บทความนี้กล่าวถึงวิธีการและผลลัพธ์ของการเปรียบเทียบระบบการเลือกตั้ง ที่แตกต่างกัน โดยทั่วไป แล้วมีวิธีการเปรียบเทียบระบบการลงคะแนนเสียงอยู่สองวิธีหลักๆ ดังนี้:

1. ตัวชี้วัดความพึงพอใจของผู้มีสิทธิเลือกตั้ง ไม่ว่าจะผ่านการจำลองหรือการสำรวจ
2. การยึดมั่นในเกณฑ์เชิงตรรกะ

วิธีการลงคะแนนสามารถประเมินได้โดยการวัดความแม่นยำภายใต้การเลือกตั้งจำลองแบบสุ่ม โดยมีเป้าหมายเพื่อให้สอดคล้องกับคุณสมบัติของการเลือกตั้งในชีวิตจริง การประเมินครั้งแรกดังกล่าวได้ดำเนินการโดย Chamberlin และ Cohen ในปี 1978 ซึ่งวัดความถี่ที่ระบบที่ไม่ใช่ Condorcet บางระบบเลือกผู้ชนะ Condorcet ^{[ 1 ]}

มาร์กีส์ เดอ คอนดอร์เซต์มองว่าการเลือกตั้งนั้นคล้ายคลึงกับการลงคะแนนของคณะลูกขุน โดยที่สมาชิกแต่ละคนแสดงการตัดสินที่เป็นอิสระเกี่ยวกับคุณภาพของผู้สมัคร ผู้สมัครแต่ละคนมีความแตกต่างกันในแง่ของคุณสมบัติที่เป็นรูปธรรม แต่ผู้ลงคะแนนมีข้อมูลที่ไม่สมบูรณ์เกี่ยวกับคุณสมบัติที่สัมพันธ์กันของผู้สมัคร แบบจำลองคณะลูกขุนดังกล่าวบางครั้งเรียกว่าแบบจำลองคุณค่า คอนดอร์เซต์และ ลาปลาซผู้ร่วมสมัยของเขาได้แสดงให้เห็นว่า ในแบบจำลองดังกล่าว ทฤษฎีการลงคะแนนสามารถลดทอนลงเหลือเพียงความน่าจะเป็นได้โดยการหาคุณภาพที่คาดหวังของผู้สมัครแต่ละคน^{[ 2 ]}

แบบจำลองคณะลูกขุนบ่งชี้ถึงแนวคิดเรื่องความแม่นยำตามธรรมชาติหลายประการสำหรับระบบการลงคะแนนภายใต้แบบจำลองต่างๆ:

1. หากการประเมินของผู้ลงคะแนนมีข้อผิดพลาดตามการกระจายแบบปกติวิธีการที่เหมาะสมที่สุดคือ การ ลงคะแนนตามคะแนน
2. หากมีเพียงข้อมูลการจัดอันดับ และมีผู้ลงคะแนนมากกว่าผู้สมัครจำนวนมากวิธีการคอนดอร์เซต์ ใดๆ ก็ จะบรรจบกันที่ผู้ชนะคอนดอร์เซต์เพียงคนเดียว ซึ่งจะมีโอกาสสูงสุดที่จะเป็นผู้สมัครที่ดีที่สุด^{[ 3 ]}

อย่างไรก็ตาม แบบจำลองของคอนดอร์เซต์ตั้งอยู่บนสมมติฐานที่แข็งแกร่งมากเกี่ยวกับการผิดพลาดที่เป็นอิสระต่อกันกล่าวคือ ผู้ลงคะแนนจะไม่ลำเอียงอย่างเป็นระบบไปในทิศทางใดทิศทางหนึ่งของผู้สมัครกลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง ซึ่งโดยทั่วไปแล้วไม่สมจริง เพราะผู้ลงคะแนนมักจะติดต่อสื่อสารกัน ก่อตั้งพรรคการเมืองหรืออุดมการณ์ทางการเมือง และมีพฤติกรรมอื่นๆ ที่อาจส่งผลให้เกิดความผิดพลาดที่สัมพันธ์กันได้

ดันแคน แบล็กเสนอแบบจำลองเชิงพื้นที่หนึ่งมิติของการลงคะแนนเสียงในปี พ.ศ. 2491 โดยมองว่าการเลือกตั้งนั้นขับเคลื่อนด้วยอุดมการณ์^{[ 4 ]}แนวคิดของเขาได้รับการขยายเพิ่มเติมในภายหลังโดยแอนโทนี ดาวน์ส^{[ 5 ]}ความคิดเห็นของผู้ลงคะแนนเสียงถือเป็นตำแหน่งในพื้นที่หนึ่งมิติหรือมากกว่านั้น ผู้สมัครมีตำแหน่งในพื้นที่เดียวกัน และผู้ลงคะแนนเสียงเลือกผู้สมัครตามลำดับความใกล้เคียง (วัดโดยใช้ระยะทางแบบยุคลิดหรือเมตริกอื่นๆ)

แบบจำลองเชิงพื้นที่บ่งบอกถึงแนวคิดที่แตกต่างกันเกี่ยวกับคุณค่าของระบบการลงคะแนนเสียง: ยิ่งผู้สมัครที่ชนะการเลือกตั้งเป็นที่ยอมรับในฐานะพารามิเตอร์ตำแหน่งสำหรับการกระจายตัวของผู้มีสิทธิเลือกตั้งมากเท่าใด ระบบก็จะยิ่งดีขึ้นเท่านั้นสเปกตรัมทางการเมืองเป็นแบบจำลองเชิงพื้นที่แบบหนึ่งมิติ

แบบจำลองการลงคะแนนที่เป็นกลางพยายามลดจำนวนพารามิเตอร์ให้น้อยที่สุด แบบจำลองที่พบได้บ่อยที่สุดคือ แบบจำลอง วัฒนธรรมที่ไม่ลำเอียงและไม่ระบุตัวตน (หรือ แบบจำลอง Dirichlet ) แบบจำลองเหล่านี้สมมติว่าผู้ลงคะแนนกำหนดค่าประโยชน์ให้กับผู้สมัครแต่ละคนแบบสุ่มโดยสมบูรณ์ (จากการกระจายแบบเอกรูป )

