ลำดับเลขไตรโบนาชชีเป็นอีกรูปแบบหนึ่งของ ลำดับเลข ฟิโบนาชชีโดยแต่ละเลขเป็นผลรวมของเลขสามตัวก่อนหน้า เริ่มต้นด้วยค่าเริ่มต้น${\displaystyle T_{0}=T_{1}=0}$, และ${\displaystyle T_{2}=1}$การเกิดซ้ำ $${\displaystyle T_{n}=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3},\qquad \qquad (1)}$$ ให้ลำดับตัวเลขนี้เป็น $${\displaystyle 0,0,1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504,927,1705,3136,5768,10609,19513,35890,66012,\ldots .}$$ สามารถค้นหาคำศัพท์เพิ่มเติมได้ภายใต้หมายเลขลำดับA000073ในสารานุกรมลำดับจำนวนเต็มออนไลน์ ( OEIS )

ลำดับไตรโบนาชชีมีประวัติศาสตร์ที่ยาวนานและน่าสนใจ^{[ 7 ]} เหตุการณ์ทางประวัติศาสตร์ที่โดดเด่นที่สุดของลำดับนี้เกี่ยวข้องกับชาร์ลส์ ดาร์วิน (1809–1882) และหนังสือสำคัญของเขาเรื่อง On the Origin of Speciesซึ่งการสืบพันธุ์และการเติบโตของประชากรช้างถือเป็นตัวอย่างประกอบ^{[ 8 ]} ในปี 1892 ลำดับตัวเลขนี้ปรากฏขึ้นในการแก้ปัญหาเพื่อความบันเทิงเกี่ยวกับเกษตรกรและการเลี้ยงแกะ ซึ่งตั้งขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันอาร์เทมัส มาร์ติน (1835–1918) ^{[ 9 ] : 107–108} การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ครั้งแรกของลำดับไตรโบนาชชีและการตรวจสอบคุณสมบัติของมันเกิดขึ้นในปี 1914 และเป็นผลงานของ Agronomof ^{[ 10 ]} ชื่อเรียกtribonacciปรากฏขึ้นในภายหลังมาก ไม่ใช่จนกระทั่งปี 1963 และเป็นผลงานของ Mark Feinberg ซึ่งในขณะนั้นเป็นนักเรียนมัธยมปลายอายุ 14 ปี ที่ได้นำคำนี้มาใช้ในบทความในFibonacci Quarterly ^{[ 11 ]}

เอกลักษณ์ของ Agronomof บันทึกของ Agronomof ในปี 1914 เป็นอัญมณีชิ้นเล็กๆ ที่ถูกมองข้าม ไม่ส่งผลกระทบใดๆ ในขณะนั้น และถูกทิ้งไว้จนฝุ่นเกาะนานกว่าครึ่งศตวรรษ^{[ 7 ] : 709-710}แม้ว่าจะเป็นบันทึกที่สั้นมาก (สำเนาในปัจจุบันสามารถเขียนลงบนหน้าเดียวได้อย่างง่ายดาย^{[ 7 ] : 719} ) แต่ก็มีเอกลักษณ์อันทรงพลังอยู่ด้วย $${\displaystyle T_{n+k}=T_{k+1}T_{n+1}+\left(T_{k}+T_{k-1}\right)T_{n}+T_{k}T_{n-1}.\qquad \qquad (2)}$$ โปรดทราบว่าเอกลักษณ์ของ Agronomof นั้นสมมาตรใน${\displaystyle n}$และ${\displaystyle k}$และนั่นก็เป็นเพราะ${\displaystyle k=2}$เราจะได้ความสัมพันธ์เวียนเกิดของ Tribonacci ดั้งเดิมกลับคืนมา Agronomof ได้ทำการพิสูจน์โดยตั้งสมมติฐานว่าพารามิเตอร์ทั้งสอง${\displaystyle n}$และ${\displaystyle k}$เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ อย่างไรก็ตาม สามารถแสดงได้ว่าเอกลักษณ์นี้มีความทั่วไปมากกว่าและใช้ได้กับจำนวนเต็มใดๆ ก็ได้${\displaystyle n}$และ${\displaystyle k}$โดยขยายความสัมพันธ์เวียนเกิดที่กำหนด (1) เพื่อรวมเลขไตรโบนาชชีที่มีดัชนีติดลบ^{[ 7 ] : 712} Agronomof จบบันทึกของเขาโดยแสดงคุณสมบัติเด่น ต่อไปนี้ ของเลขไตรโบนาชชี $${\displaystyle T_{2n}=T_{n+1}^{2}+2T_{n}T_{n-1}+T_{n}^{2}\quad \mathrm {and} \quad T_{2n-1}=T_{n-1}^{2}+2T_{n}T_{n+1}-T_{n}^{2}.\qquad \qquad (3)}$$ สิ่งเหล่านี้สามารถอนุมานได้ง่ายๆ จากตัวตนของเขาโดยการพิจารณา${\displaystyle k=n}$และ${\displaystyle k=n-1}$ในทางกลับกัน เอกลักษณ์ทั้งสองนี้สามารถนำมาใช้เพื่อหาการแสดงออกอย่างง่ายสำหรับผลรวมของกำลังสองของจำนวนไตรโบนาชชี^{[ 7 ] :สมการ (9)}

