ฟิสิกส์ของลูกบอลกระดอนเกี่ยวข้องกับพฤติกรรมทางกายภาพของลูกบอลกระดอน โดยเฉพาะอย่างยิ่งการเคลื่อนที่ก่อน ระหว่าง และหลังการกระทบกับพื้นผิวของวัตถุ อื่น แง่มุมต่างๆ ของพฤติกรรมลูกบอลกระดอนนั้นใช้เป็นพื้นฐานในการเรียนรู้กลศาสตร์ใน หลักสูตรฟิสิกส์ ระดับมัธยม ปลาย หรือ ระดับปริญญา ตรีอย่างไรก็ตาม การสร้างแบบจำลองพฤติกรรมอย่างแม่นยำนั้นซับซ้อนและเป็นที่น่าสนใจในด้านวิศวกรรม กีฬา

โดยทั่วไป การเคลื่อนที่ของลูกบอลจะอธิบายได้ด้วยการเคลื่อนที่แบบโปรเจคไทล์ (ซึ่งอาจได้รับผลกระทบจากแรงโน้มถ่วงแรงต้านผลกระทบของแม็กนัสและแรงลอยตัว ) ในขณะที่การกระทบมักจะอธิบายได้ด้วยค่าสัมประสิทธิ์การคืนตัว (ซึ่งอาจได้รับผลกระทบจากลักษณะของลูกบอล ลักษณะของพื้นผิวที่กระทบ ความเร็วในการกระทบ การหมุน และสภาวะเฉพาะที่ เช่นอุณหภูมิและความดัน ) เพื่อให้เกิดความยุติธรรมในการแข่งขันหน่วยงานกำกับดูแลกีฬาหลายแห่งจึงกำหนดขีดจำกัดความเด้งของลูกบอลและห้ามการดัดแปลงคุณสมบัติทางอากาศพลศาสตร์ของลูกบอล ความเด้งของลูกบอลเป็นคุณลักษณะของกีฬาที่มีมาแต่โบราณ เช่นเกมบอลของชาวเมโสอเมริกา^{[ 1 ]}

การเคลื่อนที่ของลูกบอลที่กระดอนเป็นไปตามการเคลื่อนที่แบบโปรเจคไทล์ [ ^{2 ] [ 3 ] แรง}หลายอย่างกระทำต่อลูกบอลจริง ได้แก่แรงโน้มถ่วง ( F _G ) แรงต้านเนื่องจากแรงต้านอากาศ ( F _D ) แรงแม็กนัสเนื่องจากการหมุน ของลูกบอล ( F _M ) และแรงลอยตัว ( F _B ) โดยทั่วไป ต้องใช้กฎข้อที่สองของนิวตันโดยคำนึงถึงแรงทั้งหมดเพื่อวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของลูกบอล:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum \mathbf {F} &=m\mathbf {a} ,\\\mathbf {F} _{\text{G}}+\mathbf {F} _{\text{D}}+\mathbf {F} _{\text{M}}+\mathbf {F} _{\text{B}}&=m\mathbf {a} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}},\end{aligned}}}$

โดยที่mคือมวลของลูกบอล และa , v , r แทนความเร่งความเร็วและตำแหน่งของลูกบอลเมื่อเวลา ผ่าน ไป t

แรงโน้มถ่วงมีทิศทางลงและเท่ากับ^{[ 4 ]}

${\displaystyle F_{\text{G}}=mg,}$

โดยที่mคือมวลของลูกบอล และgคือความเร่งโน้มถ่วงซึ่งบนโลกจะแปรผันระหว่าง9.764  ม./วินาที^²และ9.834 ม./วินาที ² ^{[ 5 ] เนื่องจาก}แรงอื่นๆ มักมีขนาดเล็ก การเคลื่อนที่จึงมักถูกทำให้เป็นอุดมคติโดยอยู่ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงเท่านั้น หากมีเพียงแรงโน้มถ่วงกระทำต่อลูกบอลพลังงานกลจะถูกอนุรักษ์ไว้ในระหว่างการบิน ในกรณีอุดมคตินี้ สมการการเคลื่อนที่กำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=-g\mathbf {\hat {j}} ,\\\mathbf {v} &=\mathbf {v} _{\text{0}}+\mathbf {a} t,\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\frac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2},\end{aligned}}}$

โดยที่a , vและrแทนความเร่ง ความเร็ว และตำแหน่งของลูกบอล และ_v₀ และ r₀ คือ ความเร็วและตำแหน่งเริ่มต้น _ของลูกบอลตามลำดับ

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากลูกบอลกระดอนทำมุมθกับพื้น การเคลื่อนที่ใน แกน xและy (ซึ่งแสดงถึง การเคลื่อนที่ ในแนวนอนและแนวตั้งตามลำดับ) จะถูกอธิบายโดย^{[ 6 ]}

