ในฟิสิกส์กลศาสตร์เชิงสถิติเป็นกรอบทางคณิตศาสตร์ที่ประยุกต์ใช้วิธีการทางสถิติและทฤษฎีความน่าจะเป็นกับกลุ่มขนาดใหญ่ของหน่วยย่อยขนาดเล็ก บางครั้งเรียกว่าฟิสิกส์เชิงสถิติหรืออุณหพลศาสตร์เชิงสถิติ การ ^{ประยุกต์}ใช้ครอบคลุมปัญหามากมายในหลากหลายสาขา เช่นชีววิทยา[ ^{1 ] ประสาท}วิทยา [ ^{2 ]}วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์^{[ 3 ] [ 4 ]}ทฤษฎีสารสนเทศ^{[ 5 ]}และสังคมวิทยา^{[ 6 ]}จุดประสงค์หลักคือการชี้แจงคุณสมบัติของสสารโดยรวมในแง่ของกฎทางฟิสิกส์ที่ควบคุมการเคลื่อนที่ของอะตอม^{[ 7 ] [ 8 ]}

กลศาสตร์สถิติเกิดขึ้นจากการพัฒนาของอุณหพลศาสตร์แบบคลาสสิก ซึ่งเป็นสาขาที่ประสบความสำเร็จใน การอธิบายคุณสมบัติทางกายภาพระดับมหภาค เช่นอุณหภูมิความดันและความจุความร้อนในแง่ของพารามิเตอร์ระดับจุลภาคที่ผันผวนรอบค่าเฉลี่ยและมีลักษณะเฉพาะด้วยการกระจายความน่าจะเป็น [ ^{9 ] : 1–4}

ในขณะที่อุณหพลศาสตร์แบบคลาสสิกเกี่ยวข้องกับสมดุลทางอุณหพลศาสตร์ เป็นหลัก กลศาสตร์เชิงสถิติได้ถูกนำมาประยุกต์ใช้ในกลศาสตร์เชิงสถิติที่ไม่สมดุลเพื่อแก้ไขปัญหาของการสร้างแบบจำลองระดับจุลภาคของความเร็วของกระบวนการที่ไม่สามารถย้อนกลับได้ซึ่งถูกขับเคลื่อนด้วยความไม่สมดุล^{[ 9 ] : 3} ตัวอย่างของกระบวนการดังกล่าว ได้แก่ปฏิกิริยาเคมีและการไหลของอนุภาคและความร้อนทฤษฎีบทความผันผวน-การกระจายพลังงานเป็นความรู้พื้นฐานที่ได้จากการประยุกต์ใช้กลศาสตร์เชิงสถิติที่ไม่สมดุลเพื่อศึกษาสถานการณ์ที่ไม่สมดุลที่ง่ายที่สุดของการไหลของกระแสคงที่ในระบบของอนุภาคจำนวนมาก^{[ 9 ] : 572–573}

ในปี ค.ศ. 1738 แดเนียล เบอร์นูลลี นักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ได้ตีพิมพ์Hydrodynamicaซึ่งวางรากฐานสำหรับทฤษฎีจลน์ของก๊าซในงานนี้ เบอร์นูลลีได้เสนอข้อโต้แย้ง ซึ่งยังคงใช้มาจนถึงทุกวันนี้ ว่าก๊าซประกอบด้วยโมเลกุลจำนวนมากที่เคลื่อนที่ไปในทุกทิศทาง การกระทบของโมเลกุลกับพื้นผิวทำให้เกิดความดันก๊าซที่เราสัมผัสได้ และสิ่งที่เราสัมผัสได้ว่าเป็นความร้อนนั้นก็คือพลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่ของโมเลกุลนั่นเอง^{[ 11 ]}

โดยทั่วไปแล้ว การก่อตั้งสาขาวิชากลศาสตร์เชิงสถิติได้รับการยกย่องให้แก่สามนักฟิสิกส์ดังนี้:

• ลุดวิก โบลต์ซมันน์ผู้พัฒนาการตีความพื้นฐานของเอนโทรปีในแง่ของกลุ่มของสถานะจุลภาค
• เจมส์ คลาร์ก แม็กซ์เวลล์ผู้พัฒนาแบบจำลองการกระจายความน่าจะเป็นของสถานะดังกล่าว
• โจไซอาห์ วิลลาร์ด กิบบ์สผู้ตั้งชื่อแหล่งน้ำนี้ในปี 1884

ในปี ค.ศ. 1859 หลังจากอ่านบทความเกี่ยวกับการแพร่กระจายของโมเลกุลโดยรูดอล์ฟ คลอเซียสนักฟิสิกส์ชาวสก็อตแลนด์ แม็กซ์เวลล์ ได้กำหนดสูตรการกระจายความเร็วของโมเลกุลแบบแม็กซ์เวลล์ ซึ่งให้สัดส่วนของโมเลกุลที่มีความเร็วที่แน่นอนในช่วงที่กำหนด^{[ 12 ] [ 13 ]}นี่เป็นกฎทางสถิติข้อแรกในฟิสิกส์^{[ 14 ]}แม็กซ์เวลล์ยังได้ให้เหตุผลเชิงกลข้อแรกที่ว่าการชนกันของโมเลกุลทำให้เกิดการปรับสมดุลของอุณหภูมิและมีแนวโน้มไปสู่สมดุล^{[ 15 ]}ห้าปีต่อมา ในปี ค.ศ. 1864 โบลต์ซมันน์ นักศึกษาหนุ่มในเวียนนา ได้พบกับบทความของแม็กซ์เวลล์และใช้เวลาส่วนใหญ่ในชีวิตของเขาในการพัฒนาเรื่องนี้ต่อไป

