ในทางเรขาคณิตเส้นตั้งฉาก (normal) คือวัตถุ (เช่นเส้นตรงรังสีหรือเวกเตอร์ ) ที่ตั้งฉากกับวัตถุที่กำหนดให้ ตัวอย่างเช่นเส้นตั้งฉากกับเส้นโค้งบนระนาบณ จุดใดจุด หนึ่ง คือเส้นตรงอนันต์ที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสของเส้นโค้งณ จุดนั้น

เวกเตอร์ปกติคือเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับวัตถุที่กำหนด ณ จุดใดจุดหนึ่งเวกเตอร์ปกติที่มีความยาวหนึ่งเรียกว่าเวกเตอร์ปกติหน่วยหรือทิศทางปกติเวกเตอร์ความโค้งคือ เวกเตอร์ปกติที่มีความยาวเท่ากับความโค้งของวัตถุ การคูณเวกเตอร์ปกติด้วย−1จะส่งผลให้เกิดเวกเตอร์ตรงข้ามซึ่งอาจใช้เพื่อระบุด้าน (เช่น ภายในหรือภายนอก) หรือทิศทาง (เช่น ตามเข็มนาฬิกาเทียบกับทวนเข็มนาฬิกามือขวาเทียบกับมือซ้าย )

ในปริภูมิสามมิติเวก เตอร์ตั้ง ฉากกับพื้นผิวณ จุดPหรือเรียกสั้น ๆ ว่าเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิวสนามเวกเตอร์ ของทิศทาง ตั้งฉากกับพื้นผิวเรียกว่าแผนที่เกาส์คำว่า "ตั้งฉาก" ยังใช้เป็นคำคุณศัพท์ได้ด้วย เช่น เส้นตั้งฉากกับระนาบ ส่วนประกอบ ตั้งฉากของแรงเป็นต้น แนวคิดเรื่องความตั้งฉากสามารถขยายไปสู่ความเป็น มุมฉากได้

แนวคิดนี้ได้รับการขยายไปสู่แมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ซึ่งมีมิติใดๆ ก็ตามที่ฝังอยู่ในปริภูมิยูคลิดปริภูมิเวกเตอร์ปกติหรือ ปริภูมิเวกเตอร์ตั้ง ฉากของแมนิโฟลด์ ณ จุดคือเซตของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับปริภูมิเวกเตอร์สัมผัสณ จุดนั้น เวกเตอร์ปกติมีความสำคัญเป็นพิเศษในกรณีของเส้นโค้งเรียบและ พื้น ผิว เรียบ${\displaystyle P}$${\displaystyle P.}$

เวกเตอร์ปกติ (normal) มักถูกใช้ในกราฟิกคอมพิวเตอร์ 3 มิติ (สังเกตว่าเป็นเอกพจน์ เนื่องจากจะมีเวกเตอร์ปกติเพียงเวกเตอร์เดียวที่ถูกกำหนด) เพื่อกำหนดทิศทางของพื้นผิวเทียบกับแหล่งกำเนิดแสงสำหรับการแรเงาแบบเรียบหรือเพื่อกำหนดทิศทางของมุมแต่ละมุม ( จุดยอด ) ของพื้นผิวเพื่อจำลองพื้นผิวโค้งด้วย การแรเงา แบบ Phong

จุดปลายของเวกเตอร์ปกติ ณ จุดสนใจQ (ซึ่งคล้ายคลึงกับจุดปลายของเวกเตอร์ตั้งฉาก ) สามารถกำหนดได้ที่จุดPบนพื้นผิวที่เวกเตอร์ปกติผ่านจุด QระยะทางปกติของจุดQกับเส้นโค้งหรือพื้นผิว คือระยะ ทางแบบยุคลิดระหว่างQกับจุดปลายP

ทิศทางปกติของเส้นโค้งในอวกาศคือ:

${\displaystyle \mathbf {N} =R{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}}$

โดยที่คือรัศมีของความโค้ง (ส่วนกลับของความโค้ง ) และ คือเวกเตอร์สัมผัสในรูปของตำแหน่งบนเส้นโค้งและความยาวส่วนโค้ง: ${\displaystyle R=\คัปปา ^{-1}}$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle s}$

