ในวิชาฟิสิกส์กฎของฮุกเป็นกฎเชิงประจักษ์ที่ระบุว่าแรง ( F ) ที่จำเป็นในการยืดหรือหดสปริงเป็นระยะทาง ( x ) จะแปรผันเชิงเส้นกับระยะทางนั้น กล่าวคือF _{_s} = kxโดยที่kเป็นค่าคงที่เฉพาะของสปริง (เช่นความแข็ง ของสปริง ) และx มีค่าน้อยเมื่อเทียบกับการเสียรูปทั้งหมดที่เป็นไป ได้ของสปริง

กฎนี้ตั้งชื่อตามโรเบิร์ต ฮุก นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษในศตวรรษที่ 17 เขาได้กล่าวถึงกฎนี้เป็นครั้งแรกในปี 1676 ในรูปแบบคำสลับอักษรภาษาละติน[ 1 ^{] [ 2 ]เขาได้}ตีพิมพ์คำตอบของคำสลับอักษรของเขาในปี 1678 ^{[ 3 ]}ว่าut tensio, sic vis ("การยืดตัวเป็นสัดส่วนกับแรง" หรือ "การยืดตัวเป็นสัดส่วนกับแรง") ฮุกกล่าวในงานปี 1678 ว่าเขารู้จักกฎนี้มาตั้งแต่ปี 1660 แล้ว กฎนี้เป็นหลักการพื้นฐานที่อยู่เบื้องหลังเครื่องชั่งสปริงมาโนมิเตอร์กัลวาโนมิเตอร์และล้อสมดุลของนาฬิกา เชิงกล

สมการนี้ใช้ได้ในหลายสถานการณ์ที่วัตถุที่มีความยืดหยุ่น ถูก ทำให้เสียรูป วัตถุหรือวัสดุที่มีความยืดหยุ่นซึ่งสามารถสมมติให้สมการนี้ใช้ได้ เรียกว่าวัสดุที่มีความยืดหยุ่นเชิงเส้นหรือวัสดุแบบฮุค (Hookean ) กฎของฮุคเป็นการประมาณเชิงเส้นอันดับแรกของปฏิกิริยาที่แท้จริงของสปริงและวัตถุที่มีความยืดหยุ่นอื่นๆ ต่อแรงที่กระทำ กฎนี้จะใช้ไม่ได้เมื่อแรงเกินขีดจำกัดบางอย่าง เนื่องจากไม่มีวัสดุใดสามารถถูกบีบอัดเกินขนาดขั้นต่ำที่กำหนด หรือยืดออกเกินขนาดสูงสุดได้โดยปราศจากการเสียรูปถาวรหรือการเปลี่ยนแปลงสถานะ วัสดุหลายชนิดจะเบี่ยงเบนจากกฎของฮุคอย่างเห็นได้ชัดก่อนที่จะถึง ขีดจำกัดความยืดหยุ่น เหล่านั้น

ทฤษฎีความยืดหยุ่นสมัยใหม่ได้ขยายกฎของฮุคโดยกล่าวว่าความเครียด (การเสียรูป) ของวัตถุหรือวัสดุที่มีความยืดหยุ่นนั้นเป็นสัดส่วนกับความเค้นที่กระทำต่อมัน อย่างไรก็ตาม เนื่องจากความเค้นและความเครียดโดยทั่วไปอาจมีส่วนประกอบอิสระหลายส่วน ดังนั้น "ปัจจัยสัดส่วน" อาจไม่ใช่เพียงแค่จำนวนจริงตัวเดียวอีกต่อไป แต่เป็นแผนที่เชิงเส้น ( เทนเซอร์ ) ที่สามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์ของจำนวนจริง

โดยทั่วไปแล้ว กฎของฮุคทำให้สามารถอนุมานความสัมพันธ์ระหว่างความเครียดและความเค้นสำหรับวัตถุที่ซับซ้อนได้ โดยพิจารณาจากคุณสมบัติพื้นฐานของวัสดุที่ใช้ทำวัตถุนั้น ตัวอย่างเช่น เราสามารถอนุมานได้ว่า แท่ง เนื้อเดียวกัน ที่มี หน้าตัดสม่ำเสมอจะประพฤติตัวเหมือนสปริงอย่างง่ายเมื่อถูกยืดออก โดยมีค่าความแข็งkแปรผันตรงกับพื้นที่หน้าตัดและแปรผันผกผันกับความยาว

พิจารณา สปริง เกลียว อย่างง่าย ที่มีปลายด้านหนึ่งติดอยู่กับวัตถุคงที่ ในขณะที่ปลายอิสระถูกดึงด้วยแรงที่มีขนาดเท่ากับFsสมมติว่าสปริงอยู่ในสภาวะสมดุลซึ่งความยาวของมันไม่เปลี่ยนแปลงอีกต่อไป ให้xเป็นปริมาณที่ปลายอิสระของสปริงเคลื่อนที่ออกจากตำแหน่ง "ผ่อนคลาย" (เมื่อไม่ได้ถูกยืด) กฎของฮุคกล่าวว่า_หรือเทียบเท่ากับ โดยที่kเป็นจำนวนจริงบวก ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของสปริง สปริงที่มีช่องว่างระหว่างขดลวดสามารถถูกบีบอัดได้ และสูตรเดียวกันนี้ใช้ได้กับการบีบอัด โดยที่_Fsและ x เป็นค่าลบทั้งคู่ในกรณีนั้น^{[ 4 ]}$${\displaystyle F_{s}=kx}$$$${\displaystyle x={\frac {F_{s}}{k}}}$$

จากสูตรนี้กราฟ ของแรงที่กระทำFsเมื่อเทียบกับการกระจัดxจะเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด_โดยมีความชันเท่ากับk

กฎของฮุคสำหรับสปริงยังระบุไว้ภายใต้ข้อตกลงที่ว่าF _{_s}คือแรงคืนตัวที่สปริงกระทำต่อสิ่งที่ดึงปลายอิสระของมัน ในกรณีนั้น สมการจะกลายเป็นเนื่องจากทิศทางของแรงคืนตัวนั้นตรงข้ามกับทิศทางของการกระจัด $${\displaystyle F_{s}=-kx}$$