กลศาสตร์เชิงสถิติเริ่มต้นขึ้นในช่วงทศวรรษ 1870 ด้วยผลงานของโบลต์ซมันน์ ซึ่งส่วนใหญ่ได้รับการตีพิมพ์รวมกันในหนังสือบรรยายเรื่องทฤษฎีก๊าซใน ปี 1896 ของเขา ^{[ 16 ]}เอกสารต้นฉบับของโบลต์ซมันน์เกี่ยวกับการตีความเชิงสถิติของอุณหพลศาสตร์ ทฤษฎีH ทฤษฎีการขนส่งสมดุลความร้อนสมการสถานะของก๊าซ และหัวข้อที่คล้ายคลึงกัน มีจำนวนประมาณ 2,000 หน้าในรายงานการประชุมของสถาบันวิทยาศาสตร์เวียนนาและสมาคมอื่นๆ โบลต์ซมันน์ได้แนะนำแนวคิดของกลุ่มสถิติสมดุล และยังได้ศึกษากลศาสตร์เชิงสถิติที่ไม่สมดุลเป็นครั้งแรกด้วยทฤษฎี H ของเขา

คำว่า "กลศาสตร์เชิงสถิติ" ถูกบัญญัติโดยนักฟิสิกส์คณิตศาสตร์ชาวอเมริกันชื่อกิบบส์ในปี พ.ศ. 2427 ^{[ 17 ]} ตามที่กิบบส์กล่าว คำว่า "สถิติ" ในบริบทของกลศาสตร์ เช่น กลศาสตร์เชิงสถิติ ถูกใช้ครั้งแรกโดยแม็กซ์เวลล์ในปี พ.ศ. 2414

"ในการจัดการกับมวลของสสาร ในขณะที่เราไม่สามารถรับรู้ถึงโมเลกุลแต่ละตัวได้ เราจึงจำเป็นต้องใช้วิธีการที่ผมได้อธิบายไปแล้วว่าเป็นวิธีการคำนวณทางสถิติ และละทิ้งวิธีการทางพลศาสตร์อย่างเคร่งครัด ซึ่งเราติดตามทุกการเคลื่อนไหวด้วยการคำนวณ"

ในปัจจุบันคำว่า "กลศาสตร์เชิงความน่าจะเป็น" อาจดูเหมาะสมกว่า แต่คำว่า "กลศาสตร์เชิงสถิติ" ก็ยังคงใช้กันอย่างแพร่หลาย^{[ 19 ]}ไม่นานก่อนที่กิบบส์จะเสียชีวิต เขาได้ตีพิมพ์ หนังสือ Elementary Principles in Statistical Mechanics ในปี 1902 ซึ่งเป็นหนังสือที่กำหนดให้กลศาสตร์เชิงสถิติเป็นแนวทางทั่วไปอย่างสมบูรณ์ในการจัดการกับระบบกลศาสตร์ทั้งหมด ไม่ว่าจะเป็นระบบมหภาคหรือจุลภาค ก๊าซหรือไม่ใช่ก๊าซ^{[ 20 ]}วิธีการของกิบบส์นั้นได้มาจากกรอบของกลศาสตร์คลาสสิก ในตอนแรก อย่างไรก็ตาม วิธีการเหล่านั้นมีความทั่วไปมากจนสามารถปรับใช้กับกลศาสตร์ควอนตัม ในภายหลังได้อย่างง่ายดาย และยังคงเป็นรากฐานของกลศาสตร์เชิงสถิติมาจนถึงทุกวันนี้^{[ 21 ]}

ในวิชาฟิสิกส์ โดยทั่วไปจะมีการศึกษากลศาสตร์สองประเภท ได้แก่กลศาสตร์คลาสสิกและกลศาสตร์ควอนตัม [ ^{9 ] :บทที่ 1} สำหรับกลศาสตร์ทั้งสองประเภท วิธีการทางคณิตศาสตร์มาตรฐานคือการพิจารณาสองแนวคิด:

• สถานะที่สมบูรณ์ของระบบกลไก ณ เวลาที่กำหนด ซึ่งเข้ารหัสทางคณิตศาสตร์เป็นจุดเฟส (กลศาสตร์คลาสสิก) หรือเวกเตอร์สถานะควอนตัม บริสุทธิ์ (กลศาสตร์ควอนตัม) ^{[ 22 ] : 1}
• สมการการเคลื่อนที่ซึ่งนำสถานะไปข้างหน้าตามเวลา: สมการของแฮมิลตัน (กลศาสตร์คลาสสิก) หรือสมการชโรดิงเกอร์ (กลศาสตร์ควอนตัม) ^{[ 23 ]}

โดยใช้แนวคิดทั้งสองนี้ ในทางทฤษฎีแล้วสามารถคำนวณสถานะ ณ เวลาอื่นใด ไม่ว่าจะเป็นอดีตหรืออนาคตได้^{[ 9 ] : 7} อย่างไรก็ตาม มีความไม่สอดคล้องกันระหว่างกฎเหล่านี้กับประสบการณ์ในชีวิตประจำวัน^{[ 22 ] : 1} เนื่องจากเราไม่พบว่าจำเป็น (และในกลศาสตร์ควอนตัม ในทางทฤษฎีแล้วเป็นไปไม่ได้) ที่จะต้องทราบตำแหน่งและความเร็วพร้อมกันของแต่ละโมเลกุลในระดับจุลภาคอย่างแม่นยำในขณะที่ดำเนินการในระดับมนุษย์ (ตัวอย่างเช่น เมื่อทำการปฏิกิริยาเคมี) กลศาสตร์เชิงสถิติเติมเต็มความไม่สอดคล้องกันระหว่างกฎของกลศาสตร์กับประสบการณ์จริงของความรู้ที่ไม่สมบูรณ์ โดยการเพิ่มความไม่แน่นอนเกี่ยวกับสถานะที่ระบบอยู่^{[ 9 ] : บทที่ 1}

ในขณะที่กลศาสตร์ทั่วไปพิจารณาเฉพาะพฤติกรรมของสถานะเดียวเท่านั้น กลศาสตร์เชิงสถิติได้นำเสนอชุดสถิติซึ่งเป็นชุดสำเนาเสมือนอิสระจำนวนมากของระบบในสถานะต่างๆ ชุดสถิติเป็นการกระจายความน่าจะเป็นเหนือสถานะที่เป็นไปได้ทั้งหมดของระบบ ในกลศาสตร์เชิงสถิติแบบคลาสสิก ชุดสถิติเป็นการกระจายความน่าจะเป็นเหนือจุดเฟส (ตรงข้ามกับจุดเฟสเดียวในกลศาสตร์ทั่วไป) ซึ่งมักแสดงเป็นการกระจายในปริภูมิเฟสที่มี แกนพิกัด มาตรฐานในกลศาสตร์เชิงสถิติควอนตัม ชุดสถิติเป็นการกระจายความน่าจะเป็นเหนือสถานะบริสุทธิ์และสามารถสรุปได้อย่างกระชับเป็น เมท ริกซ์ความหนาแน่น^{[ 22 ] : 13}

