ในประวัติศาสตร์มีการพยายามหลายครั้งเพื่อสร้างทฤษฎีคณิตศาสตร์ที่เป็นเอกภาพนักคณิตศาสตร์ที่ได้รับการยกย่องมากที่สุดในแวดวงวิชาการหลายท่านได้แสดงความคิดเห็นว่าวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดควรถูกรวมไว้ในทฤษฎีเดียว (ตัวอย่างเช่นโปรแกรมของฮิลเบิร์ตและโปรแกรมของแลงแลนด์ )

การรวมหัวข้อทางคณิตศาสตร์เรียกว่าการรวมทางคณิตศาสตร์ : ^{[ 1 ]} " การรวมแนวคิดหรือทฤษฎีTi สอง _{หรือ มากกว่า นั้น}หมายถึงการสร้างทฤษฎีใหม่ที่รวมองค์ประกอบของTi ทั้งหมด เข้าไว้ในระบบเดียว ซึ่งบรรลุผลลัพธ์ทั่วไปมากกว่าที่ได้จากTi เพียง _{อย่าง} เดียว "

กระบวนการรวมเป็นหนึ่งเดียวอาจถูกมองว่ามีส่วนช่วยในการกำหนดว่าอะไรคือคณิตศาสตร์ในฐานะศาสตร์แขนงหนึ่ง

ตัวอย่างเช่นในศตวรรษที่ 18 กลศาสตร์และการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ มักถูกรวมเข้าเป็นวิชาเดียวกัน โดยเชื่อมโยงกันด้วยแนวคิด สมการเชิงอนุพันธ์ในขณะที่พีชคณิตและเรขาคณิตถือว่าแตกต่างกันอย่างมาก ปัจจุบันเราถือว่าการวิเคราะห์ พีชคณิต และเรขาคณิต แต่ไม่ใช่กลศาสตร์ เป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์ เพราะวิชาเหล่านี้เป็นวิทยาศาสตร์เชิงรูปธรรมแบบ นิรนัยเป็นหลัก ในขณะที่กลศาสตร์เช่นเดียวกับฟิสิกส์ต้องเริ่มต้นจากการสังเกต เนื้อหาไม่ได้สูญหายไปมากนัก โดยกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์ในความหมายเดิมนั้น ปัจจุบันถูกแสดงออกมาในรูปของโทโพโลยีเชิงซิมเพล็กติกโดยอิงจากทฤษฎีแมนิโฟลด์ที่ ใหม่กว่า

ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า"ทฤษฎี"ใช้ในความหมายอย่างไม่เป็นทางการ หมายถึงชุดของคำจำกัดความ สัจพจน์ ทฤษฎีบท ตัวอย่าง และอื่นๆ ที่มีความสอดคล้องกันในตัวเอง( ตัวอย่างเช่นทฤษฎีกลุ่มทฤษฎีกาลัวทฤษฎีควบคุมและทฤษฎีเค ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ไม่มีนัยยะของสมมติฐานดังนั้น คำว่า " ทฤษฎีรวม"จึงคล้ายกับ คำศัพท์ ทางสังคมวิทยาที่ใช้ในการศึกษาการกระทำของนักคณิตศาสตร์ มันอาจไม่ได้ตั้งสมมติฐานใดๆ ที่คล้ายคลึงกับความเชื่อมโยงทางวิทยาศาสตร์ที่ยังไม่ถูกค้นพบ ในทางคณิตศาสตร์แล้ว ไม่มีคำใดที่เทียบเคียงได้กับแนวคิดอย่างเช่น " โลกดั้งเดิม"ในทางภาษาศาสตร์หรือสมมติฐานไกอา

ถึงกระนั้น ใน ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ก็มีหลายกรณีที่พบว่าชุดของทฤษฎีบทแต่ละข้อเป็นกรณีพิเศษของผลลัพธ์ที่เป็นเอกภาพเพียงอย่างเดียว หรือมุมมองเดียวเกี่ยวกับวิธีการดำเนินการเมื่อพัฒนาสาขาคณิตศาสตร์สาขาหนึ่ง สามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพกับหลายสาขาของวิชานั้น

