การแจกแจง $t$ ของนักเรียน

Q: ฟังก์ชันการกระจายสะสม

ฟังก์ชัน การกระจายสะสม (CDF) สามารถเขียนได้ในรูปของ I ซึ่งเป็น ฟังก์ชันเบต้าไม่สมบูรณ์แบบ ปรับค่า สำหรับ t > 0

Q: กรณีพิเศษ

ค่าบางค่าทำให้การแจกแจงแบบ t ของนักเรียนมีรูปแบบที่เรียบง่าย ν {\displaystyle \ \nu \ }

นักเรียน $t$
นักเรียนt
	ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น
	ฟังก์ชันการกระจายสะสม
พารามิเตอร์	ระดับความเป็นอิสระ ( จำนวนจริงเกือบทุกครั้งเป็นจำนวนเต็มบวก )
สนับสนุน
พีดี
ซีดีเอฟ	ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกอยู่ ที่ไหน
หมายถึง	สำหรับกรณีอื่นที่ไม่ได้กำหนดไว้
ค่ามัธยฐาน
โหมด
ความแปรปรวน	สำหรับกรณีอื่นที่ไม่ได้กำหนดไว้
ความเบี่ยงเบน	สำหรับกรณีอื่นที่ไม่ได้กำหนดไว้
ความโค้งส่วนเกิน	สำหรับกรณีอื่นที่ไม่ได้กำหนดไว้
เอนโทรปี	โดยที่คือฟังก์ชันไดแกมมาและคือฟังก์ชันเบตา
เอ็มจีเอฟ	ไม่ได้กำหนด
ซีเอฟ	สำหรับ,โดย ที่ฟังก์ชันเบสเซลที่ดัดแปลงชนิดที่สอง

ใน ทฤษฎี ความน่าจะเป็นและสถิติการแจกแจง $t$ ของนักเรียน (หรือเรียกสั้น ๆ ว่าการแจกแจง $t$ ) เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็น แบบต่อเนื่อง ที่ขยายความมาจากการแจกแจงปกติมาตรฐานเช่นเดียวกับการแจกแจงปกติ การแจกแจง t ของนักเรียนนั้นสมมาตรกับศูนย์และมีรูปร่างคล้ายระฆัง $t_{\nu }$

อย่างไรก็ตามการแจกแจง $แบบ t$ ของนักเรียน จะมีหางที่หนากว่าและปริมาณมวลความน่าจะเป็นในหางจะถูกควบคุมโดยพารามิเตอร์φ สำหรับ การแจกแจงแบบ t ของนักเรียน จะกลายเป็นการ แจกแจงแบบโคชีมาตรฐานซึ่งมีหางที่ "หนา" มาก ในขณะที่สำหรับ การแจกแจงแบบ t ของนักเรียน จะกลายเป็นการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานซึ่งมีหางที่ "บาง" มาก $t_{\nu }$ $\nu$ $\nu =1$ $t_{\nu }$ $\nu \to \infty$ ${\mathcal {N}}(0,1),$

ชื่อ "Student" เป็นนามแฝงที่วิลเลียม ซีลีย์ กอสเซ็ต ใช้ ในการตีพิมพ์บทความทางวิทยาศาสตร์ระหว่างที่เขาทำงานอยู่ที่โรงเบียร์กินเนสส์ในดับลิน ประเทศไอร์แลนด์

$การแจกแจงแบบ t$ ของนักเรียน มีบทบาทสำคัญในการวิเคราะห์ทางสถิติที่ใช้กันอย่างแพร่หลายหลายอย่าง รวมถึงการทดสอบ $t$ ของนักเรียนสำหรับการประเมินนัยสำคัญทางสถิติของความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างสองกลุ่ม การสร้างช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของประชากรสองกลุ่ม และในการวิเคราะห์การถดถอย เชิง เส้น

ในรูปแบบของการแจกแจง $t$ ตามตำแหน่งและมาตราส่วนนั้น มันเป็นการขยายความของการแจกแจงปกติและยังเกิดขึ้นในการวิเคราะห์แบบเบย์เซียนของข้อมูลจากตระกูลปกติในฐานะการแจกแจงแบบผสมเมื่อทำการหาค่าเฉลี่ยตามพารามิเตอร์ความแปรปรวน $\operatorname {\ell st} (\mu ,\tau ^{2},\nu )$

คำจำกัดความ

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น

การแจกแจง $แบบ t$ ของนักเรียน มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (PDF) ดังนี้ โดย ที่คือจำนวนองศาอิสระและคือฟังก์ชันแกมมานอกจากนี้ยังสามารถเขียนได้เป็น โดย ที่คือฟังก์ชันเบตาโดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับองศาอิสระที่เป็นจำนวนเต็ม $บวก ν$ $> 1$ เราจะได้ว่า: $f(t)={\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-(\nu +1)/2},$ $\nu$ $\Gamma$ $f(t)={\frac {1}{{\sqrt {\nu }}\,\mathrm {B} {\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-(\nu +1)/2},$ $\mathrm {B}$

${\begin{aligned}\nu &\in \mathbb {N} \geq 2\\k&={\begin{cases}2,&\nu {\text{ even}}\\\pi ,&\nu {\text{ odd}}\\\end{cases}}\\{\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}&={\frac {(\nu -1)!!}{k{\sqrt {\nu }}(\nu -2)!!}}\\\end{aligned}}$

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นมีความสมมาตรและรูปร่างโดยรวมคล้ายกับรูปร่างระฆังของตัวแปรที่กระจายแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน 1 ยกเว้นว่าจะต่ำกว่าและกว้างกว่าเล็กน้อย เมื่อจำนวนองศาอิสระเพิ่มขึ้น การกระจายแบบ $t$ จะเข้าใกล้การกระจายแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน 1 ด้วยเหตุนี้จึงเรียกอีกอย่างว่าพารามิเตอร์ความปกติ^[²^] ${\nu }$

ภาพต่อไปนี้แสดงความหนาแน่นของ การแจกแจง $แบบ t$ สำหรับค่าที่เพิ่มขึ้นของการแจกแจงแบบปกติแสดงด้วยเส้นสีน้ำเงินเพื่อเปรียบเทียบ โปรดสังเกตว่า การแจกแจง $แบบ t$ (เส้นสีแดง) จะเข้าใกล้การแจกแจงแบบปกติมากขึ้นเมื่อค่าเพิ่มขึ้น $\nu .$ $\nu$

ความหนาแน่นของ การแจกแจงแบบ

t

(สีแดง) สำหรับระดับความเป็นอิสระ 1, 2, 3, 5, 10 และ 30 เมื่อเทียบกับการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน (สีน้ำเงิน) กราฟก่อนหน้าแสดงด้วยสีเขียว

1 องศาอิสระ

2 องศาอิสระ

3 องศาอิสระ

5 องศาอิสระ

10 องศาอิสระ

30 องศาอิสระ

ฟังก์ชันการกระจายสะสม

ฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) สามารถเขียนได้ในรูปของ $I$ ซึ่งเป็น ฟังก์ชันเบต้าไม่สมบูรณ์แบบ ปรับค่า สำหรับ $t$ $>$ 0

$F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du~=~1-{\frac {1}{2}}I_{x(t)}{\left({\frac {\nu }{2}},\,{\frac {1}{2}}\right)},$

ที่ไหน

$x(t)={\frac {\nu }{t^{2}+\nu }}\,.$

ค่าอื่นๆ จะได้มาจากสมมาตร สูตรทางเลือกที่ใช้ได้สำหรับคือ $t^{2}<\nu \,,$

$\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du={\frac {1}{2}}+t\,{\frac {\Gamma \!\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \!\left({\frac {\nu }{\ 2\ }}\right)}}\;{}_{2}F_{1}\!\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};\,{\frac {3}{2}};\,-{\frac {t^{2}}{\nu }}\right),$

โดยที่เป็นกรณีเฉพาะของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(\ ,\$

สำหรับข้อมูลเกี่ยวกับฟังก์ชันการกระจายสะสมผกผัน โปรดดูที่ฟังก์ชันควอนไทล์ § การกระจายแบบทีของสตูเดนต์

กรณีพิเศษ

ค่าบางค่าทำให้การแจกแจงแบบ t ของนักเรียนมีรูปแบบที่เรียบง่าย $\ \nu \$

$\ \nu \$	พีดี	ซีดีเอฟ	หมายเหตุ
1	${\frac {1}{\pi (1+t^{2})}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(t)$	ดูการกระจายแบบคอชี
2	${\frac {1}{2\,{\sqrt {2}}\,\left(1+{\frac {t^{2}}{2}}\right)^{3/2}}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {t}{2{\sqrt {2}}\,{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{2}}}}}}$
3	${\frac {2}{\pi {\sqrt {3}}\,\left(1+{\frac {t^{2}}{3}}\right)^{2}}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {\frac {t}{\sqrt {3}}}{1+{\frac {t^{2}}{3}}}}+\arctan {\frac {t}{\sqrt {3}}}\right]$
4	${\frac {3}{8\left(1+{\frac {t^{2}}{4}}\right)^{5/2}}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}\left[{\frac {t}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{4}}}}}\right]\left[1-{\frac {t^{2}}{12\left(1+{\frac {t^{2}}{4}}\right)}}\right]$
5	${\frac {8}{3\pi {\sqrt {5}}\,\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)^{3}}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {t}{{\sqrt {5}}\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)}}\left(1+{\frac {2}{3\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)}}\right)+\arctan {\frac {t}{\sqrt {5}}}\right]$
$\ \infty \$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-t^{2}/2}$	${\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {t}{\sqrt {2}}}\right)\right]$	ดูการแจกแจงแบบปกติ , ฟังก์ชันข้อผิดพลาด