เช่นเดียวกับความน่าจะเป็นทั่วไป กลุ่มสามารถตีความได้หลายวิธี: ^{[ 20 ]}

• กลุ่มตัวอย่างสามารถใช้แทนสถานะต่างๆ ที่เป็นไปได้ที่ระบบเดียวอาจอยู่ในนั้นได้ ( ความน่าจะเป็นเชิงญาณวิทยาซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของความรู้) หรือ
• สมาชิกของกลุ่มตัวอย่างสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นสถานะของระบบในการทดลองที่ทำซ้ำกับระบบอิสระซึ่งถูกเตรียมไว้ในลักษณะที่คล้ายคลึงกันแต่ควบคุมได้ไม่สมบูรณ์ ( ความน่าจะเป็นเชิงประจักษ์ ) ในกรณีที่จำนวนการทดลองเป็นอนันต์

ความหมายทั้งสองนี้เทียบเท่ากันสำหรับวัตถุประสงค์หลายประการ และจะใช้แทนกันได้ในบทความนี้^{[ 11 ]}

อย่างไรก็ตาม ไม่ว่าความน่าจะเป็นจะถูกตีความอย่างไร แต่ละสถานะในกลุ่มจะวิวัฒนาการไปตามเวลาตามสมการการเคลื่อนที่ ดังนั้น กลุ่มเอง (การกระจายความน่าจะเป็นเหนือสถานะ) ^{[ 23 ] : 16} ก็วิวัฒนาการเช่นกัน เนื่องจากระบบเสมือนในกลุ่มเคลื่อนที่ผ่านสถานะต่างๆ การวิวัฒนาการของกลุ่มกำหนดโดยสมการ Liouville (กลศาสตร์คลาสสิก) หรือสมการ von Neumann (กลศาสตร์ควอนตัม) สมการเหล่านี้สามารถหาได้โดยการใช้สมการการเคลื่อนที่ทางกลแยกกันกับแต่ละระบบเสมือนที่อยู่ในกลุ่ม โดยความน่าจะเป็นของแต่ละระบบเสมือนจะคงที่ตลอดเวลาขณะที่มันวิวัฒนาการ^{[ 23 ] : 43 [ 22 ] : 14}

กลุ่มพิเศษกลุ่มหนึ่งคือกลุ่มที่ไม่เปลี่ยนแปลงไปตามเวลา กลุ่มเหล่า นี้เรียกว่ากลุ่มสมดุลและสภาวะของกลุ่มนี้เรียกว่าสมดุลทางสถิติ^{[ 9 ] : บทที่ 3} สมดุลทางสถิติเกิดขึ้นหากสำหรับแต่ละสถานะในกลุ่ม กลุ่มนั้นยังประกอบด้วยสถานะในอนาคตและอดีตทั้งหมดด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับความน่าจะเป็นที่จะอยู่ในสถานะนั้น (ในทางตรงกันข้ามสมดุลทางกลศาสตร์คือสถานะที่มีสมดุลของแรงที่หยุดการเปลี่ยนแปลง) การศึกษาเกี่ยวกับกลุ่มสมดุลของระบบที่แยกตัวเป็นจุดสนใจของอุณหพลศาสตร์เชิงสถิติ กลศาสตร์เชิงสถิติที่ไม่สมดุลจะกล่าวถึงกรณีทั่วไปของกลุ่มที่เปลี่ยนแปลงไปตามเวลา และ/หรือกลุ่มของระบบที่ไม่แยกตัว^{[ 24 ]}

เป้าหมายหลักของอุณหพลศาสตร์เชิงสถิติ (หรือที่รู้จักกันในชื่อกลศาสตร์เชิงสถิติสมดุล) คือการหาที่มาของอุณหพลศาสตร์แบบคลาสสิกของวัสดุโดยพิจารณาจากคุณสมบัติของอนุภาคที่เป็นองค์ประกอบและการปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาคเหล่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง อุณหพลศาสตร์เชิงสถิติเชื่อมโยงคุณสมบัติระดับมหภาคของวัสดุที่อยู่ในสมดุลทางอุณหพลศาสตร์กับพฤติกรรมและการเคลื่อนที่ระดับจุลภาคที่เกิดขึ้นภายในวัสดุ

ในขณะที่กลศาสตร์เชิงสถิติที่แท้จริงเกี่ยวข้องกับพลศาสตร์ แต่ในที่นี้จะเน้นไปที่สมดุลเชิงสถิติ (สภาวะคงที่) สมดุลเชิงสถิติไม่ได้หมายความว่าอนุภาคหยุดเคลื่อนที่ ( สมดุลเชิงกล ) แต่หมายความว่ากลุ่มอนุภาคไม่ได้เปลี่ยนแปลงไปเท่านั้น

เงื่อนไขที่เพียงพอ (แต่ไม่จำเป็น) สำหรับสมดุลทางสถิติกับระบบที่แยกตัวคือ การกระจายความน่าจะเป็นเป็นฟังก์ชันของคุณสมบัติที่อนุรักษ์ไว้เท่านั้น (พลังงานรวม จำนวนอนุภาครวม ฯลฯ) ^{[ 20 ]} มีกลุ่มสมดุลที่แตกต่างกันมากมายที่สามารถพิจารณาได้ และมีเพียงบางส่วนเท่านั้นที่สอดคล้องกับอุณหพลศาสตร์^{[ 20 ]}จำเป็นต้องมีสมมติฐานเพิ่มเติมเพื่อจูงใจว่าทำไมกลุ่มสำหรับระบบที่กำหนดควรมีรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง

แนวทางทั่วไปที่พบในตำราเรียนหลายเล่มคือการใช้สมมติฐานความน่าจะเป็นล่วงหน้าที่เท่ากัน^{[ 21 ]}สมมติฐานนี้ระบุว่า

