ในคณิตศาสตร์ฟิสิกส์วิศวกรรมและทฤษฎีระบบ ระบบพลวัตคือคำอธิบายว่าระบบมีการวิวัฒนาการอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป การศึกษาระบบพลวัตเป็นจุดสนใจของทฤษฎีระบบพลวัต [ ^{1 ] [ 2 ] มี}การประยุกต์ใช้ในหลากหลายสาขา เช่น คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ชีววิทยา[ 3 ^{] เคมี}วิศวกรรม [ 4 ^{] เศรษฐศาสตร์} [ ^{5 ] ประวัติศาสตร์}และการแพทย์ระบบพลวัตเป็นส่วนสำคัญของทฤษฎีความโกลาหลพลวัต^{แผนที่}โลจิสติกทฤษฎีการแยกสาขา^{กระบวนการ}ประกอบตนเองและ การ จัดระเบียบตนเองและแนวคิดขอบแห่งความโกลาหล

ตัวอย่างเช่นนักดาราศาสตร์สามารถบันทึกตำแหน่งการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์บนท้องฟ้าได้จากการทดลอง และถือได้ว่าเป็นคำอธิบายที่สมบูรณ์เพียงพอของระบบพลวัต ในกรณีของดาวเคราะห์นั้น ยังมีความรู้เพียงพอที่จะเข้ารหัสข้อมูลนี้เป็นชุดสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นหรือเป็นแผนที่จากสถานะปัจจุบันไปยังสถานะในอนาคตในปริภูมิสถานะ ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ด้วย พารามิเตอร์ เวลา t หรือเป็นวงโคจรในปริภูมิเฟส [ ^{6 ] :หมายเหตุบทที่ 2.1}

แนวคิดของระบบพลวัตมีต้นกำเนิดมาจากกลศาสตร์ของนิวตันและโดยเฉพาะอย่างยิ่งในกลศาสตร์ดาราศาสตร์ที่นั่น เช่นเดียวกับในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและสาขาวิศวกรรมอื่นๆ มีความจำเป็นต้องทำนายวิวัฒนาการของระบบ แต่บางทีอาจมีคำถามอื่นๆ เช่น เสถียรภาพ พฤติกรรมเชิงคุณภาพหรือระยะยาว การพึ่งพาพารามิเตอร์ การมีอยู่ของพฤติกรรมเป็นคาบ สุ่ม หรืออลวน^{[ 6 ] :ส่วนที่ 1} ความสัมพันธ์จากสถานะหนึ่งไปยังอีกสถานะหนึ่งอาจเป็นแบบชัดเจน เช่น ฟังก์ชันในพารามิเตอร์ t ที่ทำนายตำแหน่งและความเร็วของอนุภาค หรือแบบไม่ชัดเจน เช่นสมการเชิงอนุพันธ์ สมการเชิงผลต่างหรือมาตราส่วนเวลา อื่นๆ บางครั้งอาจไม่สามารถกำหนดคำอธิบายดังกล่าวได้ อาจไม่มีสมการเชิงอนุพันธ์ที่ทำนายราคาหุ้นหรืออาจเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างขึ้นมา แต่ยังคงพูดถึงราคาหุ้นได้ โดยพิจารณาจากข้อมูลการทดลองที่เปลี่ยนแปลงไปตามเวลา^{[ 7 ]}

คุณสมบัติที่สำคัญคือการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของคำตอบความสามารถในการบูรณาการ (เช่น การมีอยู่ของปริมาณที่อนุรักษ์ไว้) ความเป็นไปได้ในการแก้ปัญหาระบบ และความสามารถในการคำนวณสถานะ ณ จุดเวลาใดๆ คุณสมบัติอื่นๆ ได้แก่ ระบบนั้นเป็นแบบไม่ต่อเนื่องต่อเนื่อง สามารถหา อนุพันธ์ได้เรียบกำหนดได้ เออร์ โกดิกสโตแคสติกหรืออลวน^{[ 8 ] [ 9 ]}

หากสามารถแก้ระบบได้แล้ว เมื่อกำหนดจุดเริ่มต้นแล้ว ก็จะสามารถกำหนดตำแหน่งในอนาคตทั้งหมดของจุดนั้นได้ ซึ่งกลุ่มของจุดเหล่านั้นเรียกว่าวิถีโคจรหรือวงโคจร

ก่อนการมาถึงของคอมพิวเตอร์การค้นหาวงโคจรต้องใช้เทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนและสามารถทำได้เฉพาะกับระบบไดนามิกบางประเภทเท่านั้น^{[ 10 ]}วิธีการเชิงตัวเลขที่นำมาใช้กับเครื่องคำนวณอิเล็กทรอนิกส์ได้ทำให้การกำหนดวงโคจรของระบบไดนามิกง่ายขึ้น^{[ 11 ]}

สำหรับระบบพลวัตแบบง่าย การทราบวิถีการเคลื่อนที่มักจะเพียงพอ แต่ระบบพลวัตส่วนใหญ่มีความซับซ้อนเกินกว่าจะเข้าใจได้โดยพิจารณาจากวิถีการเคลื่อนที่แต่ละจุด ความยากลำบากเกิดขึ้นเนื่องจาก:

• ระบบที่ศึกษาอาจทราบได้เพียงโดยประมาณเท่านั้น—พารามิเตอร์ของระบบอาจไม่เป็นที่ทราบอย่างแม่นยำ หรืออาจมีบางเทอมที่ขาดหายไปจากสมการ การประมาณค่าที่ใช้ทำให้เกิดข้อสงสัยเกี่ยวกับความถูกต้องหรือความเกี่ยวข้องของวิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลข เพื่อแก้ไขปัญหาเหล่านี้ จึงมีการนำแนวคิดเรื่องเสถียรภาพหลายประการมาใช้ในการศึกษาระบบพลวัต เช่นเสถียรภาพของ Lyapunovหรือเสถียรภาพเชิงโครงสร้างเสถียรภาพของระบบพลวัตหมายความว่ามีแบบจำลองหรือเงื่อนไขเริ่มต้นบางประเภทที่วิถีการเคลื่อนที่จะเทียบเท่ากัน การดำเนินการเปรียบเทียบวงโคจรเพื่อสร้างความเท่าเทียมกันจะเปลี่ยนแปลงไปตามแนวคิดเรื่องเสถียรภาพที่แตกต่างกัน^{[ 6 ] :ภาคผนวก 1.1}
• ประเภทของวิถีการเคลื่อนที่อาจมีความสำคัญมากกว่าวิถีการเคลื่อนที่เฉพาะเจาะจงเพียงวิถีเดียว วิถีการเคลื่อนที่บางอย่างอาจเป็นแบบคาบ ในขณะที่บางอย่างอาจเคลื่อนที่ไปมาระหว่างสถานะต่างๆ ของระบบ การใช้งานมักต้องการการแจงนับคลาสเหล่านี้หรือการรักษาระบบให้อยู่ในคลาสเดียว การจำแนกวิถีการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดนำไปสู่การศึกษาเชิงคุณภาพของระบบพลวัต นั่นคือ คุณสมบัติที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนแปลงพิกัดระบบพลวัตเชิงเส้นและระบบที่มีตัวเลขสองตัวที่อธิบายสถานะเป็นตัวอย่างของระบบพลวัตที่เข้าใจคลาสที่เป็นไปได้ของวงโคจร^{[ 12 ]}
• พฤติกรรมของวิถีการเคลื่อนที่ตามฟังก์ชันของพารามิเตอร์อาจเป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับการใช้งาน เมื่อพารามิเตอร์เปลี่ยนแปลง ระบบไดนามิกอาจมีจุดแยกสาขาที่พฤติกรรมเชิงคุณภาพของระบบไดนามิกเปลี่ยนแปลงไป ตัวอย่างเช่น อาจเปลี่ยนจากการเคลื่อนที่แบบเป็นคาบอย่างเดียวไปเป็นพฤติกรรมที่ดูเหมือนไม่แน่นอน เช่นเดียวกับการ เปลี่ยนไปสู่ความปั่นป่วน ของของเหลว^{[ 13 ]}
• วิถีการเคลื่อนที่ของระบบอาจดูผิดปกติราวกับสุ่ม ในกรณีเหล่านี้ อาจจำเป็นต้องคำนวณค่าเฉลี่ยโดยใช้วิถีการเคลื่อนที่ที่ยาวมากหนึ่งเส้นหรือวิถีการเคลื่อนที่ที่แตกต่างกันหลายเส้น ค่าเฉลี่ยได้รับการกำหนดไว้อย่างดีสำหรับระบบเออร์โกดิกและความเข้าใจที่ละเอียดมากขึ้นได้รับการพัฒนาสำหรับระบบไฮเปอร์โบลิกการทำความเข้าใจด้านความน่าจะเป็นของระบบพลวัตได้ช่วยสร้างรากฐานของกลศาสตร์สถิติและความโกลาหล^{[ 14 ]}