กฎของฮุคในรูปแบบการบิดนั้นใช้ได้กับสปริงบิดโดยระบุว่าแรงบิด (τ) ที่จำเป็นในการหมุนวัตถุเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการกระจัดเชิงมุม (θ) จากตำแหน่งสมดุล มันอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างแรงบิดที่กระทำต่อวัตถุและการเปลี่ยนรูป เชิงมุมที่เกิดขึ้น เนื่องจากการบิด ในทางคณิตศาสตร์ สามารถแสดงได้ดังนี้:

${\displaystyle \tau =-k\theta }$

ที่ไหน:

• τ คือแรงบิดที่วัดในหน่วยนิวตันเมตร หรือ N·m
• k คือค่าคงที่การบิด (วัดเป็น N·m/เรเดียน) ซึ่งบ่งบอกถึงความแข็งของสปริงบิดหรือความต้านทานต่อการเคลื่อนที่เชิงมุม
• θ คือการกระจัดเชิงมุม (วัดเป็นเรเดียน) จากตำแหน่งสมดุล

เช่นเดียวกับในกรณีเชิงเส้น กฎนี้แสดงให้เห็นว่าแรงบิดเป็นสัดส่วนกับระยะการกระจัดเชิงมุม และเครื่องหมายลบแสดงว่าแรงบิดกระทำในทิศทางตรงกันข้ามกับระยะการกระจัดเชิงมุม ซึ่งเป็นแรงดึงกลับเพื่อนำระบบกลับสู่สมดุล

กฎสปริงของฮุคโดยทั่วไปใช้ได้กับวัตถุที่มีความยืดหยุ่นใดๆ ก็ตาม ไม่ว่าจะมีความซับซ้อนมากน้อยเพียงใด ตราบใดที่ทั้งการเสียรูปและความเค้นสามารถแสดงได้ด้วยตัวเลขเพียงตัวเดียว ซึ่งอาจเป็นได้ทั้งค่าบวกและค่าลบ

ตัวอย่างเช่น เมื่อบล็อกยางที่ติดอยู่กับแผ่นขนานสองแผ่นถูกทำให้เสียรูปโดยการเฉือนแทนที่จะเป็นการยืดหรือการบีบอัด แรงเฉือนFs และการเคลื่อนที่ด้านข้าง ของแผ่น_xจะเป็นไปตามกฎของฮุค (สำหรับการเสียรูปที่เล็กพอ)

กฎของฮุคยังใช้ได้เมื่อแท่งเหล็กหรือคานคอนกรีตตรง (เช่นเดียวกับที่ใช้ในอาคาร) ซึ่งรองรับที่ปลายทั้งสองข้าง ถูกดัดงอด้วยน้ำหนักFที่วางไว้ ณ จุดกึ่งกลาง การกระจัดxในกรณีนี้คือการเบี่ยงเบนของคาน ซึ่งวัดในทิศทางตามขวาง เทียบกับรูปทรงก่อนรับน้ำหนัก

ในกรณีของสปริงเกลียวที่ถูกยืดหรือบีบอัดตามแกน ของมัน แรงที่กระทำ (หรือแรงคืนตัว) และการยืดหรือการบีบอัดที่เกิดขึ้นจะมีทิศทางเดียวกัน (ซึ่งเป็นทิศทางของแกนดังกล่าว) ดังนั้น หาก กำหนดให้ F _{_s}และxเป็นเวกเตอร์สมการของฮุคก็ยังคงใช้ได้และกล่าวว่าเวกเตอร์ของแรงคือเวกเตอร์ของการยืดคูณด้วยค่าสเกลาร์ คง ที่

วัตถุที่มีความยืดหยุ่นบางชนิดจะเปลี่ยนรูปไปในทิศทางหนึ่งเมื่อถูกแรงที่มีทิศทางต่างกันกระทำ ตัวอย่างเช่น คานไม้แนวนอนที่มีหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ไม่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งถูกแรงกระทำในแนวตั้งหรือแนวนอนทำให้โค้งงอ ในกรณีเช่นนี้ขนาดของการกระจัดxจะเป็นสัดส่วนกับขนาดของแรงF_{_s} ตราบใดที่ทิศทางของแรงยังคงเหมือนเดิม (และค่าของมันไม่มากเกินไป) ดังนั้นกฎของฮุคในรูปแบบสเกลาร์F _{_s} = −kx จึง ใช้ได้ อย่างไรก็ตามเวกเตอร์ ของแรงและการกระจัด จะไม่เป็นผลคูณเชิงสเกลาร์ของกันและกัน เนื่องจากมีทิศทางต่างกัน ยิ่งไปกว่านั้น อัตราส่วนkระหว่างขนาดของทั้งสองจะขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์F_{_s}ด้วย

อย่างไรก็ตาม ในกรณีเช่นนี้ มักจะมีความสัมพันธ์เชิงเส้น คงที่ ระหว่างเวกเตอร์แรงและเวกเตอร์การเปลี่ยนรูป ตราบใดที่เวกเตอร์เหล่านั้นมีขนาดเล็กพอ กล่าวคือ มีฟังก์ชันκจากเวกเตอร์หนึ่งไปยังอีกเวกเตอร์หนึ่ง โดยที่F = κ ( X )และκ ( α X ₁ + β X ₂ ) = α κ ( X ₁ ) + β κ ( X ₂ )สำหรับจำนวนจริงใดๆα , βและเวกเตอร์การกระจัดใดๆX ₁ , X ₂ ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่า เท นเซอร์ (อันดับสอง)

