ในทางเรขาคณิตรูปทรงหลายเหลี่ยม (เช่น รูปหลายเหลี่ยมหรือทรงหลายเหลี่ยมด้านเท่า ) หรือการปูพื้นแบบใด จะเรียกว่า เป็นแบบสมมาตรสมมาตรหรือสมมาตรจุดยอด ถ้า จุดยอดทั้งหมดของรูปทรงนั้นเท่ากันภายใต้สมมาตร ของรูปทรงนั้น ซึ่งหมายความว่าแต่ละจุดยอดถูกล้อมรอบด้วย หน้าตัดชนิดเดียวกันในลำดับเดียวกันหรือลำดับกลับกัน และมีมุมระหว่างหน้าตัดที่สอดคล้องกัน เท่ากัน

ในทางเทคนิคแล้ว กล่าวได้ว่า สำหรับจุดยอดสองจุดใดๆ จะมีสมมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ แมป จุดแรก ไปยังจุดที่สอง แบบไอโซเมตริกอีกวิธีหนึ่งในการกล่าวถึงเรื่องนี้คือกลุ่มของออโตมอร์ฟิซึมของรูปทรง หลาย เหลี่ยมกระทำแบบทรานซิทีฟต่อจุดยอดของมัน หรือจุดยอดเหล่านั้นอยู่ภายในวง โคจรสมมาตรเดียวกัน

จุดยอดทั้งหมดของ รูปไอโซโกนอลมิติ n ที่จำกัด มีอยู่บนทรงกลม ( n − 1) ^{[ 1 ]}

คำว่า"ไอโซโกนัล" (isogonal)ถูกใช้เรียกทรงหลายเหลี่ยมมานานแล้ว ส่วนคำ ว่า "เวอร์เท็กซ์- ทรานซิทีฟ" (Vertex-transitive)เป็นคำพ้องความหมายที่ยืมมาจากแนวคิดสมัยใหม่ เช่นกลุ่มสมมาตรและทฤษฎีกราฟ

รูปทรงซูโดรอมบิคิวบอกตาเฮดรอน  – ซึ่งไม่ใช่รูปทรงไอโซโกนัล – แสดงให้เห็นว่าการกล่าวอ้างง่ายๆ ว่า "จุดยอดทั้งหมดดูเหมือนกัน" นั้นไม่เข้มงวดเท่ากับคำจำกัดความที่ใช้ในที่นี้ ซึ่งเกี่ยวข้องกับกลุ่มของไอโซเมตรีที่รักษารูปทรงหลายเหลี่ยมหรือการปูพื้นเอาไว้

อะพีโรกอนไอโซโกนัล
ไอโซโกนัลสควีอะพีโรกอน

รูปหลายเหลี่ยมปกติ รูปหลายเหลี่ยมอะเพโรกอนและรูปหลายเหลี่ยมดาวปกติทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมไอโซโกนัลรูป หลายเหลี่ยม คู่ของรูปหลายเหลี่ยมไอโซโกนัลคือรูปหลายเหลี่ยมไอโซทอกซัล

รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านคู่และรูปอะพีโรกอนที่มีความยาวด้านสลับกันสองด้าน เช่นสี่เหลี่ยมผืนผ้า บาง รูป เรียก ว่า รูปไอโซโกนัล

รูปหลายเหลี่ยมระนาบไอโซโกนัล 2nทุกรูปมีสมมาตรไดเฮดรัล (D _n , n = 2, 3, ...) โดยมีเส้นสะท้อนผ่านจุดกึ่งกลางขอบ

ดี2	ดี3	ดี4	ดี7
สี่เหลี่ยมผืนผ้าไอโซโกนัลและสี่เหลี่ยมผืนผ้าไขว้ ที่มี การจัดเรียงจุดยอดเหมือนกัน	รูปหก เหลี่ยมไอโซ โกนัลที่มีจุดยอดที่เหมือนกัน 6 จุดและความยาวขอบ 2 ค่า[ 2 ]	รูปแปดเหลี่ยมนูนไอโซโกนัลที่มีเส้นสะท้อนรัศมีสีน้ำเงินและสีแดง	รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส "ดาว" ที่มีจุดยอดหนึ่งประเภทและขอบสองประเภท[ 3 ]

การปูพื้นแบบไอโซโกนัล

การปูกระเบื้องสี่เหลี่ยมบิดเบี้ยว

การปูกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่บิดเบี้ยว และถูกตัดทอน

ทรงหลายเหลี่ยมไอโซโกนัลและการปูพื้นแบบ 2 มิติมีจุดยอดเพียงชนิดเดียวทรงหลายเหลี่ยมไอโซโกนัลที่มีหน้าปกติทุกหน้าก็เป็นทรงหลายเหลี่ยมเอกรูปเช่นกันและสามารถแสดงได้ด้วย สัญลักษณ์ การจัดเรียงจุดยอดโดยเรียงลำดับหน้าต่างๆ รอบจุดยอดแต่ละจุด รูปทรงที่บิดเบี้ยวทางเรขาคณิตของทรงหลายเหลี่ยมเอกรูปและการปูพื้นก็สามารถกำหนดการจัดเรียงจุดยอดได้เช่นกัน

