กลศาสตร์ควอนตัมหรือที่รู้จักกันในชื่อฟิสิกส์ควอนตัมเป็นทฤษฎี ทางฟิสิกส์พื้นฐาน ที่อธิบายพฤติกรรมของสสารและแสง ลักษณะพิเศษของมันมักเกิดขึ้นที่ระดับอะตอม และต่ำ กว่า^{[ 2 ] : 1.1} แนวคิดและวิธีการของมันได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในหลายสาขาวิชา รวมถึงเคมีควอนตัมชีววิทยาควอนตัมทฤษฎีสนามควอนตัมเทคโนโลยีควอน ตัม และวิทยาศาสตร์ข้อมูลควอนตัม

กลศาสตร์ควอนตัมสามารถอธิบายระบบต่างๆ มากมายที่ฟิสิกส์คลาสสิกไม่สามารถอธิบายได้ ฟิสิกส์คลาสสิกสามารถอธิบายแง่มุมต่างๆ ของธรรมชาติได้ในระดับปกติ ( ระดับ มหภาคและจุลภาค (เชิงแสง) ) อย่างไรก็ตาม มันไม่เพียงพอที่จะอธิบายใน ระดับ จุลภาคที่ เล็กมาก (ระดับอะตอมและอนุอะตอม ) กลศาสตร์คลาสสิกสามารถอนุมานได้จากกลศาสตร์ควอนตัมเป็นการประมาณค่าที่ใช้ได้ในระดับปกติ^{[ 3 ]}

ระบบควอนตัมมี สถานะ ผูกพันซึ่งถูกทำให้เป็นค่าที่ไม่ต่อเนื่องของพลังงานโมเมนตัมโมเมนตัมเชิงมุมและปริมาณอื่นๆ ซึ่งแตกต่างจากระบบคลาสสิกที่ปริมาณเหล่านี้สามารถวัดได้อย่างต่อเนื่อง การวัดระบบควอนตัมแสดงลักษณะทั้งของอนุภาคและคลื่น(ภาวะทวิลักษณ์ของคลื่นและอนุภาค ) และมีข้อจำกัดว่าค่าของปริมาณทางกายภาพจะสามารถทำนายได้อย่างแม่นยำเพียงใดก่อนการวัด โดยพิจารณาจากเงื่อนไขเริ่มต้นที่ครบถ้วน ( หลักการความไม่แน่นอน )

กลศาสตร์ควอนตัมค่อยๆ พัฒนามาจากทฤษฎีต่างๆ เพื่ออธิบายปรากฏการณ์ที่ไม่สามารถอธิบายได้ด้วยฟิสิกส์คลาสสิกเช่น วิธีแก้ปัญหา การแผ่รังสีของวัตถุดำของแม็กซ์ พลังค์ ในปี 1900 และความสอดคล้องระหว่างพลังงานและความถี่ใน บทความของ อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ในปี 1905ซึ่งอธิบายปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริก ความพยายาม ในช่วงแรกๆ เหล่านี้ในการทำความเข้าใจปรากฏการณ์ระดับจุลภาค ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ " ทฤษฎีควอนตัมแบบเก่า " นำไปสู่การพัฒนากลศาสตร์ควอนตัมอย่างเต็มรูปแบบในช่วงกลางทศวรรษ 1920 โดยนีลส์ โบห์ร เออร์วินชโรดิงเกอร์เวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์กแม็กซ์ บอร์น พอ ล ดิแรกและคนอื่นๆ ทฤษฎีสมัยใหม่ได้รับการกำหนดขึ้นใน รูป แบบทางคณิตศาสตร์ที่พัฒนาขึ้นเป็นพิเศษ หลายรูป แบบ ในรูปแบบหนึ่งนั้น ตัวแปรทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าฟังก์ชันคลื่นจะให้ข้อมูลในรูป ของแอ มพลิจูดความน่าจะเป็น เกี่ยวกับสิ่งที่การวัดพลังงาน โมเมนตัม และคุณสมบัติทางกายภาพอื่นๆ ของอนุภาคอาจให้ได้

กลศาสตร์ควอนตัมช่วยให้สามารถคำนวณคุณสมบัติและพฤติกรรมของระบบทางกายภาพได้โดยทั่วไปจะนำไปใช้กับระบบขนาดเล็ก เช่นโมเลกุลอะตอมและอนุภาคย่อยอะตอมมีการพิสูจน์แล้วว่าใช้ได้กับโมเลกุลที่ซับซ้อนซึ่งมีอะตอมหลายพันอะตอม^{[ 4 ]}แต่การนำไปใช้กับมนุษย์ก่อให้เกิดปัญหาทางปรัชญา เช่นเพื่อนของวิกเนอร์และการนำไปใช้กับจักรวาลโดยรวมยังคงเป็นเพียงการคาดเดา^{[ 5 ]} การคาดการณ์ของกลศาสตร์ควอนตัมได้รับการตรวจสอบแล้วจากการทดลองด้วย ความแม่นยำสูงมากตัวอย่างเช่น การปรับปรุงกลศาสตร์ควอนตัมสำหรับการปฏิสัมพันธ์ของแสงและสสาร ซึ่งรู้จักกันในชื่อควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ (QED) ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสอดคล้องกับการทดลองภายใน 1 ส่วนใน^10¹²เมื่อทำนายคุณสมบัติทางแม่เหล็กของอิเล็กตรอน^{[ 6 ]}

คุณลักษณะพื้นฐานของทฤษฎีนี้คือโดยปกติแล้วมันไม่สามารถทำนายสิ่งที่จะเกิดขึ้นได้อย่างแน่นอน แต่ให้เพียงความน่าจะเป็นเท่านั้น ในทางคณิตศาสตร์ ความน่าจะเป็นจะหาได้จากการยกกำลังสองของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งเรียกว่าแอมพลิจูดความน่าจะเป็น นี่คือที่รู้จักกันในชื่อกฎของบอร์นซึ่งตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์แม็กซ์ บอร์นตัวอย่างเช่น อนุภาคควอนตัมเช่นอิเล็กตรอนสามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันคลื่น ซึ่งเชื่อมโยงแอมพลิจูดความน่าจะเป็นกับแต่ละจุดในอวกาศ การใช้กฎของบอร์นกับแอมพลิจูดเหล่านี้จะให้ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นสำหรับตำแหน่งที่อิเล็กตรอนจะอยู่เมื่อทำการทดลองเพื่อวัดมัน นี่คือสิ่งที่ดีที่สุดที่ทฤษฎีสามารถทำได้ มันไม่สามารถบอกได้อย่างแน่นอนว่าอิเล็กตรอนจะอยู่ที่ใด สมการชโรดิงเกอร์เชื่อมโยงชุดของแอมพลิจูดความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับช่วงเวลาหนึ่งกับชุดของแอมพลิจูดความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับอีกช่วงเวลาหนึ่ง^{[ 7 ] : 67–87}

ผลที่ตามมาประการหนึ่งของกฎทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัมคือการแลกเปลี่ยนความสามารถในการทำนายระหว่างปริมาณที่วัดได้ รูปแบบที่มีชื่อเสียงที่สุดของหลักการความไม่แน่นอน นี้กล่าวว่า ไม่ว่าอนุภาคควอนตัมจะถูกเตรียมอย่างไรหรือการทดลองกับ อนุภาคนั้นจะถูกจัดเตรียมอย่างระมัดระวังเพียงใด ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะทำนายได้อย่างแม่นยำทั้งการวัดตำแหน่งของอนุภาคและการวัดโมเมนตัม ในเวลาเดียวกัน ^{[ 7 ] : 427–435}

ผลที่ตามมาอีกประการหนึ่งของกฎทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัมคือปรากฏการณ์การแทรกสอดควอนตัมซึ่งมักแสดงให้เห็นด้วยการทดลองช่องคู่ในเวอร์ชันพื้นฐานของการทดลองนี้แหล่งกำเนิดแสงที่สอดคล้องกันเช่น ลำแสง เลเซอร์จะส่องสว่างแผ่นที่เจาะด้วยช่องขนานสองช่อง และแสงที่ผ่านช่องจะถูกสังเกตบนหน้าจอที่อยู่ด้านหลังแผ่น^{[ 8 ] : 102–111 [ 2 ] : 1.1–1.8} ลักษณะคลื่นของแสงทำให้คลื่นแสงที่ผ่านช่องทั้งสองแทรกสอดกันทำให้เกิดแถบสว่างและมืดบนหน้าจอ ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่ไม่คาดคิดหากแสงประกอบด้วยอนุภาคแบบคลาสสิก^{[ 8 ]}อย่างไรก็ตาม พบว่าแสงจะถูกดูดซับที่หน้าจอที่จุดแยกกันเสมอ ในรูปของอนุภาคแต่ละตัวมากกว่าคลื่น รูปแบบการแทรกสอดปรากฏขึ้นผ่านความหนาแน่นที่แปรผันของการกระทบของอนุภาคเหล่านี้บนหน้าจอ นอกจากนี้ เวอร์ชันของการทดลองที่รวมตัวตรวจจับที่ช่องแคบพบว่าโฟตอน ที่ตรวจจับได้แต่ละตัว จะผ่านช่องแคบหนึ่งช่อง (เช่นเดียวกับอนุภาคคลาสสิก) และไม่ผ่านทั้งสองช่องแคบ (เช่นเดียวกับคลื่น) ^{[ 8 ] : 109 [ 9 ] [ 10 ]}อย่างไรก็ตามการทดลองดังกล่าวแสดงให้เห็นว่าอนุภาคจะไม่สร้างรูปแบบการรบกวนหากตรวจจับว่าอนุภาคผ่านช่องแคบใด พฤติกรรมนี้เรียกว่าความเป็นคู่ของคลื่นและอนุภาคนอกจากแสงแล้วอิเล็กตรอนอะตอมและโมเลกุลต่างก็แสดงพฤติกรรมคู่แบบเดียวกันเมื่อยิงไปยังช่องแคบคู่^{[ 2 ]}

