ถ้าตัวสร้างตัวแปรสุ่ม${\displaystyle X}$เป็นแบบไม่ต่อเนื่องที่มีฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวล${\displaystyle x_{1}\mapsto p_{1},x_{2}\mapsto p_{2},\ldots ,x_{n}\mapsto p_{n}}$, แล้ว $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot {\left(x_{i}-\mu \right)}^{2},}$$ ที่ไหน${\displaystyle \mu }$คือค่าที่คาดหวัง นั่นคือ $${\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}.}$$ (เมื่อ มีการระบุค่า ความแปรปรวนแบบถ่วงน้ำหนัก ที่ไม่ต่อเนื่อง โดยใช้ค่าน้ำหนักที่มีผลรวมไม่เท่ากับ 1 จะต้องหารด้วยผลรวมของค่าน้ำหนักเหล่านั้น)

ความแปรปรวนของกลุ่มของ${\displaystyle n}$ค่าที่มีโอกาสเท่ากันสามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2},}$$ ที่ไหน${\displaystyle \mu }$คือค่าเฉลี่ย นั่นคือ $${\displaystyle \mu ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$$

ความแปรปรวนของเซต${\displaystyle n}$ค่าที่เป็นไปได้เท่ากันสามารถแสดงได้อย่างเทียบเท่ากัน โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงค่าเฉลี่ยโดยตรง ในแง่ของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของระยะทางกำลังสองระหว่างจุดแต่ละคู่: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}{\left(x_{i}-x_{j}\right)}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i}\sum _{j>i}{\left(x_{i}-x_{j}\right)}^{2}.}$$

ถ้าตัวแปรสุ่ม${\displaystyle X}$มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น${\displaystyle f(x)}$และ​${\displaystyle F(x)}$คือฟังก์ชันการกระจายสะสมที่ สอดคล้องกัน ดังนั้น $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}&=\int _{\mathbb {R} }{\left(x-\mu \right)}^{2}f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-2\mu \int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }f(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \int _{\mathbb {R} }x\,dF(x)+\mu ^{2}\int _{\mathbb {R} }\,dF(x)\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-2\mu \cdot \mu +\mu ^{2}\cdot 1\\[4pt]&=\int _{\mathbb {R} }x^{2}\,dF(x)-\mu ^{2},\end{aligned}}}$$ หรือเทียบเท่ากัน $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int _{\mathbb {R} }x^{2}f(x)\,dx-\mu ^{2},}$$ ที่ไหน${\displaystyle \mu }$คือค่าที่คาดหวังของ${\displaystyle X}$มอบให้โดย $${\displaystyle \mu =\int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} }x\,dF(x).}$$

ในสูตรเหล่านี้ อินทิกรัลเทียบกับ${\displaystyle dx}$และ${\displaystyle dF(x)}$คือ ปริพันธ์ ของ Lebesgueและ ปริพันธ์ ของ Lebesgue–Stieltjesตามลำดับ

ถ้าฟังก์ชัน${\displaystyle x^{2}f(x)}$สามารถหาปริพันธ์รีมันน์ได้บนทุกช่วงจำกัด${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} ,}$แล้ว $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)\,dx-\mu ^{2},}$$ โดยที่ปริมาณอินทิกรัลดังกล่าวเป็น อินทิกรั ลรีมันน์ที่ไม่เหมาะสม

การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลที่มีพารามิเตอร์⁠${\displaystyle \lambda >0}$เป็นการแจกแจงแบบต่อเนื่องซึ่งฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นกำหนดโดย $${\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x}}$$ บนช่วง[ 0, ∞)ค่าเฉลี่ยของมันสามารถแสดงได้ดังนี้ $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }x\lambda e^{-\lambda x}\,dx={\frac {1}{\lambda }}.}$$

เมื่อใช้การอินทิเกรตโดยส่วนและใช้ค่าที่คาดหวังที่คำนวณไว้แล้ว เราจะได้: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X^{2}\right]&=\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx\\&={\left[-x^{2}e^{-\lambda x}\right]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }2xe^{-\lambda x}\,dx\\&=0+{\frac {2}{\lambda }}\operatorname {E} [X]\\&={\frac {2}{\lambda ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

