เริ่มต้นด้วยการพิจารณาเส้นเชือกที่มีความยาวอนันต์ตาม แนวแกน xซึ่งสามารถยืดออก ใน แนวขวางตามทิศทางy ได้อย่างอิสระ

สำหรับคลื่นฮาร์มอนิก ที่เคลื่อนที่ไปทางขวาตามสาย การกระจัดของสายใน ทิศทาง yเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งxและเวลาtคือ^{[ 10 ]}

${\displaystyle y_{\text{R}}(x,t)=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right).}$

การกระจัดใน ทิศทาง yสำหรับคลื่นฮาร์มอนิกที่เหมือนกันซึ่งเคลื่อนที่ไปทางซ้ายคือ

${\displaystyle y_{\text{L}}(x,t)=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),}$

ที่ไหน

• ymaxคือ แอ พลิจูดของการกระจัดของสายสำหรับแต่ละคลื่น
• ωคือความถี่เชิงมุมหรือเทียบเท่ากับ2πเท่าของความถี่f
• λคือความยาวคลื่นของคลื่น

สำหรับคลื่น ที่เคลื่อนที่ไปทางขวาและทางซ้ายที่เหมือนกันบนสายเดียวกัน การกระจัดรวมของสายจะเป็นผลรวมของy และy

${\displaystyle y(x,t)=y_{\text{R}}+y_{\text{L}}=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right)+y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right).}$

โดยใช้เอกลักษณ์ผลบวกเป็นผลคูณตรีโกณมิติ${\displaystyle \sin a+\sin b=2\sin \left({a+b \over 2}\right)\cos \left({ab \over 2}\right)}$,

${\displaystyle y(x,t)=2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t).}$

1

สมการ ( 1 ) ไม่ได้อธิบายคลื่นเคลื่อนที่ ที่ตำแหน่งx ใดๆ y ( x , t ) จะแกว่งไปมาตามเวลาโดยมีแอมพลิจูดที่แปรผันในทิศทางxดังนี้${\displaystyle 2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)}$[ ^{10 ] ภาพเคลื่อนไหวตอนต้นบทความนี้แสดงให้เห็นสิ่งที่เกิดขึ้น เมื่อคลื่นสีน้ำเงินที่เคลื่อนที่ไปทางซ้ายและคลื่นสีเขียวที่เคลื่อนที่ ไป}ทางขวาเกิดการแทรกสอดกัน พวกมันจึงก่อตัวเป็นคลื่นสีแดงนิ่งที่ไม่เคลื่อนที่แต่กลับแกว่งไปมาอยู่กับที่

เนื่องจากเส้นเชือกมีความยาวอนันต์ จึงไม่มีเงื่อนไขขอบเขตสำหรับการกระจัดของมัน ณ จุดใด ๆ ตาม แนวแกน xดังนั้น คลื่นนิ่งจึงสามารถเกิดขึ้นได้ที่ความถี่ใด ๆ ก็ได้

ณ ตำแหน่งบน แกน xที่เป็น จำนวน เท่าของหนึ่งในสี่ของความยาวคลื่น

${\displaystyle x=\ldots ,-{3\lambda \over 2},\;-\lambda ,\;-{\lambda \over 2},\;0,\;{\lambda \over 2},\;\lambda ,\;{3\lambda \over 2},\ldots }$

แอมพลิจูดจะเป็นศูนย์เสมอ ตำแหน่งเหล่านี้เรียกว่าจุดบัพ (nodes ) อยู่ที่ตำแหน่งบน แกน xซึ่งเป็น ผล คูณคี่ของหนึ่งในสี่ของความยาวคลื่น

${\displaystyle x=\ldots ,-{5\lambda \over 4},\;-{3\lambda \over 4},\;-{\lambda \over 4},\;{\lambda \over 4},\;{3\lambda \over 4},\;{5\lambda \over 4},\ldots }$

แอมพลิจูดมีค่าสูงสุด โดยมีค่าเป็นสองเท่าของแอมพลิจูดของคลื่นที่เคลื่อนที่ไปทางขวาและทางซ้ายซึ่งแทรกสอดกันจนเกิดเป็นรูปแบบคลื่นนิ่งนี้ ตำแหน่งเหล่านี้เรียกว่าแอนติโนดระยะห่างระหว่างโนดหรือแอนติโนดสองจุดที่อยู่ติดกันคือครึ่งหนึ่งของความยาวคลื่นλ /2

