ในฟิสิกส์ของของแข็งแบบจำลองไทต์ไบน์ดิง (หรือแบบจำลอง TB ) เป็นวิธีการคำนวณโครงสร้างแถบอิเล็กตรอนโดยใช้ชุดฟังก์ชันคลื่น โดยประมาณซึ่ง อิงจากการซ้อนทับของฟังก์ชันคลื่นสำหรับอะตอม เดี่ยว ที่อยู่ ณ ตำแหน่งอะตอมแต่ละแห่ง วิธีนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับวิธี LCAO (วิธีการรวมเชิงเส้นของออร์บิทัลอะตอม) ที่ใช้ในวิชาเคมี แบบจำลองไทต์ไบน์ดิงถูกนำไปใช้กับของแข็งหลากหลายชนิด แบบจำลองนี้ให้ผลลัพธ์เชิงคุณภาพที่ดีในหลายกรณี และสามารถนำไปรวมกับแบบจำลองอื่น ๆ ที่ให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่าในกรณีที่แบบจำลองไทต์ไบน์ดิงล้มเหลว แม้ว่าแบบจำลองไทต์ไบน์ดิงจะเป็นแบบจำลองอิเล็กตรอนเดี่ยว แต่แบบจำลองนี้ยังให้พื้นฐานสำหรับการคำนวณขั้นสูงกว่า เช่น การคำนวณสถานะพื้นผิว และการประยุกต์ใช้กับ ปัญหาหลายอนุภาคและการคำนวณ อนุภาคเสมือนประเภทต่างๆ

ชื่อ "การยึดเหนี่ยวแน่น" (tight binding) ของแบบจำลองโครงสร้างแถบอิเล็กตรอน นี้ บ่งชี้ว่าแบบจำลองกลศาสตร์ควอนตัม นี้อธิบายคุณสมบัติของ อิเล็กตรอนที่ยึดเหนี่ยวแน่นในของแข็ง อิเล็กตรอน ในแบบจำลองนี้ควรจะยึดเหนี่ยวแน่นกับอะตอมที่มันสังกัดอยู่ และควรมีปฏิสัมพันธ์ที่จำกัดกับสถานะและศักยภาพบนอะตอมรอบข้างของของแข็ง ผลที่ได้คือฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนจะค่อนข้างคล้ายกับวงโคจรอะตอมของอะตอมอิสระที่มันสังกัดอยู่ พลังงานของอิเล็กตรอนก็จะค่อนข้างใกล้เคียงกับพลังงานไอออนไนเซชันของอิเล็กตรอนในอะตอมอิสระหรือไอออน เนื่องจากปฏิสัมพันธ์กับศักยภาพและสถานะบนอะตอมข้างเคียงมีจำกัด

แม้ว่าสูตรทางคณิตศาสตร์^{[ 1 ]} ของ แฮมิลโทเนียนแบบไทต์ไบน์ดิงหนึ่งอนุภาคอาจดูซับซ้อนในตอนแรก แต่แบบจำลองนั้นไม่ซับซ้อนเลยและสามารถเข้าใจได้ง่ายโดยสัญชาตญาณ มีเพียงองค์ประกอบเมทริกซ์สามประเภท เท่านั้น ที่มีบทบาทสำคัญในทฤษฎี องค์ประกอบสองในสามประเภทนั้นควรอยู่ใกล้ศูนย์และมักจะสามารถละเลยได้ องค์ประกอบที่สำคัญที่สุดในแบบจำลองคือองค์ประกอบเมทริกซ์ระหว่างอะตอม ซึ่งนักเคมี จะเรียกง่ายๆ ว่า พลังงานพันธะ

โดยทั่วไปแล้ว แบบจำลองนี้เกี่ยวข้องกับระดับพลังงานอะตอม และออร์บิทัลอะตอม จำนวนมาก ซึ่งอาจนำไปสู่โครงสร้างแถบพลังงานที่ซับซ้อน เนื่องจากออร์บิทัลเหล่านี้อยู่ใน กลุ่มจุดแสดงแทนที่ แตกต่างกัน แล ตติสผกผันและโซนบริลลูอินมักอยู่ในกลุ่มพื้นที่ ที่แตกต่าง จากผลึกของของแข็ง จุดสมมาตรสูงในโซนบริลลูอินอยู่ในกลุ่มจุดแสดงแทนที่แตกต่างกัน เมื่อศึกษาในระบบที่เรียบง่าย เช่น แลตติสของธาตุหรือสารประกอบอย่างง่าย มักจะไม่ยากนักที่จะคำนวณสถานะเฉพาะที่จุดสมมาตรสูงได้ด้วยวิธีวิเคราะห์ ดังนั้นแบบจำลองไทต์ไบน์ดิงจึงเป็นตัวอย่างที่ดีสำหรับผู้ที่ต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับทฤษฎี กลุ่ม

แบบจำลองไทต์ไบน์ดิงมีประวัติยาวนานและถูกนำไปใช้ในหลายวิธีและมีวัตถุประสงค์และผลลัพธ์ที่แตกต่างกันมากมาย แบบจำลองนี้ไม่ได้อยู่ได้ด้วยตัวเอง ส่วนต่างๆ ของแบบจำลองสามารถเติมเต็มหรือขยายได้ด้วยการคำนวณและแบบจำลองประเภทอื่นๆ เช่นแบบจำลองอิเล็กตรอนอิสระเกือบสมบูรณ์แบบจำลองเองหรือบางส่วนของแบบจำลองสามารถใช้เป็นพื้นฐานสำหรับการคำนวณอื่นๆ ได้^{[ 2 ]}ในการศึกษาโพลิเมอร์นำไฟฟ้าสารกึ่งตัวนำอินทรีย์และอิเล็กทรอนิกส์ระดับโมเลกุลตัวอย่างเช่น มีการใช้แบบจำลองที่คล้ายกับไทต์ไบน์ดิง โดยที่บทบาทของอะตอมในแนวคิดดั้งเดิมถูกแทนที่ด้วยออร์บิทัลโมเลกุลของระบบคอนจูเกต และองค์ประกอบเมทริกซ์ระหว่างอะตอมถูกแทนที่ด้วยพารามิเตอร์การกระโดดและ การอุโมงค์ระหว่างหรือภายในโมเลกุลตัวนำเหล่านี้เกือบทั้งหมดมีคุณสมบัติแอนไอโซโทรปิกมาก และบางครั้งก็เกือบจะเป็นมิติเดียวอย่างสมบูรณ์