สมการบ่งชี้ว่าความสูงสูงสุด ( H ) และระยะทาง ( R ) และเวลาในการบิน ( T ) ของลูกบอลที่กระดอนบนพื้นผิวเรียบนั้นกำหนดโดย^{[ 2 ] [ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\sin ^{2}\left(\theta \right),\\R&={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\sin \left(2\theta \right),~{\text{and}}\\T&={\frac {2v_{0}}{g}}\sin \left(\theta \right).\end{aligned}}}$

การปรับปรุงการเคลื่อนที่ของลูกบอลให้ดียิ่งขึ้น สามารถทำได้โดยการพิจารณาแรงต้านอากาศ (และผลกระทบที่เกี่ยวข้อง เช่นแรงต้านอากาศและลม ) ผลกระทบของแม็กนัสและแรงลอยตัวเนื่องจากลูกบอลที่เบากว่าจะเร่งความเร็วได้ง่ายกว่า การเคลื่อนที่ของลูกบอลจึงมีแนวโน้มที่จะได้รับผลกระทบจากแรงเหล่านี้มากกว่า

การไหลของอากาศรอบลูกบอลอาจเป็นแบบราบเรียบหรือแบบปั่นป่วน ขึ้นอยู่กับเลขเรย์โนลด์ (Re) ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้:

${\displaystyle {\text{Re}}={\frac {\rho Dv}{\mu }},}$

โดยที่ρคือความหนาแน่นของอากาศ , μคือความหนืดไดนามิกของอากาศ, Dคือเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอล และvคือความเร็วของลูกบอลที่เคลื่อนที่ผ่านอากาศ ที่อุณหภูมิหนึ่ง20 °C , ρ =1.2 กก./ม. ^³และ μ =1.8 × 10 ⁻⁵  Pa·s . ^{[ 7 ]}

หากเลขเรย์โนลด์ต่ำมาก (Re < 1) แรงต้านบนลูกบอลจะอธิบายได้ด้วยกฎของสโตกส์ : ^{[ 8 ]}

${\displaystyle F_{\text{D}}=6\pi \mu rv,}$

โดยที่rคือรัศมีของลูกบอล แรงนี้กระทำในทิศทางตรงข้ามกับทิศทางของลูกบอล (ในทิศทางของ) อย่างไรก็ตาม สำหรับลูกบอลกีฬาส่วนใหญ่ เลขเรย์โนลด์จะอยู่ระหว่าง 10⁴ ^ถึง 10⁵ ^และกฎของสโตกส์จะไม่สามารถใช้ได้^{[ 9 ]}ที่ค่าเลขเรย์โนลด์ที่สูงขึ้นเหล่านี้ แรงต้านบนลูกบอลจะถูกอธิบายโดยสมการแรงต้านแทน : ^{[ 10 ]}${\displaystyle \textstyle -{\hat {\mathbf {v} }}}$

${\displaystyle F_{\text{D}}={\frac {1}{2}}\rho C_{\text{d}}Av^{2},}$

โดยที่C _dคือสัมประสิทธิ์แรงต้านและA คือ พื้นที่หน้าตัดของลูกบอล

แรงต้านอากาศจะทำให้ลูกบอลสูญเสียพลังงานกลระหว่างการบิน และจะลดระยะทางและความสูงของลูกบอล ในขณะที่ลมปะทะด้านข้างจะเบี่ยงเบนลูกบอลออกจากเส้นทางเดิม ผู้เล่นในกีฬาต่างๆ เช่น กอล์ฟ ต้องคำนึงถึงผลกระทบทั้งสองนี้

ในกีฬาปิงปองผู้เล่นที่มีทักษะสามารถใช้ประโยชน์จากการหมุนของลูกบอลเพื่อส่งผลต่อวิถีการเคลื่อนที่ของลูกบอลระหว่างการบินและปฏิกิริยาเมื่อกระทบกับพื้นผิว ในกรณีของท็อปสปิน ลูกบอลจะขึ้นไปถึงความสูงสูงสุดในช่วงท้ายของการบิน (1) จากนั้นจะโค้งลงอย่างกะทันหัน (2) การกระทบจะผลักดันลูกบอลไปข้างหน้า (3) และลูกบอลจะมีแนวโน้มที่จะกระดอนขึ้นเมื่อกระทบกับ ไม้ปิงปองของฝ่ายตรงข้าม สถานการณ์จะตรงกันข้ามในกรณีของแบ็คสปิน

การหมุนของลูกบอลจะส่งผลต่อวิถีการเคลื่อนที่ผ่านปรากฏการณ์แม็กนัสตามทฤษฎีบทของ Kutta–Joukowskiสำหรับทรงกลมที่หมุนโดยมีการไหลของอากาศที่ไม่มีความหนืด แรงแม็กนัสจะเท่ากับ^{[ 11 ]}

