ในทางคณิตศาสตร์ความโค้งคือแนวคิดที่เกี่ยวข้องกันอย่างมากในเรขาคณิตซึ่งใช้วัดปริมาณที่เส้นโค้งเบี่ยงเบนจากเส้นตรงหรือพื้นผิวเบี่ยงเบนจากระนาบหากเส้นโค้งหรือพื้นผิวอยู่ในปริภูมิที่ใหญ่กว่า ความโค้งสามารถกำหนดได้จากภายนอกโดยสัมพันธ์กับปริภูมิ โดยรอบ ส่วน ความโค้งของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ที่มีมิติอย่างน้อยสอง สามารถกำหนดได้จากภายในโดยไม่ต้องอ้างอิงถึงปริภูมิที่ใหญ่กว่า

สำหรับเส้นโค้ง ความโค้งจะอธิบายถึงความหักงอของเส้นโค้งนั้น ตัวอย่างที่รู้จักกันดีคือวงกลม วงกลมที่มีขนาดเล็กกว่าจะหักงอได้ง่ายกว่าและจึงมีความโค้งสูงกว่า สำหรับจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นโค้งทั่วไป ทิศทางของเส้นโค้งจะถูกอธิบายโดยเส้นสัมผัสความหักงอของเส้นโค้ง ณ จุดนั้นสามารถวัดได้จากปริมาณการเปลี่ยนแปลงทิศทางของเส้นสัมผัสต่อหน่วยระยะทางตามเส้นโค้ง

ความโค้งเป็นการวัด อัตราการเปลี่ยนแปลง เชิงมุมของทิศทางของเส้นสัมผัส หรือเวกเตอร์สัมผัสหน่วยของเส้นโค้งต่อหน่วยระยะทางตามแนวเส้นโค้ง ความโค้งแสดงในหน่วยเรเดียนต่อหน่วยระยะทาง สำหรับวงกลม อัตราการเปลี่ยนแปลงนั้นจะเท่ากันทุกจุดบนวงกลมและเท่ากับส่วนกลับ ของ รัศมีวงกลมเส้นตรงไม่เปลี่ยนทิศทางและมีความโค้งเป็นศูนย์ ความโค้ง ณ จุดใดจุดหนึ่งบนเส้นโค้งที่หาอนุพันธ์ได้ สองครั้ง คือขนาดของเวกเตอร์ความโค้งณ จุดนั้น และยังเป็นความโค้งของวงกลมสัมผัสซึ่งเป็นวงกลมที่ประมาณเส้นโค้งได้ดีที่สุดใกล้จุดนั้น

สำหรับพื้นผิว (และโดยทั่วไปสำหรับแมนิโฟลด์ มิติสูงกว่า ) ที่ฝังอยู่ในปริภูมิยูคลิดแนวคิดเรื่องความโค้งนั้นซับซ้อนกว่า เนื่องจากขึ้นอยู่กับการเลือกทิศทางบนพื้นผิวหรือแมนิโฟลด์ ซึ่งนำไปสู่แนวคิดเรื่องความโค้งสูงสุดความโค้งต่ำสุดและ ความ โค้ง เฉลี่ย

ประวัติศาสตร์ของความโค้งเริ่มต้นจาก ความแตกต่างพื้นฐานระหว่างเส้นตรงและเส้นโค้งของ ชาวกรีกโบราณโดยแนวคิดนี้ได้รับการพัฒนาต่อมาโดยบุคคลสำคัญอย่างอริสโตเติลและอพอลโลเนียสการพัฒนาแคลคูลัสในศตวรรษที่ 17 โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยนิวตันและไลบ์นิซ ได้มอบเครื่องมือในการคำนวณความโค้งของเส้นโค้งอย่างเป็นระบบ จากนั้นออยเลอร์ได้ขยายการศึกษาไปยังพื้นผิว ตามมาด้วยความเข้าใจที่สำคัญของเกาส์เกี่ยวกับความโค้ง "ที่แท้จริง" ซึ่งเป็นอิสระจากวิธีที่พื้นผิวถูกฝังอยู่ในอวกาศ และการสรุปทั่วไปของรีมันน์ไปยังมิติที่สูงกว่า^{[ 1 ]}

ในTractatus de configurationibus qualitatum et motuum ^{[ 2 ]}นักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 14 นิโคล โอเรสเมได้นำเสนอแนวคิดเรื่องความโค้งเป็นการวัดการเบี่ยงเบนจากเส้นตรง สำหรับวงกลม เขามีความโค้งเป็นสัดส่วนผกผันกับรัศมี และเขาพยายามขยายแนวคิดนี้ไปยังเส้นโค้งอื่นๆ ในฐานะขนาดที่เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง^{[ 3 ]}

ความโค้งของเส้นโค้งที่หาอนุพันธ์ได้นั้นเดิมทีถูกกำหนดผ่านวงกลมสัมผัสในการตั้งค่านี้Augustin-Louis Cauchyแสดงให้เห็นว่าศูนย์กลางความโค้งคือจุดตัดของเส้นตั้งฉากสองเส้น ที่อยู่ใกล้ เส้นโค้ง อย่างไม่มีที่สิ้นสุด ^{[ 4 ]}

โดยสัญชาตญาณแล้ว ความโค้งอธิบายถึงการเปลี่ยนแปลงทิศทางของเส้นโค้งในแต่ละส่วนเมื่อเคลื่อนที่ไปตามระยะทางสั้นๆ ทิศทางของเส้นโค้ง ณ จุดใดๆPจะถูกอธิบายด้วยเวกเตอร์สัมผัสหน่วยTส่วนหนึ่งของเส้นโค้งเรียกว่าส่วนโค้ง และความยาวตามเส้นโค้งเรียก ว่าความยาว ส่วนโค้งsดังนั้น ความโค้งสำหรับส่วนเล็กๆ ของเส้นโค้งคือ มุมของการเปลี่ยนแปลงทิศทางของเวกเตอร์สัมผัสหารด้วยความยาวส่วนโค้งΔsสำหรับเส้นโค้งทั่วไปที่มีความโค้งแปรผันไปตามความยาว ความโค้ง ณ จุดPบนเส้นโค้งคือลิมิตของความโค้งของส่วนที่ผ่านจุดPเมื่อความยาวของส่วนนั้นเข้าใกล้ศูนย์ สำหรับเส้นโค้งที่หาอนุพันธ์ได้สองครั้ง ลิมิตนั้นคือขนาดของอนุพันธ์ของเวกเตอร์สัมผัสหน่วยเทียบกับความยาวส่วนโค้ง โดยใช้ตัวอักษรกรีกตัวเล็กkappaแทนความโค้ง:

$${\displaystyle \kappa =\left\|{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {T}}}{\mathrm {d} s}}\right\|.}$$

ความโค้งเป็นสมบัติทางเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของเส้นโค้ง มันไม่ขึ้นอยู่กับการกำหนดพารามิเตอร์ของเส้นโค้ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันไม่ขึ้นอยู่กับทิศทางของเส้นโค้งที่กำหนดพารามิเตอร์ไว้ กล่าวคือ ทิศทางใดตามเส้นโค้งที่สัมพันธ์กับค่าพารามิเตอร์ที่เพิ่มขึ้น

เส้นโค้งที่กำหนดพารามิเตอร์ด้วยความยาวส่วนโค้งคือฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ซึ่งแสดงด้วยอักษรกรีกแกมมาที่มีขีดบน–γซึ่งอธิบายตำแหน่งของจุดบนเส้นโค้งPในแง่ของระยะทางความยาวส่วน โค้ง s ตามเส้นโค้งจากจุดอ้างอิงอื่นบนเส้นโค้ง ดังนั้นสำหรับช่วงI = [ a , b ]ใน${\displaystyle \mathbb {R} }$–γ: ฉัน → ⁿ${\displaystyle \mathbb {R} }$กับ

$${\displaystyle {\boldsymbol {P}}(s)={\boldsymbol {\bar {\gamma }}}(s).}$$

ถ้า–γถ้าเส้นโค้งนั้นสามารถหาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์อันดับแรกของเส้นโค้งนั้นก็คือ...–γ,–γ′( s )คือเวกเตอร์สัมผัสหน่วยT ( s )และ

$${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}'(s)\right\|=1}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {T}}(s)={\boldsymbol {\bar {\gamma }}}'(s).}$$