${\displaystyle \mathbf {T} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}}$

สำหรับรูปหลายเหลี่ยมแบบนูน (เช่นสามเหลี่ยม ) เวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิวสามารถคำนวณได้จากผลคูณ เวกเตอร์ ของขอบสองด้าน (ที่ไม่ขนานกัน) ของรูปหลายเหลี่ยมนั้น

สำหรับระนาบ ที่กำหนดโดยสม การระนาบใน รูปแบบทั่วไปเวกเตอร์นั้นจะเป็นเวกเตอร์ตั้งฉาก ${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$

สำหรับระนาบที่มีสมการอยู่ในรูปพาราเมตริก โดยที่เป็นจุดบนระนาบ และเป็นเวกเตอร์ที่ไม่ขนานกันและชี้ไปตามระนาบ เวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ คือเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับทั้งและซึ่งสามารถหาได้จากผลคูณเวกเตอร์$${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=\mathbf {r} _{0}+s\mathbf {p} +t\mathbf {q} ,}$$${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {q} ,}$${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} .}$

ถ้าพื้นผิว (ซึ่งอาจไม่ใช่พื้นผิวเรียบ) ในปริภูมิ 3 มิติถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยระบบพิกัดโค้งที่มี ตัวแปร จริง x และ y แล้ว เวกเตอร์ตั้งฉาก กับพื้นผิว Sตามคำนิยาม ก็คือเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบสัมผัส ซึ่งกำหนดโดยผลคูณเวกเตอร์ของอนุพันธ์ย่อย${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}.}$$

ถ้าพื้นผิวถูกกำหนดโดยปริยายว่าเป็นเซตของจุดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข แล้วเวกเตอร์ตั้งฉากที่จุดบนพื้นผิวจะหาได้จากเกรเดียนต์ เนื่องจากเกรเดียนต์ที่จุดใดๆ จะตั้งฉากกับเซตระดับของ พื้นผิวนั้น${\displaystyle S}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle F(x,y,z)=0,}$${\displaystyle (x,y,z)}$$${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z).}$$${\displaystyle S.}$

สำหรับพื้นผิวที่กำหนดเป็นกราฟของฟังก์ชัน เราสามารถหาเวกเตอร์ปกติที่ชี้ขึ้นได้จากพาราเมตริกซ์ที่ให้ หรือได้ง่ายกว่าจากรูปแบบโดยปริยายที่ให้ เนื่องจากพื้นผิวไม่มีระนาบสัมผัสที่จุดเอกฐานจึงไม่มีเวกเตอร์ปกติที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนที่จุดนั้น เช่น จุดยอดของกรวยโดยทั่วไปแล้ว เราสามารถกำหนดเวกเตอร์ปกติได้เกือบทุกที่สำหรับพื้นผิวที่มีความต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ ${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle z=f(x,y),}$${\displaystyle \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)),}$$${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=\left(1,0,{\tfrac {\partial f}{\partial x}}\right)\times \left(0,1,{\tfrac {\partial f}{\partial y}}\right)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right);}$$${\displaystyle F(x,y,z)=z-f(x,y)=0,}$${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right).}$

เวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิว (หรือไฮเปอร์พื้นผิว) มักถูกปรับขนาดให้มีความยาวหนึ่งหน่วยแต่ไม่มีทิศทางที่แน่นอน เนื่องจากเวกเตอร์ตรงข้ามก็เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากที่มีหน่วยเช่นกัน สำหรับพื้นผิวที่เป็นขอบเขตทางโทโพโลยีของเซตในสามมิติ เราสามารถแยกแยะทิศทางของเวกเตอร์ตั้งฉากได้ สองแบบ คือเวกเตอร์ตั้งฉากที่ชี้เข้าด้านในและเวกเตอร์ตั้งฉากที่ชี้ออกด้านนอกสำหรับพื้นผิวที่มีทิศทาง เวกเตอร์ตั้งฉากมักถูกกำหนดโดยกฎมือขวาหรือกฎที่คล้ายคลึงกันในมิติที่สูงกว่า

