ในทางฟิสิกส์สมการหยาง-แบ็กซ์เตอร์ (หรือความสัมพันธ์รูปดาว-สามเหลี่ยม ) เป็นสมการความสอดคล้องซึ่งถูกนำเสนอครั้งแรกในสาขากลศาสตร์เชิงสถิติ สมการนี้อาศัยแนวคิดที่ว่าในบางสถานการณ์การกระเจิง อนุภาคอาจรักษาโมเมนตัมของตนไว้ได้ในขณะที่สถานะภายในเชิงควอนตัมเปลี่ยนแปลงไป สมการนี้ระบุว่าเมทริกซ์ที่กระทำต่อวัตถุสองในสามชิ้นจะสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle ({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )=(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}),}$$

โดยตามด้วยการสลับวัตถุสองชิ้น ในระบบควอนตัมหนึ่งมิติคือเมทริกซ์การกระเจิงและถ้ามันสอดคล้องกับสมการ Yang–Baxter ระบบนั้นก็สามารถหาปริพันธ์ได้ในแบบจำลองควอนตัมที่หาปริพันธ์ได้ สมการ Yang–Baxter รับประกันว่ากระบวนการกระเจิงของอนุภาคหลายตัวสามารถแยกออกเป็นลำดับของการปฏิสัมพันธ์แบบสองตัว โดยรักษาความสามารถในการแก้ปัญหาที่แน่นอน^{[ 1 ]}สมการ Yang–Baxter ยังปรากฏขึ้นเมื่อกล่าวถึงทฤษฎีปมและกลุ่มถักเปียโดยที่สอดคล้องกับการสลับเส้นใยสองเส้น เนื่องจากสามารถสลับเส้นใยสามเส้นได้สองวิธีที่แตกต่างกัน สมการ Yang–Baxter จึงรับประกันว่าทั้งสองเส้นทางเหมือนกัน ${\displaystyle {\check {R}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

ตามที่Michio Jimbo [ ^{2 ] กล่าว} ไว้ สมการ Yang–Baxter (YBE) ปรากฏขึ้นในงานของ JB McGuire ^{[ 3 ]}ในปี 1964 และCN Yang ^{[ 4 ]} ในปี 1967 พวกเขาพิจารณา ปัญหาหลายอนุภาคทางกลศาสตร์ควอนตัมบนเส้นตรงที่มีศักยภาพ โดยใช้ เทคนิค Bethe ansatzพวกเขาพบว่าเมทริกซ์การกระเจิงแยกตัวประกอบเป็นเมทริกซ์ของปัญหาอนุภาคสองตัว และกำหนดได้อย่างแม่นยำ ผลลัพธ์นี้ทำให้สมการ Yang–Baxter กลายเป็นเกณฑ์กำหนดความสามารถในการบูรณาการควอนตัม โดยเชื่อมโยงการกระเจิงที่แยกตัวประกอบในมิติเดียวเข้ากับแบบจำลองที่แก้ได้อย่างแม่นยำ^{[ 5 ]}ในที่นี้ YBE เกิดขึ้นเป็นเงื่อนไขความสอดคล้องสำหรับการแยกตัวประกอบ ${\displaystyle c\sum _{i<j}\delta (x_{i}-x_{j})}$

ในกลศาสตร์เชิงสถิติแหล่งที่มาของ YBE น่าจะย้อนกลับไปถึงความสัมพันธ์รูปดาวสามเหลี่ยมของ Onsager ซึ่งกล่าวถึงสั้นๆ ในบทนำของวิธีแก้ปัญหาของแบบจำลอง Ising ^{[ 6 ]}ในปี 1944 การค้นหาแบบจำลองแลตติซที่แก้ได้นั้นดำเนินไปอย่างต่อเนื่องนับตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ซึ่งสิ้นสุดลงด้วยวิธีแก้ปัญหาของแบบจำลองแปดจุดยอด^{[ 7 ]} ของ Rodney Baxterในปี 1972

แนวทางการพัฒนาอีกประการหนึ่งคือทฤษฎีเมทริก ซ์ S ที่แยกตัวประกอบ ในทฤษฎีสนามควอนตัมสอง มิติ ^{[ 8 ]} Alexander B. Zamolodchikov ชี้ให้เห็น^{[ 9 ]}ว่ากลศาสตร์พีชคณิตที่ทำงานอยู่ที่นี่เหมือนกับที่ใช้ในงานของ Baxter และคนอื่นๆ