สำหรับระบบที่แยกตัวออกจากสิ่งแวดล้อมภายนอก ซึ่งมีพลังงานและองค์ประกอบที่ทราบแน่ชัด ระบบนั้นสามารถพบได้ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากันในสถานะจุลภาค ใดๆ ที่สอดคล้องกับความรู้ดังกล่าว

ดังนั้น สมมติฐานความน่าจะเป็นล่วงหน้าที่เท่ากันจึงเป็นแรงจูงใจสำหรับกลุ่มไมโครแคนอนิกที่อธิบายไว้ด้านล่าง มีข้อโต้แย้งต่างๆ มากมายที่สนับสนุนสมมติฐานความน่าจะเป็นล่วงหน้าที่เท่ากัน:

• สมมติฐานเออร์โกดิก : ระบบเออร์โกดิกคือระบบที่วิวัฒนาการไปตามเวลาเพื่อสำรวจสถานะ "ที่เข้าถึงได้ทั้งหมด" กล่าวคือ สถานะทั้งหมดที่มีพลังงานและองค์ประกอบเหมือนกัน ในระบบเออร์โกดิก กลุ่มไมโครแคนอนิกเป็นกลุ่มสมดุลที่เป็นไปได้เพียงกลุ่มเดียวที่มีพลังงานคงที่ แนวทางนี้มีข้อจำกัดในการใช้งาน เนื่องจากระบบส่วนใหญ่ไม่ใช่ระบบเออร์โกดิก
• หลักการไม่ลำเอียง : ในกรณีที่ไม่มีข้อมูลเพิ่มเติม เราสามารถกำหนดความน่าจะเป็นที่เท่ากันให้กับสถานการณ์ที่เข้ากันได้แต่ละสถานการณ์เท่านั้น
• เอนโทรปีข้อมูลสูงสุด : หลักการความไม่แยแสในรูปแบบที่ละเอียดกว่าระบุว่ากลุ่มที่ถูกต้องคือกลุ่มที่เข้ากันได้กับข้อมูลที่ทราบและมีเอนโทรปีของกิบส์ ( เอนโทรปีข้อมูล ) มากที่สุด ^{[ 25 ]}

นอกจากนี้ ยังมีการเสนอสมมติฐานพื้นฐานอื่นๆ สำหรับกลศาสตร์สถิติอีกด้วย^{[ 11 ] [ 26 ] [ 27 ]}ตัวอย่างเช่น การศึกษาล่าสุดแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีกลศาสตร์สถิติสามารถสร้างขึ้นได้โดยไม่ต้องใช้สมมติฐานความน่าจะเป็นล่วงหน้าที่เท่ากัน^{[ 26 ] [ 27 ]}รูปแบบหนึ่งดังกล่าวมีพื้นฐานมาจากความสัมพันธ์ทางเทอร์โมไดนามิกพื้นฐานร่วมกับชุดสมมติฐานต่อไปนี้: ^{[ 26 ]}

โดยที่สมมติฐานข้อที่สามสามารถแทนที่ด้วยสิ่งต่อไปนี้: ^{[ 27 ]}

มีชุดสมดุลสามชุดที่มีรูปแบบง่ายๆ ที่สามารถกำหนดได้สำหรับระบบแยก ใดๆ ที่ถูกจำกัดอยู่ภายในปริมาตรจำกัด^{[ 20 ]}ชุดเหล่านี้มักถูกกล่าวถึงบ่อยที่สุดในอุณหพลศาสตร์เชิงสถิติ ในขีดจำกัดมหภาค (ที่กำหนดไว้ด้านล่าง) พวกมันทั้งหมดสอดคล้องกับอุณหพลศาสตร์แบบคลาสสิก

กลุ่มไมโครแคนอนิก

อธิบายถึงระบบที่มีพลังงานที่กำหนดไว้อย่างแม่นยำและองค์ประกอบคงที่ (จำนวนอนุภาคที่แน่นอน) กลุ่มไมโครแคนอนิกประกอบด้วยสถานะที่เป็นไปได้แต่ละสถานะที่มีความสอดคล้องกับพลังงานและองค์ประกอบนั้นด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน

กลุ่มแคนอนิก

อธิบายถึงระบบที่มีองค์ประกอบคงที่ซึ่งอยู่ในสมดุลทางความร้อนกับอ่างความร้อน ที่มี อุณหภูมิที่แน่นอนกลุ่มแคนอนิกประกอบด้วยสถานะที่มีพลังงานแตกต่างกันแต่มีองค์ประกอบเหมือนกัน สถานะต่างๆ ในกลุ่มจะมีโอกาสเกิดขึ้นต่างกันขึ้นอยู่กับพลังงานรวมของแต่ละสถานะ

วงดนตรีแกรนด์แคนอนิก

อธิบายถึงระบบที่มีองค์ประกอบไม่คงที่ (จำนวนอนุภาคไม่แน่นอน) ซึ่งอยู่ในสมดุลทางความร้อนและทางเคมีกับแหล่งเก็บความร้อนทางเทอร์โมไดนามิก แหล่งเก็บความร้อนมีอุณหภูมิที่แน่นอน และศักยภาพทางเคมี ที่แน่นอน สำหรับอนุภาคประเภทต่างๆ กลุ่มแกรนด์แคนอนิกัลประกอบด้วยสถานะที่มีพลังงานและจำนวนอนุภาคที่แตกต่างกัน สถานะต่างๆ ในกลุ่มจะมีโอกาสเกิดขึ้นต่างกัน ขึ้นอยู่กับพลังงานรวมและจำนวนอนุภาครวมของแต่ละสถานะ

สำหรับระบบที่มีอนุภาคจำนวนมาก ( ขีดจำกัดทางเทอร์โมไดนามิก ) ทั้งสามกลุ่มที่ระบุไว้ข้างต้นมีแนวโน้มที่จะแสดงพฤติกรรมที่เหมือนกัน ดังนั้นจึงเป็นเพียงเรื่องของความสะดวกทางคณิตศาสตร์ว่าจะใช้กลุ่มใด^{[ 9 ] : 227} ทฤษฎีบทของ Gibbs เกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของกลุ่ม^{[ 28 ]}ได้รับการพัฒนาเป็นทฤษฎีของปรากฏการณ์ความเข้มข้นของการวัด^{[ 29 ]}ซึ่งมีการประยุกต์ใช้ในหลายสาขาวิทยาศาสตร์ ตั้งแต่การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันไปจนถึงวิธีการของปัญญาประดิษฐ์และเทคโนโลยีข้อมูลขนาดใหญ่^{[ 30 ]}