คุณสมบัติ

ช่วงเวลา

สำหรับค่า tนั้น โมเมนต์ดิบของ การแจกแจง $t$ คือ $\nu >1$

$\operatorname {\mathbb {E} } \left\{T^{k}\right\}={\begin{cases}\quad 0&k{\text{ odd }},\quad 0<k<\nu \,,\\[2ex]{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}\left[\Gamma \!\left({\frac {k+1}{2}}\right)\,\Gamma \!\left({\frac {\nu -k}{2}}\right)\,\nu ^{\frac {k}{2}}\right]&k{\text{ even }},\quad 0<k<\nu \,.\end{cases}}$

ช่วงเวลาแห่งระเบียบหรือสูงกว่านั้นไม่มีอยู่จริง^[³^] $\ \nu \$

เทอมสำหรับk $ที่$ เป็นเลขคู่ สามารถลดรูปได้โดยใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันแกมมาเป็น $0<k<\nu$

$\operatorname {\mathbb {E} } \left\{T^{k}\right\}=\nu ^{\frac {k}{2}}\,\prod _{j=1}^{k/2}{\frac {2j-1}{\nu -2j}}\qquad k{\text{ even}},\quad 0<k<\nu ~.$

สำหรับ การแจกแจงแบบ $t$ ที่มีองศาอิสระ n ค่าที่คาดหวังคือn ถ้าและความแปรปรวนคือn ถ้าค่าความเบ้เป็น 0 ถ้าและค่าความโค้งส่วนเกินคือn ถ้า $\nu$ $0$ $\nu >1\,,$ ${\frac {\nu }{\nu -2}}$ $\nu >2\,.$ $\nu >3$ ${\frac {6}{\nu -4}}$ $\nu >4\,.$

ที่มาของการแจกแจง แบบ $t$ (ลักษณะเฉพาะ)

เนื่องจากการกระจายตัวของสถิติการทดสอบ

การแจกแจงtของนักเรียน ที่มี องศาอิสระสามารถกำหนดได้เป็นการแจกแจงของตัวแปรสุ่มTที่มี^[⁴^]^[⁵^] $\nu$

$T={\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}=Z{\sqrt {\frac {\nu }{V}}},$

ที่ไหน

Zคือการแจกแจงปกติมาตรฐานที่มีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน 1;
Vมีการแจกแจงแบบไคกำลังสอง ( ^การแจกแจงχ² ) โดยมีระดับความเป็นอิสระ ; $\nu$
ZและVเป็นอิสระต่อกัน

การแจกแจงที่แตกต่างออกไปนั้นถูกกำหนดโดยการแจกแจงของตัวแปรสุ่มที่กำหนดสำหรับค่าคงที่μ ที่กำหนด โดย ตัวแปรสุ่มนี้มีการแจกแจง แบบ t ที่ไม่เป็นศูนย์กลางโดยมีพารามิเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์กลางμการแจกแจงนี้มีความสำคัญในการศึกษาอำนาจ ของ การทดสอบtของนักเรียน $(Z+\mu ){\sqrt {\frac {\nu }{V}}}.$

อนุพันธ์

สมมติว่าX , ..., X เป็น ค่าที่เกิด ขึ้นโดยอิสระจากกัน ของตัวแปรสุ่ม X ซึ่งมี การแจกแจงแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยμและความแปรปรวนσ ²ให้

${\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})$

ให้เป็นค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง และ

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}_{n}\right)^{2}$

เป็นการประมาณค่าความแปรปรวนจากตัวอย่างที่ไม่เอนเอียง สามารถแสดงได้ว่าตัวแปรสุ่ม

$V=(n-1){\frac {s^{2}}{\sigma ^{2}}}$

มีการกระจายแบบไคกำลังสองที่มีองศาอิสระ (ตามทฤษฎีบทของ Cochran ) ^[⁶^] สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายว่าปริมาณ $\nu =n-1$

$Z=\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}$

มีการกระจายแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน 1 เนื่องจากค่าเฉลี่ยของตัวอย่างมีการกระจายแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ยμและความแปรปรวนσ² ^/nยิ่งไปกว่านั้น ยังสามารถแสดงได้ว่าตัวแปรสุ่มทั้งสองนี้ (ตัวแปรที่มีการกระจายแบบปกติZ และตัวแปรที่มีการกระจายแบบไคกำลังสองV ) เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นปริมาณสำคัญ จึงเป็น... ${\overline {X}}_{n}$

$T\equiv {\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}=\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{s}},$

ซึ่งแตกต่างจากZตรงที่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่แน่นอนσถูกแทนที่ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของตัวอย่างsมีการแจกแจงแบบ Student's tตามที่กำหนดไว้ข้างต้น สังเกตว่าค่าความแปรปรวนของประชากรที่ไม่ทราบค่า^σ²ไม่ปรากฏในTเนื่องจากอยู่ในทั้งตัวเศษและตัวส่วน จึงตัดกันออกไป Gosset ได้รับฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นที่กล่าวไว้ข้างต้นโดยสัญชาตญาณ โดยมีค่าเท่ากับn − 1 และ Fisher ได้พิสูจน์แล้วในปี พ.ศ. 2468 ^[⁷^] $\nu$

การแจกแจงของค่าสถิติการทดสอบTขึ้นอยู่กับแต่ไม่ขึ้นอยู่ กับ μหรือσการที่ไม่ขึ้นอยู่กับμและσนี้เองที่ทำให้การ แจกแจง แบบ tมีความสำคัญทั้งในทางทฤษฎีและในทางปฏิบัติ $\nu$

การแจกแจงตัวอย่างของค่าสถิติ t

การ แจกแจง $t$ เกิดขึ้นจากการแจกแจงตัวอย่าง ของ สถิติ $t ด้านล่างนี้จะกล่าวถึงสถิติ$ $t$ สำหรับตัวอย่างเดียว สำหรับ สถิติ $t$ สำหรับสองตัวอย่างที่เกี่ยวข้อง โปรดดูที่ การ ทดสอบt ของ Student

การประมาณค่าความแปรปรวนที่ไม่เอนเอียง

ให้เป็นตัวอย่างอิสระและมีการกระจายเหมือนกันจาก1การแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ยและค่าความแปรปรวนค่าเฉลี่ยของตัวอย่างและค่าความแปรปรวนของตัวอย่าง ที่ไม่เอนเอียง กำหนดโดย: $\ x_{1},\ldots ,x_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})\$ $\mu$ $\ \sigma ^{2}~.$

${\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {\ x_{1}+\cdots +x_{n}\ }{n}}\ ,\\[5pt]s^{2}&={\frac {1}{\ n-1\ }}\ \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}~.\end{aligned}}$

$ค่าสถิติ t$ ที่ได้ (จากตัวอย่างเดียว) จะแสดงดังนี้

$t={\frac {{\bar {x}}-\mu }{\ s/{\sqrt {n\ }}\ }}\sim t_{n-1}~.$

และมีการกระจายตามการแจกแจง $แบบ t$ ของนักเรียน โดยมี ระดับความเป็นอิสระ $\ n-1\$

ดังนั้น สำหรับวัตถุประสงค์ในการอนุมาน ค่าสถิติ $t$ จึงเป็น " ปริมาณสำคัญ " ที่มีประโยชน์ในกรณีที่ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเป็นพารามิเตอร์ของประชากรที่ไม่ทราบค่า ในแง่ที่ว่า ค่าสถิติ $t$ มีการกระจายความน่าจะเป็นที่ ไม่ขึ้นอยู่กับ ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน $(\mu ,\sigma ^{2})$ $\mu$ $\ \sigma ^{2}~.$

การประมาณค่าความแปรปรวน ML

แทนที่จะใช้ค่าประมาณที่ไม่เอนเอียงเราอาจใช้ค่าประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด ซึ่งให้ค่าสถิติ ซึ่งมีการกระจายตาม การแจกแจง $t$ แบบตำแหน่ง-มาตราส่วน : $\ s^{2}\$ $\ s_{\mathsf {ML}}^{2}={\frac {\ 1\ }{n}}\ \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\$ $\ t_{\mathsf {ML}}={\frac {{\bar {x}}-\mu }{\sqrt {s_{\mathsf {ML}}^{2}/n\ }}}={\sqrt {{\frac {n}{n-1}}\ }}\ t~.$ $t_{\mathsf {ML}}\sim \operatorname {\ell st} (0,\ \tau ^{2}=n/(n-1),\ n-1)~.$

