ตัวอย่างง่ายๆ มาจากการโยนเหรียญ สมมติว่าเหรียญที่มีความเอนเอียงไปทางใดทางหนึ่งถูกโยนไปเรื่อยๆ ด้วยความน่าจะเป็น ...${\displaystyle p}$ของหัวในการโยนแต่ละครั้ง กระบวนการสถิตที่เกิดขึ้นนี้เป็นกระบวนการเออร์โกดิก: นอกเหนือจากเหตุการณ์ที่มีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์แล้ว จะไม่มีป้ายกำกับทางสถิติถาวรใดๆ ติดอยู่กับลำดับนั้นอีก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความถี่ของหัวในระยะยาวคือ${\displaystyle p}$สำหรับลำดับเกือบทุกลำดับ^{[ 6 ] [ 2 ]}

ในทางตรงกันข้าม สมมติว่าก่อนที่จะมีการโยนเหรียญใดๆ ได้มีการเลือกเหรียญหนึ่งในสองเหรียญโดยสุ่ม: เหรียญหนึ่งมีโอกาสเกิดการโยนเหรียญหนึ่งได้เท่ากับเหรียญหนึ่ง${\displaystyle p_{1}}$ของหัว และอีกอันมีความน่าจะเป็น${\displaystyle p_{2}}$เหรียญที่เลือกจะถูกโยนไปเรื่อยๆ กระบวนการนี้เป็นแบบคงที่ แต่ไม่ใช่แบบเออร์โกดิก การเลือกเหรียญที่ซ่อนเร้นเป็นข้อเท็จจริงที่ไม่เปลี่ยนแปลงเกี่ยวกับลำดับอนันต์ทั้งหมด และมันแยกกระบวนการออกเป็นสองส่วนที่แตกต่างกันทางสถิติ^{[ 7 ] [ 5 ]}

ในระบบไดนามิกที่รักษาการวัดไว้ แนวคิดนี้แสดงออกโดยการกล่าวว่าเซตที่วัดได้ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงทุกเซตจะมีการวัดเป็นศูนย์หรือการวัดเต็ม^{[ 4 ]}หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ระบบไม่สามารถแยกย่อยได้ ยกเว้นเซตที่มีการวัดเป็นศูนย์ ออกเป็นสองส่วนที่ไม่เปลี่ยนแปลงซึ่งมีการวัดเป็นบวก

ภาวะเออร์โกดิกเกี่ยวข้องกับความเท่าเทียมกันของค่าเฉลี่ยตามเวลาและค่าเฉลี่ยตามพื้นที่ผ่านทฤษฎีบทเออร์โกดิก ไม่ควรสับสนกับความสุ่ม การผสม การโกลาหล หรือข้ออ้างที่ว่าวงโคจรแต่ละวงไปเยือนทุกส่วนของอวกาศ

ตัวอย่างพื้นฐานอีกประการหนึ่งมาจากการหมุนของวงกลม^{[ 8 ]}ให้${\displaystyle R_{\alpha }}$เป็นการหมุนของวงกลมผ่านมุม${\displaystyle 2\pi \alpha }$เรเดียน หลังจากนั้น${\displaystyle n}$การวนซ้ำ จุดหนึ่งถูกหมุนไปโดย${\displaystyle 2\pi n\alpha }$.

ถ้า${\displaystyle \alpha }$มีเหตุผล เช่น${\displaystyle \alpha =p/q}$กล่าวโดยง่ายที่สุด ทุกจุดจะเป็นคาบ: หลังจากนั้น${\displaystyle q}$เมื่อทำซ้ำหลายครั้ง มันจะกลับไปยังตำแหน่งเดิม เมื่อพิจารณาจากมาตรวัดเลเบสบนวงกลม การหมุนนี้ไม่เป็นแบบเออร์โกดิก ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่ไม่คงที่

${\displaystyle f(e^{i\theta })=\cos(q\theta )}$

ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุน เนื่องจากการแทนที่${\displaystyle \theta }$โดย${\displaystyle \theta +2\pi p/q}$ไม่เปลี่ยนแปลง${\displaystyle \cos(q\theta )}$ดังนั้น วงกลมจึงสามารถแบ่งออกเป็นชิ้นส่วนย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงได้ เช่น${\displaystyle a<\cos(q\theta )<b}$.