ดังนั้น ความแปรปรวนของ⁠${\displaystyle X}$ได้รับจาก $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}={\frac {2}{\lambda ^{2}}}-\left({\frac {1}{\lambda }}\right)^{2}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}.}$$

ลูกเต๋าหกด้านที่ยุติธรรมสามารถจำลองได้เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง${\displaystyle X}$โดยมีผลลัพธ์ 1 ถึง 6 ซึ่งแต่ละผลลัพธ์มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากันที่ 1/6 ค่าที่คาดหวังของ${\displaystyle X}$คือ​${\displaystyle (1+2+3+4+5+6)/6=7/2.}$ดังนั้น ความแปรปรวนของ⁠${\displaystyle X}$คือ​ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\sum _{i=1}^{6}{\frac {1}{6}}\left(i-{\frac {7}{2}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{6}}\left((-5/2)^{2}+(-3/2)^{2}+(-1/2)^{2}+(1/2)^{2}+(3/2)^{2}+(5/2)^{2}\right)\\[5pt]&={\frac {35}{12}}\approx 2.92.\end{aligned}}}$$

สูตรทั่วไปสำหรับความแปรปรวนของผลลัพธ์คือ⁠${\displaystyle X}$ของ​​${\displaystyle n}$ลูกเต๋า ⁠ด้านคือ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left(X^{2}\right)-(\operatorname {E} (X))^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}-\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}\\[4pt]&={\frac {n^{2}-1}{12}}.\end{aligned}}}$$

ตารางต่อไปนี้แสดงค่าความแปรปรวนของการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ใช้กันทั่วไปบางแบบ

ชื่อของการแจกแจงความน่าจะเป็น	ฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็น	หมายถึง	ความแปรปรวน
การแจกแจงทวินาม	${\displaystyle \Pr \,(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$	${\displaystyle np}$	${\displaystyle np(1-p)}$
การแจกแจงทางเรขาคณิต	${\displaystyle \Pr \,(X=k)=(1-p)^{k-1}p}$	${\displaystyle {\frac {1}{p}}}$	${\displaystyle {\frac {(1-p)}{p^{2}}}}$
การกระจายแบบปกติ	${\displaystyle f\left(x\mid \mu ,\sigma ^{2}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {1}{2}}{\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}^{2}}}$	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \sigma ^{2}}$
การแจกแจงแบบสม่ำเสมอ (ต่อเนื่อง)	${\displaystyle f(x\mid a,b)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[3pt]0&{\text{for }}x<a{\text{ or }}x>b\end{cases}}}$	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {(b-a)^{2}}{12}}}$
การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล	${\displaystyle f(x\mid \lambda )=\lambda e^{-\lambda x}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$
การแจกแจงปัวซง	${\displaystyle f(k\mid \lambda )={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \lambda }$

ค่าความแปรปรวนไม่ติดลบ เนื่องจากกำลังสองมีค่าเป็นบวกหรือศูนย์: $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)\geq 0.}$$

ความแปรปรวนของค่าคงที่เท่ากับศูนย์ $${\displaystyle \operatorname {Var} (a)=0.}$$

ในทางกลับกัน หากความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มเป็น 0 แสดงว่าตัวแปรสุ่มนั้นเกือบจะเป็นค่าคงที่ กล่าวคือ มันจะมีค่าเท่าเดิมเสมอ $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=0\iff \exists a:P(X=a)=1.}$$

หากการแจกแจงไม่มีค่าคาดหวังที่จำกัด เช่นเดียวกับการแจกแจงโคชีความแปรปรวนก็จะไม่จำกัดเช่นกัน อย่างไรก็ตาม การแจกแจงบางประเภทอาจไม่มีความแปรปรวนที่จำกัด แม้ว่าค่าคาดหวังจะจำกัดก็ตาม ตัวอย่างเช่นการแจกแจงพาเรโตซึ่งดัชนี...${\displaystyle k}$พอใจ${\displaystyle 1<k\leq 2.}$

สูตรทั่วไปสำหรับการแยกส่วนความแปรปรวนหรือกฎของความแปรปรวนรวมคือ: ถ้า${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$เป็นตัวแปรสุ่มสองตัว และความแปรปรวนของ${\displaystyle X}$มีอยู่จริงแล้ว $${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} (\operatorname {Var} [X\mid Y])+\operatorname {Var} (\operatorname {E} [X\mid Y]).}$$

