ในฟิสิกส์โดยเฉพาะกลศาสตร์คลาสสิกปัญหาสามวัตถุคือการหาตำแหน่งและความเร็ว (หรือโมเมนตัม ) เริ่มต้นของมวลจุดสามจุดที่โคจรรอบกันในอวกาศ จากนั้นคำนวณวิถีโคจรที่ตามมาโดยใช้กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันและกฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตัน^{[ 1 ]}

ต่างจากปัญหาสองวัตถุปัญหาสามวัตถุไม่มีคำตอบเชิงวิเคราะห์แบบปิดทั่วไป^{[ 1 ]}สมการเชิงอนุพันธ์ที่ควบคุมการเคลื่อนที่ของวัตถุสามวัตถุที่มีแรงโน้มถ่วงไม่สามารถหาปริพันธ์ได้และไม่สามารถแก้เพื่อให้ได้สูตรที่ชัดเจนสำหรับตำแหน่งของวัตถุเป็นฟังก์ชันของเวลาสำหรับเงื่อนไขเริ่มต้น ส่วนใหญ่ ระบบพลวัตสำหรับวัตถุสามวัตถุที่โคจรจะมีความโกลาหลและวิธีเดียวที่จะทำนายการเคลื่อนที่ของพวกมันได้คือการประมาณค่าโดยใช้วิธีการเชิงตัวเลข

ปัญหาสามวัตถุเป็นกรณีพิเศษของ ปัญหา nวัตถุในทางประวัติศาสตร์ ปัญหาสามวัตถุเฉพาะแรกที่ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางคือปัญหาที่เกี่ยวข้องกับโลกดวงจันทร์และดวงอาทิตย์ [ ^{2 ] [ 3 ] ใน}ความหมายสมัยใหม่ที่ขยายออกไป ปัญหาสามวัตถุคือปัญหาใดๆ ในกลศาสตร์คลาสสิกหรือกลศาสตร์ควอนตัมที่จำลองการเคลื่อนที่ของอนุภาคสามตัว

สามารถแสดงปัญหาของวัตถุสามชิ้นในเชิงคณิตศาสตร์ได้โดยใช้สมการการเคลื่อนที่ของนิวตันสำหรับตำแหน่งเวกเตอร์ของวัตถุสามชิ้นที่มีมวลและมีปฏิสัมพันธ์กันทางแรงโน้มถ่วงโดย ที่คือค่าคงที่ของแรงโน้มถ่วง ${\displaystyle \ \mathbf {r} _{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})\ }$${\displaystyle m_{i}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}&=-Gm_{2}{\frac {\left(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right|^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\left(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}\right|^{3}}}\ ,\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}&=-Gm_{3}{\frac {\left(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{3}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{3}\right|^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\left(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\right|^{3}}}\ ,\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{3}&=-Gm_{1}{\frac {\left(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{1}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{1}\right|^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\left(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{2}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{2}\right|^{3}}}~.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \ G\ }$

ดังที่นักดาราศาสตร์ Juhan Frank อธิบายไว้ว่า " สมการเชิงอนุพันธ์เวกเตอร์อันดับสองทั้งสามนี้เทียบเท่ากับสมการเชิงอนุพันธ์สเกลาร์อันดับหนึ่ง 18 สมการ" ^{[ 4 ]}ดังที่ June Barrow-Green ตั้งข้อสังเกตเกี่ยวกับการนำเสนอทางเลือก หากแทนอนุภาคสามอนุภาคที่มีมวลระยะทางและพิกัดในระบบพิกัดเฉื่อย ... ปัญหาจะถูกอธิบายด้วยสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเก้าสมการ^{[ 5 ] : 8} ${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle \ P_{i}P_{j}=r_{ij}\ ,}$${\displaystyle \ q_{ij}\ }$${\displaystyle \ (i,j=1,2,3)\ }$

ปัญหาสามารถระบุได้อย่างเทียบเท่าในรูปแบบแฮมิลโทเนียนซึ่งในกรณีนี้จะอธิบายด้วยชุดสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง 18 สมการ โดยแต่ละสมการแทนส่วนประกอบของตำแหน่งและโมเมนตัม: ^{[ 6 ]} โดยที่คือแฮมิลโทเนียน : ${\displaystyle \ \mathbf {r} _{i}\ }$${\displaystyle \ \mathbf {p} _{i}\ }$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \ \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} \ t}}={\frac {\partial \ {\mathcal {H}}}{\partial \ \mathbf {p} _{i}}}\ ,\qquad {\frac {\mathrm {d} \ \mathbf {p} _{i}}{\mathrm {d} \ t}}=-{\frac {\partial \ {\mathcal {H}}}{\partial \ \mathbf {r} _{i}}}\ ,}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}\ =\ -{\frac {Gm_{1}m_{2}}{\left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right|}}\ -\ {\frac {Gm_{2}m_{3}}{\left|\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{2}\right|}}\ -\ {\frac {Gm_{3}m_{1}}{\left|\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{1}\right|}}\ +\ {\frac {\left|\mathbf {p} _{1}\right|^{2}}{2m_{1}}}\ +\ {\frac {\left|\mathbf {p} _{2}\right|^{2}}{2m_{2}}}\ +\ {\frac {\left|\mathbf {p} _{3}\right|^{2}}{2m_{3}}}~.}$$