ถ้า${\displaystyle \alpha }$เนื่องจากเป็นจำนวนอตรรกยะ วงโคจรของทุกจุดจึงหนาแน่นในวงกลม อันที่จริง การหมุนอตรรกยะเป็นแบบเออร์โกดิกเมื่อเทียบกับการวัดแบบเลเบส: เซตที่วัดได้ทุกเซตซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุนจะมีค่าการวัดเป็นศูนย์หรือค่าการวัดเต็ม ดังนั้น ระบบจึงมีวงโคจรเฉพาะบุคคลที่แตกต่างกันมากมาย แต่ไม่มีการแยกส่วนที่วัดได้ที่ไม่ใช่แบบธรรมดาออกเป็นส่วนประกอบทางสถิติที่ไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวอย่างนี้ยังแสดงให้เห็นว่าความเป็นเออร์โกดิกนั้นอ่อนกว่าการผสม การหมุนที่ไม่เป็นจำนวนตรรกยะเป็นเออร์โกดิก แต่ไม่ใช่การผสม

ในนิยามของภาวะเออร์โกดิกตามทฤษฎีการวัด ข้อมูลพื้นฐานคือปริภูมิการวัด${\displaystyle X}$และการเปลี่ยนแปลงตามเวลาของจุดต่างๆ ในตัวอย่างการโยนเหรียญ พื้นที่สถานะอาจถือได้ว่าเป็นพื้นที่ของลำดับผลลัพธ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด และการเปลี่ยนแปลงตามเวลาคือแผนที่การเลื่อนบนพื้นที่นี้ ในตัวอย่างการหมุน พื้นที่สถานะคือวงกลม และการเปลี่ยนแปลงตามเวลาคือการประยุกต์ใช้การหมุนซ้ำๆ ทั้งสองเป็นตัวอย่างของ ระบบพลวัต เวลาไม่ต่อเนื่ององค์ประกอบของพื้นที่${\displaystyle X}$คือสถานะที่เป็นไปได้ของระบบ เซตที่วัดได้คือกลุ่มของสถานะที่ทฤษฎีกำหนดค่าการวัดให้ เช่น ความยาว พื้นที่ ปริมาตร หรือความน่าจะเป็น พื้นที่${\displaystyle X}$มีการติดตั้งซิกมาแอลเจบรา${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ของชุดที่อนุญาตให้วัดได้

เมื่อไร${\displaystyle X}$ในปริภูมิเชิงทอพอโลยี เช่น ช่วง วงกลม หรือแมนิโฟลด์ ตัวเลือกที่นิยมใช้กันโดยทั่วไปคือ ซิกมาแอลเจบราของบอเรลซึ่งสร้างขึ้นจากเซตเปิด ในตัวอย่างทางความน่าจะเป็น เซตที่วัดได้คือเหตุการณ์ ตัวอย่างเช่น ในลำดับการโยนเหรียญที่ไม่มีที่สิ้นสุด เหตุการณ์ "การโยนครั้งแรกได้หัว" เป็นเหตุการณ์ที่วัดได้ เช่นเดียวกับเหตุการณ์ "ความถี่ในระยะยาวของการได้หัวมีอยู่และเท่ากับ..."${\displaystyle p}$".

เซตจะเรียกว่าเซตไม่เปลี่ยนแปลง หากสมาชิกภาพในเซตนั้นไม่เปลี่ยนแปลงไปตามวิวัฒนาการของเวลา ยกเว้นเซตที่มีขนาดเป็นศูนย์ สำหรับการแปลง${\displaystyle T:X\to X}$โดยปกติจะเขียนว่า

${\displaystyle T^{-1}A=A}$

หรือโดยทั่วไปแล้ว หมายถึงผลต่างสมมาตรของเซตโดย${\displaystyle \Delta }$:

${\displaystyle \mu (T^{-1}A\triangle A)=0.}$

ดังนั้น ระบบรักษาค่าการวัด (แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง) จึงเป็นคู่ดังนี้${\displaystyle (X,T)}$ที่ไหน${\displaystyle X}$เป็นปริภูมิการวัดและ${\displaystyle T}$เป็นการแปลงที่รักษารูปแบบการวัดไว้

เซตที่วัดได้ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงนั้นแสดงถึงคุณสมบัติทางสถิติของสถานะที่คงอยู่ภายใต้พลวัต หลักการเออร์โกดิกกล่าวว่า คุณสมบัติที่วัดได้ซึ่งคงอยู่เช่นนี้ทุกอย่างเป็นสิ่งที่ไม่สำคัญ กล่าวคือ มันเป็นจริงได้แทบจะไม่มีที่ใดเลย (เช่น เฉพาะบนเซตที่มีขนาดเป็นศูนย์) หรือเป็นจริงได้เกือบทุกที่ (เช่น ทุกที่ยกเว้นเซตที่มีขนาดเป็นศูนย์)