การแจกแจงแบบผสมของปกติกับการแจกแจงแกมมาผกผัน

การแจกแจง แบบ $t$ ตามตำแหน่งและ มาตราส่วน เกิดจากการรวมกัน ของ การแจกแจงแบบเกาส์เซียน (การแจกแจงแบบปกติ) ที่มีค่าเฉลี่ย และความแปรปรวน ที่ไม่ทราบค่า กับการแจกแจงแบบแกมมาผกผันที่วางทับอยู่บนความแปรปรวน โดยมีพารามิเตอร์และกล่าวอีกนัยหนึ่งคือตัวแปรสุ่มXถูกสมมติว่ามีการแจกแจงแบบเกาส์เซียนที่มีความแปรปรวนที่ไม่ทราบค่าซึ่งแจกแจงแบบแกมมาผกผัน จากนั้นความแปรปรวนจะถูกตัดออก (บูรณาการออก) $\ \mu \$ ${\textstyle a={\frac {\nu }{2}}}$ ${\textstyle b={\frac {\nu \tau ^{2}}{2}}\,.}$

ในทำนองเดียวกัน การแจกแจงนี้เกิดจากการรวมกันของการแจกแจงแบบเกาส์เซียนกับการแจกแจงแบบสเกลดอินเวอร์สไคกำลังสองที่มีพารามิเตอร์และการแจกแจงแบบสเกลดอินเวอร์สไคกำลังสองเป็นการแจกแจงแบบเดียวกันกับการแจกแจงแบบอินเวอร์สแกมมา แต่มีพารามิเตอร์ที่แตกต่างกัน กล่าวคือ $\nu$ $\ \tau ^{2}~.$ $\nu =2a,\;\tau ^{2}={\frac {b}{a}}\,.$

เหตุผลที่ลักษณะเฉพาะนี้มีประโยชน์ก็คือ ในสถิติแบบเบย์เซียนการแจกแจงแกมมาผกผันเป็นการ แจกแจง ก่อนหน้าแบบคอนจูเกตของความแปรปรวนของการแจกแจงแบบเกาส์เซียน ส่งผลให้การแจกแจงตำแหน่ง-มาตราส่วน $t$ เกิดขึ้นตามธรรมชาติในปัญหาการอนุมานแบบเบย์เซียนหลายปัญหา^{[ 8 ]}

การกระจายเอนโทรปีสูงสุด

$การแจกแจง t$ ของนักเรียน เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นเอนโทรปีสูงสุดสำหรับตัวแปรสุ่มXที่มีค่าที่แน่นอน[ ⁹^]^ซึ่ง เป็นผลมาจากการสังเกตโดยตรงว่า pdf สามารถเขียนได้ในรูปแบบตระกูลเอกซ์โพเนนเชียล โดย มีสถิติเพียงพอ ${\textstyle \operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ln(\nu +X^{2})\right\}}$ $\nu +X^{2}$

อินทิกรัลของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของนักเรียนและค่า $p$

ฟังก์ชัน $A (t | ν)$ คือปริพันธ์ของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของ Student, $f (t)$ ระหว่าง $-t$ และ $t$ สำหรับ $t$ $\geq 0$ ดังนั้นจึงให้ความน่าจะเป็นที่ค่าtที่น้อยกว่าค่าที่คำนวณได้จากข้อมูลที่สังเกตได้จะเกิดขึ้นโดยบังเอิญ ด้วยเหตุนี้ ฟังก์ชัน $A$ $($ $t$ $|$ $ν$ $)$ จึงสามารถใช้ในการทดสอบว่าความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลสองชุดมีความสำคัญทางสถิติหรือไม่ โดยการคำนวณค่า $t$ ที่สอดคล้องกัน และความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นหากชุดข้อมูลทั้งสองชุดถูกสุ่มมาจากประชากรเดียวกัน สิ่งนี้ถูกนำไปใช้ในสถานการณ์ต่างๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการทดสอบ $t$ สำหรับสถิติ $t$ ที่มี $ν$ องศาอิสระ $A$ $($ $t$ $|$ $ν$ $)$ คือความน่าจะเป็นที่ $t$ จะน้อยกว่าค่าที่สังเกตได้หากค่าเฉลี่ยทั้งสองเท่ากัน (โดยที่ค่าเฉลี่ยที่น้อยกว่าถูกลบออกจากค่าเฉลี่ยที่มากกว่า ดังนั้น $t$ $\geq 0$ )สามารถคำนวณได้ง่ายๆ จากฟังก์ชันการกระจายสะสม $F$ $($ $t$ $)$ ของ การกระจาย $t$ :

$A(t\mid \nu )=F_{\nu }(t)-F_{\nu }(-t)=1-I_{\frac {\nu }{\nu +t^{2}}}\!\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right),$

โดยที่ $I$ $($ $a$ $,$ $b$ $)$ คือฟังก์ชันเบต้าไม่สมบูรณ์แบบ ปรับค่า แล้ว

ฟังก์ชันนี้ใช้สำหรับการทดสอบสมมติฐานทางสถิติเพื่อสร้างค่า p

การแจกแจงที่เกี่ยวข้อง

โดยทั่วไป

การแจกแจง t แบบไม่ศูนย์กลาง (noncentral $t$ distribution) เป็นการขยายความของ การแจกแจง $t$ โดยรวมพารามิเตอร์ความไม่ศูนย์กลางเข้าไปด้วย แตกต่างจากการแจกแจง t แบบไม่มาตรฐาน (nonstandardized $t$ distributions) ตรงที่ การแจกแจงแบบไม่ศูนย์กลางนั้นไม่สมมาตร (ค่ามัธยฐานไม่เท่ากับค่าฐานนิยม)
การแจกแจง $t$ ของนักเรียนแบบไม่ต่อเนื่อง ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันมวลความน่าจะ เป็น ที่rเป็นสัดส่วนกับ: ^{[ 10 ]} โดยที่a , bและkเป็นพารามิเตอร์ การแจกแจงนี้เกิดขึ้นจากการสร้างระบบการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องที่คล้ายกับการแจกแจงของ Pearsonสำหรับการแจกแจงแบบต่อเนื่อง^[¹¹^] $\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{(r+j+a)^{2}+b^{2}}}\quad \quad r=\ldots ,-1,0,1,\ldots ~.$
เราสามารถสร้างตัวอย่าง Student $A$ $($ $t$ $|$ $ν$ $)$ ได้ โดยการนำอัตราส่วนของตัวแปรจาก1การแจกแจงปกติและรากที่สองของ $การ$ แจกแจง $χ²$ มาใช้ หากเราใช้การแจกแจงแบบอื่นแทนการแจกแจงปกติ เช่นการแจกแจง Irwin–Hallเราจะได้การแจกแจงแบบสมมาตร 4 พารามิเตอร์ ซึ่งรวมถึงการแจกแจงปกติ การแจกแจงเอกรูป การ แจกแจงสามเหลี่ยม การแจกแจง Student $t$ และการแจกแจง Cauchyนอกจากนี้ยังมีความยืดหยุ่นมากกว่าการแจกแจงแบบสมมาตรอื่นๆ ของการแจกแจงปกติด้วย
$การแจกแจงแบบ t$ เป็นตัวอย่างหนึ่งของ การ แจกแจงแบบอัตราส่วน
กำลังสองของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบ $t$ จะมี การ แจกแจงแบบ F ของ Snedecor คือ $F$

การแจกแจง $t$ ตามมาตราส่วนตำแหน่ง

การเปลี่ยนแปลงตามสถานที่และขนาด

$การแจกแจง t$ ของนักเรียน สามารถขยายไปสู่การแจกแจง $t$ แบบสามพารามิเตอร์ ตามตำแหน่งและมาตราส่วนได้ โดยการแนะนำพารามิเตอร์ตำแหน่งและพารามิเตอร์มาตราส่วนเมื่อใช้ การแปลง ตระกูลตำแหน่ง-มาตราส่วน เราจะได้ $\operatorname {\ell st} (\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu )\$ $\ \mu \$ $\ \tau ~.$ $\ T\sim t_{\nu }\$ $\ X=\mu +\tau \ T\$ $X\sim \operatorname {\ell st} (\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu )~.$

การแจกแจงที่ได้นี้เรียกอีกอย่างว่าการแจกแจงแบบ Student 's $t ที่ไม่ได้ปรับมาตรฐาน$

ความหนาแน่นและโมเมนต์สองตัวแรก

$การกระจาย t$ ตามตำแหน่งและมาตราส่วนมีความหนาแน่นที่กำหนดโดย: ^{[ 12 ]}

$p(x\mid \nu ,\mu ,\tau )={\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}\tau {\sqrt {\pi \nu }}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-\mu }{\tau }}\right)^{2}\right)^{-(\nu +1)/2}$

ในทำนองเดียวกัน ความหนาแน่นสามารถเขียนได้ในรูปของ: $\tau ^{2}$

$p(x\mid \nu ,\mu ,\tau ^{2})={\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {\pi \nu \tau ^{2}}}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\tau ^{2}}}\right)^{-(\nu +1)/2}$

คุณสมบัติอื่นๆ ของการแจกจ่ายเวอร์ชันนี้ได้แก่: ^{[ 12 ]}

${\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {E} } \{\ X\ \}&=\mu &{\text{ for }}\nu >1\ ,\\\operatorname {var} \{\ X\ \}&=\tau ^{2}{\frac {\nu }{\nu -2}}&{\text{ for }}\nu >2\ ,\\\operatorname {mode} \{\ X\ \}&=\mu ~.\end{aligned}}$

