ในฟิสิกส์เชิงทฤษฎีทฤษฎีทวิสเตอร์ได้รับการเสนอโดยโรเจอร์ เพนโรสในปี 1967 ^{[ 1 ]}ในฐานะการรวมกันของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} ( เรขาคณิต ของกาลอวกาศ ) ^{[ 3 ]}และกลศาสตร์ควอนตัม^{[ 2 ] [ 3 ]} (ทฤษฎีควอนตัม) ^{[ 4 ]}และต่อมาได้พัฒนาเป็นสาขาหนึ่งของ ฟิสิกส์ เชิงทฤษฎีและคณิตศาสตร์ ที่มีการศึกษาอย่างกว้างขวาง แนวคิดของเพนโรสคือพื้นที่ทวิสเตอร์ควรเป็นสนามพื้นฐานสำหรับฟิสิกส์ซึ่งกาลอวกาศเองควรจะเกิดขึ้นจากที่นั่น แนวคิดนี้ได้นำไปสู่เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่มีประสิทธิภาพซึ่งมีการประยุกต์ใช้กับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และ เชิงปริพันธ์ สมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นและทฤษฎีการแทนและในฟิสิกส์กับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปทฤษฎีสนามควอนตัมและทฤษฎีแอมพลิ จูด การกระเจิง

ทฤษฎีทวิสเตอร์เกิดขึ้นในบริบทของการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ที่ขยายตัวอย่างรวดเร็วในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์ในช่วงปลายทศวรรษ 1950 และในทศวรรษ 1960 และได้รับอิทธิพลหลายประการจากช่วงเวลานั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โรเจอร์ เพนโรส ได้ยกย่องไอเวอร์ โรบินสันว่าเป็นผู้มีอิทธิพลสำคัญในช่วงเริ่มต้นของการพัฒนาทฤษฎีทวิสเตอร์ ผ่านการสร้างสิ่งที่เรียกว่าโรบินสัน คอนกรุเอนซ์^{[ 5 ]}

พื้นที่ทวิ สเตอร์เชิงฉาย${\displaystyle \mathbb {PT} }$เป็นปริภูมิเชิงฉาย 3 มิติ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$เป็น วาไรตี้พีชคณิตแบบกะทัดรัดสามมิติ ที่ง่ายที่สุดมีการตีความทางกายภาพว่าเป็นปริภูมิของอนุภาคไร้มวลที่มีสปินเป็นการทำให้เป็นเชิงโปรเจก ทีฟของ ปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนสี่มิติซึ่งเป็นปริภูมิทวิสเตอร์ที่ไม่ใช่เชิงโปรเจกทีฟ${\displaystyle \mathbb {T} }$โดยมีรูปแบบลายเซ็นเฮอร์มิเชียน( 2,  2) และรูปแบบปริมาตรโฮโลมอร์ ฟิก สิ่งนี้สามารถเข้าใจได้อย่างเป็นธรรมชาติที่สุดว่าเป็นพื้นที่ของสปินเนอร์ไครัล ( Weyl ) สำหรับกลุ่มคอนฟอร์มอล SO(4,2)/Z ของพื้นที่มิงโกวสกีมันคือการแสดงแทนพื้นฐานของกลุ่มสปิน SU(2,2) ของกลุ่มคอนฟอร์มอล คำจำกัดความนี้สามารถขยายไปยังมิติใดๆ ก็ได้ ยกเว้นว่านอกเหนือจากมิติสี่แล้ว เรากำหนดพื้นที่ทวิสเตอร์เชิงโปรเจกทีฟให้เป็นพื้นที่ของสปินเนอร์บริสุทธิ์ เชิงโปรเจกทีฟ ^{[ ​​6 ] [ 7 ]}สำหรับกลุ่มคอนฟอร์มอล^{[ 8 ] [ 9 ]}

