แบบจำลองการแพร่แต่ละแบบแสดงฟลักซ์การแพร่โดยใช้ความเข้มข้น ความหนาแน่น และอนุพันธ์ของค่าเหล่านั้น ฟลักซ์เป็นเวกเตอร์${\displaystyle \mathbf {J} }$แสดงถึงปริมาณและทิศทางการถ่ายโอน เมื่อพิจารณาจากพื้นที่ ขนาดเล็ก${\displaystyle \Delta S}$โดยปกติ${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\nu }}}$การถ่ายโอนปริมาณทางกายภาพ${\displaystyle N}$ผ่านพื้นที่นั้น${\displaystyle \Delta S}$ต่อเวลา${\displaystyle \Delta t}$เป็น

${\displaystyle \Delta N=(\mathbf {J} ,{\boldสัญลักษณ์ {\nu }})\,\Delta S\,\Delta t+o(\Delta S\,\Delta t)\,,}$

ที่ไหน${\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldสัญลักษณ์ {\nu }})}$คือผลคูณภายในและ${\displaystyle o(\cdots )}$คือสัญลักษณ์ o ตัวเล็กถ้าเราใช้สัญลักษณ์ของพื้นที่เวกเตอร์${\displaystyle \Delta \mathbf {S} ={\boldสัญลักษณ์ {\nu }}\,\Delta S}$แล้ว

${\displaystyle \Delta N=(\mathbf {J} ,\Delta \mathbf {S} )\,\Delta t+o(\Delta \mathbf {S} \,\Delta t)\,.}$

มิติของฟลักซ์การแพร่คือ [ฟลักซ์] = [ปริมาณ]/([เวลา]· [พื้นที่]) ปริมาณทางกายภาพที่แพร่  ${\displaystyle N}$อาจเป็นจำนวนอนุภาค มวล พลังงาน ประจุไฟฟ้า หรือปริมาณสเกลาร์แบบขยาย อื่นๆ ก็ได้ สำหรับความหนาแน่นนั้น${\displaystyle n}$สมการการแพร่กระจายมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {J} +W\,,}$

ที่ไหน${\displaystyle W}$คือความเข้มข้นของแหล่งกำเนิดเฉพาะที่ของปริมาณนี้ (ตัวอย่างเช่น อัตราการเกิดปฏิกิริยาเคมี) สำหรับสมการการแพร่กระจายเงื่อนไขขอบเขตแบบไม่มีการไหลสามารถกำหนดได้ดังนี้${\displaystyle (\mathbf {J} (x),{\boldสัญลักษณ์ {\nu }}(x))=0}$บริเวณเขตแดน ที่${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\nu }}}$คือเส้นตั้งฉากกับขอบเขต ณ จุด${\displaystyle x}$.

กฎข้อแรกของฟิก: อัตราการไหลแบบแพร่กระจาย${\displaystyle \mathbf {J} }$เป็นสัดส่วนกับความชันเชิงลบของความเข้มข้นเชิงพื้นที่${\displaystyle n(x,t)}$:

${\displaystyle \mathbf {J} =-D(x)\,\nabla n(x,t),}$

โดยที่Dคือสัมประสิทธิ์การแพร่ซึ่งสามารถประมาณได้สำหรับส่วนผสมที่กำหนดโดยใช้แบบจำลองความสัมพันธ์เชิงประจักษ์ของ Vignes ^{[ 17 ]}หรือการปรับขนาดเอนโทรปีที่ได้รับแรงบันดาลใจทางกายภาพ^{[ 18 ]}สมการการแพร่ที่สอดคล้องกัน(กฎข้อที่สองของ Fick) คือ

${\displaystyle {\frac {\partial n(x,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot (D(x)\,\nabla n(x,t))\,.}$

ในกรณีที่ค่าสัมประสิทธิ์การแพร่ไม่ขึ้นอยู่กับ${\displaystyle x}$กฎข้อที่สองของฟิกสามารถลดรูปให้ง่ายขึ้นได้ดังนี้

${\displaystyle {\frac {\partial n(x,t)}{\partial t}}=D\,\Delta n(x,t)\ ,}$

ที่ไหน${\displaystyle \Delta }$คือตัวดำเนินการลาปลาซ

${\displaystyle \Delta n(x,t)=\sum _{i}{\frac {\partial ^{2}n(x,t)}{\partial x_{i}^{2}}}\ .}$

กฎของฟิก (Fick's law) อธิบายถึงการแพร่ของสารเจือปนในตัวกลาง ความเข้มข้นของสารเจือปนนี้ควรมีค่าน้อย และความชันของความเข้มข้นก็ควรมีค่าน้อยเช่นกัน แรงขับเคลื่อนของการแพร่ในกฎของฟิกคือค่าผกผันของความเข้มข้น${\displaystyle -\nabla n}$.

ในปี พ.ศ. 2474 Lars Onsager ^{[ 19 ]}ได้รวมกระบวนการขนส่งหลายองค์ประกอบไว้ในบริบททั่วไปของอุณหพลศาสตร์เชิงเส้นที่ไม่สมดุล สำหรับการขนส่งหลายองค์ประกอบ

${\displaystyle \mathbf {J} _{i}=\sum _{j}L_{ij}X_{j}\,,}$

ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {J} _{i}}$คือฟลักซ์ของ${\displaystyle i}$ปริมาณทางกายภาพ (ส่วนประกอบ)${\displaystyle X_{j}}$คือ${\displaystyle j}$แรงทางเทอร์โมไดนามิกและ${\displaystyle L_{ij}}$คือเมทริกซ์ สัมประสิทธิ์การขนส่งจลน์ของออนซาเกอร์

ออนซาเกอร์ได้นำเสนอแรงทางเทอร์โมไดนามิกสำหรับกระบวนการขนส่ง โดยมองว่าเป็นเกรเดียนต์เชิงพื้นที่ของอนุพันธ์ของความหนาแน่น ของ เอนโทรปี${\displaystyle s}$(เขาใช้คำว่า "แรง" ในเครื่องหมายอัญประกาศหรือ "แรงผลักดัน")