กรณีสำคัญที่กลุ่มทางเทอร์โมไดนามิกไม่ให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน ได้แก่:

• ระบบจุลภาค
• ระบบขนาดใหญ่ที่อยู่ในสภาวะเปลี่ยนผ่าน
• ระบบขนาดใหญ่ที่มีปฏิสัมพันธ์ระยะไกล

ในกรณีเหล่านี้ จะต้องเลือกกลุ่มเทอร์โมไดนามิกที่ถูกต้อง เนื่องจากมีความแตกต่างที่สังเกตได้ระหว่างกลุ่มเหล่านี้ ไม่เพียงแต่ในขนาดของความผันผวนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงปริมาณเฉลี่ย เช่น การกระจายตัวของอนุภาคด้วย กลุ่มที่ถูกต้องคือกลุ่มที่สอดคล้องกับวิธีที่ระบบได้รับการเตรียมและกำหนดลักษณะไว้ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือกลุ่มที่สะท้อนถึงความรู้เกี่ยวกับระบบนั้น^{[ 21 ]}

กลุ่มเทอร์โมไดนามิก^{[ 20 ]}

	ไมโครแคนอนิก	แคนอนิก	แกรนด์แคนอนิก
ตัวแปรคงที่	${\displaystyle E,N,V}$	${\displaystyle T,N,V}$	${\displaystyle T,\mu ,V}$
ลักษณะทางจุลภาค	จำนวนไมโครสเตท	ฟังก์ชันพาร์ติชันแบบแคนอนิก	ฟังก์ชันพาร์ติชั่นขนาดใหญ่
	${\displaystyle W}$	${\displaystyle Z=\sum _{k}e^{-E_{k}/k_{B}T}}$	${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\sum _{k}e^{-(E_{k}-\mu N_{k})/k_{B}T}}$
หน้าที่ระดับมหภาค	เอนโทรปีของโบลต์ซมันน์	พลังงานอิสระของเฮล์มโฮลทซ์	ศักยภาพอันยิ่งใหญ่
	${\displaystyle S=k_{B}\log W}$	${\displaystyle F=-k_{B}T\log Z}$	${\displaystyle \Omega =-k_{B}T\log {\mathcal {Z}}}$

เมื่อ กำหนด ฟังก์ชันพาร์ติชันสำหรับกลุ่มตัวอย่างในระบบใดระบบหนึ่งแล้ว ระบบนั้นจะถือว่า "ได้รับการแก้ไข" เนื่องจากสามารถหาค่าสังเกตทางเทอร์โมไดนามิกส์ระดับมหภาคทั้งหมดได้จากฟังก์ชันพาร์ติชันนั้นโดยใช้การอนุพันธ์ย่อย อย่างไรก็ตาม การคำนวณฟังก์ชันพาร์ติชันของกลุ่มตัวอย่างทางเทอร์โมไดนามิกส์มักเป็นความท้าทายอย่างมาก เนื่องจากต้องทำการรวมหรือการอินทิเกรตเหนือสถานะจุลภาคที่เป็นไปได้ทั้งหมดของระบบ ในขณะที่แบบจำลองในอุดมคติบางแบบอนุญาตให้มีคำตอบเชิงวิเคราะห์ที่แม่นยำ แต่ระบบหลายอนุภาคที่สมจริงส่วนใหญ่มีความซับซ้อนเกินกว่าที่จะใช้วิธีการดังกล่าว ดังนั้นจึงมีการใช้เทคนิคการประมาณค่าต่างๆ เช่น ทฤษฎีสนามเฉลี่ย การขยายการรบกวน หรือการจำลองมอนเตคาร์โล เพื่อประมาณฟังก์ชันพาร์ติชันและคำนวณค่าเฉลี่ยของปริมาณทางกายภาพ

มีบางกรณีที่สามารถหาคำตอบได้อย่างชัดเจน

• สำหรับระบบขนาดเล็กระดับจุลภาค สามารถคำนวณกลุ่มสถานะได้โดยตรงโดยการแจงนับสถานะที่เป็นไปได้ทั้งหมดของระบบ (โดยใช้การหาค่าเฉพาะที่แม่นยำในกลศาสตร์ควอนตัม หรือการอินทิเกรตเหนือปริภูมิเฟสทั้งหมดในกลศาสตร์คลาสสิก)
• ระบบขนาดใหญ่บางระบบประกอบด้วยระบบย่อยขนาดเล็กจำนวนมากที่แยกออกจากกันได้ และแต่ละระบบย่อยสามารถวิเคราะห์ได้อย่างอิสระ ที่น่าสังเกตคือก๊าซในอุดมคติของอนุภาคที่ไม่โต้ตอบกันมีคุณสมบัตินี้ ทำให้สามารถคำนวณสถิติ Maxwell–BoltzmannสถิติFermi–Diracและสถิติ Bose–Einsteinได้ อย่างแม่นยำ ^{[ 21 ]}
• ระบบขนาดใหญ่ที่มีปฏิสัมพันธ์บางส่วนได้รับการแก้ไขแล้ว โดยใช้เทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่ละเอียดอ่อน ทำให้พบวิธีแก้ปัญหาที่แม่นยำสำหรับแบบจำลองของเล่น บาง แบบ^{[ 31 ]}ตัวอย่างบางส่วน ได้แก่Bethe ansatz , แบบจำลอง Ising แบบตารางสี่เหลี่ยมในสนามศูนย์, แบบจำลองหกเหลี่ยมแข็ง