ตัวอย่างง่ายๆ ได้แก่แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายการแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกาการไหลของน้ำในท่อการเคลื่อนที่แบบสุ่มของอนุภาคในอากาศและจำนวนปลาในทะเลสาบในช่วงฤดูใบไม้ผลิแต่ละปี

• 
  ปัญหาวัตถุสามชิ้น : วิถีการเคลื่อนที่โดยประมาณของวัตถุสามชิ้นที่เหมือนกัน ซึ่งตั้งอยู่ที่จุดยอดของสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า และมีความเร็วเริ่มต้นเป็นศูนย์
• 
  แผนที่แมวของอาร์โนลด์ : ภาพแสดงให้เห็นว่าแผนที่เชิงเส้นขยายสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยอย่างไร และชิ้นส่วนต่างๆ ถูกจัดเรียงใหม่เมื่อ ทำการดำเนิน การโมดูลัสเส้นที่มีลูกศรแสดงทิศทางการหดตัวและการขยายตัวของปริภูมิไอเกน
• 
  แผนที่ของเบเกอร์ : ตัวอย่างของการวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การกระทำของแผนที่ของเบเกอร์ (ที่ไม่ได้หมุน): การวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงการใช้แผนที่ของเบเกอร์กับภาพนี้จะให้ผลลัพธ์เป็นภาพที่เหมือนเดิมทุกประการ
• 
  บิลเลียด : อนุภาคที่เคลื่อนที่อยู่ภายในสนามกีฬาบุนิโมวิช ซึ่งเป็นสนามบิลเลียดไร้ระเบียบที่มีชื่อเสียง
• 
  บิลเลียดนอก : กำหนดโดยสัมพันธ์กับรูปห้าเหลี่ยม
• 
  พลศาสตร์ของลูกบอลที่กระดอน : การเคลื่อนที่ไม่ได้เป็นรูปทรงพาราโบลา อย่างสมบูรณ์ เนื่องจากแรงต้านอากาศ
• 
  แผนภาพการแยกสาขาสำหรับแผนที่วงกลมบริเวณสีดำสอดคล้องกับลิ้นของอาร์โนลด์
• 
  การประยุกต์ใช้พหุนามกำลังสองเชิงซ้อนแบบเรียก ซ้ำ เป็นแผนที่ระนาบเชิงซ้อนทำให้เกิดระบบพลวัตขึ้น ในที่นี้มีระนาบพลวัตที่มีเซตจูเลียและวงโคจรวิกฤต
• 
  การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มคู่แบบผสม (จากการคำนวณเชิงตัวเลขของสมการการเคลื่อนที่)
• 
  พล็อต การแปลงไดอะดิกxyโดยที่x  = x ∈ [0, 1] เป็นจำนวนตรรกยะและy = x สำหรับทุกn      
• 
  ตัวดึงดูดลอเรนซ์เกิดขึ้นในการศึกษาออสซิลเลเตอร์ลอเรนซ์ซึ่งเป็นระบบพลวัต
• 
  ตัวอย่างของกระแสน้ำวนคาร์มัน (Kármán vortex street ) ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นใหม่จากพลศาสตร์ของไหล
• 
  ระบบ คิกโรเตอร์ (Kicked Rotor)ซึ่งเป็นระบบอลวนที่มีชื่อเสียง
• 
  ปรากฏการณ์เรโซแนนซ์วงโคจรในวงแหวนของดาวเสาร์
• 
  การหมุนอย่างอลหม่านของไฮเปอเรียนระบบสุริยะโดยรวมเต็มไปด้วยตัวอย่างของระบบพลวัตจากกลศาสตร์ท้องฟ้า

ตัวอย่างคลาสสิกอื่นๆ ได้แก่:

แผนที่ทางคณิตศาสตร์ใดๆก็สามารถนำมาใช้เป็นนิยามของระบบพลวัตได้ ตัวอย่างเช่น:

หลายคนถือว่าอองรี ปวงกาเร นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส เป็นผู้ก่อตั้งระบบพลวัต^{[ 15 ]}ปวงกาเรตีพิมพ์งานวิจัยคลาสสิกสองเล่ม ได้แก่ "วิธีการใหม่ของกลศาสตร์ท้องฟ้า" (พ.ศ. 2435–2442) และ "การบรรยายเกี่ยวกับกลศาสตร์ท้องฟ้า" (พ.ศ. 2448–2453) ในงานวิจัยเหล่านี้ เขาได้นำผลการวิจัยไปประยุกต์ใช้กับปัญหาการเคลื่อนที่ของวัตถุสามชิ้น และศึกษาพฤติกรรมของคำตอบโดยละเอียด (ความถี่ เสถียรภาพ เชิงเส้นกำกับ และอื่นๆ) งานวิจัยเหล่านี้รวมถึงทฤษฎีบทการเกิดซ้ำของปวงกาเรซึ่งระบุว่าระบบบางระบบจะกลับคืนสู่สถานะที่ใกล้เคียงกับสถานะเริ่มต้นหลังจากช่วงเวลาที่ยาวนานพอสมควรแต่จำกัด^{[ 6 ] :ภาคผนวก 1.1.1}

อเล็กซานเดอร์ เลียปูนอฟได้พัฒนาวิธีการประมาณค่าที่สำคัญหลายวิธี วิธีการของเขาซึ่งเขาพัฒนาขึ้นในปี พ.ศ. 2342 ทำให้สามารถกำหนดเสถียรภาพของชุดสมการเชิงอนุพันธ์สามัญได้ เขาสร้างทฤษฎีสมัยใหม่เกี่ยวกับเสถียรภาพของระบบพลวัต^{[ 6 ] :ภาคผนวก 1.1}

ในปี พ.ศ. 2456 George David Birkhoff ได้พิสูจน์ " ทฤษฎีบทเรขาคณิตสุดท้าย " ของ Poincaré ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของปัญหาวัตถุสามชิ้นผลลัพธ์นี้ทำให้เขามีชื่อเสียงไปทั่วโลก ในปี พ.ศ. 2460 เขาได้ตีพิมพ์Dynamical Systems ^{[ 16 ]}

ผลงานที่ยั่งยืนที่สุดของ Birkhoff คือการค้นพบทฤษฎีบทเออร์โกดิก ในปี 1931 การผสมผสานความเข้าใจจากฟิสิกส์เกี่ยวกับสมมติฐานเออร์โกดิกกับทฤษฎีการวัด ทฤษฎีบทนี้ได้แก้ปัญหาพื้นฐานของ กลศาสตร์เชิงสถิติอย่างน้อยก็ในทางทฤษฎีทฤษฎีบทเออร์โกดิกยังมีผลกระทบต่อพลศาสตร์อีกด้วย^{[ 6 ] :ภาคผนวก 1.2}

สตีเฟน สเมลก็ได้สร้างความก้าวหน้าอย่างมากเช่นกัน ผลงานชิ้นแรกของเขาคือ " เกือกม้าสเมล"ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของการวิจัยที่สำคัญในด้านระบบพลวัต นอกจากนี้เขายังได้ร่างโครงงานวิจัยที่ดำเนินการโดยนักวิจัยคนอื่นๆ อีกมากมาย

Oleksandr Mykolaiovych Sharkovskyได้พัฒนาทฤษฎีบท Sharkovskyเกี่ยวกับคาบของระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่องในปี 1964 หนึ่งในผลลัพธ์ของทฤษฎีบทนี้คือ หากระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่องบนเส้นจำนวนจริงมีจุดคาบที่มีคาบ 3 แล้ว ระบบนั้นจะต้องมีจุดคาบที่มีคาบอื่น ๆ ทุกคาบด้วย^{[ 6 ] :ภาคผนวก 1.4}

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 20 มุมมองระบบพลวัตต่อสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเริ่มได้รับความนิยม วิศวกรเครื่องกลชาวปาเลสไตน์Ali H. Nayfehได้ประยุกต์ใช้พลวัตแบบไม่เชิงเส้นในระบบเครื่องกลและวิศวกรรม^{[ 17 ] งานบุกเบิกของเขาในด้านพลวัต แบบ}ไม่ เชิง เส้นประยุกต์มีอิทธิพลต่อการก่อสร้างและการบำรุงรักษาเครื่องจักรและโครงสร้าง ที่พบเห็นได้ทั่วไปในชีวิตประจำ วันเช่นเรือเครนสะพานอาคารตึกระฟ้าเครื่องยนต์^เจ็ทเครื่องยนต์จรวดเครื่องบินและยานอวกาศ [ ¹⁸ ]