ในปี พ.ศ. 2461 แนวคิดเรื่องออร์บิทัลโมเลกุลได้รับการพัฒนาโดยRobert Mullikenซึ่งได้รับอิทธิพลอย่างมากจากงานของFriedrich Hundวิธี LCAO สำหรับการประมาณออร์บิทัลโมเลกุลได้รับการแนะนำในปี พ.ศ. 2461 โดย BN Finklestein และ GE Horowitz ในขณะที่วิธี LCAO สำหรับของแข็งได้รับการพัฒนาโดยFelix Blochซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของเขาในปี พ.ศ. 2461 พร้อมกันและเป็นอิสระจากแนวทาง LCAO-MO แผนการแทรกสอดที่ง่ายกว่ามากสำหรับการประมาณโครงสร้างแถบอิเล็กตรอน โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับแถบ d ของโลหะทรานซิชันคือวิธีการไทต์ไบน์ดิงแบบพารามิเตอร์ที่คิดค้นขึ้นในปี พ.ศ. 2497 โดยJohn Clarke SlaterและGeorge Fred Koster [ ^{1 ] บาง}ครั้งเรียกว่าวิธีการไทต์ไบน์ดิง SK ด้วยวิธี SK tight-binding การคำนวณโครงสร้างแถบอิเล็กตรอนในของแข็งไม่จำเป็นต้องดำเนินการอย่างเข้มงวดเหมือนในทฤษฎีบทของ Bloch ดั้งเดิม แต่จะทำการคำนวณจากหลักการพื้นฐานเฉพาะที่จุดสมมาตรสูงเท่านั้น และโครงสร้างแถบจะถูกประมาณค่าในช่วงที่เหลือของโซน Brillouinระหว่างจุดเหล่านี้

ในแนวทางนี้ ปฏิสัมพันธ์ระหว่างตำแหน่งอะตอมที่แตกต่างกันจะถูกพิจารณาว่าเป็นสิ่งรบกวนมีปฏิสัมพันธ์หลายประเภทที่เราต้องพิจารณาแฮมิล โทเนียน ของผลึกเป็นเพียงผลรวมโดยประมาณของแฮมิลโทเนียนของอะตอมที่อยู่ในตำแหน่งต่างๆ และฟังก์ชันคลื่นของอะตอมจะทับซ้อนกันระหว่างตำแหน่งอะตอมที่อยู่ติดกันในผลึก ดังนั้นจึงไม่ใช่การแสดงฟังก์ชันคลื่นที่ถูกต้องแม่นยำ จะมีการอธิบายเพิ่มเติมในส่วนถัดไปพร้อมด้วยสมการทางคณิตศาสตร์บางส่วน

ในการวิจัยล่าสุดเกี่ยวกับวัสดุที่มีความสัมพันธ์กันอย่างมาก วิธีการยึดเหนี่ยวแน่น (tight binding) เป็นการประมาณค่าพื้นฐาน เนื่องจากอิเล็กตรอนที่มีการกระจายตัวสูง เช่น อิเล็กตรอน ของโลหะทรานซิชัน 3 มิติบางครั้งแสดงพฤติกรรมที่มีความสัมพันธ์กันอย่างมาก ในกรณีนี้ บทบาทของปฏิสัมพันธ์ระหว่างอิเล็กตรอนจะต้องได้รับการพิจารณาโดยใช้คำอธิบาย ทางฟิสิกส์หลายอนุภาค

แบบจำลองไทต์ไบน์ดิงมักใช้สำหรับการคำนวณโครงสร้างแถบอิเล็กตรอนและช่องว่างแถบในระบอบสถิต อย่างไรก็ตาม เมื่อรวมกับวิธีการอื่นๆ เช่น แบบ จำลองการประมาณเฟสแบบสุ่ม (RPA) ก็สามารถศึกษาการตอบสนองแบบไดนามิกของระบบได้เช่นกัน ในปี 2019 Bannwarth และคณะได้แนะนำวิธีการ GFN2-xTB ซึ่งส่วนใหญ่ใช้สำหรับการคำนวณโครงสร้างและพลังงานปฏิสัมพันธ์ที่ไม่ใช่พันธะโควาเลนต์^{[ 3 ]}

เราขอแนะนำออร์บิทัลอะตอม ซึ่งเป็นฟังก์ชันเฉพาะของแฮมิลโทเนียนของอะตอมเดี่ยวที่แยกตัวอยู่ เมื่ออะตอมถูกวางไว้ในผลึก ฟังก์ชันคลื่นอะตอมนี้จะทับซ้อนกับตำแหน่งอะตอมที่อยู่ติดกัน ดังนั้นจึงไม่ใช่ฟังก์ชันเฉพาะที่แท้จริงของแฮมิลโทเนียนของผลึก การทับซ้อนจะน้อยลงเมื่ออิเล็กตรอนถูกยึดเหนี่ยวอย่างแน่นหนา ซึ่งเป็นที่มาของคำว่า "การยึดเหนี่ยวอย่างแน่นหนา" (tight-binding) การแก้ไขใดๆ ต่อศักย์อะตอมที่จำเป็นเพื่อให้ได้แฮมิลโทเนียนที่แท้จริงของระบบนั้น ถือว่ามีขนาดเล็ก: ${\displaystyle \varphi _{m}(\mathbf {r} )}$${\displaystyle H_{\rm {at}}}$${\displaystyle \Delta U}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle H(\mathbf {r} )=H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} )+\sum _{\mathbf {R} _{n}\neq \mathbf {0} }V(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})=H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} )+\Delta U(\mathbf {r} )\ ,}$