${\displaystyle F_{\text{M}}={\frac {8}{3}}\pi r^{3}\rho \omega v,}$

โดยที่rคือรัศมีของลูกบอลω คือความเร็วเชิงมุม (หรืออัตราการหมุน) ของลูกบอลρคือความหนาแน่นของอากาศ และvคือความเร็วของลูกบอลเทียบกับอากาศ แรงนี้มีทิศทางตั้งฉากกับการเคลื่อนที่และตั้งฉากกับแกนการหมุน (ในทิศทางของ) แรงมีทิศทางขึ้นสำหรับการหมุนแบบแบ็คสปินและลงสำหรับการหมุนแบบท็อปสปิน ในความเป็นจริง การไหลไม่เคยเป็นแบบไร้ความหนืด และแรงยกของ Magnus อธิบายได้ดีกว่าโดย^{[ 12 ]}${\displaystyle \textstyle {\hat {\mathbf {\omega } }}\times {\hat {\mathbf {v} }}}$

${\displaystyle F_{\text{M}}={\frac {1}{2}}\rho C_{\text{L}}Av^{2},}$

โดยที่ρคือความหนาแน่นของอากาศ, C _{L คือ} สัมประสิทธิ์แรงยก , A คือพื้นที่หน้าตัดของลูกบอล และvคือความเร็วของลูกบอลเทียบกับอากาศ สัมประสิทธิ์แรงยกเป็นปัจจัยที่ซับซ้อนซึ่งขึ้นอยู่กับอัตราส่วนrω / v , เลขเรย์โนลด์ และความหยาบของพื้นผิวเป็นต้น^{[ 12 ]}ในบางเงื่อนไข สัมประสิทธิ์แรงยกอาจเป็นค่าลบได้ ซึ่งจะเปลี่ยนทิศทางของแรงแม็กนัส ( ปรากฏการณ์แม็กนัสย้อนกลับ ) ^{[ 4 ] [ 13 ] [ 14 ]}

ในกีฬาอย่างเทนนิสหรือวอลเลย์บอลผู้เล่นสามารถใช้ปรากฏการณ์แม็กนัสเพื่อควบคุมวิถีการเคลื่อนที่ของลูกบอล (เช่น ผ่านท็อปสปินหรือแบ็คสปิน ) ในระหว่างการบิน ในกีฬากอล์ฟปรากฏการณ์นี้ทำให้เกิดการสไลซ์และการฮุคซึ่งโดยปกติแล้วเป็นผลเสียต่อนักกอล์ฟ แต่ยังช่วยเพิ่มระยะการตีไดรฟ์และช็อตอื่นๆ ได้อีก ด้วย ^{[ 15 ] [ 16 ]}ในเบสบอลผู้ขว้างใช้ปรากฏการณ์นี้เพื่อสร้างลูกโค้งและลูกขว้างพิเศษอื่นๆ^{[ 17 ]}

การดัดแปลงลูกบอลมักผิดกฎหมาย และมักเป็นประเด็นสำคัญใน ข้อพิพาทด้าน คริกเก็ตเช่น กรณีระหว่างอังกฤษและปากีสถานในเดือนสิงหาคม พ.ศ. 2549 [ ^{18 ] ใน}เบสบอล คำว่า ' สปิตบอล ' หมายถึงการเคลือบลูกบอลด้วยน้ำลายหรือสารอื่นๆ อย่างผิดกฎหมายเพื่อเปลี่ยนแปลงหลักอากาศพลศาสตร์ของลูกบอล^{[ 19 ]}

วัตถุใดๆ ที่จุ่มอยู่ในของเหลวเช่น น้ำหรืออากาศ จะได้รับแรงลอยตัวขึ้น ด้านบน ^{[ 20 ]}ตามหลักการของอาร์คิมิดีสแรงลอยตัวนี้เท่ากับน้ำหนักของของเหลวที่ถูกแทนที่โดยวัตถุ ในกรณีของทรงกลม แรงนี้จะเท่ากับ

${\displaystyle F_{\text{B}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho g.}$

แรงลอยตัวมักมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับแรงต้านและแรงแม็กนัส และมักจะสามารถละเลยได้ อย่างไรก็ตาม ในกรณีของลูกบาสเก็ตบอล แรงลอยตัวอาจมีค่าประมาณ 1.5% ของน้ำหนักลูกบอล^{[ 20 ]}เนื่องจากแรงลอยตัวมีทิศทางขึ้น จึงจะช่วยเพิ่มระยะและระดับความสูงของลูกบอล

วิดีโอภายนอก
ฟลอเรียน คอร์น (2013). "ลูกบอลกระดอนในแบบสโลว์โมชั่น: ลูกบอลยาง" . YouTube .