YBE ยังปรากฏให้เห็นในการศึกษาตัวดำเนินการ Youngในพีชคณิตกลุ่ม ของกลุ่มสมมาตรในงานของAA Jucys ^{[ 10 ]}ในปี 1966 ${\displaystyle \mathbb {C} [S_{n}]}$

ให้เป็นพีชคณิตแบบเชื่อมโยงที่มีเอกลักษณ์ ในรูปแบบทั่วไปที่สุด สมการหยาง-แบ็กซ์เตอร์ที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ คือสมการสำหรับ ซึ่งเป็นองค์ประกอบที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ของผลคูณเทนเซอร์ (ในที่นี้และคือพารามิเตอร์ ซึ่งโดยปกติจะมีค่าอยู่ในช่วงจำนวนจริง ℝ ในกรณีของพารามิเตอร์แบบบวก หรืออยู่ในช่วงจำนวนจริงบวก ℝ ⁺ในกรณีของพารามิเตอร์แบบคูณ) ${\displaystyle A}$${\displaystyle R(u,u')}$${\displaystyle A\otimes A}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u'}$

ให้โดยที่โฮโมมอร์ฟิ ซึมพีชคณิต ถูกกำหนดโดย ${\displaystyle R_{ij}(u,u')=\phi _{ij}(R(u,u'))}$${\displaystyle 1\leq i<j\leq 3}$${\displaystyle \phi _{ij}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A}$

$${\displaystyle \phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,}$$

$${\displaystyle \phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,}$$

$${\displaystyle \phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.}$$

รูปแบบทั่วไปของสมการหยาง-แบ็กซ์เตอร์คือ

$${\displaystyle R_{12}(u_{1},u_{2})\ R_{13}(u_{1},u_{3})\ R_{23}(u_{2},u_{3})=R_{23}(u_{2},u_{3})\ R_{13}(u_{1},u_{3})\ R_{12}(u_{1},u_{2}),}$$

สำหรับ ค่าทั้งหมดของและ${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle u_{2}}$${\displaystyle u_{3}}$

ให้เป็นพีชคณิตแบบเชื่อมโยงที่มีเอกลักษณ์ สมการหยาง-แบ็กซ์เตอร์ที่ไม่ขึ้นกับพารามิเตอร์ คือสมการสำหรับ ซึ่งเป็นองค์ประกอบผกผันได้ของผลคูณเทนเซอร์สมการหยาง-แบ็กซ์เตอร์ คือ ${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A\otimes A}$

$${\displaystyle R_{12}\ R_{13}\ R_{23}=R_{23}\ R_{13}\ R_{12},}$$

โดยที่, , และ. ${\displaystyle R_{12}=\phi _{12}(R)}$${\displaystyle R_{13}=\phi _{13}(R)}$${\displaystyle R_{23}=\phi _{23}(R)}$

โดยทั่วไปแล้ว พีชคณิตแบบเชื่อมโยงเอกลักษณ์ (unityal associative algebra) คือพีชคณิตของเอนโดมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์ เหนือฟิลด์นั่นคือ. เมื่อเทียบกับฐานของส่วนประกอบของเมทริกซ์จะเขียนได้เป็น ซึ่งเป็นส่วนประกอบที่เกี่ยวข้องกับแผนที่. หากไม่พิจารณาการพึ่งพาพารามิเตอร์ ส่วนประกอบของสมการหยาง-แบ็กซ์เตอร์ที่เกี่ยวข้องกับแผนที่จะมีค่า ดังนี้${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle A={\text{End}}(V)}$${\displaystyle \{e_{i}\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle R\in {\text{End}}(V)\otimes {\text{End}}(V)\cong {\text{End}}(V\otimes V)}$${\displaystyle R_{ij}^{kl}}$${\displaystyle e_{i}\otimes e_{j}\mapsto e_{k}\otimes e_{l}}$${\displaystyle e_{a}\otimes e_{b}\otimes e_{c}\mapsto e_{d}\otimes e_{e}\otimes e_{f}}$

$${\displaystyle (R_{12})_{ij}^{de}(R_{13})_{ak}^{if}(R_{23})_{bc}^{jk}=(R_{23})_{jk}^{ef}(R_{13})_{ic}^{dk}(R_{12})_{ab}^{ij}.}$$

