ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์พื้นผิวการเลื่อน (translation surface)คือพื้นผิวที่เกิดจากการเลื่อน :

• สำหรับเส้นโค้งในปริภูมิ สองเส้น ที่มีจุดร่วมกันเส้นโค้งจะถูกเลื่อนเพื่อให้จุดนั้นเคลื่อนที่ไป ตามเส้นโค้งอีกเส้น หนึ่ง ด้วยกระบวนการนี้ เส้นโค้งจะสร้างพื้นผิวขึ้นมา ซึ่ง ก็คือ พื้นผิวการเลื่อน (translation surface )${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{1}}$

ถ้าเส้นโค้งทั้งสองอยู่ในระนาบเดียวกัน พื้นผิวการเลื่อนจะเป็นระนาบ (เป็นส่วนหนึ่งของระนาบ) โดยทั่วไปแล้วกรณีนี้มักถูกละเลย

ตัวอย่างง่ายๆ:

1. ทรงกระบอกกลมตั้งตรง : คือวงกลม (หรือหน้าตัดรูปอื่น) และเป็นเส้นตรง${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$
2. พาราโบโลอิดรูปวงรี สามารถสร้างขึ้นได้จากและ(เส้นโค้งทั้งสองเป็นพาราโบลา )${\displaystyle \;z=x^{2}+y^{2}\;}$${\displaystyle \ c_{1}:\;(x,0,x^{2})\ }$${\displaystyle \ c_{2}:\;(0,y,y^{2})\ }$
3. พาราโบโลอิดไฮเปอร์โบลิก สามารถสร้างขึ้นได้จาก(พาราโบลา) และ(พาราโบลาเปิดลงด้านล่าง)${\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}$${\displaystyle c_{1}:(x,0,x^{2})}$${\displaystyle c_{2}:(0,y,-y^{2})}$

พื้นผิวการแปลเป็นที่นิยมในเรขาคณิตเชิงพรรณนา^{[ 1 ] [ 2 ]}และสถาปัตยกรรม^{[ 3 ]}เนื่องจากสามารถสร้างแบบจำลองได้ง่าย

ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์พื้นผิวขั้นต่ำจะถูกแทนด้วยพื้นผิวการแปลหรือพื้นผิวคอร์ดกลาง (ดูด้านล่าง) ^{[ 4 ]}

พื้นผิวการแปลตามที่นิยามไว้ในที่นี้ไม่ควรสับสนกับพื้นผิวการแปลในเรขาคณิตเชิงซ้อน

สำหรับเส้นโค้งอวกาศสองเส้นและพื้นผิวการแปลสามารถแสดงได้ดังนี้: ^{[ 5 ]}${\displaystyle \ c_{1}:\;{\vec {x}}=\gamma _{1}(u)\ }$${\displaystyle \ c_{2}:\;{\vec {x}}=\gamma _{2}(v)\ }$${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}}$${\displaystyle \Phi }$

(ทีเอส)${\displaystyle \quad {\vec {x}}=\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v)\;}$

และมีจุดกำเนิดอยู่ภายใน เห็นได้ชัดว่าคำจำกัดความนี้มีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นโค้งและดังนั้น เส้นโค้งทั้งสองจึงเรียกว่าเส้นกำเนิด ( generatrix ) จุดใดๆบนพื้นผิวจะอยู่ในสำเนาที่เลื่อนไปของและตามลำดับ ระนาบสัมผัสที่ถูกสร้างขึ้นโดยเวกเตอร์สัมผัสของเส้นกำเนิด ณ จุดนี้ หากเวกเตอร์เหล่านี้เป็นอิสระเชิงเส้น ${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle X}$

หากเงื่อนไขเบื้องต้นไม่เป็นไปตามที่กำหนด พื้นผิวที่กำหนดโดย(TS)อาจไม่มีจุดกำเนิดและเส้นโค้งแต่ไม่ว่าในกรณีใด พื้นผิวจะมีสำเนาที่เลื่อนไปของเส้นโค้งใดๆ ก็ตามเป็นเส้นโค้งพาราเมตริกตามลำดับ ${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle {\vec {x}}(u_{0},v)}$${\displaystyle {\vec {x}}(u,v_{0})}$

เส้นโค้งทั้งสองสามารถใช้สร้างพื้นผิวที่เรียกว่าพื้นผิวกึ่งกลางคอร์ด ที่สอดคล้องกันได้ การแสดงผลแบบพาราเมตริกของพื้นผิวนี้คือ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

(เอ็มซีเอส)${\displaystyle \quad {\vec {x}}={\frac {1}{2}}(\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v))\;.}$

เฮลิคอยด์เป็นกรณีพิเศษของเฮลิคอยด์ทั่วไปและพื้นผิวแบบเส้นตรงมันเป็นตัวอย่างของพื้นผิวขั้นต่ำและสามารถแสดงได้ในรูปของพื้นผิวการเลื่อน

เฮลิคอยด์ที่มีการแสดงแบบพาราเมตริก

${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(u\cos v,u\sin v,kv)}$

มีการเปลี่ยนทิศทาง (ภาษาเยอรมัน: Ganghöhe) การแนะนำพารามิเตอร์ใหม่^{[ 6 ]}เช่น ${\displaystyle 2\pi k}$${\displaystyle \alpha ,\varphi }$

${\displaystyle u=2a\cos \left({\frac {\alpha -\varphi }{2}}\right)\ ,\ \ v={\frac {\alpha +\varphi }{2}}}$

และจำนวนจริงบวก จะได้การแสดงแบบพาราเมตริกใหม่ ${\displaystyle a}$

• ${\displaystyle {\vec {X}}(\alpha ,\varphi )=\left(a\cos \alpha +a\cos \varphi \;,\;a\sin \alpha +a\sin \varphi \;,\;{\frac {k\alpha }{2}}+{\frac {k\varphi }{2}}\right)}$

${\displaystyle =(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}})\ +\ (a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}})\ ,}$

ซึ่งเป็นการแสดงแบบพาราเมตริกของพื้นผิวการแปลที่มีเส้นกำเนิดสองเส้นที่เหมือนกัน (!)