ปรากฏการณ์ที่ไม่ใช่แบบคลาสสิกอีกอย่างหนึ่งที่ทำนายโดยกลศาสตร์ควอนตัมคือการทะลุผ่านควอนตัม : อนุภาคที่เคลื่อนที่เข้าหากำแพงศักย์สามารถข้ามผ่านได้ แม้ว่าพลังงานจลน์ของมันจะน้อยกว่าค่าสูงสุดของศักย์ก็ตาม^{[ 11 ]}ในกลศาสตร์คลาสสิก อนุภาคนี้จะถูกดักจับ การทะลุผ่านควอนตัมมีผลสำคัญหลายประการ เช่นการสลายตัวของกัมมันตรังสีการหลอมรวมนิวเคลียร์ในดาวฤกษ์ และการใช้งานต่างๆ เช่นกล้องจุลทรรศน์แบบสแกนอุโมงค์ไดโอดอุโมงค์และทรานซิสเตอร์สนามแม่เหล็กแบบอุโมงค์^{[ 12 ] [ 13 ]}

เมื่อระบบควอนตัมมีปฏิสัมพันธ์กัน ผลลัพธ์ที่ได้อาจเป็นการสร้างการพัวพันควอนตัม : คุณสมบัติของพวกมันจะเกี่ยวพันกันจนไม่สามารถอธิบายภาพรวมทั้งหมดได้โดยใช้เพียงส่วนประกอบแต่ละส่วนเท่านั้น เออร์วิน ชโรดิงเกอร์ เรียกการพัวพันว่า "... ลักษณะเฉพาะของกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งเป็นสิ่งที่บังคับให้มันแตกต่างอย่างสิ้นเชิงจากแนวคิดแบบคลาสสิก" ^{[ 14 ]}การพัวพันควอนตัมช่วยให้การคำนวณควอนตัมเป็นไปได้และเป็นส่วนหนึ่งของโปรโตคอลการสื่อสารควอนตัม เช่นการกระจายคีย์ควอนตัมและการเข้ารหัสความหนาแน่นสูงยิ่งยวด [ ^{15 ] ตรงกันข้าม}กับความเข้าใจผิดที่แพร่หลาย การพัวพันไม่ได้ทำให้สามารถส่งสัญญาณได้เร็วกว่าแสงดังที่แสดงให้เห็นโดยทฤษฎีบทการสื่อสารไม่ได้^{[ 15 ]}

ความเป็นไปได้อีกประการหนึ่งที่เปิดขึ้นโดยการพัวพันคือการทดสอบ " ตัวแปรที่ซ่อนอยู่ " ซึ่งเป็นคุณสมบัติสมมติฐานที่พื้นฐานกว่าปริมาณที่กล่าวถึงในทฤษฎีควอนตัมเอง ความรู้เกี่ยวกับตัวแปรเหล่านี้จะช่วยให้สามารถทำนายได้อย่างแม่นยำกว่าที่ทฤษฎีควอนตัมให้ไว้ ผลลัพธ์หลายประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทของเบลล์ได้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีตัวแปรที่ซ่อนอยู่ประเภทกว้างๆ นั้นไม่สอดคล้องกับฟิสิกส์ควอนตัม ตามทฤษฎีบทของเบลล์ หากธรรมชาติทำงานสอดคล้องกับทฤษฎี ตัวแปรที่ซ่อน อยู่ เฉพาะที่ ผลลัพธ์ของการทดสอบของเบลล์จะถูกจำกัดในลักษณะเฉพาะที่สามารถวัดได้ มีการทดสอบของเบลล์หลายครั้งและแสดงให้เห็นผลลัพธ์ที่ไม่สอดคล้องกับข้อจำกัดที่กำหนดโดยตัวแปรที่ซ่อนอยู่เฉพาะที่^{[ 16 ] [ 17 ]}

ไม่สามารถนำเสนอแนวคิดเหล่านี้ได้อย่างละเอียดลึกซึ้งหากไม่นำคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องมาใช้ การทำความเข้าใจกลศาสตร์ควอนตัมไม่เพียงแต่ต้องจัดการกับจำนวนเชิงซ้อนเท่านั้น แต่ยังต้องจัดการกับพีชคณิตเชิงเส้นสมการเชิงอนุพันธ์ทฤษฎีกลุ่มและวิชาขั้นสูงอื่นๆ อีก ด้วย ^{[ 18 ] [ 19 ]}ดังนั้น บทความนี้จะนำเสนอสูตรทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัมและสำรวจการประยุกต์ใช้กับตัวอย่างที่มีประโยชน์และศึกษาบ่อยครั้ง

ในการกำหนดกลศาสตร์ควอนตัมที่เข้มงวดทางคณิตศาสตร์ สถานะของระบบกลศาสตร์ควอนตัมคือเวกเตอร์ที่อยู่ในปริภูมิฮิลเบิร์ต เชิงซ้อน ( ที่แยกได้ ) เวกเตอร์นี้ถูกตั้งสมมติฐานว่าได้รับการทำให้เป็นมาตรฐานภายใต้ผลคูณภายในของปริภูมิฮิลเบิร์ต นั่นคือ มันเป็นไปตามและมันถูกนิยามไว้อย่างดีจนถึงจำนวนเชิงซ้อนที่มีค่าสัมบูรณ์ 1 (เฟสทั่วโลก) นั่นคือและแสดงถึงระบบทางกายภาพเดียวกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง สถานะที่เป็นไปได้คือจุดในปริภูมิเชิงฉายของปริภูมิฮิลเบิร์ต ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าปริภูมิเชิงฉายเชิงซ้อนลักษณะที่แน่นอนของปริภูมิฮิลเบิร์ตนี้ขึ้นอยู่กับระบบ – ตัวอย่างเช่น สำหรับการอธิบายตำแหน่งและโมเมนตัม ปริภูมิฮิลเบิร์ตคือปริภูมิของฟังก์ชันเชิงซ้อนที่สามารถอินทิเกรตกำลัง สองได้ ^{[ 20 ]} : ¹³ ในขณะที่ปริภูมิฮิลเบิร์ตสำหรับสปินของโปรตอนเดี่ยวเป็นเพียงปริภูมิของเวกเตอร์เชิงซ้อนสองมิติที่มีผลคูณภายในตามปกติ^{[ 20 ] : 20} ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \langle \psi ,\psi \rangle =1}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle e^{i\alpha }\psi }$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

ปริมาณทางกายภาพที่น่าสนใจ – ตำแหน่ง โมเมนตัม พลังงาน สปิน – จะถูกแทนด้วยปริมาณที่สังเกตได้ ซึ่งเป็น ตัวดำเนิน การ เชิงเส้นแบบเฮอร์ มิเชียน (หรือแม่นยำกว่านั้น คือ ตัวดำเนิน การแบบสมมาตร ) ที่กระทำบนปริภูมิฮิลเบิร์ต^{[ 20 ] : 17} สถานะควอนตัมสามารถเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของปริมาณที่สังเกตได้ ซึ่งในกรณีนี้เรียกว่าสถานะลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะ ที่เกี่ยวข้อง จะสอดคล้องกับค่าของปริมาณที่สังเกตได้ในสถานะลักษณะเฉพาะนั้น โดยทั่วไปแล้ว สถานะควอนตัมจะเป็นการรวมเชิงเส้นของสถานะลักษณะเฉพาะ ซึ่งเรียกว่าการซ้อนทับควอนตัมเมื่อวัดปริมาณที่สังเกตได้ ผลลัพธ์จะเป็นหนึ่งในค่าลักษณะเฉพาะของมันด้วยความน่าจะเป็นที่กำหนดโดยกฎของบอร์น : ในกรณีที่ง่ายที่สุด ค่าลักษณะเฉพาะจะไม่เสื่อมสภาพ และความน่าจะเป็นจะกำหนดโดย โดยที่คือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะความยาวหนึ่งหน่วยที่เกี่ยวข้อง โดยทั่วไปแล้ว ค่าลักษณะเฉพาะจะเสื่อมสภาพ และความน่าจะเป็นจะกำหนดโดย โดยที่คือโปรเจคเตอร์บนปริภูมิลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้อง^{[ 21 ]}ในกรณีต่อเนื่อง สูตรเหล่านี้จะให้ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแทน ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle |\langle {\vec {\lambda }},\psi \rangle |^{2}}$${\displaystyle {\vec {\แลมบ์ดา }}}$${\displaystyle \langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle }$${\displaystyle P_{\lambda }}$

หลังจากทำการวัดแล้ว หากได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ สถานะควอนตัมจะยุบตัวลงเป็นในกรณีที่ไม่เสื่อมสภาพ หรือเป็นในกรณีทั่วไป ลักษณะ เชิงความน่าจะเป็น ของกลศาสตร์ควอนตัมจึงเกิดจากการกระทำของการวัด นี่เป็นหนึ่งในประเด็นที่มีการถกเถียงกันมากที่สุดในทฤษฎีควอนตัม โดย การตีความกลศาสตร์ควอนตัมที่แตกต่างกันจะให้คำตอบที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิงต่อคำถามเกี่ยวกับการยุบตัวของสถานะควอนตัม ดังที่จะกล่าวถึงต่อ ไป${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\vec {\แลมบ์ดา }}}$${\textstyle P_{\lambda }\psi {\big /}\!{\sqrt {\langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle }}}$

การเปลี่ยนแปลงตามเวลาของสถานะควอนตัมอธิบายได้ด้วยสมการชโรดิงเกอร์: โดยที่แทนแฮมิลโทเนียนแทนปริมาณที่สังเกตได้ซึ่งสอดคล้องกับพลังงานรวมของระบบ และคือค่าคงที่ของพลังค์แบบ ลดทอน ค่าคงที่นี้ถูกนำมาใช้เพื่อให้แฮมิลโทเนียนลดลงเหลือแฮมิลโทเนียนแบบคลาสสิกในกรณีที่ระบบควอนตัมสามารถประมาณได้ด้วยระบบคลาสสิก ความสามารถในการประมาณดังกล่าวภายใต้ขอบเขตที่กำหนดเรียกว่าหลักการ สอดคล้อง$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (t)=H\psi (t).}$$${\displaystyle H}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle i\hbar }$

คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์นี้กำหนดโดย ตัวดำเนินการนี้เรียกว่าตัวดำเนินการวิวัฒนาการเวลา และมีคุณสมบัติที่สำคัญคือเป็นตัวดำเนินการเอกภาพ วิวัฒนาการเวลานี้เป็นแบบกำหนดได้ในแง่ที่ว่า – เมื่อกำหนดสถานะควอนตัมเริ่มต้นแล้ว– จะสามารถทำนายสถานะควอนตัมได้อย่างแน่นอนในเวลาต่อมา^{[ 22 ]}$${\displaystyle \psi (t)=e^{-iHt/\hbar }\psi (0).}$$${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$${\displaystyle \psi (0)}$${\displaystyle \psi (t)}$