นิยามที่ครอบคลุมที่สุดนี้ได้รวมเอาแนวคิดหลายอย่างเข้าไว้ด้วยกันในคณิตศาสตร์เช่นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญและทฤษฎีเออร์โกดิกฟิสิกส์เช่นปริภูมิเฟสสถานะควอนตัมและสถานะเทอร์โมไดนามิกวิศวกรรมศาสตร์เช่นทฤษฎีระบบทฤษฎีการควบคุมและแม้กระทั่งทฤษฎีสารสนเทศ

เวลาในฐานะแมนิโฟลด์หลายมิติ

เวลาสามารถขยายความได้เป็นชุดพารามิเตอร์ต่อเนื่องทั่วไปได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น พารามิเตอร์ ควบคุมของหุ่นยนต์อาจเป็นแมนิโฟลด์ไม่จำเป็นว่าเวลาจะต้องมีทิศทาง จะต้องเรียบ หรือแม้กระทั่งจะต้องมีความหมายใดๆ คล้ายกับสัญชาตญาณของเวลาอันที่จริงแล้ว เวลาสามารถขยายความไปสู่วัตถุพีชคณิตทั่วไปได้มากกว่านั้นด้วย ซ้ำ ^{[หมายเหตุ 1 ]}

ระบบประเภทหนึ่งที่นิยามขึ้นจากตัวแปรอิสระหลายตัว เรียกว่าระบบหลายมิติระบบเหล่านี้มีประโยชน์สำหรับการสร้างแบบจำลอง และตัวอย่างเช่น ในการประมวลผลภาพ

โดยทั่วไป เวลาถือเป็นพารามิเตอร์ภายนอก เช่น ใน กลศาสตร์ คลาสสิกและกลศาสตร์ควอนตัมและโดยทั่วไปเรียกว่าการแสดงในโดเมนเวลา และมักจะควบคู่ไปกับ การกำหนดสูตร กลศาสตร์แฮมิลโทเนียนนี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป ตัวอย่างเช่นทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเป็น อิสระจาก กรอบอ้างอิง^{[ 26 ]}และแรงโน้มถ่วงก็มีอิทธิพลต่อเวลาเช่นกัน และใน ควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์การใช้ การกำหนดสูตร กลศาสตร์ลากรางจ์เป็นเรื่องปกติมากกว่า^{[ 27 ]}ซึ่งเวลาและอวกาศอยู่ในระดับเดียวกัน ในทั้งสองกรณี วรรณกรรมยังคงพูดถึงระบบไดนามิก

ไม่สามารถระบุได้อย่างแน่นอน

กฎวิวัฒนาการของระบบพลวัตคือฟังก์ชันที่อธิบายว่าสถานะในอนาคตใดเกิดขึ้นจากสถานะปัจจุบัน บ่อยครั้งที่ฟังก์ชันนั้นเป็นแบบกำหนดได้กล่าวคือ สำหรับช่วงเวลาที่กำหนด จะมีสถานะในอนาคตเพียงสถานะเดียวเท่านั้นที่เกิดขึ้นจากสถานะปัจจุบัน^{[ 30 ] [ 31 ]}อย่างไรก็ตาม บางระบบไม่ได้เป็นแบบกำหนดได้อาจอนุญาตให้มีสถานะในอนาคตได้หลายสถานะ (กล่าวคือ แผนที่ถูกทำให้เป็นแบบทั่วไปในฟังก์ชันหลายค่าและไม่ได้กำหนดไว้อย่างเฉพาะเจาะจงทุกที่) และระบบอาจเกิดการแยกสาขาได้

ระบบอลวนและระบบควอนตัม

สุดท้ายนี้ยังมีระบบอลวน (กล่าวคือ โดยทั่วไปเป็นระบบที่กำหนดได้ แต่ไม่สามารถคาดเดาได้) เช่น:

• พลวัตที่ซับซ้อน
• พลศาสตร์ไฮเปอร์โบลิก
• ความโกลาหลแบบทวีคูณ^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]}
• ความโกลาหลที่ไม่แน่นอน^{[ 37 ] [ 38 ]}

และ ระบบควอนตัม (เช่น กำหนดได้จนกว่าจะมีการวัด) หรือ ระบบควอนตัมที่วุ่นวาย^{[ 6 ]}

สมมติว่า X เป็นเซตที่ไม่ว่างเปล่า โดยมีสมาชิกเรียกว่าสถานะ และสมมติว่ามีการแปลงทั่วไปดังนี้: $${\displaystyle T:X\to X}$$

สามารถตีความ X เป็นปริภูมิสถานะและ T เป็นวิวัฒนาการระหว่างสถานะได้^{[ 39 ]}การเพิ่มโครงสร้างที่แตกต่างกันบน T และบน X ช่วยให้สามารถจำลองคุณสมบัติที่แตกต่างกันของระบบไดนามิกได้

สามารถสร้างแบบจำลองวิวัฒนาการตามเวลาได้:${\displaystyle {\hat {T}}}$อาจเป็นเซมิกรุปที่มีพารามิเตอร์หนึ่งตัว${\displaystyle t}$ เรียกว่าเวลาซึ่งจะอยู่ในกลุ่มย่อยเช่นกัน${\displaystyle N(t>0)}$ในกรณีเวลาไม่ต่อเนื่อง${\displaystyle R^{+}(t>0)}$ในกรณีเวลาต่อเนื่อง

โครงสร้างเซมิกรุปนำมาซึ่งคุณสมบัติการสลับที่ $${\displaystyle {\hat {T_{1}}}({\hat {T_{2}}}{\hat {T_{3}}})=({\hat {T_{1}}}{\hat {T_{2}}}){\hat {T_{3}}}}$$ ซึ่งหมายถึงกฎการประกอบระหว่างวิวัฒนาการเวลาที่แตกต่างกัน: ^{[ 40 ]}$${\displaystyle {\hat {T}}(t_{1}+t_{2})={\hat {T}}(t_{1}){\hat {T}}(t_{2})}$$ นี่ก็เป็นโฮโมมอร์ฟิซึม ในท้ายที่สุดเช่น กัน

เป็นไปได้ที่จะกำหนดจุดเริ่มต้นของเวลา${\displaystyle t=0}$การเพิ่มเอกลักษณ์ให้กับกลุ่มย่อย $${\displaystyle {\hat {T}}(0)=\mathbf {1} }$$ และในที่สุดก็สามารถสร้างแบบจำลองวิวัฒนาการของเวลาที่ย้อนกลับได้เช่นกัน: T สามารถเป็นกลุ่มเช่น${\displaystyle \mathbf {Z} }$หรือ${\displaystyle R}$และเนื่องจากเป็นกลุ่มนี้จึงมีคำจำกัดความของการแปลงผกผัน: ^{[ 41 ]}$${\displaystyle \exists$$ !{\hat {T}}^{-1}:{\hat {T}}^{-1}={\hat {T}}(-t),{\hat {T}}(-t){\hat {T}}(t)=\mathbf {1} }

โดยทั่วไปแล้ว ระบบพลวัตจะมีนิยามอยู่หลายประเภท: ประเภทแรกได้รับแรงบันดาลใจจากสมการเชิงอนุพันธ์สามัญและมีลักษณะทางเรขาคณิต โดยมี โครงสร้าง ความสามารถในการหาอนุพันธ์ เพิ่มเติม ประเภทที่สองได้รับแรงบันดาลใจจากทฤษฎีเออร์โกดิกและมี ลักษณะ ทางทฤษฎีการวัดโดยมี โครงสร้าง ทางโทโพโลยี เพิ่มเติม และประเภทสุดท้ายได้รับแรงบันดาลใจจากทฤษฎีหมวดหมู่และมีลักษณะที่เป็นนามธรรม มากกว่า

ในนิยามทางเรขาคณิต ระบบพลวัตคือทูเปิล${\displaystyle \langle {\mathcal {T}},{\mathcal {M}},f\rangle }$.${\displaystyle {\mathcal {T}}}$คือโดเมนสำหรับเวลา – มีตัวเลือกมากมาย โดยปกติจะเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเต็ม ซึ่งอาจจำกัดให้เป็นจำนวนที่ไม่ติดลบ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$เป็นแมนิโฟลด์และโดยทั่วไป แต่ไม่เสมอไปfคือกฎวิวัฒนาการt  → f ^t (โดยที่  ${\displaystyle t\in {\mathcal {T}}}$) โดยที่f  ^tเป็นดิฟเฟโอเมอร์ฟิซึมของแมนิโฟลด์ไปยังตัวมันเอง^{[ 42 ]}

โดยทั่วไปแล้วจะมีโครงสร้างเสริมบางอย่างอยู่บนท่อร่วมไอดี:

1. เพื่อให้เป็นปริภูมิบานาค ในระดับท้องถิ่น จึงทำให้สามารถใช้เทคนิคมาตรฐานของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันได้
2. โครงสร้าง เชิงซิมเพล็กติกซึ่งเป็นกรณีทั่วไปของปริภูมิเฟส
3. ปริภูมิยูคลิด เช่น ปริภูมิการกำหนดค่า อันเนื่องมาจากข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิก
4. โครงสร้างแบบไม่ต่อเนื่องเช่นกราฟ
5. ชุดของการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลเช่นการแปลงพิกัด
6. เมตริกเทนเซอร์เช่นเดียวกับในแมนิโฟลด์รีมันน์

ระบบพลวัตจริง

ระบบไดนามิกจริงระบบไดนามิกแบบเรียลไทม์ระบบไดนามิกแบบต่อเนื่องหรือการไหลคือทูเปิล ( T , M , Φ) โดยที่Tเป็นช่วงเปิดในจำนวนจริงR , Mเป็นแมนิโฟลด์ที่โดยทั่วไปแต่ไม่จำเป็นต้องเป็นโฮโมมอร์ฟิก เฉพาะที่ กับปริภูมิบานาคและ Φ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง^{[ 43 ]}

การที่โฮโมมอร์ฟิกในระดับท้องถิ่นกับปริภูมิบานาคทำให้สามารถใช้ทฤษฎีบทการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของคำตอบสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์^{[ 44 ]}และตัวดำเนินการเชิงเส้น^{[ 45 ]}และทำให้คล้ายคลึงกับคำจำกัดความแบบคลาสสิกที่อิงตามระบบสมการเชิงอนุพันธ์

ความสามารถในการหาอนุพันธ์

ถ้า Φ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องระบบนั้นจะเรียกว่าระบบพลวัตที่หาอนุพันธ์ได้ ดังนั้น ฟังก์ชันfจึงเป็นการแมปแบบ "เรียบ" ของโดเมนเวลา${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ในพื้นที่ของการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลของแมนิโฟลด์ไปยังตัวมันเอง กล่าวอีกนัยหนึ่งf ( t ) คือการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลสำหรับทุกเวลาtในโดเมน${\displaystyle {\mathcal {T}}}$โดย ทั่วไป แล้ว แมนิโฟลด์Mจะมีลักษณะเป็นดิฟเฟโอเมอร์ฟิก ในระดับท้องถิ่น กับปริภูมิบานาค^{[ 46 ]}

มิติ

ถ้าแมนิโฟลด์Mมีลักษณะเป็นดิฟเฟโอเมอร์ฟิกเฉพาะที่กับR ⁿระบบไดนามิกจะมีมิติจำกัดถ้าไม่เช่นนั้น ระบบไดนามิกจะมีมิติอนันต์^{[ 47 ]}

การไหล

เมื่อ กำหนดให้ Tเป็นจำนวนจริง ระบบพลวัตจะเรียกว่าระบบทั่วโลกหรือโฟลว์และถ้าจำกัดT ให้เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ ระบบพลวัตนั้นจะเรียกว่า เซมิโฟลว์

นิยามแบบดั้งเดิม

นิยามทางเรขาคณิตสมัยใหม่ตั้งอยู่บนสมมติฐานของแผนที่ที่ให้คำอธิบายที่ชัดเจนของระบบพลวัต ซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากทฤษฎีเออร์โก ดิก สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่เหนือกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ อย่างไรก็ตาม คำอธิบายที่ชัดเจนมักไม่สามารถทำได้ นิยามทางเรขาคณิตแบบคลาสสิกจึงเป็นแบบแฝง มีรากฐานมาจากกลศาสตร์คลาสสิก และอิงตามชุดสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ มาตรฐาน และชุดตัวแปรอิสระที่ มีจำนวนจำกัด

 สถานะการเคลื่อนที่ทั้งหมดสามารถกำหนดให้มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับจุด P บนแมนิโฟลด์ปิด n มิติ M ได้ ในลักษณะที่ว่าสำหรับพิกัดที่เหมาะสม${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่สามารถเขียนได้ดังนี้:

$${\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}=u_{i}(x_{1},...,x_{n},t);(i=1,...,n)}$$ ฟังก์ชันอาจมีเงื่อนไขความสม่ำเสมอที่แตกต่างกันได้${\displaystyle u_{i}}$เช่น การหาอนุพันธ์หรือการวิเคราะห์^{[ 48 ]}

นิยามนี้บ่งชี้ถึงการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของคำตอบของสมการดังกล่าว

ระบบพลวัตแบบลากรางจ์

นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดนิยามทางเรขาคณิตโดยใช้หลักการแปรผันได้ อีกด้วย :

 ให้ M เป็นแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้ TM เป็นมัดสัมผัส ของแมนิโฟลด์นั้น และ${\displaystyle L:TM\to \mathbb {R} }$ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้แผนที่${\displaystyle \gamma$ :\mathbb {R} \to M} เรียกว่าการเคลื่อนที่ในระบบลากรางจ์ โดยมีแมนิโฟลด์ การกำหนดค่า M และลากรางจ์ L ถ้า${\displaystyle \gamma }$เป็นค่าสุดขั้วของฟังก์ชัน:

$${\displaystyle \Phi (\gamma )=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(\gamma ,{\dot {\gamma }})dt}$$ ที่ไหน${\displaystyle {\dot {\gamma }}\in TM_{\gamma (t)}}$เรียกว่าเวกเตอร์ความเร็ว^{[ 50 ]}

ระบบพลวัตแฮมิลโทเนียน

นอกเหนือจาก Lagrangian แล้ว ยังสามารถใช้ สูตร Hamiltonianซึ่งรวมถึง โครงสร้าง SymplecticหรือPoisson manifoldบนพื้นที่เฟสได้อีก ด้วย ^{[ 51 ]}

ระบบที่ไม่สามารถบูรณาการได้

เพื่อให้ครบถ้วนสมบูรณ์ ยังมีระบบที่ไม่ใช่ระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้ โดยทั่วไป เช่นระบบที่สูญเสียพลังงาน ระบบที่ไม่เป็นไปตาม ข้อจำกัดทางกลศาสตร์ และระบบที่มี โครงสร้าง แมนิโฟลด์สัมผัสตัวอย่างเช่น ระบบที่มีเงื่อนไขขอบเขตแบบไม่มีการลื่นไถล (กล่าวคือ มีข้อจำกัดบางอย่างเกี่ยวกับความเร็วที่ขอบเขต)

ระบบพลวัตสามารถนิยามอย่างเป็นทางการได้ว่าเป็นสามสิ่ง ( T ,${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$, Φ) โดยที่ Φ คือการแปลงแบบรักษาการวัดของปริภูมิการวัด${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$Φ ยังเป็นการกระทำของเซมิกรุป T ในกรณีทั่วไปอีกด้วย ในที่นี้คือปริภูมิการวัด${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ถูกกำหนดโดยสามสิ่ง ( X , Σ, μ ) โดยที่Xคือเซต Σ คือซิกมาแอลเจบรา บนXและ μ คือมาตรวัด จำกัด บนปริภูมิที่วัดได้ ( X , Σ) บ่อยครั้ง${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$เป็นปริภูมิความน่าจะเป็น กล่าวคือปริภูมิการวัดที่การวัดทั้งหมดของปริภูมิทั้งหมดเป็น 1 กล่าวอีกนัยหนึ่งคือมีการวัดความน่าจะเป็นที่จำกัดและเป็น มาตรฐาน^{[ 54 ] [ 55 ]}

กล่าวได้ว่าแผนที่ Φ: X → X สามารถวัดได้ด้วย Σก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก σ ใน Σ จะมีเงื่อนไขว่า${\displaystyle \Phi ^{-1}\sigma \in \Sigma }$กล่าวได้ว่าแผนที่ Φ รักษามาตรวัดไว้ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกσใน Σ จะมี${\displaystyle \mu (\Phi ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )}$เมื่อรวมสิ่งที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ฟังก์ชัน Φ จะเรียกว่าเป็นการแปลงที่รักษาการวัดของX ได้ ก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันจากXไปยังตัวมันเอง สามารถวัดได้ด้วย Σ และรักษาการวัดไว้

สามตัว ( T ,${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$, Φ), กับ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=}$( X , Σ, μ ) สำหรับ Φ ดังกล่าว จะถูกกำหนดให้เป็นระบบไดนามิกที่รักษาการวัด^{[ 56 ] [ 57 ]}

โดยไม่เป็นทางการและโดยอาศัยการอนุมานจากมุมมองของทฤษฎีบทเออร์โกดิกค่าเฉลี่ยของเวลาจะเท่ากับค่าเฉลี่ยของพื้นที่ / ค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างในที่สุด[ 65 ]ค่าเฉลี่ยของเวลาจะเป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ซึ่งสอดคล้องกับสมมาตรเนื่องจากทฤษฎีบทโนเธอร์และในที่สุดสมมาตรจะสอดคล้องกับค่าเฉลี่ยของพื้นที่[ 66 ] [ 67 ] [ 68 ]