${\displaystyle X_{i}=\nabla {\frac {\partial s(n)}{\partial n_{i}}}\,,}$

ที่ไหน${\displaystyle n_{i}}$คือ "พิกัดทางเทอร์โมไดนามิก" สำหรับการถ่ายเทความร้อนและมวลนั้น เราสามารถใช้...${\displaystyle n_{0}=u}$(ความหนาแน่นของพลังงานภายใน ) และ${\displaystyle n_{i}}$คือความเข้มข้นของ${\displaystyle i}$องค์ประกอบที่ th แรงขับเคลื่อนที่สอดคล้องกันคือเวกเตอร์ในอวกาศ

${\displaystyle X_{0}=\nabla {\frac {1}{T}}\ ,\;\;\;X_{i}=-\nabla {\frac {\mu _{i}}{T}}\;(i>0),}$เพราะ${\displaystyle \mathrm {d} s={\frac {1}{T}}\,\mathrm {d} u-\sum _{i\geq 1}{\frac {\mu _{i}}{T}}\,{\rm {d}}n_{i}}$

โดยที่Tคืออุณหภูมิสัมบูรณ์ และ${\displaystyle \mu _{i}}$คือศักยภาพทางเคมีของ${\displaystyle i}$ส่วนประกอบที่ th ควรเน้นย้ำว่าสมการการแพร่แยกกันนั้นอธิบายถึงการผสมหรือการขนส่งมวลโดยไม่มีการเคลื่อนที่โดยรวม ดังนั้นจึงละเลยเทอมที่มีการเปลี่ยนแปลงของความดันรวม การแพร่ของสารผสมขนาดเล็กและเกรเดียนต์ขนาดเล็กเป็นไปได้

สำหรับสมการออนซาเกอร์เชิงเส้น เราต้องพิจารณาแรงทางเทอร์โมไดนามิกส์ในเชิงประมาณเชิงเส้นใกล้สภาวะสมดุล:

${\displaystyle X_{i}=\sum _{k\geq 0}\left.{\frac {\partial ^{2}s(n)}{\partial n_{i}\,\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}\nabla n_{k}\ ,}$

โดยที่อนุพันธ์ของ${\displaystyle s}$คำนวณที่สภาวะสมดุล${\displaystyle n^{*}}$เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์จลนศาสตร์${\displaystyle L_{ij}}$ควรเป็นเมทริกซ์สมมาตร ( ความสัมพันธ์ผกผันของออนซาเกอร์ ) และเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน ( เพื่อการเติบโตของเอนโทรปี )

สมการการขนส่งคือ

${\displaystyle {\frac {\partial n_{i}}{\partial t}}=-\operatorname {div} \mathbf {J} _{i}=-\sum _{j\geq 0}L_{ij}\operatorname {div} X_{j}=\sum _{k\geq 0}\left[-\sum _{j\geq 0}L_{ij}\left.{\frac {\partial ^{2}s(n)}{\partial n_{j}\,\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}\right]\,\Delta n_{k}\ .}$

ในที่นี้ ดัชนีi , j , k = 0, 1, 2, ... ทั้งหมด เกี่ยวข้องกับพลังงานภายใน (0) และส่วนประกอบต่างๆ นิพจน์ในวงเล็บเหลี่ยมคือเมทริกซ์${\displaystyle D_{ik}}$ของสัมประสิทธิ์การแพร่ ( i , k  >  0), การแพร่ความร้อน ( i  >  0, k  =  0 หรือk  >  0, i  =  0) และ ค่า การนำความร้อน ( i = k = 0 )

ภายใต้สภาวะอุณหภูมิ คงที่ T  =  ค่าคงที่ ศักยภาพทางเทอร์โมไดนามิก ที่เกี่ยวข้อง คือพลังงานอิสระ (หรือเอนโทรปีอิสระ ) แรงขับเคลื่อนทางเทอร์โมไดนามิกสำหรับการแพร่แบบอุณหภูมิคงที่คือค่าผกผันของศักยภาพทางเคมี${\displaystyle -(1/T)\,\nabla \mu _{j}}$และเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์การแพร่กระจายคือ

${\displaystyle D_{ik}={\frac {1}{T}}\sum _{j\geq 1}L_{ij}\left.{\frac {\partial \mu _{j}(n,T)}{\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}}$

( i,k  >  0)

มีความไม่แน่นอนโดยเนื้อแท้ในนิยามของแรงทางเทอร์โมไดนามิกและสัมประสิทธิ์จลน์ เนื่องจากไม่สามารถวัดค่าแยกกันได้ และสามารถวัดได้เฉพาะการรวมกันของค่าเหล่านั้นเท่านั้น${\textstyle \sum _{j}L_{ij}X_{j}}$สามารถวัดได้ ตัวอย่างเช่น ในงานดั้งเดิมของ Onsager ^{[ 19 ]}แรงทางเทอร์โมไดนามิกส์ประกอบด้วยตัวคูณเพิ่มเติมTในขณะที่ในCourse of Theoretical Physics ^{[ 20 ]}ตัวคูณนี้ถูกละเว้น แต่เครื่องหมายของแรงทางเทอร์โมไดนามิกส์กลับตรงกันข้าม การเปลี่ยนแปลงทั้งหมดนี้ได้รับการเสริมด้วยการเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกันในสัมประสิทธิ์และไม่ส่งผลกระทบต่อปริมาณที่วัดได้

ความสัมพันธ์ ของไอน์สไตน์ (ทฤษฎีจลน์)เชื่อมโยงสัมประสิทธิ์การแพร่กระจายและความคล่องตัว (อัตราส่วนของความเร็วการเคลื่อนที่ ขั้นสุดท้ายของอนุภาค ต่อแรง ที่ใช้ ) ^{[ 21 ]}สำหรับอนุภาคที่มีประจุ:

${\displaystyle D={\frac {\mu \,k_{\text{B}}T}{q}},}$

โดยที่Dคือค่าคงที่การแพร่กระจาย μ คือ "ความคล่องตัว" kBคือค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์คืออุณหภูมิสัมบูรณ์และ q คือประจุพื้นฐานซึ่งก็คือประจุของอิเล็กตรอนหนึ่งตัว

ด้านล่างนี้ เพื่อรวมค่าศักย์เคมีμและความคล่องตัวไว้ในสูตรเดียวกัน เราใช้สัญลักษณ์ สำหรับความคล่องตัว${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$.