ฟังก์ชันคลื่นบางฟังก์ชันสร้างการกระจายความน่าจะเป็นที่ไม่ขึ้นกับเวลา เช่นสถานะไอเกนของแฮมิลโทเนียน^{[ 7 ] : 133–137} ระบบหลายระบบที่ได้รับการจัดการแบบไดนามิกในกลศาสตร์คลาสสิกนั้นถูกอธิบายโดยฟังก์ชันคลื่นแบบ "สถิต" ดังกล่าว ตัวอย่างเช่น อิเล็กตรอนตัวเดียวในอะตอมที่ไม่ถูกกระตุ้นนั้น ในกลศาสตร์คลาสสิกจะถูกมองว่าเป็นอนุภาคที่เคลื่อนที่ในวิถีโค้งเป็นวงกลมรอบนิวเคลียสของอะตอมในขณะที่ในกลศาสตร์ควอนตัม อิเล็กตรอนจะถูกอธิบายโดยฟังก์ชันคลื่นแบบสถิตที่ล้อมรอบนิวเคลียส ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนสำหรับอะตอมไฮโดรเจนที่ไม่ถูกกระตุ้นนั้นเป็นฟังก์ชันสมมาตรทรงกลมที่เรียกว่าออร์บิทัลs ( รูปที่ 1 )

วิธีแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ของสมการชโรดิงเกอร์เป็นที่รู้จักสำหรับแฮมิลโทเนียนแบบจำลองที่ค่อนข้างง่ายเพียงไม่กี่ตัวเท่านั้นรวมถึงควอนตัมฮาร์มอนิกออสซิล เลเตอร์ อนุภาคในกล่องไดไฮโดรเจนแคตไอออนและอะตอมไฮโดรเจนแม้แต่ อะตอม ฮีเลียม ซึ่งมีอิเล็กตรอนเพียงสองตัว ก็ยังไม่สามารถหาคำตอบเชิงวิเคราะห์ได้อย่างสมบูรณ์ โดยไม่มีคำตอบในรูปแบบปิด^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}

อย่างไรก็ตาม มีเทคนิคในการหาคำตอบโดยประมาณ วิธีหนึ่งที่เรียกว่าทฤษฎีการรบกวนใช้ผลลัพธ์เชิงวิเคราะห์สำหรับแบบจำลองกลศาสตร์ควอนตัมแบบง่ายเพื่อสร้างผลลัพธ์สำหรับแบบจำลองที่เกี่ยวข้องแต่ซับซ้อนกว่าโดย (เช่น) การเพิ่มพลังงานศักย์ที่อ่อนแอ[ 7 ^{] : 793วิธี} การประมาณอีกวิธีหนึ่งใช้กับระบบที่กลศาสตร์ควอนตัมสร้างความเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากพฤติกรรมแบบคลาสสิก ความเบี่ยงเบนเหล่านี้สามารถคำนวณได้จากการเคลื่อนที่แบบคลาสสิก^{[ 7 ] : 849}

ผลที่ตามมาประการหนึ่งของรูปแบบควอนตัมพื้นฐานคือหลักการความไม่แน่นอน ในรูปแบบที่คุ้นเคยที่สุด หลักการนี้ระบุว่าไม่มีการเตรียมอนุภาคควอนตัมใดที่สามารถบ่งชี้ถึงการทำนายที่แม่นยำพร้อมกันได้ทั้งสำหรับการวัดตำแหน่งและการวัดโมเมนตัม^{[ 26 ] [ 27 ]}ทั้งตำแหน่งและโมเมนตัมเป็นปริมาณที่สังเกตได้ ซึ่งหมายความว่าพวกมันถูกแทนด้วยตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียน ตัวดำเนินการตำแหน่งและตัวดำเนินการโมเมนตัมไม่สลับที่กัน แต่เป็นไปตามความสัมพันธ์การสลับที่แบบแคนอนิก : เมื่อกำหนดสถานะควอนตัม กฎของบอร์นช่วยให้เราคำนวณค่าคาดหวังสำหรับทั้งและและยิ่งไปกว่านั้นสำหรับกำลังของพวกมัน การกำหนดความไม่แน่นอนสำหรับปริมาณที่สังเกตได้ด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเราจะได้ และเช่นเดียวกันสำหรับโมเมนตัม: หลักการความไม่แน่นอนระบุว่า ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานใด ๆ สามารถทำให้เล็กได้ตามหลักการ แต่ไม่สามารถทำให้เล็กได้พร้อมกันทั้งสองอย่าง^{[ 28 ]}อสมการนี้ขยายไปสู่คู่ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองและ ที่กำหนดขึ้น เอง ตัวดำเนินการสลับตำแหน่งของตัวดำเนินการทั้งสองนี้คือ และนี่คือค่าขอบล่างของผลคูณของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน: ${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle {\hat {P}}}$$${\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {P}}]=i\hbar .}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle \sigma _{X}={\textstyle {\sqrt {\left\langle X^{2}\right\rangle -\left\langle X\right\rangle ^{2}}}},}$$$${\displaystyle \sigma _{P}={\sqrt {\left\langle P^{2}\right\rangle -\left\langle P\right\rangle ^{2}}}.}$$$${\displaystyle \sigma _{X}\sigma _{P}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle [A,B]=AB-BA,}$$$${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\tfrac {1}{2}}\left|{\bigl \langle }[A,B]{\bigr \rangle }\right|.}$$

ผลที่ตามมาอีกประการหนึ่งของความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบแคนอนิกคือ ตัวดำเนินการตำแหน่งและโมเมนตัมเป็นการแปลงฟูริเยร์ซึ่งกันและกัน ดังนั้นคำอธิบายของวัตถุตามโมเมนตัมจึงเป็นการแปลงฟูริเยร์ของคำอธิบายตามตำแหน่ง ความจริงที่ว่าการพึ่งพาในโมเมนตัมเป็นการแปลงฟูริเยร์ของการพึ่งพาในตำแหน่งหมายความว่าตัวดำเนินการโมเมนตัมเทียบเท่า (จนถึงปัจจัยหนึ่ง) กับการหาอนุพันธ์ตามตำแหน่ง เนื่องจากในการวิเคราะห์ฟูริเยร์การหาอนุพันธ์สอดคล้องกับการคูณในปริภูมิคู่ขนานนี่คือเหตุผลที่ในสมการควอนตัมในปริภูมิตำแหน่ง โมเมนตัมจะถูกแทนที่ด้วยและโดยเฉพาะอย่างยิ่งในสมการชโรดิงเกอร์แบบไม่สัมพัทธภาพในปริภูมิตำแหน่ง เทอมกำลังสอง ของโมเมนตัมจะถูกแทนที่ด้วย ลาปลาเซียนคูณ^{[ 26 ]}${\displaystyle i/\hbar }$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$${\displaystyle -\hbar ^{2}}$

เมื่อพิจารณาระบบควอนตัมสองระบบที่แตกต่างกันร่วมกัน พื้นที่ฮิลเบิร์ตของระบบที่รวมกันจะเป็นผลคูณเทนเซอร์ของพื้นที่ฮิลเบิร์ตของส่วนประกอบทั้งสอง ตัวอย่างเช่น ให้AและBเป็นระบบควอนตัมสองระบบ โดยมีพื้นที่ฮิลเบิร์ตและตามลำดับ พื้นที่ฮิลเบิร์ตของระบบประกอบจะเป็น ถ้าสถานะของระบบแรกเป็นเวกเตอร์และสถานะของระบบที่สองเป็นสถานะของระบบประกอบจะ เป็น อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกสถานะในพื้นที่ฮิลเบิร์ตร่วมที่จะสามารถเขียนในรูปแบบนี้ได้ เนื่องจากหลักการซ้อนทับบ่งชี้ว่าการรวมเชิงเส้นของ "สถานะที่แยกได้" หรือ "สถานะผลคูณ" เหล่านี้ก็ใช้ได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าและเป็นสถานะที่เป็นไปได้ทั้งคู่สำหรับระบบและในทำนองเดียวกันและเป็นสถานะที่เป็นไปได้ทั้งคู่สำหรับระบบแล้ว เป็นสถานะร่วมที่ถูกต้องที่ไม่สามารถแยกได้ สถานะที่ไม่สามารถแยกได้เรียกว่าentangled ^{[ 29 ] [ 30 ]}${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{B}}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{AB}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}.}$$${\displaystyle \psi _{A}}$${\displaystyle \psi _{B}}$$${\displaystyle \psi _{A}\otimes \psi _{B}.}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{AB}}$${\displaystyle \psi _{A}}$${\displaystyle \phi _{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \psi _{B}}$${\displaystyle \phi _{B}}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(\psi _{A}\otimes \psi _{B}+\phi _{A}\otimes \phi _{B}\right)}$$

หากสถานะของระบบประกอบมีการพันกัน จะไม่สามารถอธิบายระบบส่วนประกอบAหรือระบบBด้วยเวกเตอร์สถานะได้ แทนที่จะใช้เมทริกซ์ความหนาแน่นแบบลดรูป เราสามารถกำหนดเมทริกซ์ความหนาแน่นแบบลดรูปเพื่ออธิบายสถิติที่ได้จากการวัดบนระบบส่วนประกอบแต่ละระบบเพียงอย่างเดียว อย่างไรก็ตาม วิธีนี้จะทำให้ข้อมูลสูญหายไป การรู้เมทริกซ์ความหนาแน่นแบบลดรูปของแต่ละระบบไม่เพียงพอที่จะสร้างสถานะของระบบประกอบขึ้นมาใหม่ได้^{[ 29 ] [ 30 ]}เช่นเดียวกับที่เมทริกซ์ความหนาแน่นระบุสถานะของระบบย่อยของระบบที่ใหญ่กว่า ในทำนองเดียวกันการวัดค่าตัวดำเนินการเชิงบวก (POVMs) จะอธิบายผลกระทบต่อระบบย่อยจากการวัดที่ดำเนินการบนระบบที่ใหญ่กว่า POVMs ถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางในทฤษฎีสารสนเทศควอนตัม^{[ 29 ] [ 31 ]}

ดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น การพันกันเป็นคุณลักษณะสำคัญของแบบจำลองกระบวนการวัดซึ่งอุปกรณ์จะพันกันกับระบบที่กำลังวัด ระบบที่โต้ตอบกับสิ่งแวดล้อมที่มันอาศัยอยู่โดยทั่วไปจะพันกันกับสิ่งแวดล้อมนั้น ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่เรียกว่าการเสื่อมสภาพควอนตัมนี่สามารถอธิบายได้ว่าทำไมในทางปฏิบัติ ผลกระทบควอนตัมจึงสังเกตได้ยากในระบบที่ใหญ่กว่าระดับจุลภาค^{[ 32 ]}

มีสูตรทางคณิตศาสตร์ที่เทียบเท่ากันหลายสูตรสำหรับกลศาสตร์ควอนตัม หนึ่งในสูตรที่เก่าแก่ที่สุดและพบได้บ่อยที่สุดคือ " ทฤษฎีการแปลง " ที่เสนอโดยพอล ดิแรกซึ่งรวมและขยายสูตรสองสูตรแรกสุดของกลศาสตร์ควอนตัม ได้แก่กลศาสตร์เมทริกซ์ (คิดค้นโดยเวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์ก ) และกลศาสตร์คลื่น (คิดค้นโดยเออร์วิน ชโรดิงเกอร์ ) ^{[ 33 ]}สูตรทางเลือกของกลศาสตร์ควอนตัมคือสูตรปริพันธ์เส้นทางของเฟย์นแมนซึ่งแอมพลิจูดทางกลศาสตร์ควอนตัมถือเป็นผลรวมของเส้นทางคลาสสิกและไม่คลาสสิกที่เป็นไปได้ทั้งหมดระหว่างสถานะเริ่มต้นและสถานะสุดท้าย นี่คือคู่ขนานทางกลศาสตร์ควอนตัมของหลักการการกระทำในกลศาสตร์คลาสสิก^{[ 34 ]}

แฮมิลโทเนียนเป็นที่รู้จักในฐานะตัวสร้างวิวัฒนาการของเวลา เนื่องจากมันกำหนดตัวดำเนินการวิวัฒนาการของเวลาแบบเอกภาพสำหรับแต่ละค่าของจากความสัมพันธ์ระหว่างและ นี้ จึงสรุปได้ว่าตัวแปรที่สังเกตได้ใดๆที่สลับกับจะได้รับการอนุรักษ์ : ค่าคาดหวังของมันจะไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา^{[ 7 ] : 471} ข้อความนี้เป็นการสรุปทั่วไป เนื่องจากในทางคณิตศาสตร์ ตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียนใดๆ ก็สามารถสร้างตระกูลของตัวดำเนินการเอกภาพที่กำหนดพารามิเตอร์โดยตัวแปร ได้ภายใต้วิวัฒนาการที่สร้างขึ้นโดยตัวแปรที่สังเกตได้ใดๆที่สลับกับจะได้รับการอนุรักษ์ ยิ่งไปกว่านั้น หากได้รับการอนุรักษ์โดยวิวัฒนาการภายใต้แล้วจะได้รับการอนุรักษ์ภายใต้วิวัฒนาการที่สร้างขึ้นโดยสิ่งนี้หมายถึงเวอร์ชันควอนตัมของผลลัพธ์ที่พิสูจน์โดยEmmy Noetherในกลศาสตร์คลาสสิก ( ลากรางจ์ ): สำหรับสมมาตรที่หาอนุพันธ์ได้ ทุกแบบ ของแฮมิลโทเนียน จะมีกฎการอนุรักษ์ที่ สอดคล้องกัน${\displaystyle H}$${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$${\displaystyle t}$${\displaystyle U(t)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle A}$${\displaystyle H}$${\displaystyle A}$${\displaystyle t}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของระบบควอนตัมที่มีระดับความเป็นอิสระเชิงตำแหน่งคืออนุภาคอิสระในมิติเชิงพื้นที่เดียว อนุภาคอิสระคืออนุภาคที่ไม่ได้รับอิทธิพลจากภายนอก ดังนั้นแฮมิลโทเนียนของมันจึงประกอบด้วยพลังงานจลน์เท่านั้น คำตอบทั่วไปของสมการชโรดิงเกอร์คือ ซึ่งเป็นการซ้อนทับของคลื่นระนาบ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ซึ่งเป็นสถานะเฉพาะของตัวดำเนินการโมเมนตัมที่มีโมเมนตัม สัมประสิทธิ์ของการซ้อนทับคือ ซึ่งเป็นการแปลงฟูริเยร์ของสถานะควอนตั ม เริ่มต้น$${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}P^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}.}$$$${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {\psi }}(k,0)e^{i(kx-{\frac {\hbar k^{2}}{2m}}t)}\mathrm {d} k,}$$${\displaystyle e^{i(kx-{\frac {\hbar k^{2}}{2m}}t)}}$${\displaystyle p=\hbar k}$${\displaystyle {\hat {\psi }}(k,0)}$${\displaystyle \psi (x,0)}$

เป็นไปไม่ได้ที่คำตอบจะเป็นสถานะไอเกนโมเมนตัมเดียว หรือสถานะไอเกนตำแหน่งเดียว เนื่องจากสถานะเหล่านี้ไม่ใช่สถานะควอนตัมที่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้^{[หมายเหตุ 1 ]}แทนที่จะเป็นเช่นนั้น เราสามารถพิจารณาแพ็กเก็ตคลื่น เกาส์เซียน ได้ ซึ่งมีการแปลงฟูริเยร์ และดังนั้นจึงมีการกระจายโมเมนตัม เราจะเห็นว่าเมื่อเราทำให้ค่าเล็กลง การกระจายตัวของตำแหน่งจะเล็กลง แต่การกระจายตัวของโมเมนตัมจะใหญ่ขึ้น ในทางกลับกัน การทำให้ค่าใหญ่ขึ้นจะทำให้การกระจายตัวของโมเมนตัมเล็กลง แต่การกระจายตัวของตำแหน่งจะใหญ่ขึ้น นี่แสดงให้เห็นถึงหลักการความไม่แน่นอน $${\displaystyle \psi (x,0)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{\pi a}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2a}}}}$$$${\displaystyle {\hat {\psi }}(k,0)={\sqrt[{4}]{\frac {a}{\pi }}}e^{-{\frac {ak^{2}}{2}}}.}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

เมื่อเราปล่อยให้แพ็กเก็ตคลื่นเกาส์เซียนวิวัฒนาการไปตามเวลา เราจะเห็นว่าศูนย์กลางของมันเคลื่อนที่ผ่านอวกาศด้วยความเร็วคงที่ (เหมือนอนุภาคคลาสสิกที่ไม่มีแรงกระทำต่อมัน) อย่างไรก็ตาม แพ็กเก็ตคลื่นจะกระจายออกไปเมื่อเวลาผ่านไป ซึ่งหมายความว่าตำแหน่งจะมีความไม่แน่นอนมากขึ้นเรื่อยๆ แต่ความไม่แน่นอนในโมเมนตัมยังคงที่^{[ 35 ]}

อนุภาคในกล่องพลังงานศักย์หนึ่งมิติเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดทางคณิตศาสตร์ซึ่งข้อจำกัดนำไปสู่การกำหนดระดับพลังงาน กล่องนี้ถูกกำหนดให้มีพลังงานศักย์เป็นศูนย์ทุกที่ภายในบริเวณที่กำหนด และดังนั้นจึงมีพลังงานศักย์เป็นอนันต์ทุกที่ภายนอก บริเวณนั้น ^{[ 26 ] : 77–78} สำหรับกรณีหนึ่งมิติในทิศทาง สมการชโรดิงเกอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาสามารถเขียนได้ ดังนี้${\displaystyle x}$$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .}$$

ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดโดย สมการก่อนหน้านี้ชวนให้นึกถึงพลังงานจลน์แบบคลาสสิกโดย ที่สถานะในกรณีนี้มีพลังงานที่ตรงกับพลังงานจลน์ของอนุภาค $${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}{\hat {p}}_{x}^{2}=E,}$$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle E}$

คำตอบทั่วไปของสมการชโรดิงเกอร์สำหรับอนุภาคในกล่องคือ หรือ จากสูตรของออยเลอร์ $${\displaystyle \psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\qquad \qquad E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$$$${\displaystyle \psi (x)=C\sin(kx)+D\cos(kx).\!}$$

ผนังศักย์อนันต์ของกล่องกำหนดค่าของและที่และ โดย ที่ต้องเป็นศูนย์ ดังนั้น ที่และ ที่ซึ่ง ไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ เพราะจะขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่า มีค่ามาตรฐาน เท่ากับ1 ดังนั้น เนื่องจากต้องเป็นจำนวนเต็มคูณของ ${\displaystyle C,D,}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=L}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle x=0}$$${\displaystyle \psi (0)=0=C\sin(0)+D\cos(0)=D}$$${\displaystyle D=0}$${\displaystyle x=L}$$${\displaystyle \psi (L)=0=C\sin(kL),}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \sin(kL)=0}$${\displaystyle kL}$${\displaystyle \pi }$$${\displaystyle k={\frac {n\pi }{L}}\qquad \qquad n=1,2,3,\ldots .}$$

ข้อจำกัดนี้หมายถึงข้อจำกัดเกี่ยวกับระดับพลังงาน ส่งผลให้ ${\displaystyle k}$$${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$

บ่อศักย์จำกัดเป็นการขยายความของปัญหาบ่อศักย์อนันต์ไปยังบ่อศักย์ที่มีความลึกจำกัด ปัญหาบ่อศักย์จำกัดมีความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์มากกว่าปัญหาอนุภาคในกล่องอนันต์ เนื่องจากฟังก์ชันคลื่นไม่ได้ถูกตรึงไว้ที่ศูนย์ที่ผนังของบ่อ แต่ฟังก์ชันคลื่นต้องเป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขตทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนกว่า เนื่องจากมีค่าไม่เป็นศูนย์ในบริเวณนอกบ่อ ปัญหาที่เกี่ยวข้องอีกประการหนึ่งคือปัญหาของกำแพงศักย์รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งเป็นแบบจำลองสำหรับ ปรากฏการณ์ การทะลุผ่านควอนตัมที่มีบทบาทสำคัญในประสิทธิภาพของเทคโนโลยีสมัยใหม่ เช่นหน่วยความจำแฟลชและกล้องจุลทรรศน์แบบสแกนนิงทันเนล ลิ่ ง