สูตรการสะท้อน เช่นเดียวกับตัวเลขฟิโบนาชชี เราสามารถใช้สูตรเวียนเกิดสำหรับตัวเลขไตรโบนาชชีแบบย้อนกลับได้ จาก${\displaystyle T_{2},T_{1}}$, และ${\displaystyle T_{0}}$สามารถกำหนดได้${\displaystyle T_{-1}=1}$. จาก${\displaystyle T_{1},T_{0}}$, และ${\displaystyle T_{-1}}$สามารถกำหนดได้${\displaystyle T_{-2}=-1}$และอื่นๆ ดังนั้น ค่าของเลขไตรโบนาชชีที่ดัชนีติดลบจึงถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน เริ่มต้นด้วย${\displaystyle T_{0}=0}$,${\displaystyle T_{-1}=1}$, และ${\displaystyle T_{-2}=-1}$และการกลับทิศทางการเกิดซ้ำของไตรโบนาชชี (1) จะให้ลำดับของตัวเลขไตรโบนาชชีที่มีดัชนีเป็นลบดังนี้ $${\displaystyle 0,1,-1,0,2,-3,1,4,-8,5,7,-20,18,9,-47,56,0,-103,159,-56,-206,421,-271,-356,1048,\ldots .}$$ สามารถดูข้อมูลเพิ่มเติมได้ภายใต้หมายเลขลำดับA057597ในสารานุกรมลำดับจำนวนเต็มออนไลน์ ( OEIS ) การขยายไปสู่ดัชนีติดลบหมายความว่าเราสามารถมองลำดับไตรโบนาชชีเป็นลำดับอนันต์สองชั้นได้: $${\displaystyle \ldots ,-47,9,18,-20,7,5,-8,4,1,-3,2,0,-1,1,\mathbf {0} ,0,1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504,927,\ldots }$$ โดยที่ค่าที่ดัชนีศูนย์จะแสดงเป็นตัวหนา การไล่ลำดับจากซ้ายไปขวาจะใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด (1) การไล่ลำดับจากขวาไปซ้ายจะใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด ${\displaystyle T_{n}=T_{n+3}-T_{n+2}-T_{n+1}}$ความสัมพันธ์ระหว่างส่วนดัชนีเชิงลบและเชิงบวกของลำดับไตรโบนาชชีแสดงได้ดังนี้ $${\displaystyle T_{-n}=T_{n+1}^{2}-T_{n}T_{n+2}.\qquad \qquad (4)}$$ เอกลักษณ์นี้ใช้ได้กับจำนวนเต็มทุกจำนวน${\displaystyle n}$และเป็นที่รู้จักกันในชื่อสูตรการสะท้อนสำหรับจำนวนไตรโบนาชชี สามารถหาได้โดยใช้เอกลักษณ์ของ Agronomof ^{[ 7 ] : 714}

