Locally Optimal Block Preconditioned Conjugate Gradient ( LOBPCG ) เป็นวิธีการที่ไม่ต้องใช้เมทริกซ์ ในการหา ค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุด (หรือเล็กที่สุด) และเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะที่สอดคล้องกัน ของปัญหาค่าลักษณะเฉพาะทั่วไปแบบ สมมาตร

$${\displaystyle Ax=\lambda Bx,}$$

สำหรับเมทริกซ์ เฮอร์มิเชียนเชิงซ้อนหรือ เมทริก ซ์สมมาตร จริง คู่หนึ่งโดยที่เมทริกซ์นั้นถือว่าเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน ด้วย${\displaystyle (A,B)}$${\displaystyle B}$

Kantorovichในปี 1948 เสนอให้คำนวณค่าไอเกน ที่เล็กที่สุด ของเมทริกซ์สมมาตรโดย ใช้ การลดลงที่ชันที่สุดโดยใช้ทิศทาง ของเกร เดียนต์ที่ปรับขนาดของผลหาร Rayleighในผลคูณสเกลาร์โดยขนาดขั้นตอนคำนวณโดยการลดผลหาร Rayleigh ให้เหลือน้อยที่สุดในช่วงเชิงเส้นของเวกเตอร์และกล่าวคือในลักษณะที่เหมาะสมที่สุดในระดับท้องถิ่น Samokish ^{[ 1 ]}เสนอให้ใช้ตัวปรับสภาพกับเวกเตอร์ตกค้างเพื่อสร้างทิศทางที่ปรับสภาพแล้วและได้ขอบเขตอัตราการล convergence แบบ asymptotic เมื่อ เข้าใกล้ เวก เตอร์ไอเกนD'yakonovแนะนำ^{[ 2 ]}การปรับสภาพที่เทียบเท่าทางสเปกตรัมและได้ขอบเขตอัตราการล convergence แบบไม่ใช่ asymptotic การลงแบบชันหลายขั้นตอนที่เหมาะสมที่สุดในระดับท้องถิ่นของบล็อกสำหรับปัญหาค่าลักษณะเฉพาะได้รับการอธิบายไว้ใน^{[ 3 ]}การลดค่าต่ำสุดในระดับท้องถิ่นของอัตราส่วนเรย์ลีบนพื้นที่ย่อยที่ครอบคลุมโดยการประมาณค่าปัจจุบัน ค่าตกค้างปัจจุบัน และการประมาณค่าก่อนหน้า รวมถึงเวอร์ชันบล็อก ปรากฏใน^{[ 4 ]}เวอร์ชันที่มีการปรับสภาพล่วงหน้าได้รับการวิเคราะห์ใน^{[ 5 ]}และ^{[ 6 ]}${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle r=Ax-\lambda (x)x}$${\displaystyle \lambda (x)=\langle x,Ax\rangle /\langle x,x\rangle }$${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\mathsf {T}}y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$${\displaystyle T}$${\displaystyle r}$${\displaystyle w=Tr}$${\displaystyle x}$

แหล่งที่มา: ^{[ 7 ]}

• ไม่ต้อง ใช้เมทริกซ์ กล่าวคือ ไม่จำเป็นต้องจัดเก็บเมทริกซ์สัมประสิทธิ์อย่างชัดเจน แต่สามารถเข้าถึงเมทริกซ์ได้โดยการประเมินผลคูณเมทริกซ์กับเวกเตอร์
• ไม่ต้องแยก ตัวประกอบ กล่าวคือ ไม่จำเป็นต้องแยกเมทริกซ์ออก เป็นส่วนๆ แม้แต่สำหรับปัญหาค่าลักษณะเฉพาะแบบทั่วไปก็ตาม
• ต้นทุนต่อรอบการคำนวณและการใช้หน่วยความจำนั้นสามารถแข่งขันได้กับวิธีการของ Lanczosซึ่งใช้ในการคำนวณคู่ค่าลักษณะเฉพาะสุดขั้วเพียงคู่เดียวของเมทริกซ์สมมาตร
• การลู่เข้าเชิงเส้นได้รับการรับประกันตามทฤษฎีและสังเกตได้ในทางปฏิบัติ
• การบรรจบกันที่รวดเร็วขึ้นเนื่องจากการปรับสภาพเบื้องต้น โดยตรง ซึ่งแตกต่างจากวิธีของ Lanczosที่รวมถึงการปรับสภาพเบื้องต้นแบบแปรผันและไม่สมมาตร ตลอดจนการปรับสภาพเบื้องต้น แบบคงที่และแบบบวก แน่นอน
• ช่วยให้สามารถผสานรวมการแบ่งโดเมน ที่มีประสิทธิภาพ และเทคนิคมัลติกริด ได้อย่างง่ายดายผ่านการปรับสภาพเบื้องต้น
• เริ่มต้นการทำงานแบบอุ่นเครื่องและคำนวณค่าประมาณของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะในทุกรอบการทำซ้ำ
• มีเสถียรภาพทางตัวเลขมากกว่าเมื่อเทียบกับวิธี Lanczosและสามารถทำงานได้ในระบบคำนวณคอมพิวเตอร์ที่มีความแม่นยำต่ำ
• ใช้งานง่าย และมีเวอร์ชันต่างๆ ออกมาแล้วมากมาย
• การแบ่งบล็อกช่วยให้สามารถใช้การดำเนินการเมทริกซ์-เมทริกซ์ที่มีประสิทธิภาพสูงได้ เช่นBLAS 3
• ขนาดของบล็อกสามารถปรับได้เพื่อให้เกิดความสมดุลระหว่างความเร็วในการบรรจบกันกับต้นทุนการคำนวณของการทำออร์โธโกนอลและการใช้วิธี Rayleigh-Ritzในแต่ละรอบการคำนวณ