เมื่อเทียบกับระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ใดๆ เวกเตอร์แรงและเวกเตอร์การกระจัดสามารถแทนด้วยเมทริกซ์ขนาด 3 × 1 ที่ประกอบด้วยจำนวนจริง จากนั้นเทนเซอร์κที่เชื่อมโยงเวกเตอร์ทั้งสองสามารถแทนด้วยเมทริกซ์ขนาด 3 × 3 κที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนจริง ซึ่งเมื่อคูณด้วยเวกเตอร์การกระจัดแล้วจะได้เวกเตอร์แรง:

$${\displaystyle \mathbf {F} \,=\,{\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\kappa _{11}&\kappa _{12}&\kappa _{13}\\\kappa _{21}&\kappa _{22}&\kappa _{23}\\\kappa _{31}&\kappa _{32}&\kappa _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\boldsymbol {\kappa }}\mathbf {X} }$$

นั่นคือสำหรับi = 1, 2, 3ดังนั้น กฎของฮุคF = κ Xจึงกล่าวได้ว่ายังคงใช้ได้เมื่อXและFเป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางแปรผันได้ ยกเว้นว่าความแข็งของวัตถุเป็นเทนเซอร์κแทนที่จะเป็นจำนวนจริงkเพียง ตัวเดียว$${\displaystyle F_{i}=\kappa _{i1}X_{1}+\kappa _{i2}X_{2}+\kappa _{i3}X_{3}}$$

ความเค้นและความเครียดของวัสดุภายใน วัสดุยืดหยุ่น ต่อเนื่อง (เช่น บล็อกยาง ผนังหม้อไอน้ำหรือแท่งเหล็ก) เชื่อมโยงกันด้วยความสัมพันธ์เชิงเส้นที่คล้ายคลึงกันทางคณิตศาสตร์กับกฎสปริงของฮุก และมักถูกเรียกด้วยชื่อนั้น

อย่างไรก็ตาม สภาวะความเครียดในตัวกลางของแข็งรอบจุดใดจุดหนึ่งนั้นไม่สามารถอธิบายได้ด้วยเวกเตอร์เพียงตัวเดียว มวลวัสดุเดียวกัน ไม่ว่าจะเล็กแค่ไหน ก็สามารถถูกบีบอัด ยืด และเฉือนได้ในเวลาเดียวกัน ในทิศทางที่แตกต่างกัน ในทำนองเดียวกัน ความเครียดในมวลวัสดุนั้นก็สามารถผลัก ดึง และเฉือนได้ในเวลาเดียวกัน

เพื่อให้สามารถอธิบายความซับซ้อนนี้ได้ สถานะที่เกี่ยวข้องของตัวกลางรอบจุดหนึ่งจะต้องถูกแทนด้วยเทนเซอร์อันดับสองสองตัว คือ เทนเซอร์ความเครียดε (แทนการกระจัดX ) และเทนเซอร์ความเค้นσ (แทนแรงคืนตัวF ) กฎสปริงของฮุคสำหรับตัวกลางต่อเนื่องจึงมีลักษณะดังนี้ โดยที่cคือเทนเซอร์อันดับสี่ (นั่นคือ แผนที่เชิงเส้นระหว่างเทนเซอร์อันดับสอง) ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าเทนเซอร์ความแข็งหรือเทนเซอร์ความยืดหยุ่นอาจเขียนได้อีกแบบว่า โดยที่เทนเซอร์sซึ่งเรียกว่าเทนเซอร์ความสอดคล้องแทนค่าผกผันของแผนที่เชิงเส้นดังกล่าว $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {c} {\boldsymbol {\varepsilon }},}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mathbf {s} {\boldsymbol {\sigma }},}$$

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เทนเซอร์ความเค้นและความเครียดสามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์ขนาด 3 × 3

$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\varepsilon }}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,;\qquad {\boldสัญลักษณ์ {\sigma }}\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\ซิกม่า _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$

เนื่องจากเป็นการแมปเชิงเส้นระหว่างจำนวนเก้าตัวσ _ijและจำนวนเก้าตัวε _klเทนเซอร์ความแข็งcจึงแสดงด้วยเมทริกซ์ของจำนวนจริง3 × 3 × 3 × 3 = 81 ตัวc _ijklกฎของฮุคจึงกล่าวว่า โดยที่i , j = 1,2,3 $${\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}c_{ijkl}\varepsilon _{kl}}$$

เทนเซอร์ทั้งสามตัวนี้โดยทั่วไปจะแตกต่างกันไปในแต่ละจุดภายในตัวกลาง และอาจเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาด้วย เทนเซอร์ความเครียดεระบุเพียงการกระจัดของอนุภาคตัวกลางในบริเวณใกล้เคียงกับจุดนั้น ในขณะที่เทนเซอร์ ความเค้น σระบุแรงที่อนุภาคตัวกลางที่อยู่ใกล้เคียงกระทำต่อกัน ดังนั้นจึงไม่ขึ้นอยู่กับองค์ประกอบและสถานะทางกายภาพของวัสดุ ในทางกลับกัน เทนเซอร์ความแข็งcเป็นคุณสมบัติของวัสดุ และมักขึ้นอยู่กับตัวแปรสถานะทางกายภาพ เช่น อุณหภูมิความดันและโครงสร้าง จุลภาค

เนื่องจากสมมาตรโดยธรรมชาติของσ , εและcสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นของ c เพียง 21 ตัวเท่านั้นที่เป็นอิสระ^{[ 6 ]} จำนวนนี้สามารถลดลงได้อีกโดยสมมาตรของวัสดุ: 9 สำหรับ ผลึก ออร์โธรอมบิก 5 สำหรับ โครงสร้าง หกเหลี่ยมและ 3 สำหรับสมมาตรลูกบาศก์^{[ 7 ]}สำหรับ สื่อ ไอโซโทรปิก (ซึ่งมีคุณสมบัติทางกายภาพเหมือนกันในทุกทิศทาง) cสามารถลดลงเหลือเพียงสองตัวเลขที่เป็นอิสระ คือโมดูลัสปริมาตรKและโมดูลัสเฉือนGซึ่งวัดความต้านทานของวัสดุต่อการเปลี่ยนแปลงปริมาตรและการเสียรูปเฉือนตามลำดับ