ต่อไป ลองพิจารณาเส้นเชือกที่มีปลายตรึงอยู่ที่x = 0และx = Lเส้นเชือกจะมีการหน่วงบ้างเมื่อถูกยืดออกด้วยคลื่นเคลื่อนที่ แต่ให้สมมติว่าการหน่วงนั้นน้อยมาก สมมติว่าที่ปลายตรึงที่x = 0มีแรงไซน์กระทำที่ทำให้เส้นเชือกเคลื่อนที่ขึ้นลงในทิศทาง y ด้วยแอมพลิจูดเล็กน้อยที่ความถี่fในสถานการณ์นี้ แรงขับเคลื่อนจะสร้างคลื่นเคลื่อนที่ไปทางขวา คลื่นนั้นจะสะท้อนจากปลายตรึงด้านขวาและเคลื่อนที่กลับไปทางซ้าย สะท้อนอีกครั้งจากปลายตรึงด้านซ้ายและเคลื่อนที่กลับไปทางขวา และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป ในที่สุด จะถึงสภาวะสมดุลที่เส้นเชือกมีคลื่นเคลื่อนที่ไปทางขวาและซ้ายเหมือนกันกับกรณีเส้นเชือกยาวอนันต์ และพลังงานที่สูญเสียไปจากการหน่วงในเส้นเชือกจะเท่ากับพลังงานที่ได้รับจากแรงขับเคลื่อน ดังนั้นคลื่นจึงมีแอมพลิจูดคงที่

สมการ ( 1 ) ยังคงอธิบายรูปแบบคลื่นนิ่งที่สามารถเกิดขึ้นบนสายนี้ได้ แต่ตอนนี้สมการ ( 1 ) อยู่ภายใต้เงื่อนไขขอบเขตที่y = 0ที่x = 0และx = Lเนื่องจากสายถูกตรึงไว้ที่x = Lและเนื่องจากเราสมมติว่าแรงขับเคลื่อนที่ปลายที่ตรึงไว้ที่x = 0มีแอมพลิจูดเล็กน้อย เมื่อตรวจสอบค่าของyที่ปลายทั้งสองข้าง

${\displaystyle y(0,t)=0,}$

${\displaystyle y(L,t)=2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0.}$

เงื่อนไขขอบเขตนี้อยู่ในรูปแบบของสูตร Sturm–Liouvilleเงื่อนไขขอบเขตหลังนี้จะเป็นจริงเมื่อ${\displaystyle \sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)=0}$กำหนดให้ Lดังนั้นเงื่อนไขขอบเขตจึงจำกัดความยาวคลื่นของคลื่นนิ่งไว้ที่^{[ 11 ]}

${\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},}$

2

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

คลื่นสามารถก่อตัวเป็นคลื่นนิ่งบนสายนี้ได้ก็ต่อเมื่อมีความยาวคลื่นที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์นี้กับLเท่านั้น หากคลื่นเคลื่อนที่ด้วยความเร็วvไปตามสาย ความถี่ของคลื่นนิ่งจะถูกจำกัดไว้ที่^{[ 11 ] [ 12 ]}

${\displaystyle f={\frac {v}{\lambda }}={\frac {nv}{2L}}.}$

คลื่นนิ่งที่มีn = 1จะสั่นด้วยความถี่พื้นฐานและมีความยาวคลื่นเป็นสองเท่าของความยาวสาย ค่าจำนวนเต็มที่สูงกว่าของnจะสอดคล้องกับโหมดการสั่นที่เรียกว่าฮาร์โมนิกหรือโอเวอร์โทนคลื่นนิ่งใดๆ บนสายจะมี จุดบัพ n + 1 จุด รวมทั้งปลายที่ตรึงอยู่ และจุดปฏิบัพn จุด

เพื่อเปรียบเทียบโหนดของตัวอย่างนี้กับคำอธิบายของโหนดสำหรับคลื่นนิ่งในสายยาวอนันต์ สมการ ( 2 ) สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

${\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},}$

${\displaystyle n=2,4,6,\ldots }$

ในรูปแบบการแสดงความยาวคลื่นนี้nต้องเป็นจำนวนคู่ เมื่อคูณไขว้ เราจะเห็นว่าเนื่องจากLเป็นจุดบัพ ดังนั้น L จึงเป็น ผลคูณ คู่ของหนึ่งในสี่ของความยาวคลื่น

${\displaystyle L={\frac {n\แลมบ์ดา }{4}},}$

${\displaystyle n=2,4,6,\ldots }$

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นถึงประเภทของการสั่นพ้องและความถี่ที่ทำให้เกิดคลื่นนิ่งสามารถเรียกว่าความถี่เรโซแนนซ์ได้^{[ 11 ] [ 13 ] [ 14 ]}

ต่อไป ลองพิจารณาเชือกเส้นเดิมที่มีความยาวLแต่คราวนี้ยึดไว้ที่x = 0 เท่านั้น ที่x = Lเชือกสามารถเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระใน ทิศทาง yตัวอย่างเช่น เชือกอาจถูกผูกไว้ที่x = L กับวงแหวนที่สามารถเลื่อนขึ้นลงเสาได้อย่างอิสระ เชือกจะมีค่าการหน่วงน้อยและถูกขับเคลื่อนด้วยแรงขับเล็กน้อยที่ x = 0เช่นกัน

