ในคณิตศาสตร์ประยุกต์การวิเคราะห์ข้อมูลเชิงทอพอโลยี ( TDA ) เป็นวิธีการวิเคราะห์ชุดข้อมูลโดยใช้เทคนิคจากทอพอโลยีการสกัดข้อมูลจากชุดข้อมูลที่มีมิติสูง ไม่สมบูรณ์ และมีสัญญาณรบกวนนั้นโดยทั่วไปเป็นเรื่องท้าทาย TDA ให้กรอบการทำงานทั่วไปในการวิเคราะห์ข้อมูลดังกล่าวในลักษณะที่ไม่ขึ้นอยู่กับตัวชี้วัด เฉพาะ ที่เลือกใช้ และให้การลดมิติและความทนทานต่อสัญญาณรบกวน นอกจากนี้ ยังสืบทอด คุณสมบัติ เชิงฟังก์ชันซึ่งเป็นแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ จากธรรมชาติเชิงทอพอโลยี ทำให้สามารถปรับตัวให้เข้ากับเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ใหม่ๆ ได้

แรงจูงใจเริ่มต้นคือการศึกษาลักษณะของข้อมูล TDA ได้ผสมผสานโทโพโลยีเชิงพีชคณิตและเครื่องมืออื่นๆ จากคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ เพื่อให้สามารถศึกษา "รูปร่าง" ได้อย่างเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ เครื่องมือหลักคือเพอร์ซิสเตนต์โฮโมโลยีซึ่งเป็นการปรับใช้โฮโมโลยีกับ ข้อมูล จุดเมฆ เพอร์ซิสเตนต์โฮโมโลยีถูกนำไปใช้กับข้อมูลหลายประเภทในหลายสาขา นอกจากนี้ พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของมันยังมีความสำคัญทางทฤษฎีอีกด้วย คุณสมบัติเฉพาะของ TDA ทำให้มันเป็นสะพานเชื่อมที่น่าสนใจระหว่างโทโพโลยีและเรขาคณิต

TDA ตั้งอยู่บนแนวคิดที่ว่ารูปร่างของชุดข้อมูลมีข้อมูลที่เกี่ยวข้อง ข้อมูลที่มีมิติสูงในความเป็นจริงมักจะกระจัดกระจาย และมีแนวโน้มที่จะมีคุณลักษณะที่มีมิติต่ำที่เกี่ยวข้อง งานหนึ่งของ TDA คือการให้ลักษณะเฉพาะที่แม่นยำของข้อเท็จจริงนี้ ตัวอย่างเช่น วิถีของระบบผู้ล่า-เหยื่ออย่างง่ายที่ควบคุมโดยสมการ Lotka–Volterra ^{[ 1 ]}ก่อให้เกิดวงกลมปิดในปริภูมิสถานะ TDA มีเครื่องมือในการตรวจจับและวัดปริมาณการเคลื่อนไหวแบบวนซ้ำดังกล่าว^{[ 2 ]}

อัลกอริทึมสำหรับการวิเคราะห์ข้อมูลจำนวนมาก รวมถึงอัลกอริทึมที่ใช้ใน TDA จำเป็นต้องตั้งค่าพารามิเตอร์ต่างๆ หากไม่มีความรู้เกี่ยวกับโดเมน มาก่อน การเลือกชุดพารามิเตอร์ที่ถูกต้องสำหรับชุดข้อมูลจึงเป็นเรื่องยาก แนวคิดหลักของpersistent homologyคือการใช้ข้อมูลที่ได้จากค่าพารามิเตอร์ทั้งหมดโดยการเข้ารหัสข้อมูลจำนวนมหาศาลนี้ให้อยู่ในรูปแบบที่เข้าใจได้และง่ายต่อการนำเสนอ ใน TDA จะมีการตีความทางคณิตศาสตร์เมื่อข้อมูลเป็นกลุ่ม homologyโดยทั่วไปแล้ว สมมติฐานคือคุณลักษณะที่คงอยู่สำหรับพารามิเตอร์ที่หลากหลายถือเป็นคุณลักษณะ "ที่แท้จริง" คุณลักษณะที่คงอยู่สำหรับพารามิเตอร์ที่แคบเท่านั้นจะถือว่าเป็นสัญญาณรบกวน แม้ว่าเหตุผลทางทฤษฎีสำหรับเรื่องนี้จะไม่ชัดเจนก็ตาม^{[ 3 ]}

แนวคิดเบื้องต้นของโฮโมโลยีแบบคงอยู่ปรากฏขึ้นทีละน้อยเมื่อเวลาผ่านไป^{[ 4 ]}ในปี 1990 Patrizio Frosini ได้แนะนำระยะทางเสมือนระหว่างซับแมนิโฟลด์ และต่อมาฟังก์ชันขนาดซึ่งบนเส้นโค้ง 1 มิติเทียบเท่ากับโฮโมโลยีแบบคงอยู่ลำดับที่ 0 ^{[ 5 ] [ 6 ]}เกือบหนึ่งทศวรรษต่อมาVanessa Robinsได้ศึกษาภาพของโฮโมมอร์ฟิซึมที่เกิดจากการรวม^{[ 7 ]}ในที่สุด ไม่นานหลังจากนั้นHerbert Edelsbrunnerและคณะได้แนะนำแนวคิดของโฮโมโลยีแบบคงอยู่พร้อมกับอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพและการแสดงภาพเป็นแผนภาพความคงอยู่^{[ 8 ]} Gunnar Carlssonและคณะได้ปรับปรุงคำจำกัดความเริ่มต้นและให้วิธีการแสดงภาพที่เทียบเท่ากันเรียกว่า^บาร์โค้ดความคงอยู่ [ ^{9 ]}โดยตีความความคงอยู่ด้วยภาษาของพีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยน^{[ 10 ]}

ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิต โฮโมโลยีที่คงอยู่ได้เกิดขึ้นจากการทำงานของ Sergey Barannikov ในทฤษฎีมอร์ส เซตของค่าวิกฤตของฟังก์ชันมอร์สเรียบถูกแบ่งออกเป็นคู่ "เกิด-ตาย" ตามหลักการ คอมเพล็กซ์ที่กรองแล้วถูกจำแนกประเภท ตัวแปรคงที่ ซึ่งเทียบเท่ากับไดอะแกรมความคงอยู่และบาร์โค้ดความคงอยู่ พร้อมด้วยอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการคำนวณ ได้รับการอธิบายภายใต้ชื่อรูปแบบมาตรฐานในปี 1994 โดย Barannikov ^{[ 11 ] [ 12 ]}

แนวคิดที่ใช้กันอย่างแพร่หลายบางส่วนได้ถูกนำเสนอไว้ด้านล่างนี้ โปรดทราบว่าคำจำกัดความบางอย่างอาจแตกต่างกันไปในแต่ละผู้เขียน

กลุ่มจุดมักถูกนิยามว่าเป็นเซตของจุดจำนวนจำกัดในปริภูมิยูคลิดแต่ก็อาจนิยามว่าเป็นปริภูมิเมตริกจำนวนจำกัดใดๆ ก็ได้

กลุ่มจุดČech คือ โครงข่ายประสาทเทียมที่ประกอบด้วยทรงกลมรัศมีคงที่ล้อมรอบแต่ละจุดในกลุ่มจุดนั้น

โมดูลความคงทน ที่จัดทำดัชนีโดยเป็นปริภูมิเวกเตอร์สำหรับแต่ละและแผนที่เชิงเส้นเมื่อใดก็ตามที่ โดยที่สำหรับทุกและเมื่อใดก็ตามที่^{[ 13 ]}คำจำกัดความที่เทียบเท่ากันคือฟังก์ชันจากที่ถือว่าเป็นเซตที่มีลำดับบางส่วนไปยังหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์ ${\displaystyle \mathbb {U} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle U_{t}}$${\displaystyle t\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle u_{t}^{s}\colon U_{s}\to U_{t}}$${\displaystyle s\leq t}$${\displaystyle u_{t}^{t}=1}$${\displaystyle t}$${\displaystyle u_{t}^{s}u_{s}^{r}=u_{t}^{r}}$${\displaystyle r\leq s\leq t.}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

กลุ่มโฮโมโลยีแบบคงที่ ของกลุ่มจุดคือโมดูลความคงที่ซึ่งกำหนดโดย โดยที่คือคอมเพล็กซ์ Čech ที่มีรัศมีของกลุ่มจุดและคือกลุ่มโฮโมโลยี ${\displaystyle PH}$${\displaystyle PH_{k}(X)=\prod H_{k}(X_{r})}$${\displaystyle X_{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H_{k}}$