Tidemanและ Plassmann ได้ทำการศึกษาวิจัยซึ่งแสดงให้เห็นว่าแบบจำลองเชิงพื้นที่สองมิติให้ความเหมาะสมที่สมเหตุสมผลกับการลดจำนวนผู้สมัคร 3 คนจากชุดการจัดอันดับการเลือกตั้งขนาดใหญ่ แบบจำลองคณะลูกขุน แบบจำลองที่เป็นกลาง และแบบจำลองเชิงพื้นที่หนึ่งมิติล้วนไม่เพียงพอ^{[ 6 ]}พวกเขาพิจารณาวัฏจักร Condorcet ในความชอบของผู้ลงคะแนนเสียง (ตัวอย่างเช่น A ได้รับความนิยมมากกว่า B โดยผู้ลงคะแนนเสียงส่วนใหญ่ B มากกว่า C และ C มากกว่า A) และพบว่าจำนวนของวัฏจักรเหล่านี้สอดคล้องกับผลกระทบของตัวอย่างขนาดเล็ก โดยสรุปว่า "วัฏจักรการลงคะแนนเสียงจะเกิดขึ้นน้อยมาก หรืออาจไม่เกิดขึ้นเลย ในการเลือกตั้งที่มีผู้ลงคะแนนเสียงจำนวนมาก" ความเกี่ยวข้องของขนาดตัวอย่างได้รับการศึกษามาก่อนหน้านี้โดยGordon Tullockซึ่งโต้แย้งด้วยกราฟว่าถึงแม้ผู้มีสิทธิเลือกตั้งที่มีจำนวนจำกัดจะมีแนวโน้มที่จะเกิดวัฏจักร แต่พื้นที่ที่ผู้สมัครอาจก่อให้เกิดวัฏจักรจะหดตัวลงเมื่อจำนวนผู้ลงคะแนนเสียงเพิ่มขึ้น^{[ 7 ]}

แบบ จำลอง อรรถประโยชน์นิยมมองว่าผู้มีสิทธิเลือกตั้งจัดลำดับผู้สมัครตามลำดับของประโยชน์ใช้สอย ผู้ชนะที่ถูกต้องตามแบบจำลองนี้คือผู้สมัครที่เพิ่มประโยชน์ใช้สอยทางสังคมโดยรวมให้สูงสุด แบบจำลองอรรถประโยชน์นิยมแตกต่างจากแบบจำลองเชิงพื้นที่ในหลายประเด็นสำคัญ:

• นอกจากนี้ยังต้องอาศัยข้อสมมติเพิ่มเติมว่า ผู้มีสิทธิเลือกตั้งมีแรงจูงใจจากผลประโยชน์ส่วนตนโดยอาศัยข้อมูลอย่างครบถ้วนเท่านั้น โดยปราศจากอคติทางอุดมการณ์ในการตัดสินใจ
• จำเป็นต้องแทนที่หน่วยวัดระยะทางของแบบจำลองเชิงพื้นที่ด้วยหน่วยวัดอรรถประโยชน์ที่เที่ยงตรงกว่า
• ด้วยเหตุนี้ ตัวชี้วัดจึงจำเป็นต้องแตกต่างกันไปในแต่ละกลุ่มผู้มีสิทธิเลือกตั้ง บ่อยครั้งที่กลุ่มผู้มีสิทธิเลือกตั้งกลุ่มหนึ่งจะได้รับผลกระทบอย่างมากจากการเลือกผู้สมัครสองคน ในขณะที่อีกกลุ่มหนึ่งแทบไม่มีส่วนได้ส่วนเสียใดๆ ตัวชี้วัดจึงจำเป็นต้องมีความไม่สมมาตรสูง

จากคุณสมบัติสุดท้ายนี้ จึงสรุปได้ว่าไม่มีระบบการลงคะแนนเสียงใดที่มอบอิทธิพลเท่าเทียมกันให้กับผู้ลงคะแนนเสียงทั้งหมด และไม่น่าจะบรรลุประโยชน์ทางสังคมสูงสุดได้ กรณีความขัดแย้งสุดขั้วระหว่างข้อเรียกร้องของลัทธิประโยชน์นิยมและประชาธิปไตยเรียกว่า ' เผด็จการของเสียงข้างมาก ' ดูความคิดเห็นของ Laslier, Merlin และ Nurmi ในงานเขียนของ Laslier ^{[ 8 ]}

เจมส์ มิลล์ดูเหมือนจะเป็นคนแรกที่อ้างว่ามีความเชื่อมโยงโดย ปริยายระหว่างประชาธิปไตยและลัทธิประโยชน์ นิยม – ดูบทความในสารานุกรมสแตนฟอร์ด^{[ 9 ]}

สมมติว่า ผู้สมัคร  ^{คนที่} i ในการเลือกตั้งมีคุณสมบัติx _i (เราอาจสมมติว่าx _i  ~  N  (0,σ ² ) ^{[ 10 ]} ) และ ระดับความเห็นชอบของ ผู้ลงคะแนน j ต่อผู้สมัคร iอาจเขียนได้เป็นx _i  + ε _ij (เราจะสมมติว่า ε _ijเป็นiid N  (0,τ ² )) เราสมมติว่าผู้ลงคะแนนจัดอันดับผู้สมัครตามลำดับความเห็นชอบที่ลดลง เราอาจตีความ ε _ijว่าเป็นข้อผิดพลาดในการประเมินค่าของผู้สมัครi  ของผู้ลงคะแนนjและถือว่าวิธีการลงคะแนนมีหน้าที่ในการค้นหาผู้สมัครที่มีคุณสมบัติสูงสุด