ตัวอย่างที่รู้จักกันดีคือการพัฒนาเรขาคณิตวิเคราะห์ซึ่งในมือของนักคณิตศาสตร์อย่างเดส์การ์ตและแฟร์มาต์ได้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทมากมายเกี่ยวกับเส้นโค้งและพื้นผิวประเภทพิเศษสามารถกล่าวถึงได้ในภาษาพีชคณิต (ซึ่งเป็นภาษาใหม่ในขณะนั้น) และแต่ละทฤษฎีบทก็สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เทคนิคเดียวกัน นั่นคือ ทฤษฎีบทเหล่านั้นมีความคล้ายคลึงกันมากในทางพีชคณิต แม้ว่าการตีความทางเรขาคณิตจะแตกต่างกันก็ตาม

ในปี ค.ศ. 1859 อาร์เธอร์ เคย์ลีย์ได้ริเริ่มการรวมเรขาคณิตเชิงเมตริก เข้าด้วยกัน โดยใช้เมตริกเคย์ลีย์-ไคลน์ต่อมาเฟลิกซ์ ไคลน์ได้ใช้เมตริกดังกล่าวเป็นพื้นฐานสำหรับเรขาคณิตนอกยุคลิด

ในปี พ.ศ. 2315 เฟลิกซ์ ไคลน์ สังเกตว่าสาขาเรขาคณิตจำนวนมากที่พัฒนาขึ้นในช่วงศตวรรษที่ 19 ( เรขาคณิตเชิงเส้นเรขาคณิตเชิงฉายเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ฯลฯ) สามารถนำมาพิจารณาร่วมกันได้ เขาทำเช่นนี้โดยพิจารณากลุ่มที่วัตถุทางเรขาคณิตไม่เปลี่ยนแปลง การรวมเรขาคณิตนี้เรียกว่าโครงการเออร์ลังเงน^{[ 2 ]}

ทฤษฎีทั่วไปของมุมสามารถรวมเข้ากับการวัดพื้นที่ที่ไม่เปลี่ยนแปลงได้มุมไฮเปอร์โบลิกถูกกำหนดในแง่ของพื้นที่ ซึ่งใกล้เคียงกับพื้นที่ที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมธรรมชาติมุมวงกลมก็มีการตีความในแง่ของพื้นที่เช่นกัน เมื่ออ้างอิงถึงวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับรากที่สองของสองพื้นที่เหล่านี้ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับการหมุนไฮเปอร์โบลิกและการหมุนวงกลมตามลำดับการแปลงเชิงเส้น เหล่านี้ เกิดขึ้นจากองค์ประกอบของกลุ่มเชิงเส้นพิเศษSL(2,R)การตรวจสอบกลุ่มนั้นเผยให้เห็นการแมปแบบเฉือนซึ่งเพิ่มหรือลดความชัน แต่ความแตกต่างของความชันจะไม่เปลี่ยนแปลง มุมประเภทที่สาม ซึ่งตีความได้ว่าเป็นพื้นที่ที่ขึ้นอยู่กับความแตกต่างของความชัน ก็ไม่เปลี่ยนแปลงเช่นกันเนื่องจากการรักษาพื้นที่ของการแมปแบบเฉือน^{[ 3 ]}

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 คณิตศาสตร์หลายแขนงเริ่มได้รับการศึกษาโดยการกำหนดชุดของสัจพจน์ที่มีประโยชน์ แล้วจึงศึกษาผลที่ตามมา ตัวอย่างเช่น การศึกษาเรื่อง " จำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ " เช่นที่สมาคมควอเทอร์เนียน ศึกษา ได้ถูกวางอยู่บนพื้นฐานสัจพจน์ในฐานะสาขาหนึ่งของทฤษฎีวงแหวน (ในกรณีนี้มีความหมายเฉพาะว่าพีชคณิตแบบเชื่อมโยง ) ในบริบทนี้ แนวคิด วงแหวนผลหารเป็นหนึ่งในตัวรวมที่มีประสิทธิภาพมากที่สุด