ค่าคง ที่ไตรโบนาชชีคืออัตราส่วนลิมิตระหว่างจำนวนไตรโบนาชชีที่ต่อเนื่องกัน โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์⁠${\displaystyle \tau }$และมีความสำคัญอย่างยิ่งในการศึกษาเกี่ยวกับลูกบาศก์ทรงเหลี่ยมเว้า (snub cube )

ปริมาณสามค่าa > b > c > 0อยู่ในอัตราส่วนไตรโบนาชชี ถ้า $${\displaystyle {\frac {a+b+c}{a}}={\frac {a}{b}}={\frac {b}{c}}=\tau }$$

การแทนที่${\displaystyle b=\tau c}$และ​​${\displaystyle a=\tau b=\tau ^{2}c}$ในเศษส่วนแรกให้ผลลัพธ์ ดังนี้$${\displaystyle \tau ={\frac {c(\tau ^{2}+\tau +1)}{\tau ^{2}c}}.}$$ดังนั้น ค่าคงที่ไตรโบนาชชีจึงเป็นคำตอบจริงเพียงหนึ่งเดียวของสมการกำลังสาม${\displaystyle \tau ^{3}=\tau ^{2}+\tau +1}$, ประมาณ1.839 286 755 214 161 ... ( ลำดับA058265ในOEIS )

นิพจน์แบบปิดสำหรับ⁠${\displaystyle \tau }$พบได้จากการแก้สมการลูกบาศก์ที่ยุบตัวลง${\displaystyle 27y^{3}-36y-38}$ซึ่งมีค่าเป็นศูนย์จริง${\displaystyle \tau -{\tfrac {1}{3}}}$. ^{[ 12 ]}​$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &={\frac {1}{3}}\left(1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left(1+4\cosh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {19}{8}}\right)\right)\right).\end{aligned}}}$$

การวนซ้ำ${\displaystyle x\gets {\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+x}}}$ด้วยจุดคงที่${\displaystyle {\frac {1}{\tau -1}}}$ส่งผลให้เกิดความรุนแรงอย่างต่อเนื่อง$${\displaystyle \tau =1+1/{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+\cdots }}}}}}}$$ เนื่องจากการวนซ้ำได้มาจาก⁠${\displaystyle 2x^{3}=2x+1}$[ ^{13 ]}การแสดงออก ^{ทาง เลือก}สำหรับ${\displaystyle \tau }$คือ​ $${\displaystyle {\begin{aligned}w_{1,2}&=\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {11}{3}}}\right)/4\\\tau &=1+({\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}})^{-1}\\&=1+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\operatorname {sech} \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

ค่าคงที่ไตรโบนาชชีสามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วนของตัวมันเอง $${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &={\frac {\tau ^{2}+1}{\tau ^{2}-1}}\\\tau ^{2}&={\frac {\tau +1}{\tau -1}}\\\tau ^{3}&={\frac {\tau ^{4}+1}{2}}.\end{aligned}}}$$

เช่นเดียวกับอนุกรมเรขาคณิต อนันต์$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\tau ^{2}+1}{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\tau ^{-n}\\{\frac {\tau +1}{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\tau ^{-2n}\\{\frac {1}{\tau -1}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\tau ^{-3n}.\end{aligned}}}$$

สำหรับจำนวนเต็มทุกจำนวน${\displaystyle n}$หนึ่งมี $${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{n}&=\tau ^{n-1}+\tau ^{n-2}+\tau ^{n-3}\\&=2\tau ^{n-2}+2\tau ^{n-3}+\tau ^{n-4}\\&=3\tau ^{n-2}+\tau ^{n-4}+\tau ^{n-6}\end{aligned}}}$$ จากสิ่งนี้สามารถค้นพบความสัมพันธ์เพิ่มเติมได้อีกมากมายนับไม่ถ้วน ตัวอย่างที่โดดเด่นคือ⁠${\displaystyle \tau +\tau ^{-3}=2}$⁠ .