ถ้าเวกเตอร์ปกติถูกสร้างขึ้นโดยใช้ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของเวกเตอร์สัมผัส (ตามที่อธิบายไว้ในข้อความข้างต้น) เวกเตอร์ปกตินั้นจะเป็น เวก เตอร์ เทียม

เมื่อทำการแปลงพื้นผิว มักจะเป็นประโยชน์ที่จะหาเวกเตอร์ตั้งฉากของพื้นผิวที่ได้จากการแปลงนั้นจากเวกเตอร์ตั้งฉากเดิม

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อกำหนดเมทริกซ์การแปลงขนาด 3×3 เราสามารถหาเมทริกซ์ที่แปลงเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบสัมผัสให้เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบสัมผัสที่แปลงแล้วได้โดยใช้ตรรกะดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \mathbf {M} ,}$${\displaystyle \mathbf {W} }$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \mathbf {t} }$${\displaystyle \mathbf {n} ^{\prime }}$${\displaystyle \mathbf {Mt} ,}$

เขียนn′เป็นเราต้องหา${\displaystyle \mathbf {Wn} .}$${\displaystyle \mathbf {W} .}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}W\mathbb {n} {\text{ is perpendicular to }}M\mathbb {t} \quad \,&{\text{ if and only if }}\quad 0=(W\mathbb {n} )\cdot (M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=(W\mathbb {n} )^{\mathrm {T} }(M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=\left(\mathbb {n} ^{\mathrm {T} }W^{\mathrm {T} }\right)(M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=\mathbb {n} ^{\mathrm {T} }\left(W^{\mathrm {T} }M\right)\mathbb {t} \\\end{alignedat}}}$$

เลือกค่าที่ทำให้ หรือสอดคล้องกับสมการข้างต้น โดยให้ค่าตั้งฉากกับหรือค่าตั้งฉากกับตามที่ต้องการ ${\displaystyle \mathbf {W} }$${\displaystyle W^{\mathrm {T} }M=I,}$${\displaystyle W=(M^{-1})^{\mathrm {T} },}$${\displaystyle W\mathbb {n} }$${\displaystyle M\mathbb {t} ,}$${\displaystyle \mathbf {n} ^{\prime }}$${\displaystyle \mathbf {t} ^{\prime },}$

ดังนั้น จึงควรใช้เมทริกซ์ผกผันของการแปลงเชิงเส้นเมื่อทำการแปลงเวกเตอร์ตั้งฉากของพื้นผิว เมทริกซ์ผกผันจะมีค่าเท่ากับเมทริกซ์เดิมหากเมทริกซ์นั้นเป็นเมทริกซ์ตั้งฉากปกติ กล่าวคือ เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจากการหมุนอย่างเดียวโดยไม่มีการปรับขนาดหรือการเฉือน

สำหรับระนาบไฮเปอร์มิติ n ในปริภูมิ n มิติที่กำหนดโดยการแสดงแบบพาราเมตริก โดยที่เป็นจุดบนระนาบไฮเปอร์ และเป็นเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นที่ชี้ไปตามระนาบไฮเปอร์ เวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบไฮเปอร์ คือ เวกเตอร์ใดๆในปริภูมิว่างของเมทริกซ์ ซึ่ง หมายความว่านั่น คือ เวกเตอร์ใดๆ ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งหมดในระนาบ จะเป็นเวก เตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิวตามนิยาม หรืออีกทางหนึ่ง หากระนาบไฮเปอร์ถูกกำหนดให้เป็นเซตคำตอบของสมการเชิงเส้นเดี่ยวเวกเตอร์ ก็จะเป็นเวกเตอร์ตั้งฉาก ${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \mathbf {r} \left(t_{1},\ldots ,t_{n-1}\right)=\mathbf {p} _{0}+t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{n-1}\mathbf {v} _{n-1},}$$${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle V={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n-1}\end{bmatrix}},}$${\displaystyle V\mathbf {n} =\mathbf {0} }$${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=c}$${\displaystyle \mathbf {n} =\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$

นิยามของเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิวในปริภูมิสามมิติสามารถขยายไปสู่ไฮเปอร์เซอร์เฟซมิติใน⁠ ⁠ ได้ ไฮเปอร์เซอร์เฟ ซอาจถูก กำหนด ในระดับท้องถิ่นโดยปริยายว่าเป็นเซตของจุดที่สอดคล้องกับสมการ⁠ ⁠โดยที่เป็นฟังก์ชันสเกลาร์ ที่กำหนดให้ ถ้าเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องไฮเปอร์เซอร์เฟซจะเป็นแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้ในบริเวณใกล้เคียงจุดที่เกรเดียนต์ไม่เป็นศูนย์ ที่จุดเหล่านี้ เวกเตอร์ตั้งฉากจะกำหนดโดยเกรเดียนต์: ${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$$${\displaystyle \mathbb {n} =\nabla F\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=\left({\tfrac {\partial F}{\partial x_{1}}},{\tfrac {\partial F}{\partial x_{2}}},\ldots ,{\tfrac {\partial F}{\partial x_{n}}}\right)\,.}$$

เส้นปกติคือปริภูมิย่อยหนึ่งมิติที่มีฐาน${\displaystyle \{\mathbf {n} \}.}$

เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับปริภูมิที่เกิดจากเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นv ₁ , ..., v _{r −1}และตกอยู่ใน ปริภูมิ rมิติที่เกิดจากเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น v ₁ , ..., v _rจะถูกกำหนดโดย คอลัมน์ ที่rของเมทริกซ์Λ = V ( V ^T V ) ⁻¹โดยที่เมทริกซ์V = ( v ₁ , ..., v _r )คือการเรียงต่อกันของ เวกเตอร์คอลัมน์ r ตัว (พิสูจน์: Λคือเมทริกซ์V คูณด้วย V ดังนั้นแต่ละคอลัมน์ของ Λเป็นผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ของVยิ่งไปกว่านั้นV ^T Λ = Iดังนั้นแต่ละคอลัมน์ของVยกเว้นคอลัมน์สุดท้ายจะตั้งฉากกับคอลัมน์สุดท้ายของΛ ) สูตรนี้ใช้ได้แม้ว่าr จะน้อย กว่า มิติของปริภูมิยุคลิดn สูตร จะ ลดรูปเป็นΛ = ( V ^T ) ⁻¹เมื่อr = n

วาไรตี้เชิงอนุพันธ์ที่กำหนดโดยสมการโดยปริยายในปริภูมิ n มิติคือเซตของศูนย์ร่วมของเซตจำกัดของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในตัวแปร เมทริกซ์ จาโคเบียนของวาไรตี้คือเมทริกซ์ที่มีแถวที่ n เป็นเกรเดียนต์ของโดยทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย วาไรตี้คือแมนิโฟลด์ในบริเวณใกล้เคียงจุดที่เมทริกซ์จาโคเบียนมีอันดับn ที่จุดดังกล่าวปริภูมิเวกเตอร์ปกติคือปริภูมิเวกเตอร์ที่สร้างขึ้นจากค่าที่จุดนั้นของเวกเตอร์เกรเดียนต์ของ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle f_{1}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\ldots ,f_{k}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right).}$$${\displaystyle k\times n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle f_{i}.}$${\displaystyle k.}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle P}$${\displaystyle f_{i}.}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความหลากหลายถูกนิยามว่าเป็นจุดตัดของไฮเปอร์เซอร์เฟซ และปริภูมิเวกเตอร์ปกติ ณ จุดหนึ่ง คือปริภูมิเวกเตอร์ที่สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ปกติของไฮเปอร์เซอร์เฟซ ณ จุดนั้น ${\displaystyle k}$

ปริภูมิปกติ (เชิงเส้นตรง)ณ จุดหนึ่งในวาไรตี้ คือปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรงที่ผ่านและสร้างขึ้นโดยปริภูมิเวกเตอร์ปกติ ณ จุดนั้น${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P.}$

คำจำกัดความเหล่านี้สามารถขยายความได้ตรงตามตัวอักษรจนถึงจุดที่ความหลากหลายไม่ใช่แบบหลายทาง (manifold)