กรณีพิเศษ

ถ้า เป็นไปตาม การแจกแจง $t$ ตามตำแหน่งและมาตราส่วนแล้ว สำหรับจะมีการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน $X$ $X\sim \operatorname {\ell st} \left(\mu ,\,\tau ^{2},\,\nu \right)$ $\nu \to \infty$ $X$ $X\sim \mathrm {N} {\left(\mu ,\tau ^{2}\right)}$ $\mu$ $\tau ^{2}\,.$
การแจกแจง $t$ ตามตำแหน่งและมาตราส่วนที่มีระดับความเป็นอิสระเท่ากับการแจกแจงโคชี $\ \operatorname {\ell st} \left(\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu =1\right)\$ $\nu =1$ $\mathrm {Cau} \left(\mu ,\tau \right)~.$
การแจกแจง $t$ ตามตำแหน่งและ มาตราส่วน จะลดลงเหลือ การแจกแจง $t$ ของนักเรียน $\operatorname {\ell st} \left(\mu =0,\ \tau ^{2}=1,\ \nu \right)\$ $\mu =0$ $\ \tau ^{2}=1\$ $\ t_{\nu }~.$

การเกิดขึ้นและการประยุกต์ใช้

ในการอนุมานทางสถิติแบบความถี่

$การแจกแจงแบบ t$ ของนักเรียน เกิดขึ้นในปัญหาการประมาณค่าทางสถิติหลายประเภท โดยมีเป้าหมายคือการประมาณค่าพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่า เช่น ค่าเฉลี่ย ในสถานการณ์ที่ข้อมูลถูกสังเกตโดยมีข้อผิดพลาด แบบบวก หาก (เช่นเดียวกับงานทางสถิติเชิงปฏิบัติเกือบทั้งหมด) ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของประชากร ของข้อผิดพลาดเหล่านี้ไม่ทราบค่าและต้องประมาณค่าจากข้อมูล การแจกแจง $แบบ t$ มักถูกใช้เพื่อพิจารณาความไม่แน่นอนเพิ่มเติมที่เกิดจากการประมาณค่านี้ ในปัญหาดังกล่าวส่วนใหญ่ หากทราบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อผิดพลาด การแจกแจงแบบปกติจะถูกนำมาใช้แทนการแจกแจงแบบ $t$

ช่วงความเชื่อมั่นและการทดสอบสมมติฐานเป็นกระบวนการทางสถิติสองอย่างที่ต้องใช้ควอนไทล์ของการแจกแจงตัวอย่างของสถิติเฉพาะ (เช่นคะแนนมาตรฐาน ) ในสถานการณ์ใดก็ตามที่สถิตินี้เป็น ฟังก์ชันเชิงเส้นของข้อมูล เมื่อหารด้วยค่าประมาณปกติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแล้ว ปริมาณที่ได้สามารถปรับขนาดและจัดให้อยู่กึ่งกลางเพื่อให้เป็นไปตามการแจกแจงแบบ $t$ ของนักเรียน การวิเคราะห์ทางสถิติที่เกี่ยวข้องกับค่าเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก และสัมประสิทธิ์การถดถอย ล้วนนำไปสู่สถิติที่มีรูปแบบนี้

บ่อยครั้งที่โจทย์ในตำราจะถือว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรเป็นที่ทราบแล้ว และหลีกเลี่ยงความจำเป็นในการใช้ การแจกแจง $t$ ของนักเรียน โจทย์เหล่านี้โดยทั่วไปมีสองประเภท: (1) โจทย์ที่ขนาดตัวอย่างมีขนาดใหญ่มากจนสามารถประมาณค่าความแปรปรวน จากข้อมูล ได้ราวกับว่าเป็นค่าที่แน่นอน และ (2) โจทย์ที่แสดงให้เห็นถึงการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ซึ่งปัญหาการประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะถูกละเลยชั่วคราว เพราะไม่ใช่ประเด็นที่ผู้เขียนหรือผู้สอนกำลังอธิบายในขณะนั้น

การทดสอบสมมติฐาน

สถิติหลายตัวสามารถแสดงให้เห็นว่ามี การแจกแจงแบบ $t$ สำหรับตัวอย่างขนาดปานกลางภายใต้สมมติฐานว่างที่น่าสนใจ ดังนั้น การแจกแจงแบบ $t$ จึง เป็นพื้นฐานสำหรับการทดสอบนัยสำคัญ ตัวอย่างเช่น การแจกแจงของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ลำดับของสเปียร์แมน $ρ$ ในกรณีว่าง (สหสัมพันธ์เป็นศูนย์) สามารถประมาณได้ดีด้วย การแจกแจงแบบ $t$ สำหรับขนาดตัวอย่างที่มากกว่าประมาณ 20

ช่วงความเชื่อมั่น

สมมติว่า เลือกเลขA โดยที่

$\ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ {-A}<T<A\ \right\}=0.9\ ,$

เมื่อ $T$ มี การแจกแจงแบบ $t$ ที่มี องศาอิสระ $n - 1$ โดยสมมาตรแล้ว นี่จึงเหมือนกับการกล่าวว่า $A$ สอดคล้องกับ

$\ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ T<A\ \right\}=0.95\ ,$

ดังนั้นAจึงเป็น "เปอร์เซ็นไทล์ที่ 95" ของการแจกแจงความน่าจะเป็นนี้ หรือจากนั้น $\ A=t_{(0.05,n-1)}~.$

$\ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ {-A}<{\frac {\ {\overline {X}}_{n}-\mu \ }{S_{n}/{\sqrt {n\ }}}}<A\ \right\}=0.9\ ,$

โดยที่S คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างของค่าที่สังเกตได้ ซึ่งเทียบเท่ากับ

$\ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ {\overline {X}}_{n}-A{\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}<\mu <{\overline {X}}_{n}+A\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}\ \right\}=0.9.$

ดังนั้น ช่วงเวลาที่มีจุดปลายคือ

$\ {\overline {X}}_{n}\ \pm A\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}\$

คือ ช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับ μ ดังนั้น หากเราหาค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลที่เราคาดว่าจะมีการกระจายแบบปกติได้ เราสามารถใช้ การแจกแจง $t$ เพื่อตรวจสอบว่าขอบเขตความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ยนั้นครอบคลุมค่าที่คาดการณ์ไว้ตามทฤษฎีหรือไม่ เช่น ค่าที่คาดการณ์ไว้ภายใต้สมมติฐานว่าง

ผลลัพธ์นี้ถูกนำมาใช้ในการทดสอบ $t$ ของนักเรียน เนื่องจากความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของตัวอย่างจากสองการแจกแจงแบบปกติมีการแจกแจงแบบปกติเช่นกัน ดังนั้นจึง สามารถใช้การแจกแจง $t$ เพื่อตรวจสอบว่าความแตกต่างนั้นสามารถสันนิษฐานได้อย่างสมเหตุสมผลว่าเป็นศูนย์หรือไม่

หากข้อมูลมีการกระจายแบบปกติขีดจำกัดความเชื่อมั่นบน ด้านเดียว (UCL $) ของค่าเฉลี่ย$ $(1 - α ) สามารถคำนวณได้โดยใช้สมการต่อไปนี้:$

${\mathsf {UCL}}_{1-\alpha }={\overline {X}}_{n}+t_{\alpha ,n-1}\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}~.$

ค่า UCL ที่ได้จะเป็นค่าเฉลี่ยสูงสุดที่จะเกิดขึ้นได้สำหรับช่วงความเชื่อมั่นและขนาดประชากรที่กำหนด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือเนื่องจากเป็นค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูล การที่ค่าเฉลี่ยของการกระจายต่ำกว่าUCL จึงเท่ากับระดับ ความเชื่อ มั่น $1 -$ $α$ ${\overline {X}}_{n}$

ช่วงการทำนาย

การ แจกแจงแบบ $t$ สามารถนำมาใช้สร้างช่วงการทำนายสำหรับตัวอย่างที่ไม่สามารถสังเกตได้จากการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่ไม่ทราบค่า

ในสถิติแบบเบย์เซียน

$การแจกแจงแบบ t$ ของนักเรียน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในรูปแบบสามพารามิเตอร์ (ตำแหน่ง-มาตราส่วน) มักเกิดขึ้นในสถิติแบบเบย์เซียนเนื่องจากมีความเชื่อมโยงกับการแจกแจงแบบปกติ เมื่อใดก็ตามที่ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มที่ มีการแจกแจงแบบปกติ ไม่เป็นที่ทราบ และ มีการกำหนด ไพรเออร์แบบคอนจูเกตที่ตามการแจกแจงแบบอินเวอร์สแกมมา การ แจกแจงแบบมาร์จินัลของตัวแปรที่ได้ จะตามการแจกแจง $แบบ t$ ของนักเรียน การสร้างที่เทียบเท่ากันซึ่งให้ผลลัพธ์เดียวกันเกี่ยวข้องกับการแจกแจงแบบคอนจูเกตสเกลอินเวอร์สไคกำลังสองเหนือความแปรปรวน หรือการแจกแจงแบบคอนจูเกตแกมมาเหนือความแม่นยำหากมี การ กำหนดไพรเออร์ที่ไม่เหมาะสม ซึ่งเป็นสัดส่วน กับ⁠1/ $σ$ ² เมื่อนำ ค่า ⁠มาวางทับบนค่าความแปรปรวน $การแจกแจง แบบ t$ ก็จะเกิดขึ้นเช่นกัน กรณีนี้เป็นจริงไม่ว่าค่าเฉลี่ยของตัวแปรที่มีการแจกแจงแบบปกติจะทราบหรือไม่ ไม่ทราบการแจกแจงตาม ค่าก่อนหน้าของการแจกแจงแบบปกติแบบสัง ยุคหรือไม่ทราบการแจกแจงตามค่าก่อนหน้าคงที่ที่ไม่เหมาะสมก็ตาม