โดยที่แสดงถึงศักยภาพอะตอมของอะตอมหนึ่งที่ตำแหน่ง ในโครงผลึก จากนั้นจึงประมาณคำตอบ ของ สมการชโรดิงเจอร์อิเล็กตรอนเดี่ยวที่ไม่ขึ้นกับเวลา โดยใช้ การรวมเชิงเส้นของออร์บิทัลอะตอม : ${\displaystyle V(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})}$${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$${\displaystyle \psi _{m}}$${\displaystyle \varphi _{m}(\mathbf {r-R_{n}} )}$

${\displaystyle \psi _{m}(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}(\mathbf {R} _{n})\ \varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})}$,

โดยที่หมายถึงระดับพลังงานอะตอมลำดับที่ m ${\displaystyle m}$

ทฤษฎีบทของ Blochกล่าวว่า ฟังก์ชันคลื่นในผลึกสามารถเปลี่ยนแปลงได้ภายใต้การเลื่อนตำแหน่งโดยปัจจัยเฟสเท่านั้น:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r+R_{\ell }} )=e^{i\mathbf {k\cdot R_{\ell }} }\psi (\mathbf {r} )\ ,}$

โดยที่เป็นเวกเตอร์คลื่นของฟังก์ชันคลื่น ดังนั้น สัมประสิทธิ์จึงเป็นไปตามเงื่อนไข ${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle \sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}(\mathbf {R} _{n})\ \varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n}+\mathbf {R} _{\ell })=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{\ell }}\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}(\mathbf {R} _{n})\ \varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\ .}$

โดยการแทนค่าเราจะพบว่า ${\displaystyle \mathbf {R} _{p}=\mathbf {R} _{n}-\mathbf {R_{\ell }} }$

${\displaystyle b_{m}(\mathbf {R} _{p}+\mathbf {R} _{\ell })=e^{i\mathbf {k\cdot R_{\ell }} }b_{m}(\mathbf {R} _{p})\ ,}$(โดยที่ในฝั่งขวามือ เราได้แทนที่ดัชนีจำลองด้วย)${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{p}}$

หรือ

${\displaystyle b_{m}(\mathbf {R} _{\ell })=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{\ell }}b_{m}(\mathbf {0} )\ .}$

การปรับฟังก์ชันคลื่นให้มีค่าเท่ากับหนึ่ง:

${\displaystyle \int d^{3}r\ \psi _{m}^{*}(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )=1}$

${\displaystyle =\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}^{*}(\mathbf {R} _{n})\sum _{\mathbf {R_{\ell }} }b_{m}(\mathbf {R_{\ell }} )\int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{\ell })}$

${\displaystyle =b_{m}^{*}(0)b_{m}(0)\sum _{\mathbf {R} _{n}}e^{-i\mathbf {k\cdot R_{n}} }\sum _{\mathbf {R_{\ell }} }e^{i\mathbf {k\cdot R_{\ell }} }\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{\ell })}$

${\displaystyle =Nb_{m}^{*}(0)b_{m}(0)\sum _{\mathbf {R} _{p}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{p}}\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{p})\varphi _{m}(\mathbf {r} )\ }$

${\displaystyle =Nb_{m}^{*}(0)b_{m}(0)\sum _{\mathbf {R} _{p}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{p}}\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} )\varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{p})\ ,}$

ดังนั้นชุดการทำให้เป็นมาตรฐานจึงเป็นดังนี้ ${\displaystyle b_{m}(0)}$

${\displaystyle b_{m}^{*}(0)b_{m}(0)={\frac {1}{N}}\ \cdot \ {\frac {1}{1+\sum _{\mathbf {R} _{p}\neq 0}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{p}}\alpha _{m}(\mathbf {R} _{p})}}\ ,}$

อินทิกรัลการทับซ้อนของอะตอมอยู่ ที่ไหนซึ่งมักถูกละเลย ส่งผลให้^{[ 4 ]}${\displaystyle {\alpha _{m}(\mathbf {R} _{p})}}$

${\displaystyle b_{m}(0)\approx {\frac {1}{\sqrt {N}}}\ ,}$

และ

${\displaystyle \psi _{m}(\mathbf {r} )\approx {\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} _{n}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\ \varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\ .}$

เมื่อใช้รูปแบบไทต์ไบน์ดิงสำหรับฟังก์ชันคลื่น และสมมติว่าระดับพลังงานอะตอมที่ m เท่านั้น ที่มีความสำคัญสำหรับ แถบพลังงานที่ mพลังงานบล็อกจะมีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle \varepsilon _{m}}$

${\displaystyle \varepsilon _{m}=\int d^{3}r\ \psi _{m}^{*}(\mathbf {r} )H(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle =\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}^{*}(\mathbf {R} _{n})\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})H(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle =\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}^{*}(\mathbf {R} _{n})\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )+\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}^{*}(\mathbf {R} _{n})\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\Delta U(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle =\sum _{\mathbf {R} _{n},\mathbf {R} _{l}}b_{m}^{*}(\mathbf {R} _{n})b_{m}(\mathbf {R} _{l})\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} )\varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{l})+b_{m}^{*}(0)\sum _{\mathbf {R} _{n}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\Delta U(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle =b_{m}^{*}(\mathbf {0} )b_{m}(\mathbf {0} )\ N\int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} )H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} )\varphi _{m}(\mathbf {r} )+b_{m}^{*}(0)\sum _{\mathbf {R} _{n}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\Delta U(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \approx E_{m}+b_{m}^{*}(0)\sum _{\mathbf {R} _{n}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\ \int d^{3}r\ \varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\Delta U(\mathbf {r} )\psi _{m}(\mathbf {r} )\ .}$

ในขั้นตอนสุดท้ายนี้ สมมติว่าค่าอินทิกรัลการซ้อนทับเป็นศูนย์ ดังนั้นพลังงานจึงกลายเป็น ${\displaystyle b_{m}^{*}(\mathbf {0} )b_{m}(\mathbf {0} )={\frac {1}{N}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{m}(\mathbf {k} )=E_{m}-N\ |b_{m}(0)|^{2}\left(\beta _{m}+\sum _{\mathbf {R} _{n}\neq 0}\sum _{l}\gamma _{m,l}(\mathbf {R} _{n})e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\right)\ ,}$