ในกรณีนี้ สมการ ( 1 ) ยังคงอธิบายรูปแบบคลื่นนิ่งที่สามารถเกิดขึ้นบนสาย และสายมีเงื่อนไขขอบเขตเดียวกันคือy = 0ที่x = 0อย่างไรก็ตาม ที่x = Lซึ่งสายสามารถเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระ ควรจะมีแอนติโนดที่มีแอมพลิจูดสูงสุดเท่ากับyหรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง เงื่อนไขขอบเขตของ "ปลายอิสระ" นี้สามารถระบุได้เป็น∂y/∂x = 0ที่x = Lซึ่งอยู่ในรูปแบบของสูตร Sturm–Liouvilleเหตุผลเบื้องหลังเงื่อนไขขอบเขต∂y/∂x = 0ที่x = Lคือ การเคลื่อนที่ของ "ปลายอิสระ" จะเป็นไปตามจุดที่อยู่ทางซ้าย

เมื่อพิจารณาสมการ ( 1 ) สำหรับx = Lแอมพลิจูดสูงสุดของyจะเกิดขึ้นเมื่อ∂y/∂x = 0หรือ

${\displaystyle \cos \left({2\pi L \over \lambda }\right)=0.}$

สิ่งนี้ส่งผลให้ได้ชุดความยาวคลื่นที่แตกต่างจากตัวอย่างที่มีปลายตรึงสองด้าน ในกรณีนี้ ความยาวคลื่นของคลื่นนิ่งถูกจำกัดไว้ที่

${\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,3,5,\ldots }$

ในทำนองเดียวกัน ความถี่ถูกจำกัดไว้ที่

${\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.}$

ในตัวอย่างนี้nจะมีค่าเป็นเลขคี่เท่านั้น เนื่องจากLเป็นจุดปฏิบัพ (anti-node) จึงเป็น จำนวน คี่เท่าของหนึ่งในสี่ของความยาวคลื่น ดังนั้น โหมดพื้นฐานในตัวอย่างนี้จึงมีเพียงหนึ่งในสี่ของรอบคลื่นไซน์สมบูรณ์ – เป็นศูนย์ที่x = 0และจุดสูงสุดแรกที่x = L – ฮาร์มอนิกแรกมีสามในสี่ของรอบคลื่นไซน์สมบูรณ์ และอื่นๆ

ตัวอย่างนี้ยังแสดงให้เห็นถึงปรากฏการณ์เรโซแนนซ์ชนิดหนึ่ง และความถี่ที่ทำให้เกิดคลื่นนิ่งเรียกว่าความถี่เรโซแนนซ์

พิจารณาคลื่นนิ่งในท่อที่มีความยาวLอากาศภายในท่อทำหน้าที่เป็นตัวกลางสำหรับคลื่นเสียงตามยาว ที่เดินทางไปทางขวาหรือซ้ายผ่านท่อ ในขณะที่คลื่นตามขวางบนสายจากตัวอย่างก่อนหน้านี้จะแปรผันในการกระจัดตั้งฉากกับทิศทางการเคลื่อนที่ของคลื่น คลื่นที่เดินทางผ่านอากาศในท่อจะแปรผันในแง่ของความดันและการกระจัดตามยาวตามทิศทางการเคลื่อนที่ของคลื่น คลื่นแพร่กระจายโดยการบีบอัดและขยายอากาศสลับกันในส่วนต่างๆ ของท่อ ซึ่งทำให้อากาศเคลื่อนที่เล็กน้อยจากตำแหน่งพักและถ่ายโอนพลังงานไปยังส่วนที่อยู่ใกล้เคียงผ่านแรงที่เกิดจากความดันอากาศสูงและต่ำสลับกัน^{[ 15 ]}สามารถเขียนสมการที่คล้ายกับสมการสำหรับคลื่นบนสายสำหรับการเปลี่ยนแปลงความดัน Δp เนื่องมาจากคลื่นที่เดินทางไปทางขวาหรือซ้ายในท่อได้

${\displaystyle \Delta p_{\text{R}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right),}$

${\displaystyle \Delta p_{\text{L}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),}$

ที่ไหน

• pmaxคือแอมพลิจูดของความดัน หรือการเพิ่มขึ้นหรือลดลงสูงสุดของความดันอากาศอันเนื่องมาจากคลื่นแต่ละ
• ωคือความถี่เชิงมุมหรือเทียบเท่ากับ2πเท่าของความถี่f
• λคือความยาวคลื่นของคลื่น