ในกรณีนี้คือพลังงานรวมของระบบ ซึ่งเกิดจากแรงโน้มถ่วงและพลังงานจลน์ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

ใน การกำหนด ปัญหาสามวัตถุแบบจำกัดในคำอธิบายของ Barrow-Green ^{[ 5 ] : 11–14}

วัตถุสอง... หมุนรอบศูนย์กลางมวลของพวกมันในวงโคจรเป็นวงกลมภายใต้อิทธิพลของแรงดึงดูดระหว่างกัน และ... ก่อตัวเป็นระบบสองวัตถุ... [ซึ่ง] การเคลื่อนที่เป็นที่ทราบกันดี วัตถุที่สาม (โดยทั่วไปเรียกว่าดาวเคราะห์น้อย) ซึ่งถือว่าไม่มีมวลเมื่อเทียบกับอีกสองวัตถุ เคลื่อนที่ในระนาบที่กำหนดโดยวัตถุที่หมุนรอบสองวัตถุ และในขณะที่ได้รับอิทธิพลจากแรงโน้มถ่วงของวัตถุเหล่านั้น ก็ไม่มีอิทธิพลใดๆ ของตัวเอง^{[ 5 ] : 11}

ตามที่ Barrow-Green กล่าวไว้ "[ปัญหาคือการตรวจสอบการเคลื่อนที่ของวัตถุที่สาม" ^{[ 5 ] : 11}

ปัญหาสามวัตถุแบบจำกัดนั้นวิเคราะห์ทางทฤษฎีได้ง่ายกว่าปัญหาแบบเต็มรูปแบบ นอกจากนี้ยังมีความน่าสนใจในทางปฏิบัติด้วย เนื่องจากสามารถอธิบายปัญหาในโลกแห่งความเป็นจริงได้หลายอย่าง ตัวอย่างที่สำคัญที่สุดคือระบบโลก-ดวงจันทร์-ดวงอาทิตย์ ด้วยเหตุผลเหล่านี้ ปัญหาสามวัตถุจึงมีบทบาทสำคัญในการพัฒนาทางประวัติศาสตร์^{[ 7 ]}

ปัญหา 3 ร่างที่จำกัดมี ปริภูมิเฟส 4 มิติแต่มีปริมาณอนุรักษ์ เพียงปริมาณเดียว คืออินทิกรัลของจาโคบี [ ^{8 ] ไฮ}น์ริช บรุนส์ได้แสดงให้เห็นว่าไม่มี ปริมาณอนุรักษ์ เชิงพีชคณิต อีกต่อไป และอองรี ปวงกาเรในปี 1889 ได้แสดงให้เห็นว่าไม่มีปริมาณอนุรักษ์เชิงวิเคราะห์ อีกต่อไป ^{[ 8 ]}ดังนั้น เนื่องจากมิติของปริภูมิเฟสมีขนาดใหญ่กว่าจำนวนค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ระบบจึงไม่สามารถหาคำตอบได้อย่างแม่นยำอันที่จริงแล้วมันเป็นระบบอลวน^{[ 8 ]}

ขึ้นอยู่กับค่าของอินทิกรัล Jacobi วัตถุ ^ที่โคจรรอบมวลขนาดใหญ่ในตอนแรกอาจถูกจับโดยมวลรองหรือถูกขับออกผ่านจุด Lagrange L ₂หรือ L ₃ ^{[ 9} ]

รูปแบบหนึ่งของปัญหานี้ ซึ่งวัตถุขนาดใหญ่ทั้งสองต่างก็ออกแรงดันรังสีส่งผลให้มีจุดสมดุล เพิ่มเติมอีกสี่จุด นอกเหนือจากจุด Lagrange แบบคลาสสิก ^ห้า จุด [ ^{10 ]}

ไม่มีวิธีแก้ปัญหาแบบปิด ทั่วไป สำหรับปัญหาสามวัตถุ^{[ 1 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ไม่มีวิธีแก้ปัญหาทั่วไปที่สามารถแสดงได้ในรูปของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์มาตรฐานจำนวนจำกัด ยิ่งไปกว่านั้น การเคลื่อนที่ของวัตถุสามชิ้นโดยทั่วไปจะไม่ซ้ำกัน ยกเว้นในกรณีพิเศษ^{[ 11 ]}