ถ้า–γสามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้ อนุพันธ์อันดับสองของ–γคือT ′( s )ซึ่งก็คือเวกเตอร์ความโค้งK ( s )เช่น กัน

$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}(s)={\boldsymbol {T}}'(s)={\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s)}$$

ความโค้งคือขนาดของอนุพันธ์อันดับสองของ–γ. $${\displaystyle \kappa (s)=\left\|{\boldsymbol {K}}(s)\right\|=\left\|{\boldsymbol {T}}'(s)\right\|=\left\|{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s)\right\|}$$

พารามิเตอร์sสามารถตีความได้ว่าเป็นพารามิเตอร์เวลาด้วยเช่นกัน จากนั้น–γ(s) อธิบายเส้นทางของอนุภาคที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งด้วยความเร็วคงที่หนึ่งหน่วย ความโค้งสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการวัดว่าทิศทางการหมุนของอนุภาคเร็วแค่ไหน^{[ 5 ]}

เส้นโค้งที่หาอนุพันธ์ได้สองครั้งγ : [ a , b ] → ⁿ${\displaystyle \mathbb {R} }$ซึ่งไม่ได้กำหนดพารามิเตอร์ด้วยความยาวส่วนโค้ง สามารถกำหนดพารามิเตอร์ใหม่ด้วยความยาวส่วนโค้งได้ก็ต่อเมื่อγ ′(t)ไม่เป็นศูนย์ทุกที่ ดังนั้น1/‖ γ ′(t) ‖จึงเป็นจำนวนบวกที่มีค่าจำกัดเสมอ

พารามิเตอร์ความยาวส่วนโค้งsถูกกำหนดโดย

$${\displaystyle s(t)~{=}~\int _{a}^{t}\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(x)\right\|\,\mathrm {d} {x},}$$

ซึ่งมีฟังก์ชันผกผันt ( s )การกำหนดพารามิเตอร์ความยาวส่วนโค้งคือฟังก์ชัน–γซึ่งกำหนดไว้ดังนี้

$${\displaystyle {\boldsymbol {\bar {\gamma }}}(s)~{=}~{\boldsymbol {\gamma }}(t(s)).}$$

ทั้งγและ–γลากเส้นทางเดียวกันเข้าไปและดังนั้นจึงมีเวกเตอร์ความโค้งและความโค้งเดียวกันที่แต่ละจุดPบนเส้นโค้ง สำหรับค่าs ที่กำหนด และt = t ( s ) ที่สอดคล้องกัน จุดPและเวกเตอร์สัมผัสหน่วยTเวกเตอร์ความโค้งKและความโค้งκคือ: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {\bar {\gamma }}}(s)={\boldsymbol {\gamma }}(t)}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {\bar {\gamma }}}'(s)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}''(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|^{2}}}-{\boldsymbol {T}}\left({\boldsymbol {T}}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\gamma }}''(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|^{2}}}\right)}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa =\left\|{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s)\right\|&={\frac {\sqrt {{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}'(t){\bigr \|}{\vphantom {'}}^{2}{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}''(t){\bigr \|}{\vphantom {'}}^{2}-{\bigl (}{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t){\bigr )}{\vphantom {'}}^{2}}}{{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}'(t){\bigr \|}{\vphantom {'}}^{3}}}\\\\&={\frac {\left\|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)\right\|}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|^{2}}}{\sqrt {1-\left({\boldsymbol {T}}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\gamma }}''(t)}{{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}''(t){\bigr \|}}}\right)^{2}~}}~~.\\\end{aligned}}}$$

เวกเตอร์ความโค้งKคือส่วนประกอบตั้งฉากของ γ ′′( t ) / ‖ γ ′( t ) ‖ ² เทียบกับเวกเตอร์สัมผัส γ ′( t )สิ่งนี้สะท้อนให้เห็นในนิพจน์ที่สองสำหรับความโค้งด้วยเช่นกัน: นิพจน์ภายในวงเล็บคือcos θโดยที่θคือมุมระหว่างเวกเตอร์Tและγ ′′( t )ดังนั้นรากที่สองจึงได้ sin θ

ถ้าγเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์อันดับสองได้อย่างต่อเนื่องs(t)ก็ จะเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์อันดับสองได้อย่างต่อเนื่องเช่นกัน–γในขณะที่T ( t )สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง และK ( t )และκ ( t )เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

บ่อยครั้งที่การกำหนดพารามิเตอร์ความยาวส่วนโค้งนั้นทำได้ยากหรือเป็นไปไม่ได้–γในรูปแบบปิดแม้ว่าγจะถูกกำหนดในรูปแบบปิดก็ตาม โดยทั่วไปแล้วกรณีนี้มักเกิดขึ้นเมื่อยากหรือเป็นไปไม่ได้ที่จะแสดงs ( t )หรือส่วนกลับt ( s )ในรูปแบบปิด อย่างไรก็ตาม ความโค้งสามารถแสดงได้เฉพาะในแง่ของอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งและอันดับที่สองของγโดยไม่ต้องอ้างอิงโดยตรงถึง–γ.

เวกเตอร์ความโค้ง ซึ่งแทนด้วยตัวอักษรK ตัวใหญ่ คืออนุพันธ์ของเวกเตอร์สัมผัสหน่วยTเทียบกับความยาวส่วนโค้งs :

$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {T}}}{\mathrm {d} s}}.}$$

เวกเตอร์ความโค้งแสดงถึงทั้งทิศทางที่เส้นโค้งกำลังเลี้ยวไป และความแตกต่างของมุมการเลี้ยวด้วย

เวกเตอร์ความโค้งมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• ขนาดของเวกเตอร์ความโค้งคือค่าความโค้ง:$${\displaystyle \kappa =\left\|{\boldsymbol {K}}\right\|.}$$

• เวกเตอร์ความโค้งตั้งฉากกับเวกเตอร์สัมผัสหน่วยTหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ผลคูณดอท:$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {T}}=0~.}$$

• เวกเตอร์ความโค้งคืออนุพันธ์อันดับสองของพารามิเตอร์ความยาวส่วนโค้ง–γ:$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}(s)={\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s).}$$

• เวกเตอร์ความโค้งของการกำหนดพารามิเตอร์ทั่วไปγคือส่วนประกอบตั้งฉากของγ ′′( t ) / ‖ γ ′( t ) ‖ ²เทียบกับเวกเตอร์สัมผัสγ ′( t ) : ถ้าเส้นโค้งอยู่ในเวกเตอร์ความโค้งสามารถแสดงได้ดังนี้: โดยที่ × แทน ผลคูณเวก เตอร์ไขว้$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}(t)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}''(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|^{2}}}-{\boldsymbol {T}}\left({\boldsymbol {T}}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\gamma }}''(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|^{2}}}\right).}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}(t)={\boldsymbol {T}}\times {\frac {{\boldsymbol {\gamma }}''(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|^{2}}}\times {\boldsymbol {T}}}$$

• ถ้าเวกเตอร์ความโค้งไม่เป็นศูนย์:
  • เวกเตอร์ความโค้งชี้จากจุดP บนเส้นโค้ง ไปในทิศทางของจุดศูนย์กลางของวงกลมสัมผัส
  • เวกเตอร์ความโค้งและเวกเตอร์สัมผัสเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกันที่ทอดผ่านระนาบสัมผัส ซึ่งเป็นระนาบที่บรรจุวงกลมสัมผัส
  • เวกเตอร์ความโค้งที่ปรับขนาดให้มีความยาวหนึ่งหน่วยคือเวกเตอร์ปกติหนึ่งหน่วยN :$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\frac {K}{\left\|K\right\|}}.}$$

• เวกเตอร์ความโค้งเป็นสมบัติทางเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของเส้นโค้งที่จุดPโดยไม่ขึ้นอยู่กับวิธีการกำหนดพารามิเตอร์ของเส้นโค้ง

ในอดีต ความโค้งของเส้นโค้งที่หาอนุพันธ์ได้นั้นถูกนิยามโดยใช้วงกลมสัมผัสซึ่งเป็นวงกลมที่ประมาณเส้นโค้ง ณ จุดนั้นได้ดีที่สุด กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ เมื่อกำหนดจุดPบนเส้นโค้ง จุด Q อื่นๆ ทุกจุด บนเส้นโค้งจะกำหนดวงกลม (หรือบางครั้งก็เป็นเส้นตรง) ที่ผ่านจุดQและสัมผัสกับเส้นโค้งที่จุดPวงกลมสัมผัสคือลิมิต (ถ้ามี) ของวงกลมนี้เมื่อQเข้าใกล้Pดังนั้นจุดศูนย์กลางความโค้งและรัศมีความโค้งของเส้นโค้งที่จุดPจึงเป็นจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลมสัมผัส

รัศมีของความโค้งRเป็นส่วนกลับของความโค้ง^{[ 6 ]}โดยที่ความโค้งไม่เป็นศูนย์: $${\displaystyle R={\frac {1}{\kappa }}~.}$$

สำหรับเส้นโค้งγ เนื่องจากเวก เตอร์ความโค้งที่ไม่เป็นศูนย์K ( t )ชี้จากจุดP = γ ( t )ไปยังจุดศูนย์กลางความโค้ง แต่ขนาดของK ( t )คือความโค้งκ ( t )ดังนั้นจุดศูนย์กลางความโค้งC ( t )จึงเป็น

$${\displaystyle {\boldsymbol {C}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}(t)+{\frac {{\boldsymbol {K}}(t)}{\kappa (t)^{2}}}~.}$$

เมื่อความโค้งเป็นศูนย์ เช่น บนเส้นตรงหรือที่จุดเปลี่ยนความโค้ง รัศมีของความโค้งจะเป็นอนันต์ และจุดศูนย์กลางของความโค้งจะไม่สามารถระบุได้ หรือ "อยู่ที่อนันต์"

กำหนดให้จุด PและQสองจุดอยู่บนเส้นโค้งγให้s ( P , Q )เป็นความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งระหว่างPและQและให้d ( P , Q )เป็นความยาวของส่วนของเส้นตรงจากPไปยังQความโค้งของγที่จุด Pหาได้จากลิมิต

$${\displaystyle \kappa ({\boldsymbol {P}})=\lim _{{\boldsymbol {Q}}\to {\boldsymbol {P}}}{\sqrt {\frac {24{\bigl (}s({\boldsymbol {P}},{\boldsymbol {Q}})-d({\boldsymbol {P}},{\boldsymbol {Q}}){\bigr )}}{s({\boldsymbol {P}},{\boldsymbol {Q}}){\vphantom {Q}}^{3}}}}~,}$$

โดยที่ลิมิตนั้นพิจารณาจากจุดQที่เข้าใกล้Pบนγตัวส่วนสามารถกำหนดให้เป็นd ( P , Q ) ³ ได้เช่นกัน สูตรนี้ใช้ได้ในทุกมิติ สูตรนี้ได้มาจากการตรวจสอบกับวงกลมสัมผัส

อาจมีบางสถานการณ์ที่เงื่อนไขเบื้องต้นของสูตรข้างต้นไม่เป็นไปตามที่กำหนด แต่การนำแนวคิดเรื่องความโค้งมาใช้ยังคงเหมาะสมอยู่

อาจเป็นประโยชน์ที่จะนำแนวคิดเรื่องความโค้งมาใช้กับเส้นโค้งγที่จุดP = γ ( t ₀ )หากอนุพันธ์ด้านเดียวของγ ′( t ₀ )มีอยู่แต่มีค่าต่างกัน หรือในทำนองเดียวกันสำหรับγ ′′( t ₀ )ในกรณีเช่นนี้ การอธิบายเส้นโค้งด้วยความโค้งที่แต่ละด้านอาจเป็นประโยชน์ ซึ่งอาจเป็นกรณีของเส้นโค้งที่สร้างขึ้นเป็นช่วงๆ

อีกสถานการณ์หนึ่งเกิดขึ้นเมื่อค่าลิมิตของอัตราส่วนส่งผลให้ค่าความโค้งเป็น ค่า 0/0 ที่ไม่สามารถ ระบุได้ เช่น เมื่ออนุพันธ์ทั้งสองมีอยู่แต่เป็นศูนย์ทั้งคู่ ในกรณีเช่นนี้ อาจสามารถประเมินค่าลิมิตพื้นฐานได้โดยใช้กฎของโลปิตาล

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของเส้นโค้งพร้อมการประยุกต์ใช้แนวคิดและสูตรที่เกี่ยวข้อง

คำอธิบายทางเรขาคณิตว่าทำไมความโค้งของวงกลมรัศมีRที่จุดP ใดๆ จึงเท่ากับ1/ Rนั้น แสดงให้เห็นได้บางส่วนจากแผนภาพทางด้านขวา

ความยาวของส่วนโค้งสีแดงคือLและขนาดของมุมศูนย์กลางของส่วนโค้ง (มุม ACB) ในหน่วยเรเดียนคือL / Rมุมระหว่างเส้นสัมผัสที่ปลายส่วนโค้งคือมุม BDE ซึ่งมีขนาดเท่ากับมุมศูนย์กลาง เนื่องจากทั้งสองมุมเป็นมุมเสริมกับมุม BDA

อัตราส่วนของมุมระหว่างเส้นสัมผัสที่จุดปลายของส่วนโค้ง ซึ่งวัดเป็นเรเดียน หารด้วยความยาวส่วนโค้งL คือ ( L / R ) / L = 1/ R

เนื่องจากอัตราส่วนคือ1/ Rสำหรับส่วนโค้งใดๆ ของวงกลมที่มีความยาวน้อยกว่าครึ่งวงกลม ดังนั้นสำหรับส่วนโค้งที่ผ่านจุดP ใดๆ บนวงกลม ค่าลิมิตของอัตราส่วนเมื่อความยาวส่วนโค้งเข้าใกล้ศูนย์ก็คือ1/ R เช่นกัน ดังนั้นความโค้งของวงกลมที่จุดP ใดๆ จึง เท่ากับ1/ R

การกำหนดพารามิเตอร์ทั่วไปของวงกลมรัศมีrคือγ ( t ) = ( r cos t , r sin t )จากนั้น สูตรทั่วไปสำหรับความโค้งจะให้ และสูตรสำหรับเส้นโค้งระนาบจะให้ $${\displaystyle {\begin{array}{lll}{\boldsymbol {\gamma }}'(t)=(-r~\mathrm {sin} ~t,r~\mathrm {cos} ~t)&\qquad &\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|=r\\{\boldsymbol {\gamma }}''(t)=(-r~\mathrm {cos} ~t,-r~\mathrm {sin} ~t)&\qquad &\left\|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)\right\|=r\\{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t)=0~.\\\end{array}}}$$$${\displaystyle \kappa (t)={\frac {\sqrt {r^{2}\,r^{2}-0^{2}\,}}{r^{3}}}={\frac {1}{r}}~.}$$$${\displaystyle \kappa (t)={\frac {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}{{\bigl (}r^{2}\cos ^{2}t+r^{2}\sin ^{2}t{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}={\frac {1}{r}}.}$$

ดังนั้น จึงสรุปได้ว่า รัศมีของความโค้งคือรัศมีของวงกลม และจุดศูนย์กลางของความโค้งคือจุดศูนย์กลางของวงกลม

วงกลมเป็นกรณีพิเศษที่การกำหนดพารามิเตอร์ด้วยความยาวส่วนโค้งนั้นคำนวณได้ง่าย เนื่องจาก ค่าบรรทัดฐานของวงกลม เท่ากับหนึ่ง ดังนั้นจึง ให้ค่าความโค้งเดียวกัน $${\displaystyle {\boldsymbol {\bar {\gamma }}}(s)=\left(r\cos {\frac {s}{r}},\,r\sin {\frac {s}{r}}\right).}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\bar {\gamma }}}'(s)=\left(-\sin {\frac {s}{r}},\,\cos {\frac {s}{r}}\right)}$$$${\displaystyle \kappa (s)=\left\|{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s)\right\|=\left\|\left(-{\frac {1}{r}}\cos {\frac {s}{r}},\,-{\frac {1}{r}}\sin {\frac {s}{r}}\right)\right\|={\frac {1}{r}}}$$

วงกลมเดียวกันนี้สามารถกำหนดได้ด้วยสมการโดยปริยายF ( x , y ) = 0โดยที่F ( x , y ) = x² + y² – ^r²จากนั้น สูตรสำหรับความโค้งในกรณีนี้จะ ให้^{ค่าดังนี้}$${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\right|}{{\bigl (}F_{x}^{2}+F_{y}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}\\&={\frac {8y^{2}+8x^{2}}{{\bigl (}4x^{2}+4y^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}\\&={\frac {8r^{2}}{{\bigl (}4r^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}={\frac {1}{r}}.\end{aligned}}}$$