${\displaystyle =E_{m}-\ {\frac {\beta _{m}+\sum _{\mathbf {R} _{n}\neq 0}\sum _{l}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\gamma _{m,l}(\mathbf {R} _{n})}{\ \ 1+\sum _{\mathbf {R} _{n}\neq 0}\sum _{l}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\alpha _{m,l}(\mathbf {R} _{n})}}\ ,}$

โดยที่E _mคือพลังงานของ ระดับอะตอมที่ mและ, และ คือองค์ประกอบเมทริกซ์ไทต์ไบน์ดิงที่กล่าวถึงด้านล่าง ${\displaystyle \alpha _{m,l}}$${\displaystyle \beta _{m}}$${\displaystyle \gamma _{m,l}}$

องค์ประกอบดังกล่าวคือการเปลี่ยนแปลงพลังงานอะตอมอันเนื่องมาจากศักยภาพของอะตอมข้างเคียง โดยทั่วไปแล้วค่านี้จะค่อนข้างเล็ก หากมีค่ามาก หมายความว่าศักยภาพของอะตอมข้างเคียงมีอิทธิพลอย่างมากต่อพลังงานของอะตอมกลาง $${\displaystyle \beta _{m}=-\int {\varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} )\Delta U(\mathbf {r} )\varphi _{m}(\mathbf {r} )\,d^{3}r}{\text{,}}}$$

กลุ่มคำศัพท์ถัดไปคือเมทริกซ์อิลิเมนต์ระหว่างอะตอมระหว่างออร์บิทัลอะตอมmและlบนอะตอมที่อยู่ติดกัน เรียกอีกอย่างว่าพลังงานพันธะหรืออินทิกรัลสองศูนย์กลาง และเป็นคำศัพท์หลักในแบบจำลองไทต์ไบน์ดิง $${\displaystyle \gamma _{m,l}(\mathbf {R} _{n})=-\int {\varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} )\Delta U(\mathbf {r} )\varphi _{l}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\,d^{3}r}{\text{,}}}$$

เทอมกลุ่มสุดท้ายแสดงถึงปริพันธ์การทับซ้อนระหว่างออร์บิทัลอะตอมmและlบนอะตอมที่อยู่ติดกัน โดยทั่วไปแล้วค่าเหล่านี้จะมีขนาดเล็ก หากไม่เป็นเช่นนั้นแรงผลักของเปาลีจะมีอิทธิพลที่ไม่สามารถละเลยได้ต่อพลังงานของอะตอมกลาง $${\displaystyle \alpha _{m,l}(\mathbf {R} _{n})=\int {\varphi _{m}^{*}(\mathbf {r} )\varphi _{l}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})\,d^{3}r}{\text{,}}}$$

ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ค่าขององค์ประกอบเมทริกซ์ไม่มากนักเมื่อเทียบกับพลังงานไอออนไนเซชัน เนื่องจากศักยภาพของอะตอมข้างเคียงรอบอะตอมกลางมีจำกัด หากค่าไม่เล็กมาก แสดงว่าศักยภาพของอะตอมข้างเคียงรอบอะตอมกลางก็ไม่เล็กเช่นกัน ในกรณีนั้น แสดงว่าแบบจำลองไทต์ไบน์ดิงอาจไม่ใช่แบบจำลองที่ดีนักสำหรับการอธิบายโครงสร้างแถบพลังงานด้วยเหตุผลบางประการ เช่น ระยะห่างระหว่างอะตอมอาจน้อยเกินไป หรือประจุบนอะตอมหรือไอออนในแลตติซอาจไม่ถูกต้อง ${\displaystyle \beta _{m}}$${\displaystyle \beta _{m}}$

สามารถคำนวณ เมทริกซ์องค์ประกอบระหว่างอะตอมได้โดยตรงหากทราบฟังก์ชันคลื่นอะตอมและศักยภาพโดยละเอียด แต่ส่วนใหญ่แล้วมักจะไม่ทราบข้อมูลดังกล่าว จึงมีหลายวิธีในการหาพารามิเตอร์สำหรับเมทริกซ์องค์ประกอบเหล่านี้ พารามิเตอร์สามารถได้มาจากข้อมูลพลังงานพันธะเคมีพลังงานและสถานะเฉพาะที่จุดสมมาตรสูงบางจุดในโซนบริลลูอินสามารถประเมินได้ และค่าอินทิกรัลในเมทริกซ์องค์ประกอบสามารถจับคู่กับข้อมูลโครงสร้างแถบจากแหล่งข้อมูลอื่นได้ ${\displaystyle \gamma _{m,l}}$

ค่าเมทริกซ์การทับซ้อนระหว่างอะตอมควรมีค่าค่อนข้างน้อยหรือสามารถละเลยได้ หากมีค่ามาก นั่นแสดงว่าแบบจำลองไทต์ไบน์ดิงมีคุณค่าจำกัดสำหรับบางวัตถุประสงค์ การทับซ้อนที่มากแสดงว่าระยะห่างระหว่างอะตอมสั้นเกินไป ตัวอย่างเช่น ในโลหะและโลหะทรานซิชัน แถบ s หรือแถบ sp ที่กว้างสามารถปรับให้เข้ากับการคำนวณโครงสร้างแถบที่มีอยู่ได้ดีขึ้นโดยการแนะนำค่าเมทริกซ์เพื่อนบ้านที่อยู่ถัดไปและปริพันธ์การทับซ้อน แต่การปรับแบบนั้นไม่ได้ให้แบบจำลองที่มีประโยชน์มากนักสำหรับฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนของโลหะ แถบกว้างในวัสดุที่มีความหนาแน่นสูงจะอธิบายได้ดีกว่าโดยแบบจำลองอิเล็กตรอนอิสระเกือบทั้งหมด ${\displaystyle \alpha _{m,l}}$