ให้Vเป็นวาไรตี้ที่กำหนดในปริภูมิ 3 มิติโดยสมการ วา ไรตี้นี้คือการรวมกันของแกน x และแกน y $${\displaystyle x\,y=0,\quad z=0.}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

ณ จุดที่แถวของเมทริกซ์จาโคเบียนคือและดังนั้น ระนาบเชิงเส้นปกติคือระนาบของสมการ ในทำนอง เดียวกัน หากระนาบปกติที่คือระนาบของสมการ${\displaystyle (a,0,0),}$${\displaystyle a\neq 0,}$${\displaystyle (0,0,1)}$${\displaystyle (0,a,0).}$${\displaystyle x=a.}$${\displaystyle b\neq 0,}$${\displaystyle (0,b,0)}$${\displaystyle y=b.}$

ณ จุดนั้นแถวของเมทริกซ์จาโคเบียนคือและดังนั้นปริภูมิเวกเตอร์ปกติและปริภูมิเชิงเส้นปกติจึงมีมิติ 1 และปริภูมิเชิงเส้นปกติคือแกน x ${\displaystyle (0,0,0)}$${\displaystyle (0,0,1)}$${\displaystyle (0,0,0).}$${\displaystyle z}$

• เวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิวมีประโยชน์ในการกำหนดปริพันธ์พื้นผิวของสนามเวกเตอร์
• เวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิว (Surface normals) มักใช้ในกราฟิกคอมพิวเตอร์ 3 มิติสำหรับ การคำนวณ แสง (ดูกฎโคไซน์ของแลมเบิร์ต ) ซึ่งมักปรับแต่งโดยการแมปเวกเตอร์ตั้งฉาก (normal mapping )
• เลเยอร์การเรนเดอร์ที่มีข้อมูลเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิว อาจถูกนำมาใช้ในการผสมภาพดิจิทัลเพื่อเปลี่ยนแปลงแสงที่ปรากฏขององค์ประกอบที่เรนเดอร์
• ในคอมพิวเตอร์วิชั่นรูปร่างของวัตถุ 3 มิติจะถูกประมาณจากเวกเตอร์ตั้งฉากของพื้นผิวโดยใช้โฟโตเมตริกสเตอริโอ^{[ 1 ]}
• เวกเตอร์ปกติสามารถหาได้จากเกรเดียนต์ของฟังก์ชันระยะทางแบบมีเครื่องหมาย

เดอะรังสีปกติคือรังสีที่ชี้ออกไปด้านนอกตั้งฉากกับพื้นผิวของตัวกลางทางแสงณ จุดที่กำหนด ^{[ 2 ]}ในการสะท้อนของแสงมุมตกกระทบและมุมสะท้อนคือมุมระหว่างเส้นปกติและรังสีตกกระทบ(บนระนาบตกกระทบ) และมุมระหว่างเส้นปกติและรังสีสะท้อน ตามลำดับ

• ปริภูมิคู่  – ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ปริภูมิเวกเตอร์ของรูปแบบเชิงเส้น
• เวกเตอร์ปกติของทรงรี
• มัดปกติ  – แนวคิดในวิชาคณิตศาสตร์
• เวกเตอร์เทียม  – ปริมาณทางกายภาพที่เปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อหมุนไม่ถูกต้อง
• ส่วนประกอบสัมผัสและส่วนประกอบตั้งฉาก  – ส่วนประกอบเวกเตอร์ทางคณิตศาสตร์
• เวกเตอร์ ปกติของจุดยอด  – เวกเตอร์แสดงทิศทางที่สัมพันธ์กับจุดยอด
• ความโค้งเฉลี่ย  – การวัดทางเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของความโค้งที่มีเครื่องหมายหารด้วยมุมทั้งหมด

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "เวกเตอร์ปกติ" . MathWorld .
• คำอธิบายเกี่ยวกับเวกเตอร์ปกติจาก MSDN ของ Microsoft
• รหัสเทียมที่ชัดเจนสำหรับ การคำนวณเวก เตอร์ตั้งฉากของพื้นผิว จากรูปสามเหลี่ยมหรือรูปหลายเหลี่ยม ( เก็บถาวร เมื่อ 2016-08-18 ที่Wayback Machine )