ถ้าคลื่นที่เคลื่อนที่ไปทางขวาและทางซ้ายเหมือนกันเคลื่อนที่ผ่านท่อ การซ้อนทับที่เกิดขึ้นจะอธิบายได้ด้วยผลรวม

${\displaystyle \Delta p(x,t)=\Delta p_{\text{R}}(x,t)+\Delta p_{\text{L}}(x,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t).}$

สูตรสำหรับความดันนี้มีรูปแบบเดียวกับสมการ ( 1 ) ดังนั้นคลื่นความดันคงที่จึงก่อตัวขึ้นซึ่งคงที่ในอวกาศและแกว่งไปมาตามเวลา

ถ้าปลายท่อปิด ความดันจะสูงสุด เนื่องจากปลายท่อที่ปิดจะออกแรงที่จำกัดการเคลื่อนที่ของอากาศ ซึ่งสอดคล้องกับความดันแอนติโนด (ซึ่งเป็นโนดสำหรับการเคลื่อนที่ของโมเลกุล เพราะโมเลกุลที่อยู่ใกล้ปลายที่ปิดไม่สามารถเคลื่อนที่ได้) ถ้าปลายท่อเปิด การเปลี่ยนแปลงของความดันจะน้อยมาก ซึ่งสอดคล้องกับความดันโนด (ซึ่งเป็นแอนติโนดสำหรับการเคลื่อนที่ของโมเลกุล เพราะโมเลกุลที่อยู่ใกล้ปลายที่เปิดสามารถเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระ) ^{[ 16 ] [ 17 ]}ตำแหน่งที่แน่นอนของความดันโนดที่ปลายเปิดนั้นอยู่เลยปลายเปิดของท่อไปเล็กน้อย ดังนั้นความยาวที่มีประสิทธิภาพของท่อสำหรับการกำหนดความถี่เรโซแนนซ์จึงยาวกว่าความยาวทางกายภาพเล็กน้อย^{[ 18 ]}ความแตกต่างของความยาวนี้ถูกละเลยในตัวอย่างนี้ ในแง่ของการสะท้อน ปลายที่เปิดจะสะท้อนคลื่นกลับเข้าไปในท่อบางส่วน ทำให้พลังงานบางส่วนถูกปล่อยออกสู่อากาศภายนอก ในอุดมคติแล้ว ปลายที่ปิดจะสะท้อนคลื่นทั้งหมดกลับไปในทิศทางตรงกันข้าม^{[ 18 ] [ 19 ]}

ขั้นแรกให้พิจารณาท่อที่มีปลายเปิดทั้งสองข้าง เช่นท่อออร์แกน แบบเปิด หรือ ท่อ รีคอร์เดอร์เนื่องจากความดันต้องเป็นศูนย์ที่ปลายเปิดทั้งสองข้าง เงื่อนไขขอบเขตจึงคล้ายคลึงกับสายที่มีปลายยึดแน่นสองด้าน

${\displaystyle \Delta p(0,t)=0,}$

${\displaystyle \Delta p(L,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0,}$

ซึ่งเกิดขึ้นเฉพาะเมื่อความยาวคลื่นของคลื่นนิ่งคือ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}$

หรือเทียบเท่าเมื่อความถี่คือ^{[ 18 ] [ 20 ]}

${\displaystyle f={\frac {nv}{2L}},}$

โดยที่v คือความเร็วเสียง

ต่อไป พิจารณาท่อที่เปิดที่x = 0 (และดังนั้นจึงมีจุดความดัน) และปิดที่x = L (และดังนั้นจึงมีจุดความดันตรงข้าม) เงื่อนไขขอบเขต "ปลายอิสระ" ที่ปิดสำหรับความดันที่x = Lสามารถระบุได้เป็น∂(Δp)/∂x = 0ซึ่งอยู่ในรูปแบบของสูตร Sturm–Liouvilleแนวคิดสำหรับเงื่อนไขขอบเขต∂(Δp)/∂x = 0ที่x = Lคือความดันของปลายที่ปิดจะตามความดันของจุดทางด้านซ้าย ตัวอย่างของการตั้งค่านี้ได้แก่ ขวดและคลาริเน็ตท่อนี้มีเงื่อนไขขอบเขตที่คล้ายกับสายที่มีปลายยึดเพียงด้านเดียว คลื่นนิ่งของมันมีความยาวคลื่นจำกัดที่^{[ 18 ]}

${\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,3,5,\ldots ,}$

หรือเทียบเท่ากับความถี่ของคลื่นนิ่งถูกจำกัดไว้ที่^{[ 21 ] [ 20 ]}

${\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.}$

ในกรณีที่ปลายด้านหนึ่งปิดสนิท ค่า nจะมีแต่ค่าคี่เท่านั้น เช่นเดียวกับกรณีที่เชือกถูกตรึงไว้ที่ปลายด้านเดียว