โดยทั่วไปแล้ว การกระจายตัวแบบฮิวริสติกมีผลตรงกันข้ามกับความโกลาหลมันมีแนวโน้มที่จะลดทอนและจำกัดการเคลื่อนที่โดยทั่วไป แต่ยังลดทอนความปั่นป่วนและความโกลาหลด้วย การขยายไปยังบริเวณจำกัดของปริภูมิเฟสหมายถึงการไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้นระบอบเออร์โกดิกมีแนวโน้มที่จะเติบโตและครอบคลุมบริเวณจำกัดของปริภูมิเฟสทั้งหมด กล่าวคือมี วงโคจรคาบที่หนาแน่น และระบอบโกลาหลยังมีการส่งผ่านทางโทโพโลยี ด้วย [ 72 ]

เทคนิคเหล่านี้มักมี ลักษณะ ทางทอพอโลยีและเสริมกับพลศาสตร์เชิงเออร์โกดิก สมมาตรและปริพันธ์ของการเคลื่อนที่ผ่านทฤษฎีบทของโนเธอร์ตัวอย่างเช่น หนึ่งในเป้าหมายของพลศาสตร์เชิงทอพอโลยีคือการจำแนกชั้นสมมูลเชิงทอพอโลยี การจัดกลุ่มประเภทของการเคลื่อนที่โดยสัมพันธ์กับชั้นสมมูลของโฮมีโอเมอร์ฟิ ซึม หนึ่งในเป้าหมายของทฤษฎีเออร์โกดิกคือการแยกส่วนเชิงเออร์โก ดิก หนึ่งในเป้าหมายของสมมาตร คือการจำแนก ชั้นสมมูลกลุ่มทั้งหมดของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมและ ระบบที่สามารถ หาปริพันธ์ได้คือระบบที่ สามารถหา ปริพันธ์ของการเคลื่อนที่ทั้งหมดได้และทราบค่าแล้ว

ยกตัวอย่างเช่น ในระบบพลวัตเชิงทอพอโลยี วงโคจรจำกัดของตัวดึงดูดจะอยู่ภายในแมนิโฟลด์เอง นี่เป็นข้อความที่ไม่ธรรมดาด้วยเหตุผลหลายประการ: วงโคจรจำกัดอาจไม่สามารถเข้าถึงได้เลย; วงโคจรจำกัดอาจมีค่าการวัดเลเบสเป็นศูนย์; การกำหนดความน่าจะเป็นให้กับวงโคจรจำกัดนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย; ตัวดึงดูดอาจมีวงโคจรจำกัดหลายวง และความแตกต่างระหว่างการบีอัด แบบต่างๆ อาจมีความสำคัญ

แนวคิดเรื่องวิวัฒนาการตามเวลาเป็นหัวใจสำคัญของทฤษฎีระบบพลวัต ดังที่ได้กล่าวไปแล้วในหัวข้อก่อนหน้านี้ เหตุผลพื้นฐานสำหรับข้อเท็จจริงนี้คือ แรงจูงใจเริ่มต้นของทฤษฎีนี้มาจากการศึกษาพฤติกรรมตามเวลาของระบบกลไกแบบคลาสสิกแต่ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญจะต้องได้รับการแก้ไขก่อนจึงจะกลายเป็นระบบพลวัตได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาปัญหาค่าเริ่มต้นดังต่อไปนี้: $${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {v}}(t,{\boldsymbol {x}})}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}|_{t=0}={\boldsymbol {x}}_{0}}$$ ที่ไหน

• ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}}$แสดงถึงความเร็วของจุดวัสดุx
• Mคือแมนิโฟลด์ที่มีมิติจำกัด
• v : T × M → TMคือสนามเวกเตอร์ในR ⁿหรือC ⁿและแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงของความเร็วที่เกิดจากแรง ที่ทราบค่า ซึ่งกระทำต่อจุดวัสดุที่กำหนดในปริภูมิเฟสMการเปลี่ยนแปลงนี้ไม่ใช่เวกเตอร์ในปริภูมิเฟสMแต่เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิสัมผัสTMแทน 

ไม่จำเป็นต้องใช้ค่าอนุพันธ์อันดับสูงกว่าในสมการ หรือพารามิเตอร์tในv ( t , x ) เพราะสามารถกำจัดสิ่งเหล่านี้ได้โดยการพิจารณาระบบที่มีมิติสูงกว่า

ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของสนามเวกเตอร์นี้ ระบบเชิงกลจะถูกเรียกว่าอะไร

• เป็นอิสระเมื่อv ( t , x ) = v ( x )
• เป็นเนื้อเดียวกันเมื่อv ( t , 0 ) = 0 สำหรับทุกt

สามารถหาคำตอบได้โดยใช้เทคนิค ODE มาตรฐาน และแสดงด้วยฟังก์ชันวิวัฒนาการที่ได้กล่าวถึงไปแล้วข้างต้น $${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)=\Phi (t,{\boldsymbol {x}}_{0})}$$

ระบบพลวัตจึงเป็น ( T , M , Φ)

การจัดการเชิงรูปแบบบางอย่างของระบบสมการเชิงอนุพันธ์ที่แสดงไว้ข้างต้น จะทำให้ได้รูปแบบสมการทั่วไปที่ระบบพลวัตต้องเป็นไปตามนั้น $${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {v}}(t,{\boldsymbol {x}})=0\qquad \Leftrightarrow \qquad {\mathfrak {G}}\left(t,\Phi (t,{\boldsymbol {x}}_{0})\right)=0}$$ ที่ไหน${\displaystyle {\mathfrak {G}}:{{(T\times M)}^{M}}\to \mathbf {C} }$เป็นฟังก์ชันจากเซตของฟังก์ชันวิวัฒนาการไปยังฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน

สมการนี้มีประโยชน์เมื่อใช้ในการสร้างแบบจำลองระบบเชิงกลที่มีข้อจำกัดที่ซับซ้อน

แนวคิดหลายอย่างในระบบพลวัตสามารถขยายไปสู่แมนิโฟลด์มิติอนันต์ได้ ซึ่งก็คือแมนิโฟลด์ที่เป็นปริภูมิบานาคเฉพาะที่ในกรณีนั้นสมการเชิงอนุพันธ์จะเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

ระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่อง คือระบบที่เวลาหรือพื้นที่ หรือทั้งสองอย่างเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง โดยทั่วไปแล้ว ทั้งพื้นที่และเวลาจะมี เซตของจุด ที่มีจำนวนจำกัดหรือนับได้และแผนที่และตัวดำเนินการที่มีขอบเขต ซึ่งสามารถจัดการได้บนคอมพิวเตอร์ โดยอาศัยข้อสมมติทั่วไปบางประการเกี่ยวกับขอบเขต

คณิตศาสตร์ประยุกต์และฟิสิกส์

ในบริบทของคณิตศาสตร์ประยุกต์เช่นฟิสิกส์ชีววิทยาหรือวิศวกรรมจุดเริ่มต้นมักจะเป็นสมการผลต่างจำกัด^{[ 91 ]}เช่นสมการที่ง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ดังนี้ :$${\displaystyle y_{t+1}=ax_{t}+b}$$

โดยทั่วไปแล้ว สามารถสรุปเป็นแผนที่แบบไม่ต่อเนื่องทั่วไปจากแมนิโฟลด์n มิติ ไปยังตัวมันเองได้: $${\displaystyle y_{t+1}^{i}=f_{t}^{i}(x_{1},..,x_{n}),i=1,...,n}$$

ในบริบทของการไหลแบบแฮมิลโทเนียน [ ^{92 ] การ}เคลื่อนที่นั้นสามารถถือได้ว่าเป็นการแปลงแบบแคนอนิก (กล่าวคือ ในที่สุดแล้วคือแผนที่ ) และด้วยเหตุนี้จึงเป็นชุดที่ไม่ต่อเนื่องของสิ่งเหล่านี้ในช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง${\displaystyle \Delta t}$เป็นการกำหนดลักษณะเฉพาะของระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่องโดยสมบูรณ์อีกครั้งหนึ่ง

นอกจากนี้ยังมีกรณีของวงโคจรหนาแน่น^{[ 93 ]}ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วพื้นที่เฟสของสถานะไม่กระชับและตัวดำเนินการที่ไม่จำกัดเช่นในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่ง แผนที่วิวัฒนาการไม่กระชับ

ตัวอย่างหนึ่งคือการพยากรณ์อากาศของโลก ซึ่งจุดข้อมูลอยู่ห่างกันในเชิงพื้นที่ ระบบสามารถวางบนโครงข่ายและสามารถใช้สูตรในการคำนวณและทำนายตัวแปรบางอย่างได้ เช่น ในกรณีของการแปลงสมการนาเวียร์-สโตกส์ให้เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง

น้ำตก

ระบบไดนามิกแบบไม่ต่อเนื่องมักเรียกว่าแคสเคด เมื่อแนวคิดของการส่งต่อข้อมูลจากขั้นตอนหนึ่งไปยังอีกขั้นตอนหนึ่งมีความสำคัญ ตัวอย่างทั่วไปคือ avalanches ^{[ 94 ] [ 95 ]}และแคสเคดแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่า^{[ 96 ]} เมื่อTถูกกำหนดให้เป็นจำนวนเต็ม ระบบจะเป็นแคสเคดหรือแผนที่หากTถูกจำกัดให้เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ระบบจะเรียกว่าเซมิแคสเคด^{[ 97 ]}

ระบบพลวัตเชิงเส้นเป็นหัวใจสำคัญของหลักสูตรวิศวกรรมระบบและทฤษฎีระบบ ทุกหลักสูตร ในอดีต ระบบเชิงเส้นสะท้อนให้เห็นถึง ทฤษฎีระบบส่วนใหญ่จนถึงทศวรรษ 1970 (กล่าวคือ ก่อนที่คอมพิวเตอร์จะแพร่หลาย) ระบบเหล่านี้มีคุณสมบัติพื้นฐานของระบบพลวัตใดๆ เช่นการลดทอนการอิ่มตัว และการสั่นและอย่างน้อยในระดับท้องถิ่นก็สามารถใช้ประมาณระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นได้ด้วย

ระบบพลวัตเชิงเส้นสามารถแก้ไขได้โดยใช้ฟังก์ชันง่ายๆ เช่น ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย (เช่น เลขชี้กำลังเชิงซ้อน) และสามารถจำแนกพฤติกรรมของวงโคจรทั้งหมดได้

ในระบบเชิงเส้น ปริภูมิเฟสคือ ปริภูมิยูคลิด Nมิติ ดังนั้นจุดใดๆ ในปริภูมิเฟสสามารถแทนด้วยเวกเตอร์ที่มี ตัวเลข Nตัว ระบบพลวัตเชิงเส้น N มิติจึงไม่อลวน เช่นกัน

การวิเคราะห์ระบบเชิงเส้นก็ง่ายขึ้นและเป็นไปได้เช่นกัน เนื่องจากเป็นไปตามหลักการซ้อนทับ : ถ้าu ( t ) และw ( t ) สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่อธิบายระบบแล้ว การรวมเชิงเส้นก็จะสอดคล้องเช่นกัน${\displaystyle \alpha u(t)+\beta w(t)}$ด้วยหลักการซ้อนทับเราสามารถสร้างคำตอบใหม่จากคำตอบที่ทราบอยู่แล้วได้ ดังนั้น จึงจำเป็นต้องจำแนกประเภทของคำตอบพื้นฐานเพื่อที่จะทราบคำตอบทั้งหมด

การไหล

สำหรับการไหลเวกเตอร์ฟิลด์ v( x ) เป็น ฟังก์ชัน เชิงเส้นของตำแหน่งในปริภูมิเฟส นั่นคือ $${\displaystyle {\dot {x}}=v(x)=Ax+b,}$$ โดยที่Aคือเมทริกซ์, bคือเวกเตอร์ของตัวเลข และxคือเวกเตอร์ตำแหน่ง สามารถหาคำตอบของระบบสมการนี้ได้โดยใช้หลักการซ้อนทับ (ความเป็นเส้นตรง) กรณีที่b  ≠  0 และA  =  0 จะได้เป็นเส้นตรงในทิศทางของb :  $${\displaystyle \Phi ^{t}(x_{1})=x_{1}+bt.}$$

เมื่อbเป็นศูนย์และA  ≠  0 จุดกำเนิดจะเป็นจุดสมดุล (หรือจุดเอกฐาน) ของการไหล นั่นคือ ถ้าx   =  0 วงโคจรจะยังคงอยู่ที่นั่น สำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นอื่นๆ สมการการเคลื่อนที่กำหนดโดยเลขชี้กำลังของเมทริกซ์ : สำหรับจุดเริ่มต้นx , $${\displaystyle \Phi ^{t}(x_{0})=e^{tA}x_{0}.}$$

เมื่อb = 0 ค่าไอเกนของ เมทริกซ์ Aจะกำหนดโครงสร้างของปริภูมิเฟส จากค่าไอเกนและเวกเตอร์ไอเกนของ เมทริกซ์ Aเราสามารถระบุได้ว่าจุดเริ่มต้นจะลู่เข้าหรือลู่ออกไปยังจุดสมดุลที่จุดกำเนิดหรือไม่

ระยะห่างระหว่างเงื่อนไขเริ่มต้นสองเงื่อนไขที่แตกต่างกันในกรณีที่A  ≠  0 จะเปลี่ยนแปลงแบบเลขชี้กำลังในกรณีส่วนใหญ่ โดยอาจลู่เข้าสู่จุดหนึ่งอย่างรวดเร็วแบบเลขชี้กำลัง หรือลู่แยกออกจากกันอย่างรวดเร็วแบบเลขชี้กำลัง ระบบเชิงเส้นแสดงให้เห็นถึงการพึ่งพาเงื่อนไขเริ่มต้นอย่างไวในกรณีที่ลู่แยกออกจากกัน สำหรับระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้น นี่เป็นหนึ่งในเงื่อนไข (ที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอ) สำหรับพฤติกรรมอลวน

เมื่อแผนที่วิวัฒนาการ Φt ⁽หรือสนามเวกเตอร์ที่ได้มาจากแผนที่นั้น) ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ μ โครงสร้างของปริภูมิเฟสก็จะขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์นี้ด้วย การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยอาจไม่ก่อให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเชิงคุณภาพในปริภูมิเฟส จนกว่าจะถึงค่า μ0พิเศษค่าหนึ่งจุดนี้ ปริภูมิเฟสจะเปลี่ยนแปลงเชิงคุณภาพ และระบบพลวัตจะกล่าวได้ว่าได้ผ่านการแยกสาขา (bifurcation) แล้ว

ทฤษฎีการแยกสาขาพิจารณาโครงสร้างในปริภูมิเฟส (โดยทั่วไปคือจุดคงที่ วงโคจรคาบ หรือทอรัส ไม่แปรเปลี่ยน ) และศึกษาพฤติกรรมของโครงสร้างนั้นในฐานะฟังก์ชันของพารามิเตอร์μณ จุดแยกสาขา โครงสร้างอาจเปลี่ยนแปลงเสถียรภาพ แยกออกเป็นโครงสร้างใหม่ หรือรวมเข้ากับโครงสร้างอื่น การใช้การประมาณค่าอนุกรมเทย์เลอร์ของแผนที่และความเข้าใจในความแตกต่างที่อาจถูกกำจัดได้โดยการเปลี่ยนพิกัด ทำให้สามารถจัดหมวดหมู่การแยกสาขาของระบบพลวัตได้ 

ของจุดตรึงไฮเปอร์โบลิกของระบบตระกูลFμสามารถระบุได้ด้วยค่าไอเกนของอนุพันธ์อันดับแรกของระบบDFμ ( x₀ ที่คำนวณ ณ จุดแตกแขนง สำหรับแผนที่ การแตกแขนงจะเกิดขึ้นเมื่อมีค่าไอเกนของบนวงกลมหน่วย สำหรับการไหล การแตกแขนงจะเกิดขึ้นเมื่อมีค่าไอเกนอยู่บนแกนจินตนาการ สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม โปรดดูบทความหลักเกี่ยวกับทฤษฎีการแตกแขนง

การแตกแขนงบางประเภทอาจนำไปสู่โครงสร้างที่ซับซ้อนมากในปริภูมิเฟส ตัวอย่างเช่นสถานการณ์ของ Ruelle–Takensอธิบายว่าวงโคจรคาบสามารถแตกแขนงออกเป็นทอรัส และทอรัสแตกแขนงออกเป็นตัวดึงดูดประหลาดได้ อย่างไร ในอีกตัวอย่างหนึ่งการเพิ่มคาบเป็นสองเท่าของ Feigenbaumอธิบายว่าวงโคจรคาบที่เสถียรผ่านชุดของการแตกแขนงแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่าได้อย่างไร