T. Teorell ได้นำแนวทางที่อิงตามการเคลื่อนที่มาประยุกต์ใช้เพิ่มเติม^{[ 22 ]}ในปี พ.ศ. 2478 เขาได้ศึกษาการแพร่กระจายของไอออนผ่านเยื่อหุ้มเซลล์ เขาได้กำหนดสาระสำคัญของแนวทางของเขาไว้ในสูตรดังนี้:

ฟลักซ์เท่ากับค่าการเคลื่อนที่ × ความเข้มข้น × แรงต่อกรัมไอออน

นี่คือ สูตรเทโอเรลล์ (Teorell formula ) คำ ว่า"กรัมไอออน" ("กรัมอนุภาค") ใช้สำหรับปริมาณของสารที่มีไอออน (อนุภาค) เท่ากับเลขอะโวกาโด คำที่ใช้กันทั่วไปในปัจจุบันคือ โมล (mole )

แรงภายใต้สภาวะอุณหภูมิคงที่ประกอบด้วยสองส่วน:

1. แรงแพร่กระจายที่เกิดจากความแตกต่างของความเข้มข้น:${\displaystyle -RT{\frac {1}{n}}\,\nabla n=-RT\,\nabla (\ln(n/n^{\text{eq}}))}$.
2. แรงไฟฟ้าสถิตที่เกิดจากความแตกต่างของศักย์ไฟฟ้า:${\displaystyle q\,\nabla \varphi }$.

ในที่นี้Rคือค่าคงที่ของแก๊ส T คืออุณหภูมิสัมบูรณ์n คือความเข้มข้น โดยความเข้มข้นที่สมดุลจะแสดงด้วยตัวยก "eq" qคือประจุ และφคือศักย์ไฟฟ้า

ความแตกต่างที่เรียบง่ายแต่สำคัญยิ่งระหว่างสูตรของ Teorell กับกฎของ Onsager คือปัจจัยความเข้มข้นในนิพจน์ของ Teorell สำหรับฟลักซ์ ในแนวทางของ Einstein–Teorell หากสำหรับแรงที่มีค่าจำกัด ความเข้มข้นมีแนวโน้มเข้าสู่ศูนย์ ฟลักซ์ก็จะมีแนวโน้มเข้าสู่ศูนย์เช่นกัน ในขณะที่สมการของ Onsager ขัดแย้งกับกฎที่เรียบง่ายและชัดเจนทางกายภาพนี้

สูตรทั่วไปของสูตร Teorell สำหรับระบบที่ไม่สมบูรณ์ภายใต้เงื่อนไขอุณหภูมิคงที่คือ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \mathbf {J} ={\mathfrak {m}}\exp \left({\frac {\mu -\mu _{0}}{RT}}\right)(-\nabla \mu +({\text{external force per mole}})),}$

โดยที่μคือศักย์เคมีและμ₀ คือค่ามาตรฐานของ เคมี นิพจน์${\displaystyle a=\exp \left({\frac {\mu -\mu _{0}}{RT}}\right)}$เรียกว่ากิจกรรมซึ่งวัด "ความเข้มข้นที่มีประสิทธิภาพ" ของสปีชีส์ในส่วนผสมที่ไม่เป็นอุดมคติ ในสัญลักษณ์นี้ สูตร Teorell สำหรับฟลักซ์มีรูปแบบที่ง่ายมาก^{[ 16 ]}

${\displaystyle \mathbf {J} ={\mathfrak {m}}a(-\nabla \mu +({\text{external force per mole}})).}$

การหาค่ามาตรฐานของกิจกรรมนั้นรวมถึงปัจจัยการปรับค่ามาตรฐาน และสำหรับความเข้มข้นต่ำ${\displaystyle a=n/n^{\ominus }+o(n/n^{\ominus })}$, ที่ไหน${\displaystyle n^{\ominus }}$คือความเข้มข้นมาตรฐาน ดังนั้น สูตรสำหรับฟลักซ์นี้จึงอธิบายถึงฟลักซ์ของปริมาณไร้มิติ ที่เป็นมาตรฐาน${\displaystyle n/n^{\ominus }}$:

${\displaystyle {\frac {\partial (n/n^{\ominus })}{\partial t}}=\nabla \cdot [{\mathfrak {m}}a(\nabla \mu -({\text{external force per mole}}))].}$

แบบจำลองของไอน์สไตน์ละเลยความเฉื่อยของอนุภาคย่อยที่แพร่กระจาย สมการ Langevin ทางเลือก เริ่มต้นด้วยกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน: ^{[ 23 ]}

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {1}{\mu }}{\frac {dx}{dt}}+F(t)}$

ที่ไหน

• xคือตำแหน่ง
• μคือค่าการเคลื่อนที่ของอนุภาคในของเหลวหรือก๊าซ ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยใช้ความสัมพันธ์ของไอน์สไตน์ (ทฤษฎีจลน์ )
• mคือมวลของอนุภาค
• Fคือแรงสุ่มที่กระทำต่ออนุภาค
• ได้เวลาแล้ว

เมื่อแก้สมการนี้แล้ว จะได้ค่าคงที่การแพร่กระจายที่ขึ้นอยู่กับเวลาในขีดจำกัดเวลาที่ยาวนาน และเมื่ออนุภาคมีความหนาแน่นมากกว่าของเหลวโดยรอบอย่างมีนัยสำคัญ^{[ 23 ]}

${\displaystyle D(t)=\mu \,k_{\rm {B}}T(1-e^{-t/(m\mu )})}$

ที่ไหน

• k คือค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์ ;
• Tคืออุณหภูมิสัมบูรณ์
• μคือค่าการเคลื่อนที่ของอนุภาคในของเหลวหรือก๊าซ ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยใช้ความสัมพันธ์ของไอน์สไตน์ (ทฤษฎีจลน์ )
• mคือมวลของอนุภาค
• ได้เวลาแล้ว

ในระยะเวลาอันยาวนาน ผลลัพธ์ของไอน์สไตน์จะกลับคืนมา แต่ในระยะเวลาอันสั้น ระบอบขีปนาวิถีก็ได้รับการอธิบายเช่นกัน ยิ่งไปกว่านั้น แตกต่างจากแนวทางของไอน์สไตน์ ความเร็วสามารถกำหนดได้ ซึ่งนำไปสู่ทฤษฎีบทความผันผวนและการกระจายพลังงานโดยเชื่อมโยงการแข่งขันระหว่างแรงเสียดทานและแรงสุ่มในการกำหนดอุณหภูมิ^{[ 23 ] : 3.2}

