คำกล่าวที่แม่นยำที่สุดของทฤษฎีบทเทย์เลอร์ในรูปแบบพื้นฐานที่สุดมีดังนี้:

พหุนามที่ปรากฏในทฤษฎีบทของเทย์เลอร์คือ${\textstyle {\boldsymbol {k}}}$พหุนามเทย์เลอร์ลำดับที่ -

$${\displaystyle P_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}$$

ของฟังก์ชัน${\displaystyle f}$ณ จุดนั้น${\displaystyle a}$พหุนามเทย์เลอร์เป็นพหุนาม "ที่เหมาะสมที่สุดเชิงอะซิมโทติก" เพียงหนึ่งเดียวในแง่ที่ว่า ถ้ามีฟังก์ชันอยู่${\displaystyle h_{k}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$และ${\textstyle k}$พหุนามลำดับที่pเช่นนั้น

$${\displaystyle f(x)=p(x)+h_{k}(x)(x-a)^{k},\quad \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0,}$$

แล้ว${\displaystyle p=P_{k}}$ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์อธิบายพฤติกรรมเชิงอะซิ้มโทติกของพจน์ที่เหลือ

$${\displaystyle R_{k}(x)=f(x)-P_{k}(x),}$$

ซึ่งเป็นข้อผิดพลาดในการประมาณค่าเมื่อประมาณค่าfด้วยพหุนามเทย์เลอร์ โดยใช้สัญลักษณ์ little-o ข้อความในทฤษฎีบทของเทย์เลอร์อ่านได้ดังนี้

$${\displaystyle R_{k}(x)=o(|x-a|^{k}),\quad x\to a.}$$

ภายใต้สมมติฐานเรื่องความสม่ำเสมอที่เข้มงวดมากขึ้นสำหรับfจะมีสูตรที่แม่นยำหลายสูตรสำหรับพจน์ที่เหลือR ของพหุนามเทย์เลอร์ โดยสูตรที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุดมีดังต่อไปนี้

การปรับปรุงทฤษฎีบทของเทย์เลอร์เหล่านี้มักได้รับการพิสูจน์โดยใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยซึ่งเป็นที่มาของชื่อนี้ นอกจากนี้ โปรดสังเกตว่านี่คือทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย อย่างแท้จริง เมื่อ${\textstyle k=0}$นอกจากนี้ยังสามารถพบการแสดงออกที่คล้ายคลึงกันอื่นๆ ได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น ถ้าG ( t ) ต่อเนื่องบนช่วงปิดและหาอนุพันธ์ได้โดยมีอนุพันธ์ไม่เป็นศูนย์บนช่วงเปิดระหว่าง${\textstyle a}$และ${\textstyle x}$, แล้ว

$${\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}}$$

สำหรับจำนวนบางจำนวน${\textstyle \xi }$ระหว่าง${\textstyle a}$และ${\textstyle x}$เวอร์ชันนี้ครอบคลุมรูปแบบลากรางจ์และโคชีของเศษเหลือเป็นกรณีพิเศษ และพิสูจน์ไว้ด้านล่างโดยใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของโคชีรูปแบบลากรางจ์ได้มาจากการนำ${\displaystyle G(t)=(x-t)^{k+1}}$และรูปแบบโคชีได้มาจากการนำ${\displaystyle G(t)=t-a}$.

ข้อความสำหรับรูปแบบอินทิกรัลของเศษเหลือมีความซับซ้อนกว่าข้อความก่อนหน้า และต้องอาศัยความเข้าใจทฤษฎีการอินทิเกรตของเลเบสเพื่อความทั่วไปอย่างสมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม ข้อความนี้ยังใช้ได้ในแง่ของ อินทิกรัลของ รีมันน์ด้วยโดยมีเงื่อนไขว่าอนุพันธ์อันดับที่ ( k  +  1) ของfมีความต่อเนื่องบนช่วงปิด [ a , x ]

เนื่องจากความต่อเนื่องสัมบูรณ์ของf ^{( k )}บนช่วงปิดระหว่าง${\textstyle a}$และ${\textstyle x}$อนุพันธ์f ^{( k +1)} ของมัน มีอยู่จริงในฐานะ ฟังก์ชัน L ¹และผลลัพธ์สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการคำนวณอย่างเป็นทางการโดยใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสและการอินทิเกรตโดยส่วน

ในทางปฏิบัติ การประมาณค่าพจน์ส่วนเหลือที่ปรากฏในวิธีการประมาณค่าแบบเทย์เลอร์มักจะมีประโยชน์มากกว่าการมีสูตรที่แน่นอนสำหรับพจน์นั้น สมมติว่าfเป็น ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ต่อเนื่อง ( k + 1)ครั้งในช่วงIที่มีa อยู่ สมมติว่ามีค่าคงที่จริงqและQอยู่ โดยที่

$${\displaystyle q\leq f^{(k+1)}(x)\leq Q}$$

ตลอดI . จากนั้นพจน์ที่เหลือจะสอดคล้องกับอสมการ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}\leq R_{k}(x)\leq Q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}},}$$

ถ้าx > aและประมาณค่าในทำนองเดียวกันถ้าx < aนี่เป็นผลลัพธ์ง่ายๆ จากรูปแบบของลากรางจ์ของเศษเหลือ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า

$${\displaystyle |f^{(k+1)}(x)|\leq M}$$

บนช่วงI = ( a − r , a + r )ที่มีบางค่า${\displaystyle r>0}$, แล้ว

$${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq M{\frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq M{\frac {r^{k+1}}{(k+1)!}}}$$

สำหรับทุกx ∈( a − r , a + r )อสมการที่สองเรียกว่าการประมาณค่าแบบสม่ำเสมอเนื่องจากเป็นจริงอย่างสม่ำเสมอสำหรับทุกxในช่วง( a − r , a + r )

สมมติว่าเราต้องการหาค่าโดยประมาณของฟังก์ชัน${\textstyle f(x)=e^{x}}$ในช่วงเวลา${\textstyle [-1,1]}$ในขณะเดียวกันก็ต้องมั่นใจว่าข้อผิดพลาดในการประมาณค่าจะไม่เกิน 10⁻⁵ ^ในตัวอย่างนี้ เราสมมติว่าเรารู้เพียงคุณสมบัติต่อไปนี้ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

${\displaystyle e^{0}=1,\qquad {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x},\qquad e^{x}>0,\qquad x\in \mathbb {R} .}$

★

จากคุณสมบัติเหล่านี้ จึงสรุปได้ว่า${\textstyle f^{(k)}(x)=e^{x}}$สำหรับทุกคน${\textstyle k}$และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง${\textstyle f^{(k)}(0)=1}$ดังนั้น${\textstyle k}$พหุนามเทย์เลอร์ลำดับที่ -th ของ${\textstyle f}$ที่${\textstyle 0}$และพจน์ที่เหลือในรูปแบบลากรางจ์นั้นกำหนดโดย

$${\displaystyle P_{k}(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{k}}{k!}},\qquad R_{k}(x)={\frac {e^{\xi }}{(k+1)!}}x^{k+1},}$$

ที่ไหน${\textstyle \xi }$เป็นจำนวนใดๆ ระหว่าง 0 และxเนื่องจากe ^xเพิ่มขึ้นทีละ ( ★ ) เราจึงสามารถใช้ได้ง่ายๆ${\textstyle e^{x}\leq 1}$สำหรับ${\textstyle x\in [-1,0]}$เพื่อประมาณค่าส่วนที่เหลือในช่วงย่อย${\displaystyle [-1,0]}$เพื่อหาขอบเขตบนสำหรับส่วนที่เหลือ${\displaystyle [0,1]}$เราใช้ทรัพย์สินนั้น${\textstyle e^{\xi }<e^{x}}$สำหรับ${\textstyle 0<\xi <x}$เพื่อประเมิน

$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {e^{\xi }}{2}}x^{2}<1+x+{\frac {e^{x}}{2}}x^{2},\qquad 0<x\leq 1}$$

โดยใช้การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์อันดับสอง จากนั้นเราแก้หาค่าe ^xเพื่อสรุปได้ว่า

$${\displaystyle e^{x}\leq {\frac {1+x}{1-{\frac {x^{2}}{2}}}}=2{\frac {1+x}{2-x^{2}}}\leq 4,\qquad 0\leq x\leq 1}$$

โดยการเพิ่มค่าตัวเศษ ให้สูงสุด และลดค่าตัวส่วน ให้ต่ำสุดเท่านั้น เมื่อรวมค่าประมาณเหล่านี้สำหรับe ^xเราจะเห็นว่า

$${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq {\frac {4|x|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq {\frac {4}{(k+1)!}},\qquad -1\leq x\leq 1,}$$