เช่นเดียวกับในกรณีคลาสสิก ศักยภาพสำหรับออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกควอนตัมจะได้รับจาก^{[ 7 ] : 234} $${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.}$$

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยการแก้สมการชโรดิงเกอร์โดยตรง ซึ่งไม่ใช่เรื่องง่าย หรือโดยการใช้วิธี "บันได" ที่ดูสง่างามกว่า ซึ่งเสนอโดยพอล ดิแรกสถานะเฉพาะ (eigenstates ) กำหนดโดย โดย ที่H _nคือพหุนามเฮอร์ไมต์ และระดับพลังงานที่สอดคล้องกันคือ $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad }$$$${\displaystyle n=0,1,2,\ldots .}$$$${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right),}$$$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right).}$$

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งที่แสดงให้เห็นถึงการแบ่ง ส่วน พลังงานสำหรับสถานะผูกพัน

เครื่องมือวัดการแทรกสอดแบบ Mach –Zehnder (MZI) แสดงให้เห็นถึงแนวคิดของการซ้อนทับและการแทรกสอดด้วยพีชคณิตเชิงเส้นในมิติ 2 แทนที่จะเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ อาจมองได้ว่าเป็นเวอร์ชันที่ง่ายขึ้นของการทดลองช่องคู่ แต่ก็มีความน่าสนใจในตัวของมันเอง เช่น ในเครื่องลบควอนตัมแบบเลือกช้า เครื่อง ทดสอบระเบิด Elitzur –Vaidmanและในการศึกษาการพัวพันควอนตัม^{[ 36 ] [ 37 ]}

เราสามารถจำลองการเคลื่อนที่ของโฟตอนผ่านอินเตอร์เฟอโรเมตรได้โดยพิจารณาว่า ณ แต่ละจุด โฟตอนสามารถอยู่ในสถานะซ้อนทับกันได้เพียงสองเส้นทางเท่านั้น คือ เส้นทาง "ล่าง" ซึ่งเริ่มต้นจากด้านซ้าย ผ่านตัวแยกแสงทั้งสองตรงไป และสิ้นสุดที่ด้านบน และเส้นทาง "บน" ซึ่งเริ่มต้นจากด้านล่าง ผ่านตัวแยกแสงทั้งสองตรงไป และสิ้นสุดที่ด้านขวา ดังนั้น สถานะควอนตัมของโฟตอนจึงเป็นเวกเตอร์ที่เป็นผลซ้อนทับกันของเส้นทาง "ล่าง" และเส้นทาง "บน" นั่นคือสำหรับจำนวนเชิงซ้อนเพื่อให้สอดคล้องกับสมมติฐานที่ว่าเราจึงต้องการให้ ${\displaystyle \psi \in \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \psi _{l}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \psi _{u}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \psi =\alpha \psi _{l}+\beta \psi _{u}}$${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle \langle \psi ,\psi \rangle =1}$${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$

ตัวแยกแสงทั้งสองตัวถูกจำลองเป็นเมทริกซ์เอกภาพซึ่งหมายความว่าเมื่อโฟตอนพบกับตัวแยกแสง มันจะยังคงอยู่ในเส้นทางเดิมด้วยความน่าจะเป็นแอมพลิจูดหรือถูกสะท้อนไปยังเส้นทางอื่นด้วยความน่าจะเป็นแอมพลิจูดตัวเปลี่ยนเฟสบนแขนด้านบนถูกจำลองเป็นเมทริกซ์เอกภาพซึ่งหมายความว่าหากโฟตอนอยู่บนเส้นทาง "ด้านบน" มันจะได้รับเฟสสัมพัทธ์และจะคงที่หากมันอยู่ในเส้นทางด้านล่าง ${\displaystyle B={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}}$${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle i/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\Delta \Phi }\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \Delta \Phi }$

โฟตอนที่เข้าสู่เครื่องวัดการแทรกสอดจากด้านซ้ายจะถูกกระทำโดยตัวแยกแสง ตัวเปลี่ยนเฟสและตัวแยกแสงอีกตัวหนึ่งส่งผลให้ไปอยู่ในสถานะหนึ่ง และความน่าจะเป็นที่จะถูกตรวจจับได้ทางด้านขวาหรือด้านบนนั้นกำหนดโดยสมการตาม ลำดับ ดังนั้นจึงสามารถใช้เครื่องวัดการแทรกสอดแบบ Mach–Zehnder เพื่อประมาณค่าการเปลี่ยนเฟสโดยการประมาณความน่าจะเป็นเหล่านี้ได้ ${\displaystyle B}$${\displaystyle P}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle BPB\psi _{l}=ie^{i\Delta \Phi /2}{\begin{pmatrix}-\sin(\Delta \Phi /2)\\\cos(\Delta \Phi /2)\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle p(u)=|\langle \psi _{u},BPB\psi _{l}\rangle |^{2}=\cos ^{2}{\frac {\Delta \Phi }{2}},}$$$${\displaystyle p(l)=|\langle \psi _{l},BPB\psi _{l}\rangle |^{2}=\sin ^{2}{\frac {\Delta \Phi }{2}}.}$$

เป็นเรื่องน่าสนใจที่จะพิจารณาว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากโฟตอนอยู่ในเส้นทาง "ล่าง" หรือ "บน" ระหว่างตัวแยกแสงอย่างแน่นอน ซึ่งสามารถทำได้โดยการปิดกั้นเส้นทางใดเส้นทางหนึ่ง หรือเทียบเท่ากับการถอดตัวแยกแสงตัวแรกออก (และป้อนโฟตอนจากด้านซ้ายหรือด้านล่างตามต้องการ) ในทั้งสองกรณี จะไม่มีการรบกวนระหว่างเส้นทางอีกต่อไป และความน่าจะเป็นจะได้รับจากโดยไม่ขึ้นอยู่กับเฟสจากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าโฟตอนไม่ได้เลือกเส้นทางใดเส้นทางหนึ่งหลังจากตัวแยกแสงตัวแรก แต่จะอยู่ในสถานะซ้อนทับควอนตัมที่แท้จริงของทั้งสองเส้นทาง^{[ 38 ]}${\displaystyle p(u)=p(l)=1/2}$${\displaystyle \Delta \Phi }$

กลศาสตร์ควอนตัมประสบความสำเร็จอย่างมากในการอธิบายคุณสมบัติหลายอย่างของจักรวาลของเรา โดยเฉพาะอย่างยิ่งปริมาณและปฏิสัมพันธ์ขนาดเล็กและไม่ต่อเนื่อง ซึ่งไม่สามารถอธิบายได้ด้วยวิธีการแบบคลาสสิก [ ^{หมายเหตุ 2 ]}กลศาสตร์ควอนตัมมักเป็นทฤษฎีเดียวที่สามารถเปิดเผยพฤติกรรมเฉพาะของอนุภาคย่อยอะตอมที่ประกอบขึ้นเป็นสสารทุกรูปแบบ (อิเล็กตรอนโปรตอนนิวตรอนโฟตอนและอื่นๆ) ฟิสิกส์ของของแข็งและวิทยาศาสตร์วัสดุขึ้นอยู่กับกลศาสตร์ควอนตัม^{[ 39 ]}

ในหลายแง่มุม เทคโนโลยีสมัยใหม่ทำงานในระดับที่ผลกระทบควอนตัมมีความสำคัญ การประยุกต์ใช้ทฤษฎีควอนตัมที่สำคัญ ได้แก่เคมี ค วอนตัม ทัศนศาสตร์ ค วอน ตั มการคำนวณ ควอนตั ม แม่เหล็กตัวนำยิ่งยวด ไดโอดเปล่งแสงเครื่องขยายสัญญาณ แสงและ เลเซอร์ทรานซิสเตอร์และสารกึ่งตัวนำเช่นไมโครโปรเซสเซอร์ การถ่าย ภาพทางการแพทย์และการวิจัยเช่นการถ่ายภาพด้วยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าและกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอน^{[ 40 ]} คำอธิบายสำหรับปรากฏการณ์ทางชีววิทยาและฟิสิกส์หลายอย่างมีรากฐานมาจากธรรมชาติของ พันธะ เคมี โดยเฉพาะอย่างยิ่งโมเลกุลขนาดใหญ่DNA

กฎของกลศาสตร์ควอนตัมยืนยันว่าปริภูมิสถานะของระบบคือปริภูมิฮิลเบิร์ต และสิ่งที่สังเกตได้ของระบบคือตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียนที่กระทำกับเวกเตอร์ในปริภูมินั้น – แม้ว่ากฎเหล่านั้นจะไม่ได้บอกเราว่าปริภูมิฮิลเบิร์ตใดหรือตัวดำเนินการใด สิ่งเหล่านี้สามารถเลือกได้อย่างเหมาะสมเพื่อให้ได้คำอธิบายเชิงปริมาณของระบบควอนตัม ซึ่งเป็นขั้นตอนที่จำเป็นในการทำนายทางฟิสิกส์ แนวทางสำคัญในการเลือกเหล่านี้คือหลักการความสอดคล้องซึ่งเป็นหลักการเชิงอนุมานที่ระบุว่าการทำนายของกลศาสตร์ควอนตัมจะลดลงเหลือการทำนายของกลศาสตร์คลาสสิกในระบอบของจำนวนควอนตัมขนาด ใหญ่ ^{[ 41 ]}เรายังสามารถเริ่มต้นจากแบบจำลองคลาสสิกที่กำหนดไว้ของระบบเฉพาะ และจากนั้นลองเดาแบบจำลองควอนตัมพื้นฐานที่จะทำให้เกิดแบบจำลองคลาสสิกในขีดจำกัดความสอดคล้อง วิธีการนี้เรียกว่าการหาปริมาณ^{[ 42 ] : 299 [ 43 ]}

เมื่อกลศาสตร์ควอนตัมได้รับการกำหนดสูตรขึ้นครั้งแรก มันถูกนำไปใช้กับแบบจำลองที่มีขีดจำกัดการสอดคล้อง เป็นกลศาสตร์คลาสสิกที่ ไม่สัมพัทธภาพตัวอย่างเช่น แบบจำลองของตัวสั่นฮาร์มอนิกควอนตัมที่เป็น ที่รู้จักกันดีนั้น ใช้การแสดงออกที่ไม่สัมพัทธภาพอย่างชัดเจนสำหรับพลังงานจลน์ของตัวสั่น และจึงเป็นเวอร์ชันควอนตัมของตัวสั่นฮาร์มอนิกคลาสสิก [ ^{7 ] : 234}