แรงจูงใจดั้งเดิมสำหรับเออร์โกดิซิตี้มาจากกลศาสตร์สถิติ^{[ 9 ] [ 10 ]}ในกลศาสตร์คลาสสิก สถานะของระบบจะถูกแทนด้วยจุดในปริภูมิเฟสเช่น ตำแหน่งและโมเมนตัมของอนุภาคทั้งหมดในแก๊ส วิวัฒนาการของระบบตามเวลาจะทำให้จุดนี้เคลื่อนที่ผ่านปริภูมิเฟส

สำหรับระบบแฮมิลโทเนียน แบบแยกเดี่ยว พลังงานจะได้รับการอนุรักษ์ ดังนั้นการเคลื่อนที่จึงถูกจำกัดอยู่บนพื้นผิวพลังงาน

${\displaystyle H(q,p)=E.}$

การไหลของแฮมิลโทเนียนรักษาปริมาตรของพื้นที่เฟสตามธรรมชาติที่เรียกว่า การวัด ของLiouville ^{[ 11 ] [ 12 ]}หลังจากจำกัดไว้ที่พื้นผิวพลังงานแล้ว จะให้การวัดที่อยู่เบื้องหลังกลุ่มไมโครแคนอนิก^{[ 10 ]}

คำถามเชิงฟิสิกส์คือว่า ค่าเฉลี่ยในระยะยาวตามการเคลื่อนที่จริงของระบบหนึ่ง สามารถแทนที่ด้วยค่าเฉลี่ยบนพื้นผิวพลังงานที่สอดคล้องกันได้หรือไม่ สำหรับค่าที่สังเกตได้${\displaystyle f}$คำถามนี้คือ ค่าเฉลี่ยในช่วงเวลา เช่น

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{1 \over T}\int _{0}^{T}f(\phi _{t}(x))\,dt}$

เห็นด้วย สำหรับสถานะเริ่มต้นทั่วไป${\displaystyle x}$ซึ่งแสดงถึงสถานะของอนุภาคจำนวนมากในแก๊ส โดยมีค่าเฉลี่ยของ${\displaystyle f}$เหนือพื้นผิวพลังงานสมมติฐานเออร์โกดิกเป็นความพยายามในช่วงแรกๆ ที่จะหาเหตุผลมาสนับสนุนการแทนที่นี้

ในภาษาทฤษฎีการวัดสมัยใหม่ ความเป็นเออร์โกดิกไม่ได้หมายความว่าวิถีจะผ่านทุกจุดของพื้นผิวพลังงานอย่างแท้จริง แต่หมายความว่าเมื่อเทียบกับการวัดแบบไม่เปลี่ยนแปลงที่เลือกไว้ จะไม่มีการแบ่งย่อยระบบเป็นส่วนประกอบทางสถิติที่เล็กกว่าอีกต่อไป ภายใต้สมมติฐานที่เหมาะสม ทฤษฎีบทเออร์โกดิกจึงบ่งชี้ถึงความเท่าเทียมกันของค่าเฉลี่ยเวลาและค่าเฉลี่ยพื้นที่สำหรับตัวแปรที่สังเกตได้จำนวนมาก^{[ 4 ] [ 2 ]}

ในกลศาสตร์สถิติ ความเป็นเออร์โกดิกถูกใช้เพื่อพิสูจน์การแทนที่ค่าเฉลี่ยระยะยาวของตัวแปรที่สังเกตได้ด้วยค่าเฉลี่ยเหนือกลุ่มที่ไม่เปลี่ยนแปลง สำหรับระบบแฮมิลโทเนียนที่แยกเดี่ยว กลุ่มที่เกี่ยวข้องมักจะเป็นกลุ่มไมโครแคนอนิกบนพื้นผิวพลังงาน นี่คือการตั้งค่าของสมมติฐานเออร์โกดิกแบบคลาสสิก^{[ 10 ] [ 9 ]}

การพิสูจน์อย่างเข้มงวดถึงความเป็นเออร์โกดิกสำหรับระบบอนุภาคจำนวนมากที่สมจริงนั้นทำได้ยาก ตัวอย่างทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญมาจากบิลเลียดไดนามิกซึ่งการชนกันของอนุภาคในอุดมคติทำให้เกิดระบบที่สามารถพิสูจน์ความเป็นเออร์โกดิกได้ในบางครั้ง^{[ 14 ] [ 15 ]}