บาร์โค้ดความคงทนคือมัลติเซตของช่วงเวลาในและไดอะแกรมความคงทนคือมัลติเซตของจุดใน( ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle :=\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{2}\mid u,v\geq 0,u\leq v\}}$

ระยะทาง Wassersteinระหว่างไดอะแกรมความคงทนสองอันและถูกกำหนดเป็น โดยที่และครอบคลุมการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างและโปรดดูรูปที่ 3.1 ใน Munch ^{[ 14 ]}สำหรับภาพประกอบ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle W_{p}[L_{q}](X,Y):=\inf _{\varphi :X\to Y}\left[\sum _{x\in X}(\Vert x-\varphi (x)\Vert _{q})^{p}\right]^{1/p}}$$${\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

ระยะทางคอขวดระหว่างและคือนี่เป็นกรณีพิเศษของระยะทาง Wasserstein โดยกำหนดให้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle W_{\infty }[L_{q}](X,Y):=\inf _{\varphi :X\to Y}\sup _{x\in X}\Vert x-\varphi (x)\Vert _{q}.}$$${\displaystyle p=\infty }$

ทฤษฎีบทการจำแนกประเภทแรกสำหรับโฮโมโลยีแบบคงอยู่ปรากฏขึ้นในปี 1994 ^{[ 11 ]}ผ่านรูปแบบแคนอนิกของ Barannikov ทฤษฎีบท การจำแนกประเภทที่ตีความความคงอยู่ในภาษาของพีชคณิตเชิงสลับปรากฏขึ้นในปี 2005: ^{[ 10 ]}สำหรับโมดูลความคงอยู่ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดด้วยสัมประสิทธิ์ ฟิลด์ ตามสัญชาตญาณ ส่วนที่เป็นอิสระจะสอดคล้องกับตัวสร้างโฮโมโลยีที่ปรากฏในระดับการกรองและไม่เคยหายไป ในขณะที่ส่วนที่บิดเบี้ยวจะสอดคล้องกับส่วนที่ปรากฏในระดับการกรองและคงอยู่เป็นขั้นตอนของการกรอง (หรือเทียบเท่ากับหายไปในระดับการกรอง) ^{[ 11 ]}${\displaystyle C}$${\displaystyle F}$$${\displaystyle H(C;F)\simeq \bigoplus _{i}x^{t_{i}}\cdot F[x]\oplus \left(\bigoplus _{j}x^{r_{j}}\cdot (F[x]/(x^{s_{j}}\cdot F[x]))\right).}$$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle r_{j}}$${\displaystyle s_{j}}$${\displaystyle s_{j}+r_{j}}$

โฮโมโลจีแบบคงอยู่ (Persistent homology) สามารถมองเห็นได้ด้วยบาร์โค้ดหรือแผนภาพความคงอยู่ บาร์โค้ดมีรากฐานมาจากคณิตศาสตร์นามธรรม กล่าวคือ หมวดหมู่ของคอมเพล็กซ์แบบกรองจำกัดเหนือฟิลด์นั้นเป็นแบบกึ่งง่าย (semi-simple) คอมเพล็กซ์แบบกรองใดๆ ก็ตามจะสม isomorphic กับรูปแบบมาตรฐาน (canonical form) ซึ่งเป็นผลรวมโดยตรงของคอมเพล็กซ์แบบกรองแบบง่ายหนึ่งมิติและสองมิติ

ความเสถียรเป็นสิ่งที่พึงปรารถนาเพราะให้ความทนทานต่อสัญญาณรบกวน หากเป็นพื้นที่ใดๆ ที่เป็นโฮโมมอร์ฟิกกับคอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียล และเป็นฟังก์ชัน tame ต่อเนื่อง^{[ 15 ]}แล้ว พื้นที่เวกเตอร์ความคงทนและจะถูกนำเสนออย่างจำกัด และโดยที่หมายถึงระยะทางคอขวด^{[ 16 ]}และเป็นแผนที่ที่นำฟังก์ชัน tame ต่อเนื่องไปยังไดอะแกรมความคงทนของโฮโมโลจีลำดับที่ -th ของมัน${\displaystyle X}$${\displaystyle f,g:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \{H_{k}(f^{-1}([0,r]))\}}$${\displaystyle \{H_{k}(g^{-1}([0,r]))\}}$${\displaystyle W_{\infty }(D(f),D(g))\leq \lVert f-g\rVert _{\infty }}$${\displaystyle W_{\infty }}$${\displaystyle D}$${\displaystyle k}$

ขั้นตอนการทำงานพื้นฐานใน TDA คือ: ^{[ 17 ]}

จุดเมฆ

${\displaystyle \to }$

คอมเพล็กซ์แบบซ้อนกัน

${\displaystyle \to }$

โมดูลความคงทน

${\displaystyle \to }$

บาร์โค้ดหรือแผนภาพ

1. ถ้าเป็นกลุ่มจุด ให้แทนที่ด้วยตระกูลของซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ แบบซ้อนกัน (เช่น คอมเพล็กซ์ Čech หรือ Vietoris-Rips) กระบวนการนี้จะแปลงกลุ่มจุดให้เป็นฟิลเทรชันของซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ การหาโฮโมโลจีของแต่ละคอมเพล็กซ์ในฟิลเทรชันนี้จะให้โมดูลความคงทน${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{r}}$$${\displaystyle H_{i}(X_{r_{0}})\to H_{i}(X_{r_{1}})\to H_{i}(X_{r_{2}})\to \cdots }$$
2. ใช้ทฤษฎีโครงสร้างเพื่อหาจำนวนเบ็ตติคงที่แผนภาพความคงที่หรือเทียบเท่ากับบาร์โค้ด

ในเชิงกราฟิก

อัลกอริทึมแรกสำหรับโฮโมโลยีแบบคงที่ในทุกฟิลด์ในการตั้งค่าโทโพโลยีเชิงพีชคณิตได้รับการอธิบายโดย Barannikov ^{[ 11 ]}ผ่านการลดรูปเป็นรูปแบบมาตรฐานโดยเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน อัลกอริทึมสำหรับโฮโมโลยีแบบคงที่ได้รับการเสนอโดย Edelsbrunner et al. ^{[ 8 ]} Afra Zomorodian และ Carlsson ได้เสนออัลกอริทึมเชิงปฏิบัติเพื่อคำนวณโฮโมโลยีแบบคงที่ในทุกฟิลด์^{[ 10 ]}หนังสือของ Edelsbrunner และ Harer ให้คำแนะนำทั่วไปเกี่ยวกับโทโพโลยีเชิงคำนวณ^{[ 19 ]}${\displaystyle F_{2}}$

ปัญหาหนึ่งที่เกิดขึ้นในการคำนวณคือการเลือกคอมเพล็กซ์คอมเพล็กซ์ Čechและคอมเพล็กซ์ Vietoris–Ripsดูเหมือนจะเป็นธรรมชาติที่สุดเมื่อมองแวบแรก อย่างไรก็ตาม ขนาดของพวกมันจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วตามจำนวนจุดข้อมูล คอมเพล็กซ์ Vietoris–Rips เป็นที่นิยมมากกว่าคอมเพล็กซ์ Čech เนื่องจากนิยามของมันง่ายกว่า และคอมเพล็กซ์ Čech ต้องใช้ความพยายามเพิ่มเติมในการกำหนดในปริภูมิเมตริกจำกัดทั่วไป มีการศึกษาถึงวิธีการที่มีประสิทธิภาพในการลดต้นทุนการคำนวณของโฮโมโลยี ตัวอย่างเช่น คอมเพล็กซ์ α และคอมเพล็กซ์พยานถูกใช้เพื่อลดมิติและขนาดของคอมเพล็กซ์^{[ 20 ]}

เมื่อเร็วๆ นี้ทฤษฎีมอร์สแบบไม่ต่อเนื่องได้แสดงให้เห็นถึงศักยภาพในการคำนวณโฮโมโลยี เนื่องจากสามารถลดคอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลที่กำหนดให้เป็นคอมเพล็กซ์เซลลูลาร์ที่เล็กกว่ามาก ซึ่งเป็นโฮโมโทปิกกับคอมเพล็กซ์ดั้งเดิม^{[ 21 ]}การลดขนาดนี้สามารถทำได้จริงในขณะที่คอมเพล็กซ์ถูกสร้างขึ้นโดยใช้ทฤษฎีแมทรอยด์ซึ่งนำไปสู่การเพิ่มประสิทธิภาพเพิ่มเติม^{[ 22 ]}อัลกอริทึมล่าสุดอีกตัวหนึ่งช่วยประหยัดเวลาโดยการละเว้นคลาสโฮโมโลยีที่มีความคงทนต่ำ^{[ 23 ]}