ดังนั้นจึงมั่นใจได้ว่าได้ความแม่นยำตามที่ต้องการ เมื่อ

$${\displaystyle {\frac {4}{(k+1)!}}<10^{-5}\quad \Longleftrightarrow \quad 4\cdot 10^{5}<(k+1)!\quad \Longleftrightarrow \quad k\geq 9.}$$

(ดู ค่า แฟกทอเรียลหรือคำนวณค่าด้วยมือ)${\textstyle 9!=362880}$และ${\textstyle 10!=3628800}$.) โดยสรุปแล้ว ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์นำไปสู่การประมาณค่าดังนี้

$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{9}}{9!}}+R_{9}(x),\qquad |R_{9}(x)|<10^{-5},\qquad -1\leq x\leq 1.}$$

ตัวอย่างเช่น การประมาณค่านี้จะให้ผลลัพธ์เป็นเลขทศนิยม${\displaystyle e\approx 2.71828}$ถูกต้องถึงทศนิยมห้าตำแหน่ง

ให้I ⊂ Rเป็นช่วงเปิดตามนิยาม ฟังก์ชันf  : I → Rเรียกว่าฟังก์ชันวิเคราะห์จริง (real analytic)ถ้าฟังก์ชันนั้นถูกกำหนดโดยอนุกรมกำลัง ลู่เข้าในระดับท้องถิ่น ซึ่งหมายความว่า สำหรับทุกa  ∈ I จะมี r > 0 และลำดับของสัมประสิทธิ์c ∈ Rอยู่โดยที่( a − r , a + r ) ⊂ Iและ     

$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots ,\qquad |x-a|<r.}$$

โดยทั่วไปรัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมกำลังสามารถคำนวณได้จากสูตรโคชี-ฮาดามาร์ด

$${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{k\to \infty }|c_{k}|^{\frac {1}{k}}.}$$

ผลลัพธ์นี้ได้มาจากการเปรียบเทียบกับอนุกรมเรขาคณิตและวิธีการเดียวกันนี้แสดงให้เห็นว่า ถ้าอนุกรมกำลังที่อิงตามaลู่เข้าสำหรับb ∈ R บางค่า มันจะต้องลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในช่วงปิด${\textstyle [a-r_{b},a+r_{b}]}$, ที่ไหน${\textstyle r_{b}=\left\vert b-a\right\vert }$ในที่นี้จะพิจารณาเฉพาะการลู่เข้าของอนุกรมกำลังเท่านั้น และอาจเป็นไปได้ว่า( a − R , a + R )ขยายออกไปนอกโดเมนIของf

พหุนามเทย์เลอร์ของฟังก์ชันวิเคราะห์จริงfที่จุดa นั้น ก็คือการตัดทอนแบบจำกัดนั่นเอง

$${\displaystyle P_{k}(x)=\sum _{j=0}^{k}c_{j}(x-a)^{j},\qquad c_{j}={\frac {f^{(j)}(a)}{j!}}}$$

ของอนุกรมกำลังที่กำหนดในระดับท้องถิ่น และพจน์ที่เหลือที่สอดคล้องกันจะถูกกำหนดในระดับท้องถิ่นโดยฟังก์ชันวิเคราะห์

$${\displaystyle R_{k}(x)=\sum _{j=k+1}^{\infty }c_{j}(x-a)^{j}=(x-a)^{k}h_{k}(x),\qquad |x-a|<r.}$$

นี่คือฟังก์ชันต่างๆ

$${\displaystyle {\begin{aligned}&h_{k}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\[1ex]&h_{k}(x)=(x-a)\sum _{j=0}^{\infty }c_{k+1+j}\left(x-a\right)^{j}\end{aligned}}}$$

นอกจากนี้ ฟังก์ชันเหล่านี้ยังเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ เนื่องจากอนุกรมกำลังที่กำหนดของฟังก์ชันเหล่านี้มีรัศมีของการลู่เข้าเท่ากับอนุกรมเดิม โดยสมมติว่า[ a − r , a + r ] ⊂ Iและr  < Rอนุกรมเหล่านี้ทั้งหมดจะลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอที่( a − r , a + r )โดยธรรมชาติแล้ว ในกรณีของฟังก์ชันวิเคราะห์ เราสามารถประมาณค่าพจน์ที่เหลือได้ ${\textstyle R_{k}(x)}$โดยส่วนท้ายของลำดับอนุพันธ์f′ ( a ) ที่ศูนย์กลางของการขยาย แต่การใช้การวิเคราะห์เชิงซ้อนยังทำให้เกิดความเป็นไปได้อีกประการหนึ่ง ซึ่งจะอธิบายต่อไปด้านล่าง