อย่างไรก็ตาม ในปี พ.ศ. 2455 นักคณิตศาสตร์ชาวฟินแลนด์Karl Fritiof Sundmanได้พิสูจน์ว่ามีคำตอบเชิงวิเคราะห์สำหรับปัญหาสามวัตถุในรูปแบบของอนุกรม Puiseuxโดยเฉพาะอนุกรมกำลังในรูปของกำลังของt ^{1/3 [ 12 ]} อนุกรมนี้ลู่เข้าสำหรับ tจริงทั้งหมดยกเว้นเงื่อนไขเริ่มต้นที่สอดคล้องกับโมเมนตัมเชิงมุมเป็น ศูนย์ ในทางปฏิบัติ ข้อจำกัดหลังนี้ไม่มีนัยสำคัญ เนื่องจากเงื่อนไขเริ่มต้นที่มีโมเมนตัมเชิงมุมเป็นศูนย์นั้นหายาก เนื่องจากมีมาตรวัด Lebesgueเป็นศูนย์

ประเด็นสำคัญในการพิสูจน์ผลลัพธ์นี้คือข้อเท็จจริงที่ว่ารัศมีของการลู่เข้าสำหรับอนุกรมนี้ถูกกำหนดโดยระยะห่างไปยังจุดเอกฐานที่ใกล้ที่สุด ดังนั้นจึงจำเป็นต้องศึกษาจุดเอกฐานที่เป็นไปได้ของปัญหาวัตถุสามชิ้น ดังที่ได้กล่าวถึงโดยย่อด้านล่าง จุดเอกฐานเพียงอย่างเดียวในปัญหาวัตถุสามชิ้นคือการชนแบบไบนารี (การชนกันระหว่างอนุภาคสองตัว ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง) และการชนแบบทริปเปิล (การชนกันระหว่างอนุภาคสามตัว ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง)

การชนกันจำนวนใดๆ ก็ตามนั้นค่อนข้างไม่น่าจะเกิดขึ้นได้ เนื่องจากมีการแสดงให้เห็นแล้วว่าการชนกันนั้นสอดคล้องกับชุดเงื่อนไขเริ่มต้นที่มีขนาดเป็นศูนย์ แต่ยังไม่มีเกณฑ์ใดๆ ที่ทราบกันดีว่าสามารถกำหนดให้กับสถานะเริ่มต้นเพื่อหลีกเลี่ยงการชนกันสำหรับคำตอบที่สอดคล้องกันได้ ดังนั้นกลยุทธ์ของซันด์แมนจึงประกอบด้วยขั้นตอนดังต่อไปนี้:

1. โดยใช้การเปลี่ยนแปลงตัวแปรที่เหมาะสมเพื่อวิเคราะห์คำตอบต่อไปหลังจากเกิดการชนกันแบบไบนารี ในกระบวนการที่เรียกว่าการทำให้เป็นระเบียบ (regularization )
2. พิสูจน์ว่าการชนกันสามครั้งเกิดขึ้นเฉพาะเมื่อโมเมนตัมเชิงมุมLเป็นศูนย์ โดยการจำกัดข้อมูลเริ่มต้นให้L ≠ 0เขาได้ขจัด ภาวะเอกฐาน จริง ทั้งหมดออก จากสมการที่แปลงแล้วสำหรับปัญหาวัตถุสามชิ้น
3. แสดงให้เห็นว่าถ้าL ≠ 0แล้ว ไม่เพียงแต่จะไม่มีการชนกันสามครั้งเท่านั้น แต่ระบบยังถูกจำกัดอย่างเข้มงวดให้ห่างไกลจากการชนกันสามครั้งด้วย ซึ่งหมายความว่า ตามทฤษฎีบทการมีอยู่ของโคชีสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ จะไม่มีจุดเอกฐานเชิงซ้อนในแถบ (ขึ้นอยู่กับค่าของL ) ในระนาบเชิงซ้อนที่อยู่รอบแกนจริง (เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทโคชี-โควาเลฟสกายา )
4. จงหาการแปลงคอนฟอร์มอลที่แมปแถบนี้ไปยังวงกลมหน่วย ตัวอย่างเช่น ถ้าs = t ^1/3 (ตัวแปรใหม่หลังจากปรับค่าแล้ว) และถ้า| ln s | ≤ βแล้ว การแมปนี้จะกำหนดโดย$${\displaystyle \sigma ={\frac {e^{\frac {\pi s}{2\beta }}-1}{e^{\frac {\pi s}{2\beta }}+1}}.}$$