ที่ผ่านมา คลื่นถูกเขียนในรูปของความดันเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งxและเวลา อีกทางเลือกหนึ่ง คลื่นสามารถเขียนได้ในรูปของการกระจัดตามแนวยาวของอากาศ โดยที่อากาศในส่วนของท่อเคลื่อนที่ไปมาเล็กน้อยใน ทิศทาง xเมื่อความดันเปลี่ยนแปลง และคลื่นเดินทางในทิศทางใดทิศทางหนึ่งหรือทั้งสองทิศทาง การเปลี่ยนแปลงของความดัน Δp และการกระจัดตามแนวยาวsมีความสัมพันธ์กันดังนี้^{[ 22 ]}

${\displaystyle \Delta p=-\rho v^{2}{\frac {\partial s}{\partial x}},}$

โดยที่ρคือความหนาแน่นของอากาศ ในแง่ของการกระจัดตามแนวยาว ปลายท่อที่ปิดจะสอดคล้องกับจุดนิ่งเนื่องจากการเคลื่อนที่ของอากาศถูกจำกัด และปลายท่อที่เปิดจะสอดคล้องกับจุดแอนติโนดเนื่องจากอากาศสามารถเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระ^{[ 18 ] [ 23 ]}ปรากฏการณ์ที่คล้ายกันและมองเห็นได้ง่ายกว่าเกิดขึ้นในคลื่นตามแนวยาวที่แพร่กระจายไปตามสปริง^{[ 24 ]}

เรายังสามารถพิจารณาท่อที่ปิดปลายทั้งสองข้างได้ ในกรณีนี้ ปลายทั้งสองข้างจะเป็นจุดแอนติโนดของความดัน หรือเทียบเท่ากับจุดโนดของการกระจัด ปลายทั้งสองข้างจะเป็นตัวอย่างที่คล้ายคลึงกับกรณีที่ปลายทั้งสองข้างเปิด ยกเว้นว่ารูปแบบคลื่นนิ่งมี การเลื่อนเฟส π / 2ตาม ทิศทาง xเพื่อเลื่อนตำแหน่งของจุดโนดและจุดแอนติโนด ตัวอย่างเช่น ความยาวคลื่นที่ยาวที่สุดที่เกิดการสั่นพ้อง—โหมดพื้นฐาน—จะเป็นสองเท่าของความยาวท่ออีกครั้ง ยกเว้นว่าปลายท่อมีจุดแอนติโนดของความดันแทนที่จะเป็นจุดโนดของความดัน ระหว่างปลายทั้งสองข้างจะมีจุดโนดของความดันหนึ่งจุด ในกรณีที่ปลายทั้งสองข้างปิด ความยาวคลื่นจะถูกจำกัดอีกครั้ง

${\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}$

และความถี่ก็ถูกจำกัดอีกครั้งไว้ที่

${\displaystyle f={\frac {nv}{2L}}.}$

ท่อรูเบนส์ช่วยให้เห็นภาพการเปลี่ยนแปลงความดันของคลื่นนิ่งในท่อที่มีปลายปิดสองข้าง^{[ 25 ]}

ต่อไป พิจารณาคลื่นตามขวางที่สามารถเคลื่อนที่ไปตามพื้นผิวสองมิติภายในขอบเขตสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวLxในทิศทาง x ความยาวLyใน ทิศทาง ตัวอย่างของคลื่นประเภทนี้ ได้แก่ คลื่นน้ำในสระว่ายน้ำ หรือคลื่นบนแผ่นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ถูกดึงให้ตึง คลื่นจะทำให้พื้นผิวเคลื่อนที่ในทิศทาง z โดยที่z = 0กำหนดให้เป็นความสูงของพื้นผิวเมื่ออยู่นิ่ง

ในสองมิติและพิกัดคาร์ทีเซียนสมการคลื่นคือ

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right),}$

ที่ไหน

• z ( x , y , t ) คือการกระจัดของพื้นผิว
• cคือความเร็วของคลื่น

เพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์นี้ ขั้นแรกเรามาหาการแปลงฟูริเยร์ ของมันก่อน โดยใช้

${\displaystyle Z(x,y,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }z(x,y,t)e^{-i\omega t}dt.}$

เมื่อทำการแปลงฟูริเยร์ของสมการคลื่น

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial y^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}Z(x,y,\omega ).}$

นี่เป็น ปัญหา ค่าลักษณะเฉพาะที่ความถี่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะซึ่งสอดคล้องกับโหมดหรือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะที่ความถี่โดยเฉพาะ นี่เป็นรูปแบบหนึ่งของสมการเฮล์มโฮลทซ์และสามารถแก้ไขได้โดยใช้การแยกตัวแปร^{[ 26 ]}สมมติว่า