มีซอฟต์แวร์แพ็กเกจต่างๆ ให้เลือกใช้งาน เช่นjavaPlex , Dionysus , Perseus , PHAT , DIPHA , GUDHI , RipserและTDAstats Otter et al. ^{[ 24 ]} ได้ทำการเปรียบเทียบเครื่องมือเหล่านี้Giotto-tdaเป็นแพ็กเกจ Python ที่ออกแบบมาเพื่อบูรณาการ TDA เข้ากับเวิร์กโฟลว์การเรียนรู้ของเครื่องโดยใช้API ของscikit-learn [1] แพ็กเกจ R ชื่อ TDAสามารถคำนวณแนวคิดที่เพิ่งคิดค้นขึ้นมาใหม่ เช่น landscape และตัวประมาณระยะทางเคอร์เนลได้^{[ 25 ]} Topology ToolKitมีความเชี่ยวชาญสำหรับข้อมูลต่อเนื่องที่กำหนดบนแมนิโฟลด์มิติต่ำ (1, 2 หรือ 3) ซึ่งมักพบใน การแสดงภาพ ทางวิทยาศาสตร์Cubicle ได้รับการปรับให้เหมาะสมสำหรับข้อมูล ภาพระดับสีเทาขนาดใหญ่ (ระดับกิกะไบต์) ในมิติ 1, 2 หรือ 3 โดยใช้cubical complexesและทฤษฎี Morse แบบไม่ต่อเนื่องแพ็กเกจ R อีกตัวหนึ่งคือTDAstatsใช้ไลบรารี Ripser ในการคำนวณ persistent homology ^{[ 26 ]}

ข้อมูลที่มีมิติสูงนั้นไม่สามารถแสดงภาพโดยตรงได้ มีวิธีการมากมายที่ถูกคิดค้นขึ้นเพื่อแยกโครงสร้างที่มีมิติต่ำออกจากชุดข้อมูล เช่นการวิเคราะห์ส่วนประกอบหลักและการปรับขนาดหลายมิติ^{[ 27 ]}อย่างไรก็ตาม สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าปัญหาดังกล่าวเป็นปัญหาที่ไม่สมบูรณ์ เนื่องจากคุณลักษณะทางโทโพโลยีที่แตกต่างกันมากมายสามารถพบได้ในชุดข้อมูลเดียวกัน ดังนั้น การศึกษาเกี่ยวกับการแสดงภาพพื้นที่ที่มีมิติสูงจึงมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อ TDA แม้ว่าจะไม่จำเป็นต้องใช้โฮโมโลยีแบบถาวรก็ตาม อย่างไรก็ตาม มีความพยายามล่าสุดในการใช้โฮโมโลยีแบบถาวรในการแสดงภาพข้อมูล^{[ 28 ]}

Carlsson และคณะได้เสนอวิธีการทั่วไปที่เรียกว่าMAPPER [ ^{29 ] ซึ่ง}สืบทอดแนวคิดของJean-Pierre Serreที่ว่าการครอบคลุมจะรักษาโฮโมโทปี^{[ 30 ]}การกำหนดสูตรทั่วไปของ MAPPER มีดังนี้:

ให้และเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และให้เป็นแผนที่ต่อเนื่อง ให้เป็นการคลุมแบบเปิดจำกัดของผลลัพธ์ของ MAPPER คือเส้นประสาทของการคลุมแบบดึงกลับโดยที่ภาพก่อนหน้าแต่ละภาพจะถูกแยกออกเป็นส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน^{[ 28 ]}นี่เป็นแนวคิดทั่วไปมาก ซึ่งกราฟ Reeb ^{[ 31 ]}และต้นไม้ผสานเป็นกรณีพิเศษ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f\colon X\to Z}$${\displaystyle \mathbb {U} =\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$${\displaystyle Z}$${\textstyle M(\mathbb {U} ,f):=N(f^{-1}(\mathbb {U} ))}$

นี่ไม่ใช่คำจำกัดความดั้งเดิมเสียทีเดียว^{[ 29 ]} Carlsson และคณะเลือกที่จะเป็นหรือและครอบคลุมด้วยเซตเปิดที่ตัดกันไม่เกินสองเซต^{[ 3 ]}ข้อจำกัดนี้หมายความว่าผลลัพธ์อยู่ในรูปแบบของเครือข่ายที่ซับซ้อนเนื่องจากโทโพโลยีของกลุ่มจุดจำกัดนั้นเรียบง่าย วิธีการจัดกลุ่ม (เช่นการเชื่อมโยงเดี่ยว ) จึงถูกใช้เพื่อสร้างสิ่งที่เทียบเคียงได้กับเซตที่เชื่อมต่อกันในภาพก่อนหน้าเมื่อใช้ MAPPER กับข้อมูลจริง ${\displaystyle Z}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$

ในทางคณิตศาสตร์ MAPPER เป็นรูปแบบหนึ่งของกราฟ Reebถ้ามีมิติไม่เกินหนึ่งมิติ สำหรับแต่ละ^{[ 32 ]}ความยืดหยุ่นที่เพิ่มเข้ามานี้ก็มีข้อเสียเช่นกัน ปัญหาหนึ่งคือความไม่เสถียร กล่าวคือ การเปลี่ยนแปลงบางอย่างในการเลือกปกคลุมอาจนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงครั้งใหญ่ของผลลัพธ์ของอัลกอริทึม^[ 33 ^{] มี}การดำเนินการเพื่อเอาชนะปัญหานี้^{[ 28 ]}${\textstyle M(\mathbb {U} ,f)}$${\displaystyle i\geq 0}$$${\displaystyle H_{i}(X)\simeq H_{0}(N(\mathbb {U} );{\hat {F}}_{i})\oplus H_{1}(N(\mathbb {U} );{\hat {F}}_{i-1}).}$$

แอปพลิเคชันที่ประสบความสำเร็จสามรายการของ MAPPER สามารถพบได้ใน Carlsson et al. ^{[ 34 ]}ความคิดเห็นเกี่ยวกับแอปพลิเคชันในเอกสารนี้โดย J. Curry คือ "คุณลักษณะทั่วไปที่น่าสนใจในแอปพลิเคชันคือการมีอยู่ของแฟลร์หรือเทนดริล" ^{[ 35 ]}

สามารถดาวน์โหลดโปรแกรม MAPPER เวอร์ชันฟรีที่เขียนโดย Daniel Müllner และ Aravindakshan Babu ได้ทางออนไลน์นอกจากนี้ MAPPER ยังเป็นพื้นฐานของแพลตฟอร์ม AI ของ Ayasdi อีกด้วย

ความคงอยู่แบบหลายมิติมีความสำคัญต่อ TDA แนวคิดนี้เกิดขึ้นทั้งในทางทฤษฎีและการปฏิบัติ การตรวจสอบความคงอยู่แบบหลายมิติครั้งแรกเกิดขึ้นในช่วงแรกของการพัฒนา TDA ^{[ 36 ]} Carlsson-Zomorodian ได้นำเสนอทฤษฎีความคงอยู่แบบหลายมิติใน^{[ 37 ]}และร่วมกับ Singh ^{[ 38 ]}ได้นำเสนอการใช้เครื่องมือจากพีชคณิตเชิงสัญลักษณ์ (วิธีการพื้นฐานของ Gröbner) เพื่อคำนวณโมดูล MPH คำจำกัดความของพวกเขานำเสนอความคงอยู่แบบหลายมิติที่มีพารามิเตอร์ n ตัวเป็นโมดูลแบบแบ่งระดับเหนือวงแหวนพหุนามในตัวแปร n ตัว เครื่องมือจากพีชคณิตเชิงสลับและเชิงโฮโมโลยีถูกนำมาใช้ในการศึกษาความคงอยู่แบบหลายมิติในงานของ Harrington-Otter-Schenck-Tillman ^{[ 39 ]}การประยุกต์ใช้ครั้งแรกที่ปรากฏในวรรณกรรมคือวิธีการเปรียบเทียบรูปร่าง ซึ่งคล้ายกับการคิดค้น TDA ^{[ 40 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

นิยามของ โมดูลความ ^คงทน แบบ nมิติใน[ ^{35 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• ปริภูมิเวกเตอร์ถูกกำหนดให้กับแต่ละจุดใน${\displaystyle V_{s}}$${\displaystyle s=(s_{1},\ldots ,s_{n})}$
• แผนที่จะถูกกำหนดหาก(${\displaystyle \rho _{s}^{t}\colon V_{s}\to V_{t}}$${\displaystyle s\leq t}$${\displaystyle s_{i}\leq t_{i},i=1,\ldots ,n)}$
• แผนที่ตอบสนองความต้องการของทุกคน${\displaystyle \rho _{r}^{t}=\rho _{s}^{t}\circ \rho _{r}^{s}}$${\displaystyle r\leq s\leq t}$