ตัวอย่างพื้นฐานของระบบเออร์โกดิกและไม่เออร์โกดิกเกิดขึ้นแล้วในพลวัตมิติต่ำ^{[ 16 ] [ 17 ]}การหมุนวงกลมที่ไม่เป็นจำนวนตรรกยะเป็นเออร์โกดิกเมื่อเทียบกับการวัดของเลเบส แต่ไม่มีการผสม ตัวอย่างมาตรฐานอื่นๆ ได้แก่แผนที่ของคนทำขนมปังแผนที่แมวของอาร์โนลด์การเลื่อนเบอร์นูลลีและระบบบิลเลียด บาง ระบบ ตัวอย่างเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ที่แตกต่างกันระหว่างความเป็นเออร์โกดิก การผสม เอนโทรปี และพฤติกรรมอลวน

การไหลแบบเออร์โกดิกเกิดขึ้นตามธรรมชาติในเรขาคณิต ตัวอย่างที่สำคัญคือการไหลแบบจีโอเดสิกบนแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ซึ่งโดยปกติจะพิจารณาบนบันเดิลสัมผัสหน่วยที่มีการวัดแบบไม่เปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติ^{[ 18 ] [ 19 ]}

บนทอรัสแบนราบ การเคลื่อนที่ในทิศทางที่ไม่เป็นจำนวนตรรกยะคงที่นั้นมีความหนาแน่นบนทอรัสและเป็นแบบเออร์โกดิกหลังจากจำกัดให้อยู่ในทิศทางนั้น การไหลของเส้นจีโอเดสิกทั้งหมดบนมัดสัมผัสหน่วยนั้นไม่ใช่แบบเออร์โกดิก เนื่องจากทิศทางการเคลื่อนที่นั้นอนุรักษ์ไว้ ในทางตรงกันข้าม การไหลของเส้นจีโอเดสิกบนแมนิโฟลด์รีมันน์ขนาดกะทัดรัดที่มีความโค้งเป็นลบนั้นเป็นแบบเออร์โกดิกเมื่อเทียบกับมาตรวัดไม่แปรเปลี่ยนตามธรรมชาติ นี่เป็นหนึ่งในตัวอย่างคลาสสิกในทฤษฎีเออร์โกดิกและมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการไหลของอโนซอฟ

ตัวอย่างทางเรขาคณิตอื่นๆ ได้แก่การไหลของโฮโรไซเคิลการไหลบนพื้นผิวการแปลและการไหลของบิลเลียด ในการตั้งค่าเหล่านี้ ความเป็นเออร์โกดิกเกี่ยวข้องกับเซตย่อยที่วัดได้ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงของปริภูมิเฟสที่เหมาะสม ไม่ใช่ว่าเส้นทางเดียวจะผ่านทุกจุดจริงหรือไม่^{[ 18 ] [ 19 ]}

ในกลศาสตร์ควอนตัม คำว่า ergodicity ถูกใช้ด้วยความระมัดระวังมากขึ้น เนื่องจากวิวัฒนาการควอนตัมไม่ได้ถูกอธิบายด้วยวิถีจุดในปริภูมิเฟสแบบคลาสสิก แนวคิดที่เกี่ยวข้องปรากฏในความโกลาหลควอนตัมและในทฤษฎีบท ergodicity ควอนตัมซึ่งเกี่ยวข้องกับการกระจายของฟังก์ชันเฉพาะในขีดจำกัดกึ่งคลาสสิก แนวคิดเหล่านี้เกี่ยวข้องกับ แต่ไม่เหมือนกับ ergodicity เชิงทฤษฎีการวัดแบบคลาสสิก^{[ 20 ] [ 21 ]}

อนุญาต${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$เป็นพื้นที่ที่สามารถวัดได้ถ้า${\displaystyle T}$เป็นฟังก์ชันที่วัดได้จาก${\displaystyle X}$ต่อตัวมันเองและ${\displaystyle \mu }$การวัดความน่าจะเป็นบน${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ดังนั้นระบบพลวัตที่รักษาการวัดจึงถูกนิยามว่าเป็นระบบพลวัตซึ่ง${\displaystyle \mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\right)}}=\mu (A)}$สำหรับทุกคน${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$เช่นนั้น${\displaystyle T}$กล่าวกันว่าช่วยรักษาไว้${\displaystyle \mu$ ;} หรือเทียบเท่ากับว่า${\displaystyle \mu }$เป็น${\displaystyle T}$- ไม่เปลี่ยนแปลง^{[ 4 ]}