พิจารณาพาราโบลาy = ax² + bx + c^​​

นี่คือกราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเท่ากับ2 ax + bและอนุพันธ์อันดับสองเท่ากับ2 aดังนั้น ความโค้งแบบมีเครื่องหมายคือ โดยมีเครื่องหมายเป็นaสำหรับทุกค่าของxซึ่งหมายความว่า ถ้าa > 0ความโค้งจะชี้ขึ้นทุกจุด ถ้าa < 0ความโค้งจะชี้ลง และสำหรับa = 0ความโค้งจะเป็นศูนย์ทุกจุด ซึ่งยืนยันว่าพาราโบลาจะกลายเป็นเส้นตรงในกรณีนี้ $${\displaystyle k(x)={\frac {2a}{{\bigl (}1+\left(2ax+b\right)^{2}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{3/2}}}~.}$$

ความโค้ง (ที่ไม่มีเครื่องหมาย) จะมีค่าสูงสุดเมื่อx = – ⁠ข/2 ก.นั่นคือ ณจุดนิ่ง (อนุพันธ์เป็นศูนย์) ของฟังก์ชัน ซึ่งก็คือจุดยอดของพาราโบลา

พิจารณาการกำหนดพารามิเตอร์γ ( t ) = ( t , at ² + bt + c ) = ( x , y )อนุพันธ์อันดับแรกของxคือ1 และอนุพันธ์อันดับสองคือศูนย์ การแทนค่าลงในสูตรสำหรับการ กำหนด พารามิเตอร์ทั่วไปจะให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกับข้างต้นทุกประการ โดยที่xแทนด้วยtและเครื่องหมายไพรม์หมายถึงอนุพันธ์เทียบกับพารามิเตอร์t

พาราโบลาเดียวกันนี้สามารถกำหนดได้ด้วยสมการโดยปริยายF ( x , y ) = 0โดยที่F ( x , y ) = ax² + bx + c – yเนื่องจากFy ₌ –1และFyy = _Fxy = 0 จึงได้ค่าความโค้ง ( ^{แบบ ไม่ระบุ} เครื่องหมาย ) ที่เท่ากัน อย่างไรก็ตาม ความโค้งแบบระบุเครื่องหมาย _นั้นไม่สามารถกำหนดได้สำหรับสมการโดยปริยาย เนื่องจากความโค้งแบบระบุเครื่องหมายขึ้นอยู่กับทิศทางของเส้นโค้งซึ่งไม่ได้ระบุไว้ในสมการโดยปริยาย

ให้γ ( t ) = ( x ( t ), y ( t ))เป็นการแสดงพาราเมตริก ที่เหมาะสม ของเส้นโค้งระนาบที่หาอนุพันธ์ได้สองครั้ง ในที่นี้ คำว่า "เหมาะสม"หมายความว่า บนโดเมนของการนิยามพาราเมตริก อนุพันธ์⁠d γ/d tมี อยู่จริง และไม่เท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ที่ใดเลย

ความโค้งκของเส้นโค้งระนาบสามารถแสดงได้ในรูปแบบเฉพาะสำหรับสองมิติ เช่น

$${\displaystyle \kappa ={\frac {\left|x'y''-y'x''\right|}{{\bigl (}{x'}^{2}+{y'}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}},}$$

โดยที่เครื่องหมายไพรม์หมาย ถึง อนุพันธ์เทียบกับt

สามารถแสดงสิ่งนี้ใน รูปแบบ ที่ไม่ขึ้นกับพิกัดได้ดังนี้ $${\displaystyle \kappa ={\frac {\left|\det \left({\boldsymbol {\gamma }}',{\boldsymbol {\gamma }}''\right)\right|}{\|{\boldsymbol {\gamma }}'\|^{3}}},}$$

โดยที่ตัวเศษคือค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 2x2 ที่มีγ ′และγ ′′เป็นคอลัมน์

สูตรเหล่านี้สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการประยุกต์ใช้ สูตร ผลคูณเวกเตอร์สำหรับความโค้งในสามมิติเนื่องจากตัวดำเนินการมีค่าเป็นศูนย์ในมิติที่สาม ผลลัพธ์ของผลคูณเวกเตอร์จะมีค่าเป็นศูนย์สำหรับสองมิติแรก ดังนั้นเฉพาะค่าในมิติที่สามเท่านั้นที่มีความสำคัญต่อการคำนวณขนาดของผลคูณเวกเตอร์ สูตรสำหรับค่าของมิติที่สามจึงปรากฏอยู่ในตัวเศษของสูตรข้างต้น

สำหรับเส้นโค้งระนาบ การแสดงความโค้งเป็นค่าสเกลาร์เดียวที่สามารถเป็นบวกหรือลบได้นั้น อาจเป็นประโยชน์ โดยเรียกว่าความโค้งแบบมีเครื่องหมายหรือความโค้งแบบกำหนดทิศทางและใช้ตัวอักษร k ตัวเล็กแทน สูตรของความโค้งแบบมีเครื่องหมายนั้นคล้ายกับสูตรสำหรับκยกเว้นว่าจะไม่ต้องใช้ค่าสัมบูรณ์ของตัวเศษ:

$${\displaystyle k={\frac {x'y''-y'x''}{{\bigl (}{x'}^{2}+{y'}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}={\frac {\det \left({\boldsymbol {\gamma }}',{\boldsymbol {\gamma }}''\right)}{\|{\boldsymbol {\gamma }}'\|^{3}}}~.}$$

ดังนั้นk = ± κ ค่า kจะเป็นบวกหรือลบนั้นขึ้นอยู่กับทิศทางของเส้นโค้ง ค่าk ที่เป็นบวก จะสอดคล้องกับ การหมุน ตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกาขึ้นอยู่กับทิศทางของเส้นโค้งและทิศทางของแกนพิกัดด้วยทิศทางมาตรฐานของแกนพิกัดเมื่อเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งในทิศทางที่t เพิ่มขึ้น ค่าkจะเป็นบวกถ้าเส้นโค้งหมุนไปทางซ้ายทวนเข็มนาฬิกา และจะเป็นลบถ้าเส้นโค้งหมุนไปทางขวาตามเข็มนาฬิกา ซึ่งสอดคล้องกับธรรมเนียมที่ถือว่าการหมุนทวนเข็มนาฬิกาเป็นการหมุนผ่านมุมบวกอย่างไรก็ตาม เนื่องจากเครื่องหมายของkขึ้นอยู่กับทิศทางของการกำหนดพารามิเตอร์kจึงไม่ใช่ คุณสมบัติ ทางเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของเส้นโค้ง

ยกเว้นปัญหาเรื่องทิศทาง ความโค้งที่มีเครื่องหมายสำหรับเส้นโค้งระนาบจะเก็บข้อมูลที่คล้ายคลึงกับเวกเตอร์ความโค้ง ซึ่งสำหรับเส้นโค้งระนาบนั้นจะถูกจำกัดไว้ที่มิติเดียว คือเส้นที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์สัมผัสหน่วย

โดยใช้การวางแนวแกนพิกัดมาตรฐาน ให้—เอ็นให้ เป็นเวกเตอร์ปกติหน่วยที่ได้จากเวกเตอร์สัมผัสหน่วยTโดยการหมุนทวนเข็มนาฬิกา⁠π/2จากนั้น—เอ็นขึ้นอยู่กับทิศทางของเส้นโค้งและชี้ไปทางซ้ายเมื่อเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งในทิศทางที่t เพิ่มขึ้น อย่างไรก็ตาม เวกเตอร์ความโค้งKเท่ากับผลคูณของความโค้งแบบมีเครื่องหมายkและ —เอ็นเนื่องจากความสัมพันธ์เชิงทิศทางของพวกมันหักล้างกันเอง:

$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}=k\,{\boldsymbol {\bar {N}}}.}$$

ในทำนองเดียวกัน จุดศูนย์กลางความโค้งสามารถแสดงได้โดยใช้ความโค้งแบบมีเครื่องหมายและ—เอ็น: $${\displaystyle {\boldsymbol {C}}(s)={\boldsymbol {\gamma }}(s)+{\frac {\mathbf {\bar {N}} (s)}{k(s)}}.}$$