แบบจำลองการยึดเหนี่ยวแน่นทำงานได้ดีเป็นพิเศษในกรณีที่ความกว้างของแถบมีขนาดเล็กและอิเล็กตรอนถูกจำกัดอย่างมาก เช่นในกรณีของแถบ d และแถบ f แบบจำลองนี้ยังให้ผลลัพธ์ที่ดีในกรณีของโครงสร้างผลึกแบบเปิด เช่น เพชรหรือซิลิคอน ซึ่งจำนวนเพื่อนบ้านมีน้อย แบบจำลองนี้สามารถรวมเข้ากับแบบจำลองอิเล็กตรอนอิสระเกือบทั้งหมดในแบบจำลองไฮบริด NFE-TB ได้อย่างง่ายดาย^{[ 2 ]}

ฟังก์ชัน Blochอธิบายสถานะอิเล็กตรอนในโครงตาข่ายผลึก แบบเป็นคาบ ฟังก์ชัน Bloch สามารถแสดงเป็นอนุกรมฟูริเยร์ได้^{[ 5 ]}

${\displaystyle \psi _{m}(\mathbf {k} ,\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{n}{a_{m}(\mathbf {R} _{n},\mathbf {r} )}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\ ,}$

โดยที่ แทนตำแหน่งอะตอมในโครงผลึกแบบคาบ คือเวกเตอร์คลื่นของฟังก์ชันบล็อกคือตำแหน่งอิเล็กตรอนคือดัชนีแถบพลังงาน และผลรวมนั้นครอบคลุมทุกตำแหน่งอะตอม ฟังก์ชันบล็อกเป็นคำตอบเฉพาะของฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนในศักยภาพผลึกแบบคาบที่สอดคล้องกับพลังงานและกระจายอยู่ทั่วปริมาตรผลึกทั้งหมด ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle m}$${\displaystyle N}$${\displaystyle E_{m}(\mathbf {k} )}$

โดยใช้ การวิเคราะห์ การแปลงฟูริเยร์ สามารถสร้าง ฟังก์ชันคลื่นที่จำเพาะในเชิงพื้นที่สำหรับ แถบพลังงานที่ mได้จากฟังก์ชันบล็อกหลายฟังก์ชัน:

${\displaystyle a_{m}(\mathbf {R} _{n},\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k} }{e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\psi _{m}(\mathbf {k} ,\mathbf {r} )}={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k} }{e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})}u_{m}(\mathbf {k} ,\mathbf {r} )}.}$

ฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิจริงเหล่านี้เรียกว่าฟังก์ชันวานเนียร์และจะอยู่ใกล้กับตำแหน่งอะตอมมากพอสมควรแน่นอนว่า หากเรามีฟังก์ชันวานเนียร์ ที่แน่นอน แล้ว ฟังก์ชันบล็อกที่แน่นอนก็สามารถหาได้โดยใช้การแปลงฟูริเยร์ผกผัน ${\displaystyle {a_{m}(\mathbf {R} _{n},\mathbf {r} )}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$

อย่างไรก็ตาม การคำนวณ ฟังก์ชัน Blochหรือฟังก์ชัน Wannierโดยตรงนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายจำเป็นต้องใช้วิธีการประมาณในการคำนวณโครงสร้างอิเล็กตรอนของของแข็ง หากเราพิจารณากรณีสุดขั้วของอะตอมที่แยกตัวโดดเดี่ยว ฟังก์ชัน Wannier จะกลายเป็นวงโคจรอะตอมที่แยกตัวโดดเดี่ยว ข้อจำกัดนั้นชี้ให้เห็นถึงการเลือกใช้ฟังก์ชันคลื่นอะตอมเป็นรูปแบบโดยประมาณสำหรับฟังก์ชัน Wannier ซึ่งเรียกว่าการประมาณแบบไทต์ไบน์ดิง

คำอธิบายสมัยใหม่ของโครงสร้างอิเล็กตรอน เช่นแบบจำลอง tJและแบบจำลอง Hubbardนั้นอิงตามแบบจำลอง tight binding ^{[ 6 ]}สามารถเข้าใจ tight binding ได้โดยการทำงานภายใต้รูปแบบ ควอนตัมที่สอง

เมื่อใช้ออร์บิทัลอะตอมเป็นสถานะพื้นฐาน ตัวดำเนินการแฮมิลโทเนียนควอนตัมลำดับที่สองในกรอบงานไทต์ไบน์ดิงสามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle H=-t\sum _{\langle i,j\rangle ,\sigma }(c_{i,\sigma }^{\dagger }c_{j,\sigma }^{}+h.c.)}$,

${\displaystyle c_{i\sigma }^{\dagger },c_{j\sigma }}$- ตัวดำเนินการสร้างและทำลาย

${\displaystyle \displaystyle \sigma }$- การโพลาไรซ์สปิน

${\displaystyle \displaystyle t}$- อินทิกรัลการกระโดด

${\displaystyle \displaystyle \langle i,j\rangle }$- ดัชนีเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด

${\displaystyle \displaystyle h.c.}$- คอนจูเกตเฮอร์มิเชียนของคำอื่นๆ

ในที่นี้ อินทิกรัลการกระโดดสอดคล้องกับอินทิกรัลการถ่ายโอนในแบบจำลองไทต์ไบน์ดิง เมื่อพิจารณากรณีสุดขั้วของเป็นไปไม่ได้ที่อิเล็กตรอนจะกระโดดไปยังไซต์ข้างเคียง กรณีนี้คือระบบอะตอมที่แยกตัว หากเปิดใช้งานเทอมการกระโดด ( ) อิเล็กตรอนสามารถอยู่ในทั้งสองไซต์ได้ ทำให้ พลังงานจลน์ลดลง${\displaystyle \displaystyle t}$${\displaystyle \displaystyle \gamma }$${\displaystyle t\rightarrow 0}$${\displaystyle \displaystyle t>0}$