แม้ว่าปัญหาบางอย่างในฟิสิกส์เชิงสถิติสามารถแก้ไขได้โดยวิธีวิเคราะห์โดยใช้การประมาณและการขยาย แต่การวิจัยส่วนใหญ่ในปัจจุบันใช้พลังการประมวลผลขนาดใหญ่ของคอมพิวเตอร์สมัยใหม่เพื่อจำลองหรือประมาณคำตอบ วิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหาทางสถิติคือการใช้การจำลองแบบมอนเตคาร์โลเพื่อให้ได้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับคุณสมบัติของระบบที่ซับซ้อนวิธีการมอนเตคาร์โลมีความสำคัญในฟิสิกส์เชิงคำนวณเคมีเชิงฟิสิกส์และสาขาที่เกี่ยวข้อง และมีการประยุกต์ใช้ที่หลากหลาย รวมถึงฟิสิกส์การแพทย์ซึ่งใช้ในการจำลองการขนส่งรังสีสำหรับการคำนวณปริมาณรังสี^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}

วิธีการมอนเตคาร์โลจะตรวจสอบเพียงไม่กี่สถานะที่เป็นไปได้ของระบบ โดยเลือกสถานะเหล่านั้นแบบสุ่ม (โดยให้น้ำหนักอย่างยุติธรรม) ตราบใดที่สถานะเหล่านั้นเป็นตัวอย่างที่แสดงถึงสถานะทั้งหมดของระบบ ก็จะได้ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะโดยประมาณ และเมื่อมีการรวมตัวอย่างแบบสุ่มมากขึ้นเรื่อยๆ ข้อผิดพลาดก็จะลดลงจนถึงระดับที่ต่ำมากจนสามารถอนุมานได้

• อัลกอริทึม Metropolis –Hastingsเป็นวิธีการ Monte Carlo แบบคลาสสิก ซึ่งเดิมทีใช้ในการสุ่มตัวอย่างกลุ่มแคนอนิก (canonical ensemble)
• วิธีการ Monte Carlo แบบอินทิกรัลเส้นทาง (Path integral Monte Carlo ) ยังใช้ในการสุ่มตัวอย่างกลุ่มแคนอนิกัล (canonical ensemble) อีกด้วย

• สำหรับก๊าซที่ไม่อุดมคติที่มีความหนาแน่นต่ำ วิธีการต่างๆ เช่นการขยายคลัสเตอร์ใช้ทฤษฎีการรบกวนเพื่อรวมผลของปฏิสัมพันธ์ที่อ่อนแอ ซึ่งนำไปสู่การขยายตัวแบบวิเรียล^{[ 35 ]}
• สำหรับของเหลวที่มีความหนาแน่นสูง วิธีการประมาณอีกวิธีหนึ่งจะขึ้นอยู่กับฟังก์ชันการกระจายที่ลดลง โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชันการกระจายแบบรัศมี^{[ 35 ]}
• การจำลอง พลศาสตร์โมเลกุลด้วยคอมพิวเตอร์สามารถใช้คำนวณ ค่าเฉลี่ย ของกลุ่มไมโครแคนอนิกในระบบเออร์โกดิกได้ และหากรวมการเชื่อมต่อกับอ่างความร้อนแบบสุ่มเข้าไปด้วย ก็สามารถจำลองสภาวะแคนอนิกและแกรนด์แคนอนิกได้เช่นกัน
• วิธีการผสมผสานที่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ทางกลศาสตร์สถิติที่ไม่สมดุล (ดูด้านล่าง) อาจเป็นประโยชน์

ปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์หลายอย่างเกี่ยวข้องกับกระบวนการกึ่งเทอร์โมไดนามิกที่อยู่นอกสมดุล ตัวอย่างเช่น:

• การถ่ายเทความร้อนโดยการเคลื่อนที่ภายในของวัสดุซึ่งเกิดจากความไม่สมดุลของอุณหภูมิ
• กระแสไฟฟ้าที่เกิดจากการเคลื่อนที่ของประจุในตัวนำโดยมีสาเหตุมาจากความไม่สมดุลของแรงดันไฟฟ้า
• ปฏิกิริยาเคมีที่เกิดขึ้นเองโดยธรรมชาติซึ่งเกิดจากการลดลงของพลังงานอิสระ
• แรงเสียดทาน , การสูญเสียพลังงาน , การเสื่อมสภาพของควอนตัม
• ระบบที่ถูกกระตุ้นด้วยแรงภายนอก ( เช่น การกระตุ้นด้วยแสง )
• และกระบวนการที่ไม่สามารถย้อนกลับได้โดยทั่วไป

กระบวนการทั้งหมดเหล่านี้เกิดขึ้นในช่วงเวลาหนึ่งด้วยอัตราที่เฉพาะเจาะจง อัตราเหล่านี้มีความสำคัญในทางวิศวกรรม สาขาวิชากลศาสตร์สถิติที่ไม่สมดุลเกี่ยวข้องกับการทำความเข้าใจกระบวนการที่ไม่สมดุลเหล่านี้ในระดับจุลภาค (อุณหพลศาสตร์เชิงสถิติสามารถใช้คำนวณผลลัพธ์สุดท้ายได้เท่านั้น หลังจากที่ความไม่สมดุลภายนอกถูกกำจัดออกไปและระบบโดยรวมกลับสู่สภาวะสมดุลแล้ว)

โดยหลักการแล้ว กลศาสตร์เชิงสถิติที่ไม่สมดุลอาจมีความแม่นยำทางคณิตศาสตร์ได้ กล่าวคือ กลุ่มของระบบที่แยกตัวออกจากสิ่งแวดล้อมจะวิวัฒนาการไปตามเวลาตามสมการเชิงกำหนด เช่นสมการของ Liouvilleหรือสมการเทียบเท่าทางควอนตัมอย่างสมการของ von Neumannสมการเหล่านี้เป็นผลมาจากการประยุกต์ใช้สมการการเคลื่อนที่ทางกลกับแต่ละสถานะในกลุ่มอย่างอิสระ สมการวิวัฒนาการของกลุ่มเหล่านี้สืบทอดความซับซ้อนส่วนใหญ่มาจากการเคลื่อนที่ทางกลพื้นฐาน ดังนั้นการหาคำตอบที่แม่นยำจึงทำได้ยากมาก ยิ่งไปกว่านั้น สมการวิวัฒนาการของกลุ่มนั้นสามารถย้อนกลับได้โดยสมบูรณ์และไม่ทำลายข้อมูล ( เอนโทรปีของ Gibbs ของกลุ่ม ยังคงอยู่) เพื่อให้เกิดความก้าวหน้าในการสร้างแบบจำลองกระบวนการที่ไม่สามารถย้อนกลับได้ จำเป็นต้องพิจารณาปัจจัยเพิ่มเติม นอกเหนือจากความน่าจะเป็นและกลศาสตร์ที่ย้อนกลับได้