รูปแบบ เศษส่วนต่อเนื่องของกำลังต่ำเล็กน้อย^{[ 14 ]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{-1}&=[0;1,1,5,4,2,305,1,8,2,...]\approx 0.5437\;({\tfrac {31}{57}})\\\tau ^{0}&=[1]\\\tau ^{1}&=[1;1,5,4,2,305,1,8,2,1,...]\approx 1.8393\;({\tfrac {103}{56}})\\\tau ^{2}&=[3;2,1,1,1,1,2,1,152,2,...]\approx 3.3830\;({\tfrac {159}{47}})\\\tau ^{3}&=[6;4,2,305,1,8,2,1,4,6,...]\approx 6.2223\;({\tfrac {56}{9}})\\\tau ^{4}&=[11;2,4,152,1,17,1,2,2,...]\approx 11.4445\;({\tfrac {103}{9}})\end{aligned}}}$$

ให้⁠${\displaystyle \tau }$และคู่สังยุคเชิงซ้อน${\displaystyle \beta }$และ​​${\displaystyle \gamma }$เป็นรากของพหุนาม${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1}$ด้วยตัวแยกแยะ ​${\displaystyle -44}$จาก นั้นค่าเลขไตรโบนาชชีจะคำนวณได้จากสูตรของบิเนต์$${\displaystyle T_{n+1}=a\tau ^{n}+b\beta ^{n}+c\gamma ^{n},}$$ ด้วยของจริง${\displaystyle a}$และคู่ควบ${\displaystyle b}$และ​​${\displaystyle c}$รากเหง้าของ${\displaystyle 44y^{3}-2y-1=0.}$

เนื่องจาก${\displaystyle \left\vert b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}\right\vert <{\tfrac {2}{5}}}$ตัวเลข⁠${\displaystyle T_{n}}$เป็น จำนวน เต็มที่ใกล้ที่สุดกับ${\displaystyle a\,\tau ^{n-1}}$โดยมี${\displaystyle n>0}$และสัมประสิทธิ์${\displaystyle a=1/(5\tau -\tau ^{3})=}$0.336 228 116 994 941 ... ^{[ a ]} 

เลขยกกำลังของค่าคงที่ไตรโบนาชชีสามารถเขียนได้โดยใช้เลขไตรโบนาชชีเป็นสัมประสิทธิ์กำลังสอง$${\displaystyle \tau ^{n}=\tau ^{2}T_{n}+\tau (T_{n-1}+T_{n-2})+T_{n-1},}$$ซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยการอุปมานทางคณิตศาสตร์บน⁠${\displaystyle n.}$ความสัมพันธ์นี้ยังใช้ได้กับ⁠${\displaystyle n<0.}$⁠

เลขไตรโบนาชชีได้มาจากเลขยกกำลังจำนวนเต็ม${\displaystyle n\geq 2}$ของเมทริกซ์ ที่มี ค่าไอเกนเป็นจำนวนจริง${\displaystyle \tau }$[ ^{15 ]​}$${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}$$

$${\displaystyle Q^{n}={\begin{pmatrix}T_{n+2}&T_{n+1}+T_{n}&T_{n+1}\\T_{n+1}&T_{n}+T_{n-1}&T_{n}\\T_{n}&T_{n-1}+T_{n-2}&T_{n-1}\end{pmatrix}}}$$

ร่องรอยของ​​${\displaystyle Q^{n}}$ให้ค่าจำนวนไตรโบนาชชี-ลูคัสเป็น 3, 1, 3, 7, 11, 21, 39, 71, 131, 241, 443, 815, 1499, 2757,... ซึ่งสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดเดียวกัน ในรูปแบบต่างๆ${\displaystyle L_{n}=\lfloor \tau ^{n}\rceil {\text{ for }}n\geq 4.}$(ลำดับA001644ในOEIS )

จำนวนลูคัสเหล่านี้มีคุณสมบัติของแฟร์มาต์ กล่าวคือ ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ${\displaystyle L_{p}\equiv L_{1}{\bmod {p}}.}$ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง แต่จำนวนพ севдопрокиней терокине เล็กน้อย${\displaystyle \,n\mid (L_{n}-1)}$ทำให้ลำดับนี้มีความพิเศษ จำนวนประกอบที่ต่ำกว่า10⁷ เพียงไม่กี่ ^{จำนวน}ที่ผ่านการทดสอบได้แก่ n = 18², 25²⁰¹, 2³³² ^, 6³⁶¹⁸, 19⁴³⁹⁰, 75⁰⁸⁹⁰, 8⁰⁴⁹⁵, 18⁸⁹⁴¹, 2⁸⁷⁹⁴¹, 35⁴⁸⁵³, 37⁶¹²⁵¹, 68⁴⁹⁸⁹ (ลำดับA371805ในOEIS )

