ในทางคณิตศาสตร์การทดสอบของอาเบล (หรือที่รู้จักกันในชื่อเกณฑ์ของอาเบล ) เป็นวิธีการทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมอนันต์การทดสอบนี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์นีลส์ เฮนริก อาเบลผู้พิสูจน์ในปี ค.ศ. 1826 ^{[ 1 ]}การทดสอบของอาเบลมีสองเวอร์ชันที่แตกต่างกันเล็กน้อย–เวอร์ชันหนึ่งใช้กับอนุกรมของจำนวนจริง และอีกเวอร์ชันหนึ่งใช้กับอนุกรมกำลังในการวิเคราะห์เชิงซ้อนการทดสอบการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอของอาเบลเป็นเกณฑ์สำหรับการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอของอนุกรมของฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์

สมมติว่าข้อความต่อไปนี้เป็นจริง:

1. ${\textstyle \sum a_{n}}$เป็นอนุกรมลู่เข้า
2. ${\displaystyle b_{n}}$เป็นลำดับเสียงเดียว และ
3. ${\displaystyle b_{n}}$มีขอบเขตจำกัด

แล้ว${\textstyle \sum a_{n}b_{n}}$นอกจากนี้ยังเป็นการลู่เข้าด้วย

การทดสอบนี้มีความเกี่ยวข้องและมีประโยชน์เป็นหลักในบริบทของอนุกรมที่ไม่ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์${\textstyle \sum a_{n}}$ สามารถพิสูจน์ได้โดยตรงโดยใช้วิธีผลรวมโดยส่วน

การทดสอบการลู่เข้าที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด หรือที่รู้จักกันในชื่อการทดสอบของอาเบลมักใช้เพื่อพิสูจน์การลู่เข้าของอนุกรมกำลังบนขอบของวงกลมการลู่เข้าโดยเฉพาะอย่างยิ่ง การทดสอบของอาเบลระบุว่า ถ้าลำดับ${\displaystyle (a_{n})}$ของจำนวนจริงบวกจะลดลงอย่างต่อเนื่องเมื่อ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0,}$$ จากนั้นก็เป็นชุดพลังงาน $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$$ลู่เข้าทุกที่บน วงกลมหน่วย ปิดยกเว้นอาจจะเป็นที่z = 1 การทดสอบของ Abel ไม่สามารถนำมาใช้ได้เมื่อz = 1 ดังนั้นการลู่เข้าที่จุดเดียวนั้นจึงต้องตรวจสอบแยกต่างหาก

การทดสอบของอาเบลบ่งชี้โดยเฉพาะว่ารัศมีของการลู่เข้ามีค่าอย่างน้อย 1 นอกจากนี้ยังสามารถนำไปใช้กับอนุกรมกำลังที่มีรัศมีของการลู่เข้าR ≠ 1 ได้โดยการเปลี่ยนตัวแปรอย่างง่าย${\displaystyle \zeta =z/R}$[ ^{2 ]}การทดสอบของ Abel เป็นการวางนัยทั่วไปของ^การทดสอบอนุกรมสลับซึ่งเป็นกรณีพิเศษz = −1

การพิสูจน์การทดสอบของอาเบล:สมมติว่าzเป็นจุดบนวงกลมหน่วย และz ≠ 1 สำหรับแต่ละ${\displaystyle n\geq 1}$เรากำหนด

${\displaystyle f_{n}(z):=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}.}$

โดยการคูณฟังก์ชันนี้ด้วย (1 − z ) เราจะได้

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)f_{n}(z)&=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(1-z)z^{k}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k+1}=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=1}^{n+1}a_{k-1}z^{k}\\&=a_{0}-a_{n}z^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k-1})z^{k}.\end{aligned}}}$

พจน์แรกมีค่าคงที่ พจน์ที่สองลู่เข้าสู่ศูนย์อย่างสม่ำเสมอ (เนื่องจากตามสมมติฐาน ลำดับ)${\displaystyle (a_{n})}$ลู่เข้าสู่ศูนย์) เหลือเพียงแค่แสดงว่าอนุกรมลู่เข้า เราจะแสดงสิ่งนี้โดยแสดงว่ามันลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ด้วย: ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left|(a_{k}-a_{k-1})z^{k}\right|=\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}-a_{k-1}|\cdot |z|^{k}\leq \sum _{k=1}^{\infty }(a_{k-1}-a_{k})}$ โดยผลรวมสุดท้ายเป็นผลรวมแบบลู่เข้าและลู่ลง ค่าสัมบูรณ์หายไปเนื่องจากลำดับ${\displaystyle (a_{n})}$กำลังลดลงตามสมมติฐาน

ดังนั้นลำดับจึงเป็นดังนี้${\displaystyle (1-z)f_{n}(z)}$ลู่เข้า (แม้กระทั่งอย่างสม่ำเสมอ) บนวงกลมหน่วยปิด ถ้า${\displaystyle z\not =1}$เราอาจหารด้วย (1 − z ) แล้วได้ผลลัพธ์

อีกวิธีหนึ่งที่จะได้ผลลัพธ์คือการใช้การทดสอบของ Dirichletอันที่จริงแล้ว สำหรับ${\displaystyle z\neq 1,\ |z|=1}$ถือ${\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{n}z^{k}\right|=\left|{\frac {z^{n+1}-1}{z-1}}\right|\leq {\frac {2}{|z-1|}}}$ดังนั้น ข้อสมมติของการทดสอบของ Dirichlet จึงเป็นไปตามเงื่อนไข

การเสริมความแข็งแกร่งของการทดสอบต่อไปนี้ก็ใช้ได้เช่นกัน: อาจแทนที่เงื่อนไขที่ว่า${\displaystyle (a_{n})}$มีค่าลดลงโดยมีเงื่อนไขว่าค่าจะลดลงเมื่อn มีค่ามากพอ นั่นคือจะมีจำนวนธรรมชาติm บางค่า ที่ทำให้${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$เมื่อใดก็ตามที่n > m

การทดสอบการลู่เข้าแบบเอกรูปของอาเบลเป็นเกณฑ์สำหรับการลู่เข้าแบบเอกรูปของอนุกรมฟังก์ชันหรือการอินทิเกรตไม่เหมาะสมของฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์มันเกี่ยวข้องกับการทดสอบของอาเบลสำหรับการลู่เข้าของอนุกรมจำนวนจริงทั่วไป และการพิสูจน์อาศัยเทคนิคการรวมโดยส่วนแบบเดียวกัน

การทดสอบมีดังนี้ ให้${\displaystyle \{g_{n}\}}$เป็น ลำดับของ ฟังก์ชันต่อเนื่องค่าจริงที่มีขอบเขตสม่ำเสมอบนเซตหนึ่ง${\displaystyle E}$โดยที่${\displaystyle g_{n+1}(x)\leq g_{n}(x)}$สำหรับทุกคน${\displaystyle x\in E}$และจำนวนเต็มบวก${\displaystyle n}$และปล่อยให้${\displaystyle \{f_{n}\}}$เป็นลำดับของฟังก์ชันค่าจริง โดยที่อนุกรม${\displaystyle \sum f_{n}(x)}$ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอบน${\displaystyle E}$. แล้ว${\displaystyle \sum f_{n}(x)g_{n}(x)}$ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอบน${\displaystyle E}$.

• หลักฐาน (สำหรับอนุกรมจริง) ที่ PlanetMath.org