${\displaystyle c_{1}:\;\gamma _{1}={\vec {X}}(\alpha ,0)=\left(a+a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}}\right)\quad }$และ

${\displaystyle c_{2}:\;\gamma _{2}={\vec {X}}(0,\varphi )=\left(a+a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}}\right)\ .}$

จุดร่วมที่ใช้สำหรับแผนภาพคือเส้นกำเนิด (ที่เหมือนกัน) เป็นเส้นโค้งเกลียวที่มีการเลื่อนจุดเปลี่ยนทิศทางซึ่งอยู่บนทรงกระบอกที่มีสมการเส้นโค้งพาราเมตริกใดๆ เป็นสำเนาที่เลื่อนของเส้นกำเนิด(ในแผนภาพ: สีม่วง) และบรรจุอยู่ในทรงกระบอกวงกลมด้านขวาที่มีรัศมีซึ่งบรรจุแกน z${\displaystyle P={\vec {X}}(0,0)=(2a,0,0)}$${\displaystyle k\pi \;,}$${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle a}$

การแสดงผลแบบพาราเมตริกใหม่นี้แสดงเฉพาะจุดของเฮลิคอยด์ที่อยู่ภายในทรงกระบอกที่มีสมการเท่านั้น ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=4a^{2}}$

จากการนำเสนอแบบพาราเมตริกใหม่ ทำให้เรารู้ว่า เฮลิคอยด์ก็เป็นพื้นผิวคอร์ดกลางด้วยเช่นกัน:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {X}}(\alpha ,\varphi )&=\left(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}}\right)\ +\ \left(a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}}\right)\\[5pt]&={\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha )+\delta _{2}(\varphi ))\ ,\quad \end{aligned}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle d_{1}:\ {\vec {x}}=\delta _{1}(\alpha )=(2a\cos \alpha ,2a\sin \alpha ,k\alpha )\ ,\quad }$และ

${\displaystyle d_{2}:\ {\vec {x}}=\delta _{2}(\varphi )=(2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi ,k\varphi )\ ,\quad }$

เป็นสัตว์สองชนิดที่มีลักษณะเหมือนกันทุกประการ

ในแผนภาพ: อยู่บนเกลียวและบนเกลียว (ที่เหมือนกัน) จุดกึ่งกลางของคอร์ดคือ ${\displaystyle P_{1}:\delta _{1}(\alpha _{0})}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle P_{2}:\delta _{2}(\varphi _{0})}$${\displaystyle d_{2}}$${\displaystyle \ M:{\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha _{0})+\delta _{2}(\varphi _{0}))={\vec {X}}(\alpha _{0},\varphi _{0})\ }$

สถาปัตยกรรม

พื้นผิว (เช่น หลังคา) สามารถผลิตได้โดยใช้แม่แบบสำหรับส่วนโค้ง และแม่แบบส่วนโค้งที่เหมือนกันหลายชิ้นแม่แบบเหล่านี้สามารถออกแบบได้โดยไม่ต้องมีความรู้ทางคณิตศาสตร์ เพียงแค่จัดวางแม่แบบก็ต้องปฏิบัติตามกฎของพื้นผิวการเลื่อน แล้ว${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{1}}$

เรขาคณิตเชิงพรรณนา

ในการสร้างภาพฉายขนานของพื้นผิวการเลื่อน ต้อง 1) สร้างภาพฉายของเส้นกำเนิดทั้งสอง 2) สร้างแม่แบบเส้นโค้งและ 3) ใช้แม่แบบนี้วาดสำเนาของเส้นโค้งโดยเคารพกฎของพื้นผิวการเลื่อน เส้นขอบของพื้นผิวคือเส้นห่อหุ้มของเส้นโค้งที่วาดด้วยแม่แบบ ขั้นตอนนี้ใช้ได้กับภาพฉายตั้งฉากและภาพฉายเฉียง แต่ใช้ไม่ได้กับภาพ ฉายศูนย์กลาง${\displaystyle c_{1}}$

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

สำหรับพื้นผิวการแปลที่มีการแสดงแบบพาราเมตริก อนุพันธ์ย่อยของจะเป็นอนุพันธ์อย่างง่ายของเส้นโค้ง ดังนั้น อนุพันธ์ผสม จึงเป็น เสมอและสัมประสิทธิ์ของรูปแบบพื้นฐานที่สอง ก็ เป็นเช่นกัน นี่เป็นสิ่งอำนวยความสะดวกที่สำคัญสำหรับการแสดงให้เห็นว่า (ตัวอย่างเช่น) เฮลิคอยด์เป็นพื้นผิวขั้นต่ำ ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v)\;}$${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle 0}$

• พื้นผิวของการหมุน (เส้นโค้งหนึ่งคือวงกลม)
• พื้นผิวช่องทาง (เส้นโค้งหนึ่งถูกแทนที่ด้วยทรงกลม)
• การสร้างแบบจำลองพื้นผิวแบบอิสระ (สามารถเลื่อนเส้นโค้งเพื่อสร้างพื้นผิวได้)

• "พื้นผิวการแปล" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]