การแพร่กระจายของสารตั้งต้นบนพื้นผิวของตัวเร่งปฏิกิริยาอาจมีบทบาทสำคัญในปฏิกิริยาเร่งปฏิกิริยาแบบไม่เป็นเนื้อเดียวกัน แบบจำลองการแพร่กระจายในชั้นโมโนเลเยอร์ ในอุดมคติ จะอิงตามการกระโดดของสารตั้งต้นไปยังตำแหน่งว่างที่ใกล้ที่สุด แบบจำลองนี้ถูกนำมาใช้กับการออกซิเดชันของ CO บน Pt ภายใต้ความดันก๊าซต่ำ

ระบบนี้ประกอบด้วยสารเคมีหลายชนิด${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{m}}$บนพื้นผิว ความเข้มข้นของสารเหล่านี้บนพื้นผิวคือ${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{m}.}$พื้นผิวเป็นโครงตาข่ายของตำแหน่งการดูดซับ โมเลกุลของสารตั้งต้นแต่ละโมเลกุลจะเติมเต็มตำแหน่งหนึ่งบนพื้นผิว บางตำแหน่งว่างอยู่ ความเข้มข้นของตำแหน่งว่างเหล่านั้นคือ${\displaystyle z=c_{0}}$ผลรวมของทั้งหมด${\displaystyle c_{i}}$(รวมถึงตำแหน่งว่าง) มีค่าคงที่ ความหนาแน่นของตำแหน่งการดูดซับคือb

แบบจำลองการกระโดดให้ค่าฟลักซ์การแพร่กระจายของ${\displaystyle A_{i}}$( i  =  1,  ..., n ): 

${\displaystyle \mathbf {J} _{i}=-D_{i}[z\,\nabla c_{i}-c_{i}\nabla z]\,.}$

สมการการแพร่กระจายที่สอดคล้องกันคือ: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial c_{i}}{\partial t}}=-\operatorname {div} \mathbf {J} _{i}=D_{i}[z\,\Delta c_{i}-c_{i}\,\Delta z]\,.}$

เนื่องจากกฎหมายอนุรักษ์สิ่งแวดล้อม${\displaystyle z=b-\sum _{i=1}^{n}c_{i}\,,}$และเรามีระบบสม การการแพร่กระจาย mสมการ สำหรับส่วนประกอบหนึ่ง เราจะได้กฎของฟิกและสมการเชิงเส้นเพราะ${\displaystyle (b-c)\,\nabla c-c\,\nabla (b-c)=b\,\nabla c}$สำหรับส่วนประกอบสองชิ้นขึ้นไป สมการจะเป็นแบบไม่เชิงเส้น

ถ้าอนุภาคทุกตัวสามารถแลกเปลี่ยนตำแหน่งกับอนุภาคเพื่อนบ้านที่อยู่ใกล้ที่สุดได้ การสรุปแบบง่ายๆ ก็จะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle \mathbf {J} _{i}=-\sum _{j}D_{ij}[c_{j}\,\nabla c_{i}-c_{i}\,\nabla c_{j}]}$

${\displaystyle {\frac {\partial c_{i}}{\partial t}}=\sum _{j}D_{ij}[c_{j}\,\Delta c_{i}-c_{i}\,\Delta c_{j}]}$

ที่ไหน${\displaystyle D_{ij}=D_{ji}\geq 0}$เป็นเมทริกซ์สมมาตรของสัมประสิทธิ์ที่บ่งบอกถึงความเข้มของการกระโดด ตำแหน่งว่าง (ช่องว่าง) ควรได้รับการพิจารณาว่าเป็น "อนุภาค" พิเศษที่มีความเข้มข้น${\displaystyle c_{0}}$.

แบบจำลองการกระโดดแบบต่างๆ เหล่านี้ยังเหมาะสำหรับกลไกการแพร่แบบง่ายในของแข็งอีกด้วย

สำหรับการแพร่ในตัวกลางที่มีรูพรุน สมการพื้นฐานคือ (ถ้า Φ คงที่): ^{[ 24 ]}

${\displaystyle \mathbf {J} =-\phi D\,\nabla n^{m}}$

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=D\,\Delta n^{m}\,,}$

โดยที่Dคือสัมประสิทธิ์การแพร่ Φ คือความพรุนnคือความเข้มข้น และm  >  0 (โดยปกติm  >  1 กรณีm  =  1 สอดคล้องกับกฎของฟิก)

ต้องระมัดระวังในการคำนึงถึงความพรุน (Φ) ของตัวกลางที่มีรูพรุนอย่างเหมาะสมทั้งในเทอมฟลักซ์และเทอมการสะสม^{[ 25 ]}ตัวอย่างเช่น เมื่อความพรุนเข้าใกล้ศูนย์ ฟลักซ์โมลาร์ในตัวกลางที่มีรูพรุนจะเข้าใกล้ศูนย์สำหรับความชันความเข้มข้นที่กำหนด เมื่อใช้การล divergence ของฟลักซ์ เทอมความพรุนจะหักล้างกันและสมการที่สองข้างต้นจะเกิดขึ้น

สำหรับการแพร่กระจายของก๊าซในตัวกลางที่มีรูพรุน สมการนี้เป็นการนำกฎของดาร์ซี มาใช้ในรูปแบบที่เป็นทางการ กล่าว คืออัตราการไหลเชิงปริมาตรของก๊าซในตัวกลางที่มีรูพรุนคือ

${\displaystyle q=-{\frac {k}{\mu }}\,\nabla p}$

โดยที่kคือค่าการซึมผ่านของตัวกลางμคือค่าความหนืดและpคือความดัน

ฟลักซ์โมลาร์แบบพาความร้อนกำหนดโดย

J  = nq 

และสำหรับ${\displaystyle p\sim n^{\gamma }}$กฎของดาร์ซีให้สมการการแพร่ในตัวกลางที่มีรูพรุนโดยมีm  = γ + 1   