ในรูปแบบดั้งเดิม ทฤษฎีทวิสเตอร์เข้ารหัสสนามทางกายภาพบนปริภูมิ Minkowski ในรูปของ วัตถุ เชิงวิเคราะห์เชิงซ้อนบนปริภูมิทวิสเตอร์ผ่านการแปลง Penroseซึ่งเป็นธรรมชาติอย่างยิ่งสำหรับสนามไร้มวลที่ มี สปิน ใดๆ ในขั้นแรก สนามเหล่านี้ได้มาจากการใช้ สูตร ปริพันธ์ตามเส้นโค้งในรูปของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกอิสระบนบริเวณในปริภูมิทวิสเตอร์ ฟังก์ชันทวิสเตอร์โฮโลมอร์ฟิกที่ก่อให้เกิดคำตอบของสมการสนามไร้มวลนั้น สามารถเข้าใจได้ลึกซึ้งยิ่งขึ้นในฐานะ ตัวแทน Čechของชั้นโคฮอ โมโลยีเชิงวิเคราะห์ บนบริเวณใน ปริภูมิทวิสเตอร์${\displaystyle \mathbb {PT} }$ความสัมพันธ์เหล่านี้ได้รับการขยายไปยังฟิลด์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นบางประเภท รวมถึง แรงโน้มถ่วง แบบคู่ตัวเอง ใน การสร้างกราวิตอนแบบไม่เป็นเชิงเส้น ของเพนโรส^{[ 10 ]}และฟิลด์หยาง-มิลส์ แบบคู่ตัวเอง ในการสร้างวอร์ดที่เรียกว่า^{[ 11 ]}ซึ่งแบบแรกทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงโครงสร้างของโครงสร้างเชิงซ้อนพื้นฐานของภูมิภาคใน${\displaystyle \mathbb {PT} }$และส่วนหลังไปยังกลุ่มเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิกบางกลุ่มเหนือภูมิภาคใน${\displaystyle \mathbb {PT} }$โครงสร้างเหล่านี้มีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวาง รวมถึงทฤษฎีของ ระบบอินทิกรัลด้วย^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}

เงื่อนไขความเป็นคู่ในตัวเองเป็นข้อจำกัดสำคัญสำหรับการรวมความไม่เป็นเชิงเส้นทั้งหมดของทฤษฎีทางฟิสิกส์ แม้ว่าจะเพียงพอสำหรับโมโนโพลและอินสแตนตอนของYang–Mills–Higgs ก็ตาม (ดูการสร้าง ADHM ) ^{[ 15 ]}ความพยายามในช่วงแรกในการเอาชนะข้อจำกัดนี้คือการแนะนำแอมบิทวิสเตอร์โดย Isenberg, Yasskin และ Green ^{[ 16 ]}และส่วนขยายซูเปอร์สเปซ ซูเปอร์แอมบิทวิสเตอร์โดยEdward Witten [ ^{17 ] ปริภูมิ}แอมบิทวิสเตอร์เป็นปริภูมิของรังสีแสงที่ซับซ้อนหรืออนุภาคไร้มวล และสามารถถือได้ว่าเป็นการทำให้ซับซ้อนหรือบันเดิลโคแทนเจนต์ของคำอธิบายทวิสเตอร์ดั้งเดิม โดยการขยายความสอดคล้องของแอมบิทวิสเตอร์ไปยังย่านใกล้เคียงอย่างเป็นทางการที่กำหนดไว้อย่างเหมาะสม Isenberg, Yasskin และ Green ^{[ 16 ]}ได้แสดงให้เห็นถึงความเท่าเทียมกันระหว่างการหายไปของความโค้งตามเส้นศูนย์ที่ขยายออกไปดังกล่าวและสมการสนาม Yang–Mills แบบเต็ม^{[ 16 ]} Witten ^{[ 17 ]}แสดงให้เห็นว่าการขยายเพิ่มเติมภายในกรอบของทฤษฎีซูเปอร์ยัง-มิลส์ ซึ่งรวมถึงฟิลด์เฟอร์มิออนิก และสเกลาร์ ทำให้เกิดสม การข้อจำกัดในกรณีของ ซู เปอร์สมมาตรN = 1 หรือ 2 ในขณะที่สำหรับ N = 3 (หรือ 4) เงื่อนไขการหายไปของความโค้งซูเปอร์ตามแนวเส้นศูนย์ซูเปอร์ (ซูเปอร์แอมบิทวิสเตอร์) บ่งบอกถึงชุดสมการสนาม ทั้งหมด รวมถึงสมการสำหรับฟิลด์เฟอร์มิออนิก ต่อมาได้แสดงให้เห็นว่า มีความสมมูล แบบ 1 ต่อ 1ระหว่างสมการข้อจำกัดความโค้งศูนย์และสมการสนามยัง-มิลส์แบบซูเปอร์สมมาตร^{[ 18 ] [ 19 ]}ผ่านการลดมิติ อาจอนุมานได้จากความสอดคล้องซูเปอร์แอมบิทวิสเตอร์ที่คล้ายคลึงกันสำหรับทฤษฎีซูเปอร์ยัง-มิลส์ 10 มิติ N = 1 ^{[ 20 ] [ 21 ]}      