สถานการณ์ที่เกี่ยวข้องซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นการแจกแจงแบบ $t$ ได้แก่:

การแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลัง แบบมาร์จินัล ของค่าเฉลี่ยที่ไม่ทราบค่าของตัวแปรที่มีการแจกแจงแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยก่อนหน้าและความแปรปรวนที่ไม่ทราบค่าตามแบบจำลองข้างต้น
การแจกแจงการทำนายก่อนหน้าและการแจกแจงการทำนายภายหลังของจุดข้อมูลใหม่ที่มีการแจกแจงแบบปกติ เมื่อ มีการสังเกตจุดข้อมูลที่ มีการแจกแจงแบบปกติที่เหมือนกันและ เป็นอิสระต่อกัน หลายจุด โดยมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนก่อนหน้าตามแบบจำลองข้างต้น

การสร้างแบบจำลองพารามิเตอร์ที่แข็งแกร่ง

การ แจกแจง $t$ มักใช้เป็นทางเลือกแทนการแจกแจงปกติเป็นแบบจำลองสำหรับข้อมูล ซึ่งมักมีหางที่หนักกว่าที่การแจกแจงปกติอนุญาต ดูเช่น Lange et al. ^{[ 13 ]}แนวทางแบบดั้งเดิมคือการระบุค่าผิด ปกติ (เช่น การใช้การทดสอบของ Grubbs ) และยกเว้นหรือลดน้ำหนักค่าผิดปกติเหล่านั้นในบางวิธี อย่างไรก็ตาม การระบุค่าผิดปกติไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป (โดยเฉพาะในมิติสูง ) และ การแจกแจง $t$ เป็นทางเลือกตามธรรมชาติของแบบจำลองสำหรับข้อมูลดังกล่าว และให้แนวทางเชิงพารามิเตอร์สำหรับสถิติที่แข็งแกร่ง

บัญชีแบบเบย์เซียนสามารถพบได้ใน Gelman et al. ^{[ 14 ]}พารามิเตอร์องศาอิสระควบคุมความโค้งของการกระจายและมีความสัมพันธ์กับพารามิเตอร์มาตราส่วน ความน่าจะเป็นสามารถมีค่าสูงสุดเฉพาะที่หลายค่า และด้วยเหตุนี้จึงมักจำเป็นต้องกำหนดองศาอิสระไว้ที่ค่าต่ำพอสมควรและประมาณค่าพารามิเตอร์อื่นๆ โดยถือว่าค่านี้เป็นค่าคงที่ ผู้เขียนบางคนรายงานว่าค่าระหว่าง 3 ถึง 9 มักเป็นตัวเลือกที่ดี Venables และ Ripley แนะนำว่าค่า 5 มักเป็นตัวเลือกที่ดี

กระบวนการ $t$ ของนักเรียน

สำหรับการใช้งานจริงในการถดถอยและการทำนาย ได้มีการนำกระบวนการ $t$ ของนักเรียน มาใช้ ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของการแจกแจง $t$ ของนักเรียน สำหรับฟังก์ชันกระบวนการ $t ของนักเรียนถูกสร้างขึ้นจากการแจกแจง$ $t$ ของนักเรียน เช่นเดียว กับที่ กระบวนการเกาส์เซียนถูกสร้างขึ้นจากการแจกแจงเกาส์เซียนสำหรับกระบวนการเกาส์เซียนชุดค่าทั้งหมดมีการแจกแจงเกาส์เซียนแบบหลายมิติ ในทำนองเดียวกัน จะเป็นกระบวนการ $t$ ของนักเรียนในช่วงเวลาหนึ่งหากค่าที่สอดคล้องกันของกระบวนการ( ) มีการแจกแจง t ของนักเรียนแบบหลายตัวแปรร่วมกัน[ 15 $]$ กระบวนการ^{เหล่า}^นี้^ใช้ $สำหรับการถดถอย การทำนาย การเพิ่มประสิทธิภาพแบบเบย์เซียน และปัญหาที่เกี่ยวข้อง สำหรับการถดถอยแบบหลายตัวแปรและการทำนายแบบหลายเอาต์พุต ได้มีการนำกระบวนการ t$ ของนักเรียนแบบหลายตัวแปรมาใช้^[¹⁶^] $X(t)$ $I=[a,b]$ $\ X(t_{1}),\ \ldots \ ,X(t_{n})\$ $t_{i}\in I$

ตารางค่าที่เลือก

ตารางต่อไปนี้แสดงค่าของการแจกแจง $t ที่มีองศาอิสระ$ $ν$ สำหรับช่วงของบริเวณวิกฤตแบบด้านเดียวหรือสองด้าน คอลัมน์แรกคือ $ν$ เปอร์เซ็นต์ด้านบนคือระดับความเชื่อมั่นและตัวเลขในส่วนกลางของตารางคือปัจจัยที่อธิบายไว้ในส่วนเกี่ยวกับช่วงความเชื่อมั่น $\ \alpha \ ,$ $t_{\alpha ,n-1}$

แถวสุดท้ายที่มีค่า $ν$ เป็นอนันต์ จะให้จุดวิกฤตสำหรับการแจกแจงแบบปกติ เนื่องจาก การแจกแจงแบบ $t$ ที่มีองศาอิสระเป็นอนันต์นั้นเป็นการแจกแจงแบบปกติ (ดูหัวข้อการแจกแจงที่เกี่ยวข้องด้านบน)

ด้านเดียว	75%	80%	85%	90%	95%	97.5%	99%	99.5%	99.75%	99.9%	99.95%
สองด้าน	50%	60%	70%	80%	90%	95%	98%	99%	99.5%	99.8%	99.9%
1	1.000	1.376	1.963	3.078	6.314	12.706	31.821	63.657	127.321	318.309	636.619
2	0.816	1.061	1.386	1.886	2.920	4.303	6.965	9.925	14.089	22.327	31.599
3	0.765	0.978	1.250	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841	7.453	10.215	12.924
4	0.741	0.941	1.190	1.533	2.132	2.776	3.747	4.604	5.598	7.173	8.610
5	0.727	0.920	1.156	1.476	2.015	2.571	3.365	4.032	4.773	5.893	6.869
6	0.718	0.906	1.134	1.440	1.943	2.447	3.143	3.707	4.317	5.208	5.959
7	0.711	0.896	1.119	1.415	1.895	2.365	2.998	3.499	4.029	4.785	5.408
8	0.706	0.889	1.108	1.397	1.860	2.306	2.896	3.355	3.833	4.501	5.041
9	0.703	0.883	1.100	1.383	1.833	2.262	2.821	3.250	3.690	4.297	4.781
10	0.700	0.879	1.093	1.372	1.812	2.228	2.764	3.169	3.581	4.144	4.587
11	0.697	0.876	1.088	1.363	1.796	2.201	2.718	3.106	3.497	4.025	4.437
12	0.695	0.873	1.083	1.356	1.782	2.179	2.681	3.055	3.428	3.930	4.318
13	0.694	0.870	1.079	1.350	1.771	2.160	2.650	3.012	3.372	3.852	4.221
14	0.692	0.868	1.076	1.345	1.761	2.145	2.624	2.977	3.326	3.787	4.140
15	0.691	0.866	1.074	1.341	1.753	2.131	2.602	2.947	3.286	3.733	4.073
16	0.690	0.865	1.071	1.337	1.746	2.120	2.583	2.921	3.252	3.686	4.015
17	0.689	0.863	1.069	1.333	1.740	2.110	2.567	2.898	3.222	3.646	3.965
18	0.688	0.862	1.067	1.330	1.734	2.101	2.552	2.878	3.197	3.610	3.922
19	0.688	0.861	1.066	1.328	1.729	2.093	2.539	2.861	3.174	3.579	3.883
20	0.687	0.860	1.064	1.325	1.725	2.086	2.528	2.845	3.153	3.552	3.850
21	0.686	0.859	1.063	1.323	1.721	2.080	2.518	2.831	3.135	3.527	3.819
22	0.686	0.858	1.061	1.321	1.717	2.074	2.508	2.819	3.119	3.505	3.792
23	0.685	0.858	1.060	1.319	1.714	2.069	2,500	2.807	3.104	3.485	3.767
24	0.685	0.857	1.059	1.318	1.711	2.064	2.492	2.797	3.091	3.467	3.745
25	0.684	0.856	1.058	1.316	1.708	2.060	2.485	2.787	3.078	3.450	3.725
26	0.684	0.856	1.058	1.315	1.706	2.056	2.479	2.779	3.067	3.435	3.707
27	0.684	0.855	1.057	1.314	1.703	2.052	2.473	2.771	3.057	3.421	3.690
28	0.683	0.855	1.056	1.313	1.701	2.048	2.467	2.763	3.047	3.408	3.674
29	0.683	0.854	1.055	1.311	1.699	2.045	2.462	2.756	3.038	3.396	3.659
30	0.683	0.854	1.055	1.310	1.697	2.042	2.457	2.750	3.030	3.385	3.646
40	0.681	0.851	1.050	1.303	1.684	2.021	2.423	2.704	2.971	3.307	3.551
50	0.679	0.849	1.047	1.299	1.676	2.009	2.403	2.678	2.937	3.261	3.496
60	0.679	0.848	1.045	1.296	1.671	2,000	2.390	2.660	2.915	3.232	3.460
80	0.678	0.846	1.043	1.292	1.664	1.990	2.374	2.639	2.887	3.195	3.416
100	0.677	0.845	1.042	1.290	1.660	1.984	2.364	2.626	2.871	3.174	3.390
120	0.677	0.845	1.041	1.289	1.658	1.980	2.358	2.617	2.860	3.160	3.373
∞	0.674	0.842	1.036	1.282	1.645	1.960	2.326	2.576	2.807	3.090	3.291
ด้านเดียว	75%	80%	85%	90%	95%	97.5%	99%	99.5%	99.75%	99.9%	99.95%
สองด้าน	50%	60%	70%	80%	90%	95%	98%	99%	99.5%	99.8%	99.9%