ความซับซ้อนเกิดขึ้นกับระบบที่วุ่นวายซึ่งไม่มีเลขควอนตัมที่ดี และ การศึกษา ความวุ่นวายควอนตัมจะศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างคำอธิบายแบบคลาสสิกและแบบควอนตัมในระบบเหล่านี้^{[ 42 ] : 353}

การสูญเสียความสอดคล้องของควอนตัมเป็นกลไกที่ระบบควอนตัมสูญเสียความสอดคล้องและด้วยเหตุนี้จึงไม่สามารถแสดงผลกระทบแบบควอนตัมทั่วไปได้หลายอย่าง เช่นการซ้อนทับของควอนตัมกลายเป็นเพียงการผสมความน่าจะเป็น และการพัวพันของควอนตัมกลายเป็นเพียงความสัมพันธ์แบบคลาสสิก^{[ 7 ] : 687–730} ความสอดคล้องของควอนตัมโดยทั่วไปจะไม่ปรากฏให้เห็นในระดับมหภาค แม้ว่าที่อุณหภูมิใกล้ศูนย์สัมบูรณ์พฤติกรรมควอนตัมอาจปรากฏให้เห็นในระดับมหภาคได้^{[หมายเหตุ 3 ]}

คุณสมบัติระดับมหภาคหลายประการของระบบคลาสสิกเป็นผลโดยตรงจากพฤติกรรมควอนตัมของส่วนประกอบต่างๆ ตัวอย่างเช่น ความเสถียรของสสารจำนวนมาก (ซึ่งประกอบด้วยอะตอมและโมเลกุลที่จะยุบตัวลงอย่างรวดเร็วภายใต้แรงไฟฟ้าเพียงอย่างเดียว) ความแข็งแกร่งของของแข็ง และคุณสมบัติทางกล ความร้อน เคมี แสง และแม่เหล็กของสสาร ล้วนเป็นผลมาจากการปฏิสัมพันธ์ของประจุไฟฟ้าภายใต้กฎของกลศาสตร์ควอนตัม^{[ 44 ]}

ความพยายามในช่วงแรกในการผสานกลศาสตร์ควอนตัมเข้ากับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษเกี่ยวข้องกับการแทนที่สมการชโรดิงเกอร์ด้วยสมการโคแวเรียนต์ เช่นสมการไคลน์-กอร์ดอนหรือสมการดิแรกแม้ว่าทฤษฎีเหล่านี้จะประสบความสำเร็จในการอธิบายผลการทดลองหลายอย่าง แต่ก็มีข้อบกพร่องบางประการที่เกิดจากการละเลยการสร้างและการทำลายอนุภาคแบบสัมพัทธภาพ ทฤษฎีควอนตัมแบบสัมพัทธภาพอย่างสมบูรณ์ต้องอาศัยการพัฒนาทฤษฎีสนามควอนตัม ซึ่งใช้การควอนตัมกับสนาม (แทนที่จะเป็นชุดอนุภาคคงที่) ทฤษฎีสนามควอนตัมที่สมบูรณ์ทฤษฎีแรกคือค วอนตั มอิเล็กโทรไดนามิกส์ซึ่งให้คำอธิบายแบบควอนตัมอย่างสมบูรณ์ของปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้า ควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์เป็น หนึ่งในทฤษฎีทางฟิสิกส์ที่แม่นยำที่สุดเท่าที่เคยคิดค้นมาร่วมกับ ทฤษฎี สัมพัทธภาพทั่วไป^{[ 45 ] [ 46 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีสนามควอนตัมแบบเต็มรูปแบบมักไม่จำเป็นสำหรับการอธิบายระบบอิเล็กโทรไดนามิก วิธีการที่ง่ายกว่า ซึ่งใช้มาตั้งแต่เริ่มแรกของกลศาสตร์ควอนตัม คือการพิจารณา อนุภาค ที่มีประจุเป็นวัตถุทางกลศาสตร์ควอนตัมที่ถูกกระทำโดยสนามแม่เหล็กไฟฟ้า แบบคลาสสิก ตัวอย่างเช่น แบบจำลองควอนตัมพื้นฐานของอะตอมไฮโดรเจนอธิบายสนามไฟฟ้าของอะตอมไฮโดรเจนโดยใช้ศักยภาพคูลอมบ์ แบบคลาสสิ ก^{[ 7 ] : 285} ในทำนองเดียวกัน ในการทดลองของสเติร์น-เกอร์แลคอนุภาคที่มีประจุจะถูกจำลองเป็นระบบควอนตัม ในขณะที่สนามแม่เหล็กพื้นหลังถูกอธิบายแบบคลาสสิก^{[ 42 ] : 26} วิธีการ "กึ่งคลาสสิก" นี้จะล้มเหลวหากความผันผวนควอนตัมในสนามแม่เหล็กไฟฟ้ามีบทบาทสำคัญ เช่น ในการปล่อยโฟตอนโดยอนุภาคที่มีประจุ ${\displaystyle \textstyle -e^{2}/(4\pi \epsilon _{_{0}}r)}$

ทฤษฎี สนามควอนตัมสำหรับแรงนิวเคลียร์ที่แรงและแรงนิวเคลียร์ที่อ่อนได้รับการพัฒนาขึ้นเช่นกัน ทฤษฎีสนามควอนตัมของแรงนิวเคลียร์ที่แรงเรียก ว่า ควอนตัมโครโมไดนามิกส์และอธิบายปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคย่อยนิวเคลียร์ เช่นควาร์กและกลูออนแรงนิวเคลียร์ที่อ่อนและแรงแม่เหล็กไฟฟ้าได้รับการรวมเข้าด้วยกันในรูปแบบควอนตัมเป็นทฤษฎีสนามควอนตัมเดียว (ที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีอิเล็กโทรวีค ) โดยนักฟิสิกส์Abdus Salam , Sheldon GlashowและSteven Weinberg ^{[ 47 ]}

แม้ว่าการคาดการณ์ของทั้งทฤษฎีควอนตัมและทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปจะได้รับการสนับสนุนจากหลักฐานเชิงประจักษ์ ที่เข้มงวดและซ้ำแล้วซ้ำ เล่า แต่รูปแบบนามธรรมของทั้งสองทฤษฎีกลับขัดแย้งกัน และพิสูจน์แล้วว่ายากมากที่จะรวมเข้าเป็นแบบจำลองที่สอดคล้องกันและเป็นหนึ่งเดียว แรงโน้มถ่วงนั้นไม่สำคัญในหลายสาขาของฟิสิกส์อนุภาค ดังนั้นการรวมกันระหว่างทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและกลศาสตร์ควอนตัมจึงไม่ใช่ปัญหาเร่งด่วนในแอปพลิเคชันเฉพาะเหล่านั้น อย่างไรก็ตาม การขาดทฤษฎีแรงโน้มถ่วงควอนตัมที่ถูกต้องเป็นประเด็นสำคัญในจักรวาลวิทยาเชิงฟิสิกส์และการค้นหา " ทฤษฎีแห่งทุกสิ่ง " (TOE) ที่สง่างามโดยนักฟิสิกส์ ด้วยเหตุนี้ การแก้ไขความไม่สอดคล้องกันระหว่างทั้งสองทฤษฎีจึงเป็นเป้าหมายหลักของฟิสิกส์ในศตวรรษที่ 20 และ 21 TOE นี้จะไม่เพียงแต่รวมแบบจำลองของฟิสิกส์อนุภาคย่อยเท่านั้น แต่ยังจะอนุมานแรงพื้นฐานทั้งสี่ของธรรมชาติจากแรงหรือปรากฏการณ์เดียวอีกด้วย^{[ 48 ]}

ข้อเสนอหนึ่งในการทำเช่นนั้นคือทฤษฎีสตริงซึ่งตั้งสมมติฐานว่าอนุภาคจุดในฟิสิกส์อนุภาคถูกแทนที่ด้วยวัตถุหนึ่งมิติ ที่เรียกว่า สตริงทฤษฎีสตริงอธิบายว่าสตริงเหล่านี้แพร่กระจายผ่านอวกาศและมีปฏิสัมพันธ์กันอย่างไร ในระดับระยะทางที่ใหญ่กว่าระดับของสตริง สตริงจะมีลักษณะเหมือนอนุภาคธรรมดา โดยมีมวลประจุและคุณสมบัติอื่นๆ ที่กำหนดโดย สถานะ การสั่นของสตริง ในทฤษฎีสตริง หนึ่งในสถานะการสั่นหลายสถานะของสตริงจะสอดคล้องกับกราวิตอน ซึ่ง เป็นอนุภาคกลศาสตร์ควอนตัมที่นำพาแรงโน้มถ่วง^{[ 49 ] [ 50 ]}

ทฤษฎีที่เป็นที่นิยมอีกทฤษฎีหนึ่งคือทฤษฎีแรงโน้มถ่วงควอนตัมแบบวงวน (LQG) ซึ่งอธิบายคุณสมบัติควอนตัมของแรงโน้มถ่วงและจึงเป็นทฤษฎีของปริภูมิเวลาควอนตัม LQG เป็นความพยายามที่จะผสานและปรับใช้กลศาสตร์ควอนตัมมาตรฐานและทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปมาตรฐาน ทฤษฎีนี้อธิบายอวกาศว่าเป็นผ้าทอละเอียดมากที่ประกอบด้วยวงวนจำกัดที่เรียกว่าเครือข่ายส ปิน วิวัฒนาการของเครือข่ายสปินเมื่อเวลาผ่านไปเรียกว่าโฟมสปินขนาดความยาวลักษณะเฉพาะของโฟมสปินคือความยาวพลังค์ประมาณ 1.616×10 ⁻³⁵เมตร ดังนั้นความยาวที่สั้นกว่าความยาวพลังค์จึงไม่มีความหมายทางกายภาพใน LQG ^{[ 51 ]}