ทรงหลายเหลี่ยมไอโซโกนัล

D 3dลำดับที่ 12	T h , คำสั่งซื้อที่ 24	โอ้ ลำดับ ที่ 48
4.4.6	3.4.4.4	4.6.8	3.8.8
ปริซึมหกเหลี่ยมบิดเบี้ยว (ปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมูสองเหลี่ยม)	รูป ทรงสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ แปดเหลี่ยมบิดเบี้ยว	ทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยม ตัดตื้น	ลูกบาศก์ที่ถูกตัดทอนอย่างมาก

รูปทรงหลายเหลี่ยมไอโซโกนัลและการปูพื้นแบบ 2 มิติ สามารถจำแนกเพิ่มเติมได้ดังนี้:

• รูปทรง เรขาคณิตปกติ จะต้องเป็น รูปทรงไอโซเฮดรัล (สมมาตรหน้า) และไอโซทอกซัล (สมมาตรขอบ) ด้วย ซึ่งหมายความว่าทุกหน้าเป็น รูปหลายเหลี่ยมปกติชนิดเดียวกัน
• เรียกว่า กึ่งปกติ (Quasi-regular)หากเป็นไอโซทอกซัล (edge-transitive) แต่ไม่ใช่ไอโซเฮดรัล (face-transitive)
• เรียกว่า กึ่งปกติ (Semi-regular)หากทุกหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ แต่ไม่ใช่ รูปสมมาตรไอโซเฮดรัล (face-transitive) หรือรูปสมมาตรไอโซทอกซัล (edge-transitive) (คำจำกัดความอาจแตกต่างกันไปในแต่ละผู้เขียน เช่น บางคนไม่รวมทรงตันที่มีสมมาตรไดเฮดรัล หรือทรงตันที่ไม่นูน)
• จะเรียกว่าสม่ำเสมอหากทุกหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ กล่าวคือ เป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ รูปหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ หรือรูปหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ
• กึ่งสม่ำเสมอหากองค์ประกอบต่างๆ เป็นรูปไอโซโกนอล แต่ยอมให้มีความยาวขอบหลายแบบได้
• เรียกว่ารูปทรงเกล็ดปลาหากขอบทุกด้านมีความยาวเท่ากัน
• ถือว่ามีคุณค่าหากเป็นทรงเหลี่ยมด้านเท่า (สมมาตรหน้า)

คำจำกัดความเหล่านี้สามารถขยายไปสู่รูปทรงหลาย เหลี่ยม และลวดลายปูพื้นที่มี มิติสูงกว่าได้ รูปทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอทั้งหมดเป็น รูปทรง หลายเหลี่ยมที่มีมุมเท่ากันตัวอย่างเช่นรูปทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอ 4 มิติและรังผึ้งสม่ำเสมอแบบนูน

รูป ทรง คู่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมสมมาตรคือรูปทรงสมมาตรด้านเท่าซึ่งมีคุณสมบัติการถ่ายทอดบนหน้าตัด ของ มัน

รูปทรงหลายเหลี่ยมหรือการปูพื้นอาจเรียกว่าk -isogonal ได้ หากจุดยอดของมันประกอบกันเป็นk- transitivity classes ส่วนคำที่จำกัดกว่านั้น คือ k - uniformซึ่งนิยามว่าเป็นรูปทรง k-isogonal ที่สร้างขึ้นจาก รูปหลายเหลี่ยมปกติเท่านั้นสามารถแสดงผลด้วยสีต่างๆ ได้โดยใช้การ ระบายสีแบบ สม่ำเสมอ

ทรงสิบสองเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ถูกตัดยอดนี้เป็น ทรงสิบสอง เหลี่ยมที่มีสมมาตร 2 ด้านเนื่องจากมีจุดยอดสองกลุ่มที่มีคุณสมบัติการถ่ายทอด ทรงหลายเหลี่ยมนี้สร้างขึ้นจากรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูปหกเหลี่ยม ที่แบน ราบ

การปูพื้นแบบเดมิเรกูลาร์นี้ยังเป็นแบบ 2-ไอโซโกนัล (และ2-ยูนิฟอร์ม ) ด้วย การปูพื้นนี้ประกอบด้วย หน้า สามเหลี่ยมด้านเท่าและหน้า หกเหลี่ยม ด้านเท่า

2-isogonal 9/4 enneagram (หน้าของดาวดวงสุดท้ายของ icosahedron )

• การเปลี่ยนแปลงตามขอบ (ภาพไอโซทอกซัล)
• รูป ทรงหน้าสมมาตร (รูปทรงไอโซเฮดรัล)

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "กราฟแบบเวอร์เท็กซ์ทรานซิทีฟ" . MathWorld .
• ทรงหลาย เหลี่ยมคาไลโดสโคปิกแบบไอโซโกนัล วลาดิมีร์ แอล . บูลาตอฟ ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยรัฐโอเรกอน คอร์วัลลิส นำเสนอในงาน Mosaic2000 การประชุมวิชาการเปิดแห่งสหัสวรรษด้านศิลปะและการคำนวณแบบสหวิทยาการ 21-24 สิงหาคม 2543 ซีแอตเทิล วอชิงตันโมเดล VRML
• สตีเวน ดัตช์ ใช้คำว่า k-uniform สำหรับการแจงนับการปูพื้นแบบ k-isogonal
• รายการการปูพื้นแบบสม่ำเสมอ n รูปแบบ
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "การปูพื้นแบบเดมิเรกูลาร์" . MathWorld .(นอกจากนี้ยังใช้คำว่า k-uniform สำหรับ k-isogonal ด้วย)