เนื่องจากกฎของฮุกเป็นความสัมพันธ์แบบสัดส่วนอย่างง่ายระหว่างปริมาณสองอย่าง สูตรและผลลัพธ์ของมันจึงมีความคล้ายคลึงทางคณิตศาสตร์กับกฎทางฟิสิกส์อื่นๆ อีกมากมาย เช่น กฎที่อธิบายการเคลื่อนที่ของของเหลวหรือการโพลาไรเซชันของไดอิเล็กทริกโดย สนามไฟฟ้า

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการเทนเซอร์σ = cεที่เชื่อมโยงความเค้นยืดหยุ่นกับความเครียดนั้นคล้ายคลึงกับสมการτ = με̇ที่เชื่อมโยงเทนเซอร์ความเค้นหนืดτและเทนเซอร์อัตราความเครียดε̇ในการไหลของ ของเหลว หนืดอย่างสิ้นเชิง แม้ว่าสมการแรกจะเกี่ยวข้องกับ ความเค้น สถิต (ที่เกี่ยวข้องกับปริมาณการเสียรูป) ในขณะที่สมการหลังเกี่ยวข้องกับ ความเค้น พลวัต (ที่เกี่ยวข้องกับอัตราการเสียรูป)

ในระบบหน่วย SIการกระจัดจะวัดเป็นเมตร (m) และแรงจะวัดเป็นนิวตัน (N หรือ kg·m/s² ⁾ดังนั้น ค่าคงที่สปริงkและแต่ละองค์ประกอบของเทนเซอร์κจะวัดเป็นนิวตันต่อเมตร (N/m) หรือกิโลกรัมต่อวินาที^² (kg/s² )

สำหรับตัวกลางต่อเนื่อง แต่ละองค์ประกอบของเทนเซอร์ความเค้นσคือแรงหารด้วยพื้นที่ ดังนั้นจึงวัดในหน่วยความดัน ได้แก่ปาสคาล (Pa) หรือ N/m² ^หรือ kg/(m· ^s² ) องค์ประกอบของเทนเซอร์ความเครียดεไม่มีมิติ (การกระจัดหารด้วยระยะทาง) ดังนั้น ค่าในc _ijklจึงแสดงในหน่วยความดันเช่นกัน

วัตถุที่สามารถกลับคืนสู่รูปทรงเดิมได้อย่างรวดเร็วหลังจากถูกแรงกระทำทำให้เสียรูป โดยที่โมเลกุลหรืออะตอมของวัสดุกลับคืนสู่สภาวะสมดุลที่เสถียรในเบื้องต้น มักจะเป็นไปตามกฎของฮุก

กฎของฮุคใช้ได้กับวัสดุบางชนิดภายใต้เงื่อนไขการรับแรงบางอย่างเท่านั้น เหล็กแสดงพฤติกรรมยืดหยุ่นเชิงเส้นในงานวิศวกรรมส่วนใหญ่ กฎของฮุคจึงใช้ได้กับเหล็กตลอดช่วงยืดหยุ่น (กล่าวคือ สำหรับความเค้นที่ต่ำกว่าความแข็งแรงคราก ) สำหรับวัสดุอื่นๆ เช่น อะลูมิเนียม กฎของฮุคใช้ได้เฉพาะบางส่วนของช่วงยืดหยุ่นเท่านั้น สำหรับวัสดุเหล่านี้ จะมีการกำหนดค่า ความเค้นจำกัดตามสัดส่วนซึ่งต่ำกว่าค่านี้ ข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับการประมาณเชิงเส้นจะน้อยมากจนมองข้ามได้

โดยทั่วไปแล้ว ยางถือเป็นวัสดุ "ที่ไม่เป็นไปตามกฎของฮุค" เนื่องจากความยืดหยุ่นของยางขึ้นอยู่กับแรงกดและไวต่ออุณหภูมิและอัตราการรับน้ำหนัก

การขยายกฎของฮุคสำหรับกรณีการเสียรูปขนาดใหญ่ได้มาจากแบบจำลองของของแข็งนีโอ-ฮุคและของแข็งมูนีย์-ริฟลิน

แท่ง วัสดุ ยืดหยุ่น ใดๆ สามารถมองได้ว่าเป็นสปริง เชิงเส้น แท่งนั้นมีความยาวLและพื้นที่หน้าตัดA ความเค้นดึงσของ แท่ง จะแปรผันตรงกับสัดส่วนการยืดหรือความเครียดεโดย มีค่าเท่ากับ โมดูลัสความยืดหยุ่นE : $${\displaystyle \sigma =E\varepsilon .}$$

โดยทั่วไปแล้ว โมดูลัสของความยืดหยุ่นอาจถือว่าคงที่ ในทางกลับกัน (นั่นคือ การเปลี่ยนแปลงความยาวเป็นเศษส่วน) และเนื่องจาก เป็นผลให้: $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\เดลต้า L}{L}}}$$$${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}\,,}$$

$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}={\frac {F}{AE}}\,.}$$

การเปลี่ยนแปลงความยาวสามารถแสดงได้ดังนี้

$${\displaystyle \Delta L=\varepsilon L={\frac {FL}{AE}}\,.}$$

พลังงานศักย์U _el ( x )ที่สะสมอยู่ในสปริงนั้นกำหนดโดยซึ่งได้มาจากการรวมพลังงานที่ใช้ในการบีบอัดสปริงทีละน้อย นั่นคือ อินทิกรัลของแรงหารด้วยระยะการกระจัด เนื่องจากแรงภายนอกมีทิศทางโดยทั่วไปเหมือนกับระยะการกระจัด พลังงานศักย์ของสปริงจึงมีค่าไม่เป็นลบเสมอ เมื่อแทนค่าลงไปจะได้$${\displaystyle U_{\mathrm {el} }(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}}$$${\displaystyle x=F/k}$$${\displaystyle U_{\mathrm {el} }(F)={\frac {F^{2}}{2k}}.}$$