${\displaystyle Z=X(x)Y(y).}$

หารสมการเฮล์มโฮ ลทซ์ด้วยZ

${\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0.}$

สิ่งนี้นำไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์สามัญคู่กันสอง สมการ พจน์ xเท่ากับค่าคงที่เมื่อเทียบกับxซึ่งเราสามารถกำหนดได้ดังนี้

${\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}=(ik_{x})^{2}.}$

แก้หาค่าX ( x )

${\displaystyle X(x)=A_{k_{x}}e^{ik_{x}x}+B_{k_{x}}e^{-ik_{x}x}.}$

การพึ่งพา xนี้เป็นแบบไซน์ – โดยระลึกถึงสูตรของออยเลอร์ – โดยมีค่าคงที่A และB ที่กำหนดโดยเงื่อนไขขอบเขต ในทำนองเดียวกัน เทอม yเท่ากับค่าคงที่เมื่อเทียบกับyซึ่งเราสามารถกำหนดได้ดังนี้

${\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}},}$

และความสัมพันธ์การกระจายตัวของคลื่นนี้จึงเป็นดังนี้

${\displaystyle \omega =c{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.}$

แก้สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับพจน์y

${\displaystyle Y(y)=C_{k_{y}}e^{ik_{y}y}+D_{k_{y}}e^{-ik_{y}y}.}$

เมื่อนำฟังก์ชันเหล่านี้มาคูณกันและใช้การแปลงฟูริเยร์ผกผันz ( x , y , t ) จะเป็นการซ้อนทับของโหมดต่างๆ โดยแต่ละโหมดเป็นผลคูณของฟังก์ชันไซน์สำหรับx , yและt

${\displaystyle z(x,y,t)\sim e^{\pm ik_{x}x}e^{\pm ik_{y}y}e^{\pm i\omega t}.}$

ค่าคงที่ที่กำหนดฟังก์ชันไซน์ที่แน่นอนนั้นขึ้นอยู่กับเงื่อนไขขอบเขตและเงื่อนไขเริ่มต้น เพื่อดูว่าเงื่อนไขขอบเขตมีผลอย่างไร ลองพิจารณาตัวอย่างเช่นแผ่นโลหะที่ถูกดึงให้ตึง โดยที่z ( x , y , t ) ต้องเป็นศูนย์ตลอดแนวขอบเขตสี่เหลี่ยมผืนผ้า สำหรับการพึ่งพาx z ( x , y , t ) ต้องแปรผันในลักษณะที่สามารถเป็นศูนย์ได้ทั้งที่x = 0และx = Lxสำหรับทุกค่าของyและtเช่นเดียวกับตัวอย่างหนึ่งมิติของเชือกที่ตรึงไว้ที่ปลายทั้งสองข้าง ฟังก์ชันไซน์ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขตนี้คือ

${\displaystyle \sin {k_{x}x},}$

โดยที่k ถูกจำกัดไว้ที่

${\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{L_{x}}},\quad n=1,2,3,\dots }$

ในทำนองเดียวกัน การพึ่งพา yของz ( x , y , t ) ต้องเป็นศูนย์ที่ทั้งy = 0และy = L ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขโดย

${\displaystyle \sin {k_{y}y},\quad k_{y}={\frac {m\pi }{L_{y}}},\quad m=1,2,3,\dots }$

การจำกัดเลขคลื่นให้อยู่ในค่าเหล่านี้ จะจำกัดความถี่ที่เกิดการสั่นพ้องให้อยู่ในค่าเหล่านี้ด้วยเช่นกัน

${\displaystyle \omega =c\pi {\sqrt {\left({\frac {n}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {m}{L_{y}}}\right)^{2}}}.}$

ถ้าเงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับz ( x , y ,0) และอนุพันธ์เทียบกับเวลาż ( x , y ,0) ถูกเลือกให้ การพึ่งพา tเป็นฟังก์ชันโคไซน์ คลื่นนิ่งสำหรับระบบนี้จะมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle z(x,y,t)=z_{\text{max}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {m\pi y}{L_{y}}}\right)\cos \left(\omega t\right).}$