การพิสูจน์ทฤษฎีบทของซันด์แมนจึงเสร็จสิ้นลงด้วยการนี้

อนุกรมที่เกี่ยวข้องลู่เข้าช้ามาก นั่นคือ การได้ค่าที่มีความแม่นยำอย่างมีนัยสำคัญต้องใช้จำนวนพจน์มากจนวิธีแก้ปัญหานี้แทบไม่มีประโยชน์ในทางปฏิบัติ อันที่จริง ในปี 1930 เดวิด เบโลริสกี้ คำนวณว่าหากจะใช้อนุกรมของซันด์แมนในการสังเกตการณ์ทางดาราศาสตร์ การคำนวณจะต้องใช้พจน์อย่างน้อย 10 พจน์^8,000,000เทอม ^{[ 13 ]​​}

ในปี ค.ศ. 1767 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ค้นพบชุดคำตอบแบบคาบสามชุด ซึ่งมวลทั้งสามอยู่บนเส้นตรงเดียวกันในแต่ละขณะ ในปี ค.ศ. 1772 ลากรองจ์ ค้นพบชุดคำตอบอีกชุดหนึ่ง ซึ่งมวลทั้งสามก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าในแต่ละขณะ คำตอบเหล่านี้รวมกับคำตอบแบบอยู่บนเส้นตรงเดียวกันของออยเลอร์ ก่อให้เกิดรูปแบบพื้นฐานสำหรับปัญหาของวัตถุสามชิ้น คำตอบเหล่านี้ใช้ได้กับอัตราส่วนมวลใดๆ และมวลเคลื่อนที่บน วงรีแบบ เคปเลอร์ ชุดคำตอบทั้งสี่นี้เป็นคำตอบเดียวที่ทราบกันดีว่ามีสูตรวิเคราะห์ที่ชัดเจน ในกรณีพิเศษของปัญหาของวัตถุสามชิ้นแบบจำกัดวงกลมคำตอบเหล่านี้ เมื่อมองในกรอบที่หมุนไปพร้อมกับวัตถุหลัก จะกลายเป็นจุดที่เรียกว่าจุดลากรองจ์และมีป้ายกำกับว่า L₁ _, L₂ _, L₃ _, L₄ _และ L₅ _โดยที่ L₄ _และ L₅ _เป็นตัวอย่างสมมาตรของคำตอบของลากรองจ์

ในผลงานที่สรุปไว้ระหว่างปี 1892–1899 อองรี ปวงกาเรได้พิสูจน์ให้เห็นถึงการมีอยู่ของคำตอบแบบคาบจำนวนอนันต์สำหรับปัญหาวัตถุสามชิ้นแบบจำกัด พร้อมทั้งเทคนิคในการต่อยอดคำตอบเหล่านี้ไปสู่ปัญหาวัตถุสามชิ้นแบบทั่วไป

ในปี พ.ศ. 2436 Meissel ได้กล่าวถึงสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าปัญหาวัตถุสามชิ้นของพีทาโกเรียน: มวลสามก้อนในอัตราส่วน 3:4:5 วางนิ่งอยู่ที่จุดยอดของสามเหลี่ยมมุมฉาก 3:4:5โดยวัตถุที่หนักที่สุดอยู่ที่มุมฉากและวัตถุที่เบาที่สุดอยู่ที่มุมแหลมที่เล็กกว่า Burrau ^{[ 14 ]}ได้ศึกษาปัญหานี้เพิ่มเติมในปี พ.ศ. 2456 ในปี พ.ศ. 2510 Victor SzebehelyและC. Frederick Petersได้พิสูจน์ว่าวัตถุที่เบาที่สุดจะหลุดออกไปในที่สุดสำหรับปัญหานี้โดยใช้การบูรณาการเชิงตัวเลข ในขณะเดียวกันก็พบวิธีแก้ปัญหาแบบคาบใกล้เคียง^{[ 15 ]}

ในช่วงทศวรรษ 1970 มิเชล เฮนอนและโรเจอร์ เอ. บรูคต่างก็ค้นพบชุดคำตอบที่เป็นส่วนหนึ่งของตระกูลคำตอบเดียวกัน นั่นคือ ตระกูลบรูค-เฮนอน-ฮัดจิเดเมทริโอ ในตระกูลนี้ วัตถุทั้งสามมีมวลเท่ากันและสามารถแสดงรูปแบบย้อนกลับและรูปแบบตรงได้ ในคำตอบบางส่วนของบรูค วัตถุสองชิ้นจะเคลื่อนที่ตามเส้นทางเดียวกัน^{[ 16 ]}

