ในหลายกรณี${\displaystyle X}$เป็นค่าจริงกล่าวคือ${\displaystyle E=\mathbb {R} }$ในบางบริบท คำว่าองค์ประกอบสุ่ม (ดูส่วนขยาย ) ใช้เพื่อหมายถึงตัวแปรสุ่มที่ไม่ได้อยู่ในรูปแบบนี้

เมื่อภาพ (หรือช่วง) ของ${\displaystyle X}$หากตัวแปรสุ่มมีค่าจำกัดหรืออนันต์นับได้ตัวแปรสุ่มนั้นจะเรียกว่าตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง^{[ 5 ] : 399}และการแจกแจงของมันคือการกระจายความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องกล่าวคือ สามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นที่กำหนดความน่าจะเป็นให้กับแต่ละค่าในภาพของ${\displaystyle X}$ถ้าภาพนั้นมีขนาดอนันต์นับไม่ได้ (โดยปกติจะเป็นช่วง ) แล้ว${\displaystyle X}$เรียกว่าตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง [ ^{6 ] [ 7 ] ใน}กรณีพิเศษที่ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์การกระจายของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์สามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นซึ่งกำหนดความน่าจะเป็นให้กับช่วงต่างๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จุดแต่ละจุดจะต้องมีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์ ไม่ใช่ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องทั้งหมดที่จะต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์^{[ 8 ]}

ตัวแปรสุ่มใดๆ สามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันการกระจายสะสมซึ่งอธิบายถึงความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มนั้นจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับค่าที่กำหนด

ในทางสถิติ คำว่า "ตัวแปรสุ่ม" ตามธรรมเนียมแล้วมักจำกัดอยู่เฉพาะกรณีค่าจริง ( ⁠${\displaystyle E=\mathbb {R} }$ในกรณีนี้ โครงสร้างของจำนวนจริงทำให้สามารถกำหนดปริมาณต่างๆ เช่นค่าคาดหวังและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มฟังก์ชันการกระจายสะสมและโมเมนต์ของการกระจายได้

อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความข้างต้นนั้นใช้ได้กับพื้นที่ที่สามารถวัดได้ ทุกพื้นที่${\displaystyle E}$ของค่าต่างๆ ดังนั้นจึงสามารถพิจารณาองค์ประกอบสุ่มของเซตอื่นๆ ได้${\displaystyle E}$เช่นค่าบูลีนแบบ สุ่ม ค่าเชิงหมวดหมู่ จำนวนเชิงซ้อนเวกเตอร์เมทริกซ์ลำดับต้นไม้เซตรูปร่างแมนิโฟลด์และฟังก์ชันจากนั้นจึงสามารถอ้างถึงตัวแปรสุ่มประเภทใด ประเภทหนึ่งโดยเฉพาะ ได้${\displaystyle E}$หรือ${\displaystyle E}$ตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็น -

แนวคิดทั่วไปขององค์ประกอบสุ่ม นี้ มีประโยชน์อย่างยิ่งในสาขาวิชาต่างๆ เช่นทฤษฎีกราฟการ เรียนรู้ ของเครื่องการประมวลผลภาษาธรรมชาติและสาขาอื่นๆ ในคณิตศาสตร์เชิงดิสครีตและวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ ซึ่งมักมีความสนใจในการสร้างแบบจำลองความแปรผันแบบสุ่มของ โครงสร้างข้อมูลที่ไม่ใช่ตัวเลขในบางกรณี การแสดงแต่ละองค์ประกอบของ ก็สะดวกกว่าเช่นกัน${\displaystyle E}$โดยใช้จำนวนจริงหนึ่งจำนวนหรือมากกว่า ในกรณีนี้ องค์ประกอบสุ่มอาจถูกแทนด้วยเวกเตอร์ของตัวแปรสุ่มค่าจริง (ซึ่งทั้งหมดถูกกำหนดบนปริภูมิความน่าจะเป็นพื้นฐานเดียวกัน)${\displaystyle \Omega }$ซึ่งทำให้ตัวแปรสุ่มต่างๆ สามารถแปรผันร่วมกันได้ตัวอย่างเช่น:

• คำสุ่มอาจถูกแทนด้วยจำนวนเต็มสุ่มที่ทำหน้าที่เป็นดัชนีในคำศัพท์ที่เป็นไปได้ หรืออีกทางหนึ่ง อาจถูกแทนด้วยเวกเตอร์ตัวบ่งชี้สุ่ม ซึ่งมีความยาวเท่ากับขนาดของคำศัพท์ โดยที่ค่าที่มีความน่าจะเป็นเป็นบวกจะมีเพียงค่าเดียวเท่านั้น${\displaystyle (1\ 0\ 0\ 0\ \cdots )}$,${\displaystyle (0\ 1\ 0\ 0\ \cdots )}$,${\displaystyle (0\ 0\ 1\ 0\ \cdots )}$และตำแหน่งของเลข 1 บ่งบอกถึงคำนั้น
• ประโยคสุ่มที่มีความยาวตามที่กำหนด${\displaystyle N}$อาจแสดงเป็นเวกเตอร์ของ${\displaystyle N}$คำสุ่ม
• กราฟแบบสุ่มบน${\displaystyle N}$จุดยอดที่กำหนดอาจแสดงได้เป็น a${\displaystyle N\times N}$เมทริกซ์ของตัวแปรสุ่ม ซึ่งค่าของตัวแปรเหล่านั้นระบุเมทริกซ์ประชิดของกราฟสุ่ม
• ฟังก์ชันสุ่ม${\displaystyle F}$อาจแสดงได้ในรูปของชุดตัวแปรสุ่ม${\displaystyle F(x)}$โดยให้ค่าของฟังก์ชัน ณ จุดต่างๆ${\displaystyle x}$ในโดเมนของฟังก์ชันนั้น${\displaystyle F(x)}$ตัวแปรสุ่มค่าจริงทั่วไปนั้น ต้องเป็นฟังก์ชันค่าจริงด้วย ตัวอย่างเช่นกระบวนการสุ่ม (stochastic process)คือฟังก์ชันสุ่มของเวลา และเวกเตอร์สุ่ม (random vector)คือฟังก์ชันสุ่มของชุดดัชนี บางชุด เช่น${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$และฟิลด์สุ่มคือฟังก์ชันสุ่มบนเซตใดๆ (โดยทั่วไปคือเวลา พื้นที่ หรือเซตแบบไม่ต่อเนื่อง)

ลองพิจารณาการทดลองที่เลือกบุคคลแบบสุ่ม ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มอาจเป็นความสูงของบุคคลนั้น ในทางคณิตศาสตร์ ตัวแปรสุ่มถูกตีความว่าเป็นฟังก์ชันที่เชื่อมโยงบุคคลกับความสูงของเขา ตัวแปรสุ่มนี้เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น ซึ่งช่วยให้สามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่ความสูงจะอยู่ในช่วงย่อยใดๆ ของค่าที่เป็นไปได้ เช่น ความน่าจะเป็นที่ความสูงอยู่ระหว่าง 180 ถึง 190  เซนติเมตร หรือความน่าจะเป็นที่ความสูงน้อยกว่า 150 หรือมากกว่า 200  เซนติเมตร

ตัวแปรสุ่มอีกตัวหนึ่งอาจเป็นจำนวนบุตรของบุคคลนั้น ตัวแปรสุ่มนี้เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่มีค่าเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ซึ่งช่วยให้สามารถคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับค่าจำนวนเต็มแต่ละค่าได้ – ฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวล (PMF) – หรือสำหรับเซตของค่าต่างๆ รวมถึงเซตอนันต์ ตัวอย่างเช่น เหตุการณ์ที่สนใจอาจเป็น "จำนวนบุตรเป็นเลขคู่" สำหรับทั้งเซตเหตุการณ์แบบจำกัดและแบบอนันต์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านั้นสามารถหาได้โดยการบวก PMF ขององค์ประกอบต่างๆ เข้าด้วยกัน นั่นคือ ความน่าจะเป็นของจำนวนบุตรเป็นเลขคู่คือผลรวมอนันต์ของPMF${\displaystyle \operatorname {PMF} (0)+\operatorname {PMF} (2)+\operatorname {PMF} (4)+\cdots }$⁠ .