อาจเป็นที่น่าสังเกตว่ามีข้อโต้แย้งเกี่ยวกับคำจำกัดความของความคงอยู่แบบหลายมิติ^{[ 35 ]}

ข้อดีประการหนึ่งของความคงทนแบบหนึ่งมิติคือสามารถแสดงได้ด้วยแผนภาพหรือบาร์โค้ด อย่างไรก็ตาม ไม่มีตัวแปรคงที่ที่สมบูรณ์แบบไม่ต่อเนื่องของโมดูลความคงทนแบบหลายมิติ^{[ 41 ]}เหตุผลหลักคือโครงสร้างของชุดที่ไม่สามารถแยกส่วนได้นั้นซับซ้อนอย่างมากตามทฤษฎีบทของกาเบรียลในทฤษฎีการแสดงแทน ควีเวอร์ ^{[ 42 ]}แม้ว่าโมดูลความคงทน n มิติที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดจะสามารถแยกส่วนได้อย่างไม่ซ้ำกันเป็นผลรวมโดยตรงของสิ่งที่ไม่สามารถแยกส่วนได้เนื่องจากทฤษฎีบทของครูลล์-ชมิดท์^{[ 43 ]}

อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์หลายอย่างได้รับการพิสูจน์แล้ว คาร์ลสันและโซโมโรเดียนได้แนะนำค่าคงที่อันดับ ซึ่งกำหนดเป็น โดยที่เป็นโมดูล n-graded ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด ในมิติเดียว มันเทียบเท่ากับบาร์โค้ด ในวรรณกรรม ค่าคงที่อันดับมักถูกอ้างถึงว่าเป็นจำนวนเบ็ตติที่คงอยู่ (PBNs) ^{[ 19 ]}ในงานทฤษฎีหลายชิ้น ผู้เขียนได้ใช้คำจำกัดความที่จำกัดมากขึ้น ซึ่งเป็นแบบอย่างจากความคงอยู่ของเซตระดับย่อย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนเบ็ตติที่คงอยู่ของฟังก์ชันจะได้รับจากฟังก์ชันโดยที่แต่ละไปยังโดย ที่และ${\displaystyle \rho _{M}(u,v)}$${\displaystyle \rho _{M}(u,v)=\mathrm {rank} (x^{u-v}\colon M_{u}\to M_{v})}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \beta _{f}\colon \Delta ^{+}\to \mathrm {N} }$${\displaystyle (u,v)\in \Delta ^{+}}$${\displaystyle \beta _{f}(u,v):=\mathrm {rank} (H(X(f\leq u)\to H(X(f\leq v)))}$${\displaystyle \Delta ^{+}:=\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {R} ^{k}:u\leq v\}}$${\displaystyle X(f\leq u):=\{x\in X:f(x)\leq u\}}$

คุณสมบัติพื้นฐานบางประการ ได้แก่ ความเป็นเอกรูปและการกระโดดแนวทแยง^{[ 44 ]}จำนวน Betti ที่คงอยู่จะมีค่าจำกัดหากเป็นปริภูมิย่อยที่กระชับและหดตัวได้ในระดับท้องถิ่นของ^{[ 45 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

การใช้วิธีการแบ่งชั้นทำให้ PBN แบบ k มิติสามารถแยกย่อยเป็นตระกูลของ PBN แบบ 1 มิติได้โดยการหักล้างมิติ^{[ 46 ]}วิธีนี้ยังนำไปสู่การพิสูจน์ว่า PBN แบบหลายมิติมีเสถียรภาพ^{[ 47 ]}ความไม่ต่อเนื่องของ PBN เกิดขึ้นเฉพาะที่จุดที่เป็นจุดไม่ต่อเนื่องของหรือ เป็นจุดไม่ต่อเนื่องของภายใต้สมมติฐานที่ว่าและเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีแบบกะทัดรัดและสามารถสร้างสามเหลี่ยมได้^{[ 48 ]}${\displaystyle (u,v)(u\leq v)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \rho _{M}(\star ,v)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \rho (u,\star )}$${\displaystyle f\in C^{0}(X,\mathbb {R} ^{k})}$${\displaystyle X}$

พื้นที่คงอยู่ (Persistent space) ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของแผนภาพคงอยู่ (Persistent diagram) ถูกกำหนดให้เป็นเซตของจุดทั้งหมดที่มีความซ้ำซ้อนมากกว่า 0 และเส้นทแยงมุม^{[ 49 ]}ซึ่งให้การแสดง PBN ที่เสถียรและสมบูรณ์ งานที่กำลังดำเนินการอยู่โดย Carlsson et al. กำลังพยายามให้การตีความทางเรขาคณิตของโฮโมโลยีคงอยู่ ซึ่งอาจให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับวิธีการรวมทฤษฎีการเรียนรู้ของเครื่องเข้ากับการวิเคราะห์ข้อมูลเชิงโทโพโลยี^{[ 50 ]}

อัลกอริทึมเชิงปฏิบัติแรกในการคำนวณความคงทนแบบหลายมิติถูกคิดค้นขึ้นตั้งแต่ช่วงแรกๆ^{[ 51 ]}หลังจากนั้น ได้มีการเสนออัลกอริทึมอื่นๆ อีกมากมาย โดยอิงจากแนวคิดต่างๆ เช่น ทฤษฎีมอร์สแบบไม่ต่อเนื่อง^{[ 52 ]}และการประมาณค่าตัวอย่างจำกัด^{[ 53 ]}

รูปแบบมาตรฐานใน TDA มักถูกเรียกว่าการคงอยู่ระดับย่อย (sublevel persistence ) นอกเหนือจากการคงอยู่หลายมิติแล้ว ยังมีงานวิจัยมากมายที่ขยายกรณีพิเศษนี้ออกไป

แผนที่ที่ไม่เป็นศูนย์ในโมดูลความคงทนถูกจำกัดโดยความสัมพันธ์ลำดับก่อนในหมวดหมู่ อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์พบว่าความเป็นเอกฉันท์ของทิศทางไม่จำเป็นต่อผลลัพธ์หลายอย่าง “ประเด็นเชิงปรัชญาคือทฤษฎีการแยกส่วนของการแสดงกราฟค่อนข้างเป็นอิสระจากทิศทางของขอบกราฟ” ^{[ 54 ]}ความคงทนแบบซิกแซกมีความสำคัญต่อด้านทฤษฎี ตัวอย่างที่ให้ไว้ในบทความวิจารณ์ของ Carlsson เพื่อแสดงให้เห็นถึงความสำคัญของฟังก์ชันล้วนมีคุณสมบัติบางอย่างร่วมกัน^{[ 3 ]}

มีความพยายามบางประการที่จะผ่อนคลายข้อจำกัดที่เข้มงวดกว่าของฟังก์ชัน^{[ 55 ]}โปรดดูส่วนการจัดหมวดหมู่และโคชีฟและผลกระทบต่อคณิตศาสตร์สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม

การขยายโฮโมโลยีแบบคงอยู่ไปสู่แนวคิดพื้นฐานอื่นๆ ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิต เช่น โคโฮโมโลยีและโฮโมโลยี/โคโฮโมโลยีเชิงสัมพันธ์ เป็นเรื่องปกติ^{[ 56 ]}การประยุกต์ใช้ที่น่าสนใจอย่างหนึ่งคือการคำนวณพิกัดวงกลมสำหรับชุดข้อมูลผ่านกลุ่มโคโฮโมโลยีแบบคงอยู่กลุ่มแรก^{[ 57 ]}

การศึกษาโฮโมโลยีความคงตัวปกติจะศึกษาฟังก์ชันค่าจริง แผนที่ค่าวงกลมอาจมีประโยชน์ "ทฤษฎีความคงตัวสำหรับแผนที่ค่าวงกลมสัญญาว่าจะทำหน้าที่สำหรับฟิลด์เวกเตอร์บางฟิลด์ เช่นเดียวกับทฤษฎีความคงตัวมาตรฐานสำหรับฟิลด์สเกลาร์" ดังที่Dan Burgheleaและคณะ ได้แสดงความคิดเห็นไว้ ^{[ 58 ]}ความแตกต่างหลักคือเซลล์จอร์แดน (มีรูปแบบคล้ายกับบล็อกจอร์แดนในพีชคณิตเชิงเส้นมาก) ไม่เป็นศูนย์ในฟังก์ชันค่าวงกลม ซึ่งจะเป็นศูนย์ในกรณีค่าจริง และการรวมกับบาร์โค้ดจะให้ค่าคงที่ของแผนที่ที่เชื่อง ภายใต้เงื่อนไขปานกลาง^{[ 58 ]}