สูตรทวิสเตอร์สำหรับการปฏิสัมพันธ์นอกเหนือจากภาคส่วนคู่ตัวเองยังเกิดขึ้นในทฤษฎีสตริงทวิสเตอร์ ของ Witten ^{[ 22 ]}ซึ่งเป็นทฤษฎีควอนตัมของแผนที่โฮโลมอร์ฟิกของพื้นผิวรีมันน์ไปยังพื้นที่ทวิสเตอร์ สิ่งนี้ทำให้เกิดสูตร RSV (Roiban, Spradlin และ Volovich) ที่กะทัดรัดอย่างน่าทึ่งสำหรับเมทริกซ์ S ระดับต้นไม้ ของทฤษฎี Yang–Mills ^{[ 23 ]}แต่ระดับความเป็นอิสระของแรงโน้มถ่วงทำให้เกิดซูเปอร์กราวิตี้แบบคอนฟอร์มอลเวอร์ชันหนึ่งที่จำกัดการใช้งานแรงโน้มถ่วง แบบคอนฟอร์มอล เป็นทฤษฎีที่ไม่เป็นไปตามหลักฟิสิกส์ที่มีโกสต์แต่ปฏิสัมพันธ์ของมันถูกรวมเข้ากับปฏิสัมพันธ์ของทฤษฎี Yang–Mills ในแอมพลิจูดลูปที่คำนวณผ่านทฤษฎีสตริงทวิสเตอร์^{[ 24 ]}

แม้จะมีข้อบกพร่องอยู่บ้าง แต่ทฤษฎีสตริงทวิสเตอร์ก็ทำให้เกิดการพัฒนาอย่างรวดเร็วในการศึกษาแอมพลิจูดการกระเจิง หนึ่งในนั้นคือรูปแบบ MHV ที่เรียกว่า^{[ 25 ]}ซึ่งอิงตามสตริงที่ไม่เชื่อมต่อกันอย่างหลวมๆ แต่ได้รับพื้นฐานที่สำคัญกว่าในแง่ของแอคชั่นทวิสเตอร์สำหรับทฤษฎี Yang–Mills เต็มรูปแบบในปริภูมิทวิสเตอร์^{[ 26 ]}การพัฒนาที่สำคัญอีกประการหนึ่งคือการแนะนำ การเรียก ซ้ำBCFW ^{[ 27 ]}ซึ่งมีสูตรที่เป็นธรรมชาติในปริภูมิทวิสเตอร์^{[ 28 ] [ 29 ]}ซึ่งนำไปสู่การกำหนดสูตรแอมพลิจูดการกระเจิงที่น่าทึ่งในแง่ของสูตรปริพันธ์กราสส์มันน์^{[ 30 ] [ 31 ]}และโพลีโทป [ ^{32 ] แนวคิด เหล่านี้ได้พัฒนาไปสู่กราสส์มันน์เชิงบวก [ 33 ]}และแอมพลิทูเฮ ดร อนเมื่อไม่นานมานี้