ในตัวอย่างเช่นนี้พื้นที่ตัวอย่างมักถูกละเว้น เนื่องจากเป็นการยากที่จะอธิบายทางคณิตศาสตร์ และค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มจะถูกมองว่าเป็นพื้นที่ตัวอย่างแทน แต่เมื่อมีการวัดตัวแปรสุ่มสองตัวในพื้นที่ตัวอย่างผลลัพธ์เดียวกัน เช่น ความสูงและจำนวนบุตรที่คำนวณจากบุคคลสุ่มเดียวกัน การติดตามความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรทั้งสองจะง่ายขึ้นหากยอมรับว่าทั้งความสูงและจำนวนบุตรมาจากบุคคลสุ่มเดียวกัน ตัวอย่างเช่น เพื่อให้สามารถตั้งคำถามได้ว่าตัวแปรสุ่มดังกล่าวมีความสัมพันธ์กันหรือไม่

ถ้า${\textstyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}}$เป็นเซตที่นับได้ของจำนวนจริง${\textstyle b_{n}>0}$และ​${\displaystyle \textstyle \sum _{n}b_{n}=1}$จากนั้น${\textstyle F=\sum _{n}b_{n}\delta _{a_{n}}(x)}$เป็นฟังก์ชันการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง ที่นี่${\displaystyle \delta _{t}(x)=0}$สำหรับ​${\displaystyle x<t}$, ⁠​${\displaystyle \delta _{t}(x)=1}$สำหรับ​​${\displaystyle x\geq t}$ยก ตัวอย่างเช่นการแจงนับจำนวนตรรกยะทั้งหมด${\displaystyle \{a_{n}\}}$จะได้ฟังก์ชันแบบไม่ต่อเนื่อง ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันขั้นบันได ( ค่าคงที่ แบบเป็นช่วง )

การทอยลูกเต๋า

ตัวแปรสุ่มยังสามารถใช้เพื่ออธิบายกระบวนการทอยลูกเต๋าและผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ได้อีกด้วย การแสดงผลที่ชัดเจนที่สุดสำหรับกรณีลูกเต๋า 2 ลูก คือการใช้เซตของคู่ตัวเลขn และn จาก {1, 2, 3, 4, 5, 6} (ซึ่งแทนตัวเลขบนลูกเต๋า 2 ลูก) เป็นปริภูมิของตัวอย่าง ตัวเลขรวมที่ทอยได้ (ผลรวมของตัวเลขในแต่ละคู่) จะเป็นตัวแปรสุ่มXซึ่งกำหนดโดยฟังก์ชันที่แปลงคู่ตัวเลขไปเป็นผลรวม: $${\displaystyle X((n_{1},n_{2}))=n_{1}+n_{2}}$$ และ (ถ้าลูกเต๋าเป็นลูกเต๋าที่ยุติธรรม ) จะมีฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวลf ที่กำหนดโดย: $${\displaystyle f_{X}(S)={\frac {\min(S-1,13-S)}{36}},{\text{ for }}S\in \{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}}$$

ตามหลักการแล้ว ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องคือตัวแปรสุ่มที่มีฟังก์ชันการกระจายสะสมต่อเนื่องทุกที่^{[ 10 ]}ไม่มี " ช่องว่าง " ซึ่งจะสอดคล้องกับตัวเลขที่มีความน่าจะเป็นที่จำกัดของการเกิดขึ้นในทางกลับกัน ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องแทบจะไม่รับค่าที่กำหนดไว้แน่นอนc (ตามหลักการแล้ว${\textstyle \forall c\in \mathbb {R}$ :\;\Pr(X=c)=0} ) แต่มีความน่าจะเป็นเป็นบวกที่ค่าของมันจะอยู่ในช่วง เฉพาะ ซึ่งอาจมีขนาดเล็กมากได้ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องมักจะมีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะ เป็น (PDF) ซึ่งแสดงลักษณะเฉพาะของ CDF และมาตรวัดความน่าจะเป็น การแจกแจงดังกล่าวเรียกว่าต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์แต่การแจกแจงต่อเนื่องบางอย่างอาจเป็นแบบเอกฐานหรือเป็นการผสมผสานระหว่างส่วนที่ต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์และส่วนที่เป็นเอกฐาน

ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องคือตัวแปรที่อิงจากวงล้อหมุนที่สามารถเลือกทิศทางแนวนอนได้ ค่าที่ตัวแปรสุ่มรับได้จะเป็นทิศทาง เราอาจแทนทิศทางเหล่านี้ด้วยทิศเหนือ ทิศตะวันตก ทิศตะวันออก ทิศใต้ ทิศตะวันออกเฉียงใต้ เป็นต้น อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วจะสะดวกกว่าที่จะแปลงปริภูมิของตัวอย่างไปเป็นตัวแปรสุ่มที่รับค่าเป็นจำนวนจริง ตัวอย่างเช่น สามารถทำได้โดยการแปลงทิศทางไปเป็นองศาตามเข็มนาฬิกาจากทิศเหนือ ตัวแปรสุ่มจะรับค่าเป็นจำนวนจริงในช่วง [0, 360] โดยทุกส่วนของช่วงนั้น "มีโอกาสเท่ากัน" ในกรณีนี้X = มุมที่หมุนได้ จำนวนจริงใดๆ มีโอกาสถูกเลือกเป็นศูนย์ แต่สามารถกำหนดความน่าจะเป็นที่เป็นบวกให้กับช่วง ค่าใดๆ ก็ได้ ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็น ของการเลือกตัวเลขในช่วง [0, 180] คือ1/2 แทนที่จะพูดถึงฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น เราจะกล่าวว่าความหนาแน่น ของความน่าจะเป็น ของXคือ 1/360 ความน่าจะเป็นของเซตย่อยในช่วง [0,  360) สามารถคำนวณได้โดยการคูณขนาดของเซตด้วย 1/360 โดยทั่วไปแล้ว ความน่าจะเป็นของเซตสำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่กำหนดให้ สามารถคำนวณได้โดยการอินทิเกรตความหนาแน่นเหนือเซตที่กำหนดให้

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น เมื่อพิจารณาช่วงเวลา ใดๆ${\textstyle I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}}$ตัวแปรสุ่ม${\displaystyle X_{I}\sim \operatorname {U} (I)=\operatorname {U} [a,b]}$เรียกว่า " ตัวแปรสุ่มเอก รูปต่อเนื่อง " (CURV) ถ้าความน่าจะเป็นที่ตัวแปรนั้นจะมีค่าในช่วงย่อยใดๆขึ้นอยู่กับความยาวของช่วงย่อยนั้นเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของ${\displaystyle X_{I}}$ตกอยู่ในช่วงย่อยใดๆ${\displaystyle [c,d]\subseteq [a,b]}$เป็นสัดส่วนกับความยาวของช่วงย่อย กล่าวคือ ถ้าa ≤ c ≤ d ≤ bจะได้ว่า $${\displaystyle \Pr \left(X_{I}\in [c,d]\right)={\frac {d-c}{b-a}}}$$ โดยความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายเป็นผลมาจากสัจพจน์ความเป็นเอกภาพของความน่าจะเป็น ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของเส้นโค้ง${\displaystyle X\sim \operatorname {U} [a,b]}$กำหนดโดยฟังก์ชันตัวบ่งชี้ของช่วงการสนับสนุนที่ถูกทำให้เป็นมาตรฐานโดยความยาวของช่วงนั้น:$${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}\displaystyle {1 \over b-a},&a\leq x\leq b\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือการแจกแจงแบบเอกรูปในช่วงหน่วย${\displaystyle [0,1]}$ตัวอย่างของการแจกแจงความน่าจะเป็น ใดๆ ที่ต้องการ${\displaystyle \operatorname {D} }$สามารถสร้างขึ้นได้โดยการคำนวณฟังก์ชันควอนไทล์ของ${\displaystyle \operatorname {D} }$โดยพิจารณาจากตัวเลขสุ่มที่กระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วงหน่วย วิธีนี้ใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติของฟังก์ชันการกระจายสะสมซึ่งเป็นกรอบการทำงานที่เป็นเอกภาพสำหรับตัวแปรสุ่มทั้งหมด