ในปี 1993 นักฟิสิกส์Cris Mooreจากสถาบัน Santa Feพบวิธีแก้ปัญหาโมเมนตัมเชิงมุมเป็นศูนย์โดยมีมวลเท่ากันสามก้อนเคลื่อนที่รอบรูปทรงเลขแปด^{[ 17 ]}ในปี 2000 นักคณิตศาสตร์Alain Chencinerและ Richard Montgomery ได้พิสูจน์การมีอยู่จริงอย่างเป็นทางการ^{[ 18 ] [ 19 ]}วิธีแก้ปัญหานี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีความเสถียรในเชิงตัวเลขสำหรับการรบกวนเล็กน้อยของมวลและพารามิเตอร์วงโคจร ซึ่งทำให้สามารถสังเกตวงโคจรดังกล่าวได้ในจักรวาลทางกายภาพ แต่มีการโต้แย้งว่าสิ่งนี้ไม่น่าจะเป็นไปได้เนื่องจากขอบเขตของความเสถียรมีขนาดเล็ก ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์การกระเจิง แบบไบนารี-ไบนารี ที่ส่งผลให้เกิดวงโคจรรูปเลขแปดนั้นได้รับการประมาณไว้ว่าเป็นเพียงเศษเสี้ยวเล็กน้อยของเปอร์เซ็นต์^{[ 20 ]}

ในปี 2013 นักฟิสิกส์ Milovan Šuvakov และ Veljko Dmitrašinović จากสถาบันฟิสิกส์ในเบลเกรดได้ค้นพบชุดคำตอบใหม่ 13 ชุดสำหรับปัญหาวัตถุสามชิ้นที่มีมวลเท่ากันและโมเมนตัมเชิงมุมเป็นศูนย์^{[ 11 ] [ 16 ]}

ในปี 2015 นักฟิสิกส์ Ana Hudomal ค้นพบชุดคำตอบใหม่ 14 ชุดสำหรับปัญหาวัตถุสามชิ้นที่มีมวลเท่ากันและโมเมนตัมเชิงมุมเป็นศูนย์^{[ 21 ]}

ในปี 2017 นักวิจัย Xiaoming Li และShijun Liaoได้ค้นพบวงโคจรคาบใหม่ 669 วงสำหรับปัญหาวัตถุสามชิ้นที่มีมวลเท่ากันและโมเมนตัมเชิงมุมเป็นศูนย์^{[ 22 ]}ต่อมาในปี 2018 ได้มีการค้นพบวิธีแก้ปัญหาใหม่เพิ่มเติมอีก 1,223 วิธีสำหรับระบบที่มีโมเมนตัมเชิงมุมเป็นศูนย์และมีมวลไม่เท่ากัน^{[ 23 ]}

ในปี 2018 Li และ Liao รายงานวิธีแก้ปัญหา 234 วิธีสำหรับปัญหาวัตถุสามชิ้นที่มีมวลไม่เท่ากันในสภาวะ "ตกอย่างอิสระ" ^{[ 24 ]}การกำหนดสภาวะตกอย่างอิสระเริ่มต้นด้วยวัตถุทั้งสามชิ้นหยุดนิ่ง ด้วยเหตุนี้ มวลในการกำหนดค่าการตกอย่างอิสระจึงไม่ได้โคจรเป็น "วง" ปิด แต่เคลื่อนที่ไปข้างหน้าและข้างหลังตาม "เส้นทาง" เปิด

ในปี 2023 Ivan Hristov, Radoslava Hristova, Dmitrašinović และ Kiyotaka Tanikawa ได้ตีพิมพ์การค้นหา "วงโคจรตกอิสระแบบเป็นคาบ" ในปัญหาวัตถุสามชิ้น โดยจำกัดเฉพาะกรณีมวลเท่ากัน และพบคำตอบที่แตกต่างกัน 12,409 รายการ^{[ 25 ]}

การใช้คอมพิวเตอร์สามารถแก้ปัญหาได้ด้วยความแม่นยำสูงตามต้องการโดยใช้การบูรณาการเชิงตัวเลขมีความพยายามสร้างโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่แก้ปัญหาสามวัตถุ (และขยายไปถึงปัญหาn วัตถุ ) ที่เกี่ยวข้องกับปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้าและแรงโน้มถ่วง และรวมทฤษฎีฟิสิกส์สมัยใหม่ เช่น ทฤษฎีสัมพัทธ ภาพพิเศษ^{[ 26 ]}นอกจากนี้ การใช้ทฤษฎีการเดินแบบสุ่มยังสามารถคำนวณความน่าจะเป็นโดยประมาณ ของผลลัพธ์ที่แตกต่างกันได้ ^{[ 27 ] [ 28 ]}