ในระบบอิเล็กตรอนที่มีความสัมพันธ์กันอย่างมาก จำเป็นต้องพิจารณาปฏิสัมพันธ์ระหว่างอิเล็กตรอน เทอมนี้สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \displaystyle H_{ee}={\frac {1}{2}}\sum _{n,m,\sigma }\langle n_{1}m_{1},n_{2}m_{2}|{\frac {e^{2}}{|r_{1}-r_{2}|}}|n_{3}m_{3},n_{4}m_{4}\rangle c_{n_{1}m_{1}\sigma _{1}}^{\dagger }c_{n_{2}m_{2}\sigma _{2}}^{\dagger }c_{n_{4}m_{4}\sigma _{2}}c_{n_{3}m_{3}\sigma _{1}}}$

แฮมิลโทเนียนปฏิสัมพันธ์นี้ประกอบด้วย พลังงานปฏิสัมพันธ์ คูลอมบ์ โดยตรง และพลังงานปฏิสัมพันธ์แลกเปลี่ยนระหว่างอิเล็กตรอน มีปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์ใหม่ๆ หลายอย่างที่เกิดขึ้นจากพลังงานปฏิสัมพันธ์ระหว่างอิเล็กตรอนนี้ เช่นการเปลี่ยนสถานะจากโลหะเป็นฉนวน (MIT) สภาพนำยิ่งยวด ที่ อุณหภูมิสูงและการเปลี่ยนสถานะควอนตัม หลายอย่าง

ในที่นี้ แบบจำลองการยึดเหนี่ยวแน่น (tight binding model) แสดงให้เห็นโดยใช้แบบจำลองแถบ sสำหรับสายของอะตอมที่มีออร์บิทัล s เพียงตัวเดียว เรียงเป็นเส้นตรง โดยมีระยะห่างaและพันธะ σระหว่างตำแหน่งอะตอม

ในการหาค่าไอเกนสเตตโดยประมาณของแฮมิลโทเนียน เราสามารถใช้การรวมเชิงเส้นของออร์บิทัลอะตอมได้

${\displaystyle |k\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{n=1}^{N}e^{inka}|n\rangle }$

โดยที่N = จำนวนไซต์ทั้งหมด และเป็นพารามิเตอร์จริงที่มี(ฟังก์ชันคลื่นนี้ถูกทำให้เป็นมาตรฐานให้มีค่าเท่ากับหนึ่งโดยใช้ตัวประกอบนำหน้า 1/√N หากไม่พิจารณาการทับซ้อนของฟังก์ชันคลื่นอะตอม) เมื่อสมมติว่ามีการทับซ้อนเฉพาะระหว่างเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดเท่านั้น เมทริกซ์องค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวของแฮมิลโทเนียนสามารถแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle k}$${\displaystyle -{\frac {\pi }{a}}\leqq k\leqq {\frac {\pi }{a}}}$

${\displaystyle \langle n|H|n\rangle =E_{0}=E_{i}-U\ .}$

${\displaystyle \langle n\pm 1|H|n\rangle =-\Delta \ }$

${\displaystyle \langle n|n\rangle =1\ ;}$${\displaystyle \langle n\pm 1|n\rangle =S\ .}$

พลังงานE _iคือพลังงานไอออนไนเซชันที่สอดคล้องกับออร์บิทัลอะตอมที่เลือก และUคือการเปลี่ยนแปลงพลังงานของออร์บิทัลอันเป็นผลมาจากศักยภาพของอะตอมข้างเคียงองค์ประกอบ ซึ่งก็คือองค์ประกอบเมทริกซ์ระหว่างอะตอมของสเลเตอร์และคอสเตอร์คือพลังงานพันธะในแบบจำลองแถบ s แบบหนึ่งมิตินี้ เรามีเพียงพันธะ π ระหว่างออร์บิทัล s ที่มีพลังงานพันธะπ การทับซ้อนระหว่างสถานะบนอะตอมข้างเคียงคือSเราสามารถหาพลังงานของสถานะได้โดยใช้สมการข้างต้น: ${\displaystyle \langle n\pm 1|H|n\rangle =-\Delta }$${\displaystyle E_{i,j}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle E_{s,s}=V_{ss\sigma }}$${\displaystyle |k\rangle }$

${\displaystyle H|k\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{n}e^{inka}H|n\rangle }$

${\displaystyle \langle k|H|k\rangle ={\frac {1}{N}}\sum _{n,\ m}e^{i(n-m)ka}\langle m|H|n\rangle }$${\displaystyle ={\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n|H|n\rangle +{\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n-1|H|n\rangle e^{+ika}+{\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n+1|H|n\rangle e^{-ika}}$${\displaystyle =E_{0}-2\Delta \,\cos(ka)\ ,}$

โดยที่ ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n|H|n\rangle =E_{0}{\frac {1}{N}}\sum _{n}1=E_{0}\ ,}$

และ

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n-1|H|n\rangle e^{+ika}=-\Delta e^{ika}{\frac {1}{N}}\sum _{n}1=-\Delta e^{ika}\ .}$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n-1|n\rangle e^{+ika}=Se^{ika}{\frac {1}{N}}\sum _{n}1=Se^{ika}\ .}$

ดังนั้น พลังงานของสถานะนี้จึงสามารถแสดงได้ในรูปแบบที่คุ้นเคยของการกระจายพลังงาน: ${\displaystyle |k\rangle }$

${\displaystyle E(k)={\frac {E_{0}-2\Delta \,\cos(ka)}{1+2S\,\cos(ka)}}}$.