ฟังก์ชันที่วัดได้${\displaystyle T}$กล่าวกันว่า${\displaystyle \mu }$-เออร์โกดิกหรือแบบนั้น${\displaystyle \mu }$เป็นการวัดแบบเออร์โกดิกสำหรับ${\displaystyle T}$ถ้า${\displaystyle T}$เก็บรักษาไว้${\displaystyle \mu }$และเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง: ^{[ 4 ]}

สำหรับใดๆ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$โดยที่${\displaystyle T^{-1}(A)=A}$ทั้ง${\displaystyle \mu (A)=0}$หรือ${\displaystyle \mu (A)=1}$.

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ไม่มี${\displaystyle T}$เซตย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงจนถึงการวัด 0 (โดยสัมพันธ์กับ${\displaystyle \mu }$)

ผู้เขียนบางท่าน^{[ 22 ]}ผ่อนปรนข้อกำหนดที่ว่า${\displaystyle T}$เก็บรักษาไว้${\displaystyle \mu }$ตามข้อกำหนดที่ว่า${\displaystyle T}$เป็นการแปลงที่ไม่เอกฐานเมื่อเทียบกับ${\displaystyle \mu }$หมายความว่า${\displaystyle N}$เป็นเซตย่อยที่มีขนาดเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle T^{-1}(N)}$เป็น.

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือเมื่อ${\displaystyle X}$เป็นเซตจำกัดและ${\displaystyle \mu }$คือมาตรวัดการนับ แบบปกติ จากนั้นแผนที่ตัวเองของ${\displaystyle X}$เก็บรักษาไว้${\displaystyle \mu }$ก็ต่อเมื่อมันเป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง และมันเป็นการจับคู่แบบเออร์โกดิก ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle T}$มีวงโคจร เพียงวงเดียว (นั่นคือ สำหรับทุก ๆ${\displaystyle x,y\in X}$มีอยู่จริง${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$โดยที่${\displaystyle y=T^{k}(x)}$ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle X=\{1,2,\ldots ,n\}}$จากนั้นก็เริ่มวงจร${\displaystyle (1\,2\,\cdots \,n)}$เป็นแบบเออร์โกดิก แต่การเรียงสับเปลี่ยน${\displaystyle (1\,2)(3\,4\,\cdots \,n)}$ไม่ใช่ (มันมีเซตย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงสองเซต)${\displaystyle \{1,2\}}$และ${\displaystyle \{3,4,\ldots ,n\}}$)

คำจำกัดความข้างต้นยอมรับการกำหนดใหม่ทันทีดังต่อไปนี้: ^{[ 23 ] [ 5 ]}

• สำหรับทุกๆ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$กับ${\displaystyle \mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\bigtriangleup A\right)}}=0}$เรามี${\displaystyle \mu (A)=0}$หรือ${\displaystyle \mu (A)=1\,}$(ที่ไหน${\displaystyle \bigtriangleup }$แสดงถึงความแตกต่างแบบสมมาตร );
• สำหรับทุกๆ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ด้วยมาตรการเชิงบวกที่เรามี${\textstyle \mu {\mathord {\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }T^{-n}(A)\right)}}=1}$;
• สำหรับทุกๆ สองชุด${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}}$ในแง่บวก มีอยู่${\displaystyle n>0}$โดยที่${\displaystyle \mu {\mathord {\left(\left(T^{-n}(A)\right)\cap B\right)}}>0}$;
• ฟังก์ชันที่วัดได้ทุกอย่าง${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$กับ${\displaystyle f\circ T=f}$มีค่าคงที่บนเซตย่อยของการวัดแบบเต็ม

ที่สำคัญสำหรับการใช้งาน เงื่อนไขในการกำหนดลักษณะสุดท้ายสามารถจำกัดได้เฉพาะฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้เท่านั้น:

• ถ้า${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu )}$และ${\displaystyle f\circ T=f}$แล้ว${\displaystyle f}$มีค่าคงที่เกือบทุกที่