ศักยภาพU _el นี้ สามารถมองเห็นได้ในรูปพาราโบลาบน ระนาบ Uxโดยที่U _el ( x ) = ⁠1/2kx ²เมื่อสปริงถูกยืดออกไปในทิศทางบวกของแกน xพลังงานศักย์จะเพิ่มขึ้นแบบพาราโบลา (เช่นเดียวกับที่เกิดขึ้นเมื่อสปริงถูกบีบอัด) เนื่องจากความเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย์เปลี่ยนแปลงในอัตราคงที่: โปรด สังเกตว่าความเปลี่ยนแปลงของ Uมีค่าคงที่แม้ว่าการกระจัดและความเร่งจะเป็นศูนย์ก็ตาม $${\displaystyle {\frac {d^{2}U_{\mathrm {el} }}{dx^{2}}}=k\,.}$$

ค่าคงที่แรงผ่อนคลาย (ค่าผกผันของค่าคงที่ความสอดคล้อง ทั่วไป ) ถูกกำหนดขึ้นอย่างเฉพาะเจาะจงสำหรับระบบโมเลกุล ซึ่งแตกต่างจากค่าคงที่แรง "แข็ง" ทั่วไป ดังนั้นการใช้ค่าคงที่แรงผ่อนคลายจึงช่วยให้สามารถสร้างความสัมพันธ์ที่มีความหมายระหว่างสนามแรงที่คำนวณสำหรับสารตั้งต้นสถานะการเปลี่ยนผ่านและผลิตภัณฑ์ของปฏิกิริยาเคมีได้ เช่นเดียวกับที่พลังงานศักย์สามารถเขียนได้ในรูปแบบกำลังสองในพิกัดภายใน พลังงานศักย์ก็สามารถเขียนได้ในรูปของแรงทั่วไปเช่นกัน สัมประสิทธิ์ที่ได้เรียกว่าค่าคงที่ความสอดคล้องมีวิธีการโดยตรงในการคำนวณค่าคงที่ความสอดคล้องสำหรับพิกัดภายในใดๆ ของโมเลกุล โดยไม่จำเป็นต้องทำการวิเคราะห์โหมดปกติ^{[ 8 ]}ความเหมาะสมของค่าคงที่แรงผ่อนคลาย (ค่าผกผันของค่าคงที่ความสอดคล้อง) ในฐานะ ตัวบ่งชี้ความแข็งแรง ของพันธะโควาเลนต์ได้รับการพิสูจน์แล้วตั้งแต่ปี 1980 และเมื่อเร็วๆ นี้ ความเหมาะสมในฐานะตัวบ่งชี้ความแข็งแรงของพันธะที่ไม่ใช่โควาเลนต์ก็ได้รับการพิสูจน์แล้วเช่นกัน^{[ 9 ]}

มวลmที่ติดอยู่กับปลายสปริงเป็นตัวอย่างคลาสสิกของระบบสั่นแบบฮาร์มอนิกโดยการดึงมวลเบาๆ แล้วปล่อย ระบบจะสั่นเป็น จังหวะไซน์รอบตำแหน่ง สมดุลตราบใดที่สปริงเป็นไปตามกฎของฮุก และสามารถละเลยแรงเสียดทานและมวลของสปริงได้ แอมพลิจูดของการสั่นจะคงที่ และความถี่f จะไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูด โดยขึ้นอยู่กับมวลและความแข็งของสปริงเท่านั้น ปรากฏการณ์นี้ทำให้สามารถสร้างนาฬิกาเชิงกล ที่แม่นยำ ซึ่งสามารถพกพาไปบนเรือและในกระเป๋าของผู้คนได้ $${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$$

ถ้ามวลmติดอยู่กับสปริงที่มีค่าคงที่แรงk (ซึ่งความยาวตามธรรมชาติมีค่าน้อยกว่ารัศมีของวงกลมมาก) และหมุนอยู่ในพื้นที่ว่าง แรงตึงของสปริง ( Ft ₎จะให้แรงสู่ศูนย์กลาง ที่ ต้องการ ( Fc ₎

$${\displaystyle F_{\mathrm {t} }=kx\,;\qquad F_{\mathrm {c} }=m\omega ^{2}r}$$ เนื่องจากF _t = F _cและx = rดังนั้น: เมื่อพิจารณาว่าω = 2π fจะทำให้ได้สมการความถี่เดียวกันกับข้างต้น: $${\displaystyle k=m\โอเมก้า ^{2}}$$$${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$$

วัสดุไอโซโทรปิกมีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติที่ไม่ขึ้นอยู่กับทิศทางในอวกาศ ดังนั้นสมการทางฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้องกับวัสดุไอโซโทรปิกจึงต้องไม่ขึ้นอยู่กับระบบพิกัดที่เลือกใช้ในการแสดง เทนเซอร์ความเครียดเป็นเทนเซอร์สมมาตร เนื่องจากร่องรอยของเทนเซอร์ใดๆ ไม่ขึ้นอยู่กับระบบพิกัดใดๆ การแยกส่วนที่สมบูรณ์ที่สุดที่ไม่ขึ้นกับพิกัดของเทนเซอร์สมมาตรคือการแสดงเป็นผลรวมของเทนเซอร์คงที่และเทนเซอร์สมมาตรที่ไม่มีร่องรอย^{[ 10 ]}ดังนั้นในสัญกรณ์ดัชนี :

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)}$$ โดยที่δ _ijคือเดลต้าโครเนกเกอร์ในรูปแบบการเขียนเทนเซอร์โดยตรง: $${\displaystyle {\bold Symbol {\varepsilon }}=\operatorname {vol} ({\bold Symbol {\varepsilon }})+\operatorname {dev} ({\bold Symbol {\varepsilon }})\,;\qquad \operatorname {vol} ({\bold Symbol {\varepsilon }})={\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\bold Symbol {\varepsilon }})~\mathbf {I} \,;\qquad \operatorname {dev} ({\bold Symbol {\varepsilon }})={\bold Symbol {\varepsilon }}-\operatorname {vol} ({\boldสัญลักษณ์ {\varepsilon }})}$$

โดยที่Iคือเทนเซอร์เอกลักษณ์อันดับสอง

พจน์แรกทางด้านขวาคือเทนเซอร์คงที่ หรือที่เรียกว่าเทนเซอร์ความเครียดเชิงปริมาตรและพจน์ที่สองคือเทนเซอร์สมมาตรไร้ร่องรอย หรือที่เรียกว่าเทนเซอร์ความเครียดเบี่ยงเบนหรือเทนเซอร์เฉือน