ปัญหาแรงโน้มถ่วงของวัตถุสามชิ้นในความหมายดั้งเดิมนั้นมีที่มาจากปี ค.ศ. 1687 เมื่อไอแซค นิวตันตีพิมพ์หนังสือPhilosophiæ Naturalis Principia Mathematicaของ เขา นิวตันได้แก้ปัญหาของวัตถุสองชิ้นแล้วและพยายามค้นหาว่าระบบเช่นโลกดวงจันทร์และดวงอาทิตย์จะ มีเสถียรภาพในระยะยาวได้หรือไม่ ^{[ 29 ]}โดยได้รับคำแนะนำจากนักดาราศาสตร์ยุคเรเนสซองส์ คนสำคัญอย่าง นิโคลัส โคเปอร์นิคัส ไทโค บราเฮและโยฮันเนส เคปเลอร์นิวตันได้แนะนำคนรุ่นหลังให้รู้จักกับจุดเริ่มต้นของปัญหาแรงโน้มถ่วงของวัตถุสามชิ้น^{[ 30 ]}ในข้อเสนอที่ 66 ของหนังสือเล่มที่ 1 ของPrincipiaและบทสรุป 22 ข้อ นิวตันได้ก้าวแรกในการกำหนดและศึกษาปัญหาการเคลื่อนที่ของวัตถุมวลมากสามชิ้นที่อยู่ภายใต้แรงดึงดูดซึ่งกันและกัน ในข้อเสนอที่ 25 ถึง 35 ของหนังสือเล่มที่ 3 นิวตันยังได้ก้าวแรกในการนำผลลัพธ์ของข้อเสนอที่ 66 ไปประยุกต์ใช้กับทฤษฎีดวงจันทร์ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่ของดวงจันทร์ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงของโลกและดวงอาทิตย์^{[ 31 ]}ต่อมา ปัญหานี้ยังถูกนำไปประยุกต์ใช้กับปฏิสัมพันธ์ของดาวเคราะห์ดวงอื่นกับโลกและดวงอาทิตย์ด้วย^{[ 30 ]}

ปัญหาทางกายภาพนี้ได้รับการกล่าวถึงครั้งแรกโดยAmerigo Vespucciและต่อมาโดยGalileo GalileiรวมถึงSimon Stevinแต่พวกเขาไม่ได้ตระหนักถึงสิ่งที่พวกเขามีส่วนร่วม แม้ว่า Galileo จะระบุว่าความเร็วในการตกของวัตถุทั้งหมดเปลี่ยนแปลงอย่างสม่ำเสมอและในลักษณะเดียวกัน แต่เขาก็ไม่ได้นำไปใช้กับการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์^{[ 30 ]}ในขณะที่ในปี 1499 Vespucci ใช้ความรู้เกี่ยวกับตำแหน่งของดวงจันทร์เพื่อกำหนดตำแหน่งของเขาในบราซิล^{[ 32 ]}มันกลายเป็นสิ่งสำคัญทางเทคนิคในช่วงทศวรรษที่ 1720 เนื่องจากวิธีแก้ปัญหาที่แม่นยำจะนำไปใช้กับการเดินเรือ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการกำหนดลองจิจูดในทะเลซึ่งได้รับการแก้ไขในทางปฏิบัติโดย การประดิษฐ์ นาฬิกาเดินเรือของJohn Harrisonอย่างไรก็ตาม ความแม่นยำของทฤษฎีดวงจันทร์นั้นต่ำ เนื่องจากผลกระทบที่รบกวนของดวงอาทิตย์และดาวเคราะห์ต่อการเคลื่อนที่ของดวงจันทร์รอบโลก

ฌอง เลอ รอนด์ ดาเลมแบร์และอเล็กซิส แคลโรต์ซึ่งต่างก็เป็นคู่แข่งกันมายาวนาน ต่างพยายามวิเคราะห์ปัญหาในระดับทั่วไป พวกเขาส่งการวิเคราะห์ครั้งแรกที่แข่งขันกันไปยังสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งราชวงศ์อังกฤษในปี 1747 ^{[ 33 ]}การวิจัยของพวกเขาในปารีสในช่วงทศวรรษ 1740 ทำให้ชื่อ "ปัญหาสามวัตถุ" (ภาษาฝรั่งเศส : Problème des trois Corps ) เริ่มถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย บันทึกที่ตีพิมพ์ในปี 1761 โดยฌอง เลอ รอนด์ ดาเลมแบร์ ระบุว่าชื่อนี้ถูกใช้ครั้งแรกในปี 1747 ^{[ 34 ]}

ตั้งแต่ปลายศตวรรษที่ 19 ถึงต้นศตวรรษที่ 20 นักวิทยาศาสตร์ได้พัฒนาแนวทางในการแก้ปัญหาสามวัตถุโดยใช้แรงดึงดูดระยะสั้นระหว่างสองวัตถุ ซึ่งทำให้ PF Bedaque, H.-W. Hammer และ U. van Kolck มีแนวคิดที่จะปรับค่าใหม่ของปัญหาสามวัตถุระยะสั้น ทำให้นักวิทยาศาสตร์ได้รับตัวอย่างที่หายากของวงจรจำกัดกลุ่มการปรับค่าใหม่ ในช่วงต้นศตวรรษที่ 21 ^{[ 35 ]} George William Hillได้ทำงานเกี่ยวกับปัญหาที่จำกัดในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 โดยใช้การเคลื่อนที่ของดาวศุกร์และดาวพุธ^{[ 36 ]}