ผู้ลงคะแนนแต่ละคนจะจัดอันดับผู้สมัครที่ดีกว่าในสองคนให้สูงกว่าผู้สมัครที่ด้อยกว่าด้วยความน่าจะเป็นที่แน่นอนp (ซึ่งภายใต้แบบจำลองปกติที่อธิบายไว้ในที่นี้จะเท่ากับ1/2ดังที่สามารถยืนยันได้จากสูตรมาตรฐานสำหรับปริพันธ์เกาส์เซียนเหนือควอดแรนต์) ทฤษฎีบทคณะลูกขุนของคอนดอร์เซต์แสดงให้เห็นว่า ตราบใดที่p  >  1/2เสียงข้างมากของคณะลูกขุนจะเป็นแนวทางที่ดีกว่าในการพิจารณาคุณสมบัติสัมพัทธ์ของผู้สมัครสองคน มากกว่าความคิดเห็นของสมาชิกเพียงคนเดียว ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\!+\!{\tfrac {1}{\pi }}{\textrm {tan}}^{-1}{\tfrac {\sigma }{\tau }}}$

Peyton Youngแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติเพิ่มเติมอีกสามประการใช้กับการลงคะแนนเสียงระหว่างผู้สมัครจำนวนเท่าใดก็ได้ ซึ่งแสดงให้เห็นว่า Condorcet ทราบถึงคุณสมบัติข้อแรกและข้อที่สาม^{[ 11 ]}

• ถ้าpมีค่าใกล้เคียงกับ1/2แสดงว่า ผู้ชนะ ตามวิธีBordaคือตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดของตัวเลือกที่ดีที่สุด
• ถ้าค่า pใกล้เคียงกับ 1 ผู้ชนะในวิธี Minimaxจะเป็นตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดของตัวเลือกที่ดีที่สุด
• สำหรับค่า p ใดๆ การจัดอันดับ แบบKemeny-Youngเป็นตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดของลำดับความดีความชอบที่แท้จริง

Robert F. Bordley สร้างแบบจำลอง 'ประโยชน์นิยม' ซึ่งเป็นแบบจำลองคณะลูกขุนของ Condorcet ที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย^{[ 12 ]}เขามองว่าภารกิจของวิธีการลงคะแนนคือการค้นหาผู้สมัครที่ได้รับการอนุมัติโดยรวมสูงสุดจากผู้มีสิทธิเลือกตั้ง กล่าวคือ ผลรวมสูงสุดของระดับการอนุมัติของผู้ลงคะแนนแต่ละคน แบบจำลองนี้สมเหตุสมผลแม้ว่า σ ²  = 0 ซึ่งในกรณีนี้pจะมีค่าเท่ากับn ซึ่ง เป็นจำนวนผู้ลงคะแนน เขาทำการประเมินภายใต้แบบจำลองนี้ และพบว่าการนับของ Borda มีความแม่นยำที่สุดตามที่คาดไว้ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\!+\!{\tfrac {1}{\pi }}{\textrm {tan}}^{-1}{\tfrac {1}{n-1}}}$

การจำลองการเลือกตั้งสามารถสร้างขึ้นได้จากการกระจายตัวของผู้มีสิทธิเลือกตั้งในพื้นที่ที่เหมาะสม ภาพประกอบแสดงให้เห็นผู้มีสิทธิเลือกตั้งที่สอดคล้องกับการกระจายแบบเกาส์เซียนสองตัวแปรที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ O มีผู้สมัคร 3 คนที่สร้างขึ้นแบบสุ่ม ได้แก่ A, B และ C พื้นที่ถูกแบ่งออกเป็น 6 ส่วนโดยเส้น 3 เส้น โดยผู้มีสิทธิเลือกตั้งในแต่ละส่วนมีลำดับความชอบผู้สมัครเหมือนกัน สัดส่วนของผู้มีสิทธิเลือกตั้งที่จัดลำดับผู้สมัครในลักษณะใด ๆ จะคำนวณได้จากปริพันธ์ของการกระจายตัวของผู้มีสิทธิเลือกตั้งเหนือส่วนที่เกี่ยวข้อง

สัดส่วนที่สอดคล้องกับการเรียงลำดับผู้สมัครที่เป็นไปได้ 6 แบบ จะเป็นตัวกำหนดผลลัพธ์ที่ได้จากระบบการลงคะแนนที่แตกต่างกัน ระบบที่เลือกผู้สมัครที่ดีที่สุด กล่าวคือ ผู้สมัครที่ใกล้เคียงกับ O มากที่สุด (ซึ่งในกรณีนี้คือ A) ถือว่าให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง และระบบที่เลือกผู้สมัครคนอื่นถือว่ามีข้อผิดพลาด การพิจารณาผลลัพธ์จากผู้สมัครจำนวนมากที่สร้างขึ้นแบบสุ่ม ทำให้สามารถวัดคุณสมบัติเชิงประจักษ์ของระบบการลงคะแนนได้

โปรโตคอลการประเมินที่ระบุไว้ในที่นี้จำลองมาจากโปรโตคอลที่อธิบายโดย Tideman และ Plassmann ^{[ 6 ]} การประเมินประเภทนี้พบได้บ่อยที่สุดสำหรับระบบการเลือกตั้งแบบผู้ชนะคนเดียว ระบบ การลงคะแนนแบบจัดอันดับเข้ากับกรอบการทำงานนี้ได้อย่างเป็นธรรมชาติที่สุด แต่บัตรลงคะแนนประเภทอื่น ๆ (เช่นFPTPและการลงคะแนนแบบอนุมัติ ) สามารถรองรับได้ด้วยความพยายามที่มากหรือน้อยกว่า

สามารถปรับเปลี่ยนขั้นตอนการประเมินได้หลายวิธี:

• จำนวนผู้มีสิทธิเลือกตั้งสามารถกำหนดให้มีจำนวนจำกัดและมีขนาดแตกต่างกันได้ ในทางปฏิบัติ มักจะทำเช่นนี้ในแบบจำลองหลายตัวแปร โดยสุ่มตัวอย่างผู้มีสิทธิเลือกตั้งจากกลุ่มตัวอย่าง และใช้ผลลัพธ์สำหรับกลุ่มผู้มีสิทธิเลือกตั้งขนาดใหญ่เพื่อแสดงพฤติกรรมที่จำกัด
• จำนวนผู้สมัครสามารถเปลี่ยนแปลงได้
• การกระจายตัวของผู้ลงคะแนนอาจแตกต่างกันได้ ตัวอย่างเช่น สามารถตรวจสอบผลกระทบของการกระจายแบบไม่สมมาตรได้ การเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากภาวะปกติเกิดขึ้นจากผลกระทบของการสุ่มตัวอย่างแบบสุ่มเมื่อจำนวนผู้ลงคะแนนมีจำกัด การเบี่ยงเบนที่เป็นระบบมากขึ้น (ซึ่งดูเหมือนจะอยู่ในรูปแบบของแบบจำลองการผสมแบบเกาส์เซียน ) ได้รับการตรวจสอบโดย Jameson Quinn ในปี 2017 ^{[ 13 ]}

หนึ่งในประโยชน์หลักของการประเมินคือการเปรียบเทียบความแม่นยำของระบบการลงคะแนนเมื่อผู้ลงคะแนนลงคะแนนด้วยความจริงใจ หากผู้ลงคะแนนจำนวนอนันต์เป็นไปตามการแจกแจงแบบเกาส์เซียน ผู้ชนะที่ถูกต้องของการเลือกตั้งสามารถถือได้ว่าเป็นผู้สมัครที่ใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ย/ค่ามัธยฐานมากที่สุด และความแม่นยำของวิธีการสามารถระบุได้จากสัดส่วนของการเลือกตั้งที่ผู้ชนะที่ถูกต้องได้รับการเลือกตั้ง ทฤษฎีบทผู้ลงคะแนนค่ามัธยฐานรับประกันว่าระบบ Condorcet ทั้งหมดจะให้ความแม่นยำ 100% (และเช่นเดียวกันกับวิธีการของ Coombs ^{[ 14 ]} )

การประเมินที่ตีพิมพ์ในเอกสารวิจัยใช้ Gaussian หลายมิติ ทำให้การคำนวณเชิงตัวเลขทำได้ยาก^{[ 1 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}จำนวนผู้ลงคะแนนเสียงมีจำนวนจำกัด และจำนวนผู้สมัครก็มีจำนวนน้อยอย่างแน่นอน

การคำนวณจะตรงไปตรงมามากขึ้นในมิติเดียว ซึ่งทำให้สามารถมีผู้ลงคะแนนได้ไม่จำกัดจำนวน และมีผู้สมัครได้ไม่จำกัดจำนวนmผลลัพธ์สำหรับกรณีง่ายๆ นี้แสดงอยู่ในตารางแรก ซึ่งสามารถเปรียบเทียบได้โดยตรงกับตารางที่ 5 (ผู้ลงคะแนน 1,000 คน การกระจายตัวปานกลาง) ของบทความที่อ้างถึงโดย Chamberlin และ Cohen ผู้สมัครถูกสุ่มเลือกจากกลุ่มผู้ลงคะแนน และใช้วิธี Condorcet เพียงวิธีเดียว ( minimax ) ในการทดลองเพื่อยืนยันผลลัพธ์

ประสิทธิภาพที่ค่อนข้างต่ำของระบบการลงคะแนนแบบทางเลือก (IRV) อธิบายได้จากแหล่งที่มาของข้อผิดพลาดที่รู้จักกันดีและพบได้ทั่วไป ดังแสดงในแผนภาพ ซึ่งการเลือกตั้งเป็นไปตามแบบจำลองเชิงพื้นที่แบบตัวแปรเดียว และผู้ชนะที่ถูกต้องตามกฎหมาย B จะถูกคัดออกในรอบแรก ปัญหาที่คล้ายกันนี้เกิดขึ้นในทุกมิติ

มาตรวัดความแม่นยำอีกวิธีหนึ่งคือระยะห่างเฉลี่ยของผู้ลงคะแนนจากผู้ชนะ (โดยที่ค่าน้อยกว่าหมายถึงดีกว่า) วิธีนี้ไม่น่าจะเปลี่ยนแปลงลำดับของวิธีการลงคะแนน แต่เป็นที่นิยมในหมู่ผู้ที่ตีความระยะห่างว่าเป็นความไม่พึงพอใจ ตารางที่สองแสดงระยะห่างเฉลี่ย (ในหน่วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน) ลบด้วย (ซึ่งเป็นระยะห่างเฉลี่ยของตัวแปรจากจุดศูนย์กลางของการแจกแจงแบบเกาส์เซียนมาตรฐาน) สำหรับผู้สมัคร 10 คนภายใต้แบบจำลองเดียวกัน ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{\pi }}}}$

James Green-Armytage และคณะได้ตีพิมพ์งานวิจัยที่ประเมินความเปราะบางของระบบการลงคะแนนหลายระบบต่อการบิดเบือนโดยผู้ลงคะแนน^{[ 18 ]}พวกเขากล่าวถึงเพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีการปรับการประเมินเพื่อจุดประสงค์นี้ โดยกล่าวเพียงว่า "ต้องใช้การเขียนโปรแกรมเชิงสร้างสรรค์" บทความก่อนหน้านี้โดยผู้เขียนคนแรกให้รายละเอียดเพิ่มเติมเล็กน้อย^{[ 19 ]}

จำนวนผู้สมัครในการเลือกตั้งจำลองของพวกเขามีจำกัดเพียง 3 คน ซึ่งจะช่วยขจัดความแตกต่างระหว่างระบบบางอย่าง ตัวอย่างเช่นวิธีของ Blackและวิธีของ Dasgupta-Maskinจะมีประสิทธิภาพเท่ากันเมื่อมีผู้สมัคร 3 คน