รูปแบบทั่วไปที่สุดของกฎของฮุคสำหรับวัสดุไอโซโทรปิกสามารถเขียนได้ในรูปของการรวมเชิงเส้นของเทนเซอร์ทั้งสองนี้:

$${\displaystyle \sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}=3K\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+2G\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$$ โดยที่KคือโมดูลัสปริมาตรและGคือ โมดูลั ส เฉือน

โดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างโมดูลัสความยืดหยุ่นสมการเหล่านี้ยังสามารถแสดงได้ในรูปแบบอื่นๆ อีกหลายวิธี รูปแบบทั่วไปของกฎของฮุกสำหรับวัสดุไอโซโทรปิก ซึ่งแสดงในสัญกรณ์เทนเซอร์โดยตรงคือ ^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,;\qquad {\mathsf {c}}=\lambda \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +2\mu {\mathsf {I}}}$ โดยที่λ = K − ⁠2/3G = c ₁₁₁₁ − 2 c ₁₂₁₂และ μ = G = c ₁₂₁₂คือ ค่าคงที่ ของ Lamé , Iคือเทนเซอร์เอกลักษณ์อันดับสอง และ Iคือส่วนสมมาตรของเทนเซอร์เอกลักษณ์อันดับสี่ ในสัญกรณ์ดัชนี: $${\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \varepsilon _{kk}~\delta _{ij}+2\mu \varepsilon _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl}\,;\qquad c_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}\right)}$$

ความสัมพันธ์ผกผันคือ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2\mu }}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} ={\frac {1}{2G}}{\boldsymbol {\sigma }}+\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }$$

ดังนั้น เทนเซอร์การปฏิบัติตามในความสัมพันธ์ε = s  : σคือ

$${\displaystyle {\mathsf {s}}=-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2\mu }}{\mathsf {I}}=\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2G}}{\mathsf {I}}}$$

ในแง่ของโมดูลัสของยังและอัตราส่วนของปัวซองกฎของฮุคสำหรับวัสดุไอโซโทรปิกสามารถแสดงได้ดังนี้

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{ij}-\nu (\sigma _{kk}\delta _{ij}-\sigma _{ij}){\big )}\,;\qquad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{E}}{\big (}{\boldsymbol {\sigma }}-\nu (\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}){\big )}={\frac {1+\nu }{E}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\nu }{E}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }$$

นี่คือรูปแบบที่แสดงความเครียดในรูปของเทนเซอร์ความเค้นในทางวิศวกรรม รูปแบบที่ขยายแล้วคือ โดยที่Eคือโมดูลัสของยังและνคืออัตราส่วนของปัวซอง (ดูความยืดหยุ่นแบบ 3 มิติ ) $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22}){\big )}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2G}}\sigma _{12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{2G}}\sigma _{23}\end{aligned}}}$$

ในรูปแบบเมทริกซ์ กฎของฮุคสำหรับวัสดุไอโซโทรปิกสามารถเขียนได้ดังนี้ โดยที่γ _ij = 2 ε _ijคือความเครียดเฉือนทางวิศวกรรมความสัมพันธ์ผกผันสามารถเขียนได้ดังนี้ ซึ่งสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ด้วยค่าคงที่ของลาเม: ในสัญกรณ์เวกเตอร์จะได้ดังนี้ โดยที่Iคือเทนเซอร์เอกลักษณ์ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{13}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\,2\mu {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)}$$

ภายใต้สภาวะความเค้นระนาบσ ₃₁ = σ ₁₃ = σ ₃₂ = σ ₂₃ = σ ₃₃ = 0ในกรณีนั้น กฎของฮุกจะมีรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\frac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$

ในรูปแบบเวกเตอร์จะได้ว่า $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left((1-\nu ){\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}\end{bmatrix}}+\nu \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}\right)\right)}$$

ความสัมพันธ์ผกผันมักเขียนในรูปแบบที่ลดรูปแล้ว $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}$$

ภายใต้เงื่อนไขความเครียดระนาบε ₃₁ = ε ₁₃ = ε ₃₂ = ε ₂₃ = ε ₃₃ = 0ในกรณีนี้ กฎของฮุกจะมีรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &0\\\nu &1-\nu &0\\0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$

ความสมมาตรของเทนเซอร์ความเค้นของ Cauchy ( σ _ij = σ _ji ) และกฎของ Hooke แบบทั่วไป ( σ _ij = c _ijkl ε _kl ) บ่งชี้ว่าc _ijkl = c _jiklในทำนองเดียวกัน ความสมมาตรของเทนเซอร์ความเครียดอนันต์บ่งชี้ว่าc _ijkl = c _ijlkความสมมาตรเหล่านี้เรียกว่าความสมมาตรย่อยของเทนเซอร์ความแข็งcซึ่งทำให้จำนวนค่าคงที่ความยืดหยุ่นลดลงจาก 81 เหลือ 36

นอกจากนี้ เนื่องจากเกรเดียนต์การกระจัดและความเค้นโคชีเป็นคู่กันของการทำงาน ความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียดสามารถหาได้จากฟังก์ชันความหนาแน่นของพลังงานความเครียด ( U ) แล้ว ความไม่แน่นอนของลำดับการอนุพันธ์บ่งชี้ว่าc _ijkl = c _klijสิ่งเหล่านี้เรียกว่าสมมาตรหลักของเทนเซอร์ความแข็งเกร็ง ซึ่งจะลดจำนวนค่าคงที่ความยืดหยุ่นจาก 36 เหลือ 21 สมมาตรหลักและสมมาตรรองบ่งชี้ว่าเทนเซอร์ความแข็งเกร็งมีส่วนประกอบอิสระเพียง 21 ส่วนเท่านั้น $${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial U}{\partial \varepsilon _{ij}}}\quad \implies \quad c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}\,.}$$