ในระบบพลวัตหลายระบบ สามารถเลือกพิกัดของระบบได้โดยที่ปริมาตร (จริงๆ แล้วเป็นปริมาตรมิติ ν) ในปริภูมิเฟสไม่เปลี่ยนแปลง สิ่งนี้เกิดขึ้นกับระบบกลศาสตร์ที่ได้มาจากกฎของนิวตัน ตราบใดที่พิกัดคือตำแหน่งและโมเมนตัม และปริมาตรวัดในหน่วยของ (ตำแหน่ง)  ×  (โมเมนตัม) การไหลจะนำจุดจากเซตย่อยAไปยังจุด Φ ^t ( A ) และความไม่เปลี่ยนแปลงของปริภูมิเฟสหมายความว่า  $${\displaystyle \mathrm {vol} (A)=\mathrm {vol} (\Phi ^{t}(A)).}$$ ในรูปแบบแฮมิลโทเนียนเมื่อกำหนดพิกัดแล้ว เราสามารถหาโมเมนตัมที่เหมาะสม (แบบทั่วไป) ได้ โดยที่ปริมาตรที่เกี่ยวข้องจะถูกรักษาไว้โดยการไหล ปริมาตรนี้กล่าวได้ว่าคำนวณได้จากมาตรวัดลีอูวิลล์

ในระบบแฮมิลโทเนียน ไม่ใช่ทุกการจัดเรียงตำแหน่งและโมเมนตัมที่เป็นไปได้จะสามารถเข้าถึงได้จากเงื่อนไขเริ่มต้น เนื่องจากหลักการอนุรักษ์พลังงาน จึงสามารถเข้าถึงได้เฉพาะสถานะที่มีพลังงานเท่ากับเงื่อนไขเริ่มต้นเท่านั้น สถานะที่มีพลังงานเท่ากันจะก่อตัวเป็นเปลือกพลังงาน Ω ซึ่งเป็นส่วนย่อยของปริภูมิเฟส ปริมาตรของเปลือกพลังงาน ซึ่งคำนวณโดยใช้มาตรวัดลีอูวิลล์ จะคงที่ภายใต้การวิวัฒนาการ

สำหรับระบบที่ปริมาตรถูกรักษาไว้โดยการไหล ปวงกาเรได้ค้นพบทฤษฎีบทการเกิดซ้ำ : สมมติว่าปริภูมิเฟสมีปริมาตรลีอูวิลล์ที่จำกัด และให้Fเป็นแผนที่รักษาปริมาตรของปริภูมิเฟส และAเป็นเซตย่อยของปริภูมิเฟส จากนั้นเกือบทุกจุดในAจะกลับมายังA เป็นอนันต์ครั้ง ทฤษฎีบทการเกิดซ้ำของปวง กาเรถูกนำมาใช้โดยเซอร์เมโลเพื่อคัดค้านการคำนวณของโบลต์ซมันน์เกี่ยวกับการเพิ่มขึ้นของเอนโทรปีในระบบพลวัตของอะตอมที่ชนกัน

หนึ่งในคำถามที่งานของโบลต์ซมันน์หยิบยกขึ้นมาคือ ความเป็นไปได้ที่ค่าเฉลี่ยตามเวลาและค่าเฉลี่ยตามพื้นที่จะเท่ากัน ซึ่งเขาเรียกว่าสมมติฐานเออร์โกดิกสมมติฐานนี้ระบุว่า ระยะเวลาที่วิถีโคจรทั่วไปใช้ในบริเวณAคือ vol( A )/vol(Ω)

สมมติฐานเออร์โกดิก (ergodic hypothesis) ปรากฏว่าไม่ใช่คุณสมบัติที่จำเป็นสำหรับการพัฒนาของกลศาสตร์เชิงสถิติและได้มีการนำคุณสมบัติคล้ายเออร์โกดิกอื่นๆ มาใช้เพื่อจับภาพลักษณะที่เกี่ยวข้องของระบบทางกายภาพคูปแมน (Koopman)เข้าถึงการศึกษาของระบบเออร์โกดิกโดยใช้การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันตัวแปรสังเกตได้aคือฟังก์ชันที่เชื่อมโยงตัวเลข (เช่น ความดันทันที หรือความสูงเฉลี่ย) กับแต่ละจุดในปริภูมิเฟส ค่าของตัวแปรสังเกตได้สามารถคำนวณได้ในเวลาอื่นโดยใช้ฟังก์ชันวิวัฒนาการ φt  ^ซึ่งนำไปสู่ตัวดำเนินการUt ^หรือตัวดำเนินการถ่ายโอน  $${\displaystyle (U^{t}a)(x)=a(\Phi ^{-t}(x)).}$$

โดยการศึกษาคุณสมบัติเชิงสเปกตรัมของตัวดำเนินการเชิงเส้นUทำให้สามารถจำแนกคุณสมบัติเชิงเออร์โกดิกของ Φt ^ได้ ในการใช้แนวทางของ Koopman ที่พิจารณาการ กระทำของการไหลบนฟังก์ชันที่สังเกตได้ ปัญหาไม่เชิงเส้นมิติจำกัดที่เกี่ยวข้องกับ Φt ^จะถูกแปลงเป็นปัญหาเชิงเส้นมิติอนันต์ที่เกี่ยวข้องกับU   

การวัดแบบ Liouville ที่จำกัดอยู่บนพื้นผิวพลังงาน Ω เป็นพื้นฐานสำหรับการคำนวณค่าเฉลี่ยในกลศาสตร์สถิติสมดุลค่าเฉลี่ยตามเวลาตามวิถีการเคลื่อนที่เทียบเท่ากับค่าเฉลี่ยในอวกาศที่คำนวณด้วย ปัจจัย Boltzmann exp(−β H )แนวคิดนี้ได้รับการขยายความโดย Sinai, Bowen และ Ruelle (SRB) ไปสู่ระบบพลวัตที่ใหญ่ขึ้นซึ่งรวมถึงระบบที่มีการสูญเสียพลังงานการวัดแบบ SRBแทนที่ปัจจัย Boltzmann และถูกกำหนดขึ้นบนตัวดึงดูดของระบบอลวน

ระบบพลวัตเชิงพีชคณิตสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นกรณีพิเศษเชิงพีชคณิตของนิยามทางเรขาคณิตแบบคลาสสิก โดยอาศัยแผนที่วิวัฒนาการเวลาเชิงพีชคณิตเป็นการกระทำของกลุ่ม หรือโดย ปริยายเป็นระบบสมการเชิงพีชคณิตแทนที่จะเป็นสมการ เชิงอนุพันธ์สามัญ จากมุมมองทางทฤษฎีการวัดแมนิโฟลด์เป็นปริภูมิการวัด วาไรตี้กลุ่มพีชคณิตและกลุ่มโทโพโลยีดังนั้นจึงเน้นที่สมมาตรและ พฤติกรรม ของทฤษฎีเออร์โกดิกระบบเหล่านี้มักได้รับการศึกษาด้วยวิธีการจากพีชคณิตนามธรรมเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและทฤษฎีกาโลอิส

ในบริบทของทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงพีชคณิตพื้นที่การวัดสามารถเป็นพีชคณิต C* ได้ กล่าวคือสิ่งที่สังเกตได้ไม่ได้เป็นเพียงพีชคณิตของฟังก์ชัน^{[ 99 ]}แต่เป็นพีชคณิตตัวดำเนินการและสิ่งนี้ได้รับการปฏิบัติร่วมกับกลุ่มเกจทั่วโลก (เช่น กลุ่มข้อจำกัดที่ทำให้สิ่งที่สังเกตได้ไม่เปลี่ยนแปลง) ^{[ 100 ]}

ในบริบทของการเรียนรู้ของเครื่อง เครือ ข่ายประสาทเทียมเอง (เช่นเครือข่ายประสาทเทียมแบบเรียกซ้ำโมเดลการแพร่กระจาย ) สามารถถือได้ว่าเป็นชุดของสมการพีชคณิต (บ่อยครั้งที่สมการเหล่านี้เป็นการประมาณค่าแบบจำกัด เช่นการไล่ระดับลง ) มีแนวคิดของขั้นตอนเวลาพลวัตวิวัฒนาการทั่วทั้งเครือข่าย และในที่สุดก็มีชุดข้อจำกัดพีชคณิตแยกต่างหาก เช่น การบังคับใช้พฤติกรรมที่ไม่พึงประสงค์^{[ 101 ] [ 102 ]}

ในบริบทของเรขาคณิตและทฤษฎีจำนวนโดยทั่วไปจะศึกษาการวนซ้ำของแผนที่เชิงตรรกะเหนือฟิลด์จำนวน เฉพาะ พื้นที่นี้เรียกว่าพลวัตเชิงพีชคณิต^{[ 103 ]}ซึ่งศึกษาเรื่องต่างๆ เช่น จุดเชิงตรรกะของเส้นโค้งพีชคณิต และมีความเชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งกับพลวัตเชิงเลขคณิต