ในตัวกลางที่มีรูพรุน ความเร็วเชิงเส้นเฉลี่ย (ν) มีความสัมพันธ์กับอัตราการไหลเชิงปริมาตรดังนี้:

${\displaystyle \upsilon =q/\phi }$

การรวมฟลักซ์โมลาร์แบบพาความร้อนเข้ากับฟลักซ์แบบแพร่ จะได้สมการการกระจายตัวแบบพาความร้อน

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=D\,\Delta n^{m}\ -\nu \cdot \nabla n^{m},}$

สำหรับการซึมผ่านของน้ำใต้ดินการประมาณค่าแบบ Boussinesqให้สมการเดียวกันโดยที่m = 2   

สำหรับพลาสมาที่มีระดับการแผ่รังสีสูง สม การ Zeldovich –Raizer ให้ค่าm  >  4 สำหรับการถ่ายเทความร้อน

สัมประสิทธิ์การแพร่${\displaystyle D}$คือสัมประสิทธิ์ในกฎข้อแรกของฟิก${\displaystyle J=-D\,\partial n/\partial x}$โดยที่Jคือฟลักซ์การแพร่ ( ปริมาณสาร ) ต่อหน่วยพื้นที่ต่อหน่วยเวลาn (สำหรับสารผสมในอุดมคติ) คือความเข้มข้น และxคือตำแหน่ง [ความยาว]

พิจารณาก๊าซสองชนิดที่มีโมเลกุลขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง dและมวลmเท่ากัน( การแพร่ด้วยตัวเอง ) ในกรณีนี้ ทฤษฎีระยะทางอิสระเฉลี่ยเบื้องต้นของการแพร่จะให้ค่าสัมประสิทธิ์การแพร่ดังนี้

${\displaystyle D={\frac {1}{3}}\ell v_{T}={\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}^{3}}{\pi ^{3}m}}}{\frac {T^{3/2}}{Pd^{2}}}\,,}$

โดยที่k คือค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์ , Tคืออุณหภูมิ , Pคือความดัน ,${\displaystyle \ell }$คือระยะทางอิสระเฉลี่ยและv คือความเร็วเชิงความร้อนเฉลี่ย:

${\displaystyle \ell ={\frac {k_{\rm {B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}P}}\,,\;\;\;v_{T}={\sqrt {\frac {8k_{\rm {B}}T}{\pi m}}}\,.}$

เราจะเห็นได้ว่าสัมประสิทธิ์การแพร่ในวิธีการประมาณระยะทางอิสระเฉลี่ยจะเพิ่มขึ้นตามTเป็นสัดส่วนกับT³ ^/²และลดลงตามPเป็นสัดส่วนกับ 1/ Pถ้าเราใช้กฎของก๊าซอุดมคติ P = RnT สำหรับP โดยมีความเข้มข้นรวม n แล้วเราจะเห็นได้ว่าสำหรับความเข้มข้นn ที่กำหนด สัมประสิทธิ์การแพร่จะเพิ่มขึ้นตามT เป็นสัดส่วน กับT¹ ^/²และสำหรับอุณหภูมิที่กำหนด สัมประสิทธิ์การแพร่จะลดลงตามความเข้มข้นรวมเป็นสัดส่วนกับ1 / n   

สำหรับก๊าซสองชนิดที่แตกต่างกัน คือ A และ B ซึ่งมีมวลโมเลกุลm , m และเส้นผ่านศูนย์กลางโมเลกุลd , d ค่าประมาณระยะทางอิสระเฉลี่ยของสัมประสิทธิ์การแพร่ของ A ใน B และ B ใน A คือ:

${\displaystyle D_{\rm {AB}}={\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}^{3}}{\pi ^{3}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2m_{\rm {A}}}}+{\frac {1}{2m_{\rm {B}}}}}}{\frac {4T^{3/2}}{P(d_{\rm {A}}+d_{\rm {B}})^{2}}}\,,}$

ในจลนศาสตร์ของโบลต์ซมันน์สำหรับส่วนผสมของก๊าซ ก๊าซแต่ละชนิดจะมีฟังก์ชันการกระจายตัวของตัวเอง${\displaystyle f_{i}(x,c,t)}$โดยที่tคือช่วงเวลาxคือตำแหน่ง และcคือความเร็วของโมเลกุลของ ส่วนประกอบที่ iในสารผสม แต่ละส่วนประกอบมีความเร็วเฉลี่ยของตัวเอง${\textstyle C_{i}(x,t)={\frac {1}{n_{i}}}\int _{c}cf(x,c,t)\,dc}$ถ้าความเร็ว${\displaystyle C_{i}(x,t)}$ถ้าไม่ตรงกัน ก็จะเกิดการแพร่กระจายขึ้น

ใน การประมาณค่า ของ Chapman–Enskogฟังก์ชันการกระจายทั้งหมดจะแสดงผ่านความหนาแน่นของปริมาณที่อนุรักษ์ไว้: ^{[ 14 ]}

• ความเข้มข้นของอนุภาคแต่ละชนิด${\textstyle n_{i}(x,t)=\int _{c}f_{i}(x,c,t)\,dc}$(อนุภาคต่อปริมาตร)
• ความหนาแน่นของโมเมนตัม${\textstyle \sum _{i}m_{i}n_{i}C_{i}(x,t)}$( m คือ มวลของอนุภาคที่ i )
• ความหนาแน่นของพลังงานจลน์$${\displaystyle \sum _{i}\left(n_{i}{\frac {m_{i}C_{i}^{2}(x,t)}{2}}+\int _{c}{\frac {m_{i}(c_{i}-C_{i}(x,t))^{2}}{2}}f_{i}(x,c,t)\,dc\right).}$$

อุณหภูมิจลน์Tและความดันจลน์Pถูกกำหนดในพื้นที่ 3 มิติ ดังนี้

${\displaystyle {\frac {3}{2}}k_{\rm {B}}T={\frac {1}{n}}\int _{c}{\frac {m_{i}(c_{i}-C_{i}(x,t))^{2}}{2}}f_{i}(x,c,t)\,dc;\quad P=k_{\rm {B}}nT,}$