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 คาร์ล ซุนด์แมนได้เข้าถึงปัญหาทางคณิตศาสตร์และอย่างเป็นระบบโดยการให้การพิสูจน์เชิงทฤษฎีที่ใช้งานได้สำหรับปัญหาที่ใช้ได้กับค่าเวลาทั้งหมด นับเป็นครั้งแรกที่นักวิทยาศาสตร์แก้ปัญหาสามวัตถุในเชิงทฤษฎี อย่างไรก็ตาม เนื่องจากไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่มีคุณภาพเพียงพอสำหรับระบบนี้ และมันช้าเกินไปสำหรับนักวิทยาศาสตร์ที่จะนำไปใช้ในทางปฏิบัติ วิธีแก้ปัญหานี้จึงยังคงมีปัญหาบางอย่างที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข^{[ 37 ]}ในช่วงทศวรรษที่ 1970 การนำแรงจากสองวัตถุมาใช้กับสามวัตถุได้รับการค้นพบโดยวี. เอฟิมอฟซึ่งได้รับการตั้งชื่อว่าปรากฏการณ์เอฟิมอฟ^{[ 38 ]}

ในปี 2017 Shijun Liaoและ Xiaoming Li ได้นำกลยุทธ์การจำลองเชิงตัวเลขแบบใหม่สำหรับระบบอลวนที่เรียกว่าการจำลองเชิงตัวเลขที่สะอาด (CNS) มาใช้ โดยใช้ซูเปอร์คอมพิวเตอร์แห่งชาติ เพื่อให้ได้โซลูชันแบบคาบ 695 ตระกูลของระบบสามวัตถุที่มีมวลเท่ากันได้สำเร็จ^{[ 39 ]}

ในปี 2019 Breen และคณะได้ประกาศ ตัวแก้ปัญหา เครือข่ายประสาทเทียม ที่รวดเร็ว สำหรับปัญหาสามวัตถุ ซึ่งได้รับการฝึกฝนโดยใช้ตัวรวมเชิงตัวเลข^{[ 40 ]}

ในเดือนกันยายน พ.ศ. 2566 มีการค้นพบวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้หลายวิธีตามรายงาน^{[ 25 ] [ 41 ]}

บางครั้งคำว่า "ปัญหาของวัตถุสามชิ้น" ถูกนำมาใช้ในความหมายทั่วไปเพื่อหมายถึงปัญหาทางฟิสิกส์ใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับการปฏิสัมพันธ์ของวัตถุสามชิ้น

ปัญหาแรงโน้มถ่วงสามตัวที่เทียบเคียงได้ในกลศาสตร์ควอนตัมในกลศาสตร์คลาสสิกคืออะตอมฮีเลียมซึ่ง นิวเคลียส ของฮีเลียมและอิเล็กตรอน สองตัว มีปฏิสัมพันธ์กันตามปฏิสัมพันธ์คูลอมบ์ผกผันกำลังสอง เช่นเดียวกับปัญหาแรงโน้มถ่วงสามตัว อะตอมฮีเลียมไม่สามารถหาคำตอบได้อย่างแม่นยำ^{[ 42 ]}

อย่างไรก็ตาม ทั้งในกลศาสตร์คลาสสิกและกลศาสตร์ควอนตัม มีกฎปฏิสัมพันธ์ที่ไม่ธรรมดา นอกเหนือจากแรงผกผันกำลังสอง ที่นำไปสู่คำตอบเชิงวิเคราะห์ที่แม่นยำสำหรับระบบสามอนุภาค แบบจำลองหนึ่งดังกล่าวประกอบด้วยการรวมกันของแรงดึงดูดแบบฮาร์มอนิกและแรงผลักผกผันกำลังสาม^{[ 43 ]}แบบจำลองนี้ถือว่าไม่ธรรมดา เนื่องจากเกี่ยวข้องกับชุดสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นที่มีจุดเอกฐาน (เมื่อเปรียบเทียบกับ เช่น ปฏิสัมพันธ์แบบฮาร์มอนิกเพียงอย่างเดียว ซึ่งนำไปสู่ระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่แก้ได้ง่าย) ในสองแง่มุมนี้ มันคล้ายคลึงกับแบบจำลอง (ที่แก้ไม่ได้) ที่มีปฏิสัมพันธ์แบบคูลอมบ์ และด้วยเหตุนี้ จึงได้รับการเสนอแนะให้เป็นเครื่องมือสำหรับการทำความเข้าใจระบบทางกายภาพอย่างเป็นธรรมชาติ เช่น อะตอมฮีเลียม^{[ 43 ] [ 44 ]}