ตัวอย่างหนึ่งคือแผนที่ Ponceletซึ่งจุดจะเคลื่อนที่ทีละขั้นระหว่างภาคตัดกรวย สองอันที่กำหนด และสมการเป็นพีชคณิต (เช่น เส้นสัมผัสและจุดตัด) อีกตัวอย่างหนึ่งคือบิลเลียดที่มีขอบเป็นเส้นโค้งพีชคณิตเช่น บิลเลียดวงรี ในกรณีนี้พลวัตจะถูกกำหนดโดยการสะท้อน^{[ 104 ]}

โปรดทราบว่าเส้นโค้งพีชคณิตสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ (ยกเว้นจุดจำนวนจำกัด) ดังนั้นจึงสามารถศึกษาเส้นโค้งเหล่านี้ได้ด้วยวิธีการวิเคราะห์ ในสองตัวอย่างนี้ พลวัตแบบต่อเนื่องเป็นแบบเชิงเส้นเป็นช่วงๆ เหตุการณ์สำคัญมักจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง แม้ว่าอาจจะเป็นเซตอนันต์หรือแม้แต่เซตที่วัดได้ (เช่น วิถีการเคลื่อนที่แบบเออร์โกดิกในเกมบิลเลียด) เหตุการณ์สำคัญคือเมื่อสมการพีชคณิตใช้ได้ (เช่น การสะท้อนบนขอบ) ดังนั้นระบบเหล่านี้จึงสามารถศึกษาได้ในฐานะระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่องเช่นกัน

พลศาสตร์เชิงประสิทธิผล (Effective dynamics) คือการลดทอนสมการการเคลื่อนที่ที่อธิบายระบบในระดับหนึ่งหรือพฤติกรรมเฉพาะ โดยทั่วไปจะตัดตัวแปรอิสระ บางส่วนออก ไป แทนที่จะแก้สมการสถานะจุลภาคกล่าวคือ ปฏิสัมพันธ์ที่แน่นอนสำหรับอะตอม โมเลกุล หรือโหนดเครือข่ายประสาททั้งหมด พลศาสตร์เชิงประสิทธิผลจะจำลองแรง พลังงาน หรือชุดพารามิเตอร์และสมการ "เชิงประสิทธิผล" ที่อธิบายผลกระทบโดยรวม

โดยทั่วไปแล้ว พลวัตที่มีประสิทธิภาพเกิดขึ้นจากการทำให้ปรากฏการณ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นที่ซับซ้อนง่ายขึ้นหรือมีความเฉพาะเจาะจงมากขึ้น วิธีหลักในการบรรลุเป้าหมายนี้คือ การ ใช้ค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างและสิ่งนี้เชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งกับทฤษฎีเออร์โกดิกและกลุ่มการปรับมาตรฐานแง่มุมสำคัญของพลวัตที่มีประสิทธิภาพคือแนวคิดของการเกิดขึ้นเช่น การเกิดขึ้นของ พฤติกรรมเชิงเส้นจากสมการที่ไม่เป็นเชิงเส้น เช่นในโซลิตอนหรือ การเกิดขึ้น เชิงเส้นจากค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างการเกิดขึ้นของลำดับและระดับความเป็นอิสระในการเปลี่ยนเฟสเช่นในทฤษฎีแลนเดาการเกิดขึ้นของ รูปแบบ จำนวนเฉพาะในพลวัตการซึมผ่าน

ตัวอย่างของแนวทางเหล่านี้ ได้แก่ ทฤษฎีสนามที่มีประสิทธิภาพ, สมการ Navier-Stokes เฉลี่ยของ Reynolds (RANS), ระบบควอนตัมที่ไม่เป็นระเบียบ, ^{[ 105 ]}อุณหพลศาสตร์ และการเปลี่ยนเฟส

ในช่วงระหว่างปี 2000 ถึง 2020 ทฤษฎีหมวดหมู่ได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้กับทฤษฎีระบบ (เช่น ระบบเปิดและระบบย่อย) ^{[ 106 ]}และระบบพลวัต^{[ 107 ] [ 108 ] [ 109 ]}แรงจูงใจคือการศึกษาคุณสมบัติทั่วไปในระบบพลวัต ระบบพลวัตเชิงโทโพโลยี (เช่น ที่มีปริภูมิสถานะกระชับ) และระบบพลวัตที่รักษาการวัด (เช่น ระบบแฮมิลโทเนียน) ^{[ 110 ]} นอกจากนี้ยังสามารถเปรียบเทียบระหว่างทฤษฎีการแสดงแทนกลุ่ม (เช่นการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ ) และการแยกส่วนแบบเออร์โกดิก^{[ 111 ]}กล่าวคือ การวัดแบบไม่เปลี่ยนแปลงทุกตัว (เช่น การวัด แบบอนุรักษ์ ) เป็นส่วนผสมของการวัดแบบเออร์โกดิก ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางในที่สุดสิ่งนี้สามารถเปรียบเทียบได้กับทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตและการแยกส่วนจำนวนเฉพาะ^{[ 112 ]}

• หลักสูตรระบบพลวัตที่เป็นสาธารณสมบัติของ มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด
• เว็บไซต์ Arxiv ซึ่งเป็นเซิร์ฟเวอร์สำหรับเผยแพร่บทความวิจัยก่อนตีพิมพ์ มีการส่งบทความวิจัย (ที่ไม่ผ่านการตรวจสอบโดยผู้ทรงคุณวุฒิ) ในสาขาระบบพลวัตเข้ามาทุกวัน
• สารานุกรมระบบพลวัตส่วนหนึ่งของScholarpedia – ผ่านการตรวจสอบโดยผู้ทรงคุณวุฒิและเขียนโดยผู้เชี่ยวชาญที่ได้รับเชิญ
• พลวัตไม่เชิงเส้นแบบจำลองของการแตกแขนงและความโกลาหล โดย เอลเมอร์ จี. ไวนส์
• คำถามที่พบบ่อยเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์ที่ไม่เป็น เชิงเส้น (Sci.Nonlinear FAQ 2.0) (กันยายน 2546)ให้คำจำกัดความ คำอธิบาย และแหล่งข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับวิทยาศาสตร์ที่ไม่เป็นเชิงเส้น

หนังสือออนไลน์หรือเอกสารประกอบการบรรยาย

• ทฤษฎีทางเรขาคณิตของระบบพลวัต บันทึกการบรรยายของนิลส์ เบิร์กลุนด์ สำหรับหลักสูตรระดับปริญญาตรีขั้นสูง ที่ ETH
• ระบบพลวัตหนังสือของ George D. Birkhoff ในปี 1927 ได้นำเสนอแนวทางที่ทันสมัยเกี่ยวกับระบบพลวัตแล้ว
• ความโกลาหล: แบบคลาสสิกและแบบควอนตัมบทนำสู่ระบบพลวัตจากมุมมองของวงโคจรคาบ
• การเรียนรู้ระบบพลวัต บทช่วยสอนเกี่ยวกับการเรียนรู้ระบบพลวัต
• สมการเชิงอนุพันธ์สามัญและระบบพลวัต บันทึกการบรรยายโดยเจอรัลด์ เทสช์ล

กลุ่มวิจัย

• กลุ่มวิจัยระบบพลวัตแห่งโกรนิงเงน , IWI, มหาวิทยาลัยโกรนิงเงน
• โครงการ Chaos ที่ UMDมุ่งเน้นการประยุกต์ใช้ระบบพลวัต
• มหาวิทยาลัยนิวยอร์ก สโตนีบรูก (SUNY Stony Brook) รายชื่อการประชุม นักวิจัย และปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขบางส่วน
• ศูนย์พลศาสตร์และเรขาคณิตมหาวิทยาลัยเพนน์สเตท
• สาขาวิชาระบบควบคุมและพลวัต , สถาบันเทคโนโลยีแคลิฟอร์เนีย (Caltech)
• ห้องปฏิบัติการระบบไม่เชิงเส้น , Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL)
• ศูนย์ระบบพลวัตมหาวิทยาลัยเบรเมน
• กลุ่มวิเคราะห์ระบบ การสร้างแบบจำลอง และการทำนายมหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด
• กลุ่มพลศาสตร์ไม่เชิงเส้น , Instituto Superior Técnico, มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งลิสบอน
• Dynamical Systems ถูกเก็บถาวรเมื่อ 2017-06-02 ที่Wayback Machine , IMPA, Instituto Nacional de Matemática Pura e Applicada
• กลุ่มงานพลศาสตร์ไม่เชิงเส้น (Nonlinear Dynamics Workgroup) เก็บถาวรเมื่อวันที่ 21 มกราคม 2015 ที่Wayback Machineสถาบันวิทยาการคอมพิวเตอร์ สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งสาธารณรัฐเช็ก
• กลุ่มวิจัยระบบพลวัต UPC บาร์เซโลนามหาวิทยาลัยโพลีเทคนิคแห่งคาตาโลเนีย
• ศูนย์ควบคุม ระบบพลวัต และการคำนวณมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย ซานตาบาร์บารา