ให้เป็นโมดูลของและ ให้เป็นแผนที่เชิงเส้นที่สอดคล้องกับ สำหรับทุกสมการ Yang–Baxter จะมีรูปแบบอื่นต่อไปนี้ในรูปของ บน${\displaystyle V}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P_{ij}=\phi _{ij}(P)}$${\displaystyle P:V\otimes V\to V\otimes V}$${\displaystyle P(x\otimes y)=y\otimes x}$${\displaystyle x,y\in V}$${\displaystyle {\check {R}}(u,u')=P\circ R(u,u')}$${\displaystyle V\otimes V}$

$${\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u_{1},u_{2}))({\check {R}}(u_{1},u_{3})\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u_{2},u_{3}))=({\check {R}}(u_{2},u_{3})\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u_{1},u_{3}))({\check {R}}(u_{1},u_{2})\otimes \mathbf {1} ).}$$

อีกทางเลือกหนึ่ง เราสามารถแสดงมันในรูปแบบสัญลักษณ์เดียวกันกับข้างต้น โดยกำหนดซึ่งในกรณีนี้ รูปแบบทางเลือกคือ ${\displaystyle {\check {R}}_{ij}(u,u')=\phi _{ij}({\check {R}}(u,u'))}$

$${\displaystyle {\check {R}}_{23}(u_{1},u_{2})\ {\check {R}}_{12}(u_{1},u_{3})\ {\check {R}}_{23}(u_{2},u_{3})={\check {R}}_{12}(u_{2},u_{3})\ {\check {R}}_{23}(u_{1},u_{3})\ {\check {R}}_{12}(u_{1},u_{2}).}$$

ในกรณีพิเศษที่ไม่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ สมการจะลดรูปเหลือเพียง ${\displaystyle {\check {R}}}$

$${\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})=({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} ),}$$

และ (ถ้าสามารถผกผันได้) สามารถสร้างการแสดงแทนของกลุ่มถักเปีย , , บน โดย ใช้ สำหรับการแสดงแทนนี้สามารถใช้เพื่อกำหนดตัวแปรเสมือนของการถักเปีย ปมและการเชื่อมโยงได้ ${\displaystyle R}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle V^{\otimes n}}$${\displaystyle \sigma _{i}=1^{\otimes i-1}\otimes {\check {R}}\otimes 1^{\otimes n-i-1}}$${\displaystyle i=1,\dots ,n-1}$

โดยทั่วไป แล้ว คำตอบของสมการ Yang–Baxter มักถูกจำกัดด้วยการกำหนดให้เมทริกซ์ต้องไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การกระทำของกลุ่ม Lieตัวอย่างเช่น ในกรณีและแผนที่ที่ไม่เปลี่ยนแปลงภาย ใต้การกระทำของกลุ่ม Lie เพียงอย่างเดียว ใน คือ แผนที่เอกลักษณ์และแผนที่การเรียงสับเปลี่ยนรูปแบบทั่วไปของเมทริกซ์ คือสำหรับฟังก์ชันสเกลาร์ ${\displaystyle R}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G=GL(V)}$${\displaystyle R(u,u')\in {\text{End}}(V\otimes V)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{End}}(V\otimes V)}$${\displaystyle I}$${\displaystyle P}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R(u,u')=A(u,u')I+B(u,u')P}$${\displaystyle A,B}$

สมการ Yang–Baxter เป็นสมการเอกพันธุ์ในแง่ของการพึ่งพาพารามิเตอร์ กล่าวคือ ถ้าเรากำหนดโดยที่เป็นฟังก์ชันสเกลาร์ แล้วก็จะสอดคล้องกับสมการ Yang–Baxter เช่นกัน ${\displaystyle R'(u_{i},u_{j})=f(u_{i},u_{j})R(u_{i},u_{j})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle R'}$

พื้นที่อาร์กิวเมนต์เองอาจมีความสมมาตร ตัวอย่างเช่น ความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การเลื่อนบังคับให้การพึ่งพาของอาร์กิวเมนต์ต้องขึ้นอยู่กับความแตกต่างที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การเลื่อนเท่านั้นในขณะที่ความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้ มาตราส่วน บังคับให้เป็นฟังก์ชันของอัตราส่วนที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้มาตราส่วน ${\displaystyle (u,u')}$${\displaystyle u-u'}$${\displaystyle R}$${\displaystyle u/u'}$