ถ้า${\displaystyle \mu }$เป็นการวัดความน่าจะเป็นบนปริภูมิ${\displaystyle X}$ซึ่งเป็นเออร์โกดิกสำหรับการแปลง${\displaystyle T}$ทฤษฎีบทเออร์โกดิกแบบจุดต่อจุดของGD Birkhoffระบุว่าสำหรับทุกฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์ได้${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$และสำหรับ${\displaystyle \mu }$-เกือบทุกประเด็น${\displaystyle x\in X}$ค่าเฉลี่ยเวลาบนวงโคจรของ${\displaystyle x}$ลู่เข้าสู่ค่าเฉลี่ยเชิงพื้นที่ของ${\displaystyle f}$[ ^{23 ] [ 2 ] ใน}ทางรูปแบบนี้หมายความว่า $${\displaystyle \lim _{k\to +\infty }\left({\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}f\left(T^{i}(x)\right)\right)=\int _{X}fd\mu .}$$

ทฤษฎีบทเออร์โกดิกเฉลี่ยของJ. von Neumannเป็นข้อความที่คล้ายกันแต่มีกำลังอ่อนกว่าเกี่ยวกับการแปลเฉลี่ยของฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้^{[ 23 ] [ 5 ]}

เช่นเดียวกับในกรณีแบบไม่ต่อเนื่อง ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือการกระทำแบบถ่ายทอด เช่น การกระทำต่อวงกลมที่กำหนดโดย${\displaystyle T_{t}(z)=e^{2i\pi t}z}$เป็นค่าเออร์โกดิกสำหรับการวัดแบบเลเบสก์

ตัวอย่างที่มีวงโคจรอนันต์จำนวนหนึ่งแสดงโดยการไหลตามความชันที่ไม่เป็นจำนวนตรรกยะบนทอรัส: ให้${\displaystyle X=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$และ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$. อนุญาต${\displaystyle T_{t}(z_{1},z_{2})=\left(e^{2i\pi t}z_{1},e^{2\alpha i\pi t}z_{2}\right)}$; แล้วถ้า${\displaystyle \alpha \not \in \mathbb {Q} }$นี่เป็นค่าเออร์โกดิกสำหรับการวัดแบบเลเบสก์

ตัวอย่างเพิ่มเติมของการไหลแบบเออร์โกดิก ได้แก่: ^{[ 18 ] [ 19 ]}

• บิลเลียดบางประเภทในโดเมนยูคลิดนูน เช่นบิลเลียดไซนาย
• การไหลแบบจีโอเดสิกของแมนิโฟลด์รีมันน์ที่มีความโค้งเชิงลบและมีปริมาตรจำกัดนั้นเป็นแบบเออร์โกดิก (สำหรับการวัดปริมาตรแบบนอร์มาไลซ์)
• การไหลของโฮโรไซเคิลบนแม นิ โฟลด์ไฮเปอร์โบลิกที่มีปริมาตรจำกัดนั้นเป็นแบบเออร์โกดิก (สำหรับการวัดปริมาตรแบบนอร์มาไลซ์)

สามารถให้ลักษณะเฉพาะทางเลือกที่มีประสิทธิภาพมากของการวัดแบบเออร์โกดิกได้โดยใช้ทฤษฎีของปริภูมิบานาคการวัดเรดอนแบบมีเครื่องหมายบน${\displaystyle X}$ก่อให้เกิดปริภูมิบานาค ซึ่งเซตนั้นประกอบด้วย${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ของการวัดความน่าจะเป็นบน${\displaystyle X}$เป็น เซตย่อย นูน กำหนดให้เป็นการแปลงต่อเนื่อง${\displaystyle T}$ของ${\displaystyle X}$เซตย่อย${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)^{T}}$ของ${\displaystyle T}$การวัดแบบไม่เปลี่ยนแปลง คือเซตย่อยนูนปิด และการวัดนั้นเป็นการวัดแบบเออร์โกดิกสำหรับ${\displaystyle T}$ก็ต่อเมื่อเป็นจุดสุดขั้วของเซตนูนนี้ เท่านั้น ^{[ 28 ]}

การเปลี่ยนแปลง${\displaystyle T}$กล่าวกันว่าเป็นergodic ที่ไม่เหมือนใครหากมี ergodic ที่ไม่เหมือนใคร${\displaystyle T}$การวัดความน่าจะเป็นของ Borel ที่ไม่เปลี่ยนแปลง${\displaystyle \mu }$บน${\displaystyle X}$.