คุณสมบัติเพิ่มเติมการกล่าวถึงค่าคงที่ไตรโบนาชชีโดยนัยครั้งแรกเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 11 เมื่อกวีและนักปราชญ์ชาว เปอร์เซีย โอมาร์ คัยยัมค้นพบคำตอบ${\displaystyle 10{\tfrac {\tau +1}{\tau }}}$ของ สมการลูกบาศก์${\displaystyle x^{3}+200x=20x^{2}+2000}$โดยพิจารณาจุดตัดของวงกลมและ ไฮเปอร์โบ ลาสี่เหลี่ยมผืนผ้า^{[ 16 ]}

${\displaystyle W_{11}(x)=x^{3}-2x^{2}+2x-2,}$ด้วยศูนย์ที่แท้จริง${\displaystyle \omega ={\tfrac {\tau +1}{\tau }}=\tau (\tau -1),}$พหุนามชั้นเวเบอร์ที่เกี่ยวข้องกับดิสคริมิแนนต์${\displaystyle \Delta =-11}$คุณสมบัติของค่าคงที่ไคลน์ j ที่เกี่ยวข้อง ส่งผลให้มีความใกล้เคียงเอกลักษณ์${\displaystyle \omega \approx (e^{\pi {\sqrt {-\Delta }}}+24)^{1/24}.}$

การโต้แย้ง${\displaystyle \theta =\arccos({\tfrac {1}{2}}\tau )\,}$พอใจ${\displaystyle \,4\sin(3\theta )-\tan(\theta )={\sqrt {11}}}$ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่สัมพันธ์กันผ่านพารามิเตอร์ระยะทาง${\displaystyle \,z=\tau (1-\tau )\cdot 2\cos({\tfrac {2\pi }{11}})}$ไปสู่ การสร้างรูปสิบเอ็ดเหลี่ยมอัน 'มหัศจรรย์' ของเนอุซิสซึ่งค้นพบโดยเบนจามินและสไนเดอร์^{[ 17 ] [ 18 ]}

ส่วนกลับ${\displaystyle {\tfrac {1}{\tau }}}$ค่าคงที่ของไตรโบนาชชีแก้สมการ${\displaystyle \,2\arctan(x)=\arccos(x)}$[ ^{19 ]}มุมนี้ใกล้เคียงกับ1 เรเดียน มุม ^ตรงข้ามของมัน${\displaystyle \,\arccos(\tau -1)=\arcsin({\tfrac {1}{\tau }})\,}$ตัวเลขในการสร้างทางเรขาคณิตของค่าคงที่ไตรโบนาชชีที่ค้นพบโดยนักชีววิทยา Xerardo Neira ^{[ 20 ]}

จำนวนเทตรานาชชีเริ่มต้นด้วยพจน์ที่กำหนดไว้ล่วงหน้าสี่พจน์ โดยแต่ละพจน์ถัดไปจะเป็นผลรวมของพจน์สี่พจน์ก่อนหน้า จำนวนเทตรานาชชีแรกๆ มีดังนี้:

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8 , 15 , 29 , 56 , 108 , 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, … (ลำดับA000078ในOEIS )

Feinberg ยังบัญญัติศัพท์tetranacci อีกด้วย ^{[ 11 ] : 73}

ค่าคงที่เทตรานาชชีคืออัตราส่วนที่จำนวนเทตรานาชชีที่อยู่ติดกันมีแนวโน้มเข้าหา มันเป็นรากจริงบวกเพียงหนึ่งเดียวของพหุนาม⁠${\displaystyle x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$โดยประมาณ1.927 561 975 482 925 ... (ลำดับA086088ในOEIS )และยังสอดคล้องกับสมการ⁠${\displaystyle x+x^{-4}=2}$⁠ .