ภายในแบบจำลองจุดวนการเคลื่อนที่ของกระแสน้ำวนในของไหลอุดมคติสองมิติจะถูกอธิบายด้วยสมการการเคลื่อนที่ที่มีเฉพาะอนุพันธ์อันดับหนึ่งเทียบกับเวลาเท่านั้น กล่าวคือ ตรงกันข้ามกับกลศาสตร์นิวตันความเร็วไม่ใช่ความเร่งที่ถูกกำหนดโดยตำแหน่งสัมพัทธ์ของพวกมัน ผลที่ตามมาคือ ปัญหาของกระแสน้ำวนสามกระแสยังคงสามารถหาคำตอบได้^{[ 45 ]}ในขณะที่ต้องมีกระแสน้ำวนอย่างน้อยสี่กระแสเพื่อให้ได้พฤติกรรมอลวน^{[ 46 ]}เราสามารถเปรียบเทียบการเคลื่อนที่ของอนุภาคติดตามแบบพาสซีฟในสนามความเร็วของกระแสน้ำวนสามกระแสกับปัญหาสามวัตถุแบบจำกัดของกลศาสตร์นิวตันได้^{[ 47 ]}

ปัญหาแรงโน้มถ่วงสามตัวได้รับการศึกษาโดยใช้ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเช่นกัน ในทางกายภาพ การพิจารณาเชิงสัมพัทธภาพกลายเป็นสิ่งจำเป็นในระบบที่มีสนามแรงโน้มถ่วงที่รุนแรงมาก เช่น ใกล้ขอบฟ้าเหตุการณ์ของหลุมดำอย่างไรก็ตาม ปัญหาเชิงสัมพัทธภาพนั้นยากกว่าในกลศาสตร์นิวตันมาก และต้องใช้เทคนิคเชิงตัวเลขที่ซับซ้อน แม้แต่ ปัญหาสองตัวแบบ สมบูรณ์ (เช่น สำหรับอัตราส่วนมวลใดๆ) ก็ไม่มีคำตอบเชิงวิเคราะห์ที่เข้มงวดในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป^{[ 48 ]}

ปัญหาสามวัตถุเป็นกรณีพิเศษของ ปัญหา nวัตถุซึ่งอธิบายว่า วัตถุ nชิ้นเคลื่อนที่อย่างไรภายใต้แรงทางกายภาพอย่างใดอย่างหนึ่ง เช่นแรงโน้มถ่วง ปัญหาเหล่านี้มีคำตอบเชิงวิเคราะห์ทั่วโลกในรูปแบบของอนุกรมกำลังลู่เข้า ดังที่ Karl F. Sundmanได้พิสูจน์ไว้สำหรับn = 3และQiudong Wangสำหรับn > 3 (ดู รายละเอียดใน ปัญหาnวัตถุ) อย่างไรก็ตาม อนุกรมของ Sundman และ Wang ลู่เข้าช้ามากจนไม่มีประโยชน์ในทางปฏิบัติ^{[ 49 ]}ดังนั้นในปัจจุบันจึงจำเป็นต้องประมาณคำตอบโดยการวิเคราะห์เชิงตัวเลขในรูปแบบของการบูรณาการเชิงตัวเลขหรือในบางกรณี การประมาณอนุกรม ตรีโกณมิติ แบบคลาสสิก (ดูการจำลองn วัตถุ ) ระบบอะตอม เช่น อะตอม ไอออน และโมเลกุล สามารถจัดการได้ในแง่ของ ปัญหา n วัตถุควอน ตัม ในบรรดาระบบทางกายภาพแบบคลาสสิก ปัญหา nวัตถุมักจะหมายถึงกาแล็กซีหรือกระจุกกาแล็กซีระบบดาวเคราะห์เช่นดาวฤกษ์ดาวเคราะห์และดาวบริวารสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นระบบn -body เช่นกัน ในบางกรณี การใช้ทฤษฎี การรบกวน (perturbation theory) สามารถจัดการได้อย่างสะดวก โดยพิจารณาระบบเป็นปัญหา 2-body บวกกับแรงเพิ่มเติมที่ทำให้เกิดการเบี่ยงเบนจากวิถีโคจร 2-body ที่ไม่ถูกรบกวนในเชิงสมมติฐาน

• Chenciner, Alain (2007). "ปัญหาสามร่าง" . Scholarpedia . 2 (10): 2111. Bibcode : 2007SchpJ...2.2111C . doi : 10.4249/scholarpedia.2111 .
• ผลการศึกษาชิ้นใหม่ชี้ว่า "ปัญหา 3 วัตถุ" อาจไม่ได้ซับซ้อนอย่างที่คิด ( Live Science, 22 ตุลาคม 2024)
• นักฟิสิกส์ค้นพบวิธีแก้ปัญหาใหม่ถึง 13 วิธีสำหรับปัญหาการเคลื่อนที่ของวัตถุสามชิ้น ( Science, 8 มีนาคม 2013)