เทคนิคสองอย่างที่พวกเขาใช้คือทฤษฎี Morse-Novikov ^{[ 59 ]}และทฤษฎีการแสดงกราฟ^{[ 60 ]}ผลลัพธ์ล่าสุดสามารถพบได้ใน D. Burghelea et al. ^{[ 61 ]}ตัวอย่างเช่น ข้อกำหนดด้านความเชื่องสามารถแทนที่ด้วยเงื่อนไขที่อ่อนกว่ามาก นั่นคือความต่อเนื่อง

การพิสูจน์ทฤษฎีบทโครงสร้างอาศัยโดเมนฐานเป็นฟิลด์ ดังนั้นจึงไม่มีความพยายามมากนักในการสร้างโฮโมโลยีความคงทนด้วยทอร์ชั่น Frosini ได้กำหนดเมตริกเทียมบนโมดูลเฉพาะนี้และพิสูจน์ความเสถียร^{[ 62 ]}หนึ่งในความแปลกใหม่คือไม่ขึ้นอยู่กับทฤษฎีการจำแนกประเภทบางอย่างในการกำหนดเมตริก^{[ 63 ]}

ข้อดีประการหนึ่งของทฤษฎีหมวดหมู่คือความสามารถในการยกระดับผลลัพธ์ที่เป็นรูปธรรมไปสู่ระดับที่สูงขึ้น โดยแสดงความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุที่ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกัน Peter Bubenik และคณะ^{[ 64 ]}นำเสนอการแนะนำสั้นๆ เกี่ยวกับทฤษฎีหมวดหมู่ที่เหมาะสมกับ TDA

ทฤษฎีหมวดหมู่เป็นภาษาของพีชคณิตสมัยใหม่ และถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษาเรขาคณิตพีชคณิตและโทโพโลยี มีข้อสังเกตว่า "ข้อสังเกตที่สำคัญของ^{[ 10 ]}คือแผนภาพความคงทนที่สร้างโดย^{[ 8 ]}ขึ้นอยู่กับโครงสร้างพีชคณิตที่แผนภาพนี้มีอยู่เท่านั้น" ^{[ 65 ]}การใช้ทฤษฎีหมวดหมู่ใน TDA ได้พิสูจน์แล้วว่ามีประโยชน์^{[ 64 ] [ 65 ]}

ตามสัญลักษณ์ที่ทำใน Bubenik et al. ^{[ 65 ]}หมวดหมู่การจัดทำดัชนี คือเซตที่มีลำดับล่วงหน้า ใดๆ (ไม่จำเป็นต้องเป็นหรือ) หมวดหมู่เป้าหมายคือหมวดหมู่ใดๆ (แทนที่จะเป็น ที่ใช้กันทั่วไป) และฟังก์ชันเรียกว่าโมดูลความคงทนทั่วไป ในเหนือ${\textstyle P}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle D}$${\textstyle \mathrm {Vect} _{\mathbb {F} }}$${\textstyle P\to D}$${\displaystyle D}$${\textstyle P}$

ข้อดีประการหนึ่งของการใช้ทฤษฎีหมวดหมู่ใน TDA คือความเข้าใจแนวคิดที่ชัดเจนยิ่งขึ้นและการค้นพบความสัมพันธ์ใหม่ระหว่างการพิสูจน์ ยกตัวอย่างสองตัวอย่างเพื่อประกอบการอธิบาย ความเข้าใจเกี่ยวกับความสอดคล้องกันระหว่างการสลับและการจับคู่มีความสำคัญอย่างยิ่ง เนื่องจากการจับคู่เป็นวิธีการที่ใช้ตั้งแต่เริ่มต้น (ดัดแปลงมาจากทฤษฎีมอร์ส) สามารถดูสรุปผลงานได้ใน Vin de Silva et al. ^{[ 66 ]}ทฤษฎีบทหลายข้อสามารถพิสูจน์ได้ง่ายขึ้นมากในสภาพแวดล้อมที่เข้าใจง่ายกว่า^{[ 63 ]}อีกตัวอย่างหนึ่งคือความสัมพันธ์ระหว่างการสร้างคอมเพล็กซ์ที่แตกต่างกันจากกลุ่มจุด เป็นที่สังเกตกันมานานแล้วว่าคอมเพล็กซ์ Čech และ Vietoris-Rips มีความสัมพันธ์กัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง[ ^{67 ] ความ}สัมพันธ์ที่สำคัญระหว่างคอมเพล็กซ์ Cech และ Rips สามารถมองเห็นได้ชัดเจนยิ่งขึ้นในภาษาเชิงหมวดหมู่^{[ 66 ]}${\displaystyle V_{r}(X)\subset C_{{\sqrt {2}}r}(X)\subset V_{2r}(X)}$

ภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่ยังช่วยกำหนดผลลัพธ์ให้อยู่ในรูปแบบที่ชุมชนคณิตศาสตร์ในวงกว้างสามารถเข้าใจได้ ระยะทางแบบคอขวดถูกใช้กันอย่างแพร่หลายใน TDA เนื่องจากผลลัพธ์เกี่ยวกับเสถียรภาพที่เกี่ยวข้องกับระยะทางแบบคอขวด^{[ 13 ] [ 16 ]}ในความเป็นจริง ระยะทางแบบสลับกันเป็นวัตถุปลายทางในหมวดหมู่โพเซตของเมตริกที่เสถียรบนโมดูลความคงทนหลายมิติในฟิลด์จำนวนเฉพาะ^{[ 63 ] [ 68 ]}

ชีฟซึ่งเป็นแนวคิดหลักในเรขาคณิตพีชคณิต สมัยใหม่ มีความสัมพันธ์โดยตรงกับทฤษฎีหมวดหมู่ กล่าวโดยคร่าวๆชีฟเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการทำความเข้าใจว่าข้อมูลท้องถิ่นกำหนดข้อมูลทั่วโลกได้อย่างไร จัสติน เคอร์รี ถือว่า การคงอยู่ ของเซตระดับเป็นการศึกษาไฟเบอร์ของฟังก์ชันต่อเนื่อง วัตถุที่เขาศึกษานั้นคล้ายคลึงกับวัตถุของ MAPPER มาก แต่มีทฤษฎีชีฟเป็นพื้นฐานทางทฤษฎี^{[ 35 ]}แม้ว่าจะยังไม่มีความก้าวหน้าใดๆ ในทฤษฎี TDA ที่ใช้ทฤษฎีชีฟ แต่ก็มีแนวโน้มที่ดี เนื่องจากมีทฤษฎีบทที่สวยงามมากมายในเรขาคณิตพีชคณิตที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีชีฟ ตัวอย่างเช่น คำถามทางทฤษฎีที่เป็นธรรมชาติคือ วิธีการกรองที่แตกต่างกันจะให้ผลลัพธ์เดียวกันหรือไม่^{[ 69 ]}

ความเสถียรมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการวิเคราะห์ข้อมูล เนื่องจากข้อมูลจริงมีสัญญาณรบกวน Bubenik และคณะได้ใช้ทฤษฎีหมวดหมู่เพื่อแยกแยะทฤษฎีความเสถียรแบบอ่อนและแบบแข็ง และพิสูจน์ว่ากรณีแบบอ่อนเป็นแบบทางการ^{[ 65 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ขั้นตอนการทำงานทั่วไปของ TDA คือ

ข้อมูล

${\displaystyle {\stackrel {F}{\longrightarrow }}}$

โมดูลความคงอยู่ทางโทโพโลยี

${\displaystyle {\stackrel {H}{\longrightarrow }}}$

โมดูลความคงทนเชิงพีชคณิต

${\displaystyle {\stackrel {J}{\longrightarrow }}}$

ตัวแปรไม่ต่อเนื่อง

ทฤษฎีบทเสถียรภาพแบบอ่อนกล่าวว่าเป็นฟังก์ชันลิปชิตซ์ต่อเนื่องและทฤษฎีบทเสถียรภาพแบบแข็งกล่าวว่าเป็นฟังก์ชันลิปชิตซ์ต่อเนื่อง ${\displaystyle HF}$${\displaystyle J}$