การแสดงกฎของฮุคในรูปแบบแอนไอโซโทรปิกด้วยสัญกรณ์เมทริกซ์ หรือที่เรียกว่าสัญกรณ์โวอิกต์ มักเป็นประโยชน์_ในการทำเช่นนี้ เราใช้ประโยชน์จากสมมาตรของเทนเซอร์ความเค้นและความเครียด และแสดงพวกมันเป็นเวกเตอร์หกมิติในระบบพิกัดตั้งฉาก ( e₁ _, e₂ , e₃ ₎ดังนี้ จากนั้นเทนเซอร์ความแข็ง ( c ) สามารถแสดงได้ ดังนี้$${\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,;\qquad [{\boldsymbol {\varepsilon }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle [{\mathsf {c}}]\,=\,{\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}}$$

และกฎของฮุคเขียนได้ดังนี้

$${\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]=[{\mathsf {C}}][{\boldsymbol {\varepsilon }}]\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{i}=C_{ij}\varepsilon _{j}\,.}$$ ในทำนองเดียวกัน เทนเซอร์การปฏิบัติตาม ( s ) สามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle [{\mathsf {s}}]\,=\,{\begin{bmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1131}&2s_{1112}\\s_{2211}&s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2231}&2s_{2212}\\s_{3311}&s_{3322}&s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3331}&2s_{3312}\\2s_{2311}&2s_{2322}&2s_{2333}&4s_{2323}&4s_{2331}&4s_{2312}\\2s_{3111}&2s_{3122}&2s_{3133}&4s_{3123}&4s_{3131}&4s_{3112}\\2s_{1211}&2s_{1222}&2s_{1233}&4s_{1223}&4s_{1231}&4s_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}&S_{15}&S_{16}\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&S_{24}&S_{25}&S_{26}\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&S_{34}&S_{35}&S_{36}\\S_{14}&S_{24}&S_{34}&S_{44}&S_{45}&S_{46}\\S_{15}&S_{25}&S_{35}&S_{45}&S_{55}&S_{56}\\S_{16}&S_{26}&S_{36}&S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}}$$

หากวัสดุยืดหยุ่นเชิงเส้นถูกหมุนจากการกำหนดค่าอ้างอิงหนึ่งไปยังอีกการกำหนดค่าหนึ่ง วัสดุนั้นจะมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับการหมุน หากส่วนประกอบของเทนเซอร์ความแข็งในการกำหนดค่าที่หมุนแล้วมีความสัมพันธ์กับส่วนประกอบในการกำหนดค่าอ้างอิงโดยความสัมพันธ์^{[ 13 ]}

$${\displaystyle c_{pqrs}=l_{pi}l_{qj}l_{rk}l_{sl}c_{ijkl}}$$ โดยที่l และ_abคือส่วนประกอบของเมทริกซ์การหมุนเชิงตั้งฉาก[ L ]ความสัมพันธ์เดียวกันนี้ยังใช้ได้กับการผกผันด้วย

ในการเขียนเมทริกซ์ ถ้าฐานที่แปลงแล้ว (หมุนหรือกลับด้าน) มีความสัมพันธ์กับฐานอ้างอิงโดย

$${\displaystyle [\mathbf {e} _{i}']=[L][\mathbf {e} _{i}]}$$

แล้ว

$${\displaystyle C_{ij}\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}=C_{ij}'\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{j}\,.}$$ นอกจากนี้ หากวัสดุมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับการแปลง[ L ]แล้ว $${\displaystyle C_{ij}=C'_{ij}\quad \implies \quad C_{ij}(\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}-\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{j})=0\,.}$$

วัสดุออร์โธโทรปิก_มีระนาบสมมาตรตั้งฉาก สาม _{ระนาบ}ถ้าเวกเตอร์ฐาน ( e₁ , e₂ , e₃ ₎เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบสมมาตร ความสัมพันธ์ของการแปลงพิกัดจะบ่งชี้ว่า

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}$$ โดยทั่วไปแล้ว ความสัมพันธ์ผกผันของความสัมพันธ์นี้จะเขียนเป็น^{[ 14 ]} โดยที่ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{zx}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$$

• E _iคือค่าสัมประสิทธิ์ยังโมดูลัสตามแกนi
• G _ijคือโมดูลัสเฉือนในทิศทางjบนระนาบที่มีเวกเตอร์ตั้งฉากอยู่ในทิศทางi
• ν _ijคืออัตราส่วนปัวซองที่สอดคล้องกับการหดตัวในทิศทางj เมื่อมีการยืดออกในทิศทางi

ภายใต้สภาวะความเค้นระนาบσ _zz = σ _zx = σ _yz = 0กฎของฮุคสำหรับวัสดุออร์โธโทรปิกจะมีรูปแบบดังนี้ ความสัมพันธ์ผกผันคือ รูปแบบสลับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ความแข็งข้างต้นก็มักถูกนำมาใช้เช่นกัน $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&0\\0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,.}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{1-\nu _{xy}\nu _{yx}}}{\begin{bmatrix}E_{x}&\nu _{yx}E_{x}&0\\\nu _{xy}E_{y}&E_{y}&0\\0&0&G_{xy}(1-\nu _{xy}\nu _{yx})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,.}$$

วัสดุ ไอโซโทรปิกตามขวางจะมีสมมาตรเมื่อเทียบกับการหมุนรอบแกนสมมาตรสำหรับวัสดุดังกล่าว ถ้าe₃คือแกนสมมาตร กฎของฮุคสามารถแสดงได้ _{ดังนี้}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {C_{11}-C_{12}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}$$

บ่อยครั้ง แกน x ≡ e ₁จะถูกใช้เป็นแกนสมมาตร และกฎของฮุคผกผันจะถูกเขียนเป็น ^{[ 15 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{zx}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xz}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$$

เพื่อทำความเข้าใจระดับของความไม่เป็นเนื้อเดียวกันของคลาสใดๆดัชนีความไม่เป็นเนื้อเดียวกันของความยืดหยุ่นสากล (AU) ^{[ 16 ]}ได้รับการกำหนดขึ้น โดยแทนที่อัตราส่วน Zenerซึ่งเหมาะสำหรับผลึก ทรงลูกบาศก์