ที่ไหน${\textstyle n=\sum _{i}n_{i}}$คือความหนาแน่นรวม

สำหรับก๊าซสองชนิด ความแตกต่างระหว่างความเร็ว${\displaystyle C_{1}-C_{2}}$กำหนดโดยนิพจน์: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle C_{1}-C_{2}=-{\frac {n^{2}}{n_{1}n_{2}}}D_{12}\left\{\nabla \left({\frac {n_{1}}{n}}\right)+{\frac {n_{1}n_{2}(m_{2}-m_{1})}{Pn(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}\nabla P-{\frac {m_{1}n_{1}m_{2}n_{2}}{P(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}(F_{1}-F_{2})+k_{T}{\frac {1}{T}}\nabla T\right\},}$

ที่ไหน${\displaystyle F_{i}}$คือแรงที่กระทำต่อโมเลกุลขององค์ประกอบที่iและ${\displaystyle k_{T}}$คืออัตราส่วนการแพร่ความร้อน

สัมประสิทธิ์D มีค่าเป็นบวก นี่คือสัมประสิทธิ์การแพร่กระจาย สี่พจน์ในสูตรสำหรับC − C อธิบายถึงผลกระทบหลักสี่ประการในการแพร่กระจายของก๊าซ:

1. ${\displaystyle \nabla \,\left({\frac {n_{1}}{n}}\right)}$อธิบายถึงการไหลขององค์ประกอบแรกจากพื้นที่ที่มีอัตราส่วนn / n สูง ไปยังพื้นที่ที่มีค่าอัตราส่วนนี้ต่ำกว่า (และในทำนองเดียวกัน การไหลขององค์ประกอบที่สองจากn / n สูง ไปยังn / n ต่ำ เนื่องจากn / n  =  1  – n / n ) 
2. ${\displaystyle {\frac {n_{1}n_{2}(m_{2}-m_{1})}{n(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}\nabla P}$อธิบายถึงการไหลของโมเลกุลที่หนักกว่าไปยังบริเวณที่มีความดันสูงกว่า และโมเลกุลที่เบากว่าไปยังบริเวณที่มีความดันต่ำกว่า ซึ่งเรียกว่า บาโรดิฟ ฟิวชัน ( barodiffusion )
3. ${\displaystyle {\frac {m_{1}n_{1}m_{2}n_{2}}{P(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}(F_{1}-F_{2})}$อธิบายถึงการแพร่ที่เกิดจากความแตกต่างของแรงที่กระทำต่อโมเลกุลประเภทต่างๆ ตัวอย่างเช่น ในสนามโน้มถ่วงของโลก โมเลกุลที่หนักกว่าควรจะเคลื่อนที่ลง หรือในสนามไฟฟ้า โมเลกุลที่มีประจุควรจะเคลื่อนที่ จนกว่าผลกระทบนี้จะสมดุลกับผลรวมของปัจจัยอื่นๆ ผลกระทบนี้ไม่ควรสับสนกับการแพร่แบบบารอดิฟฟิวชันที่เกิดจากความแตกต่างของความดัน
4. ${\displaystyle k_{T}{\frac {1}{T}}\nabla T}$อธิบายถึงการแพร่ความร้อนซึ่งเป็นการไหลของสารที่เกิดจากความแตกต่างของอุณหภูมิ

ปรากฏการณ์ทั้งหมดนี้เรียกว่าการแพร่กระจาย (diffusion)เพราะเป็นการอธิบายความแตกต่างระหว่างความเร็วของส่วนประกอบต่างๆ ในส่วนผสม ดังนั้น ปรากฏการณ์เหล่านี้จึงไม่สามารถอธิบายได้ว่าเป็นการ ขนส่ง แบบรวม (bulk transport) และแตกต่างจากการพาความร้อน (advection) หรือการไหลเวียน (convection)

ในการประมาณค่าครั้งแรก^{[ 14 ]}

• $${\displaystyle D_{12}={\frac {3}{2n(d_{1}+d_{2})^{2}}}\left[{\frac {kT(m_{1}+m_{2})}{2\pi m_{1}m_{2}}}\right]^{1/2}}$$สำหรับทรงกลมแข็ง
• $${\displaystyle D_{12}={\frac {3}{8nA_{1}({\nu })\Gamma (3-{\frac {2}{\nu -1}})}}\left[{\frac {kT(m_{1}+m_{2})}{2\pi m_{1}m_{2}}}\right]^{1/2}\left({\frac {2kT}{\kappa _{12}}}\right)^{\frac {2}{\nu -1}}}$$สำหรับแรงผลัก${\displaystyle \kappa _{12}r^{-\nu }.}$

หมายเลข${\displaystyle A_{1}({\nu })}$ถูกกำหนดโดยควอดราเจอร์ (สูตร (3.7), (3.9), บทที่ 10 ของหนังสือคลาสสิกของแชปแมนและคาวลิง^{[ 14 ]} )

เราจะเห็นได้ว่าการพึ่งพาTสำหรับทรงกลมแข็งนั้นเหมือนกับทฤษฎีระยะทางอิสระเฉลี่ยแบบง่าย แต่สำหรับกฎการผลักกำลังนั้นเลขชี้กำลังจะแตกต่างกัน การพึ่งพาความเข้มข้นรวมn สำหรับอุณหภูมิที่กำหนดจะมีลักษณะเดียวกันเสมอ คือ 1/ n

ในการประยุกต์ใช้กับพลศาสตร์ของแก๊ส ฟลักซ์การแพร่และการไหลรวมควรถูกรวมเข้าไว้ในระบบสมการการขนส่งเดียวกัน การไหลรวมอธิบายถึงการถ่ายโอนมวล ความเร็วV ของการไหลรวม คือความเร็วเฉลี่ยของมวล ซึ่งกำหนดโดยความหนาแน่นของโมเมนตัมและความเข้มข้นของมวล:

${\displaystyle V={\frac {\sum _{i}\rho _{i}C_{i}}{\rho }}\,.}$

ที่ไหน${\displaystyle \rho _{i}=m_{i}n_{i}}$คือความเข้มข้นเชิงมวลของชนิดที่i${\textstyle \rho =\sum _{i}\rho _{i}}$คือความหนาแน่นมวล

ตามนิยามแล้ว ความเร็วการแพร่กระจายของ องค์ประกอบที่ iคือ${\displaystyle v_{i}=C_{i}-V}$,${\textstyle \sum _{i}\rho _{i}v_{i}=0}$การถ่ายเทมวลของ องค์ประกอบที่ iอธิบายได้ด้วยสมการความต่อเนื่อง

${\displaystyle {\frac {\partial \rho _{i}}{\partial t}}+\nabla (\rho _{i}V)+\nabla (\rho _{i}v_{i})=W_{i}\,,}$

ที่ไหน${\displaystyle W_{i}}$คืออัตราการผลิตมวลสุทธิในปฏิกิริยาเคมี${\textstyle \sum _{i}W_{i}=0}$.