ระยะทางคอขวดถูกใช้กันอย่างแพร่หลายใน TDA ทฤษฎีบทไอโซเมตรีระบุว่าระยะทางสลับ เท่ากับระยะทางคอขวด^{[ 63 ]} Bubenik และคณะได้สรุปนิยามให้เป็นระหว่างฟังก์ชัน เมื่อติดตั้งด้วยการฉายภาพย่อยเชิงเส้นหรือตระกูลซูเปอร์เชิงเส้น ซึ่งยังคงเป็นซูโดเมตริก^{[ 65 ]}เมื่อพิจารณาถึงคุณลักษณะอันน่าทึ่งของระยะทางสลับ^{[ 70 ]}ในที่นี้เราขอแนะนำนิยามทั่วไปของระยะทางสลับ (แทนที่จะเป็นนิยามแรกที่แนะนำ): ^{[ 13 ]}ให้(ฟังก์ชันจากไปยังซึ่งเป็นโมโนโทนและสอดคล้อง กับ สำหรับทุก) การสลับ - ระหว่าง F และ G ประกอบด้วยการแปลงธรรมชาติและเช่นนั้น และ${\displaystyle d_{I}}$${\displaystyle F,G\colon P\to D}$${\textstyle P}$${\displaystyle \Gamma ,K\in \mathrm {Trans_{P}} }$${\textstyle P}$${\textstyle P}$${\displaystyle x\leq \Gamma (x)}$${\textstyle x\in P}$${\displaystyle (\Gamma ,K)}$${\displaystyle \varphi \colon F\Rightarrow G\Gamma }$${\displaystyle \psi \colon G\Rightarrow FK}$${\displaystyle (\psi \Gamma )=\varphi F\eta _{K\Gamma }}$${\displaystyle (\varphi \Gamma )=\psi G\eta _{\Gamma K}}$

ผลลัพธ์หลักสองประการคือ^{[ 65 ]}

• ให้เป็นเซตที่มีลำดับก่อนหน้าที่มีการฉายภาพแบบซับลิเนียร์หรือตระกูลแบบซูเปอร์ลิเนียร์ ให้เป็นฟังก์ชันระหว่างหมวดหมู่ใดๆก็ได้ แล้วสำหรับฟังก์ชันสองตัวใดๆเราจะได้${\textstyle P}$${\textstyle H:D\to E}$${\textstyle D,E}$${\textstyle F,G\colon P\to D}$${\textstyle d_{I}(HF,HG)\leq d_{I}(F,G)}$
• ให้เป็นเซตลำดับบางส่วนของปริภูมิเมตริกและเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และให้(ไม่จำเป็นต้องต่อเนื่อง) เป็นฟังก์ชัน และเป็นแผนภาพความคงอยู่ที่สอดคล้องกันแล้ว${\textstyle P}$${\textstyle Y}$${\textstyle X}$${\textstyle f,g\colon X\to Y}$${\textstyle F,G}$${\displaystyle d_{I}(F,G)\leq d_{\infty }(f,g):=\sup _{x\in X}d_{Y}(f(x),g(x))}$

ผลลัพธ์ทั้งสองนี้สรุปผลการศึกษามากมายเกี่ยวกับเสถียรภาพของแบบจำลองความคงทนที่แตกต่างกัน

สำหรับทฤษฎีความเสถียรของการคงอยู่แบบหลายมิติ โปรดดูที่หัวข้อการคงอยู่

ทฤษฎีบทโครงสร้างมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อ TDA ดังที่ G. Carlsson ได้แสดงความคิดเห็นไว้ว่า "สิ่งที่ทำให้โฮโมโลยีมีประโยชน์ในฐานะตัวแยกแยะระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีคือข้อเท็จจริงที่ว่ามีทฤษฎีบทการจำแนกประเภทสำหรับกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด" ^{[ 3 ]} (ดูทฤษฎีบทพื้นฐานของกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด )

ข้อโต้แย้งหลักที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทโครงสร้างดั้งเดิมคือทฤษฎีบทโครงสร้างมาตรฐาน สำหรับโมดูลที่สร้างขึ้น ^{อย่าง}จำกัดเหนือโดเมนอุดมคติหลัก^{[ 10} ] อย่างไรก็ตาม ข้อโต้แย้งนี้ล้มเหลวหากเซตดัชนีคือ^{[ 3 ]}${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$

โดยทั่วไปแล้ว โมดูลความคงทนไม่สามารถแยกย่อยออกเป็นช่วงได้ทั้งหมด^{[ 71 ]}มีความพยายามหลายครั้งในการผ่อนคลายข้อจำกัดของทฤษฎีบทโครงสร้างดั้งเดิม กรณีของโมดูลความคงทนแบบจุดต่อจุดที่มีมิติจำกัดซึ่งจัดทำดัชนีโดยเซตย่อยที่มีมิติจำกัดเฉพาะที่ได้รับการแก้ไขโดยอาศัยงานของ Webb ^{[ 72 ]}ผลลัพธ์ที่โดดเด่นที่สุดคือผลงานของ Crawley-Boevey ซึ่งได้แก้ไขกรณีของทฤษฎีบทของ Crawley-Boevey ระบุว่าโมดูลความคงทนแบบจุดต่อจุดที่มีมิติจำกัดใดๆ เป็นผลรวมโดยตรงของโมดูลช่วง^{[ 73 ]}${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

เพื่อให้เข้าใจนิยามของทฤษฎีบทนี้ จำเป็นต้องแนะนำแนวคิดบางอย่างช่วงในถูกกำหนดให้เป็นเซตย่อยที่มีคุณสมบัติว่า ถ้าและถ้ามีที่ทำให้แล้วก็เช่นกันโมดูลช่วง จะกำหนด ปริมาณเวกเตอร์ให้กับแต่ละองค์ประกอบและกำหนดปริมาณเวกเตอร์ศูนย์ให้กับองค์ประกอบในแผนที่ทั้งหมดเป็นแผนที่ศูนย์ เว้นแต่และซึ่งในกรณีนี้จะเป็นแผนที่เอกลักษณ์^{[ 35 ]}โมดูลช่วงไม่สามารถแยกส่วนได้^{[ 74 ]}${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle r,t\in I}$${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$${\displaystyle r\leq s\leq t}$${\displaystyle s\in I}$${\displaystyle k_{I}}$${\displaystyle s\in I}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus I}$${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$${\displaystyle s,t\in I}$${\displaystyle s\leq t}$${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$

แม้ว่าผลลัพธ์ของ Crawley-Boevey จะเป็นทฤษฎีบทที่มีประสิทธิภาพมาก แต่ก็ยังไม่สามารถขยายไปถึงกรณี q-tame ได้^{[ 71 ]}โมดูลความคงทนเป็นq-tameหากอันดับของมีค่าจำกัดสำหรับทุกมีตัวอย่างของโมดูลความคงทน q-tame ที่ไม่มีค่าจำกัดแบบจุดต่อจุด^{[ 75 ]}อย่างไรก็ตาม ปรากฏว่าทฤษฎีบทโครงสร้างที่คล้ายกันยังคงใช้ได้หากคุณสมบัติที่มีอยู่เฉพาะที่ค่าดัชนีเดียวถูกลบออก^{[ 74 ]}สิ่งนี้เป็นจริงเพราะส่วนที่มีมิติอนันต์ที่ค่าดัชนีแต่ละค่าจะไม่คงอยู่เนื่องจากเงื่อนไขอันดับจำกัด^{[ 76 ]}ในทางรูปธรรม หมวดหมู่ที่สังเกตได้ถูกกำหนดเป็น โดยที่หมายถึงหมวดหมู่ย่อยแบบเต็มของซึ่งวัตถุคือโมดูลชั่วคราว ( เมื่อใดก็ตามที่) ^{[ 74 ]}${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$${\displaystyle s<t}$${\displaystyle \mathrm {Ob} }$${\displaystyle \mathrm {Pers} /\mathrm {Eph} }$${\displaystyle \mathrm {Eph} }$${\displaystyle \mathrm {Pers} }$${\displaystyle \rho _{s}^{t}=0}$${\displaystyle s<t}$

โปรดทราบว่าผลลัพธ์เพิ่มเติมที่แสดงไว้ในที่นี้ใช้ไม่ได้กับความคงทนแบบซิกแซก เนื่องจากสิ่งที่เทียบเคียงได้กับโมดูลความคงทนแบบซิกแซกนั้นไม่ชัดเจนในทันที ${\displaystyle \mathbb {R} }$

ข้อมูลจริงมีจำนวนจำกัดเสมอ ดังนั้นการศึกษาข้อมูลจึงจำเป็นต้องคำนึงถึงความสุ่ม การวิเคราะห์ทางสถิติทำให้เราสามารถแยกคุณลักษณะที่แท้จริงของข้อมูลออกจากสิ่งรบกวนที่เกิดจากสัญญาณรบกวนแบบสุ่มได้ แต่ Persistent Homology ไม่มีกลไกโดยธรรมชาติที่จะแยกแยะระหว่างคุณลักษณะที่มีความน่าจะเป็นต่ำและคุณลักษณะที่มีความน่าจะเป็นสูง