${\displaystyle n=1,2,3,\dots \quad m=1,2,3,\dots }$

ดังนั้น คลื่นนิ่งภายในขอบเขตสี่เหลี่ยมผืนผ้าคงที่นี้จะสั่นตามเวลาที่ความถี่เรโซแนนซ์บางค่าซึ่งกำหนดโดยจำนวนเต็มnและmขณะที่สั่นตามเวลา พวกมันจะไม่เคลื่อนที่ และการเปลี่ยนแปลงเชิงพื้นที่ของพวกมันจะเป็นรูปคลื่นไซน์ทั้งใน ทิศทาง xและyเพื่อให้สอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขต โหมดพื้นฐานn = 1และm = 1มีจุดปฏิโนดเพียงจุดเดียวตรงกลางสี่เหลี่ยมผืนผ้า การเปลี่ยนแปลงnและmจะให้รูปแบบสองมิติที่ซับซ้อนแต่สามารถคาดการณ์ได้ของจุดโนดและจุดปฏิโนดภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้า^{[ 27 ]}

จากความสัมพันธ์การกระจายตัว ในบางสถานการณ์ โหมดต่างๆ—หมายถึงการรวมกันของnและm ที่แตกต่างกัน —อาจเกิดการสั่นพ้องที่ความถี่เดียวกัน แม้ว่าจะมีรูปร่างที่แตกต่างกันสำหรับ การพึ่งพา xและyก็ตาม ตัวอย่างเช่น ถ้าขอบเขตเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสL = L โหมดn = 1และm = 7 , n = 7และm = 1 , และn = 5และm = 5จะสั่นพ้องที่ความถี่เดียวกัน

${\displaystyle \omega ={\frac {c\pi }{L_{x}}}{\sqrt {50}}.}$

เมื่อพิจารณาว่าωเป็นตัวกำหนดค่าลักษณะเฉพาะในสมการเฮล์มโฮลทซ์ข้างต้น จำนวนโหมดที่สอดคล้องกับแต่ละความถี่จะสัมพันธ์กับความหลากหลาย ของความถี่ ในฐานะค่าลักษณะเฉพาะ

คลื่นนิ่งยังพบได้ในตัวกลางทางกายภาพ เช่น สายและคอลัมน์อากาศ คลื่นใดๆ ที่เคลื่อนที่ไปตามตัวกลางจะสะท้อนกลับเมื่อถึงปลายสุด ปรากฏการณ์นี้เห็นได้ชัดเจนที่สุดในเครื่องดนตรี ซึ่งที่ความถี่ต่างๆ ที่เป็นพหุคูณของความถี่ธรรมชาติของสายหรือคอลัมน์อากาศที่สั่น จะเกิดคลื่นนิ่งขึ้น ทำให้สามารถ ระบุ ฮาร์โมนิกได้ จุดนิ่งเกิดขึ้นที่ปลายที่ยึดแน่น และจุดปฏินิ่งเกิดขึ้นที่ปลายเปิด หากยึดแน่นเพียงปลายเดียว จะมีเฉพาะฮาร์โมนิกเลขคี่เท่านั้น ที่ปลายเปิดของท่อ จุดปฏินิ่งจะไม่ตรงกับปลายสุดพอดี เนื่องจากมีการเปลี่ยนแปลงไปตามการสัมผัสกับอากาศ ดังนั้นจึง ต้องใช้ การปรับแก้ปลายเพื่อวางตำแหน่งให้ถูกต้อง ความหนาแน่นของสายจะมีผลต่อความถี่ที่ฮาร์โมนิกจะเกิดขึ้น ยิ่งความหนาแน่นมากเท่าใด ความถี่ที่ต้องการเพื่อให้เกิดคลื่นนิ่งของฮาร์โมนิกเดียวกันก็จะยิ่งต่ำลงเท่านั้น

คลื่นนิ่งยังพบได้ในตัวกลางทางแสง เช่นท่อนำแสงและโพรงแสงเลเซอร์ใช้โพรงแสงในรูปแบบของกระจกคู่ที่หันหน้าเข้าหากัน ซึ่งประกอบเป็นอินเตอร์เฟอโรเมตร Fabry–Pérotตัวกลางขยายในโพรง (เช่นผลึก ) ปล่อยแสงออกมาอย่างสม่ำเสมอทำให้เกิดคลื่นนิ่งของแสงในโพรง^{[ 32 ]}ความยาวคลื่นของแสงสั้นมาก (อยู่ในช่วงนาโนเมตร 10 ⁻⁹ม.) ดังนั้นคลื่นนิ่งจึงมีขนาดเล็กมาก การใช้งานอย่างหนึ่งของคลื่นนิ่งของแสงคือการวัดระยะทางเล็กๆ โดยใช้ระนาบแสง