ความคาดหวัง แบบมีเงื่อนไข${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y)}$ของ${\displaystyle X}$ที่ให้ไว้${\displaystyle Y}$และความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไข${\displaystyle \operatorname {Var} (X\mid Y)}$อาจเข้าใจได้ดังนี้ เมื่อกำหนดค่าy ใดๆ ให้กับ ตัวแปรสุ่มYแล้ว จะมีค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไข ${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y=y)}$ กำหนดให้เหตุการณ์Y = yปริมาณนี้ขึ้นอยู่กับค่าy ที่เฉพาะเจาะจง มันเป็นฟังก์ชัน    ${\displaystyle g(y)=\operatorname {E} (X\mid Y=y)}$ฟังก์ชันเดียวกันนั้น เมื่อประเมินค่าที่ตัวแปรสุ่มY จะได้ เป็นค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไข${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y)=g(Y)}$⁠ .

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า${\displaystyle Y}$เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งมีค่าที่เป็นไปได้หลายค่า${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}\ldots }$พร้อมด้วยความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3}\ldots ,}$ดังนั้น ในสูตรสำหรับความแปรปรวนรวม พจน์แรกทางด้านขวามือจะกลายเป็น $${\displaystyle \operatorname {E} (\operatorname {Var} [X\mid Y])=\sum _{i}p_{i}\sigma _{i}^{2},}$$ ที่ไหน${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=\operatorname {Var} [X\mid Y=y_{i}]}$ในทำนองเดียวกัน พจน์ที่สองทางด้านขวามือจะกลายเป็น $${\displaystyle \operatorname {Var} (\operatorname {E} [X\mid Y])=\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\left(\sum _{i}p_{i}\mu _{i}\right)^{2}=\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\mu ^{2},}$$ ที่ไหน​${\displaystyle {1}}$และ​​${\displaystyle \textstyle \mu =\sum _{i}p_{i}\mu _{i}}$ดังนั้นความแปรปรวนรวมจึงกำหนดโดย $${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\sum _{i}p_{i}\sigma _{i}^{2}+\left(\sum _{i}p_{i}\mu _{i}^{2}-\mu ^{2}\right).}$$

มีการใช้สูตรที่คล้ายกันในการวิเคราะห์ความแปรปรวนโดยสูตรที่เกี่ยวข้องคือ $${\displaystyle {\mathit {MS}}_{\text{total}}={\mathit {MS}}_{\text{between}}+{\mathit {MS}}_{\text{within}};}$$ ที่นี่${\displaystyle {\mathit {MS}}}$หมายถึงค่าเฉลี่ยกำลังสอง ใน การวิเคราะห์ การถดถอยเชิงเส้นสูตรที่เกี่ยวข้องคือ $${\displaystyle {\mathit {MS}}_{\text{total}}={\mathit {MS}}_{\text{regression}}+{\mathit {MS}}_{\text{residual}}.}$$

สิ่งนี้สามารถอนุมานได้จากคุณสมบัติการบวกของความแปรปรวน เนื่องจากคะแนนรวม (ที่สังเกตได้) คือผลรวมของคะแนนที่คาดการณ์และคะแนนความคลาดเคลื่อน โดยที่ทั้งสองค่าหลังไม่มีความสัมพันธ์กัน

สามารถแยกส่วนในลักษณะเดียวกันได้สำหรับผลรวมของกำลังสองของส่วนเบี่ยงเบน (ผลรวมของกำลังสอง)${\displaystyle {\mathit {SS}}}$): $${\displaystyle {\mathit {SS}}_{\text{total}}={\mathit {SS}}_{\text{between}}+{\mathit {SS}}_{\text{within}},}$$$${\displaystyle {\mathit {SS}}_{\text{total}}={\mathit {SS}}_{\text{regression}}+{\mathit {SS}}_{\text{residual}}.}$$

ความแปรปรวนของประชากรสำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นลบสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันการกระจายสะสมFโดยใช้ $${\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }u(1-F(u))\,du-{\left[\int _{0}^{\infty }(1-F(u))\,du\right]}^{2}.}$$