วิธีหนึ่งในการประยุกต์ใช้สถิติกับการวิเคราะห์ข้อมูลเชิงโทโพโลยีคือการศึกษาคุณสมบัติทางสถิติของลักษณะเชิงโทโพโลยีของกลุ่มจุด การศึกษาคอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลแบบสุ่มให้ข้อมูลเชิงลึกบางอย่างเกี่ยวกับโทโพโลยีเชิงสถิติ Katharine Turner และคณะ^{[ 77 ]}นำเสนอสรุปงานในแนวทางนี้

วิธีที่สองคือการศึกษาการกระจายความน่าจะเป็นบนพื้นที่ความคงอยู่ พื้นที่ความคงอยู่^{คือ โดยที่ คือพื้นที่ของบาร์โค้ดทั้งหมดที่มีช่วงเวลาที่แน่นอน และความเท่าเทียมกันคือ ถ้า [} 78 ] พื้นที่นี้ค่อนข้างซับซ้อน^{ตัวอย่างเช่น}มันไม่สมบูรณ์ภายใต้เมตริกแบบคอขวด ความพยายามครั้งแรกในการศึกษาคือโดย Yuriy Mileyko และคณะ^{[ 79 ]}พื้นที่ของไดอะแกรมความคงอยู่ในบทความของพวกเขาถูกกำหนดเป็น โดยที่คือเส้นทแยงมุมในคุณสมบัติที่ดีคือสมบูรณ์และแยกได้ในเมตริก Wasserstein ความคาดหวัง ความแปรปรวน และความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขสามารถกำหนดได้ในความหมายของ Fréchetสิ่งนี้ทำให้เครื่องมือทางสถิติหลายอย่างสามารถนำไปใช้กับ TDA ได้ งานเกี่ยวกับ การทดสอบนัยสำคัญ ของสมมติฐานว่าง^{[ 80 ]}ช่วงความเชื่อมั่น [ ^{81 ]}และการประมาณค่าที่แข็งแกร่ง^{[ 82 ] เป็นขั้นตอน ที่}น่าสนใจ ${\displaystyle B_{\infty }}$${\displaystyle \coprod _{n}B_{n}/{\backsim }}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{[x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],\ldots ,[x_{n},y_{n}]\}\backsim \{[x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],\ldots ,[x_{n-1},y_{n-1}]\}}$${\displaystyle x_{n}=y_{n}}$${\displaystyle D_{p}}$$${\displaystyle D_{p}:=\left\{d\mid \sum _{x\in d}\left(2\inf _{y\in \Delta }\lVert x-y\rVert \right)^{p}<\infty \right\}}$$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle D_{p}}$${\displaystyle W_{p}(u,v)=\left(\inf _{\gamma \in \Gamma (u,v)}\int _{\mathbb {X} \times \mathbb {X} }\rho ^{p}(x,y)\,\mathrm {d} \gamma (x,y)\right)^{1/p}}$

วิธีที่สามคือการพิจารณาโคฮอโมโลยีของปริภูมิความน่าจะเป็นหรือระบบสถิติโดยตรง เรียกว่าโครงสร้างข้อมูลและโดยพื้นฐานแล้วประกอบด้วยสามสิ่ง ( ) ปริภูมิของตัวอย่างตัวแปรสุ่ม และกฎความน่าจะเป็น^{[ 83 ] [ 84 ]}ตัวแปรสุ่มถือเป็นพาร์ติชันของความน่าจะเป็นอะตอม n (มองเห็นเป็นซิมเพล็กซ์ความน่าจะเป็น (n-1) ) บนแลตทิซของพาร์ติชัน ( ) ตัวแปรสุ่มหรือโมดูลของฟังก์ชันที่วัดได้ให้คอมเพล็กซ์โคเชน ในขณะที่โคบาวน์ดารีถือเป็นพีชคณิตโฮโมโลยีทั่วไปที่ค้นพบครั้งแรกโดยGerhard Hochschildด้วยการกระทำด้านซ้ายที่ใช้การกระทำของการปรับสภาพ เงื่อนไขโคไซเคิลแรกสอดคล้องกับกฎลูกโซ่ของเอนโทรปี ทำให้สามารถอนุมานเอนโทรปีของ Shannon ได้อย่างไม่ซ้ำกันจนถึงค่าคงที่การคูณ ในฐานะคลาสโคฮอโมโลยีแรก การพิจารณาการกระทำด้านซ้ายที่ผิดรูปทำให้กรอบงานเป็นแบบทั่วไปสำหรับเอนโทรปีของ Tsallis โคฮอโมโลยีข้อมูลเป็นตัวอย่างของโทโพสแบบวงแหวนข้อมูลร่วม k แบบหลายตัวแปรปรากฏในนิพจน์โคบาวน์ดารี และการหายไปของข้อมูลร่วมเหล่านี้ ซึ่งเกี่ยวข้องกับเงื่อนไขโคไซเคิล จะให้เงื่อนไขที่เทียบเท่ากันสำหรับความเป็นอิสระทางสถิติ^{[ 85 ]}ค่าต่ำสุดของข้อมูลร่วม หรือที่เรียกว่าซินเนอร์จี ก่อให้เกิดการกำหนดค่าความเป็นอิสระที่น่าสนใจ ซึ่งคล้ายกับลิงก์โฮโมโทปิก เนื่องจากความซับซ้อนเชิงการจัดเรียง จึงมีการตรวจสอบเฉพาะกรณีย่อยซิมพลิเชียลของโคโฮโมโลยีและโครงสร้างข้อมูลบนข้อมูลเท่านั้น เมื่อนำไปใช้กับข้อมูล เครื่องมือโคโฮโมโลยีเหล่านี้จะวัดปริมาณการพึ่งพาและความเป็นอิสระทางสถิติ รวมถึงลูกโซ่มาร์คอฟและความเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขในกรณีหลายตัวแปร^{[ 86 ]}ที่น่าสังเกตคือ ข้อมูลร่วมจะขยายสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์และความแปรปรวนร่วมไปสู่การพึ่งพาทางสถิติแบบไม่เชิงเส้น แนวทางเหล่านี้ได้รับการพัฒนาอย่างอิสระและเกี่ยวข้องกับวิธีการคงอยู่โดยอ้อมเท่านั้น แต่สามารถเข้าใจได้คร่าวๆ ในกรณีซิมพลิเชียลโดยใช้ทฤษฎีบท Hu Kuo Tin ซึ่งสร้างการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างฟังก์ชันข้อมูลร่วมกันและฟังก์ชันที่วัดได้ จำกัด ของเซตที่มีตัวดำเนินการตัดกัน เพื่อสร้าง โครงร่าง คอมเพล็กซ์ Čech โคฮอโมโลยีข้อมูลนำเสนอการตีความและการประยุกต์ใช้โดยตรงในแง่ของประสาทวิทยาศาสตร์ (ทฤษฎีการประกอบประสาทและการรับรู้เชิงคุณภาพ^{[ 87 ]} ) ฟิสิกส์เชิงสถิติ และเครือข่ายประสาทลึกซึ่งโครงสร้างและอัลกอริธึมการเรียนรู้ถูกกำหนดโดยคอมเพล็กซ์ของตัวแปรสุ่มและกฎลูกโซ่ข้อมูล^[${\displaystyle \Omega ,\Pi ,P}$${\displaystyle |\Omega |=n}$${\displaystyle \Pi _{n}}$^{88 ]}

ภูมิทัศน์ความคงอยู่ ซึ่งนำเสนอโดยปีเตอร์ บูเบนิก เป็นวิธีการแสดงบาร์โค้ดที่แตกต่างออกไป ซึ่งเหมาะสมกับการวิเคราะห์ทางสถิติมากกว่า^{[ 89 ]}ภูมิทัศน์ความคงอยู่ของโมดูลที่คงอยู่จะถูกกำหนดเป็นฟังก์ชัน, , โดยที่แทนเส้นจำนวนจริงที่ขยายและพื้นที่ของภูมิทัศน์ความคงอยู่นั้นดีมาก กล่าวคือ มันสืบทอดคุณสมบัติที่ดีทั้งหมดของการแสดงบาร์โค้ด (ความเสถียร การแสดงที่ง่าย ฯลฯ) แต่ปริมาณทางสถิติสามารถกำหนดได้ง่าย และปัญหาบางอย่างในงานของ Y. Mileyko และคณะ เช่น ความไม่เป็นเอกลักษณ์ของความคาดหวัง^{[ 79 ]}สามารถแก้ไขได้ มีอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการคำนวณด้วยภูมิทัศน์ความคงอยู่^{[ 90 ]}อีกแนวทางหนึ่งคือการใช้ความคงอยู่ที่ได้รับการแก้ไข ซึ่งก็คือความคงอยู่ของภาพ เคอร์เนล และโคเคอร์เนล^{[ 91 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle \lambda :\mathbb {N} \times \mathbb {R} \to {\bar {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle \lambda (k,t):=\sup(m\geq 0\mid \beta ^{t-m,t-m}\geq k)}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle \beta ^{a,b}=\mathrm {dim} (\mathrm {im} (M(a\leq b)))}$