ทฤษฎีสตริงทวิสเตอร์ได้รับการขยายครั้งแรกโดยการวางนัยทั่วไปของสูตรแอมพลิจูด RSV Yang–Mills จากนั้นจึงค้นหาทฤษฎีสตริง พื้นฐาน การขยายไปสู่แรงโน้มถ่วงนั้นได้รับจาก Cachazo & Skinner ^{[ 34 ]}และได้รับการกำหนดสูตรเป็นทฤษฎีสตริงทวิสเตอร์สำหรับซูเปอร์กราวิตี้สูงสุดโดย David Skinner ^{[ 35 ]}จากนั้นสูตรที่คล้ายคลึงกันก็ถูกค้นพบในทุกมิติโดย Cachazo, He และ Yuan สำหรับทฤษฎี Yang–Mills และแรงโน้มถ่วง^{[ 36 ]}และต่อมาสำหรับทฤษฎีอื่นๆ อีกมากมาย^{[ 37 ] จากนั้น Mason และ Skinner [ 38 ]}เข้าใจว่าทฤษฎีเหล่านี้เป็นทฤษฎีสตริงในปริภูมิแอมบิทวิสเตอร์ในกรอบทั่วไปที่รวมถึงสตริงทวิสเตอร์ดั้งเดิมและขยายออกไปเพื่อให้ได้แบบจำลองและสูตรใหม่ๆ จำนวนมาก^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]} ในฐานะทฤษฎีสตริง พวกมันมี มิติวิกฤตเดียวกันกับทฤษฎีสตริงแบบดั้งเดิม ตัวอย่างเช่น เวอร์ชันซูเปอร์สมมาตร ประเภท IIมีความสำคัญในมิติสิบและเทียบเท่ากับทฤษฎีสนามเต็มรูปแบบของ ซูเปอร์กราวิตี้ประเภท II ในมิติสิบ (ซึ่งแตกต่างจากทฤษฎีสตริงทั่วไปที่มีลำดับชั้นอนันต์ของสถานะสปินที่สูงกว่ามวลมากซึ่งให้ความสมบูรณ์อัลตราไวโอเลต ) พวกมันขยายเพื่อให้ได้สูตรสำหรับแอมพลิจูดลูป^{[ 42 ] [ 43 ]}และสามารถกำหนดบนพื้นหลังโค้งได้^{[ 44 ]}

กำหนดให้ปริภูมิ Minkowskiเป็น⁠${\displaystyle M}$โดยมีพิกัด${\displaystyle x^{a}=(t,x,y,z)}$และเมตริกแบบลอเรนซ์${\displaystyle \eta _{ab}}$ลายเซ็น${\displaystyle (1,3)}$แนะนำดัชนีสปินเนอร์แบบ 2 องค์ประกอบ${\displaystyle A=0,1;\;A'=0',1',}$และตั้งค่า

${\displaystyle x^{AA'}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}tz&x+iy\\x-iy&t+z\end{pmatrix}}.}$

พื้นที่ทวิสเตอร์ที่ไม่ใช่การฉายภาพ${\displaystyle \mathbb {T} }$เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนสี่มิติที่มีพิกัดแสดงด้วย${\displaystyle Z^{\alpha }=\left(\omega ^{A},\,\pi _{A'}\right)}$ที่ไหน${\displaystyle \omega ^{A}}$และ${\displaystyle \pi _{A'}}$เป็นสปินเนอร์ Weyl คงที่สอง ตัว รูปแบบเฮอร์มิเชียนสามารถแสดงได้โดยการกำหนดคอนจูเกชันเชิงซ้อนจาก${\displaystyle \mathbb {T} }$ไปสู่คู่ของมัน${\displaystyle \mathbb {T} ^{*}}$โดย${\displaystyle {\bar {Z}}_{\alpha }=\left({\bar {\pi }}_{A},\,{\bar {\omega }}^{A'}\right)}$เพื่อให้สามารถแสดงรูปแบบเฮอร์มิเชียนได้ดังนี้

${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }=\omega ^{A}{\bar {\pi }}_{A}+{\bar {\omega }}^{A'}\pi _{A'}.}$

สิ่งนี้ประกอบกับรูปแบบปริมาตรโฮโลมอร์ฟิก${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }Z^{\alpha }dZ^{\beta }\ลิ่ม dZ^{\gamma }\ลิ่ม dZ^{\delta }}$ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้กลุ่ม SU(2,2) ซึ่งเป็นการปกคลุมสี่เท่าของกลุ่มคอนฟอร์มอล C(1,3) ของปริภูมิเวลา Minkowski แบบกระชับ

จุดต่างๆ ในปริภูมิ Minkowski มีความสัมพันธ์กับปริภูมิย่อยของปริภูมิ Twistor ผ่านความสัมพันธ์เชิงเหตุการณ์