เมื่อลูกบอลกระทบกับพื้นผิว พื้นผิวจะหดตัวและสั่นสะเทือนเช่นเดียวกับลูกบอล ทำให้เกิดทั้งเสียงและความร้อนและลูกบอลจะสูญเสียพลังงานจลน์นอกจากนี้ การกระทบยังสามารถทำให้ลูกบอลหมุนได้ โดยเปลี่ยนพลังงานจลน์จากการเคลื่อนที่เชิงเส้น บางส่วนไป เป็นพลังงานจลน์จากการหมุน การสูญเสียพลังงานนี้มักจะถูกอธิบาย (โดยอ้อม) ผ่านสัมประสิทธิ์การคืนตัว (หรือ COR ซึ่งแทนด้วยe ): ^{[ 23 ] [หมายเหตุ 1 ]}

${\displaystyle e=-{\frac {v_{\text{f}}-u_{\text{f}}}{v_{\text{i}}-u_{\text{i}}}},}$

โดยที่v _fและv _iคือความเร็วสุดท้ายและความเร็วเริ่มต้นของลูกบอล และu _fและu _iคือความเร็วสุดท้ายและความเร็วเริ่มต้นของพื้นผิวที่กระทบ ตามลำดับ ในกรณีเฉพาะที่ลูกบอลกระทบกับพื้นผิวที่ไม่สามารถเคลื่อนที่ได้ ค่า COR จะลดรูปเหลือเพียง

${\displaystyle e=-{\frac {v_{\text{f}}}{v_{\text{i}}}}.}$

สำหรับลูกบอลที่ปล่อยลงบนพื้น ค่าสัมประสิทธิ์การคืนตัว (COR) จะแปรผันระหว่าง 0 (ไม่เด้ง พลังงานสูญเสียทั้งหมด) และ 1 (เด้งได้อย่างสมบูรณ์ พลังงานไม่สูญเสีย) ค่า COR ที่ต่ำกว่า 0 หรือสูงกว่า 1 นั้นเป็นไปได้ในทางทฤษฎี แต่จะบ่งชี้ว่าลูกบอลทะลุผ่านพื้นผิว ( e < 0 ) หรือพื้นผิวไม่ได้ "ผ่อนคลาย" เมื่อลูกบอลกระทบ ( e > 1 ) เช่นในกรณีที่ลูกบอลตกลงบนแท่นที่มีสปริง

เพื่อวิเคราะห์ส่วนประกอบแนวตั้งและแนวนอนของการเคลื่อนที่ บางครั้ง COR จะถูกแบ่งออกเป็น COR ปกติ ( e _y ) และCOR สัมผัส ( e _x ) ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้^{[ 24 ]}

${\displaystyle e_{\text{y}}=-{\frac {v_{\text{yf}}-u_{\text{yf}}}{v_{\text{yi}}-u_{\text{yi}}}},}$

${\displaystyle e_{\text{x}}=-{\frac {(v_{\text{xf}}-r\omega _{\text{f}})-(u_{\text{xf}}-R\Omega _{\text{f}})}{(v_{\text{xi}}-r\omega _{\text{i}})-(u_{\text{xi}}-R\Omega _{\text{i}})}},}$

โดยที่rและωแทนรัศมีและความเร็วเชิงมุมของลูกบอล ในขณะที่RและΩแทนรัศมีและความเร็วเชิงมุมของพื้นผิวที่กระทบ (เช่น ไม้เบสบอล) โดยเฉพาะอย่างยิ่งrωคือความเร็วสัมผัสของพื้นผิวลูกบอล ในขณะที่RΩคือความเร็วสัมผัสของพื้นผิวที่กระทบ สิ่งเหล่านี้มีความสำคัญเป็นพิเศษเมื่อลูกบอลกระทบพื้นผิวในมุมเฉียงหรือเมื่อ มี การหมุนเข้ามาเกี่ยวข้อง

สำหรับการตกตรงๆ บนพื้นโดยไม่มีการหมุน โดยมีเพียงแรงโน้มถ่วงกระทำต่อลูกบอล ค่า COR สามารถสัมพันธ์กับปริมาณอื่นๆ ได้ดังนี้: ^{[ 22 ] [ 25 ]}

${\displaystyle e=\left|{\frac {v_{\text{f}}}{v_{\text{i}}}}\right|={\sqrt {\frac {K_{\text{f}}}{K_{\text{i}}}}}={\sqrt {\frac {U_{\text{f}}}{U_{\text{i}}}}}={\sqrt {\frac {H_{\text{f}}}{H_{\text{i}}}}}={\frac {T_{\text{f}}}{T_{\text{i}}}}={\sqrt {\frac {gT_{\text{f}}^{2}}{8H_{\text{i}}}}}.}$