สมมติฐานทั่วไปสำหรับการคำนวณหาคำตอบคือ คุณสมบัติความแตกต่างโดยที่ R ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ตัวเดียว (แบบบวก) เท่านั้น หรืออีกนัยหนึ่ง หากใช้ลอการิทึม เราอาจเลือกการกำหนดพารามิเตอร์ซึ่งในกรณีนี้ R จะขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์แบบคูณ ในกรณีเหล่านั้น เราสามารถลด YBE ให้เหลือพารามิเตอร์อิสระสองตัวในรูปแบบที่ช่วยให้การคำนวณง่ายขึ้น: ${\displaystyle R(u,u')=R(u-u')}$${\displaystyle R(u,u')=R(u/u')}$

$${\displaystyle R_{12}(u)\ R_{13}(u+v)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(u+v)\ R_{12}(u),}$$

สำหรับค่าทั้งหมดของและสำหรับพารามิเตอร์แบบคูณ สมการ Yang–Baxter คือ ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

$${\displaystyle R_{12}(u)\ R_{13}(uv)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(uv)\ R_{12}(u),}$$

สำหรับ ค่าทั้งหมดของและ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

รูปแบบที่ถักทอไว้นั้นอ่านได้ดังนี้:

$${\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u))({\check {R}}(u+v)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(v))=({\check {R}}(v)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u+v))({\check {R}}(u)\otimes \mathbf {1} )}$$$${\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u))({\check {R}}(uv)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(v))=({\check {R}}(v)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(uv))({\check {R}}(u)\otimes \mathbf {1} )}$$

ในบางกรณี ดีเทอร์มิแนนต์ของเมท ริกซ์ อาจเป็นศูนย์ที่ค่าเฉพาะของพารามิเตอร์สเปกตรัม เมทริก ซ์ บางตัวจะกลายเป็นโปรเจคเตอร์หนึ่งมิติที่ค่าดังกล่าว ในกรณีนี้สามารถกำหนดดีเทอร์มิแนนต์ควอนตัมได้ ${\displaystyle R(u)}$${\displaystyle u=u_{0}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle u=u_{0}}$

• สามารถหาชุดคำตอบที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่เรียบง่ายเป็นพิเศษได้จากคำตอบของสมการ YBE ที่ไม่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขโดยที่การแสดงกลุ่มถักเปียที่สอดคล้องกันคือการแสดงกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยน ในกรณีนี้(หรือเทียบเท่ากับ) คือคำตอบของสมการ YBE ที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ (แบบบวก) ในกรณีที่และจะได้เมทริกซ์การกระเจิงของ โซ่สปินไฮเซน เบิร์กXXX${\displaystyle {\check {R}}^{2}=\mathbf {1} }$${\displaystyle {\check {R}}(u)=\mathbf {1} +u{\check {R}}}$${\displaystyle R(u)=P+uP\circ {\check {R}}}$${\displaystyle {\check {R}}=P}$${\displaystyle R(u)=P+u\mathbf {1} }$
• เมทริกซ์ของโมดูลการประเมินของกลุ่มควอนตัมจะแสดงอย่างชัดเจนโดยเมทริกซ์${\displaystyle R}$${\displaystyle U_{q}({\widehat {sl}}(2))}$

$${\displaystyle {\check {R}}(z)={\begin{pmatrix}qz-q^{-1}z^{-1}&&&\\&q-q^{-1}&z-z^{-1}&\\&z-z^{-1}&q-q^{-1}&\\&&&qz-q^{-1}z^{-1}\end{pmatrix}}.}$$ จากนั้นสมการ Yang–Baxter แบบพาราเมตริก (ในรูปแบบถักเปีย) ที่มีพารามิเตอร์ตัวคูณจะเป็นไปตามเงื่อนไข: $${\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(z))({\check {R}}(zz')\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(z'))=({\check {R}}(z')\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(zz'))({\check {R}}(z)\otimes \mathbf {1} )}$$

โดยทั่วไปแล้ว วิธีแก้ปัญหาสามารถแบ่งออกได้เป็น 3 ประเภทหลัก ได้แก่ วิธีแก้ปัญหาเชิงตรรกะ วิธีแก้ ปัญหาเชิงตรีโกณมิติ และวิธีแก้ปัญหาเชิงวงรี ซึ่งเกี่ยวข้องกับกลุ่มควอนตัมที่เรียกว่า กลุ่ม หยางเจียนกลุ่มควอนตัมเชิงเส้นและพีชคณิตเชิงวงรีตามลำดับ