ในตัวอย่างที่พิจารณาข้างต้น การหมุนวงกลมที่ไม่สมเหตุสมผลจะมีลักษณะเฉพาะแบบเออร์โกดิก^{[ 32 ]}แผนที่การเลื่อนจะไม่เป็นเช่นนั้น

อนุญาต${\displaystyle S}$เป็นเซตจำกัดโซ่ Markovบน${\displaystyle S}$ถูกกำหนดโดยเมทริกซ์${\displaystyle P\in [0,1]^{S\times S}}$, ที่ไหน${\displaystyle P(s_{1},s_{2})}$คือความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะจาก${\displaystyle s_{1}}$ถึง${\displaystyle s_{2}}$ดังนั้นสำหรับทุกๆ${\displaystyle s\in S}$เรามี${\textstyle \sum _{s'\in S}P(s,s')=1}$[ ^{33 ]}การวัดแบบคง^ที่สำหรับ${\displaystyle P}$เป็นการวัดความน่าจะเป็น${\displaystyle \nu }$บน${\displaystyle S}$โดยที่${\displaystyle \nu P=\nu }$นั่นคือ

$${\displaystyle \sum _{s'\in S}\nu (s')P(s',s)=\nu (s)}$$

สำหรับทุกคน${\displaystyle s\in S}$.

จากข้อมูลนี้ เราสามารถกำหนดมาตรวัดความน่าจะเป็นได้${\displaystyle \mu _{\nu }}$บนพื้นที่ทางเดิน${\displaystyle X=S^{\mathbb {Z} }}$โดยใช้พีชคณิต σ เป็นผลคูณ โดยให้การวัดเซตทรงกระบอกดังต่อไปนี้:

$${\displaystyle \mu _{\nu }\{x\in S^{\mathbb {Z} }:x_{n}=s_{n},\ldots ,x_{m}=s_{m}\}=\nu (s_{n})P(s_{n},s_{n+1})\cdots P(s_{m-1},s_{m}).}$$

ความนิ่งของ${\displaystyle \nu }$นั่นหมายความว่าการวัด${\displaystyle \mu _{\nu }}$ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้แผนที่การเลื่อน

$${\displaystyle T\left(\left(s_{k}\right)_{k\in \mathbb {Z} }\right)=\left(s_{k+1}\right)_{k\in \mathbb {Z} }.}$$

มาตรการ${\displaystyle \mu _{\nu }}$เป็นแบบเออร์โกดิกสำหรับแผนที่การเลื่อนหากห่วงโซ่มาร์คอฟจำกัดที่เกี่ยวข้องไม่สามารถลดทอนได้นั่นคือ หากสถานะใด ๆ สามารถเข้าถึงได้ด้วยความน่าจะเป็นบวกจากสถานะอื่นใดในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด^{[ 33 ]}

สำหรับลูกโซ่ Markov ที่ไม่สามารถลดทอนได้แบบจำกัด จะมีมาตรวัดสถานะคงที่ที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว เงื่อนไขที่เพียงพอที่เข้มงวดกว่า ซึ่งมักใช้เพื่อให้แน่ใจว่ามีการลู่เข้าสู่มาตรวัดสถานะคงที่ คือ${\displaystyle 1}$เป็นค่าลักษณะเฉพาะอย่างง่ายของเมทริกซ์${\displaystyle P}$และค่าลักษณะเฉพาะอื่นๆ ทั้งหมดของ${\displaystyle P}$ใน${\displaystyle \mathbb {C} }$มีค่าโมดูลัสต่ำกว่า${\displaystyle 1}$.

โปรดทราบว่าในทฤษฎีความน่าจะเป็น โซ่ Markov แบบจำกัดมักเรียกว่าergodicหากมันไม่สามารถลดทอนได้และไม่เป็นคาบ การไม่เป็นคาบนั้นไม่จำเป็นสำหรับมาตรวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการเลื่อนที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle \mu _{\nu }}$เพื่อที่จะเป็นเออร์โกดิก; มันเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติการบรรจบกันและการผสมที่แข็งแกร่งกว่า ดังนั้นแนวคิดของ "เออร์โกดิก" สำหรับห่วงโซ่มาร์คอฟและแนวคิดของเออร์โกดิกสำหรับการวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการเลื่อนที่เกี่ยวข้องจึงมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิดแต่ไม่เหมือนกัน^{[ 34 ]}