กราฟของฟังก์ชันy = f ( x )เป็นกรณีพิเศษของเส้นโค้งพาราเมตริก ซึ่งมีรูปแบบดังนี้ เนื่องจากอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งและอันดับที่สองของxคือ 1 และ 0 สูตรก่อนหน้านี้จึงลดรูปเหลือ สำหรับความโค้ง และเหลือ สำหรับความโค้งแบบมีเครื่องหมาย $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=t\\y&=f(t).\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \kappa ={\frac {\left|y''\right|}{{\bigl (}1+{y'}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}}$$$${\displaystyle k={\frac {y''}{{\bigl (}1+{y'}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}}$$

โดยทั่วไปแล้ว ในกรณีของเส้นโค้ง เครื่องหมายของความโค้งที่มีเครื่องหมายนั้นค่อนข้างไม่แน่นอน เนื่องจากขึ้นอยู่กับทิศทางของเส้นโค้ง แต่ในกรณีของกราฟฟังก์ชัน จะมีทิศทางที่เป็นธรรมชาติโดยค่าx ที่เพิ่มขึ้น ซึ่งทำให้เครื่องหมายของความโค้งที่มีเครื่องหมายมีความสำคัญมากขึ้น

เครื่องหมายของค่าความโค้งแบบมีเครื่องหมายจะเหมือนกับเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองของfถ้าเป็นบวก กราฟจะมีลักษณะโค้งขึ้น และถ้าเป็นลบ กราฟจะมีลักษณะโค้งลง ถ้าเป็นศูนย์ จะมีจุดเปลี่ยนเว้าหรือจุดคลื่น

เมื่อความชันของกราฟ (ซึ่งก็คืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน) มีค่าน้อย ความโค้งแบบมีเครื่องหมายจะถูกประมาณค่าได้ดีด้วยอนุพันธ์อันดับสอง กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น โดยใช้สัญกรณ์บิ๊กโอจะได้ว่า $${\displaystyle k(x)=y''{\Bigl (}1+O{\bigl (}{\textstyle y'}^{2}{\bigr )}{\Bigr )}.}$$

ใน วิชาฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์เป็นเรื่องปกติที่จะประมาณความโค้งด้วยอนุพันธ์อันดับสอง ตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีคานหรือในการหาอนุพันธ์ของสมการคลื่นของสายที่ถูกดึง และการประยุกต์ใช้งานอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับความชันเล็กน้อย วิธีนี้มักช่วยให้ระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นสามารถถูกมองว่าเป็นเชิงเส้นได้โดยประมาณ

สำหรับเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการโดยปริยายF ( x , y ) = 0โดยมีอนุพันธ์ย่อยที่แสดงด้วย F _x , F _y , F _xx , F _xy , F _yyความโค้งจะกำหนดโดย^{[ 7 ]}$${\displaystyle \kappa ={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\right|}{{\bigl (}F_{x}^{2}+F_{y}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}.}$$

ความโค้งที่มีเครื่องหมายไม่ชัดเจน เนื่องจากขึ้นอยู่กับทิศทางของเส้นโค้งซึ่งไม่ได้ระบุไว้ในสมการโดยปริยาย โปรดทราบว่าการเปลี่ยนFเป็น –F จะไม่เปลี่ยนแปลงเส้นโค้งที่กำหนดโดยF ( x , y ) = 0แต่จะเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวเศษหากละเว้น ค่าสัมบูรณ์ ในสูตรก่อนหน้า

จุดบนเส้นโค้งที่F _x = F _y = 0เรียกว่าจุดเอกฐานซึ่งหมายความว่าเส้นโค้งนั้นไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดนี้ และด้วยเหตุนี้ ความโค้งจึงไม่สามารถหาค่าได้ (ส่วนใหญ่แล้ว จุดนี้จะเป็นจุดตัดหรือจุดแหลม )

สูตรข้างต้นสำหรับความโค้งสามารถได้มาจากการแสดงออกของความโค้งของกราฟของฟังก์ชันโดยใช้ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายและข้อเท็จจริงที่ว่า บนเส้นโค้งดังกล่าวจะมี $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {F_{x}}{F_{y}}}.}$$

ถ้าเส้นโค้งถูกกำหนดในพิกัดเชิงขั้วโดยรัศมีที่แสดงเป็นฟังก์ชันของมุมเชิงขั้ว นั่นคือrเป็นฟังก์ชันของθแล้วความโค้งของเส้นโค้งนั้นคือ โดย ที่เครื่องหมายไพรม์หมายถึงการหาอนุพันธ์เทียบกับθ$${\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {\left|r^{2}+2{r'}^{2}-r\,r''\right|}{{\bigl (}r^{2}+{r'}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}},}$$

ผลลัพธ์นี้ได้มาจากสูตรสำหรับการกำหนดพารามิเตอร์ทั่วไป โดยพิจารณาจากการกำหนดพารามิเตอร์ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta .\end{aligned}}}$$

สามารถใช้หวีความโค้ง [ 8 ] เพื่อแสดงความโค้งของทุกจุดบนเส้นโค้งในเชิงกราฟิกได้ หากγ เป็น^{เส้นโค้งที่}กำหนดพารามิเตอร์tหวีของ γ จะถูกกำหนดเป็นเส้นโค้งที่กำหนดพารามิเตอร์โดย ที่κคือความโค้งNคือเวกเตอร์ปกติหน่วยที่ชี้ไปยังจุดศูนย์กลางของความโค้ง และsคือปัจจัยการปรับขนาดที่เลือกเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพการแสดงผลกราฟิก $${\displaystyle \mathrm {Comb} (t)={\boldsymbol {\gamma }}(t)-s\,\kappa (t){\boldsymbol {N}}(t),}$$

เครื่องมือแสดงเส้นโค้ง (Curvature combs) มีประโยชน์เมื่อต้องการรวมเส้นโค้งสองเส้นที่แตกต่างกันในสภาพแวดล้อม CAD มันช่วยแสดงความต่อเนื่องระหว่างเส้นโค้งได้อย่างชัดเจน โดยความต่อเนื่องสามารถกำหนดได้เป็น 4 ระดับ

G0 : หวีโค้งทั้งสองอันทำมุมกันตรงจุดเชื่อมต่อ

G1: ซี่หวีทั้งสองขนานกันตรงจุดเชื่อมต่อ แต่มีความยาวต่างกัน

G2: ซี่หวีขนานกันและมีความยาวเท่ากัน อย่างไรก็ตาม เส้นสัมผัสของซี่หวีทั้งสองไม่เท่ากัน

G3: ฟันหวีขนานกันและมีความยาวเท่ากัน และเส้นสัมผัสของหวีทั้งสองข้างก็เท่ากัน

ภาพด้านบนแสดงความต่อเนื่องแบบ G2 ที่จุดเชื่อมต่อทั้ง 2 จุด

สูตรFrenet–Serret สูตรแรกเชื่อมโยงเวกเตอร์สัมผัสหน่วย ความโค้ง และเวกเตอร์ตั้งฉากของการกำหนดพารามิเตอร์ความยาวส่วนโค้ง โดยที่เครื่องหมายไพรม์หมายถึงอนุพันธ์เทียบกับความยาวส่วนโค้งsและN ( s )คือเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากในทิศทางของT ′ (s ) $${\displaystyle \mathbf {T} '(s)=\kappa (s)\mathbf {N} (s),}$$

เนื่องจากเส้นโค้งระนาบมีการบิด เป็นศูนย์ สูตร Frenet–Serret ข้อที่สองจึงให้ความสัมพันธ์ดังนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} ,\\&=-\kappa {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{ds}}.\end{aligned}}}$$

สำหรับการกำหนดพารามิเตอร์ทั่วไปโดยใช้พารามิเตอร์tนั้น จำเป็นต้องใช้สูตรที่มีอนุพันธ์เทียบกับtเนื่องจากสูตรเหล่านี้ได้มาจากการคูณด้วย⁠ดีเอส/ดีทีอนุพันธ์เทียบกับsจะได้ว่า สำหรับการกำหนดพารามิเตอร์ที่เหมาะสมใดๆ $${\displaystyle \mathbf {N} '(t)=-\kappa (t){\boldsymbol {\gamma }}'(t).}$$

สำหรับเส้นโค้งที่กำหนดโดยพารามิเตอร์ในสามมิติซึ่งกำหนดในพิกัดคาร์ทีเซียนโดยγ ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t ))ความโค้งคือ

$${\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {{\bigl (}z''y'-y''z'{\bigr )}{\vphantom {'}}^{2}+{\bigl (}x''z'-z''x'{\bigr )}{\vphantom {'}}^{2}+{\bigl (}y''x'-x''y'{\bigr )}{\vphantom {'}}^{2}}}{{\bigl (}{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}},}$$