ในสมการเหล่านี้ เทอม${\displaystyle \nabla (\rho _{i}V)}$อธิบายการเคลื่อนที่ขององค์ประกอบที่iและเทอม${\displaystyle \nabla (\rho _{i}v_{i})}$แสดงถึงการแพร่กระจายของส่วนประกอบนี้

ในปี พ.ศ. 2491 Wendell H. Furryเสนอให้ใช้รูปแบบของอัตราการแพร่ที่พบในทฤษฎีจลนศาสตร์เป็นกรอบสำหรับแนวทางปรากฏการณ์วิทยาใหม่ในการแพร่ในก๊าซ แนวทางนี้ได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมโดย FA Williams และ SH Lam ^{[ 26 ]}สำหรับความเร็วการแพร่ในก๊าซหลายองค์ประกอบ ( Nองค์ประกอบ) พวกเขาใช้

${\displaystyle v_{i}=-\left(\sum _{j=1}^{N}D_{ij}\mathbf {d} _{j}+D_{i}^{(T)}\,\nabla (\ln T)\right)\,;}$

${\displaystyle \mathbf {d} _{j}=\nabla X_{j}+(X_{j}-Y_{j})\,\nabla (\ln P)+\mathbf {g} _{j}\,;}$

${\displaystyle \mathbf {g} _{j}={\frac {\rho }{P}}\left(Y_{j}\sum _{k=1}^{N}Y_{k}(f_{k}-f_{j})\right)\,.}$

ที่นี่,${\displaystyle D_{ij}}$คือเมทริกซ์สัมประสิทธิ์การแพร่กระจาย${\displaystyle D_{i}^{(T)}}$คือค่าสัมประสิทธิ์การแพร่ความร้อน${\displaystyle f_{i}}$คือ แรงต่อหน่วยมวลที่กระทำต่อสปีชีส์ ที่ i${\displaystyle X_{i}=P_{i}/P}$คือเศษส่วนความดันย่อยของ ชนิดที่ i (และ${\displaystyle P_{i}}$(คือความดันย่อย)${\displaystyle Y_{i}=\rho _{i}/\rho }$คือเศษส่วนมวลของ ชนิดที่ iและ${\textstyle \sum _{i}X_{i}=\sum _{i}Y_{i}=1.}$

เมื่อความหนาแน่นของอิเล็กตรอนในของแข็งไม่อยู่ในสภาวะสมดุล การแพร่ของอิเล็กตรอนจะเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น เมื่อมีการให้แรงดันไฟฟ้ากับปลายทั้งสองข้างของชิ้นส่วนสารกึ่งตัวนำ หรือเมื่อมีแสงส่องไปที่ปลายด้านหนึ่ง (ดูภาพด้านขวา) อิเล็กตรอนจะแพร่จากบริเวณที่มีความหนาแน่นสูง (ตรงกลาง) ไปยังบริเวณที่มีความหนาแน่นต่ำ (ปลายทั้งสองข้าง) ทำให้เกิดการไล่ระดับความหนาแน่นของอิเล็กตรอน กระบวนการนี้ก่อให้เกิดกระแสไฟฟ้า ซึ่งเรียกว่ากระแสการแพร่

กระแสการแพร่กระจายสามารถอธิบายได้ด้วยกฎข้อแรกของฟิกก์ เช่นกัน

${\displaystyle J=-D\,\partial n/\partial x\,,}$

โดยที่Jคือความหนาแน่นของกระแสการแพร่ ( ปริมาณสาร ) ต่อหน่วยพื้นที่ต่อหน่วยเวลา, n (สำหรับสารผสมในอุดมคติ) คือความหนาแน่นของอิเล็กตรอน, และxคือตำแหน่ง [ความยาว]

แบบจำลองเชิงวิเคราะห์และเชิงตัวเลขที่แก้สมการการแพร่กระจายสำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนไขขอบเขตที่แตกต่างกันได้รับความนิยมในการศึกษาการเปลี่ยนแปลงพื้นผิวโลกที่หลากหลาย การแพร่กระจายถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางในการศึกษาการกัดเซาะ เช่น การถอยร่นของเนินเขา การกัดเซาะหน้าผา การเสื่อมสภาพของหน้าผาที่เกิดจากรอยแตก การถอยร่นของระเบียง/แนวชายฝั่งที่เกิดจากการกัดเซาะของคลื่น การกัดเซาะของช่องทางน้ำที่เกิดจากการทับถม การถอยร่นของชั้นหินชายฝั่ง และการขยายตัวของดินดอนสามเหลี่ยมปากแม่น้ำ^{[ 27 ]}แม้ว่าพื้นผิวโลกจะไม่ได้แพร่กระจายอย่างแท้จริงในหลายกรณีเหล่านี้ แต่กระบวนการแพร่กระจายก็เลียนแบบการเปลี่ยนแปลงแบบองค์รวมที่เกิดขึ้นในช่วงหลายทศวรรษถึงหลายพันปีได้อย่างมีประสิทธิภาพ แบบจำลองการแพร่กระจายยังสามารถใช้ในการแก้ปัญหาค่าขอบเขตผกผันซึ่งทราบข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับสภาพแวดล้อมการสะสมจากการสร้างสภาพแวดล้อมโบราณขึ้นใหม่ และใช้สมการการแพร่กระจายเพื่อหาการไหลเข้าของตะกอนและอนุกรมเวลาของการเปลี่ยนแปลงของภูมิประเทศ^{[ 28 ]}

