบบวกในหนังสือAdditive Zahlentheorie (Ostmann, 1956) และAddition Theorems (Mann, 1965) แต่เขาเรียกหนังสือเล่มนี้ว่า "บัญชีที่เชื่อมโยงกันครั้งแรก" ของสาขานี้[ 6 ]และ ผู้วิจารณ์ Harold Starkตั้งข้อสังเกตว่าเนื้อหาส่วนใหญ่ที่ครอบคลุมโดยหนังสือเล่มนี้ "มีความเป็นเอกลักษณ์ในรูปแบบหนังสือ" [ 7 ] Knopp ยังยกย่องหนังสือเล่มนี้ในหลายกรณีที่แก้ไขข้อผิดพลาดหรือข้อบกพร่องในแหล่งข้อมูลต้นฉบับที่สำรวจ[ 4 ]ผู้วิจารณ์Harold Starkเขียนว่าหนังสือเล่มนี้ "ควรเป็นเอกสารอ้างอิงมาตรฐานในสาขานี้ไปอีกหลายปี" [ 7 ]