โดยที่เครื่องหมายไพรม์แสดงถึงการหาอนุพันธ์เทียบกับพารามิเตอร์tทั้งความโค้ง^{[ 9 ]}และเวกเตอร์ความโค้งสามารถแสดงได้โดยใช้ผลคูณเวกเตอร์ไขว้และเวกเตอร์สัมผัสหน่วยT :

$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {T}}\times {\frac {{\boldsymbol {\gamma }}''}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'\right\|^{2}}}\times {\boldsymbol {T}}}$$

$${\displaystyle \kappa ={\frac {{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}'\times {\boldsymbol {\gamma }}''{\bigr \|}}{{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}'{\bigr \|}{\vphantom {'}}^{3}}}~.}$$

สูตรเหล่านี้เกี่ยวข้องกับสูตรทั่วไปสำหรับความโค้งและเวกเตอร์ความโค้ง ยกเว้นว่า สูตร เหล่านี้ใช้ผลคูณเวกเตอร์แทนผลคูณดอทสเกลาร์เพื่อแสดงส่วนประกอบตั้งฉากของγ ′′ / ‖ γ ′ ‖^2เทียบกับγ ′

ความโค้งของเส้นโค้งที่วาดบนพื้นผิวเป็นเครื่องมือหลักในการกำหนดและศึกษาความโค้งของพื้นผิว

สำหรับเส้นโค้งที่ลากบนพื้นผิว (ซึ่งฝังอยู่ใน ปริภูมิยูคลิดสามมิติ) จะมีการกำหนดความโค้งหลายแบบ ซึ่งเชื่อมโยงทิศทางของความโค้งกับเวกเตอร์ปกติ หน่วยของพื้นผิว รวมถึง:

• ความโค้งปกติ
• ความโค้งจีโอเดสิก
• การบิดตัวแบบจีโอเดสิก

เส้นโค้งใดๆ ที่ไม่มีจุดเอกฐานบนพื้นผิวเรียบ จะมีเวกเตอร์สัมผัสTอยู่ในระนาบสัมผัสของพื้นผิวนั้นความโค้งปกติk _nคือความโค้งของเส้นโค้งที่ฉายลงบนระนาบที่บรรจุเวกเตอร์สัมผัสT ของเส้นโค้ง และเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิวuความโค้งจีโอเดสิก k g _คือความโค้งของเส้นโค้งที่ฉายลงบนระนาบสัมผัสของพื้นผิว และการบิดจีโอเดสิก (หรือการบิดสัมพัทธ์ ) τ _rวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิวรอบเวกเตอร์สัมผัสของเส้นโค้ง

ให้เส้นโค้งถูกกำหนดพารามิเตอร์ด้วยความยาวส่วนโค้งและให้t = u × Tโดยที่T , t , uก่อให้เกิดฐานเชิงตั้ง ฉากปกติ เรียกว่ากรอบดาร์บูซ์ปริมาณข้างต้นมีความสัมพันธ์กันดังนี้:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {T} '\\\mathbf {t} '\\\mathbf {u} '\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&\kappa _{\mathrm {g} }&\kappa _{\mathrm {n} }\\-\kappa _{\mathrm {g} }&0&\tau _{\mathrm {r} }\\-\kappa _{\mathrm {n} }&-\tau _{\mathrm {r} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}}$

เส้นโค้งทั้งหมดบนพื้นผิวที่มีเวกเตอร์สัมผัสเดียวกัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง จะมีค่าความโค้งปกติเท่ากัน ซึ่งก็คือค่าความโค้งของเส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกับระนาบที่บรรจุTและuโดยพิจารณาเวกเตอร์สัมผัสที่เป็นไปได้ทั้งหมด ค่าความโค้งปกติสูงสุดและต่ำสุด ณ จุดใดจุดหนึ่ง เรียกว่า ค่าความโค้งหลัก k 1 _และk ₂และทิศทางของเวกเตอร์สัมผัสที่สอดคล้องกัน เรียกว่าทิศทางเวกเตอร์ปกติหลัก

สามารถประเมินความโค้งตามส่วนตัดตั้งฉาก กับพื้นผิว ได้ คล้ายกับหัวข้อ § เส้นโค้งบนพื้นผิวด้านบน (ดูตัวอย่างเช่นรัศมีความโค้งของโลก )

พื้นผิวโค้งบางชนิด เช่น พื้นผิวที่ทำจากแผ่นกระดาษเรียบ สามารถแผ่ราบลงบนระนาบได้โดยไม่ทำให้คุณสมบัติภายในของพื้นผิวนั้นผิดเพี้ยนไปพื้นผิวที่คลี่ออกได้ ดังกล่าว มีค่าความโค้งเกาส์เซียนเป็นศูนย์ (ดูด้านล่าง) ^{[ 10 ]}

ตรงกันข้ามกับเส้นโค้ง ซึ่งไม่มีความโค้งภายใน แต่มีความโค้งภายนอก (ความโค้งจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อมีการฝังตัว) พื้นผิวสามารถมีความโค้งภายในได้โดยไม่ขึ้นอยู่กับการ ฝังตัว ความโค้งเกาส์เซียนซึ่งตั้งชื่อตามคาร์ล ฟรีดริช เกาส์มีค่าเท่ากับผลคูณของความโค้งหลักk₁ ₌ k₂มีมิติความยาวเท่ากับ^-2และมีค่าเป็นบวกสำหรับทรง กลม ค่าเป็นลบสำหรับ ไฮเปอร์โบโลอิดแบบแผ่นเดียวและค่าเป็นศูนย์สำหรับระนาบและทรงกระบอก ค่า_นี้เป็นตัวกำหนดว่าพื้นผิวนั้นเป็นนูนเฉพาะที่ (เมื่อมีค่าเป็นบวก) หรือเป็นรูปอานม้าเฉพาะที่ (เมื่อมีค่าเป็นลบ)

ความโค้งแบบเกาส์เซียนเป็น คุณสมบัติ ภายในของพื้นผิว หมายความว่ามันไม่ขึ้นอยู่กับการฝังตัวของพื้นผิวในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง โดยสัญชาตญาณแล้ว หมายความว่ามดที่อาศัยอยู่บนพื้นผิวนั้นสามารถกำหนดความโค้งแบบเกาส์เซียนได้ ตัวอย่างเช่น มดที่อาศัยอยู่บนทรงกลมสามารถวัดผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมและกำหนดได้ว่ามันมากกว่า 180 องศา ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ที่มันอาศัยอยู่นั้นมีความโค้งเป็นบวก ในทางกลับกัน มดที่อาศัยอยู่บนทรงกระบอกจะไม่สามารถตรวจพบความเบี่ยงเบนใดๆ จากเรขาคณิตแบบยุคลิดได้โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มดไม่สามารถตรวจพบได้ว่าพื้นผิวทั้งสองมีความโค้งเฉลี่ยที่แตกต่างกัน (ดูด้านล่าง) ซึ่งเป็นความโค้งประเภทภายนอกอย่างแท้จริง

ตามหลักการแล้ว ความโค้งแบบเกาส์เซียนขึ้นอยู่กับเมตริกแบบรีมันน์ของพื้นผิวเท่านั้น นี่คือทฤษฎีบทเอเกรเกียมอันโด่งดังของเกาส์ซึ่งเขาค้นพบขณะทำการสำรวจทางภูมิศาสตร์และการทำแผนที่

นิยามพื้นฐานของความโค้งเกาส์เซียน ณ จุดPมีดังนี้: ลองนึกภาพมดตัวหนึ่งที่ผูกติดกับจุด Pด้วยเส้นด้ายสั้นๆ ยาวrมันวิ่งวนรอบจุดPในขณะที่เส้นด้ายยืดออกจนสุด และวัดความยาวC ( r ) ของการวิ่งวนรอบจุด Pครบหนึ่งรอบถ้าพื้นผิวเรียบ มดจะพบว่าC ( r ) = 2πr บนพื้นผิวโค้ง สูตรสำหรับC ( r )จะแตกต่างออกไป และความโค้งเกาส์เซียนKณ จุดPสามารถคำนวณได้โดยทฤษฎีบทของ Bertrand–Diguet–Puiseuxดังนี้

${\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}3\left({\frac {2\pi r-C(r)}{\pi r^{3}}}\right).}$