นี่เป็นการเปลี่ยนแปลงวิธีการสอนโดยทั่วไป เนื่องจากความต้องการของการประยุกต์ใช้จนถึงขณะนั้นหมายความว่าคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ถูกสอนโดยใช้อัลกอริทึม (หรือกระบวนการที่ใกล้เคียงกับอัลกอริทึม) ปัจจุบันวิชา เลขคณิตก็ยังคงสอนด้วยวิธีนั้นอยู่ นี่เป็นการพัฒนาควบคู่ไปกับตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ในฐานะสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ ภายในทศวรรษ 1930 ตรรกศาสตร์เชิงสัญลักษณ์เองก็ได้รับการรวมเข้าไว้ในคณิตศาสตร์อย่างเหมาะสมแล้ว

ในกรณีส่วนใหญ่ วัตถุทางคณิตศาสตร์ที่กำลังศึกษาอยู่สามารถนิยามได้ (แม้จะไม่ตรงตามแบบแผน) ว่าเป็นเซต หรืออย่างไม่เป็นทางการก็คือเซตที่มีโครงสร้างเพิ่มเติม เช่น การดำเนินการบวกทฤษฎีเซตจึงทำหน้าที่เป็นภาษากลางในการพัฒนาแนวคิดทางคณิตศาสตร์ต่างๆ

กลุ่มนักคณิตศาสตร์ของบูร์บาคีได้ริเริ่มการพัฒนาเชิงสัจพจน์อย่างจริงจังหากนำแนวคิดนี้ไปใช้ในระดับสุดขั้ว ก็เชื่อกันว่าเป็นการเรียกร้องให้คณิตศาสตร์พัฒนาไปสู่ความทั่วไปสูงสุด โดยเริ่มต้นจากสัจพจน์ที่ทั่วไปที่สุด แล้วค่อยเจาะจงลงไป เช่น การแนะนำโมดูลบนวงแหวนสลับที่และจำกัดเฉพาะปริภูมิเวกเตอร์บนจำนวนจริงเมื่อจำเป็นอย่างยิ่งเท่านั้น เรื่องราวดำเนินไปในลักษณะนี้ แม้ว่าการเจาะจงนั้นจะเป็นทฤษฎีบทที่น่าสนใจเป็นหลักก็ตาม

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มุมมองนี้ให้คุณค่าน้อยมากกับสาขาคณิตศาสตร์ (เช่น คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง ) ซึ่งวัตถุของการศึกษา oftentimes เป็นเรื่องเฉพาะ หรือพบได้ในสถานการณ์ที่สามารถเชื่อมโยงกับสาขาที่เป็นไปตามหลักการพื้นฐานได้เพียงผิวเผินเท่านั้น

ทฤษฎีหมวดหมู่เป็นทฤษฎีรวมของคณิตศาสตร์ที่พัฒนาขึ้นครั้งแรกในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20 ^{[ 4 ]}ในแง่นี้ มันเป็นทางเลือกและส่วนเสริมของทฤษฎีเซต ประเด็นสำคัญจากมุมมอง "เชิงหมวดหมู่" คือคณิตศาสตร์ไม่เพียงต้องการวัตถุบางประเภท ( กลุ่มลีพื้นที่บานาคฯลฯ) แต่ยังต้องการการแมประหว่างวัตถุเหล่านั้นที่รักษาโครงสร้างของพวกมันไว้ด้วย

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีนี้ชี้แจงอย่างชัดเจนว่าการที่วัตถุทางคณิตศาสตร์ถือว่าเหมือนกันนั้น หมายความว่าอย่างไร (ตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยมด้านเท่าทุกรูปเหมือนกันหรือไม่ หรือขนาดมีความสำคัญ?) ซอนเดอร์ส แมค เลนเสนอว่าแนวคิดใดๆ ที่มี "ความแพร่หลาย" มากพอ (เกิดขึ้นในสาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์) สมควรได้รับการแยกและศึกษาอย่างละเอียด ทฤษฎีหมวดหมู่เหมาะสมกว่าแนวทางอื่นๆ ในปัจจุบันสำหรับการนี้ ข้อเสียของการพึ่งพาแนวคิดนามธรรม ที่ ดูไร้สาระคือความจืดชืดและความเป็นนามธรรมในแง่ของการแยกตัวออกจากรากฐานของปัญหาที่เป็นรูปธรรม อย่างไรก็ตาม วิธีการของทฤษฎีหมวดหมู่ได้รับการยอมรับมากขึ้นเรื่อยๆ ในหลายๆ ด้าน (ตั้งแต่D-โมดูลไปจนถึงตรรกศาสตร์เชิงหมวดหมู่ )