สามารถใช้สูตรนี้ในการคำนวณความแปรปรวนในสถานการณ์ที่สามารถแสดงฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) ได้อย่างสะดวก แต่ไม่สามารถแสดงความหนาแน่น ได้

โมเมนต์ที่สองของตัวแปรสุ่มจะมีค่าต่ำสุดเมื่อคำนวณเทียบกับโมเมนต์แรก (เช่น ค่าเฉลี่ย) ของตัวแปรสุ่มนั้น กล่าวคือ⁠${\displaystyle \mathrm {argmin} _{m}\,\mathrm {E} \left(\left(X-m\right)^{2}\right)=\mathrm {E} (X)}$ในทางกลับกัน ถ้าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง${\displaystyle \varphi }$พอใจ${\displaystyle \mathrm {argmin} _{m}\,\mathrm {E} (\varphi (X-m))=\mathrm {E} (X)}$สำหรับตัวแปรสุ่มX ทุกตัว แล้ว จะต้องมีรูปแบบดังนี้ เสมอ${\displaystyle \varphi (x)=ax^{2}+b}$โดยที่ a > 0ซึ่งยังคงใช้ได้ในกรณีหลายมิติด้วย ^{[ 3 ]}

ต่างจากค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ที่คาดหวังค่าความแปรปรวนของตัวแปรจะมีหน่วยเป็นกำลังสองของหน่วยของตัวแปรนั้นเอง ตัวอย่างเช่น ตัวแปรที่วัดเป็นเมตรจะมีค่าความแปรปรวนวัดเป็นเมตรกำลังสอง ด้วยเหตุนี้ การอธิบายชุดข้อมูลโดยใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานรากกำลังสองจึงมักเป็นที่นิยมมากกว่าการใช้ค่าความแปรปรวน ในตัวอย่างลูกเต๋า ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ√2.9 ≈ 1.7 ซึ่งมากกว่าค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ที่คาดหวัง 1.5 เล็กน้อย

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานและค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ที่คาดหวังสามารถใช้เป็นตัวบ่งชี้ "การกระจาย" ของการแจกแจงได้ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานนั้นง่ายต่อการจัดการทางพีชคณิตมากกว่าค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ที่คาดหวัง และเมื่อใช้ร่วมกับความแปรปรวนและความแปรปรวน ร่วมซึ่งเป็นส่วนขยายของความแปรปรวน ก็มักถูกใช้บ่อยในสถิติเชิงทฤษฎี อย่างไรก็ตาม ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ที่คาดหวังมักมีความเสถียร มากกว่า เนื่องจากมีความไวต่อค่าผิดปกติที่เกิดจากความผิดปกติในการวัดหรือการแจกแจงที่มีหางหนัก เกินไปน้อย กว่า

ค่าความแปรปรวนไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อค่าพารามิเตอร์ตำแหน่ง เปลี่ยน ไป กล่าวคือ หากเพิ่มค่าคงที่ให้กับค่าทั้งหมดของตัวแปร ค่าความแปรปรวนจะไม่เปลี่ยนแปลง $${\displaystyle \operatorname {Var} (X+a)=\operatorname {Var} (X).}$$

ถ้าค่าทั้งหมดถูกปรับขนาดด้วยค่าคงที่ ค่าความแปรปรวนก็จะถูกปรับขนาดด้วยกำลังสองของค่าคงที่นั้น: $${\displaystyle \operatorname {Var} (aX)=a^{2}\operatorname {Var} (X).}$$

ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัวหาได้จากสูตร $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (aX+bY)&=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\\[1ex]\operatorname {Var} (aX-bY)&=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)-2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\end{aligned}}}$$ ที่ไหน${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)}$คือค่าความแปรปรวนร่วม

โดยทั่วไป สำหรับผลรวมของ${\displaystyle N}$ตัวแปรสุ่ม${\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{N}\}}$ดังนั้นค่าความแปรปรวนจึงเป็นดังนี้: $${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i,j=1}^{N}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i,j=1,i\neq j}^{N}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}),}$$ ดูเพิ่มเติมที่อัตลักษณ์ทั่วไปของ Bienaymé