การเสียรูปเชิงเส้นของวัสดุยืดหยุ่นสามารถประมาณได้ว่าเป็นแบบอะเดียแบติกภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้และสำหรับกระบวนการกึ่งสถิตกฎข้อแรกของเทอร์โมไดนามิกส์_{สำหรับ}วัตถุที่เสียรูปสามารถแสดงได้ดังนี้ โดย ที่ δU คือการเพิ่มขึ้นของพลังงานภายในและδWคืองานที่ทำโดยแรงภายนอก งานสามารถแบ่งออกเป็นสองส่วน โดย ที่δWsคือ งานที่ทำโดยแรงบนพื้นผิวในขณะที่_δWbคือ งานที่ทำโดยแรงภายในตัววัตถุถ้าδuคือการเปลี่ยนแปลงของสนามการกระจัดuในตัววัตถุแล้ว งานภายนอกทั้งสองส่วนสามารถแสดงได้ดังนี้ โดย ที่t คือ เวกเตอร์แรงดึงบนพื้นผิวbคือเวกเตอร์แรงภายในตัววัตถุΩ แทนตัววัตถุ และ ∂Ωแทนพื้นผิวของวัตถุ โดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นโคชีและแรงดึงผิวt = n · σ (โดยที่nคือเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากภายนอกกับ∂ Ω ) เราจะได้ การแปลงปริพันธ์ผิวเป็นปริพันธ์ปริมาตรโดย ใช้ ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์จะได้ โดยใช้สมมาตรของความเค้นโคชีและเอกลักษณ์ เราจะได้ดังต่อไปนี้ $${\displaystyle \delta W=\delta U}$$$${\displaystyle \delta W=\delta W_{\mathrm {s} }+\delta W_{\mathrm {b} }}$$$${\displaystyle \delta W_{\mathrm {s} }=\int _{\partial \Omega }\mathbf {t} \cdot \delta \mathbf {u} \,dS\,;\qquad \delta W_{\mathrm {b} }=\int _{\Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} \,dV}$$$${\displaystyle \delta W=\delta U=\int _{\partial \Omega }(\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }})\cdot \delta \mathbf {u} \,dS+\int _{\Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} \,dV\,.}$$$${\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }{\big (}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \delta \mathbf {u} )+\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} {\big )}\,dV\,.}$$$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=(\nabla \cdot \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} +{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}:\nabla \mathbf {b} +\mathbf {a} :(\nabla \mathbf {b} )^{\mathsf {T}}\right)}$$

$${\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }\left({\boldsymbol {\sigma }}:{\tfrac {1}{2}}\left(\nabla \delta \mathbf {u} +(\nabla \delta \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)+\left(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} \right)\cdot \delta \mathbf {u} \right)\,dV\,.}$$ จากนิยามของความเครียดและจากสมการสมดุลเราจะได้ ดังนั้นเราสามารถเขียนได้ และด้วยเหตุนี้ การเปลี่ยนแปลงของ ความหนาแน่นของ พลังงานภายในจึงกำหนดโดย วัสดุ ยืดหยุ่น ถูกนิยามว่าเป็นวัสดุ ที่พลังงานภายในทั้งหมดเท่ากับพลังงานศักยภาพของแรงภายใน (เรียกอีกอย่างว่าพลังงานความเครียดแบบยืดหยุ่น ) ดังนั้น ความหนาแน่นของพลังงานภายในจึงเป็นฟังก์ชันของความเครียดU ₀ = U ₀ ( ε )และการเปลี่ยนแปลงของพลังงานภายในสามารถแสดงได้เป็น เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงของความเครียดเป็นไปโดยพลการ ความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียดของวัสดุยืดหยุ่นจึงกำหนดโดย สำหรับวัสดุยืดหยุ่นเชิงเส้น ปริมาณ⁠$${\displaystyle \delta {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\nabla \delta \mathbf {u} +(\nabla \delta \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)\,;\qquad \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} =\mathbf {0} \,.}$$$${\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }{\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,dV}$$$${\displaystyle \delta U_{0}={\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,.}$$$${\displaystyle \delta U_{0}={\frac {\partial U_{0}}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,.}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\partial U_{0}}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}\,.}$$∂ U ₀/∂ ε⁠เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของ εและสามารถแสดงได้ดังนี้ โดย ที่ cคือเทนเซอร์อันดับสี่ของค่าคงที่ของวัสดุ หรือเรียกว่าเทนเซอร์ความแข็งเราสามารถเห็นได้ว่าทำไม cต้องเป็นเทนเซอร์อันดับสี่โดยสังเกตว่า สำหรับวัสดุยืดหยุ่นเชิงเส้น ในสัญกรณ์ดัชนี $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}}$$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}{\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})={\text{constant}}={\mathsf {c}}\,.}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial \varepsilon _{kl}}}={\text{constant}}=c_{ijkl}\,.}$$

ค่าคงที่ทางด้านขวามือต้องการดัชนีสี่ตัวและเป็นปริมาณอันดับสี่ เรายังสามารถเห็นได้ว่าปริมาณนี้ต้องเป็นเทนเซอร์ เนื่องจากเป็นการแปลงเชิงเส้นที่แปลงเทนเซอร์ความเครียดไปเป็นเทนเซอร์ความเค้น นอกจากนี้เรายังสามารถแสดงได้ว่าค่าคงที่นี้เป็นไปตามกฎการแปลงเทนเซอร์สำหรับเทนเซอร์อันดับสี่

• ผลกระทบอะคูสโตอิลาสติก
• พลังงานศักย์ยืดหยุ่น
• กฎของวิทยาศาสตร์
• รายชื่อกฎทางวิทยาศาสตร์ที่ตั้งชื่อตามบุคคล
• รูปแบบกำลังสอง
• สปริงแบบอนุกรมและแบบขนาน
• ระบบสปริง
• การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายของมวลบนสปริง
• คลื่นไซน์
• กลศาสตร์ของแข็ง
• ลูกตุ้มสปริง