นับตั้งแต่เริ่มแรก แง่มุมและผลลัพธ์ที่ขัดแย้งกับสามัญสำนึกหลายประการของกลศาสตร์ควอนตัมได้ก่อให้เกิด การถกเถียง ทางปรัชญา อย่างรุนแรงและ การตีความมากมายข้อโต้แย้งมุ่งเน้นไปที่ธรรมชาติเชิงความน่าจะเป็นของกลศาสตร์ควอนตัม ความยากลำบากในการยุบตัวของฟังก์ชันคลื่นและปัญหาการวัด ที่เกี่ยวข้อง และความไม่เป็นท้องถิ่นของควอนตัมบางทีฉันทามติเดียวที่มีอยู่เกี่ยวกับประเด็นเหล่านี้ก็คือไม่มีฉันทามติริชาร์ด ไฟน์แมนเคยกล่าวว่า "ผมคิดว่าผมพูดได้อย่างมั่นใจว่าไม่มีใครเข้าใจกลศาสตร์ควอนตัม" ^{[ 52 ]}ตามที่สตีเวน ไวน์เบิร์ก กล่าวไว้ ว่า "ในความคิดของผม ตอนนี้ไม่มีการตีความกลศาสตร์ควอนตัมที่น่าพอใจอย่างสมบูรณ์" ^{[ 53 ]}

มุมมองของนีลส์ โบห์ร เวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์ก และนักฟิสิกส์คนอื่นๆ มักถูกจัดกลุ่มเข้าด้วยกันเป็น " การตีความโคเปนเฮเกน " ^{[ 54 ] [ 55 ]}ตามมุมมองเหล่านี้ ลักษณะความน่าจะเป็นของกลศาสตร์ควอนตัมไม่ใช่ คุณลักษณะ ชั่วคราวที่จะถูกแทนที่ด้วยทฤษฎีเชิงกำหนดในที่สุด แต่เป็นการละทิ้งแนวคิดคลาสสิกของ "ความเป็นเหตุเป็นผล" ในที่สุดโบห์รเน้นย้ำเป็นพิเศษว่าการประยุกต์ใช้รูปแบบกลศาสตร์ควอนตัมที่กำหนดไว้อย่างดีจะต้องอ้างอิงถึงการจัดเรียงการทดลองเสมอ เนื่องจาก ลักษณะ เสริมของหลักฐานที่ได้รับภายใต้สถานการณ์การทดลองที่แตกต่างกัน การตีความแบบโคเปนเฮเกนได้รับการยอมรับจากผู้ได้รับรางวัลโนเบลในสาขาฟิสิกส์ควอนตัม รวมถึงโบห์ร^{[ 56 ]}ไฮเซนเบิร์ก^{[ 57 ]}ชโรดิงเกอร์^{[ 58 ]}ไฟน์แมน^{[ 2 ]}และไซลิงเกอร์^{[ 59 ]}ตลอดจนนักวิจัยในศตวรรษที่ 21 ในพื้นฐานควอนตัม^{[ 60 ]}

อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ หนึ่งในผู้ก่อตั้งทฤษฎีควอนตัมรู้สึกไม่สบายใจกับความล้มเหลวที่เห็นได้ชัดของทฤษฎีนี้ในการเคารพหลักการทางอภิปรัชญาที่สำคัญบางประการ เช่นหลักการกำหนดและหลักการความเป็นท้องถิ่นการโต้เถียงกันอย่างยาวนานระหว่างไอน์สไตน์กับบอร์เกี่ยวกับความหมายและสถานะของกลศาสตร์ควอนตัมเป็นที่รู้จักกันในชื่อการโต้วาทีบอร์-ไอน์สไตน์ ไอน์สไตน์เชื่อว่าพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัมจะต้องมีทฤษฎีที่ห้ามการกระทำจากระยะไกล อย่างชัดเจน เขาโต้แย้งว่ากลศาสตร์ควอนตัมไม่สมบูรณ์ เป็นทฤษฎีที่ถูกต้องแต่ไม่ใช่ทฤษฎีพื้นฐาน คล้ายกับที่อุณหพลศาสตร์ถูกต้อง แต่ทฤษฎีพื้นฐานที่อยู่เบื้องหลังคือกลศาสตร์สถิติในปี 1935 ไอน์สไตน์และผู้ร่วมงานของเขาบอริส โพดอลสกีและนาธาน โรเซนได้ตีพิมพ์ข้อโต้แย้งว่าหลักการความเป็นท้องถิ่นบ่งชี้ถึงความไม่สมบูรณ์ของกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งเป็นการทดลองทางความคิดที่ต่อมาเรียกว่า ปรากฏการณ์ไอน์สไตน์-โพดอ ลสกี-โรเซน^{[หมายเหตุ 4 ]}ในปี พ.ศ. 2507 จอห์น เบลล์แสดงให้เห็นว่าหลักการของความเป็นท้องถิ่นของ EPR ร่วมกับความแน่นอนนั้นไม่เข้ากันกับกลศาสตร์ควอนตัม: หลักการเหล่านี้บ่งบอกถึงข้อจำกัดของความสัมพันธ์ที่เกิดจากระบบระยะทาง ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่ออสมการเบลล์ซึ่งอนุภาคที่พันกันสามารถละเมิดได้^{[ 65 ]}นับตั้งแต่นั้นมา มี การทดลองหลายครั้งเพื่อหาความสัมพันธ์เหล่านี้ โดยผลลัพธ์คือความสัมพันธ์เหล่านี้ละเมิดอสมการเบลล์จริง ๆ และทำให้การรวมกันของความเป็นท้องถิ่นกับความแน่นอนเป็นเท็จ^{[ 16 ] [ 17 ]}

กลศาสตร์บอห์มแสดงให้เห็นว่าสามารถปรับปรุงกลศาสตร์ควอนตัมใหม่เพื่อให้เป็นแบบกำหนดได้ โดยแลกกับการทำให้มันไม่เป็นแบบเฉพาะที่อย่างชัดเจน มันไม่ได้กำหนดเพียงแค่ฟังก์ชันคลื่นให้กับระบบทางกายภาพเท่านั้น แต่ยังกำหนดตำแหน่งจริงซึ่งวิวัฒนาการแบบกำหนดได้ภายใต้สมการนำทางที่ไม่เป็นแบบเฉพาะที่ การวิวัฒนาการของระบบทางกายภาพจะได้รับจากสมการชโรดิงเกอร์พร้อมกับสมการนำทางตลอดเวลา ไม่มีการยุบตัวของฟังก์ชันคลื่นเลย ซึ่งช่วยแก้ปัญหาการวัดได้^{[ 66 ]}

การตีความหลายโลกของเอเวอเร็ตต์ซึ่งกำหนดขึ้นในปี 1956 ถือว่าความเป็นไปได้ทั้งหมด ที่อธิบายโดยทฤษฎีควอนตัมเกิดขึ้น พร้อมกันในมัลติเวิร์สที่ประกอบด้วยจักรวาลคู่ขนานที่เป็นอิสระเป็นส่วนใหญ่^{[ 67 ]}นี่เป็นผลมาจากการลบสัจพจน์ของการยุบตัวของกลุ่มคลื่น สถานะที่เป็นไปได้ทั้งหมดของระบบที่วัดได้และอุปกรณ์วัดพร้อมกับผู้สังเกตการณ์นั้นปรากฏอยู่ในสถานะซ้อนทับควอนตัมทางกายภาพที่แท้จริง ในขณะที่มัลติเวิร์สเป็นแบบกำหนดได้ เรามองเห็นพฤติกรรมที่ไม่กำหนดได้ซึ่งควบคุมโดยความน่าจะเป็นเพราะเราไม่ได้สังเกตมัลติเวิร์สทั้งหมด แต่สังเกตเพียงจักรวาลคู่ขนานทีละหนึ่งจักรวาลเท่านั้น วิธีการทำงานที่แท้จริงนี้เป็นหัวข้อของการถกเถียงกันอย่างมาก มีความพยายามหลายครั้งที่จะทำความเข้าใจเรื่องนี้และอนุมานกฎของบอร์น^{[ 68 ] [ 69 ]}โดยไม่มีฉันทามติว่าประสบความสำเร็จหรือไม่^{[ 70 ] [ 71 ] [ 72 ]}

กลศาสตร์ควอนตัมเชิงสัมพันธ์ปรากฏขึ้นในช่วงปลายทศวรรษ 1990 ในฐานะอนุพันธ์สมัยใหม่ของแนวคิดประเภทโคเปนเฮเกน^{[ 73 ] [ 74 ]}และQBismได้รับการพัฒนาขึ้นในอีกหลายปีต่อมา^{[ 75 ] [ 76 ]}

กลศาสตร์ควอนตัมได้รับการพัฒนาในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 โดยมีแรงผลักดันจากความต้องการที่จะอธิบายปรากฏการณ์ที่ในบางกรณีเคยถูกสังเกตมาก่อน การสืบสวนทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับธรรมชาติของคลื่นแสงเริ่มต้นขึ้นในศตวรรษที่ 17 และ 18 เมื่อนักวิทยาศาสตร์เช่นโรเบิร์ต ฮุกคริสเตียนฮุยเกนส์และเลออนฮาร์ด ออยเลอร์เสนอทฤษฎีคลื่นของแสงโดยอิงจากการสังเกตเชิงทดลอง^{[ 77 ]}ในปี ค.ศ. 1803 โทมัส ยัง นักปราชญ์ชาวอังกฤษได้อธิบายการ ทดลองช่องคู่ ที่มีชื่อเสียง ^{[ 78 ]}การทดลองนี้มีบทบาทสำคัญในการยอมรับทฤษฎีคลื่นของแสงโดย ทั่วไป