มีหลายวิธีในการจำแนกประเภทการประยุกต์ใช้ TDA บางทีวิธีที่เป็นธรรมชาติที่สุดคือการจำแนกตามสาขา รายการแอปพลิเคชันที่ประสบความสำเร็จซึ่งไม่สมบูรณ์มาก ได้แก่^{[ 92 ]} การสร้างโครงร่าง ข้อมูล^{[ 93 ]}การศึกษารูปร่าง^{[ 94 ]}การสร้างกราฟใหม่^{[ 95 ] [ 96 ] [ 97 ] [ 98 ] [ 99 ]} การวิเคราะห์ภาพ ^{[ 100 ] [ 101 ]}วัสดุ^{[ 102 ] [ 103 ]}การวิเคราะห์ความก้าวหน้าของโรค^{[ 104 ] [ 105 ]}เครือข่ายเซ็นเซอร์^{[ 67 ]}การวิเคราะห์สัญญาณ^{[ 106 ]}เว็บจักรวาล^{[ 107 ]}เครือข่ายที่ซับซ้อน^{[ 108 ] [ 109 ] [ 110 ] [ 111 ]}เรขาคณิตแฟรกทัล^{[ 112 ]}วิวัฒนาการของไวรัส^{[ 113 ]}การแพร่กระจายของโรคติดต่อบนเครือข่าย^{[ 114 ]}การจำแนกแบคทีเรียโดยใช้สเปกโทรสโกปีโมเลกุล^{[ 115 ]}ความละเอียดสูงพิเศษ กล้องจุลทรรศน์^{[ 116 ]}การถ่ายภาพไฮเปอร์สเปกตรัมในเคมีกายภาพ^{[ 117 ]}การสำรวจระยะไกล^{[ 118 ]}การเลือกคุณลักษณะ^{[ 119 ]}และสัญญาณเตือนล่วงหน้าของวิกฤตการณ์ทางการเงิน^{[ 120 ]}

อีกวิธีหนึ่งคือการแยกแยะเทคนิคโดย G. Carlsson ^{[ 78 ]}

ประเด็นหนึ่งคือการศึกษาค่าคงที่เชิงโฮโมโลยีของข้อมูลในชุดข้อมูลแต่ละชุด และอีกประเด็นหนึ่งคือการใช้ค่าคงที่เชิงโฮโมโลยีในการศึกษาฐานข้อมูลที่จุดข้อมูลมีโครงสร้างทางเรขาคณิต

การวิเคราะห์ข้อมูลเชิงโทโพโลยีและโฮโมโลยีแบบคงที่มีผลกระทบต่อทฤษฎีมอร์ส [ ^{121 ] ทฤษฎี}มอร์สมีบทบาทสำคัญมากในทฤษฎี TDA รวมถึงการคำนวณ งานบางอย่างในโฮโมโลยีแบบคงที่ได้ขยายผลลัพธ์เกี่ยวกับฟังก์ชันมอร์สไปสู่ฟังก์ชันควบคุมหรือแม้กระทั่งฟังก์ชันต่อเนื่อง ผลลัพธ์ที่ถูกลืมของ R. Deheuvels นานก่อนการคิดค้นโฮโมโลยีแบบคงที่ได้ขยายทฤษฎีมอร์สไปสู่ฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมด^{[ 122 ]}

ผลลัพธ์ล่าสุดประการหนึ่งคือ หมวดหมู่ของกราฟ Reebเทียบเท่ากับคลาสเฉพาะของ cosheaf ^{[ 123 ]}สิ่งนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากงานเชิงทฤษฎีใน TDA เนื่องจากกราฟ Reeb เกี่ยวข้องกับทฤษฎี Morse และ MAPPER ได้มาจากทฤษฎีดังกล่าว การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้อาศัยระยะทางการสลับ

ความคงอยู่ของโฮโมโลยีมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับลำดับสเปกตรัม^{[ 124 ] [ 125 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งอัลกอริทึมที่นำคอมเพล็กซ์ที่กรองแล้วไปสู่รูปแบบมาตรฐาน^{[ 11 ]}ช่วยให้การคำนวณลำดับสเปกตรัมเร็วกว่าขั้นตอนมาตรฐานในการคำนวณกลุ่มทีละหน้ามาก ความคงอยู่แบบซิกแซกอาจมีความสำคัญทางทฤษฎีต่อลำดับสเปกตรัม ${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$

ฐานข้อมูลการใช้โทโพโลยีแบบดั้งเดิมและไม่ใช่เชิงทฤษฎี (DONUT)เป็นฐานข้อมูลบทความวิชาการที่มีการประยุกต์ใช้การวิเคราะห์ข้อมูลโทโพโลยีในทางปฏิบัติในสาขาวิทยาศาสตร์ต่างๆ DONUT เริ่มต้นในปี 2017 โดย Barbara Giunti, Janis Lazovskis และ Bastian Rieck ^{[ 126 ]}และ ณ เดือนตุลาคม 2023 มีบทความอยู่ 447 บทความ^{[ 127 ]} DONUT ได้รับการนำเสนอในวารสารNotices of the American Mathematical Societyฉบับ เดือนพฤศจิกายน 2023 ^{[ 128 ]}

คุณสมบัติความเสถียรของคุณลักษณะทางโทโพโลยีต่อการรบกวนเล็กน้อยได้รับการนำไปใช้เพื่อให้เครือข่ายประสาทกราฟมีความทนทานต่อศัตรู Arafat และคณะ^{[ 129 ]}เสนอกรอบความทนทานที่บูรณาการการแสดงคุณลักษณะกราฟโทโพโลยีทั้งในระดับท้องถิ่นและระดับโลกอย่างเป็นระบบ ซึ่งผลกระทบจะถูกควบคุมโดยการสูญเสียโทโพโลยีแบบมีการควบคุมที่ทนทาน เมื่อพิจารณางบประมาณของผู้โจมตี พวกเขาได้กำหนดการรับประกันความเสถียรในการแสดงโหนด สร้างความเชื่อมโยงที่สำคัญระหว่างความเสถียรทางโทโพโลยีและ การเรียนรู้ของเครื่องจักรแบบต่อต้าน

• การลดมิติ
• การขุดข้อมูล
• คอมพิวเตอร์วิชั่น
• โทโพโลยีเชิงคำนวณ
• ทฤษฎีมอร์สแบบไม่ต่อเนื่อง
• การวิเคราะห์รูปทรง (เรขาคณิตดิจิทัล)
• ทฤษฎีขนาด
• โทโพโลยีเชิงพีชคณิต
• การเรียนรู้เชิงลึกเชิงทอพอโลยี

• เลสนิก, ไมเคิล (2013). "การศึกษาลักษณะของข้อมูลโดยใช้โทโพโลยี"สถาบันเพื่อการศึกษาขั้นสูง
• เอกสารต้นฉบับสำหรับการวิเคราะห์ข้อมูลเชิงโทโพโลยีโดย Mikael Vejdemo-Johansson

• Oudot, Steve Y. (2015). ทฤษฎีความคงทน: จากการแสดงแบบ Quiver ไปสู่การวิเคราะห์ข้อมูล . สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน. ISBN 978-1-4704-2545-6.

• Hatcher, Allen (2002). โทโพโลยีเชิงพีชคณิต . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 0-521-79540-0.พร้อมให้ดาวน์โหลดแล้ว
• เอเดลส์บรุนเนอร์, เฮอร์เบิร์ต; ฮาเรอร์, จอห์น (2010). โทโพโลยีเชิงคำนวณ: บทนำ . สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน. ISBN 978-0-8218-4925-5.
• หนังสือ Elementary Applied Topologyโดย Robert Ghrist

• ฐานข้อมูลการใช้งานโทโพโลยีแบบดั้งเดิมและไม่เชิงทฤษฎี (DONUT)

• บทนำสู่ Persistent HomologyและTopology สำหรับการวิเคราะห์ข้อมูลโดย Matthew Wright
• รูปทรงของข้อมูลโดย กุนนาร์ คาร์ลสัน

• โทโพโลยีประยุกต์โดย สแตนฟอร์ด
• เครือข่ายวิจัยด้านโทโพโลยีเชิงพีชคณิตประยุกต์เก็บถาวรเมื่อ 31 มกราคม 2016 ที่Wayback Machineโดยสถาบันคณิตศาสตร์และการประยุกต์