การคำนวณช่วงความเชื่อมั่น

สมมติว่าเรามีกลุ่มตัวอย่างขนาด 11 ค่าเฉลี่ยกลุ่มตัวอย่าง 10 และความแปรปรวนกลุ่มตัวอย่าง 2 สำหรับระดับความเชื่อมั่น 90% ที่มีองศาอิสระ 10 ค่า $t$ แบบด้านเดียวจากตารางคือ 1.372 จากนั้นช่วงความเชื่อมั่นที่คำนวณจาก

${\overline {X}}_{n}\pm t_{\alpha ,\nu }\,{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\,,$

เราสรุปด้วยความมั่นใจ 90% ว่าค่าเฉลี่ยที่แท้จริงอยู่ต่ำกว่า

$10+1.372\,{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=10.585\,.$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ 90% ของกรณีที่คำนวณค่าขีดจำกัดบนโดยใช้วิธีนี้จากตัวอย่างเฉพาะ ค่าขีดจำกัดบนนี้จะสูงกว่าค่าเฉลี่ยที่แท้จริง

และด้วยความมั่นใจ 90% เราจึงมั่นใจได้ว่าค่าเฉลี่ยที่แท้จริงอยู่ด้านบน

$\ 10-1.372\ {\frac {\sqrt {2\ }}{\ {\sqrt {11\ }}\ }}=9.414~.$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ 90% ของกรณีที่คำนวณค่าเกณฑ์ล่างโดยใช้วิธีนี้จากตัวอย่างเฉพาะ ค่าเกณฑ์ล่างนี้จะต่ำกว่าค่าเฉลี่ยที่แท้จริง

ดังนั้นที่ระดับความเชื่อมั่น 80% (คำนวณจาก 100% − 2 × (1 − 90%) = 80%) ค่าเฉลี่ยที่แท้จริงจึงอยู่ในช่วงดังกล่าว

$\left(10-1.372\,{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}},\,10+1.372\,{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}\right)=(9.414,\,10.585)\,.$

การกล่าวว่า 80% ของกรณีที่คำนวณค่าขีดจำกัดบนและล่างด้วยวิธีนี้จากตัวอย่างที่กำหนด ค่าเฉลี่ยที่แท้จริงจะอยู่ต่ำกว่าและสูงกว่าค่าขีดจำกัดบนนั้น ไม่เหมือนกับการกล่าวว่ามีความน่าจะเป็น 80% ที่ค่าเฉลี่ยที่แท้จริงจะอยู่ระหว่างค่าขีดจำกัดบนและล่างคู่ใดคู่หนึ่งที่คำนวณด้วยวิธีนี้ โปรดดูช่วงความเชื่อมั่นและข้อผิดพลาดของอัยการ

ในปัจจุบัน ซอฟต์แวร์ทางสถิติ เช่นภาษาโปรแกรม Rและฟังก์ชันต่างๆ ในโปรแกรมสเปรดชีต หลายโปรแกรม สามารถคำนวณค่าของ การแจกแจง $t$ และค่าผกผันของการแจกแจง t ได้โดยไม่ต้องใช้ตาราง

วิธีการคำนวณ

การสุ่มตัวอย่างแบบมอนเตคาร์โล

มีแนวทางต่างๆ ในการสร้างตัวอย่างสุ่มจากการกระจายแบบ Student's $t$ ขึ้นอยู่กับว่าต้องการตัวอย่างแบบแยกเดี่ยว หรือต้องสร้างโดยการใช้ฟังก์ชันควอนไทล์กับ ตัวอย่าง แบบสม่ำเสมอเช่น ในการประยุกต์ใช้แบบหลายมิติบนพื้นฐานของการพึ่งพาโคปูลาในกรณีของการสุ่มตัวอย่างแบบแยกเดี่ยว การขยายวิธี Box–Mullerและรูปแบบเชิงขั้ว ของมัน สามารถนำมาใช้ได้อย่างง่ายดาย^[¹⁷^]ข้อดีคือมันใช้ได้ดีกับระดับความเป็นอิสระที่ เป็นบวกจริงทั้งหมด $ν$ ในขณะที่วิธีการอื่นๆ ที่เป็นไปได้หลายวิธีล้มเหลวหาก $ν$ ใกล้เคียงกับศูนย์^[¹⁷^]

ประวัติศาสตร์

ในทางสถิติ การแจกแจง $t$ ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกในฐานะการแจกแจงแบบโพสทีเรียร์ในปี พ.ศ. 2419 โดยHelmert ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}และLüroth [ ^{21 ]}^[²²^]^{[ 23 ]}ดังนั้น การแจกแจง t ของ Student จึงเป็นตัวอย่างของ^กฎแห่งชื่อเฉพาะของ Stiglerการ แจกแจง $t$ ยังปรากฏในรูปแบบทั่วไปมากขึ้นในฐานะ การแจกแจง แบบ Pearson ประเภท IVในบทความของKarl Pearson ในปี พ.ศ. 2438 ^{[ 24 ]}

ในวรรณกรรมภาษาอังกฤษ การกระจายตัวได้รับชื่อมาจากบทความของWilliam Sealy Gosset ในปี 1908 ใน Biometrikaภายใต้นามแฝง "Student" ในระหว่างที่เขาทำงานที่โรงเบียร์ Guinnessในดับลิน ประเทศไอร์แลนด์ [ ^{25 ] เวอร์ชัน}หนึ่งของที่มาของนามแฝงคือ นายจ้างของ Gosset ต้องการให้พนักงานใช้นามแฝงเมื่อตีพิมพ์บทความทางวิทยาศาสตร์แทนที่จะใช้ชื่อจริง ดังนั้นเขาจึงใช้นามแฝง "Student" เพื่อปกปิดตัวตนของเขา อีกเวอร์ชันหนึ่งคือ Guinness ไม่ต้องการให้คู่แข่งรู้ว่าพวกเขากำลังใช้ การทดสอบ $t$ เพื่อกำหนดคุณภาพของวัตถุดิบ^{[ 26 ]}^{[ 27 ]}

กอสเซ็ตทำงานที่กินเนสส์และสนใจปัญหาของตัวอย่างขนาดเล็ก เช่น คุณสมบัติทางเคมีของข้าวบาร์เลย์ ซึ่งขนาดตัวอย่างอาจมีเพียง 3 ตัวอย่างเท่านั้น บทความของกอสเซ็ตกล่าวถึงการแจกแจงนี้ว่าเป็น "การแจกแจงความถี่ของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างที่ดึงมาจากประชากรปกติ" ซึ่งกลายเป็นที่รู้จักกันดีผ่านงานของโรนัลด์ ฟิชเชอร์ ผู้เรียกการแจกแจงนี้ว่า "การแจกแจงของสตูเดนต์" และใช้ตัวอักษร $t$ แทนค่าทดสอบ^{[ 7 ]}^{[ 28 ]}