${\displaystyle \omega ^{A}=ix^{AA'}\pi _{A'}.}$

ความสัมพันธ์ของการตกกระทบยังคงอยู่ภายใต้การปรับขนาดที่ซับซ้อนโดยรวมของทวิสเตอร์ การปรับขนาดนี้กำหนดขอบเขตเสาธง ทิศทางระนาบธง และเครื่องหมายสปินเนอร์ให้กับรังสี${\displaystyle \mathbf {Z} \in \mathbb {PT} }$การแปลที่แท้จริง${\displaystyle x^{a}\rightarrow x^{a}+q^{a}}$จะจากไป${\displaystyle Z^{\alpha }}$ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อใดก็ตามที่${\displaystyle q^{a}}$มีรูปแบบ${\displaystyle q^{a}=u{\bar {\pi }}^{A}\pi ^{A'}}$, ที่ไหน${\displaystyle u}$เป็นจำนวนจริง ดังนั้นการแปลจึงทำให้จุดเปลี่ยนตำแหน่ง${\displaystyle \mathbf {x} }$ไปยังจุดอื่นบนลำแสง${\displaystyle \mathbf {Z} }$การกำหนดจุด${\displaystyle x\in M}$แต่กลับกำหนดเส้น${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ใน${\displaystyle \mathbb {PT} }$กำหนดพารามิเตอร์โดย⁠${\displaystyle \pi _{A'}}$ถ้า​${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, แล้ว${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }}$จำเป็นต้องหายไป และเส้นโปรเจคทีฟเชิงซ้อนที่สอดคล้องกันจะอยู่ภายในปริภูมิห้ามิติของทวิสเตอร์ศูนย์${\displaystyle \mathbb {PN} }$สำหรับทวิสเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }}$ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นจึงไม่มีคำตอบที่แท้จริง ทวิสเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์มีการตีความทางกายภาพว่าเป็นอนุภาคไร้มวลที่มีสปิน พวกมันไม่ได้ถูกจำกัดอยู่ในปริภูมิเวลา เนื่องจากไม่มีรังสีใดที่ถูกแยกออกมาซึ่งสามารถถือได้ว่าเป็นเส้นทางโลกของอนุภาค

• ความเป็นอิสระของภูมิหลัง
• กาลอวกาศที่ซับซ้อน
• ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีแรงโน้มถ่วงควอนตัมแบบวงปิด
• ความสอดคล้องของโรบินสัน
• เครือข่ายสปิน
• รูปทรงเรขาคณิตบิดเบี้ยว

• Atiyah, Michael; Dunajski, Maciej; Mason, Lionel J. (2017). "ทฤษฎีทวิสเตอร์ครบรอบห้าสิบปี: จากอินทิกรัลเส้นโค้งสู่สตริงทวิสเตอร์" Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 473 (2206) 20170530. arXiv : 1704.07464 . Bibcode : 2017RSPSA.47370530A . doi : 10.1098/rspa.2017.0530 . PMC 5666237 . PMID 29118667 . S2CID 5735524 .   
• เบิร์ด, พี., " บทนำเกี่ยวกับทวิสเตอร์ "
• Huggett, S. และ Tod, KP (1994). บทนำสู่ทฤษฎีทวิสเตอร์ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN   9780521456890. OCLC 831625586 .  
• Hughston, LP (1979) Twistors and Particles . Springer Lecture Notes in Physics 97, Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09244-5.
• Hughston, LP และ Ward, RS, บรรณาธิการ (1979) ความก้าวหน้าในทฤษฎีทวิสเตอร์ สำนักพิมพ์ Pitman ISBN 0-273-08448-8.
• Mason, LJ และ Hughston, LP, บรรณาธิการ (1990) ความก้าวหน้าเพิ่มเติมในทฤษฎีทวิสเตอร์ เล่มที่ 1: การแปลงเพนโรสและการประยุกต์ใช้ชุดบันทึกการวิจัยทางคณิตศาสตร์ของพิตแมน เล่มที่ 231, ลองแมน ไซเอนซ์ แอนด์ เทคนิคัลISBN 0-582-00466-7.
• Mason, LJ, Hughston, LP และ Kobak, PK (บรรณาธิการ) (1995) ความก้าวหน้าเพิ่มเติมในทฤษฎีทวิสเตอร์ เล่มที่ 2: ระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้ เรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มอล และแรงโน้มถ่วงชุดบันทึกการวิจัยคณิตศาสตร์ของพิตแมน เล่มที่ 232 สำนักพิมพ์ Longman Scientific and Technical ISBN 0-582-00465-9.
• Mason, LJ, Hughston, LP, Kobak, PK และ Pulverer, K. (บรรณาธิการ) (2001) ความก้าวหน้าเพิ่มเติมในทฤษฎีทวิสเตอร์ เล่มที่ 3: ปริภูมิทวิสเตอร์โค้งบันทึกการวิจัยทางคณิตศาสตร์ 424, Chapman and Hall/CRC. ISBN 1-58488-047-3.
• Penrose, Roger (1967), "Twistor Algebra" , Journal of Mathematical Physics , 8 (2): 345– 366, Bibcode : 1967JMP.....8..345P , doi : 10.1063/1.1705200 , MR 0216828 {{citation}}: CS1 maint: บริการเก็บถาวรที่เลิกใช้แล้ว ( ลิงก์ )
• Penrose, Roger (1968), "การควอนตัมแบบทวิสเตอร์และปริภูมิเวลาโค้ง", วารสารฟิสิกส์เชิงทฤษฎีระหว่างประเทศ , 1 (1): 61– 99, Bibcode : 1968IJTP....1...61P , doi : 10.1007/BF00668831 , S2CID 123628735 
• Penrose, Roger (1969), "คำตอบของสมการมวลนิ่งเป็นศูนย์" , วารสารฟิสิกส์คณิตศาสตร์ , 10 (1): 38– 39, Bibcode : 1969JMP....10...38P , doi : 10.1063/1.1664756{{citation}}: CS1 maint: บริการเก็บถาวรที่เลิกใช้แล้ว ( ลิงก์ )
• Penrose, Roger (1977), "The Twistor Programme", Reports on Mathematical Physics , 12 (1): 65– 76, Bibcode : 1977RpMP...12...65P , doi : 10.1016/0034-4877(77)90047-7 , MR 0465032 
• Penrose, Roger (1999). "โครงการหลักของทฤษฎีทวิสเตอร์" . Chaos, Solitons and Fractals . 10 ( 2– 3): 581– 611. Bibcode : 1999CSF....10..581P . doi : 10.1016/S0960-0779(98)00333-6 .
• Witten, Edward (2004), "ทฤษฎีเกจแบบรบกวนในฐานะทฤษฎีสตริงในปริภูมิทวิสเตอร์", Communications in Mathematical Physics , 252 ( 1– 3): 189– 258, arXiv : hep-th/0312171 , Bibcode : 2004CMaPh.252..189W , doi : 10.1007/s00220-004-1187-3 , S2CID 14300396 