ข้อสรุปจากการศึกษานั้นยากที่จะสรุปได้ แต่พบว่าวิธีการนับคะแนนแบบ Bordaทำงานได้ไม่ดี วิธีการ แบบ minimaxค่อนข้างอ่อนแอ และวิธีการแบบ IRV มีความทนทานสูงมาก ผู้เขียนแสดงให้เห็นว่าการจำกัดวิธีการใดๆ ก็ตามให้ใช้เฉพาะกับการเลือกตั้งที่ไม่มีผู้ชนะตามเกณฑ์ Condorcet (โดยเลือกผู้ชนะตามเกณฑ์ Condorcet เมื่อมีผู้ชนะ) จะไม่ทำให้วิธีการนั้นมีความเสี่ยงต่อการลงคะแนนเชิงกลยุทธ์ เพิ่มขึ้น พวกเขารายงานว่าระบบ 'Condorcet-Hare' ซึ่งใช้ IRV เป็นตัวตัดสินในกรณีที่คะแนนเสียงเท่ากันในการเลือกตั้งที่ไม่สามารถตัดสินได้ด้วยเกณฑ์ Condorcet นั้น มีความทนทานต่อการลงคะแนนเชิงกลยุทธ์เช่นเดียวกับ IRV เพียงอย่างเดียว และมีความแม่นยำกว่า Condorcet-Hare เทียบเท่ากับวิธีการของ Copelandที่ใช้ IRV เป็นตัวตัดสินในกรณีที่คะแนนเสียงเท่ากันในการเลือกตั้งที่มีผู้สมัคร 3 คน

ระบบบางระบบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งระบบนับคะแนนแบบบอร์ดา จะมีความเปราะบางเมื่อการกระจายตัวของผู้สมัครไม่สอดคล้องกับการกระจายตัวของผู้มีสิทธิเลือกตั้ง ตารางที่แนบมาแสดงความแม่นยำของระบบนับคะแนนแบบบอร์ดา (เป็นเปอร์เซ็นต์) เมื่อประชากรผู้มีสิทธิเลือกตั้งจำนวนอนันต์เป็นไปตามการกระจายแบบเกาส์เซียนแบบตัวแปรเดียว และ ผู้สมัคร mคนถูกสุ่มมาจากการกระจายที่คล้ายกันโดยมีการชดเชยด้วย การกระจายมาตรฐาน xแบบ สีแดงแสดงถึงตัวเลขที่แย่กว่าการสุ่ม โปรดจำไว้ว่าวิธีการคอนดอร์เซต์ทั้งหมดให้ความแม่นยำ 100% สำหรับปัญหานี้ (และโปรดสังเกตว่าการลดลงของความแม่นยำเมื่อxเพิ่มขึ้นจะไม่ปรากฏให้เห็นเมื่อมีผู้สมัครเพียง 3 คน)

ความอ่อนไหวต่อการกระจายตัวของผู้สมัครสามารถมองได้ว่าเป็นเรื่องของความถูกต้องหรือการต่อต้านการบิดเบือน หากเราคาดหวังว่าในที่สุดแล้วผู้สมัครจะมาจากกลุ่มผู้มีสิทธิเลือกตั้งกลุ่มเดียวกัน การเปลี่ยนแปลงใดๆ ก็จะถูกมองว่าเป็นการพยายามบ่อนทำลาย แต่หากเราคิดว่าปัจจัยที่กำหนดความเป็นไปได้ในการลงสมัครรับเลือกตั้ง (เช่น การสนับสนุนทางการเงิน) อาจมีความสัมพันธ์กับจุดยืนทางอุดมการณ์ เราก็จะมองในแง่ของความถูกต้องมากกว่า

การประเมินที่ตีพิมพ์เผยแพร่มีมุมมองที่แตกต่างกันเกี่ยวกับการกระจายตัวของผู้สมัคร บางฉบับสันนิษฐานว่าผู้สมัครมาจากกลุ่มการกระจายตัวเดียวกับผู้มีสิทธิเลือกตั้ง^{[ 16 ] [ 18 ]}เอกสารเก่าหลายฉบับสันนิษฐานว่าค่าเฉลี่ยเท่ากัน แต่ยอมให้การกระจายตัวของผู้สมัครมีความแน่นแฟ้นมากกว่าหรือน้อยกว่าการกระจายตัวของผู้มีสิทธิเลือกตั้ง^{[ 20 ] [ 1 ]}เอกสารของ Tideman และ Plassmann ประมาณความสัมพันธ์ระหว่างการกระจายตัวของผู้สมัครและผู้มีสิทธิเลือกตั้งโดยอาศัยการวัดเชิงประจักษ์^{[ 15 ]}ซึ่งดูไม่สมจริงเท่าที่ควร เนื่องจากไม่ได้คำนึงถึงการปรับการกระจายตัวของผู้สมัครเพื่อใช้ประโยชน์จากจุดอ่อนใดๆ ในระบบการลงคะแนนเสียง เอกสารของ James Green-Armytage พิจารณาการกระจายตัวของผู้สมัครเป็นประเด็นแยกต่างหาก โดยมองว่าเป็นรูปแบบหนึ่งของการบิดเบือน และวัดผลกระทบของการเข้าและออกเชิงกลยุทธ์ ไม่น่าแปลกใจที่เขาพบว่าการนับคะแนนแบบ Borda มีความเปราะบางเป็นพิเศษ^{[ 19 ]}

• ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ Chamberlin และ Cohen ได้วัดความถี่ที่ระบบที่ไม่ใช่ Condorcet บางระบบเลือกผู้ชนะ Condorcet ภายใต้แบบจำลองเชิงพื้นที่ที่มีการกระจายผู้ลงคะแนนและผู้สมัครที่เท่ากัน ความถี่คือ 99% ( Coombs ), 86% (Borda), 60% (IRV) และ 33% (FPTP) ^{[ 1 ]}บางครั้งสิ่งนี้เรียกว่าประสิทธิภาพ Condorcet
• ดาร์ลิงตันวัดความถี่ที่วิธีการของโคปแลนด์สร้างผู้ชนะที่ไม่ซ้ำกันในการเลือกตั้งที่ไม่มีผู้ชนะคอนดอร์เซต์ เขาพบว่ามีน้อยกว่า 50% สำหรับสนามที่มีผู้สมัครมากถึง 10 คน^{[ 17 ]}