ผลลัพธ์เหล่านี้ทำให้ได้ค่าความแปรปรวนของผลรวมเชิงเส้นดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i}\right)&=\sum _{i,j=1}^{N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\neq j}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{1\leq i<j\leq N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}).\end{aligned}}}$$

ถ้าตัวแปรสุ่ม${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{N}}$เป็นเช่นนั้น $${\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=0\ ,\ \forall \ (i\neq j),}$$ ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าตัวแปรสุ่มเหล่านั้นไม่มีความสัมพันธ์กันจากนิพจน์ที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ จึงสรุปได้ทันทีว่า ถ้าตัวแปรสุ่ม${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{N}}$ถ้าตัวแปรเหล่านั้นไม่มีความสัมพันธ์กัน ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรเหล่านั้นจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านั้น หรือเขียนในเชิงสัญลักษณ์ได้ดังนี้: $${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i}).}$$

เนื่องจากตัวแปรสุ่มอิสระมักไม่มีความสัมพันธ์กัน (ดูหัวข้อ ความแปรปรวนร่วม §  ความไม่สัมพันธ์กันและความเป็นอิสระ ) สมการข้างต้นจึงเป็นจริงโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวแปรสุ่ม${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ตัวแปรเหล่านี้เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้น ความเป็นอิสระจึงเป็นปัจจัยที่เพียงพอ แต่ไม่ใช่ปัจจัยที่จำเป็น เพื่อทำให้ความแปรปรวนของผลรวมเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน

วิธีเดลต้า ใช้ การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์อันดับสองเพื่อประมาณค่าความแปรปรวนของฟังก์ชันของตัวแปรสุ่มหนึ่งตัวหรือมากกว่า (ดูการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์สำหรับโมเมนต์ของฟังก์ชันของตัวแปรสุ่ม ) ตัวอย่างเช่น ค่าความแปรปรวนโดยประมาณของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัวกำหนดโดย $${\displaystyle \operatorname {Var} \left[f(X)\right]\approx \left(f'(\operatorname {E} \left[X\right])\right)^{2}\operatorname {Var} \left[X\right]}$$ โดยมีเงื่อนไขว่าfสามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้ และค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของXมีค่าจำกัด

โดยทั่วไปความแปรปรวนของประชากรในประชากรที่มีขนาดจำกัด⁠${\displaystyle N}$โดยที่ค่า x กำหนดโดย $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}&={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\left(x_{i}-\mu \right)}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}^{2}-2\mu x_{i}+\mu ^{2}\right)\\[5pt]&=\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-2\mu \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)+\mu ^{2}\\[5pt]&=\operatorname {E} [x_{i}^{2}]-\mu ^{2},\end{aligned}}}$$ โดยที่ค่าเฉลี่ยของประชากรคือ${\textstyle \mu =\operatorname {E} [x_{i}]={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}}$และ​${\displaystyle \textstyle \operatorname {E} [x_{i}^{2}]=\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)}$โดยที่${\textstyle \operatorname {E} }$คือตัวดำเนินการค่าคาดหวัง

ความแปรปรวนของประชากรยังสามารถคำนวณได้โดยใช้^{[ 13 ]}$${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i<j}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}={\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}.}$$

(ด้านขวามีพจน์ซ้ำกันในผลรวม ในขณะที่ด้านตรงกลางมีเฉพาะพจน์ที่ไม่ซ้ำกันเท่านั้น) นี่เป็นความจริงเพราะ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}{\left(x_{i}-x_{j}\right)}^{2}\\[5pt]={}&{\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}\left(x_{i}^{2}-2x_{i}x_{j}+x_{j}^{2}\right)\\[5pt]={}&{\frac {1}{2N}}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}x_{j}\right)+{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}x_{j}^{2}\right)\\[5pt]={}&{\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)-\mu ^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)\\[5pt]={}&\sigma ^{2}.\end{aligned}}}$$

ความแปรปรวนของประชากรจะตรงกับความแปรปรวนของการกระจายความน่าจะเป็นที่สร้างขึ้น ในแง่นี้ แนวคิดของประชากรสามารถขยายไปสู่ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่มีประชากรอนันต์ได้