ค่าคงที่เทตรานาชชีสามารถแสดงได้ในรูปของอนุมูลโดยใช้การแสดงออกดังต่อไปนี้: ^{[ 21 ]}

${\displaystyle x={\frac {1}{4}}\!\left(1+{\sqrt {u}}+{\sqrt {11-u+{\frac {26}{\sqrt {u}}}}}\,\right)}$

ที่ไหน,

${\displaystyle u={\frac {1}{3}}\left(11-56{\sqrt[{3}]{\frac {2}{-65+3{\sqrt {1689}}}}}+2\cdot 2^{\frac {2}{3}}{\sqrt[{3}]{-65+3{\sqrt {1689}}}}\right)}$

และ${\displaystyle u}$คือรากจริงของสมการกำลังสาม${\displaystyle u^{3}-11u^{2}+115u-169}$⁠ .

สอดคล้องกับเลขลูคัสสำหรับลำดับฟิโบนาชชี หากเริ่มต้นด้วยแทน${\displaystyle L_{0}=4}$,${\displaystyle L_{1}=1}$,${\displaystyle L_{2}=3}$, และ${\displaystyle L_{3}=7}$และใช้การเรียกซ้ำแบบเตตรานาชชี จากนั้น${\displaystyle L_{n}=\lfloor x^{n}\rceil }$สำหรับ​${\displaystyle n\geq 6}$(ลำดับA073817ในOEIS )

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, … (ลำดับA001591ในOEIS )

ค่าคงที่เพ นทานาชชีคืออัตราส่วนที่จำนวนเพนทานาชชีที่อยู่ติดกันมีแนวโน้มเข้าหา มันเป็นรากจริงเพียงหนึ่งเดียวของพหุนาม⁠${\displaystyle x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$โดยประมาณ1.965 948 236 645 485 ... (ลำดับA103814ในOEIS )และยังสอดคล้องกับสมการ⁠${\displaystyle x+x^{-5}=2}$⁠ .

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, … (ลำดับA001592ในOEIS )

ค่าคงที่เฮกซานาชิคืออัตราส่วนที่จำนวนเฮกซานาชิที่อยู่ติดกันมีแนวโน้มเข้าหา มันเป็นรากจริงบวกเพียงหนึ่งเดียวของพหุนาม⁠${\displaystyle x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$โดยประมาณ1.983 582 843 424 326 ... (ลำดับA118427ในOEIS )และยังสอดคล้องกับสมการ⁠${\displaystyle x+x^{-6}=2}$⁠ .

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, … (ลำดับA122189ในOEIS )

ค่าคงที่เฮปทานาชิคืออัตราส่วนที่จำนวนเฮปทานาชิที่อยู่ติดกันมีแนวโน้มเข้าหา มันเป็นรากจริงเพียงหนึ่งเดียวของพหุนาม⁠${\displaystyle x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$โดยประมาณ1.991 964 196 605 035 ... (ลำดับA118428ในOEIS )และยังสอดคล้องกับสมการ⁠${\displaystyle x+x^{-7}=2}$⁠ .

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... (ลำดับA079262ในOEIS )

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, ... (ลำดับA104144ในOEIS )

หากจะอธิบายลำดับ "อินฟินาชชี" ลำดับนี้จะให้ผลลัพธ์เป็นลำดับต่อไปนี้หลังจากเติมศูนย์เป็นจำนวนอนันต์

[..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

ซึ่งก็คือเลขยกกำลังของสองนั่นเอง

ลิมิตของอัตราส่วนของพจน์ที่ต่อเนื่องกันของ${\displaystyle k}$อนุกรม -nacci มีแนวโน้มที่จะเป็นรากของสมการ${\displaystyle x+x^{-k}=2}$( OEIS : A103814  , OEIS : A118427  , OEIS : A118428  )

ขีดจำกัดของอัตราส่วนสำหรับใดๆ${\displaystyle k\geq 2}$เป็นรากบวกที่ไม่ซ้ำกันของสมการลักษณะเฉพาะ^{[ 21 ]}

⁠${\displaystyle x^{k}-\sum _{i=0}^{k-1}x^{i}=0}$⁠ .