• เนื่องจากพลังงาน และสถานะประกอบด้วยผลรวมของออร์บิทัลอะตอมทั้งหมด สถานะนี้สามารถมองได้ว่าเป็นสายโซ่ของ ออร์บิทั ลพันธะ${\displaystyle k=0}$${\displaystyle E=(E_{0}-2\Delta )/(1+2S)}$
• เนื่องจากพลังงาน และสถานะดังกล่าวประกอบด้วยผลรวมของออร์บิทัลอะตอมซึ่งมีเฟสต่างกัน สถานะนี้สามารถมองได้ว่าเป็นสายโซ่ของ ออร์บิทั ลที่ไม่เกิดพันธะ${\displaystyle k=\pi /(2a)}$${\displaystyle E=E_{0}}$${\displaystyle e^{i\pi /2}}$
• สุดท้ายนี้พลังงาน และสถานะดังกล่าวประกอบด้วยผลรวมสลับกันของออร์บิทัลอะตอม สถานะนี้สามารถมองได้ว่าเป็นโซ่ของ ออร์บิทั ลต้านพันธะ${\displaystyle k=\pi /a}$${\displaystyle E=(E_{0}+2\Delta )/(1-2S)}$

ตัวอย่างนี้สามารถขยายไปยังสามมิติได้อย่างง่ายดาย เช่น ไปยังแลตทิซลูกบาศก์ศูนย์กลางตัวหรือลูกบาศก์ศูนย์กลางหน้าโดยการแนะนำตำแหน่งเวกเตอร์เพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดแทนที่จะใช้na เพียงอย่าง เดียว^{[ 7 ]}ในทำนองเดียวกัน วิธีนี้สามารถขยายไปยังแถบหลายแถบโดยใช้ออร์บิทัลอะตอมที่แตกต่างกันหลายตัวในแต่ละไซต์ สูตรทั่วไปข้างต้นแสดงให้เห็นว่าการขยายเหล่านี้สามารถทำได้อย่างไร

ในปี พ.ศ. 2497 JC Slater และ GF Koster ได้ตีพิมพ์ ตารางองค์ประกอบเมทริกซ์ระหว่างอะตอมซึ่งส่วนใหญ่ใช้สำหรับการคำนวณ แถบ d ของ โลหะทรานซิชัน^{[ 1 ]}

${\displaystyle E_{i,j}({\vec {\mathbf {r} }}_{n,n'})=\langle n,i|H|n',j\rangle }$

ซึ่งสามารถหาได้โดยตรงจากออร์บิทัลฮาร์มอนิกทรงลูกบาศก์ตารางแสดงองค์ประกอบเมทริกซ์เป็นฟังก์ชันของปริพันธ์พันธะสองศูนย์กลางLCAOระหว่างออร์บิทัลฮาร์มอนิกทรงลูกบาศก์สองตัวiและjบนอะตอมที่อยู่ติดกัน ปริพันธ์พันธะเหล่านี้ได้แก่, และสำหรับ พันธะ ซิกมาไพและเดลต้า(โปรดสังเกตว่าปริพันธ์เหล่านี้ควรขึ้นอยู่กับระยะห่างระหว่างอะตอมด้วย กล่าวคือเป็นฟังก์ชันของแม้ว่าจะไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจนทุกครั้งก็ตาม) ${\displaystyle V_{ss\sigma }}$${\displaystyle V_{pp\pi }}$${\displaystyle V_{dd\delta }}$${\displaystyle (l,m,n)}$

เวกเตอร์ระหว่างอะตอมแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle {\vec {\mathbf {r} }}_{n,n'}=(r_{x},r_{y},r_{z})=d(l,m,n)}$

โดยที่dคือระยะห่างระหว่างอะตอม และl , mและnคือค่าโคไซน์ทิศทางไปยังอะตอมข้างเคียง

${\displaystyle E_{s,s}=V_{ss\sigma }}$

${\displaystyle E_{s,x}=lV_{sp\sigma }}$

${\displaystyle E_{x,x}=l^{2}V_{pp\sigma }+(1-l^{2})V_{pp\pi }}$

${\displaystyle E_{x,y}=lmV_{pp\sigma }-lmV_{pp\pi }}$

${\displaystyle E_{x,z}=lnV_{pp\sigma }-lnV_{pp\pi }}$

${\displaystyle E_{s,xy}={\sqrt {3}}lmV_{sd\sigma }}$

${\displaystyle E_{s,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}(l^{2}-m^{2})V_{sd\sigma }}$

${\displaystyle E_{s,3z^{2}-r^{2}}=[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{sd\sigma }}$

${\displaystyle E_{x,xy}={\sqrt {3}}l^{2}mV_{pd\sigma }+m(1-2l^{2})V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{x,yz}={\sqrt {3}}lmnV_{pd\sigma }-2lmnV_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{x,zx}={\sqrt {3}}l^{2}nV_{pd\sigma }+n(1-2l^{2})V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{x,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}l(l^{2}-m^{2})V_{pd\sigma }+l(1-l^{2}+m^{2})V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{y,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}m(l^{2}-m^{2})V_{pd\sigma }-m(1+l^{2}-m^{2})V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{z,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}n(l^{2}-m^{2})V_{pd\sigma }-n(l^{2}-m^{2})V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{x,3z^{2}-r^{2}}=l[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{pd\sigma }-{\sqrt {3}}ln^{2}V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{y,3z^{2}-r^{2}}=m[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{pd\sigma }-{\sqrt {3}}mn^{2}V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{z,3z^{2}-r^{2}}=n[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{pd\sigma }+{\sqrt {3}}n(l^{2}+m^{2})V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{xy,xy}=3l^{2}m^{2}V_{dd\sigma }+(l^{2}+m^{2}-4l^{2}m^{2})V_{dd\pi }+(n^{2}+l^{2}m^{2})V_{dd\delta }}$

${\displaystyle E_{xy,yz}=3lm^{2}nV_{dd\sigma }+ln(1-4m^{2})V_{dd\pi }+ln(m^{2}-1)V_{dd\delta }}$

${\displaystyle E_{xy,zx}=3l^{2}mnV_{dd\sigma }+mn(1-4l^{2})V_{dd\pi }+mn(l^{2}-1)V_{dd\delta }}$

${\displaystyle E_{xy,x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{2}}lm(l^{2}-m^{2})V_{dd\sigma }+2lm(m^{2}-l^{2})V_{dd\pi }+[lm(l^{2}-m^{2})/2]V_{dd\delta }}$