ตัวแปรสุ่มแบบผสมคือตัวแปรสุ่มที่มีฟังก์ชันการกระจายสะสมที่ไม่เป็นแบบไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่องทุกที่^{[ 10 ]}สามารถสร้างเป็นส่วนผสมของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องได้ ในกรณีนี้CDFจะเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของ CDF ของตัวแปรองค์ประกอบ^{[ 10 ]}

ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มแบบผสมจะมาจากการทดลองที่โยนเหรียญ และจะหมุนวงล้อก็ต่อเมื่อผลการโยนเหรียญเป็นหัวเท่านั้น ถ้าผลเป็นก้อยX = −1; มิเช่นนั้นXจะมีค่าเท่ากับค่าที่ได้จากวงล้อดังตัวอย่างก่อนหน้านี้ มีโอกาส 1/2 ที่ตัวแปรสุ่มนี้จะมีค่าเป็น−1 ช่วงค่าอื่นๆจะมีโอกาสเป็นครึ่งหนึ่งของตัวอย่างที่แล้ว

โดยทั่วไปแล้ว การแจกแจงความน่าจะเป็นทุกแบบบนเส้นจำนวนจริงจะเป็นส่วนผสมของส่วนที่ไม่ต่อเนื่อง ส่วนเอกฐาน และส่วนที่ต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์ ดูทฤษฎีบทการแยกส่วนของเลเบส §  การปรับปรุงส่วนที่จะไม่ต่อเนื่องจะกระจุกตัวอยู่ในเซตที่นับได้ แต่เซตนี้อาจมีความหนาแน่น (เช่น เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด)

ในกรณีนี้ พื้นที่การสังเกตคือเซตของจำนวนจริง โปรดจำไว้ว่า ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$คือปริภูมิความน่าจะเป็น สำหรับปริภูมิการสังเกตจริง ฟังก์ชัน${\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$เป็นตัวแปรสุ่มค่าจริง ถ้า

${\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq r\}\in {\mathcal {F}}\qquad \forall r\in \mathbb {R} .}$

นิยามนี้เป็นกรณีพิเศษของนิยามข้างต้น เนื่องจากเซต${\displaystyle \{(-\infty ,r]:r\in \mathbb {R} \}}$สร้างพีชคณิตบอเรล σ บนเซตของจำนวนจริง และเพียงพอที่จะตรวจสอบความสามารถในการวัดบนเซตตัวสร้างใดๆ ที่นี่เราสามารถพิสูจน์ความสามารถในการวัดบนเซตตัวสร้างนี้ได้โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า⁠${\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq r\}=X^{-1}((-\infty ,r])}$⁠ .

อนุญาต${\displaystyle X}$เป็น ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่มีค่าเป็นจำนวนจริงและให้⁠${\displaystyle Y=X^{2}}$⁠ .

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}\leq y).}$

ถ้า​${\displaystyle y<0}$แล้ว​​${\displaystyle P(X^{2}\leq y)=0}$ดังนั้น​

${\displaystyle F_{Y}(y)=0\qquad {\hbox{if}}\quad y<0.}$

ถ้า​${\displaystyle y\geq 0}$จากนั้น

${\displaystyle \operatorname {P} (X^{2}\leq y)=\operatorname {P} (|X|\leq {\sqrt {y}})=\operatorname {P} (-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}}),}$

ดังนั้น

${\displaystyle F_{Y}(y)=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})\qquad {\hbox{if}}\quad y\geq 0.}$

สมมติ${\displaystyle X}$เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงสะสม

${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)={\frac {1}{(1+e^{-x})^{\theta }}}}$

ที่ไหน${\displaystyle \theta >0}$เป็นพารามิเตอร์คงที่ พิจารณาตัวแปรสุ่ม${\displaystyle Y=\mathrm {log} (1+e^{-X}).}$แล้ว,

${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(\mathrm {log} (1+e^{-X})\leq y)=P(X\geq -\mathrm {log} (e^{y}-1)).\,}$

นิพจน์สุดท้ายสามารถคำนวณได้โดยใช้การแจกแจงสะสมของ⁠${\displaystyle X}$ดังนั้น​

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Y}(y)&=1-F_{X}(-\log(e^{y}-1))\\[5pt]&=1-{\frac {1}{(1+e^{\log(e^{y}-1)})^{\theta }}}\\[5pt]&=1-{\frac {1}{(1+e^{y}-1)^{\theta }}}\\[5pt]&=1-e^{-y\theta },\end{aligned}}}$