Drinfeldศึกษาวิธีแก้ปัญหาเชิงเซต^{[ 11 ]}ในกรณีนี้ มีฐานคงที่เมทริกซ์ - สำหรับปริภูมิเวกเตอร์ในแง่ที่ว่า เมทริกซ์ - แม ปฐานที่เหนี่ยวนำของไปยังตัวมันเอง จากนั้นจึงเหนี่ยวนำแผนที่ที่กำหนดโดยการจำกัดเมทริกซ์ - ไปยังฐาน สมการ Yang–Baxter เชิงเซตจะถูกกำหนดโดยใช้รูปแบบทางเลือก 'บิดเบี้ยว' ข้างต้น โดยยืนยัน ว่า เป็นแผนที่บนสมการนี้สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นสมการในหมวดหมู่ของเซตเท่านั้น ${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle R}$${\displaystyle V\otimes V}$${\displaystyle r:X\times X\rightarrow X\times X}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle (id\times r)(r\times id)(id\times r)=(r\times id)(id\times r)(r\times id)}$$${\displaystyle X\times X\times X}$

• ${\displaystyle R=id}$.
• ${\displaystyle R=\tau }$โดยที่ คือแผนที่การสลับตำแหน่ง${\displaystyle \tau (u\otimes v)=v\otimes u}$
• ถ้า เป็น ชั้นวาง (ด้านขวา) แล้วจะเป็นคำตอบเชิงเซตของ YBE${\displaystyle (X,\triangleleft )}$${\displaystyle r(x,y)=(y,x\triangleleft y)}$

Belavinและ Drinfeld ได้ศึกษาและจำแนกวิธีการแก้ปัญหา YBE แบบคลาสสิกในระดับหนึ่ง^{[ 12 ]}เมื่อกำหนด ' เมทริกซ์คลาสสิก' ซึ่งอาจขึ้นอยู่กับคู่ของอาร์กิวเมนต์YBE แบบคลาสสิกคือ (โดยไม่รวมพารามิเตอร์) ซึ่งเป็นกำลังสองในเมทริกซ์ ซึ่งแตกต่างจาก YBE ควอนตัมทั่วไปที่เป็นกำลังสามใน ${\displaystyle r}$${\displaystyle r:V\otimes V\rightarrow V\otimes V}$${\displaystyle (u,v)}$$${\displaystyle [r_{12},r_{13}]+[r_{12},r_{23}]+[r_{13},r_{23}]=0}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle R}$

สมการนี้เกิดขึ้นจากสิ่งที่เรียกว่าคำตอบกึ่งคลาสสิกของ YBE ควอนตัม ซึ่งเมทริกซ์ - ยอมรับการขยายเชิงอะซิมโทติกในรูปของพารามิเตอร์การขยาย จากนั้น YBE คลาสสิกจะมาจากการอ่านค่าสัมประสิทธิ์ของ YBE ควอนตัม (และสมการนี้เป็นจริงอย่างเห็นได้ชัดในลำดับ) ${\displaystyle R}$${\displaystyle \hbar ,}$$${\displaystyle R_{\hbar }=I+\hbar r+{\mathcal {O}}(\hbar ^{2}).}$$${\displaystyle \hbar ^{2}}$${\displaystyle \hbar ^{0},\hbar }$

• ไบอัลเจบราของลี
• หยางเอียน
• การย้ายของไรเดไมสเตอร์
• พีชคณิตฮอปฟ์กึ่งสามเหลี่ยม
• ตัวดำเนินการหยาง-แบ็กซ์เตอร์

• "สมการหยาง-แบ็กซ์เตอร์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , สำนักพิมพ์ EMS , 2001 [1994]
• เอช-ดี โดบเนอร์, เจ.-ดี. Hennig, eds, กลุ่มควอนตัม, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Clausthal, FRG, 1989 , Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9.
• Vyjayanthi Chariและ Andrew Pressley, คู่มือเกี่ยวกับกลุ่มควอนตัม (1994), สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, เคมบริดจ์ISBN 0-521-55884-0.
• Jacques HH Perk และ Helen Au-Yang, "Yang – Baxter Equations", (2006), arXiv : math-ph/0606053