การรบกวนระหว่าง ลำแสง เอ็กซ์เรย์สามารถสร้าง สนาม คลื่นนิ่งเอ็กซ์เรย์ (XSW) ได้^{[ 33 ]}เนื่องจากความยาวคลื่นสั้นของเอ็กซ์เรย์ (น้อยกว่า 1 นาโนเมตร) ปรากฏการณ์นี้จึงสามารถนำมาใช้ประโยชน์ในการวัดเหตุการณ์ระดับอะตอมที่พื้นผิว วัสดุได้ XSW ถูกสร้างขึ้นในบริเวณที่ลำแสงเอ็กซ์เรย์รบกวนกับ ลำแสง ที่เลี้ยวเบนจากพื้นผิวผลึกเดี่ยวที่สมบูรณ์แบบเกือบทั้งหมดหรือการสะท้อนจากกระจกเอ็กซ์เรย์โดยการปรับรูปทรงเรขาคณิตของผลึกหรือความยาวคลื่นของเอ็กซ์เรย์ XSW สามารถถูกเลื่อนในอวกาศ ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในการเรืองแสงของเอ็กซ์เรย์หรือ ผลผลิต โฟโตอิเล็กตรอนจากอะตอมที่อยู่ใกล้พื้นผิว การเปลี่ยนแปลงนี้สามารถวิเคราะห์เพื่อระบุตำแหน่งของชนิดอะตอมเฉพาะที่สัมพันธ์กับโครงสร้างผลึกหรือพื้นผิวกระจกที่อยู่ด้านล่าง วิธี XSW ถูกนำมาใช้เพื่อชี้แจงรายละเอียดระดับอะตอมของสารเจือปนในสารกึ่งตัวนำ^{[ 34 ]}การดูดซับอะตอมและโมเลกุลบนพื้นผิว^{[ 35 ]}และการเปลี่ยนแปลงทางเคมีที่เกี่ยวข้องกับ การ เร่งปฏิกิริยา^{[ 36 ]}

คลื่นนิ่งสามารถเหนี่ยวนำทางกลเข้าไปในตัวกลางของแข็งได้โดยใช้การสั่นพ้อง ตัวอย่างที่เข้าใจง่ายอย่างหนึ่งคือคนสองคนเขย่าปลายเชือกกระโดดคนละข้าง หากพวกเขาเขย่าพร้อมกัน เชือกจะเกิดเป็นรูปแบบปกติที่มีจุดนิ่งและจุดสูงสุด และดูเหมือนจะอยู่นิ่ง จึงเรียกว่าคลื่นนิ่ง ในทำนองเดียวกัน คานยื่นสามารถมีคลื่นนิ่งเกิดขึ้นได้โดยการกระตุ้นที่ฐาน ในกรณีนี้ ปลายอิสระจะเคลื่อนที่ในแนวด้านข้างเป็นระยะทางมากที่สุดเมื่อเทียบกับตำแหน่งใดๆ ตามแนวคาน อุปกรณ์ดังกล่าวสามารถใช้เป็นเซ็นเซอร์เพื่อติดตามการเปลี่ยนแปลงความถี่หรือเฟสของการสั่นพ้องของเส้นใย การใช้งานอย่างหนึ่งคือเป็นอุปกรณ์วัดสำหรับการวัดมิติ^{[ 37 ] [ 38 ]}

คลื่นนิ่งบนพื้นผิว โลกนั้นสังเกตได้ว่าเป็นการสั่นสะเทือนอิสระของโลก

คลื่นฟาราเดย์เป็นคลื่นนิ่งที่ไม่เป็นเชิงเส้นที่ส่วนต่อประสานระหว่างอากาศและของเหลวซึ่งเกิดจากความไม่เสถียรของไฮโดรไดนามิก สามารถใช้เป็นแม่แบบของเหลวเพื่อประกอบวัสดุขนาดไมโครได้^{[ 39 ]}

คลื่นเซช (Seiche)เป็นตัวอย่างของคลื่นนิ่งในแหล่งน้ำปิด มีลักษณะเฉพาะคือระดับน้ำที่ปลายทั้งสองข้างของแหล่งน้ำมีการแกว่งตัว และโดยทั่วไปจะมีจุดนิ่งอยู่ใกล้กลางแหล่งน้ำซึ่งระดับน้ำเปลี่ยนแปลงน้อยมาก ควรแยกแยะความแตกต่างจากคลื่นพายุซัด ฝั่งธรรมดา ซึ่งไม่มีการแกว่งตัว ในทะเลสาบขนาดใหญ่ ช่วงเวลาของการแกว่งตัวดังกล่าวอาจอยู่ระหว่างนาทีถึงชั่วโมง ตัวอย่างเช่น ช่วงเวลาตามแนวยาวของ ทะเลสาบเจนีวาคือ 73 นาที และคลื่นเซชตามแนวขวางมีช่วงเวลาประมาณ 10 นาที^{[ 40 ]}ในขณะที่ทะเลสาบฮูรอนสามารถเห็นได้ว่ามีการสั่นพ้องที่มีช่วงเวลาระหว่าง 1 ถึง 2 ชั่วโมง^{[ 41 ]}ดู คลื่นเซ ชในทะเลสาบ^{[ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]}