${\displaystyle E_{yz,x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{2}}mn(l^{2}-m^{2})V_{dd\sigma }-mn[1+2(l^{2}-m^{2})]V_{dd\pi }+mn[1+(l^{2}-m^{2})/2]V_{dd\delta }}$

${\displaystyle E_{zx,x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{2}}nl(l^{2}-m^{2})V_{dd\sigma }+nl[1-2(l^{2}-m^{2})]V_{dd\pi }-nl[1-(l^{2}-m^{2})/2]V_{dd\delta }}$

${\displaystyle E_{xy,3z^{2}-r^{2}}={\sqrt {3}}\left[lm(n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2)V_{dd\sigma }-2lmn^{2}V_{dd\pi }+[lm(1+n^{2})/2]V_{dd\delta }\right]}$

${\displaystyle E_{yz,3z^{2}-r^{2}}={\sqrt {3}}\left[mn(n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2)V_{dd\sigma }+mn(l^{2}+m^{2}-n^{2})V_{dd\pi }-[mn(l^{2}+m^{2})/2]V_{dd\delta }\right]}$

${\displaystyle E_{zx,3z^{2}-r^{2}}={\sqrt {3}}\left[ln(n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2)V_{dd\sigma }+ln(l^{2}+m^{2}-n^{2})V_{dd\pi }-[ln(l^{2}+m^{2})/2]V_{dd\delta }\right]}$

${\displaystyle E_{x^{2}-y^{2},x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{4}}(l^{2}-m^{2})^{2}V_{dd\sigma }+[l^{2}+m^{2}-(l^{2}-m^{2})^{2}]V_{dd\pi }+[n^{2}+(l^{2}-m^{2})^{2}/4]V_{dd\delta }}$

${\displaystyle E_{x^{2}-y^{2},3z^{2}-r^{2}}={\sqrt {3}}\left[(l^{2}-m^{2})[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{dd\sigma }/2+n^{2}(m^{2}-l^{2})V_{dd\pi }+[(1+n^{2})(l^{2}-m^{2})/4]V_{dd\delta }\right]}$

${\displaystyle E_{3z^{2}-r^{2},3z^{2}-r^{2}}=[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]^{2}V_{dd\sigma }+3n^{2}(l^{2}+m^{2})V_{dd\pi }+{\frac {3}{4}}(l^{2}+m^{2})^{2}V_{dd\delta }}$

ไม่ได้ระบุเมทริกซ์องค์ประกอบระหว่างอะตอมทั้งหมดไว้ในตารางนี้ เมทริกซ์องค์ประกอบที่ไม่ได้ระบุไว้ในตารางนี้สามารถสร้างขึ้นได้โดยการสลับดัชนีและทิศทางโคไซน์ของเมทริกซ์องค์ประกอบอื่นๆ ในตาราง โปรดทราบว่าการสลับดัชนีวงโคจรนั้นเหมือนกับการผกผันเชิงพื้นที่ ตามคุณสมบัติพาริตีของฮาร์มอนิกทรงกลม . อินทิกรัลพันธะเป็นสัดส่วนกับอินทิกรัลของผลคูณของฮาร์มอนิกทรงกลมจริงสองตัว ฮาร์มอนิกทรงกลมจริง (เช่นฟังก์ชัน) มีคุณสมบัติพาริตีเช่นเดียวกับฮาร์มอนิกทรงกลมเชิงซ้อน จากนั้นอินทิกรัลพันธะจะแปลงภายใต้การผกผัน (เช่น การสลับวงโคจร) เป็น โดยมีโมเมนตัมเชิงมุมและเลขควอนตัมแม่เหล็ก ตัวอย่างเช่นและ . ${\displaystyle Y_{M}^{L}(-\mathbf {r} )=(-1)^{l}Y_{M}^{L}(\mathbf {r} )}$${\displaystyle p_{x},p_{y},p_{z},d_{xy},\cdots }$${\displaystyle V_{L'LM}=(-1)^{L+L'}V_{LL'M}}$${\displaystyle L,~L',~M}$${\displaystyle E_{x,s}=-lV_{sp\sigma }=-E_{s,x}}$${\displaystyle E_{y,x}=E_{x,y}}$

• Walter Ashley Harrison (1989). โครงสร้างอิเล็กตรอนและคุณสมบัติของของแข็ง . สำนักพิมพ์ Dover. ISBN 0-486-66021-4.
• NW Ashcroft และ ND Mermin (1976). ฟิสิกส์ของของแข็ง . โทรอนโต: Thomson Learning.
• เดวีส์, จอห์น เอช. (1998). ฟิสิกส์ของสารกึ่งตัวนำมิติlต่ำ: บทนำ . เคมบริดจ์ สหราชอาณาจักร: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 0-521-48491-X.
• Goringe, CM; Bowler, DR; Hernández, E (1997). "การสร้างแบบจำลองวัสดุด้วยพันธะแน่น" รายงานความก้าวหน้าทางฟิสิกส์ 60 ( 12): 1447– 1512. Bibcode : 1997RPPh...60.1447G . doi : 10.1088/0034-4885/60/12/001 . S2CID  250846071 .
• Slater, JC; Koster, GF (1954). "วิธี LCAO แบบง่ายสำหรับปัญหาศักยภาพแบบคาบ". Physical Review . 94 (6): 1498– 1524. Bibcode : 1954PhRv...94.1498S . doi : 10.1103/PhysRev.94.1498 .

• ทฤษฎีสนามผลึก วิธีการยึดเหนี่ยวแน่น และปรากฏการณ์จาห์น-เทลเลอร์ใน E. Pavarini, E. Koch, F. Anders และ M. Jarrell (บรรณาธิการ): อิเล็กตรอนสัมพันธ์: จากแบบจำลองสู่วัสดุ, กรกฎาคม 2012, ISBN 978-3-89336-796-2
• Tight-Binding Studio : ชุดซอฟต์แวร์ทางเทคนิคสำหรับค้นหาพารามิเตอร์ของแฮมิลโทเนียนแบบไทต์ไบน์ดิง