อนุกรมเทย์เลอร์ของfจะลู่เข้าในช่วงหนึ่งซึ่งอนุพันธ์ทั้งหมดของมันมีขอบเขตและไม่เพิ่มขึ้นเร็วเกินไปเมื่อkเข้าสู่∞ (อย่างไรก็ตาม แม้ว่าอนุกรมเทย์เลอร์จะลู่เข้า แต่ก็อาจไม่ลู่เข้าสู่fดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง ในกรณีนั้น fจะถูกเรียกว่าไม่ใช่ฟังก์ชันวิเคราะห์ )

อาจนึกถึงอนุกรมเทย์เลอร์ได้

$${\displaystyle f(x)\approx \sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots }$$

ของฟังก์ชัน f  : R → Rที่สามารถหาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งในรูปของ "พหุนามเทย์เลอร์อันดับอนันต์" ที่ จุด aตอนนี้การประมาณค่าสำหรับส่วนที่เหลือบ่งชี้ว่า ถ้าสำหรับr ใดๆ อนุพันธ์ของfมีขอบเขตบน ( a  − r , a + r ) แล้ว สำหรับอันดับk ใดๆ และสำหรับr > 0 ใดๆ จะมีค่าคงที่M > 0 อยู่ เช่นนั้น     

${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq M_{k,r}{\frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}}$

★★

สำหรับทุกx  ∈  ( a  − r , a + r ) บางครั้งค่าคงที่M สามารถเลือกได้ในลักษณะที่M มีขอบเขตบน สำหรับr ที่กำหนด และk ทั้งหมด จากนั้นอนุกรมเทย์เลอร์ของf จะลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอไปยังฟังก์ชันวิเคราะห์บางฟังก์ชัน   

$${\displaystyle {\begin{aligned}&T_{f}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\&T_{f}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\left(x-a\right)^{k}\end{aligned}}}$$

(แม้ว่าM จะไม่มีขอบเขตบน แต่ก็ยังสามารถบรรลุการลู่เข้าได้ ตราบใดที่มันเติบโตช้าพอ)

ฟังก์ชันลิมิตT ตามนิยามแล้วเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เสมอ แต่ไม่จำเป็นต้องเท่ากับฟังก์ชันf เดิมเสมอ ไป แม้ว่าfจะสามารถหาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งก็ตาม ในกรณีนี้ เรากล่าวว่าfเป็นฟังก์ชันเรียบที่ไม่ใช่ฟังก์ชันวิเคราะห์ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันแฟลต :

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

โดยใช้กฎลูกโซ่ซ้ำๆ ด้วยการอุปมานทางคณิตศาสตร์จะแสดงให้เห็นว่าสำหรับลำดับk ใด ๆ 

$${\displaystyle f^{(k)}(x)={\begin{cases}{\frac {p_{k}(x)}{x^{3k}}}\cdot e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}}$$

สำหรับพหุนามp บางตัว ที่มีดีกรี 2( k − 1) ฟังก์ชัน${\displaystyle e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}}$มีแนวโน้มเข้าใกล้ศูนย์เร็วกว่าพหุนามใดๆ เนื่องจาก${\textstyle x\to 0}$ดังนั้นfจึงสามารถหาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง และf ^{( k )} (0) = 0สำหรับจำนวนเต็มบวกk ทุกตัว ผลลัพธ์ข้างต้นทั้งหมดใช้ได้ในกรณีนี้:

• อนุกรมเทย์เลอร์ของf ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอไปยังฟังก์ชันศูนย์T ( x )  =  0 ซึ่งเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ที่มีสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์
• ฟังก์ชันfไม่เท่ากับอนุกรมเทย์เลอร์นี้ ดังนั้นจึงไม่ใช่ฟังก์ชันวิเคราะห์
• สำหรับลำดับk  ∈ N ใดๆ และรัศมีr > 0 จะมีM > 0 ที่สอดคล้องกับขอบเขตเศษเหลือ( ★★ ) ข้างต้น      

อย่างไรก็ตาม เมื่อkเพิ่มขึ้นสำหรับr ที่คงที่ ค่าของM จะเพิ่มขึ้นเร็วกว่าr ^kและข้อผิดพลาดจะไม่เข้าใกล้ศูนย์

ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์สามารถขยายไปสู่ฟังก์ชันf  : C → Cซึ่งเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนที่หาอนุพันธ์ได้ในเซตเปิดU  ⊂ Cบนระนาบเชิงซ้อนอย่างไรก็ตาม ประโยชน์ของมันนั้นด้อยกว่าทฤษฎีบททั่วไปอื่นๆ ในการวิเคราะห์เชิงซ้อนกล่าวคือ สามารถอนุมานผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องในรูปแบบที่แข็งแกร่งกว่าสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อนที่หาอนุพันธ์ได้f : U → Cโดยใช้สูตรปริพันธ์ของโคชีดังต่อไปนี้     

ให้r  >  0 โดยที่วงกลมปิดB ( z , r ) ∪ S ( z , r ) บรรจุอยู่ในUแล้วสูตรปริพันธ์ของโคชีที่มีพารามิเตอร์บวกγ ( t ) = z + re ^ของวงกลมS ( z , r ) ที่มี    ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$ ให้

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw,\quad f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}\,dw,\quad \ldots ,\quad f^{(k)}(z)={\frac {k!}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{k+1}}}\,dw.}$$

ในที่นี้ อินทิกรัลทั้งหมดมีความต่อเนื่องบนวงกลมS ( z , r ) ซึ่งพิสูจน์ได้ว่าการหาอนุพันธ์ภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัลนั้นถูกต้อง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าfเป็นอนุพันธ์เชิงซ้อน หนึ่งครั้ง บนเซตเปิดUแล้ว f จะเป็นอนุพันธ์เชิงซ้อน จำนวนอนันต์ครั้ง บนU จริงๆ นอกจากนี้ยังได้ค่าประมาณของโคชี อีกด้วย ^{[ 12 ]} 

$${\displaystyle |f^{(k)}(z)|\leq {\frac {k!}{2\pi }}\int _{\gamma }{\frac {M_{r}}{|w-z|^{k+1}}}\,dw={\frac {k!M_{r}}{r^{k}}},\quad M_{r}=\max _{|w-c|=r}|f(w)|}$$

สำหรับz  ∈ U ใดๆ และr > 0 ที่B ( z , r ) ∪ S ( c , r ) ⊂ Uการประมาณนี้บ่งชี้ว่าอนุกรมเทย์เลอร์เชิงซ้อน         

$${\displaystyle T_{f}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(c)}{k!}}(z-c)^{k}}$$

ของfลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอบนดิสก์เปิด ใดๆ${\textstyle B(c,r)\subset U}$กับ${\textstyle S(c,r)\subset U}$ลงในฟังก์ชัน T บางฟังก์ชันนอกจากนี้ การใช้ สูตร อินทิกรัลตามเส้นโค้งสำหรับอนุพันธ์f ^{( k )} ( c )

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{f}(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(z-c)^{k}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{k+1}}}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {z-c}{w-c}}\right)^{k}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\left({\frac {1}{1-{\frac {z-c}{w-c}}}}\right)\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw\\&=f(z),\end{aligned}}}$$

ดังนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อนที่หาอนุพันธ์ได้f ใดๆ ในเซตเปิดU  ⊂ Cจึงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนวิเคราะห์สิ่งที่กล่าวมาทั้งหมดสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อนวิเคราะห์นั้นใช้ได้กับฟังก์ชันเชิงซ้อนวิเคราะห์เช่นกัน โดยที่ช่วงเปิดIถูกแทนที่ด้วยเซตย่อยเปิดU ∈ Cและ ช่วงที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ a ( a − r , a + r ) ถูกแทนที่ด้วยวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง อยู่ที่ c B ( c , r ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์จะเป็นไปในรูปแบบ         

$${\displaystyle f(z)=P_{k}(z)+R_{k}(z),\quad P_{k}(z)=\sum _{j=0}^{k}{\frac {f^{(j)}(c)}{j!}}(z-c)^{j},}$$

โดยที่พจน์ที่เหลือR เป็นจำนวนเชิงซ้อนเชิงวิเคราะห์ วิธีการวิเคราะห์เชิงซ้อนให้ผลลัพธ์ที่มีประสิทธิภาพบางอย่างเกี่ยวกับการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ ตัวอย่างเช่น การใช้สูตรปริพันธ์ของโคชีสำหรับเส้นโค้งจอร์แดน ที่มีทิศทางเป็นบวกใดๆ${\textstyle \gamma }$ซึ่งกำหนดพารามิเตอร์ของขอบเขต${\textstyle \partial W\subset U}$ของภูมิภาคหนึ่ง${\textstyle W\subset U}$เมื่อได้นิพจน์สำหรับอนุพันธ์f ^{( j )} ( c )ดังข้างต้น และเมื่อปรับเปลี่ยนการคำนวณสำหรับT ( z ) = f ( z ) เล็กน้อย ก็จะได้สูตรที่แน่นอน

$${\displaystyle R_{k}(z)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {(z-c)^{j}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{j+1}}}\,dw={\frac {(z-c)^{k+1}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)\,dw}{(w-c)^{k+1}(w-z)}},\qquad z\in W.}$$