ซึ่งก็คือฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) ของการกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียล

สมมติ${\displaystyle X}$เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน โดย มีฟังก์ชันความหนาแน่นคือ

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}.}$

พิจารณาตัวแปรสุ่ม⁠${\displaystyle Y=X^{2}}$เราสามารถหาความหนาแน่นได้โดยใช้สูตรข้างต้นสำหรับการเปลี่ยนตัวแปร:

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

ในกรณีนี้ การเปลี่ยนแปลงไม่ใช่แบบโมโนโทนิกเนื่องจากค่าทุกค่าของ${\displaystyle Y}$มีค่าที่สอดคล้องกันสองค่าของ${\displaystyle X}$(หนึ่งค่าบวกและหนึ่งค่าลบ) อย่างไรก็ตาม เนื่องจากสมมาตร ทั้งสองส่วนจะแปลงสภาพเหมือนกัน กล่าวคือ

${\displaystyle f_{Y}(y)=2f_{X}(g^{-1}(y))\left|{\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

การแปลงผกผันคือ

${\displaystyle x=g^{-1}(y)={\sqrt {y}}}$

และอนุพันธ์ของมันคือ

${\displaystyle {\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}.}$

แล้ว,

${\displaystyle f_{Y}(y)=2{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-y/2}{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi y}}}e^{-y/2}.}$

นี่คือการแจกแจงไคกำลังสองที่มีหนึ่งองศาอิสระ

สมมติ${\displaystyle X}$เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติ โดย มีความหนาแน่นของฟังก์ชันเป็น

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}.}$

พิจารณาตัวแปรสุ่ม${\displaystyle Y=X^{2}.}$เราสามารถหาความหนาแน่นได้โดยใช้สูตรข้างต้นสำหรับการเปลี่ยนตัวแปร:

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

ในกรณีนี้ การเปลี่ยนแปลงไม่ใช่แบบโมโนโทนิกเนื่องจากค่าทุกค่าของ${\displaystyle Y}$มีค่าที่สอดคล้องกันสองค่าของ${\displaystyle X}$(หนึ่งค่าบวกและหนึ่งค่าลบ) แตกต่างจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ ในกรณีนี้ไม่มีความสมมาตร และเราต้องคำนวณสองพจน์ที่แตกต่างกัน:

${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}(g_{1}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{1}^{-1}(y)}{dy}}\right|+f_{X}(g_{2}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{2}^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

การแปลงผกผันคือ

${\displaystyle x=g_{1,2}^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}}$

และอนุพันธ์ของมันคือ

${\displaystyle {\frac {dg_{1,2}^{-1}(y)}{dy}}=\pm {\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}.}$

แล้ว,

${\displaystyle f_{Y}(y)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}(e^{-({\sqrt {y}}-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}+e^{-(-{\sqrt {y}}-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}).}$

นี่คือ การ แจกแจงไคกำลังสองแบบไม่ศูนย์กลางที่มีหนึ่งองศาอิสระ

ถ้าปริภูมิของตัวอย่างเป็นเซตย่อยของเส้นจำนวนจริง ตัวแปรสุ่มXและYจะมีการกระจายเท่ากัน (แสดงด้วย⁠)${\displaystyle X~{\stackrel {d}{=}}~Y}$)ถ้าพวกมันมีฟังก์ชันการกระจายตัวแบบเดียวกัน:

${\displaystyle \operatorname {P} (X\leq x)=\operatorname {P} (Y\leq x)\quad {\text{for all }}x.}$

เพื่อให้มีการแจกแจงที่เท่ากัน ตัวแปรสุ่มไม่จำเป็นต้องถูกกำหนดบนปริภูมิความน่าจะเป็นเดียวกัน ตัวแปรสุ่มสองตัวที่มีฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ที่ เท่ากัน จะมีการแจกแจงเดียวกัน วิธีนี้มีประโยชน์ในการตรวจสอบความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการแจกแจงเหมือนกัน (IID)อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์มีอยู่เฉพาะสำหรับการแจกแจงที่มีการแปลงลาปลาสที่กำหนดไว้เท่านั้น