ดังนั้น กลศาสตร์นอกสมดุลจึงเป็นสาขาการวิจัยเชิงทฤษฎีที่กำลังได้รับความสนใจอย่างมาก เนื่องจากขอบเขตความถูกต้องของสมมติฐานเพิ่มเติมเหล่านี้ยังคงได้รับการสำรวจอย่างต่อเนื่อง แนวทางบางส่วนจะได้รับการอธิบายในหัวข้อย่อยต่อไปนี้

แนวทางหนึ่งในกลศาสตร์สถิติที่ไม่สมดุลคือการรวม พฤติกรรม สุ่ม (stochastic) เข้าไปในระบบ พฤติกรรมสุ่มจะทำลายข้อมูลที่มีอยู่ในกลุ่มตัวอย่าง แม้ว่าในทางเทคนิคแล้วจะไม่ถูกต้อง (นอกเหนือจากสถานการณ์สมมติที่เกี่ยวข้องกับหลุมดำระบบไม่สามารถทำให้ข้อมูลสูญหายได้ด้วยตัวเอง) แต่การเพิ่มความสุ่มเข้าไปนั้นสะท้อนให้เห็นว่าข้อมูลที่สนใจจะถูกแปลงไปตามเวลาเป็นความสัมพันธ์ที่ละเอียดอ่อนภายในระบบ หรือเป็นความสัมพันธ์ระหว่างระบบกับสิ่งแวดล้อม ความสัมพันธ์เหล่านี้ปรากฏเป็น อิทธิพล ที่อลหม่านหรือสุ่มเทียมต่อตัวแปรที่สนใจ การแทนที่ความสัมพันธ์เหล่านี้ด้วยความสุ่มที่แท้จริงจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นมาก

แบบจำลองทางกลศาสตร์เชิงสถิติที่ไม่สมดุลอีกประเภทหนึ่งที่สำคัญเกี่ยวข้องกับระบบที่ถูกรบกวนจากสมดุลเพียงเล็กน้อยเท่านั้น ด้วยการรบกวนเพียงเล็กน้อย การตอบสนองสามารถวิเคราะห์ได้ในทฤษฎีการตอบสนองเชิงเส้นผลลัพธ์ที่น่าทึ่ง ดังที่กำหนดไว้ในทฤษฎีบทความผันผวน-การกระจายพลังงานคือ การตอบสนองของระบบเมื่ออยู่ใกล้สมดุลมีความสัมพันธ์โดยตรงกับความผันผวนที่เกิดขึ้นเมื่อระบบอยู่ในสมดุลโดยสมบูรณ์ โดยพื้นฐานแล้ว ระบบที่อยู่ห่างจากสมดุลเล็กน้อย ไม่ว่าจะเกิดจากแรงภายนอกหรือความผันผวน ก็จะผ่อนคลายเข้าสู่สมดุลในลักษณะเดียวกัน เนื่องจากระบบไม่สามารถบอกความแตกต่างหรือ "รู้" ว่ามันอยู่ห่างจากสมดุลได้อย่างไร^{[ 35 ] : 664}

วิธีนี้ช่วยให้ได้ค่าตัวเลขต่างๆ เช่นค่าการนำไฟฟ้าแบบโอห์มิกและค่าการนำความร้อนโดยอ้อม โดยการดึงผลลัพธ์จากกลศาสตร์สถิติสมดุล เนื่องจากกลศาสตร์สถิติสมดุลนั้นมีนิยามทางคณิตศาสตร์ที่ชัดเจนและ (ในบางกรณี) ง่ายต่อการคำนวณมากกว่า ความสัมพันธ์ระหว่างความผันผวนและการกระจายพลังงานจึงเป็นทางลัดที่สะดวกสำหรับการคำนวณในกลศาสตร์สถิติใกล้สมดุล

เครื่องมือทางทฤษฎีบางส่วนที่ใช้ในการเชื่อมโยงนี้ ได้แก่:

• ทฤษฎีความผันผวน-การกระจายพลังงาน
• ความสัมพันธ์แบบต่างตอบแทนของออนซาเกอร์
• ความสัมพันธ์ระหว่างกรีนและคูโบ
• ลัทธิแบบแผนของลันเดาเออร์-บุตติเกอร์
• รูปแบบโมริ-ซวันซิก
• รูปแบบนิยมทั่วไป

แนวทางขั้นสูงใช้การผสมผสานระหว่างวิธีการสุ่มและทฤษฎีการตอบสนองเชิงเส้นตัวอย่างเช่น แนวทางหนึ่งในการคำนวณผลกระทบของความสอดคล้องควอนตัม ( การแปลตำแหน่งแบบอ่อนการผันผวนของค่าการนำไฟฟ้า ) ในค่าการนำไฟฟ้าของระบบอิเล็กทรอนิกส์คือการใช้ความสัมพันธ์ของ Green–Kubo โดยรวมถึงการลดเฟส แบบสุ่ม โดยปฏิสัมพันธ์ระหว่างอิเล็กตรอนต่างๆ โดยใช้วิธี Keldysh ^{[ 36 ] [ 37 ]}

รูปแบบเชิงกลุ่ม (Ensemble formalism) สามารถนำมาใช้วิเคราะห์ระบบกลไกทั่วไปที่มีความไม่แน่นอนเกี่ยวกับสถานะของระบบได้ นอกจากนี้ รูปแบบเชิงกลุ่มยังถูกนำไปใช้ในด้านต่างๆ ดังนี้:

• การแพร่กระจายของความไม่แน่นอนเมื่อเวลาผ่านไป^{[ 20 ]}
• การวิเคราะห์การถดถอยของวงโคจร แรงโน้ม ถ่วง
• การพยากรณ์ อากาศแบบกลุ่ม (ensemble forecasting )
• พลวัตของเครือข่ายประสาทเทียม
• เกมที่มีศักยภาพเชิงเหตุผลแบบจำกัดในทฤษฎีเกมและเศรษฐศาสตร์นอกภาวะสมดุล