• เพนโรส, โรเจอร์ (1999), " สมการของไอน์สไตน์และทฤษฎีทวิสเตอร์: การพัฒนาล่าสุด "
• เพนโรส, โรเจอร์; ฮาโดรวิช, เฟดจา. " ทฤษฎีทวิสเตอร์ "
• ฮาโดรวิช, เฟดยา, " ทวิสเตอร์ ไพรเมอร์ "
• เพนโรส, โรเจอร์. " เกี่ยวกับต้นกำเนิดของทฤษฎีทวิสเตอร์ "
• Jozsa, Richard (1976), " การประยุกต์ใช้ Sheaf Cohomology ในทฤษฎี Twistor "
• Dunajski, Maciej (2009). "ทฤษฎีทวิสเตอร์และสมการเชิงอนุพันธ์". J. Phys. A: Math. Theor . 42 (40) 404004. arXiv : 0902.0274 . Bibcode : 2009JPhA...42N4004D . doi : 10.1088/1751-8113/42/40/404004 . S2CID 62774126 . 
• แอนดรูว์ ฮอดจ์สสรุปความคืบหน้าล่าสุด
• ฮักเก็ตต์, สตีเฟน (2005), " องค์ประกอบของทฤษฎีทวิสเตอร์ "
• เมสัน, แอลเจ, " โครงการทวิสเตอร์และสตริงทวิสเตอร์: จากสตริงทวิสเตอร์สู่แรงโน้มถ่วงควอนตัม? "
• Sämann, Christian (2006). แง่มุมของเรขาคณิตทวิสเตอร์และทฤษฎีสนามซูเปอร์สมมาตรภายในทฤษฎีซูเปอร์สตริง (ปริญญาเอก). มหาวิทยาลัยฮันโนเวอร์. arXiv : hep-th/0603098 .
• สปาร์ลิง, จอร์จ (1999), " ว่าด้วยความไม่สมมาตรของเวลา "
• Spradlin, Marcus (2012). "ความก้าวหน้าและแนวโน้มในทฤษฎีสตริงทวิสเตอร์" (PDF) . hdl : 11299/130081 .
• MathWorld: Twistors
• บทวิจารณ์จักรวาล: " ทฤษฎีทวิสเตอร์ "
• คลังจดหมายข่าว Twistor