คุณลักษณะที่สำคัญในที่นี้คือ คุณภาพของการประมาณค่าด้วยพหุนามเทย์เลอร์ในบริเวณนั้น${\textstyle W\subset U}$ถูกครอบงำด้วยค่าของฟังก์ชันfเองบนขอบเขต${\textstyle \partial W\subset U}$ในทำนองเดียวกัน การนำค่าประมาณของโคชีมาใช้กับนิพจน์อนุกรมสำหรับส่วนที่เหลือ จะได้ค่าประมาณแบบสม่ำเสมอ

$${\displaystyle |R_{k}(z)|\leq \sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {M_{r}|z-c|^{j}}{r^{j}}}={\frac {M_{r}}{r^{k+1}}}{\frac {|z-c|^{k+1}}{1-{\frac {|z-c|}{r}}}}\leq {\frac {M_{r}\beta ^{k+1}}{1-\beta }},\qquad {\frac {|z-c|}{r}}\leq \beta <1.}$$

ฟังก์ชัน

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}\end{aligned}}}$$

เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์จริงนั่นคือ ถูกกำหนดโดยอนุกรมเทย์เลอร์ในบริเวณรอบๆ ฟังก์ชันนั้น กราฟของฟังก์ชันนี้แสดงให้เห็นว่า ฟังก์ชันพื้นฐานบางฟังก์ชันไม่สามารถประมาณค่าได้ด้วยพหุนามเทย์เลอร์ในบริเวณรอบๆ จุดศูนย์กลางของการขยายซึ่งมีขนาดใหญ่เกินไป พฤติกรรมเช่นนี้สามารถเข้าใจได้ง่ายในกรอบของวิเคราะห์เชิงซ้อน กล่าวคือ ฟังก์ชันfสามารถขยายไปเป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกได้

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {C} \cup \{\infty \}\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}\\&f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}\end{aligned}}}$$

บนระนาบเชิงซ้อนแบบกระชับ มีขั้วแบบง่ายอยู่ที่${\textstyle z=i}$และ${\textstyle z=-i}$และเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ในที่อื่น อนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันนี้ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่z₀ จะลู่เข้าบนวงกลม B(z₀, )ใดๆที่มีr | z − z₀ |โดยที่เทย์เลอร์เดียวกันนี้จะลู่เข้าที่z ∈ Cดังนั้น อนุกรมเทย์เลอร์ของfที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ 0 จะลู่เข้าบนB (0, 1) และจะไม่ลู่เข้าสำหรับz ∈ C ใดๆ ที่มี | z | > 1 เนื่องจากมีขั้วอยู่ที่iและ−iด้วยเหตุผลเดียวกัน อนุกรมเทย์เลอร์ของfที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ 1 จะลู่เข้าบน      ${\textstyle B(1,{\sqrt {2}})}$และไม่ลู่เข้าสำหรับz  ∈ C ใดๆ ที่ มี ${\textstyle \left\vert z-1\right\vert >{\sqrt {2}}}$.

ฟังก์ชันf : R ⁿ → Rสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่a ∈ R ⁿก็ต่อเมื่อมีฟังก์ชันเชิงเส้นL  : R ⁿ → Rและฟังก์ชันh  : R ⁿ → Rอยู่จริง โดยที่

$${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+L({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+h({\boldsymbol {x}})\lVert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}\rVert ,\qquad \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h({\boldsymbol {x}})=0.}$$

ถ้าเป็นเช่นนั้นแล้ว${\textstyle L=df({\boldsymbol {a}})}$คือ อนุพันธ์ (ที่กำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง) ของfที่จุดaยิ่งไปกว่านั้นอนุพันธ์ย่อยของfจะมีอยู่ ณ จุดaและอนุพันธ์ของfที่จุดaจะกำหนดโดย

$${\displaystyle df({\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {v}})={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}({\boldsymbol {a}})v_{n}.}$$

แนะนำสัญกรณ์ดัชนีหลายตัว

$${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n},\quad \alpha$$ !=\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!,\quad {\boldsymbol {x}}^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}