การฟอกไตทำงานบนหลักการของการแพร่ของสารละลายและการกรองของเหลวผ่านเยื่อกั้นกึ่งซึมผ่านได้การแพร่เป็นคุณสมบัติของสารในน้ำ สารในน้ำมีแนวโน้มที่จะเคลื่อนที่จากบริเวณที่มีความเข้มข้นสูงไปยังบริเวณที่มีความเข้มข้นต่ำ^{[ 29 ]}เลือดไหลผ่านด้านหนึ่งของเยื่อกั้นกึ่งซึมผ่านได้ และไดอะไลเซตหรือของเหลวฟอกไตชนิดพิเศษจะไหลผ่านอีกด้านหนึ่ง เยื่อกั้นกึ่งซึมผ่านได้เป็นชั้นบางๆ ของวัสดุที่มีรูพรุนขนาดต่างๆ สารละลายและของเหลวขนาดเล็กจะผ่านเยื่อกั้นได้ แต่เยื่อกั้นจะปิดกั้นการผ่านของสารขนาดใหญ่ (เช่น เม็ดเลือดแดงและโปรตีนขนาดใหญ่) กระบวนการนี้จำลองกระบวนการกรองที่เกิดขึ้นในไตเมื่อเลือดเข้าสู่ไตและสารขนาดใหญ่จะถูกแยกออกจากสารขนาดเล็กในโกลเมอรูลัส^{[ 29 ]}

ในขณะที่การเคลื่อนที่แบบบราวน์ของอนุภาคขนาดกลางที่มีหลายโมเลกุล (เช่น ละอองเกสรดอกไม้ที่บราวน์ศึกษา) สามารถสังเกตได้ภายใต้กล้องจุลทรรศน์แบบใช้แสง การแพร่กระจายของโมเลกุลนั้นสามารถตรวจสอบได้เฉพาะในสภาวะการทดลองที่ควบคุมอย่างระมัดระวังเท่านั้น นับตั้งแต่การทดลองของเกรแฮมเป็นต้นมา เป็นที่ทราบกันดีว่าการหลีกเลี่ยงการพาความร้อนเป็นสิ่งจำเป็น และนี่อาจเป็นงานที่ไม่ง่ายนัก

ภายใต้สภาวะปกติ การแพร่ของโมเลกุลจะมีบทบาทสำคัญเฉพาะในระยะความยาวระดับนาโนเมตรถึงมิลลิเมตรเท่านั้น ในระยะความยาวที่ใหญ่กว่านั้น การขนส่งในของเหลวและก๊าซมักเกิดจากปรากฏการณ์การขนส่ง อื่น นั่น คือการพาความร้อนการแยกการแพร่ในกรณีเหล่านี้จำเป็นต้องใช้ความพยายามเป็นพิเศษ

ในทางตรงกันข้ามการนำความร้อนผ่านตัวกลางที่เป็นของแข็งเป็นปรากฏการณ์ที่พบได้ทั่วไปในชีวิตประจำวัน (ตัวอย่างเช่น ช้อนโลหะที่จุ่มลงในของเหลวร้อนบางส่วน) นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมการแพร่กระจายความร้อนจึงได้รับการอธิบายทางคณิตศาสตร์ก่อนการแพร่กระจายของมวล

• การแพร่แบบไม่เป็นไอโซโทรปิกหรือที่รู้จักกันในชื่อสมการเปโรนา-มาลิก ช่วยเพิ่มประสิทธิภาพของการไล่ระดับความชันสูง
• การแพร่ของอะตอมในของแข็ง
• การแพร่แบบโบห์ม (Bohm diffusion ) คือการแพร่กระจายของพลาสมาข้ามสนามแม่เหล็ก
• การแพร่แบบกระแสน้ำวนในคำอธิบายแบบหยาบของการไหลแบบปั่นป่วน
• การซึมผ่านของก๊าซผ่านรูเล็กๆ
• การแพร่กระจาย ของอิเล็กตรอนส่งผลให้เกิดกระแสไฟฟ้าที่เรียกว่ากระแสแพร่กระจาย
• การแพร่แบบอำนวยความสะดวกพบได้ในสิ่งมีชีวิตบางชนิด
• การแพร่กระจายของก๊าซใช้สำหรับการแยกไอโซโทป
• สมการความร้อนการแพร่กระจายของพลังงานความร้อน
• การแพร่แบบอิโตะ (Itō diffusion)คือการนำคณิตศาสตร์มาใช้กับการเคลื่อนที่แบบบราวน์ (Brownian motion) ซึ่งเป็นกระบวนการสุ่มต่อเนื่อง
• การแพร่แบบ Knudsenของก๊าซในรูพรุนยาวที่มีการชนกับผนังบ่อยครั้ง
• เที่ยวบินเลวี
• การแพร่ของโมเลกุลคือการแพร่ของโมเลกุลจากบริเวณที่มีความหนาแน่นสูงไปยังบริเวณที่มีความหนาแน่นต่ำกว่า
• การแพร่กระจายของโมเมนตัมเช่น การแพร่กระจายของสนามความเร็วของของเหลว
• การแพร่กระจายของโฟตอน
• การแพร่กระจายของพลาสมา
• การเดินแบบสุ่ม [ ^{30 ] แบบ}จำลองสำหรับการแพร่กระจาย
• การแพร่แบบย้อนกลับ คือ การแพร่สวนทางกับความเข้มข้น ในการแยกเฟส
• การแพร่แบบหมุนคือการจัดเรียงตัวใหม่แบบสุ่มของโมเลกุล
• การแพร่กระจายของสปิน (Spin diffusion)คือการแพร่กระจายของโมเมนต์แม่เหล็กสปินในของแข็ง
• การแพร่บนพื้นผิวคือการแพร่ของอนุภาคเกาะติดบนพื้นผิว
• แท็กซี่คือพฤติกรรมการเคลื่อนที่ไปในทิศทางใดทิศทางหนึ่งของสัตว์เพื่อตอบสนองต่อสิ่งเร้า
  • ไคเนซิสคือ การเคลื่อนไหวที่ไม่กำหนดทิศทางของสัตว์เพื่อตอบสนองต่อสิ่งเร้า
• การแพร่กระจายข้ามวัฒนธรรมคือการแพร่กระจายลักษณะทางวัฒนธรรมข้ามพื้นที่ทางภูมิศาสตร์
• การแพร่แบบปั่นป่วนคือ การขนส่งมวล ความร้อน หรือโมเมนตัมภายในของเหลวที่ปั่นป่วน