ฟิสิกส์เชิงสถิติอธิบายและให้รายละเอียดเชิงปริมาณเกี่ยวกับสภาพนำยิ่งยวด สภาพของไหล ยิ่งยวดความปั่นป่วนปรากฏการณ์รวมหมู่ในของแข็งและพลาสมาและลักษณะโครงสร้างของของเหลวมันเป็นพื้นฐานของฟิสิกส์ดาราศาสตร์ สมัยใหม่ และทฤษฎีวิเรียลในฟิสิกส์ของของแข็ง ฟิสิกส์เชิงสถิติช่วยในการศึกษาผลึกเหลวการเปลี่ยนเฟสและปรากฏการณ์วิกฤตการศึกษาเชิงทดลองเกี่ยวกับสสารจำนวนมากอาศัยคำอธิบายเชิงสถิติของระบบโดยสิ้นเชิง ซึ่งรวมถึงการกระเจิงของนิวตรอนเย็นรังสีเอกซ์แสงที่มองเห็นได้และอื่นๆ ฟิสิกส์เชิงสถิติยังมีบทบาทในวิทยาศาสตร์วัสดุ ฟิสิกส์นิวเคลียร์ ฟิสิกส์ดาราศาสตร์ เคมี ชีววิทยา และการแพทย์ (เช่น การศึกษาการแพร่กระจายของโรคติดเชื้อ)

เทคนิคการวิเคราะห์และการคำนวณที่ได้มาจากฟิสิกส์เชิงสถิติของระบบที่ไม่เป็นระเบียบ สามารถขยายไปสู่ปัญหาขนาดใหญ่ได้ รวมถึงการเรียนรู้ของเครื่อง เช่น การวิเคราะห์พื้นที่น้ำหนักของเครือข่ายประสาทเทียมเชิงลึก^{[ 38 ]}ดังนั้น ฟิสิกส์เชิงสถิติจึงพบการประยุกต์ใช้ในด้านการวินิจฉัยทางการแพทย์^{[ 39 ]}

กลศาสตร์เชิงสถิติควอนตัมคือ กลศาสตร์เชิงสถิติที่ประยุกต์ใช้กับระบบกลศาสตร์ควอนตัมในกลศาสตร์ควอนตัมกลุ่มสถิติ (การกระจายความน่าจะเป็นเหนือสถานะควอนตัม ที่เป็นไปได้ ) จะถูกอธิบายโดยตัวดำเนินการความหนาแน่นSซึ่งเป็นตัวดำเนินการที่ไม่เป็นลบ สมมาตรในตัวเองและ มีค่า ร่องรอยเท่ากับ 1 บนปริภูมิฮิลเบิร์ตHที่อธิบายระบบควอนตัม สามารถแสดงสิ่งนี้ได้ภายใต้รูปแบบทางคณิตศาสตร์ต่างๆสำหรับกลศาสตร์ควอนตัมหนึ่งในรูปแบบดังกล่าวคือรูปแบบที่ใช้ในตรรกศาสตร์ควอนตัม

• แอมพลิจูดความน่าจะเป็น
• ฟิสิกส์เชิงสถิติ
• ปัจจัยโบลต์ซมันน์
• สูตรเฟย์นแมน-แคค
• ทฤษฎีความผันผวน
• เอนโทรปีของข้อมูล
• ค่าคาดหวังสุญญากาศ
• ความแปรปรวนของจักรวาล
• ความน่าจะเป็นเชิงลบ
• รัฐกิบบส์
• สมการหลัก
• ฟังก์ชันแบ่งส่วน (คณิตศาสตร์)
• ความน่าจะเป็นควอนตัม

• ทฤษฎีการซึมผ่าน
• วิวัฒนาการของ Schramm–Loewner

• รายชื่อตำราเรียนวิชาอุณหพลศาสตร์และกลศาสตร์เชิงสถิติ
• การแปลงลาปลาส § กลศาสตร์เชิงสถิติ

• Reif, F. (2009). พื้นฐานของฟิสิกส์เชิงสถิติและความร้อน . สำนักพิมพ์ Waveland. ISBN 978-1-4786-1005-2.
• Müller-Kirsten, Harald J W. (2013). พื้นฐานของฟิสิกส์เชิงสถิติ (PDF) . doi : 10.1142/8709 . ISBN 978-981-4449-53-3.
• Kadanoff, Leo P. "ฟิสิกส์เชิงสถิติและแหล่งข้อมูลอื่นๆ" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 12 สิงหาคม 2021 . สืบค้นเมื่อ18 มิถุนายน 2023 .
• Kadanoff, Leo P. (2000). ฟิสิกส์เชิงสถิติ: สถิตศาสตร์ พลศาสตร์ และการปรับค่ามาตรฐาน . World Scientific. ISBN 978-981-02-3764-6.
• Flamm, Dieter (1998). "ประวัติและแนวโน้มของฟิสิกส์เชิงสถิติ". arXiv : physics/9803005 .

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับกลศาสตร์เชิงสถิติ

• บทความเรื่อง "ปรัชญาของกลศาสตร์เชิงสถิติ"โดย ลอว์เรนซ์ สคลาร์ สำหรับสารานุกรมปรัชญาแห่งมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด
• Sklogwiki - อุณหพลศาสตร์ กลศาสตร์เชิงสถิติ และการจำลองวัสดุด้วยคอมพิวเตอร์ SklogWiki เน้นเป็นพิเศษไปที่ของเหลวและสสารควบแน่นแบบอ่อน
• อุณหพลศาสตร์และกลศาสตร์เชิงสถิติโดย ริชาร์ด ฟิตซ์แพทริก
• Cohen, Doron (2011). "บันทึกการบรรยายในกลศาสตร์สถิติและเมโซสโคปิก". arXiv : 1107.0568 [ quant-ph ].
• วิดีโอชุดบรรยายวิชาสถิติเชิงกลศาสตร์บน YouTubeสอนโดย Leonard Susskind
• Vu-Quoc, L., ปริพันธ์การกำหนดค่า (กลศาสตร์สถิติ) , 2008. เว็บไซต์วิกิแห่งนี้ปิดตัวลงแล้ว โปรดดูบทความนี้ในคลังเก็บข้อมูลเว็บเมื่อวันที่ 28 เมษายน 2012