ในที่นี้KและUแทนพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ของลูกบอลHคือความสูงสูงสุดของลูกบอล และTคือเวลาที่ลูกบอลลอยอยู่ในอากาศ ตัวอักษร 'i' และ 'f' ที่อยู่ด้านล่างหมายถึงสถานะเริ่มต้น (ก่อนการชน) และสถานะสุดท้าย (หลังการชน) ของลูกบอล ในทำนองเดียวกัน การสูญเสียพลังงานเมื่อชนสามารถสัมพันธ์กับค่าสัมประสิทธิ์การคืนตัว (COR) ได้โดย

${\displaystyle {\text{Energy Loss}}={\frac {{K_{\text{i}}}-{K_{\text{f}}}}{K_{\text{i}}}}\times 100\%=\left(1-e^{2}\right)\times 100\%.}$

ค่าสัมประสิทธิ์การคืนตัว (COR) ของลูกบอลสามารถได้รับผลกระทบจากหลายสิ่งหลายอย่าง โดยหลักๆ แล้วคือ...

• ลักษณะของพื้นผิวที่กระทบ (เช่น หญ้า คอนกรีต ตาข่ายลวด) ^{[ 25 ] [ 26 ]}
• วัสดุของลูกบอล (เช่น หนัง ยาง พลาสติก) ^{[ 22 ]}
• ความดันภายในลูกบอล (ถ้ากลวง) ^{[ 22 ]}
• ปริมาณการหมุนที่เกิดขึ้นในลูกบอลเมื่อกระทบ^{[ 27 ]}
• ความเร็วการกระทบ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 26 ] [ 28 ]}

สภาวะภายนอก เช่นอุณหภูมิสามารถเปลี่ยนแปลงคุณสมบัติของพื้นผิวที่กระทบหรือของลูกบอล ทำให้มีความยืดหยุ่นมากขึ้นหรือแข็งขึ้น ซึ่งจะส่งผลต่อค่า COR ^{[ 22 ]}โดยทั่วไป ลูกบอลจะเสียรูปมากขึ้นที่ความเร็วในการกระทบที่สูงขึ้น และจะสูญเสียพลังงานมากขึ้นตามไปด้วย ทำให้ค่า COR ลดลง^{[ 22 ] [ 28 ]}

วิดีโอภายนอก
BiomechanicsMMU (2008). "การกระทบลูกกอล์ฟ - วิดีโอสโลว์โมชั่น" . YouTube .

เมื่อลูกบอลกระทบพื้นพลังงานจลน์เชิงเส้น บางส่วน สามารถเปลี่ยนเป็นพลังงานจลน์เชิงหมุนและในทางกลับกัน ขึ้นอยู่กับมุมการกระทบและความเร็วเชิงมุมของลูกบอล หากลูกบอลเคลื่อนที่ในแนวนอนขณะกระทบ แรงเสียดทานจะมีส่วนประกอบ "เชิงเส้น" ในทิศทางตรงกันข้ามกับการเคลื่อนที่ของลูกบอล ในภาพ ลูกบอลกำลังเคลื่อนที่ไปทางขวาดังนั้นแรงเสียดทานเชิงเส้นจะผลักลูกบอลไปทางซ้ายนอกจากนี้ หากลูกบอลกำลังหมุนขณะกระทบ แรงเสียดทานจะมีส่วนประกอบ "เชิงหมุน" ในทิศทางตรงกันข้ามกับการหมุนของลูกบอล ในภาพ ลูกบอลกำลังหมุนตามเข็มนาฬิกา และจุดที่กระทบพื้นกำลังเคลื่อนที่ไปทางซ้าย เมื่อเทียบกับ จุดศูนย์กลางมวลของลูกบอลดังนั้นแรงเสียดทานเชิงหมุนจึงผลักลูกบอลไปทางขวาซึ่งแตกต่างจากแรงปฏิกิริยาตั้งฉากและแรงโน้มถ่วง แรงเสียดทานเหล่านี้จะออกแรงบิดต่อลูกบอลและเปลี่ยนความเร็วเชิงมุม ( ω ) ของลูกบอล ^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]}

อาจเกิดสถานการณ์ได้ 3 สถานการณ์: ^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}