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 การวิจัย ทางเคมีของจอห์น ดาลตันและอาเมเดโอ อโวกาโดรได้สนับสนุนทฤษฎีอะตอมของสสาร ซึ่งเป็นแนวคิดที่เจมส์ คลาร์ก แม็กซ์เวลล์ลุดวิก โบลต์ซมันน์และคนอื่นๆ ได้นำไปต่อยอดเพื่อสร้างทฤษฎีจลน์ของก๊าซความสำเร็จของทฤษฎีจลน์ทำให้แนวคิดที่ว่าสสารประกอบด้วยอะตอมมีความน่าเชื่อถือมากขึ้น แต่ทฤษฎีนี้ก็มีข้อบกพร่องที่ต้องได้รับการแก้ไขด้วยการพัฒนาของกลศาสตร์ควอนตัม^{[ 79 ]}ในขณะที่แนวคิดแรกเริ่มของอะตอมจากปรัชญากรีกคืออะตอมเป็นหน่วยที่แบ่งแยกไม่ได้ – คำว่า "อะตอม" มาจากภาษากรีกที่แปลว่า 'ตัดไม่ได้' – ในศตวรรษที่ 19 ได้มีการกำหนดสมมติฐานเกี่ยวกับโครงสร้างย่อยของอะตอม การค้นพบที่สำคัญอย่างหนึ่งในเรื่องนี้คือ การสังเกต ของ ไมเคิล ฟาราเดย์ในปี 1838 เกี่ยวกับแสงเรืองที่เกิดจากการปล่อยประจุไฟฟ้าภายในหลอดแก้วที่มีก๊าซอยู่ที่ความดันต่ำJulius Plücker , Johann Wilhelm HittorfและEugen Goldsteinได้สานต่อและปรับปรุงงานของ Faraday จนนำไปสู่การระบุรังสีแคโทดซึ่งJJ Thomsonพบว่าประกอบด้วยอนุภาคย่อยอะตอมที่เรียกว่าอิเล็กตรอน^{[ 80 ] [ 81 ]}

ปัญหาการแผ่รังสีของวัตถุดำถูกค้นพบโดยGustav Kirchhoffในปี 1859 ในปี 1900 Max Planck ได้เสนอสมมติฐานว่าพลังงานถูกแผ่รังสีและดูดซับใน "ควอนตัม" (หรือแพ็กเก็ตพลังงาน) ที่แยกจากกัน ซึ่งให้การคำนวณที่ตรงกับรูปแบบการแผ่รังสีของวัตถุดำที่สังเกตได้อย่างแม่นยำ^{[ 82 ]}คำว่าควอนตัมมาจากภาษาละตินซึ่งหมายถึง "มากแค่ไหน" หรือ "มากเพียงใด" ^{[ 83 ]}ตามที่ Planck กล่าว ปริมาณพลังงานสามารถคิดได้ว่าถูกแบ่งออกเป็น "องค์ประกอบ" ซึ่งขนาด ( E ) จะเป็นสัดส่วนกับความถี่ ( ν ): โดยที่hคือค่าคงที่ของ Planck Planck ยืนยันอย่างระมัดระวังว่านี่เป็นเพียงแง่มุมหนึ่งของกระบวนการดูดซับและการปล่อยรังสี และไม่ใช่ความเป็นจริงทางกายภาพของการแผ่รังสี^{[ 84 ]}อันที่จริง เขาถือว่าสมมติฐานควอนตัมของเขาเป็นเพียงกลอุบายทางคณิตศาสตร์เพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้องมากกว่าการค้นพบครั้งสำคัญ^{[ 85 ]}อย่างไรก็ตาม ในปี ค.ศ. 1905 อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ได้ตีความสมมติฐานควอนตัมของพลังค์อย่างสมจริงและใช้มันเพื่ออธิบายปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริกซึ่งการส่องแสงไปยังวัสดุบางชนิดสามารถขับอิเล็กตรอนออกจากวัสดุได้ จากนั้นนีลส์ โบห์ร ได้พัฒนาแนวคิดของพลังค์เกี่ยวกับการแผ่รังสีเป็นแบบจำลองของอะตอมไฮโดรเจนที่สามารถทำนายเส้นสเปกตรัมของไฮโดรเจน ได้อย่างแม่นยำ ^{[ 86 ]}ไอน์สไตน์ได้พัฒนาแนวคิดนี้ต่อไปเพื่อแสดงให้เห็นว่าคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเช่น แสง สามารถอธิบายได้ว่าเป็นอนุภาค (ต่อมาเรียกว่าโฟตอน) ที่มีปริมาณพลังงานที่แน่นอนซึ่งขึ้นอยู่กับความถี่^{[ 87 ]}ในบทความของเขาเรื่อง "เกี่ยวกับทฤษฎีควอนตัมของการแผ่รังสี" ไอน์สไตน์ได้ขยายความปฏิสัมพันธ์ระหว่างพลังงานและสสารเพื่ออธิบายการดูดซับและการปล่อยพลังงานโดยอะตอม แม้ว่าในขณะนั้นจะถูกบดบังด้วยทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของเขา แต่บทความนี้ได้อธิบายกลไกที่อยู่เบื้องหลังการปล่อยรังสีแบบกระตุ้น^{[ 88 ]}ซึ่งกลายเป็นพื้นฐานของเลเซอร์^{[ 89 ]}$${\displaystyle E=h\nu \ }$$

ระยะนี้เรียกว่าทฤษฎีควอนตัมแบบเก่าทฤษฎีควอนตัมแบบเก่าไม่เคยสมบูรณ์หรือสอดคล้องกันในตัวเอง แต่เป็นเพียงชุดของ การแก้ไข เชิงฮิวริสติกสำหรับกลศาสตร์คลาสสิก^{[ 90 ] [ 91 ]}ปัจจุบันทฤษฎีนี้เข้าใจกันว่าเป็นค่าประมาณกึ่งคลาสสิกของกลศาสตร์ควอนตัมสมัยใหม่^{[ 92 ] [ 93 ]}ผลลัพธ์ที่โดดเด่นจากช่วงเวลานี้ นอกเหนือจากงานของพลังค์ ไอน์สไตน์ และบอร์ที่กล่าวถึงข้างต้นแล้ว ยังรวมถึงงานของไอน์สไตน์และปีเตอร์ เดบายเกี่ยวกับความร้อนจำเพาะ ของของแข็ง การพิสูจน์ของบอร์และเฮนดริกา โจฮันนา ฟาน ลีเวนว่าฟิสิกส์คลาสสิกไม่สามารถอธิบายไดอะแมกเนติซึม ได้ และ การขยายแบบจำลองของบอร์โดย อาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์เพื่อรวมผลกระทบของสัมพัทธภาพพิเศษ^{[ 90 ] [ 94 ]}

ในช่วงกลางทศวรรษ 1920 กลศาสตร์ควอนตัมได้รับการพัฒนาจนกลายเป็นสูตรมาตรฐานสำหรับฟิสิกส์อะตอม ในปี 1923 นักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศสLouis de Broglieได้เสนอทฤษฎีคลื่นสสารโดยระบุว่าอนุภาคสามารถแสดงลักษณะคลื่นได้ และในทางกลับกัน กลศาสตร์ควอนตัมสมัยใหม่ถือกำเนิดขึ้นในปี 1925 โดยอาศัยแนวทางของ de Broglie เมื่อนักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน Werner Heisenberg, Max Born และPascual Jordan ^{[ 95 ] [ 96 ]}พัฒนากลศาสตร์เมทริกซ์และนักฟิสิกส์ชาวออสเตรีย Erwin Schrödinger คิดค้นกลศาสตร์คลื่น Born ได้นำเสนอการตีความเชิงความน่าจะเป็นของฟังก์ชันคลื่นของ Schrödinger ในเดือนกรกฎาคม 1926 ^{[ 97 ]}ดังนั้น สาขาฟิสิกส์ควอนตัมทั้งหมดจึงถือกำเนิดขึ้น นำไปสู่การยอมรับอย่างกว้างขวางมากขึ้นในการประชุม Solvay ครั้งที่ 5 ในปี 1927 ^{[ 98 ]}

ภายในปี พ.ศ. 2473 กลศาสตร์ควอนตัมได้รับการรวมและกำหนดรูปแบบอย่างเป็นทางการมากขึ้นโดยDavid Hilbert , Paul Dirac และJohn von Neumann ^{[ 99 ]}โดยเน้นที่การวัดลักษณะทางสถิติของความรู้เกี่ยวกับความเป็นจริงของเรา และการคาดการณ์เชิงปรัชญาเกี่ยวกับ 'ผู้สังเกต' มากขึ้น นับตั้งแต่นั้นมา กลศาสตร์ควอนตัมได้แทรกซึมเข้าไปในหลายสาขาวิชา รวมถึงเคมีควอนตัมอิเล็กทรอนิกส์ควอนตัมทัศนศาสตร์ควอนตัมและ วิทยาศาสตร์ข้อมูลควอนตัม นอกจากนี้ยังเป็นกรอบการทำงานที่มีประโยชน์สำหรับคุณสมบัติหลายอย่างของตารางธาตุ สมัยใหม่ และอธิบายพฤติกรรมของอะตอมในระหว่างการสร้างพันธะเคมีและการไหลของอิเล็กตรอนในเซมิคอนดักเตอร์ ของคอมพิวเตอร์ ดังนั้นจึงมีบทบาทสำคัญในเทคโนโลยีสมัยใหม่หลายอย่าง แม้ว่ากลศาสตร์ควอนตัมจะถูกสร้างขึ้นเพื่ออธิบายโลกของสิ่งที่เล็กมาก แต่ก็จำเป็นต้องใช้เพื่ออธิบาย ปรากฏการณ์ ระดับมหภาค บางอย่าง เช่นตัวนำยิ่งยวด^{[ 100 ]}และของไหลยิ่งยวด^{[ 101 ]}

• บทนำสู่กลศาสตร์ควอนตัม โดย ทิมอน อิเดมา
• ฟิสิกส์ควอนตัมแบบเข้าใจง่าย : วิดีโอบรรยาย 3 ตอน โดยฮันส์ เบเทอ

เอกสารประกอบการเรียน

• หนังสือ Quantum Cook BookและPHYS 201: Fundamentals of Physics IIโดยRamamurti Shankarจาก Yale OpenCourseware
• ฟิสิกส์สมัยใหม่: กับคลื่น อุณหพลศาสตร์ และทัศนศาสตร์ – ตำราเรียนออนไลน์
• MIT OpenCourseWare : เคมีและฟิสิกส์ดูหัวข้อ8.04 , 8.05และ8.06
• 5+1/2ตัวอย่างในกลศาสตร์ควอนตัม

ปรัชญา

• อิสมาเอล, เจแนน. "กลศาสตร์ควอนตัม"ในซัลตา, เอ็ดเวิร์ด เอ็น. (บรรณาธิการ). สารานุกรมปรัชญาแห่งสแตนฟอร์ด . ISSN  1095-5054 . OCLC  429049174 .
• Zalta, Edward N. (บรรณาธิการ). "ประเด็นทางปรัชญาในทฤษฎีควอนตัม" . สารานุกรมปรัชญาแห่งสแตนฟอร์ด . ISSN  1095-5054 . OCLC  429049174 .