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

↑ Hurst, Simon. "ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการแจกแจงแบบ Student $t$ " รายงานการวิจัยคณิตศาสตร์การเงิน รายงานการวิจัยสถิติหมายเลข SRR044-95 เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 18 กุมภาพันธ์ 2010
↑ Kruschke, JK (2015). การวิเคราะห์ข้อมูลแบบเบย์เซียน ( ฉบับที่ 2). สำนักพิมพ์ Academic Press. ISBN 9780124058880. OCLC 959632184 .
↑ Casella G, Berger RL (1990). การอนุมานทางสถิติ . ศูนย์ทรัพยากร Duxbury. หน้า56. ISBN 9780534119584.
↑ Johnson NL, Kotz S, Balakrishnan N (1995). "บทที่ 28" การแจกแจงแบบเอกตัวแปรต่อเนื่องเล่ม2 ( ฉบับที่ 2). Wiley. ISBN 9780471584940.
↑ Hogg RV , Craig AT (1978). Introduction to Mathematical Statistics ( ฉบับที่ 4). นิวยอร์ก: Macmillan. ASIN B010WFO0SA . ส่วนที่ 4.4 และ 4.8 {{cite book}}: CS1 maint: postscript (link)
↑ Cochran, WG (1934). "การกระจายของรูปแบบกำลังสองในระบบปกติ พร้อมการประยุกต์ใช้ในการวิเคราะห์ความแปรปรวนร่วม" Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society . 30 (2): 178– 191. Bibcode : 1934PCPS...30..178C . doi : 10.1017/S0305004100016595 . S2CID 122547084 .
1 2 Fisher RA (1925). "การประยุกต์ใช้การแจกจ่ายแบบ 'นักเรียน'" (PDF) . Metron . 5 : 90– 104. เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อวันที่ 5 มีนาคม 2016
↑ Gelman AB, Carlin JS, Rubin DB, Stern HS (1997). การวิเคราะห์ข้อมูลแบบเบย์เซียน ( ฉบับที่ 2). โบคา ราตัน, ฟลอริดา: Chapman & Hall lp 68. ISBN 9780412039911.
↑ Park SY, Bera AK (2009). "แบบจำลองความแปรปรวนคงที่แบบมีเงื่อนไขการถดถอยอัตโนมัติเอนโทรปีสูงสุด" วารสารเศรษฐศาสตร์ . 150 (2): 219– 230. doi : 10.1016/j.jeconom.2008.12.014 .
↑ Ord JK (1972). Families of Frequency Distributions . London, UK: Griffin. Table 5.1. ISBN 9780852641378.
↑ Ord JK (1972). ตระกูลของการแจกแจงความถี่ . ลอนดอน สหราชอาณาจักร: Griffin. บทที่5. ISBN 9780852641378.
1 2 Jackman, S. (2009). การวิเคราะห์แบบเบย์เซียนสำหรับสังคมศาสตร์ ชุดหนังสือความน่าจะเป็นและสถิติ ของ ไวลีย์ ไวลี ย์หน้า507 doi : 10.1002/9780470686621 ISBN 9780470011546.
↑ Lange KL, Little RJ, Taylor JM (1989). "การสร้างแบบจำลองทางสถิติที่แข็งแกร่งโดยใช้ การแจกแจง $t$ " (PDF)วารสารสมาคมสถิติอเมริกัน 84 ( 408): 881– 896. doi : 10.1080/01621459.1989.10478852 . JSTOR 2290063 .
↑ Gelman AB, Carlin JB, Stern HS และคณะ (2014). "การจำลองลูกโซ่ Markov ที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณ" การวิเคราะห์ข้อมูลแบบเบย์เซียนโบคา ราตัน รัฐฟลอริดา: CRC Press หน้า293 ISBN 9781439898208.
↑ Shah, Amar; Wilson, Andrew Gordon; Ghahramani, Zoubin (2014). " กระบวนการ $t$ ของนักเรียน เป็นทางเลือกแทนกระบวนการเกาส์เซียน" (PDF) . JMLR . 33 (รายงานการประชุมนานาชาติครั้งที่ 17 ว่าด้วยปัญญาประดิษฐ์และสถิติ (AISTATS) 2014, เรคยาวิก, ไอซ์แลนด์): 877– 885. arXiv : 1402.4306 .
↑ Chen, Zexun; Wang, Bo; Gorban, Alexander N. (2019). "การถดถอยแบบเกาส์เซียนหลายตัวแปรและ กระบวนการ $t$ ของนักเรียน สำหรับการทำนายผลลัพธ์หลายรายการ"การคำนวณประสาทและการประยุกต์ใช้ 32 ( 8): 3005– 3028. arXiv : 1703.04455 . doi : 10.1007/s00521-019-04687-8 .
1 2 Bailey RW (1994). "การสร้างตัวแปรสุ่มแบบโพลาร์ด้วย การแจกแจง $t$ ". คณิตศาสตร์ของการคำนวณ 62 ( 206): 779– 781. Bibcode : 1994MaCom..62..779B . doi : 10.2307/2153537 . JSTOR 2153537 . S2CID 120459654 .
↑เฮลเมิร์ต FR (1875) "Über die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler". Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ในภาษาเยอรมัน) 20 : 300– 303.
↑เฮลเมิร์ต FR (1876) "Über die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler und uber einige damit ใน Zusammenhang stehende Fragen" Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ในภาษาเยอรมัน) 21 : 192– 218.
↑เฮลเมิร์ต FR (1876) "Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers ผู้กำกับ Beobachtungen gleicher Genauigkeit" [ความแม่นยำของสูตรของ Peters ในการคำนวณข้อผิดพลาดในการสังเกตที่เป็นไปได้ของการสังเกตโดยตรงที่มีความแม่นยำเท่ากัน] นักดาราศาสตร์ Nachrichten (ภาษาเยอรมัน) 88 ( 8– 9): 113– 132. รหัส Bibcode : 1876AN.....88..113H . ดอย : 10.1002/asna.18760880802 .
↑ลูรอธ เจ (1876) "แวร์เกิลชุง ฟอน ซไว แวร์เทน เด วาห์ไชน์ลิเชน เฟห์เลอร์ส " นักดาราศาสตร์ Nachrichten (ภาษาเยอรมัน) 87 (14): 209– 220. รหัสสินค้า : 1876AN.....87..209L . ดอย : 10.1002/asna.18760871402 .
↑ Pfanzagl J, Sheynin O (1996). "การศึกษาประวัติศาสตร์ของความน่าจะเป็นและสถิติ XLIV. ผู้บุกเบิกการ แจกแจง $t$ " Biometrika . 83 (4): 891– 898. doi : 10.1093/biomet/83.4.891 . MR 1766040 .
↑ Sheynin O (1995). "งานของ Helmert ในทฤษฎีของข้อผิดพลาด". Archive for History of Exact Sciences . 49 (1): 73– 104. doi : 10.1007/BF00374700 . S2CID 121241599 .
↑ Pearson, K. (1895). "Contributions to the Mathematical Theory of Evolution. II. Skew Variation in Homogeneous Material" . Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 186 (374): 343– 414. Bibcode : 1895RSPTA.186..343P . doi : 10.1098/rsta.1895.0010 . ISSN 1364-503X .
↑ "นักศึกษา" [ นามแฝงWilliam Sealy Gosset ] (1908). "ข้อผิดพลาดที่น่าจะเป็นไปได้ของค่าเฉลี่ย" ( PDF) Biometrika 6 ( 1): 1– 25. doi : 10.1093/biomet/6.1.1 . hdl : 10338.dmlcz/143545 . JSTOR 2331554 . {{cite journal}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
↑ Wendl MC (2016). "ชื่อเสียงภายใต้นามแฝง". Science . 351 (6280): 1406. Bibcode : 2016Sci...351.1406W . doi : 10.1126/science.351.6280.1406 . PMID 27013722 .
↑ Mortimer RG (2005). คณิตศาสตร์สำหรับเคมีเชิงฟิสิกส์ (ฉบับที่ 3 ). เบอร์ลิงตัน, แมสซาชูเซตส์: เอลเซเวี ยร์. หน้า326. ISBN 9780080492889. OCLC 156200058 .
↑ Walpole RE, Myers R, Myers S, Ye K (2006). ความน่าจะเป็นและสถิติสำหรับวิศวกรและนักวิทยาศาสตร์ ( ฉบับที่ 7). นิวเดลี, อินเดียนา: เพียร์สัน. หน้า237. ISBN 9788177584042. OCLC 818811849 .

ลิงก์ภายนอก

"การกระจายตัวของนักเรียน" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
การใช้คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์บางคำที่เก่าแก่ที่สุดเท่าที่ทราบ (S) (หมายเหตุเกี่ยวกับประวัติของคำว่า "การกระจายตัวของนักเรียน")
Rouaud, M. (2013), ความน่าจะเป็น สถิติ และการประมาณค่า (PDF) (ฉบับ ย่อ)นักเรียนกลุ่มแรก อยู่ในหน้า 112
การ แจกแจงข้อมูลของนักเรียน (Student's t-Distribution)เก็บถาวรเมื่อวันที่ 10 เมษายน 2021 ที่Wayback Machine

[1] Hurst, Simon. "ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการแจกแจงแบบ Student $t$ " รายงานการวิจัยคณิตศาสตร์การเงิน รายงานการวิจัยสถิติหมายเลข SRR044-95 เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 18 กุมภาพันธ์ 2010

[2] Kruschke, JK (2015). การวิเคราะห์ข้อมูลแบบเบย์เซียน ( ฉบับที่ 2). สำนักพิมพ์ Academic Press. ISBN 9780124058880. OCLC 959632184 .

[3] Casella G, Berger RL (1990). การอนุมานทางสถิติ . ศูนย์ทรัพยากร Duxbury. หน้า56. ISBN 9780534119584.

[JKB-4] Johnson NL, Kotz S, Balakrishnan N (1995). "บทที่ 28" การแจกแจงแบบเอกตัวแปรต่อเนื่องเล่ม2 ( ฉบับที่ 2). Wiley. ISBN 9780471584940.

[Hogg-5] Hogg RV , Craig AT (1978). Introduction to Mathematical Statistics ( ฉบับที่ 4). นิวยอร์ก: Macmillan. ASIN B010WFO0SA . ส่วนที่ 4.4 และ 4.8 {{cite book}}: CS1 maint: postscript (link)

[6] Cochran, WG (1934). "การกระจายของรูปแบบกำลังสองในระบบปกติ พร้อมการประยุกต์ใช้ในการวิเคราะห์ความแปรปรวนร่วม" Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society . 30 (2): 178– 191. Bibcode : 1934PCPS...30..178C . doi : 10.1017/S0305004100016595 . S2CID 122547084 .