• ถ้าลูกบอลถูกผลักไปข้างหน้าพร้อมกับการหมุนย้อนกลับแรงเสียดทานจากการเคลื่อนที่และแรงเสียดทานจากการหมุนจะกระทำไปในทิศทางเดียวกัน ความเร็วเชิงมุมของลูกบอลจะลดลงหลังจากการกระทบ เช่นเดียวกับความเร็วในแนวนอน และลูกบอลจะถูกผลักขึ้นไปด้านบนอาจสูงกว่าความสูงเดิมด้วยซ้ำ นอกจากนี้ ลูกบอลอาจเริ่มหมุนในทิศทางตรงกันข้าม และอาจกระดอนกลับได้ด้วย
• ถ้าลูกบอลถูกผลักไปข้างหน้าด้วยท็อปสปินแรงเสียดทานในแนวราบและแรงเสียดทานในแนวหมุนจะกระทำในทิศทางตรงกันข้าม สิ่งที่จะเกิดขึ้นนั้นขึ้นอยู่กับว่าส่วนประกอบใดมีอิทธิพลมากกว่า
  • ถ้าลูกบอลหมุนเร็วกว่าตอนเคลื่อนที่มาก แรงเสียดทานจากการหมุนจะมีอิทธิพลมากกว่า ความเร็วเชิงมุมของลูกบอลจะลดลงหลังจากการชน แต่ความเร็วในแนวนอนจะเพิ่มขึ้น ลูกบอลจะถูกผลักไปข้างหน้าแต่จะไม่เกินความสูงเดิม และจะยังคงหมุนไปในทิศทางเดิม
  • ถ้าลูกบอลเคลื่อนที่เร็วกว่าการหมุนมาก แรงเสียดทานเชิงการเคลื่อนที่ก็จะมีความสำคัญมากกว่า ความเร็วเชิงมุมของลูกบอลจะเพิ่มขึ้นหลังจากการชน แต่ความเร็วในแนวนอนจะลดลง ลูกบอลจะไม่สูงเกินความสูงเดิมและจะยังคงหมุนไปในทิศทางเดิม

ถ้าพื้นผิวเอียงไปเป็นมุมθแผนภาพทั้งหมดจะหมุนไปเป็นมุมθแต่แรงโน้มถ่วงจะยังคงชี้ลงด้านล่าง (ทำมุมθกับพื้นผิว) จากนั้นแรงโน้มถ่วงจะมีส่วนประกอบที่ขนานกับพื้นผิว ซึ่งจะส่งผลต่อแรงเสียดทาน และส่งผลต่อการหมุนด้วย^{[ 32 ]}

ในกีฬาแร็กเก็ตเช่นเทเบิลเทนนิสหรือแร็กเก็ตบอลผู้เล่นที่มีทักษะจะใช้การหมุน (รวมถึงการหมุนด้านข้าง ) เพื่อเปลี่ยนทิศทางของลูกบอลอย่างฉับพลันเมื่อกระทบกับพื้นผิว เช่น พื้นหรือ แร็กเก็ตของคู่ต่อสู้ ในทำนอง เดียวกัน ในกีฬาคริกเก็ตมีวิธีการขว้างลูกหมุน หลายแบบ ที่สามารถทำให้ลูกบอลเบี่ยงเบนออกจากสนาม ได้ อย่างมาก

โดยทั่วไปแล้ว การกระดอนของลูกบอลรูปทรงวงรี (เช่น ลูกบอลที่ใช้ในอเมริกันฟุตบอลหรือรักบี้ฟุตบอล ) นั้นคาดเดาได้ยากกว่าการกระดอนของลูกบอลทรงกลมมาก ขึ้นอยู่กับการวางตัวของลูกบอลขณะกระทบแรงปฏิกิริยาปกติอาจกระทำไปข้างหน้าหรือข้างหลังจุดศูนย์กลางมวลของลูกบอล และแรงเสียดทานจากพื้นจะขึ้นอยู่กับการวางตัวของลูกบอล รวมถึงการหมุน การปั่น และความเร็วในการกระทบด้วย ตำแหน่งที่แรงกระทำต่อจุดศูนย์กลางมวลของลูกบอลจะเปลี่ยนแปลงไปเมื่อลูกบอลกลิ้งบนพื้น และแรงทั้งหมดสามารถส่งแรงบิดไปยังลูกบอลได้ รวมถึงแรงปฏิกิริยาปกติและแรงโน้มถ่วง ซึ่งอาจทำให้ลูกบอลกระดอนไปข้างหน้า กระดอนกลับ หรือกระดอนไปด้านข้าง เนื่องจากเป็นไปได้ที่จะถ่ายโอนพลังงานจลน์จากการหมุนบางส่วนไปเป็นพลังงานจลน์จากการเคลื่อนที่ จึงเป็นไปได้ที่ค่า COR จะมากกว่า 1 หรือความเร็วไปข้างหน้าของลูกบอลจะเพิ่มขึ้นเมื่อกระทบ^{[ 35 ]}

วิดีโอภายนอก
Physics Girl (2015). "การปล่อยลูกบอลซ้อนกัน" . YouTube .