หน้าที่ของระบบการลงคะแนนภายใต้แบบจำลองเชิงพื้นที่คือการระบุผู้สมัครที่มีตำแหน่งที่แสดงถึงการกระจายความคิดเห็นของผู้ลงคะแนนได้อย่างแม่นยำที่สุด ซึ่งหมายถึงการเลือกพารามิเตอร์ตำแหน่งสำหรับการกระจายจากชุดตัวเลือกที่ผู้สมัครเสนอ พารามิเตอร์ตำแหน่งอาจอิงตามค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน หรือค่าฐานนิยม แต่เนื่องจากบัตรลงคะแนนแบบจัดลำดับความชอบให้ข้อมูลเชิงลำดับเท่านั้น ค่ามัธยฐานจึงเป็นสถิติที่ยอมรับได้เพียงอย่างเดียว

จากแผนภาพจะเห็นได้ว่า การจำลองการเลือกตั้งสองครั้งที่มีผู้สมัครคนเดียวกัน แต่มีการกระจายตัวของผู้มีสิทธิเลือกตั้งแตกต่างกัน ในทั้งสองกรณี จุดกึ่งกลางระหว่างผู้สมัครคือเปอร์เซ็นไทล์ที่ 51 ของการกระจายตัวของผู้มีสิทธิเลือกตั้ง ดังนั้น 51% ของผู้มีสิทธิเลือกตั้งเลือก A และ 49% เลือก B หากเราพิจารณาว่าวิธีการลงคะแนนเสียงถูกต้องหากเลือกผู้สมัครที่อยู่ใกล้กับค่ามัธยฐานของประชากรผู้มีสิทธิเลือกตั้งมากที่สุด เนื่องจากค่ามัธยฐานจะอยู่ทางซ้ายของเส้น 51% เล็กน้อย วิธีการลงคะแนนเสียงจะถือว่าถูกต้องหากเลือก A ในทุกกรณี

ค่าเฉลี่ยของการกระจายสีเขียวอมฟ้าอยู่ค่อนไปทางซ้ายเล็กน้อยของเส้น 51% แต่ค่าเฉลี่ยของการกระจายสีส้มอยู่ค่อนไปทางขวาเล็กน้อย ดังนั้น หากเราพิจารณาว่าวิธีการลงคะแนนถูกต้องก็ต่อเมื่อเลือกผู้สมัครที่ใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยของประชากรผู้มีสิทธิเลือกตั้งมากที่สุด วิธีการนั้นจะไม่ได้รับคะแนนเต็มเว้นแต่จะเลือกผู้ชนะที่แตกต่างกันจากบัตรลงคะแนนเดียวกันในการเลือกตั้งสองครั้ง เห็นได้ชัดว่านี่จะทำให้เกิดข้อผิดพลาดที่ไม่ถูกต้องกับวิธีการลงคะแนน ปัญหาเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นกับมาตรวัดตำแหน่งเชิงปริมาณใดๆ ก็ตาม มีเพียงค่ามัธยฐานเท่านั้นที่ให้ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกัน

ค่ามัธยฐานไม่มีนิยามที่ชัดเจนสำหรับข้อมูลหลายตัวแปร แต่ค่ามัธยฐานของข้อมูลตัวแปรเดียวมีคุณสมบัติที่สามารถนำไปใช้ได้โดยทั่วไป ค่ามัธยฐานของข้อมูลคือตำแหน่งที่มีระยะห่างเฉลี่ยจากทุกจุดในข้อมูลนั้นน้อยที่สุด นิยามนี้สามารถนำไปใช้กับค่ามัธยฐานเชิงเรขาคณิต ในหลายมิติได้ ระยะห่างนี้มักถูกกำหนดให้เป็น ฟังก์ชันความไม่พึงประสงค์ของผู้ลงคะแนนเสียง

ถ้าเรามีชุดผู้สมัครและประชากรผู้มีสิทธิเลือกตั้งแล้ว ก็ไม่จำเป็นต้องแก้ปัญหาที่ยากต่อการคำนวณในการหาค่ามัธยฐานทางเรขาคณิตของผู้มีสิทธิเลือกตั้งแล้วระบุผู้สมัครที่ใกล้เคียงที่สุด แต่เราสามารถระบุผู้สมัครที่มีระยะห่างเฉลี่ยจากผู้มีสิทธิเลือกตั้งน้อยที่สุดได้ นี่คือเมตริกที่ถูกนำมาใช้โดยทั่วไปตั้งแต่ Merrill เป็นต้นมา^{[ 20 ]}ดูเพิ่มเติมที่ Green-Armytage และ Darlington ^{[ 19 ] [ 16 ]}

ผู้สมัครที่อยู่ใกล้กับค่ามัธยฐานทางเรขาคณิตของการกระจายตัวของผู้มีสิทธิเลือกตั้งมากที่สุด อาจถูกเรียกว่า 'ผู้ชนะตามพื้นที่'

ข้อมูลจากการเลือกตั้งจริงสามารถนำมาวิเคราะห์เพื่อเปรียบเทียบผลกระทบของระบบต่างๆ ได้ โดยการเปรียบเทียบระหว่างประเทศ หรือผลกระทบของการใช้ระบบต่างๆ ในประเทศเดียวกันในช่วงเวลาต่างๆ หรือโดยการนำระบบการเลือกตั้งทางเลือกมาใช้กับข้อมูลการเลือกตั้งจริง ผลลัพธ์ของการเลือกตั้งสามารถเปรียบเทียบได้ผ่านดัชนีประชาธิปไตยการวัดการแตกแยกทางการเมือง คะแนนเสียง ที่สูญเปล่า อัตราการมีส่วนร่วมของผู้มีสิทธิเลือกตั้ง^{[ 21 ] [ 22 ]}ประสิทธิภาพทางการเมืองและตัวชี้วัดทางเศรษฐกิจและตุลาการต่างๆ เกณฑ์เชิงปฏิบัติในการประเมินการเลือกตั้งจริง ได้แก่ สัดส่วนของคะแนนเสียงที่สูญเปล่า ความซับซ้อนของการนับคะแนนเสียงสัดส่วน ของ การ เป็นตัวแทนที่ ได้รับการเลือกตั้งตามส่วนแบ่งคะแนนเสียงของพรรคการเมือง และอุปสรรคในการเข้าสู่ตลาดของขบวนการทางการเมืองใหม่^{[ 23 ]}โอกาสเพิ่มเติมสำหรับการเปรียบเทียบการเลือกตั้งจริงเกิดขึ้นจากการปฏิรูปการเลือกตั้ง