ปริมาณอินทิกรัลของความโค้งเกาส์เซียนตลอดทั้งพื้นผิวมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ ของพื้นผิว ดูทฤษฎีบทเกาส์-บอนเนต์ประกอบ

สิ่งที่เทียบเคียงได้กับความโค้งแบบไม่ต่อเนื่อง ซึ่งสอดคล้องกับความโค้งที่กระจุกตัวอยู่ที่จุดใดจุดหนึ่ง และมีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับทรง หลายเหลี่ยมคือข้อบกพร่อง (เชิงมุม)ส่วนสิ่งที่เทียบเคียงได้กับทฤษฎีบทของเกาส์-บอนเนต์คือทฤษฎีบทของเดส์การ์ตเกี่ยวกับข้อบกพร่องเชิงมุมรวม

เนื่องจากความโค้ง (แบบเกาส์เซียน) สามารถกำหนดได้โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงปริภูมิฝังตัว จึงไม่จำเป็นที่พื้นผิวจะต้องถูกฝังอยู่ในปริภูมิที่มีมิติสูงกว่าจึงจะโค้งได้ พื้นผิวสองมิติที่โค้งโดยเนื้อแท้เช่นนี้เป็นตัวอย่างง่ายๆ ของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์

ความโค้งเฉลี่ยเป็นการ วัดความ โค้งภายนอกซึ่งเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของความโค้งหลัก ⁠k ₁ + k ₂/2ความโค้งเฉลี่ยถูกนำเสนอโดยโซฟี แฌร์แมงในงานของเธอเกี่ยวกับทฤษฎีความยืดหยุ่น มีมิติความยาว ^{−1 ความโค้งเฉลี่ยมีความสัมพันธ์อย่างใกล้} ชิด กับการเปลี่ยนแปลงครั้งแรกของ พื้นที่ผิวโดยเฉพาะอย่างยิ่งพื้นผิวที่เล็กที่สุดเช่นฟิล์มสบู่มีความโค้งเฉลี่ยเป็นศูนย์ และฟองสบู่มีความโค้งเฉลี่ยคงที่ แตกต่างจากความโค้งของเกาส์ ความโค้งเฉลี่ยเป็นค่าภายนอกและขึ้นอยู่กับการฝังตัว ตัวอย่างเช่นทรงกระบอกและระนาบมีสมมาตร เฉพาะที่ แต่ความโค้งเฉลี่ยของระนาบเป็นศูนย์ ในขณะที่ความโค้งเฉลี่ยของทรงกระบอกไม่เป็นศูนย์

ความโค้งภายในและภายนอกของพื้นผิวสามารถรวมกันได้ในรูปแบบพื้นฐานที่สอง นี่คือรูปแบบกำลังสองในระนาบสัมผัสกับพื้นผิว ณ จุดหนึ่งซึ่งค่า ณ เวกเตอร์สัมผัสX เฉพาะเจาะจง กับพื้นผิวคือส่วนประกอบปกติของความเร่งของเส้นโค้งตามพื้นผิวที่สัมผัสกับXกล่าวคือ เป็นความโค้งปกติของเส้นโค้งที่สัมผัสกับX (ดูด้านบน ) ในเชิงสัญลักษณ์

${\displaystyle \operatorname {I\!I} (\mathbf {X} ,\mathbf {X} )=\mathbf {N} \cdot (\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {X} )}$

โดยที่Nคือเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากกับพื้นผิว สำหรับเวกเตอร์สัมผัสหน่วยXรูปแบบพื้นฐานที่สองจะมีค่าสูงสุดk ₁และค่าต่ำสุดk ₂ซึ่งเกิดขึ้นในทิศทางหลักu ₁และu ₂ตามลำดับ ดังนั้น โดยทฤษฎีบทแกนหลักรูปแบบพื้นฐานที่สองคือ

${\displaystyle \operatorname {I\!I} (\mathbf {X} ,\mathbf {X} )=k_{1}\left(\mathbf {X} \cdot \mathbf {u} _{1}\right)^{2}+k_{2}\left(\mathbf {X} \cdot \mathbf {u} _{2}\right)^{2}.}$

ดังนั้น รูปแบบพื้นฐานที่สองจึงเข้ารหัสทั้งความโค้งภายในและภายนอก

การห่อหุ้มความโค้งของพื้นผิวสามารถพบได้ในตัวดำเนินการรูปร่างSซึ่งเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบสมมาตรในตัวเอง จากระนาบสัมผัสไปยังตัวมันเอง (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อนุพันธ์ของแผนที่เกาส์ )

สำหรับพื้นผิวที่มีเวกเตอร์สัมผัสXและเวกเตอร์ตั้งฉากNตัวดำเนินการรูปร่างสามารถแสดงได้อย่างกระชับในสัญกรณ์การรวมดัชนีดังนี้

${\displaystyle \partial _{a}\mathbf {N} =-S_{ba}\mathbf {X} _{b}.}$

(เปรียบเทียบกับการแสดงความโค้งอีกแบบหนึ่งสำหรับเส้นโค้งระนาบ)

สมการของ Weingartenให้ค่าของSในรูปของสัมประสิทธิ์ของรูปแบบพื้นฐานที่หนึ่งและ ที่สอง ดังนี้

${\displaystyle S=\left(EG-F^{2}\right)^{-1}{\begin{pmatrix}eG-fF&fG-gF\\fE-eF&gE-fF\end{pmatrix}}.}$

ค่าความโค้งหลักคือค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการรูปร่าง ทิศทางความโค้งหลักคือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ของตัวดำเนินการ รูปร่าง ค่าความโค้งเกาส์คือดีเทอร์มิแนนต์ ของตัวดำเนินการรูปร่าง และค่าความโค้งเฉลี่ยคือครึ่งหนึ่งของร่องรอย ของตัวดำเนิน การ รูปร่าง

จากการขยายความในประเด็นก่อนหน้านี้ พื้นที่ที่มีสามมิติขึ้นไปสามารถโค้งงอได้โดยเนื้อแท้ ความโค้งนั้นเป็นความโค้งโดยเนื้อแท้ในแง่ที่ว่ามันเป็นคุณสมบัติที่กำหนดขึ้น ณ ทุกจุดในพื้นที่นั้น ไม่ใช่คุณสมบัติที่กำหนดขึ้นโดยสัมพันธ์กับพื้นที่ที่ใหญ่กว่าซึ่งบรรจุอยู่ โดยทั่วไปแล้ว พื้นที่โค้งอาจถูกมองว่าฝังอยู่ในพื้นที่แวดล้อมที่ มีมิติสูงกว่าหรือไม่ ก็ได้ หากไม่เป็นเช่นนั้น ความโค้งของมันก็สามารถกำหนดได้เฉพาะโดยเนื้อแท้เท่านั้น

หลังจากการค้นพบนิยามที่แท้จริงของความโค้ง ซึ่งมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับเรขาคณิตนอกยุคลิดนักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์จำนวนมากตั้งคำถามว่าพื้นที่ทางกายภาพทั่วไปอาจโค้งงอหรือไม่ แม้ว่าความสำเร็จของเรขาคณิตยุคลิดจนถึงขณะนั้นจะหมายความว่ารัศมีของความโค้งจะต้องมีขนาดใหญ่มากในทางดาราศาสตร์ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปซึ่งอธิบายถึงแรงโน้มถ่วงและจักรวาลวิทยาแนวคิดนี้ได้รับการขยายความเล็กน้อยไปสู่ ​​"ความโค้งของกาลอวกาศ " ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ กาลอวกาศเป็นแมนิโฟลด์แบบเสมือนรีมันน์เมื่อกำหนดพิกัดเวลาแล้ว พื้นที่สามมิติที่สอดคล้องกับเวลาเฉพาะนั้นโดยทั่วไปจะเป็นแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ที่โค้งงอ แต่เนื่องจากการเลือกพิกัดเวลาส่วนใหญ่เป็นไปโดยพลการ ความโค้งของกาลอวกาศที่อยู่เบื้องหลังจึงมีความสำคัญทางกายภาพ