[Fisher_1925_90–104-7] 1 2 Fisher RA (1925). "การประยุกต์ใช้การแจกจ่ายแบบ 'นักเรียน'" (PDF) . Metron . 5 : 90– 104. เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อวันที่ 5 มีนาคม 2016

[8] Gelman AB, Carlin JS, Rubin DB, Stern HS (1997). การวิเคราะห์ข้อมูลแบบเบย์เซียน ( ฉบับที่ 2). โบคา ราตัน, ฟลอริดา: Chapman & Hall lp 68. ISBN 9780412039911.

[9] Park SY, Bera AK (2009). "แบบจำลองความแปรปรวนคงที่แบบมีเงื่อนไขการถดถอยอัตโนมัติเอนโทรปีสูงสุด" วารสารเศรษฐศาสตร์ . 150 (2): 219– 230. doi : 10.1016/j.jeconom.2008.12.014 .

[10] Ord JK (1972). Families of Frequency Distributions . London, UK: Griffin. Table 5.1. ISBN 9780852641378.

[11] Ord JK (1972). ตระกูลของการแจกแจงความถี่ . ลอนดอน สหราชอาณาจักร: Griffin. บทที่5. ISBN 9780852641378.

[Jackman-12] 1 2 Jackman, S. (2009). การวิเคราะห์แบบเบย์เซียนสำหรับสังคมศาสตร์ ชุดหนังสือความน่าจะเป็นและสถิติ ของ ไวลีย์ ไวลี ย์หน้า507 doi : 10.1002/9780470686621 ISBN 9780470011546.

[13] Lange KL, Little RJ, Taylor JM (1989). "การสร้างแบบจำลองทางสถิติที่แข็งแกร่งโดยใช้ การแจกแจง $t$ " (PDF)วารสารสมาคมสถิติอเมริกัน 84 ( 408): 881– 896. doi : 10.1080/01621459.1989.10478852 . JSTOR 2290063 .

[14] Gelman AB, Carlin JB, Stern HS และคณะ (2014). "การจำลองลูกโซ่ Markov ที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณ" การวิเคราะห์ข้อมูลแบบเบย์เซียนโบคา ราตัน รัฐฟลอริดา: CRC Press หน้า293 ISBN 9781439898208.

[Shah2014-15] Shah, Amar; Wilson, Andrew Gordon; Ghahramani, Zoubin (2014). " กระบวนการ $t$ ของนักเรียน เป็นทางเลือกแทนกระบวนการเกาส์เซียน" (PDF) . JMLR . 33 (รายงานการประชุมนานาชาติครั้งที่ 17 ว่าด้วยปัญญาประดิษฐ์และสถิติ (AISTATS) 2014, เรคยาวิก, ไอซ์แลนด์): 877– 885. arXiv : 1402.4306 .

[Zexun2020-16] Chen, Zexun; Wang, Bo; Gorban, Alexander N. (2019). "การถดถอยแบบเกาส์เซียนหลายตัวแปรและ กระบวนการ $t$ ของนักเรียน สำหรับการทำนายผลลัพธ์หลายรายการ"การคำนวณประสาทและการประยุกต์ใช้ 32 ( 8): 3005– 3028. arXiv : 1703.04455 . doi : 10.1007/s00521-019-04687-8 .

[Bailey-17] 1 2 Bailey RW (1994). "การสร้างตัวแปรสุ่มแบบโพลาร์ด้วย การแจกแจง $t$ ". คณิตศาสตร์ของการคำนวณ 62 ( 206): 779– 781. Bibcode : 1994MaCom..62..779B . doi : 10.2307/2153537 . JSTOR 2153537 . S2CID 120459654 .

[HFR1-18] เฮลเมิร์ต FR (1875) "Über die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler". Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ในภาษาเยอรมัน) 20 : 300– 303.

[HFR2-19] เฮลเมิร์ต FR (1876) "Über die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler und uber einige damit ใน Zusammenhang stehende Fragen" Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ในภาษาเยอรมัน) 21 : 192– 218.

[HFR3-20] เฮลเมิร์ต FR (1876) "Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers ผู้กำกับ Beobachtungen gleicher Genauigkeit" [ความแม่นยำของสูตรของ Peters ในการคำนวณข้อผิดพลาดในการสังเกตที่เป็นไปได้ของการสังเกตโดยตรงที่มีความแม่นยำเท่ากัน] นักดาราศาสตร์ Nachrichten (ภาษาเยอรมัน) 88 ( 8– 9): 113– 132. รหัส Bibcode : 1876AN.....88..113H . ดอย : 10.1002/asna.18760880802 .

[L1876-21] ลูรอธ เจ (1876) "แวร์เกิลชุง ฟอน ซไว แวร์เทน เด วาห์ไชน์ลิเชน เฟห์เลอร์ส " นักดาราศาสตร์ Nachrichten (ภาษาเยอรมัน) 87 (14): 209– 220. รหัสสินค้า : 1876AN.....87..209L . ดอย : 10.1002/asna.18760871402 .

[22] Pfanzagl J, Sheynin O (1996). "การศึกษาประวัติศาสตร์ของความน่าจะเป็นและสถิติ XLIV. ผู้บุกเบิกการ แจกแจง $t$ " Biometrika . 83 (4): 891– 898. doi : 10.1093/biomet/83.4.891 . MR 1766040 .

[23] Sheynin O (1995). "งานของ Helmert ในทฤษฎีของข้อผิดพลาด". Archive for History of Exact Sciences . 49 (1): 73– 104. doi : 10.1007/BF00374700 . S2CID 121241599 .

[24] Pearson, K. (1895). "Contributions to the Mathematical Theory of Evolution. II. Skew Variation in Homogeneous Material" . Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 186 (374): 343– 414. Bibcode : 1895RSPTA.186..343P . doi : 10.1098/rsta.1895.0010 . ISSN 1364-503X .

[25] "นักศึกษา" [ นามแฝงWilliam Sealy Gosset ] (1908). "ข้อผิดพลาดที่น่าจะเป็นไปได้ของค่าเฉลี่ย" ( PDF) Biometrika 6 ( 1): 1– 25. doi : 10.1093/biomet/6.1.1 . hdl : 10338.dmlcz/143545 . JSTOR 2331554 . {{cite journal}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)

[26] Wendl MC (2016). "ชื่อเสียงภายใต้นามแฝง". Science . 351 (6280): 1406. Bibcode : 2016Sci...351.1406W . doi : 10.1126/science.351.6280.1406 . PMID 27013722 .

[27] Mortimer RG (2005). คณิตศาสตร์สำหรับเคมีเชิงฟิสิกส์ (ฉบับที่ 3 ). เบอร์ลิงตัน, แมสซาชูเซตส์: เอลเซเวี ยร์. หน้า326. ISBN 9780080492889. OCLC 156200058 .

[28] Walpole RE, Myers R, Myers S, Ye K (2006). ความน่าจะเป็นและสถิติสำหรับวิศวกรและนักวิทยาศาสตร์ ( ฉบับที่ 7). นิวเดลี, อินเดียนา: เพียร์สัน. หน้า237. ISBN 9788177584042. OCLC 818811849 .

[

[

[

[

[

[

[

[ 8 ]

9

[ 10 ]

[

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

เหล่า

[

[

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

21 ]

[

[ 23 ]

[ 24 ]

25 ] เวอร์ชัน

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

การแจกแจงtของนักเรียน

คำจำกัดความ

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น

ฟังก์ชันการกระจายสะสม

กรณีพิเศษ

คุณสมบัติ

ช่วงเวลา

ที่มาของการแจกแจง แบบt (ลักษณะเฉพาะ)

เนื่องจากการกระจายตัวของสถิติการทดสอบ

อนุพันธ์

การแจกแจงตัวอย่างของค่าสถิติ t

การประมาณค่าความแปรปรวนที่ไม่เอนเอียง

การประมาณค่าความแปรปรวน ML

การแจกแจงแบบผสมของปกติกับการแจกแจงแกมมาผกผัน

การกระจายเอนโทรปีสูงสุด

อินทิกรัลของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของนักเรียนและค่าp

การแจกแจงที่เกี่ยวข้อง

โดยทั่วไป

การแจกแจงtตามมาตราส่วนตำแหน่ง

การเปลี่ยนแปลงตามสถานที่และขนาด

ความหนาแน่นและโมเมนต์สองตัวแรก

กรณีพิเศษ

การเกิดขึ้นและการประยุกต์ใช้

ในการอนุมานทางสถิติแบบความถี่

การทดสอบสมมติฐาน

ช่วงความเชื่อมั่น

ช่วงการทำนาย

ในสถิติแบบเบย์เซียน

การสร้างแบบจำลองพารามิเตอร์ที่แข็งแกร่ง

กระบวนการtของนักเรียน

ตารางค่าที่เลือก

วิธีการคำนวณ

การสุ่มตัวอย่างแบบมอนเตคาร์โล

ประวัติศาสตร์

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

ลิงก์ภายนอก

ข้อมูลสำคัญจากบทความ

การแจกแจง $t$ ของนักเรียน

ที่มาของการแจกแจง แบบ $t$ (ลักษณะเฉพาะ)

อินทิกรัลของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของนักเรียนและค่า $p$

การแจกแจง $t$ ตามมาตราส่วนตำแหน่ง

กระบวนการ $t$ ของนักเรียน