ตัวอย่างในแคนาดาที่แสดงให้เห็นถึงโอกาสดังกล่าวคือเมืองเอดมันตัน (แคนาดา) ซึ่งเปลี่ยนจากระบบการลงคะแนนแบบผู้ที่ได้คะแนนสูงสุดเป็นผู้ชนะ (first-past-the-post)ใน การเลือกตั้งทั่วไป ของอัลเบอร์ตาปี 1917ไปเป็นระบบการลงคะแนนแบบกลุ่มห้าที่นั่ง (five-member plurality block voting)ในการเลือกตั้งทั่วไปของอัลเบอร์ตาปี 1921ไปเป็นระบบการลงคะแนนแบบโอนคะแนนได้ครั้งเดียวห้าที่นั่ง (five-member single transferable voting)ในการเลือกตั้งทั่วไปของอัลเบอร์ตาปี 1926 แล้วกลับไปใช้ระบบ FPTP อีกครั้งในการเลือกตั้งทั่วไปของอัลเบอร์ตาปี 1959พรรคการเมืองหนึ่งกวาดที่นั่งทั้งหมดในเอดมันตันในปี 1917, 1921 และ 1959 ภายใต้ระบบ STV ในปี 1926 มีสมาชิกสภานิติบัญญัติจากพรรคอนุรักษ์นิยมสองคน พรรคเสรีนิยมหนึ่งคน พรรคแรงงานหนึ่งคน และพรรคเกษตรกรรวมหนึ่งคน ได้รับเลือกตั้ง

ตามธรรมเนียมแล้ว ข้อดีข้อเสียของระบบการเลือกตั้งแบบต่างๆ มักถูกนำมาถกเถียงโดยอ้างอิงถึงเกณฑ์เชิงตรรกะ ซึ่งอยู่ในรูปของกฎการอนุมานสำหรับการตัดสินใจเลือกตั้ง เช่น การอนุญาตให้สรุปได้ว่า "ถ้าEและE ' เป็นการเลือกตั้งที่R ( E , E ') เป็นจริง และถ้าAเป็นผู้ชนะที่ถูกต้องของE แล้วAก็เป็นผู้ชนะที่ถูกต้องของE ' ด้วย"

เกณฑ์ที่แน่นอนระบุว่า หากผลการนับคะแนนเป็นไปในลักษณะใดลักษณะหนึ่ง ผู้สมัครคนใดคนหนึ่งจะต้องชนะหรืออาจจะไม่ชนะก็ได้

นี่คือเกณฑ์ที่ระบุว่า หากผู้สมัครคนใดชนะในสถานการณ์หนึ่ง ผู้สมัครคนเดียวกันนั้นจะต้อง (หรือต้องไม่) ชนะในสถานการณ์ที่เกี่ยวข้องอีกด้วย

นี่คือเกณฑ์ที่เกี่ยวข้องกับกระบวนการนับคะแนนและตัดสินผู้ชนะ

เกณฑ์เหล่านี้เกี่ยวข้องกับแรงจูงใจของผู้ลงคะแนนในการใช้กลยุทธ์บางรูปแบบ อาจถือได้ว่าเป็นเกณฑ์ผลลัพธ์เชิงเปรียบเทียบเช่นกัน อย่างไรก็ตาม ต่างจากเกณฑ์ในส่วนนั้น เกณฑ์เหล่านี้มีความเกี่ยวข้องโดยตรงกับผู้ลงคะแนน ข้อเท็จจริงที่ว่าวิธีการใดผ่านเกณฑ์เหล่านี้สามารถทำให้กระบวนการหาทางเลือกเชิงกลยุทธ์ที่เหมาะสมที่สุดในการลงคะแนนง่ายขึ้น

โดยทั่วไปแล้ว บัตรลงคะแนนสามารถแบ่งออกได้เป็นสองประเภท คือบัตรลงคะแนนเชิงปริมาณและ บัตร ลงคะแนนเชิงลำดับ โดยบัตรลงคะแนนเชิงปริมาณจะขอให้ผู้ลงคะแนนให้คะแนนสนับสนุนผู้สมัครแต่ละคนเป็นรายบุคคล ส่วนบัตรลงคะแนนเชิงลำดับจะขอให้ผู้ลงคะแนนให้คะแนนสนับสนุนแบบเปรียบเทียบ อย่างไรก็ตาม มีบางวิธีที่ไม่จัดอยู่ในประเภทใดประเภทหนึ่งอย่างชัดเจน เช่น วิธี STAR ซึ่งขอให้ผู้ลงคะแนนให้คะแนนผู้สมัครแต่ละคนอย่างอิสระ แต่ใช้ทั้งคะแนนสัมบูรณ์และคะแนนเปรียบเทียบเพื่อตัดสินผู้ชนะ การเปรียบเทียบสองวิธีโดยพิจารณาจากประเภทของบัตรลงคะแนนเพียงอย่างเดียว ส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับประสบการณ์และความชอบของผู้ลงคะแนน เว้นแต่ว่าประเภทของบัตรลงคะแนนนั้นจะเชื่อมโยงกับเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่ระบุไว้ในที่นี้