การสาธิตที่เป็นที่นิยมอย่างหนึ่งเกี่ยวข้องกับการกระเด้งของลูกบอลหลายลูกที่วางซ้อนกัน หากลูกเทนนิสวางซ้อนอยู่บนลูกบาสเก็ตบอล และปล่อยทั้งสองลูกพร้อมกัน ลูกเทนนิสจะกระเด้งสูงกว่าที่ควรจะเป็นหากปล่อยเพียงลูกเดียว แม้กระทั่งสูงกว่าความสูงเดิมที่ปล่อย^{[ 36 ] [ 37 ]}ผลลัพธ์นี้น่าประหลาดใจเพราะเห็นได้ชัดว่าขัดกับการอนุรักษ์พลังงาน^{[ 38 ]}อย่างไรก็ตาม เมื่อพิจารณาอย่างละเอียด ลูกบาสเก็ตบอลจะไม่กระเด้งสูงเท่าที่ควรจะเป็นหากไม่มีลูกเทนนิสอยู่ด้านบน และได้ถ่ายโอนพลังงานบางส่วนไปยังลูกเทนนิส ทำให้ลูกเทนนิสกระเด้งขึ้นไปได้สูงกว่า^{[ 36 ]}

คำอธิบายทั่วไปเกี่ยวข้องกับการพิจารณาผลกระทบสองอย่างแยกกัน: ลูกบาสเก็ตบอลกระทบกับพื้น และจากนั้นลูกบาสเก็ตบอลกระทบกับลูกเทนนิส^{[ 36 ] [ 37 ]} สมมติว่าเป็นการ ชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ลูกบาสเก็ตบอลที่กระทบพื้นด้วยความเร็ว 1 ม./วินาที จะกระดอนด้วยความเร็ว 1 ม./วินาที ลูกเทนนิสที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 1 ม./วินาที จะมีความเร็วในการกระทบสัมพัทธ์ที่ 2 ม./วินาที ซึ่งหมายความว่ามันจะกระดอนด้วยความเร็ว 2 ม./วินาที เมื่อเทียบกับลูกบาสเก็ตบอล หรือ 3 ม./วินาที เมื่อเทียบกับพื้น และ ความเร็วในการกระดอนจะเพิ่มขึ้น เป็นสามเท่าเมื่อเทียบกับการกระทบพื้นโดยลำพัง ซึ่งหมายความว่าลูกบอลจะกระดอนขึ้นไปสูงถึง9 เท่าของความสูงเดิม^{[หมายเหตุ 2 ]} ในความเป็นจริง เนื่องจากการชนแบบไม่ยืดหยุ่นลูกเทนนิสจะเพิ่มความเร็วและความสูงของการกระดอนด้วยปัจจัยที่น้อยกว่า แต่ก็ยังคงกระดอนได้เร็วและสูงกว่าที่มันจะทำได้โดยลำพัง^{[ 37 ]}

แม้ว่าสมมติฐานของการกระทบแยกกันจะไม่ถูกต้อง (ลูกบอลยังคงสัมผัสกันอย่างใกล้ชิดในช่วงเวลาส่วนใหญ่ของการกระทบ) แต่แบบจำลองนี้ก็ยังคงสามารถจำลองผลการทดลองได้ด้วยความสอดคล้องที่ดี^{[ 37 ]}และมักใช้เพื่อทำความเข้าใจปรากฏการณ์ที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น การยุบตัว ^ของแกนกลางของซูเปอร์โนวา [ ^{36 ]}หรือ การ เคลื่อนที่แบบสลิงช็อตด้วยแรงโน้มถ่วง^{[ 39 ]}

องค์กรกำกับดูแลกีฬาหลายแห่งได้กำหนดข้อบังคับเกี่ยวกับความเด้งของลูกบอลด้วยวิธีการต่างๆ ทั้งทางตรงและทางอ้อม