กรณีพิเศษ${\displaystyle k=2}$ลำดับฟิโบนาชี่แบบดั้งเดิมให้ผลลัพธ์เป็นสัดส่วนทองคำ${\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}}$⁠ .

สูตรข้างต้นสำหรับอัตราส่วนยังคงใช้ได้แม้กระทั่งสำหรับ${\displaystyle k}$-อนุกรมนัคซีที่สร้างขึ้นจากตัวเลขเริ่มต้นแบบสุ่ม อัตราส่วนจะเข้าใกล้ 2 ในกรณีที่${\displaystyle k}$เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ จนถึงอนันต์

ราก${\displaystyle x}$อยู่ในช่วงเวลา${\displaystyle 2(1-2^{-k})<x<2}$รากลบของสมการลักษณะเฉพาะอยู่ในช่วง (−1, 0)เมื่อ${\displaystyle k}$เป็นเลขคู่ รากนี้และรากเชิงซ้อนแต่ละรากของสมการลักษณะเฉพาะมีค่าสัมบูรณ์⁠${\displaystyle 3^{-k}<}$. ^{[ 21 ]}​

ชุดข้อมูลสำหรับรากเชิงบวก${\displaystyle x}$สำหรับใดๆ${\displaystyle k>0}$คือ^{[ 21 ]}

⁠${\displaystyle 2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}{\binom {(k+1)i-2}{i-1}}{\frac {1}{2^{(k+1)i}}}}$⁠ .

ไม่มีคำตอบของสมการลักษณะเฉพาะในรูปของรากเมื่อ5 ≤ k ≤ 11 ^{[ 21 ]}

องค์ประกอบ ที่ nของ ลำดับ k -nacci กำหนดโดย

${\displaystyle F_{n}^{(k)}=\left\lfloor {\frac {x^{n-1}(x-1)}{(k+1)x-2k}}\right\rceil \!,}$

ที่ไหน${\displaystyle \lfloor \cdot \rceil }$หมายถึงฟังก์ชันจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด และ${\displaystyle x}$คือ${\displaystyle k}$ค่าคงที่ -nacci ซึ่งเป็นรากของ${\displaystyle x+x^{-k}=2}$ใกล้เคียงที่สุดกับ 2

สอดคล้องกับเลขลูคัสสำหรับลำดับฟิโบนาชชี หากเริ่มต้นด้วยแทน${\displaystyle L_{0}=k}$และ${\displaystyle L_{n}=2^{n}-1}$สำหรับ​${\displaystyle 0<n<k}$และนำไปใช้${\displaystyle k}$⁠ -nacci การเรียกซ้ำเพื่อคำนวณ ⁠${\displaystyle L_{n}}$สำหรับ​​${\displaystyle n\geq k}$แล้ว​${\displaystyle L_{n}=\lfloor x^{n}\rceil }$สำหรับค่าที่มากพอทั้งหมดของ⁠${\displaystyle n}$โดยที่​${\displaystyle x}$คือ​​${\displaystyle k}$-ค่าคงที่ของนัคซี หรืออีกนัยหนึ่ง อาจเริ่มต้นด้วย${\displaystyle L_{0}=k}$และ${\displaystyle L_{n}=-1}$สำหรับ​${\displaystyle -k<n<0}$จาก นั้น จึงใช้${\displaystyle k}$⁠ -nacci การเรียกซ้ำเพื่อคำนวณ ⁠${\displaystyle L_{n}}$สำหรับ​​${\displaystyle n>0}$⁠ .

ปัญหาการโยนเหรียญมีความเกี่ยวข้องกับ${\displaystyle k}$ลำดับ -nacci ความน่าจะเป็นที่ไม่มี${\displaystyle k}$การออกก้อยติดต่อกันจะเกิดขึ้นใน${\displaystyle m}$การโยนเหรียญในอุดมคติคือ⁠${\displaystyle {\frac {1}{2^{m}}}F_{m+2}^{(k)}}$⁠ . ^{[ 22 ]}