สำหรับα ∈ N ⁿและx ∈ R ⁿถ้าทั้งหมด${\textstyle k}$ถ้าอนุพันธ์ย่อยอันดับที่ -th ของf  : R ⁿ → Rมีความต่อเนื่องที่a ∈ R ⁿแล้ว ตามทฤษฎีบทของ Clairautเราสามารถเปลี่ยนอันดับของอนุพันธ์ผสมที่aได้ ดังนั้นสัญลักษณ์ย่อจึงเป็นดังนี้

$${\displaystyle D^{\alpha }f={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial {\boldsymbol {x}}^{\alpha }}}={\frac {\partial ^{\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

สำหรับอนุพันธ์ย่อยลำดับ ที่สูงกว่า นั้นถือว่าสมเหตุสมผลในสถานการณ์นี้ เช่นเดียวกัน หากอนุพันธ์ย่อยลำดับที่ ( k − 1 ) ทั้งหมดของ fมีอยู่จริงในบริเวณใกล้เคียงของaและสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่a ^{[ 13 ]}จากนั้นเราจะกล่าวว่าfสามารถ หาอนุพันธ์ ได้kครั้งที่จุดa 

เมื่อใช้สัญลักษณ์ในส่วนก่อนหน้า จะได้ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ถ้าฟังก์ชันf  : R ⁿ → Rเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ต่อเนื่องk + 1ครั้งภายในทรงกลมปิด${\displaystyle B=\{\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:\left\|\mathbf {a} -\mathbf {y} \right\|\leq r\}}$สำหรับบางคน${\displaystyle r>0}$จากนั้นจึงสามารถหาสูตรที่แน่นอนสำหรับส่วนที่เหลือในรูปของอนุพันธ์ย่อยลำดับที่( k +1 )ของfในบริเวณใกล้เคียงนี้ ได้ ^{[ 15 ]}กล่าวคือ

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha$$ !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\beta |=k+1}R_{\beta }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\beta },\\&R_{\beta }({\boldsymbol {x}})={\frac {|\beta |}{\beta  !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{|\beta |-1}D^{\beta }f{\big (}{\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}){\big )}\,dt.\end{aligned}}}

ในกรณีนี้ เนื่องจากการต่อเนื่อง ของ อนุพันธ์ย่อยลำดับ ที่ ( k +1 ) ในเซตกระชับBจึงทำให้ได้ค่าประมาณแบบสม่ำเสมอทันที

$${\displaystyle \left|R_{\beta }({\boldsymbol {x}})\right|\leq {\frac {1}{\beta$$ !}}\max _{|\alpha |=|\beta |}\max _{{\boldsymbol {y}}\in B}|D^{\alpha }f({\boldsymbol {y}})|,\qquad {\boldsymbol {x}}\in B.}

ตัวอย่างเช่น พหุนามเทย์เลอร์อันดับสามของฟังก์ชันเรียบ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$คือ หมายถึง${\displaystyle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {v}}}$,

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{}&{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{2}}{2!}}\\&+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{3}}{3!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}v_{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}v_{2}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{2}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{3}}{3!}}\end{aligned}}}$$

ให้^{[ 16 ]}

$${\displaystyle h_{k}(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&x\not =a\\0&x=a\end{cases}}}$$

โดยที่ เหมือนกับที่กล่าวไว้ในทฤษฎีบทของเทย์เลอร์

$${\displaystyle P(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.}$$

เป็นการเพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่า

$${\displaystyle \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.}$$

การพิสูจน์ในที่นี้อาศัยการประยุกต์ใช้กฎของโลปิตาล ซ้ำๆ โปรดสังเกตว่า สำหรับแต่ละ${\textstyle j=0,1,...,k-1}$,${\displaystyle f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)}$ดังนั้นแต่ละข้อแรกจึง...${\textstyle k-1}$อนุพันธ์ของตัวเศษใน${\displaystyle h_{k}(x)}$หายไปที่${\displaystyle x=a}$และเช่นเดียวกันกับตัวส่วน นอกจากนี้ เนื่องจากเงื่อนไขที่ฟังก์ชัน${\textstyle f}$เป็น${\textstyle k}$การหาอนุพันธ์ที่จุดหนึ่งต้องอาศัยความสามารถในการหาอนุพันธ์ได้ถึงอันดับ${\textstyle k-1}$ในบริเวณใกล้เคียงจุดดังกล่าว (ซึ่งเป็นความจริง เพราะความสามารถในการหาอนุพันธ์นั้นต้องการให้ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในบริเวณใกล้เคียงทั้งหมดของจุดนั้น) ตัวเศษและตัวเศษของมัน${\textstyle k-2}$อนุพันธ์สามารถหาอนุพันธ์ได้ในบริเวณใกล้เคียงของ${\textstyle a}$เห็นได้ชัดว่าตัวส่วนก็ตรงตามเงื่อนไขดังกล่าวเช่นกัน และนอกจากนี้ ตัวส่วนจะไม่หายไปเว้นแต่...${\textstyle x=a}$ดังนั้น เงื่อนไขที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับกฎของ L'Hôpital จึงครบถ้วน และการใช้กฎนี้จึงมีความชอบธรรม