ในระดับที่เล็กกว่านั้น ความคล้ายคลึงกันระหว่างชุดผลลัพธ์ในสองสาขาที่แตกต่างกันของคณิตศาสตร์ ทำให้เกิดคำถามว่ามีกรอบการทำงานที่เป็นเอกภาพที่สามารถอธิบายความคล้ายคลึงกันเหล่านั้นได้หรือไม่ เราได้กล่าวถึงตัวอย่างของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ไปแล้ว และโดยทั่วไปแล้ว สาขาเรขาคณิตเชิงพีชคณิตได้พัฒนาความเชื่อมโยงระหว่างวัตถุทางเรขาคณิต ( วาไรตี้เชิงพีชคณิตหรือโดยทั่วไปคือสกีม ) และวัตถุเชิงพีชคณิต ( ไอเดียล ) อย่างละเอียดถี่ถ้วน ผลลัพธ์สำคัญในที่นี้คือทฤษฎีบท Nullstellensatz ของฮิลเบิร์ตซึ่งโดยคร่าวๆ แล้วแสดงให้เห็นว่ามีความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งตามธรรมชาติระหว่างวัตถุทั้งสองประเภท

เราอาจมองทฤษฎีบทอื่นๆ ในแง่มุมเดียวกันได้ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีกาโลอิสกล่าวว่ามีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างส่วนขยายของฟิลด์และกลุ่มย่อยของกลุ่มกาโลอิส ของฟิลด์นั้น สมมติฐาน ทานิยามะ-ชิมูระสำหรับเส้นโค้งวงรี (ซึ่งได้รับการพิสูจน์แล้ว) สร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเส้นโค้งที่กำหนดเป็นรูปแบบมอดูลาร์และเส้นโค้งวงรีที่กำหนดบนจำนวนตรรกยะสาขาการวิจัยที่บางครั้งถูกเรียกว่าMonstrous Moonshineได้พัฒนาความเชื่อมโยงระหว่างรูปแบบมอดูลาร์และกลุ่มง่าย จำกัด ที่รู้จักกันในชื่อMonsterโดยเริ่มต้นจากการสังเกตที่น่าประหลาดใจว่าในแต่ละกรณี จำนวน 196884 ที่ค่อนข้างผิดปกติจะเกิดขึ้นอย่างเป็นธรรมชาติมาก อีกสาขาหนึ่งที่รู้จักกันในชื่อโครงการ Langlandsก็เริ่มต้นด้วยความคล้ายคลึงกันที่ดูเหมือนสุ่ม (ในกรณีนี้ ระหว่างผลลัพธ์ทางทฤษฎีจำนวนและการแสดงแทนของกลุ่มบางกลุ่ม) และมองหาโครงสร้างที่ผลลัพธ์ทั้งสองชุดจะเป็นบทสรุป

ทฤษฎีเหล่านี้บางส่วนอาจรวมถึง:

ตัวอย่างที่รู้จักกันดีคือข้อสันนิษฐานของทานิยามะ-ชิมูระซึ่งปัจจุบันคือทฤษฎีบทมอดูลาร์ลิตี้ที่เสนอว่าเส้นโค้งวงรี แต่ละเส้น บนจำนวนตรรกยะสามารถแปลงเป็นรูปแบบมอดูลาร์ได้ (ในลักษณะที่รักษาฟังก์ชัน L ที่เกี่ยวข้องไว้ ) มีความยากลำบากในการระบุสิ่งนี้ว่าเป็นไอโซมอร์ฟิซึมในความหมายที่เคร่งครัด ก่อนที่ข้อสันนิษฐานนี้จะถูกกำหนดขึ้น (ประมาณปี 1955) เส้นโค้งบางเส้นเป็นที่ทราบกันดีว่าเป็นทั้งเส้นโค้งวงรี (ของจีนัส 1) และเส้นโค้งมอดูลาร์ส่วนที่น่าประหลาดใจของข้อสันนิษฐานนี้คือการขยายไปสู่ตัวประกอบของจาโคเบียนของเส้นโค้งมอดูลาร์ของจีนัส > 1 ก่อนที่จะมีการประกาศข้อสันนิษฐานนี้ อาจดูไม่น่าเป็นไปได้ที่จะมีตัวประกอบตรรกยะดังกล่าว 'มากพอ' และในความเป็นจริงหลักฐานเชิงตัวเลขมีน้อยมากจนกระทั่งประมาณปี 1970 เมื่อตารางเริ่มยืนยันข้อสันนิษฐานนี้ กรณีของเส้นโค้งวงรีที่มีการคูณเชิงซ้อนได้รับการพิสูจน์โดยชิมูระในปี 1964 ข้อสันนิษฐานนี้คงอยู่มานานหลายทศวรรษก่อนที่จะได้รับการพิสูจน์ในวงกว้าง

อันที่จริงแล้วโครงการ (หรือปรัชญา) ของแลงแลนด์นั้นคล้ายกับใยแมงมุมของสมมติฐานที่รวมเป็นหนึ่งเดียวมากกว่า มันตั้งสมมติฐานว่าทฤษฎีทั่วไปของรูปแบบอัตโนมัติถูกควบคุมโดยกลุ่ม L ที่ โรเบิร์ต แลงแลนด์นำเสนอหลักการของความเป็นฟังก์ชันของเขาเกี่ยวกับกลุ่ม L มีคุณค่าในการอธิบายอย่างมากเกี่ยวกับประเภทของการยกรูปแบบอัตโนมัติ (ซึ่งปัจจุบันศึกษากันอย่างกว้างขวางมากขึ้นในฐานะการแสดงแทนอัตโนมัติ ) แม้ว่าทฤษฎีนี้จะมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับสมมติฐานของทานิยามะ-ชิมูระในแง่หนึ่ง แต่ควรเข้าใจว่าสมมติฐานนี้ทำงานในทิศทางตรงกันข้าม มันต้องการการมีอยู่ของรูปแบบอัตโนมัติ โดยเริ่มต้นจากวัตถุที่ (ในเชิงนามธรรมมาก) อยู่ในหมวดหมู่ของแรงจูงใจ

อีกประเด็นสำคัญที่เกี่ยวข้องคือ แนวทางของแลงแลนด์นั้นแตกต่างออกไปจากการพัฒนาทั้งหมดที่เกิดจากปรากฏการณ์ " แสงจันทร์อันน่าสยดสยอง" (ความเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันโมดูลาร์วงรีกับอนุกรมฟูริเยร์และการแสดงกลุ่มของกลุ่มมอนสเตอร์และกลุ่มสปอร์าดิก อื่นๆ ) ปรัชญาของแลงแลนด์ไม่ได้คาดการณ์หรือสามารถรวมเอาแนวทางการวิจัยนี้ไว้ได้

อีกกรณีหนึ่งซึ่งยังไม่ได้รับการพัฒนามากนัก แต่ครอบคลุมคณิตศาสตร์ในวงกว้าง คือ พื้นฐานเชิงสมมติฐานของทฤษฎี K บางส่วน สมมติฐาน Baum–Connesซึ่งเป็นปัญหาที่ค้างคามานาน ได้ถูกรวมเข้ากับสมมติฐานอื่นๆ ในกลุ่มที่เรียกว่าสมมติฐานไอโซมอร์ฟิซึมในทฤษฎี Kซึ่งรวมถึงสมมติฐาน Farrell–Jonesและสมมติฐาน Bostด้วย

• ปรัชญาคณิตศาสตร์
• พื้นฐานของคณิตศาสตร์
• การรวมทฤษฎีในวิชาฟิสิกส์
• ความเป็นเอกภาพของวิทยาศาสตร์
• ทฤษฎีเอกภาพยิ่งใหญ่