ตัวแปรสุ่มสองตัวXและYมีค่าเท่ากันเกือบแน่นอน (แสดงด้วยสัญลักษณ์ )${\displaystyle X\;{\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\;Y}$) ก็ต่อเมื่อ ความน่าจะเป็นที่ทั้งสองจะแตกต่างกันเป็นศูนย์ เท่านั้น :

${\displaystyle \operatorname {P} (X\neq Y)=0.}$

ในทางปฏิบัติแล้ว ในทฤษฎีความน่าจะเป็น แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันนี้มีความสำคัญเทียบเท่ากับความเท่าเทียมกันที่แท้จริง โดยมีความสัมพันธ์กับระยะทางดังต่อไปนี้:

${\displaystyle d_{\infty }(X,Y)=\operatorname {ess} \sup _{\omega }|X(\omega )-Y(\omega )|,}$

โดยที่ "ess sup" หมายถึงค่าสูงสุดที่สำคัญในความหมายของทฤษฎีการวัด

สุดท้ายนี้ ตัวแปรสุ่มXและYจะเท่ากันก็ต่อเมื่อตัวแปรสุ่มทั้งสองนั้นเท่ากันในฐานะฟังก์ชันบนปริภูมิที่วัดได้ของพวกมัน:

${\displaystyle X(\omega )=Y(\omega )\qquad {\hbox{for all }}\omega .}$

แนวคิดนี้มักมีประโยชน์น้อยที่สุดในทฤษฎีความน่าจะเป็น เพราะในทางปฏิบัติและในทางทฤษฎีพื้นที่การวัด พื้นฐาน ของการทดลอง นั้น แทบจะไม่ได้รับการระบุลักษณะอย่างชัดเจน หรือแม้แต่สามารถระบุลักษณะได้เลย

เนื่องจากเราไม่ค่อยสร้างปริภูมิความน่าจะเป็นที่อยู่เบื้องหลังตัวแปรสุ่มอย่างชัดเจน ความแตกต่างระหว่างแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันเหล่านี้จึงค่อนข้างละเอียดอ่อน โดยพื้นฐานแล้ว ตัวแปรสุ่มสองตัวที่พิจารณาแยกกันจะ "เท่าเทียมกันในทางปฏิบัติ" หากมีการกระจายตัวที่เท่ากัน แต่เมื่อเรานำตัวแปรสุ่มเหล่านั้นไปเชื่อมโยงกับ ตัวแปรสุ่ม อื่น ๆที่กำหนดไว้ในปริภูมิความน่าจะเป็นเดียวกัน ตัวแปรสุ่มเหล่านั้นจะยังคง "เท่าเทียมกันในทางปฏิบัติ" ก็ต่อเมื่อมีความเท่าเทียมกันเกือบแน่นอนเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น พิจารณาตัวแปรสุ่มจริงA , B , CและDซึ่งกำหนดไว้ในปริภูมิความน่าจะเป็นเดียวกัน สมมติว่าAและBเท่ากันเกือบแน่นอน (${\displaystyle A\;{\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\;B}$) แต่AและCมีความเท่าเทียมกันเฉพาะในด้านการกระจายตัวเท่านั้น (${\displaystyle A~{\stackrel {d}{=}}~C}$). แล้ว${\displaystyle A+D\;{\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\;B+D}$แต่โดยทั่วไป${\displaystyle A+D\neq C+D}$(ไม่แม้แต่ในการกระจาย) ในทำนองเดียวกัน เรามีค่าคาดหวัง${\displaystyle \mathbb {E} (AD)=\mathbb {E} (BD)}$แต่โดยทั่วไป${\displaystyle \mathbb {E} (AD)\neq \mathbb {E} (CD)}$ดังนั้น ตัวแปรสุ่มสองตัวที่มีการแจกแจงเหมือนกัน (แต่ไม่เหมือนกันเกือบแน่นอน) อาจมีค่าความแปรปรวน ร่วม กับตัวแปรสุ่มตัวที่สาม ที่แตกต่างกันได้