แม้ว่าการอธิบายปริภูมิโค้งตามอำเภอใจจะซับซ้อนมาก แต่ความโค้งของปริภูมิที่เป็นเนื้อเดียวกันและสมมาตร ในระดับท้องถิ่น นั้นสามารถอธิบายได้ด้วยความโค้งแบบเกาส์เซียนเพียงค่าเดียว เช่นเดียวกับพื้นผิว ในทางคณิตศาสตร์แล้วนี่เป็นเงื่อนไขที่เข้มงวด แต่ก็สอดคล้องกับสมมติฐานทางฟิสิกส์ที่สมเหตุสมผล (ทุกจุดและทุกทิศทางไม่สามารถแยกแยะได้) ความโค้งที่เป็นบวกจะสอดคล้องกับค่าผกผันของกำลังสองของรัศมีความโค้ง ตัวอย่างเช่น ทรงกลมหรือไฮเปอร์สเฟียร์ตัวอย่างของปริภูมิโค้งที่เป็นลบคือเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก (ดูเพิ่มเติม: ความโค้งที่ไม่เป็นบวก ) ปริภูมิหรือปริภูมิเวลาที่มีความโค้งเป็นศูนย์เรียกว่าระนาบตัวอย่างเช่นปริภูมิยูคลิดเป็นตัวอย่างของปริภูมิราบ และปริภูมิมิงคอฟสกีเป็นตัวอย่างของปริภูมิเวลาราบ อย่างไรก็ตาม ยังมีตัวอย่างอื่นๆ ของรูปทรงเรขาคณิตราบในทั้งสองบริบททรงโดนัทหรือทรงกระบอกสามารถมีเมตริกราบได้ แต่แตกต่างกันในโทโพโลยีนอกจากนี้ โทโพโลยีอื่นๆ ก็เป็นไปได้สำหรับปริภูมิโค้งด้วย

แนวคิดทางคณิตศาสตร์ของความโค้งยังถูกกำหนดไว้ในบริบททั่วไปมากขึ้นอีกด้วย^{[ 11 ]}การสรุปทั่วไปเหล่านี้จำนวนมากเน้นไปที่แง่มุมต่างๆ ของความโค้งตามที่เข้าใจในมิติที่ต่ำกว่า

หนึ่งในแนวคิดทั่วไปดังกล่าวคือจลนศาสตร์ ความโค้งของเส้นโค้งสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นปริมาณทางจลนศาสตร์ ซึ่งแสดงถึงแรงที่ผู้สังเกตการณ์บางคนรู้สึกเมื่อเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้ง ในทำนองเดียวกัน ความโค้งในมิติที่สูงกว่าสามารถมองได้ว่าเป็นแรงน้ำขึ้นน้ำลง ชนิดหนึ่ง (นี่เป็นวิธีคิดอย่างหนึ่งเกี่ยวกับความโค้งตามหน้าตัด ) แนวคิดทั่วไปของความโค้งนี้ขึ้นอยู่กับว่าอนุภาคทดสอบที่อยู่ใกล้เคียงกันจะแยกออกจากกันหรือมาบรรจบกันอย่างไรเมื่อพวกมันได้รับอนุญาตให้เคลื่อนที่ได้อย่างอิสระในอวกาศ ดูฟิลด์จาโคบี

การสรุปทั่วไปอีกประการหนึ่งของความโค้งมาจากการศึกษาการขนส่งแบบขนานบนพื้นผิว ตัวอย่างเช่น หากเวกเตอร์เคลื่อนที่ไปรอบวงบนพื้นผิวของทรงกลมโดยรักษาความขนานตลอดการเคลื่อนที่ ตำแหน่งสุดท้ายของเวกเตอร์อาจไม่เหมือนกับตำแหน่งเริ่มต้นของเวกเตอร์ ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าโฮโลโนมี [ ^{12 ] การ}สรุปทั่วไปต่างๆ จับแนวคิดของความโค้งในรูปแบบนามธรรมในฐานะการวัดโฮโลโนมี ดูรูปแบบความโค้งแนวคิดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดของความโค้งมาจากทฤษฎีเกจในฟิสิกส์ ซึ่งความโค้งแสดงถึงสนาม และศักยภาพเวกเตอร์สำหรับสนามเป็นปริมาณที่โดยทั่วไปขึ้นอยู่กับเส้นทาง: มันอาจเปลี่ยนแปลงได้หากผู้สังเกตเคลื่อนที่ไปรอบวง

ความโค้งอีกสองแบบที่ถูกขยายความออกไปคือความโค้งสเกลาร์และความโค้งริชชีบนพื้นผิวโค้ง เช่น ทรงกลม พื้นที่ของวงกลมบนพื้นผิวจะแตกต่างจากพื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมีเดียวกันในระนาบราบ ความแตกต่างนี้ (ในขอบเขตที่เหมาะสม) วัดได้ด้วยความโค้งสเกลาร์ ส่วนความแตกต่างของพื้นที่ของส่วนหนึ่งของวงกลมวัดได้ด้วยความโค้งริชชี ความโค้งสเกลาร์และความโค้งริชชีแต่ละแบบถูกนิยามในลักษณะเดียวกันในสามมิติและมิติที่สูงกว่า พวกมันมีความสำคัญอย่างยิ่งในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ซึ่งทั้งสองปรากฏอยู่ด้านหนึ่งของสมการสนามของไอน์สไตน์ที่แสดงถึงเรขาคณิตของกาลอวกาศ (อีกด้านหนึ่งแสดงถึงการมีอยู่ของสสารและพลังงาน) การขยายความโค้งเหล่านี้เป็นพื้นฐานของแนวคิดที่ว่า ความโค้งสามารถเป็นคุณสมบัติของการวัดได้ ดูความโค้งของการวัด

การขยายความโค้งอีกแบบหนึ่งอาศัยความสามารถในการเปรียบเทียบปริภูมิโค้งกับปริภูมิอื่นที่มี ความโค้ง คงที่บ่อยครั้งที่ทำเช่นนี้โดยใช้รูปสามเหลี่ยมในปริภูมิ แนวคิดของรูปสามเหลี่ยมมีความหมายในปริภูมิเมตริกและสิ่งนี้ทำให้เกิดปริภูมิCAT( k )ขึ้น

• รูปแบบความโค้งสำหรับแนวคิดที่เหมาะสมของความโค้งสำหรับกลุ่มเวกเตอร์และกลุ่มหลักที่มีการเชื่อมต่อ
• ความโค้งของการวัดสำหรับแนวคิดเรื่องความโค้งในทฤษฎีการวัด
• ความโค้งของพื้นผิวพาราเมตริก
• ความโค้งของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ สำหรับการขยายความโค้งของเกาส์ไปยัง แมนิโฟลด์แบบรีมันน์มิติสูงกว่า
• เวกเตอร์ความโค้งและความโค้งจีโอเดสิกสำหรับแนวคิดที่เหมาะสมเกี่ยวกับความโค้งของเส้นโค้งในแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ ไม่ว่าจะมีมิติใดก็ตาม
• ระดับความโค้ง
• เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของเส้นโค้งสำหรับการวิเคราะห์เส้นโค้งที่ฝังอยู่ในปริภูมิยุคลิดที่มีมิติใดๆ อย่างครบถ้วน
• ไดออปเตอร์หน่วยวัดความโค้งที่ใช้ในทางด้านทัศนศาสตร์
• อีโวลูต (Evolute ) คือตำแหน่งของจุดศูนย์กลางความโค้งของเส้นโค้งที่กำหนด
• ทฤษฎีบทพื้นฐานของเส้นโค้ง
• ทฤษฎีบทเกาส์-บอนเนต์สำหรับการประยุกต์ใช้ความโค้งขั้นพื้นฐาน
• แผนที่เกาส์สำหรับคุณสมบัติทางเรขาคณิตเพิ่มเติมของความโค้งเกาส์
• หลักการของเกาส์เรื่องข้อจำกัดน้อยที่สุดซึ่งเป็นการแสดงออกของหลักการของการกระทำน้อยที่สุด
• ความโค้งเฉลี่ยณ จุดหนึ่งบนพื้นผิว
• รัศมีโค้งทางรถไฟขั้นต่ำ
• รัศมีของความโค้ง
• รูปแบบพื้นฐานที่สองสำหรับความโค้งภายนอกของพื้นผิวไฮเปอร์เซอร์เฟซโดยทั่วไป
• ความคดเคี้ยว
• การบิดของเส้นโค้ง

ลองค้นหาคำว่า "ความโค้ง"ในวิกิพีเดีย ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับความโค้ง

• หนังสือ The Feynman Lectures on Physics เล่มที่ 2 บทที่ 42: พื้นที่โค้ง
• ประวัติศาสตร์ของความโค้ง
• ความโค้ง ภายในและภายนอกที่ MathPages