เกณฑ์ A นั้น "แข็งแกร่งกว่า" เกณฑ์ B ถ้าการผ่านเกณฑ์ A หมายถึงการผ่านเกณฑ์ B ด้วย ตัวอย่างเช่น เกณฑ์คอนดอร์เซต์แข็งแกร่งกว่าเกณฑ์เสียงข้างมาก เพราะผู้ชนะตามเกณฑ์เสียงข้างมากทั้งหมดเป็นผู้ชนะตามเกณฑ์คอนดอร์เซต์ ดังนั้น วิธีการลงคะแนนใดๆ ที่ผ่านเกณฑ์คอนดอร์เซต์จะต้องผ่านเกณฑ์เสียงข้างมากด้วย

ตารางต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าวิธีการที่มีผู้ชนะเพียงรายเดียวหลายวิธีนั้นตรงตามเกณฑ์ใดบ้างจากเกณฑ์ข้างต้น ไม่ได้แสดงเกณฑ์ทุกข้อไว้ในตารางนี้

ข้อกังวลที่ยกขึ้นข้างต้นถูกนำมาใช้โดยนักทฤษฎีทางเลือกทางสังคม เพื่อคิดค้นระบบที่มีความแม่นยำและทนทานต่อการบิดเบือน อย่างไรก็ตาม ยังมีเหตุผลเชิงปฏิบัติที่ทำให้ระบบหนึ่งอาจเป็นที่ยอมรับทางสังคมมากกว่าอีก ^ระบบหนึ่ง ซึ่งอยู่ในขอบเขตของทางเลือกสาธารณะและรัฐศาสตร์^{[ 8 ] [ 16} ] ข้อพิจารณาเชิงปฏิบัติที่สำคัญ ได้แก่:

• ความง่ายในการอธิบายกฎการลงคะแนนบางข้อนั้นยากที่จะอธิบายให้ผู้ลงคะแนนเข้าใจได้โดยสัญชาตญาณ ซึ่งอาจบั่นทอนความเชื่อมั่นของประชาชนต่อการเลือกตั้ง^{[ 8 ]}ตัวอย่างเช่น แม้ว่ากฎของ Schulzeจะทำงานได้ดีตามเกณฑ์ข้างต้นหลายประการ แต่ก็ต้องใช้คำอธิบายที่ซับซ้อนเกี่ยวกับเส้นทางการลงคะแนน
• ความสะดวกในการลงคะแนนเสียงบัตรลงคะแนนประเภทต่างๆ อาจกรอกได้ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น การศึกษาพบว่าผู้มีสิทธิเลือกตั้งจำนวนมากมองว่าการลงคะแนนแบบจัดลำดับมีความซับซ้อนและสับสนเมื่อเทียบกับการลงคะแนนแบบให้คะแนนหรือการลงคะแนนแบบ X ในระบบ การเลือกตั้งแบบผู้ ที่ ได้ คะแนนสูงสุดเป็นผู้ชนะ

ข้อพิจารณาอื่นๆ ได้แก่อุปสรรคในการเข้าสู่การแข่งขันทางการเมือง^{[ 28 ]}และความเป็นไปได้ที่รัฐบาลจะติดขัด^{[ 29 ]}

ระบบการเลือกตั้งแบบมีผู้ชนะหลายคนที่ดีที่สุดนั้น มุ่งหวังที่จะสร้างสภาที่เป็นตัวแทนในวงกว้างกว่าการตัดสินใจแบบเดียวกับที่เกิดขึ้นในระบบการเลือกตั้งแบบผู้ชนะคนเดียว นอกจากนี้ยังอาจเป็นหนทางไปสู่การที่พรรคใดพรรคหนึ่งกวาดที่นั่งทั้งหมดในเมืองได้ หากใช้ ระบบที่ไม่เป็นสัดส่วน เช่น การลงคะแนนแบบกลุ่มตามคะแนนเสียงข้างมากหรือการลงคะแนนแบบเลือกพรรค

การประเมินประสิทธิภาพของวิธีการลงคะแนนแบบหลายผู้ชนะ จำเป็นต้องใช้ตัวชี้วัดที่แตกต่างจากที่ใช้สำหรับระบบผู้ชนะคนเดียว ตัวชี้วัดต่อไปนี้ได้รับการเสนอแนะ

• ประสิทธิภาพของคณะกรรมการคอนดอร์เซต์ (CCE) วัดความน่าจะเป็นที่กลุ่มผู้ชนะที่ได้รับการเลือกตั้งจะเอาชนะผู้แพ้ทั้งหมดในการแข่งขันแบบจับคู่^{[ 30 ]}
• ดัชนีGallagherและดัชนี Loosemore–Hanby (LH) วัดความสอดคล้องระหว่างส่วนแบ่งที่นั่งและส่วนแบ่งคะแนนเสียงของพรรค โดยทั่วไปแล้ว Gallagher จะใช้เปอร์เซ็นต์คะแนนเสียงโดยรวมของพรรคหรือคะแนนเสียงทั้งหมดเมื่อเทียบกับเปอร์เซ็นต์ที่นั่งเพื่อประเมินความสอดคล้อง ดังนั้นจึงไม่คำนึงถึงเขตเลือกตั้งหากมี
• คะแนนเสียงที่สูญเปล่าคือสัดส่วนของผู้มีสิทธิเลือกตั้งที่ไม่ได้รับเลือกให้มีผู้แทนลงสมัครรับเลือกตั้ง

ตารางต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าเกณฑ์ข้างต้นข้อใดบ้างที่ตรงตามวิธีการหาผู้ชนะหลายวิธี

• ทฤษฎีบทความเป็นไปไม่ได้ของแอร์โรว์  – พิสูจน์ว่ากฎการลงคะแนนแบบจัดอันดับทั้งหมดมีผู้ทำให้ผลการเลือกตั้งตกต่ำ
• อรรถประโยชน์เชิงปริมาณและอรรถประโยชน์เชิงลำดับ
• ปรากฏการณ์คอนดอร์เซต์  – ความขัดแย้งในตัวเองของหลักการปกครองโดยเสียงข้างมาก

• ข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับการเปรียบเทียบระบบการเลือกตั้งในวิกิดาต้า