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d}{dx}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d}{dx}}(x-a)^{k}}}\\[1ex]&=\cdots \\[1ex]&=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(x-a)^{k}}}\\[1ex]&={\frac {1}{k!}}\lim _{x\to a}{\frac {f^{(k-1)}(x)-P^{(k-1)}(x)}{x-a}}\\[1ex]&={\frac {1}{k!}}(f^{(k)}(a)-P^{(k)}(a))=0\end{aligned}}}$$

โดยความเท่าเทียมกันก่อนสุดท้ายเป็นผลมาจากนิยามของอนุพันธ์ที่${\textstyle x=a}$.

อนุญาต${\displaystyle f(x)}$เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องค่าจริงใดๆ ที่สามารถประมาณค่าได้ด้วยพหุนามเทย์เลอร์

ขั้นตอนที่ 1: ปล่อย${\textstyle F}$และ${\textstyle G}$เป็นฟังก์ชัน ตั้งค่า${\textstyle F}$และ${\textstyle G}$จะเป็น

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)=f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}G(x)=(x-a)^{n}\end{aligned}}}$$

ขั้นตอนที่ 2: คุณสมบัติของ${\textstyle F}$และ${\textstyle G}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(a)&=f(a)-f(a)-f'(a)(a-a)-...-{\frac {f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}}(a-a)^{n-1}=0\\G(a)&=(a-a)^{n}=0\end{aligned}}}$$

ในทำนองเดียวกัน

$${\displaystyle {\begin{aligned}F'(a)=f'(a)-f'(a)-{\frac {f''(a)}{(2-1)!}}(a-a)^{(2-1)}-...-{\frac {f^{(n-1)}(a)}{(n-2)!}}(a-a)^{n-2}=0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}G'(a)&=n(a-a)^{n-1}=0\\&\qquad \vdots \\G^{(n-1)}(a)&=F^{(n-1)}(a)=0\end{aligned}}}$$

ขั้นตอนที่ 3: ใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของโคชี

อนุญาต${\displaystyle f_{1}}$และ${\displaystyle g_{1}}$เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน${\displaystyle [a,b]}$. เนื่องจาก${\displaystyle a<x<b}$ดังนั้นเราจึงสามารถทำงานกับช่วงเวลาได้${\displaystyle [a,x]}$. อนุญาต${\displaystyle f_{1}}$และ${\displaystyle g_{1}}$สามารถหาอนุพันธ์ได้บน${\displaystyle (a,x)}$. สมมติ${\displaystyle g_{1}'(x)\neq 0}$สำหรับทุกคน${\displaystyle x\in (a,b)}$แล้วก็มีอยู่${\displaystyle c_{1}\in (a,x)}$โดยที่

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f_{1}(x)-f_{1}(a)}{g_{1}(x)-g_{1}(a)}}={\frac {f_{1}'(c_{1})}{g_{1}'(c_{1})}}\end{aligned}}}$$

บันทึก:${\displaystyle G'(x)\neq 0}$ใน${\displaystyle (a,b)}$และ${\displaystyle F(a),G(a)=0}$ดังนั้น

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}={\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}\end{aligned}}}$$

สำหรับบางคน${\displaystyle c_{1}\in (a,x)}$.

สามารถดำเนินการนี้ได้เช่นกันสำหรับ${\displaystyle (a,c_{1})}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}={\frac {F'(c_{1})-F'(a)}{G'(c_{1})-G'(a)}}={\frac {F''(c_{2})}{G''(c_{2})}}\end{aligned}}}$$

สำหรับบางคน${\displaystyle c_{2}\in (a,c_{1})}$สิ่งนี้สามารถดำเนินต่อไปได้${\displaystyle c_{n}}$.

ซึ่งจะสร้างพาร์ติชันใน${\displaystyle (a,b)}$:

$${\displaystyle a<c_{n}<c_{n-1}<\dots <c_{1}<x}$$

กับ