• AFL : ควบคุมแรงดันเกจของลูกฟุตบอลให้อยู่ระหว่าง62 กิโลปาสคาล และ76 kPa . ^{[ 40 ]}
• FIBA : ควบคุมแรงดันเกจเพื่อให้ลูกบาสเก็ตบอลกระดอนระหว่าง 1035 มม. และ 1085 มม. (ด้านล่างของลูกบอล) เมื่อปล่อยจากความสูง 1800 มม. (ด้านล่างของลูกบอล) ^{[ 41 ]}ซึ่งสอดคล้องกับค่า COR ระหว่าง 0.758 และ 0.776 ^{[หมายเหตุ 3 ]}
• ฟีฟ่า : กำหนดให้แรงดันเกจของลูกฟุตบอลอยู่ระหว่าง...0.6  บรรยากาศและ1.1 atmที่ระดับน้ำทะเล (61 ถึง 111  kPa ) ^{[ 42 ]}
• FIVB : ควบคุมแรงดันเกจของลูกวอลเลย์บอลให้อยู่ระหว่าง...0.30  กก. _F /ซม. ^²ถึง0.325 กก. _F /ซม. ^² (29.4 ถึง 31.9 กิโลปาสคาล) สำหรับวอลเลย์บอลในร่มและ0.175  กก. _F /ซม. ^²ถึง0.225 กก. _F /cm ² (17.2 ถึง 22.1 kPa) สำหรับวอลเลย์บอลชายหาด^{[ 43 ] [ 44 ]}
• ITF : กำหนดความสูงของ การกระดอน ของลูกเทนนิสเมื่อปล่อยลงบน "บล็อกเรียบ แข็ง และแนวนอนที่มีมวลมาก" อนุญาตให้ใช้ลูกบอลประเภทต่างๆ สำหรับพื้นผิวประเภทต่างๆ เมื่อปล่อยจากความสูง 100 นิ้ว (254 ซม.) การกระดอนต้องอยู่ที่ 54–60 นิ้ว (137–152 ซม.) สำหรับลูกบอลประเภทที่ 1, 53–58 นิ้ว (135–147 ซม.) สำหรับลูกบอลประเภทที่ 2 และประเภทที่ 3 และ 48–53 นิ้ว (122–135 ซม.) สำหรับลูกบอลที่ระดับความสูง^{[ 45 ]}ซึ่งโดยประมาณแล้วจะสอดคล้องกับค่า COR ที่ 0.735–0.775 (ลูกบอลประเภทที่ 1), 0.728–0.762 (ลูกบอลประเภทที่ 2 และ 3) และ 0.693–0.728 (ลูกบอลที่ระดับความสูง) เมื่อปล่อยลงบนพื้นผิวทดสอบ^{[หมายเหตุ 3 ]}
• ITTF : กำหนดข้อบังคับเกี่ยวกับพื้นผิวการเล่นเพื่อให้ลูกปิงปองกระดอนขึ้นประมาณ 23 ซม. เมื่อปล่อยจากความสูง 30 ซม. ^{[ 46 ]}ซึ่งโดยประมาณแล้วจะสอดคล้องกับค่า COR ประมาณ 0.876 เมื่อเทียบกับพื้นผิวการเล่น^{[หมายเหตุ 3 ]}
• NBA : ควบคุมแรงดันเกจของลูกบาสเก็ตบอลให้อยู่ระหว่าง 7.5 ถึง 8.5  psi (51.7 ถึง 58.6 kPa) ^{[ 47 ]}
• NFL : ควบคุมแรงดันเกจของลูกอเมริกันฟุตบอลให้อยู่ระหว่าง 12.5 ถึง 13.5 psi (86 ถึง 93 kPa) ^{[ 48 ]}
• R&A / USGA : จำกัดค่า COR ของลูกกอล์ฟโดยตรง ซึ่งไม่ควรเกิน 0.83 เมื่อเทียบกับ^ไม้กอล์ฟ [ ^{49 ]}

แรงกดดันของลูกอเมริกันฟุตบอลเป็นประเด็นสำคัญของข้อโต้แย้งเรื่องการลดแรงดันลม^{[ 50 ] [ 51 ]}กีฬาบางประเภทไม่ได้ควบคุมคุณสมบัติการกระดอนของลูกบอลโดยตรง แต่กำหนดวิธีการผลิตแทน ในเบสบอลการนำลูกบอลที่ทำจากไม้ก๊อกมาใช้ช่วยยุติยุคลูกบอลตายและเริ่มต้นยุคลูกบอลมีชีวิต^{[ 52 ] [ 53 ]}

• ลูกบอลเด้ง
• รายชื่อเกมกีฬา
• ลูกบอลเด้งควอนตัม

• Briggs, LJ (1945). "วิธีการวัดค่าสัมประสิทธิ์การคืนตัวและการหมุนของลูกบอล"วารสารวิจัยของสำนักงานมาตรฐานแห่งชาติ 34 ( 1): 1– 23. doi : 10.6028/jres.034.001 .
• ครอส, อาร์. (2011). ฟิสิกส์ของเบสบอลและซอฟต์บอล . สปริงเกอร์ . ISBN 978-1-4419-8112-7.
• ครอสส์, อาร์. (มิถุนายน 2014). "ฟิสิกส์ของการกระเด้ง" . มหาวิทยาลัยซิดนีย์ .
• Cross, R. (2015). "พฤติกรรมของลูกบอลที่กระดอน" . Physics Education . 50 (3): 335– 341. Bibcode : 2015PhyEd..50..335C . doi : 10.1088/0031-9120/50/3/335 . S2CID  122366736 .
• สตรอง, ดับเบิลยูเจ (2004). กลศาสตร์การกระแทก . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-60289-1.
• Erlichson, Herman (1983). "ระยะยิงสูงสุดของวัตถุที่มีแรงต้านและแรงยก โดยเฉพาะอย่างยิ่งการประยุกต์ใช้กับกีฬากอล์ฟ" American Journal of Physics . 51 (4): 357– 362. Bibcode : 1983AmJPh..51..357E . doi : 10.1119/1.13248 .