ความเออร์โกดิกยังมีสูตรเชิงทฤษฎีการแทนอีกด้วย ให้${\displaystyle G}$เป็นกลุ่มและปล่อยให้${\displaystyle \pi :G\to U({\mathcal {H}})}$เป็นการแสดงแทนแบบเอกภาพบนปริภูมิฮิลเบิร์ต${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ในบริบทนี้ บางครั้งการแสดงแทนจะเรียกว่าเออร์โกดิกหากไม่มีเวกเตอร์ไม่แปรผันที่ไม่เป็นศูนย์^{[ 36 ] [ 38 ]}นั่นคือ

$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{G}={v\in {\mathcal {H}}:\pi (g)v=v{\text{ for all }}g\in G}={0}.}$$

เงื่อนไขนี้สามารถแสดงได้ในรูปของสัมประสิทธิ์เมทริกซ์เช่นกัน สำหรับ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {H}}}$, กำหนด

$${\displaystyle f_{x,y}(g)=\langle \pi (g)x,y\rangle .}$$

สัมประสิทธิ์เมทริกซ์ของการแสดงแทนแบบเอกภาพมีลักษณะเกือบเป็นคาบอย่างอ่อนเนื่องจาก${\displaystyle WAP(G)}$มีค่าเฉลี่ยคงที่ที่ไม่ซ้ำกัน${\displaystyle m}$การแสดงผลนั้นเป็นแบบเออร์โกดิกก็ต่อเมื่อ

$${\displaystyle m(f_{x,y})=0}$$

สำหรับทุกคน${\displaystyle x,y\in {\mathcal {H}}}$[ ^{36 ]}เมื่อ^​${\displaystyle G}$เนื่องจากเป็นขนาดกะทัดรัด ค่าเฉลี่ยคงที่นี้จึงเป็นการอินทิเกรตเทียบกับมาตรวัดฮาร์แบบนอร์มาไลซ์ ดังนั้นเงื่อนไขจึงกลายเป็น

$${\displaystyle \int _{G}\langle \pi (g)x,y\rangle \,dg=0}$$

สำหรับทุกคน${\displaystyle x,y\in {\mathcal {H}}}$.

คำศัพท์นี้สอดคล้องกับแนวคิดเรื่องภาวะเออร์โกดิกตามปกติสำหรับการกระทำที่รักษาการวัดไว้ สมมติว่า${\displaystyle G}$กระทำบนปริภูมิความน่าจะเป็น${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$โดยการแปลงที่รักษาการวัดไว้การแสดงแทนแบบ Koopman ที่เกี่ยวข้อง คือการแสดงแทนแบบเอกภาพของ${\displaystyle G}$บน${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$กำหนดโดย

$${\displaystyle (U_{g}f)(x)=f(g^{-1}x).}$$

การกระทำของ${\displaystyle G}$เป็นแบบเออร์โกดิกก็ต่อเมื่อเงื่อนไขเดียวเท่านั้น${\displaystyle G}$ฟังก์ชันที่ไม่เปลี่ยนแปลงใน${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$เป็นฟังก์ชันคงที่^{[ 5 ] [ 36 ]}หรือเทียบเท่ากัน

$${\displaystyle L^{2}(X,\mu )^{G}=\mathbb {C} \mathbf {1} .}$$

อนุญาต${\displaystyle L_{0}^{2}(X,\mu )}$หมายถึงส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของฟังก์ชันคงที่

$${\displaystyle L_{0}^{2}(X,\mu )=\left\{f\in L^{2}(X,\mu ):\int _{X}f\,d\mu =0\right\}.}$$

ดังนั้น การกระทำจะเป็นแบบเออร์โกดิกก็ต่อเมื่อการแสดงแทนแบบ Koopman ที่จำกัดบน${\displaystyle L_{0}^{2}(X,\mu )}$เป็นแบบเออร์โกดิกในความหมายเชิงทฤษฎีการแสดงแทน หมายความว่าไม่มีเวกเตอร์ไม่แปรเปลี่ยนที่ไม่เป็นศูนย์^{[ 5 ] [ 35 ]}

สำหรับการแปลงผกผันเพียงครั้งเดียว${\displaystyle T}$นี่เป็นข้อความเดียวกันสำหรับตัวดำเนินการเอกภาพ${\displaystyle U_{T}f=f\circ T^{-1}}$ในภาษานี้ ความเป็นเออร์โกดิกหมายความว่าปริภูมิค่าลักษณะเฉพาะสำหรับค่าลักษณะเฉพาะ${\displaystyle 1}$ประกอบด้วยฟังก์ชันคงที่เท่านั้น