วิธีการนี้ดำเนินการหาค่าสูงสุด (หรือค่าต่ำสุด) แบบ วนซ้ำ ของ ผลหารเรย์ลี ทั่วไป

$${\displaystyle \rho (x):=\rho (A,B;x):={\frac {x^{\mathsf {T}}Ax}{x^{\mathsf {T}}Bx}},}$$

ซึ่งส่งผลให้พบคู่ค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุด (หรือเล็กที่สุด) ของ${\displaystyle Ax=\lambda Bx.}$

ทิศทางของการเพิ่มขึ้นที่ชันที่สุด ซึ่งก็คือเกรเดียนต์ของผลหารเรย์ลี ทั่วไปนั้น แปรผันตรงกับเวกเตอร์ในเชิงบวก

$${\displaystyle r:=Ax-\rho (x)Bx,}$$

เรียกว่าค่าตกค้าง ของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ หาก มี ตัวปรับสภาพเบื้องต้น (preconditioner) อยู่ ก็จะนำไปใช้กับค่าตกค้างและให้เวกเตอร์ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle w:=Tr,}$$

เรียกว่าค่าตกค้างที่ปรับสภาพแล้ว หากไม่มีการปรับสภาพ เราจะตั้งค่าเป็นและดังนั้นวิธีการวนซ้ำ ${\displaystyle T:=I}$${\displaystyle w:=r}$

$${\displaystyle x^{i+1}:=x^{i}+\alpha ^{i}T\left(Ax^{i}-\rho (x^{i})Bx^{i}\right),}$$

หรือกล่าวโดยย่อ

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{i+1}&:=x^{i}+\alpha ^{i}w^{i},\,\\w^{i}&:=Tr^{i},\,\\r^{i}&:=Ax^{i}-\rho (x^{i})Bx^{i},\end{aligned}}}$$

เรียกว่าการขึ้น (หรือลง) ที่ชันที่สุดแบบปรับสภาพล่วงหน้า โดยที่ค่าคงที่เรียกว่าขนาดขั้นตอน ขนาดขั้นตอนที่เหมาะสมที่สุดสามารถกำหนดได้โดยการเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์เรย์ลีให้สูงสุด กล่าวคือ ${\displaystyle \alpha ^{i}}$

$${\displaystyle x^{i+1}:=\arg \max _{y\in \operatorname {span} \{x^{i},w^{i}\}}\rho (y)}$$

(หรือในกรณีของการลดค่าให้เหลือน้อยที่สุด) ซึ่งในกรณีนี้ วิธีดังกล่าวเรียกว่า วิธีที่เหมาะสมที่สุดในระดับท้องถิ่น ${\displaystyle \arg \min }$

เพื่อเร่งการบรรจบกันของเส้นทางการขึ้น (หรือลง) ที่ชันที่สุดซึ่งปรับสภาพไว้ล่วงหน้าและเหมาะสมที่สุดในระดับท้องถิ่นอย่างรวดเร็ว สามารถเพิ่มเวกเตอร์พิเศษอีกหนึ่งตัวลงในความสัมพันธ์เวียนเกิด แบบสองพจน์ เพื่อให้กลายเป็นแบบสามพจน์ได้:

$${\displaystyle x^{i+1}:=\arg \max _{y\in \operatorname {span} \{x^{i},w^{i},x^{i-1}\}}\rho (y)}$$

(ใช้ในกรณีของการลดค่าให้น้อยที่สุด) การเพิ่ม/ลดค่าสัมประสิทธิ์เรย์ลีในปริภูมิย่อย 3 มิติ สามารถทำได้ในเชิงตัวเลขโดยวิธีเรย์ลี-ริตซ์ การ เพิ่มเวกเตอร์เพิ่มเติม เช่นการประมาณค่าแบบริชาร์ดสันจะไม่ส่งผลให้เกิดการเร่งความเร็วอย่างมีนัยสำคัญ^{[ 8 ]}แต่จะเพิ่มต้นทุนการคำนวณ ดังนั้นจึงไม่แนะนำโดยทั่วไป ${\displaystyle \arg \min }$

เมื่อการวนซ้ำบรรจบกัน เวกเตอร์และ จะ มีความขึ้นต่อกันเชิงเส้นเกือบ สมบูรณ์ ส่งผลให้ความแม่นยำลดลงและทำให้วิธี Rayleigh–Ritzไม่เสถียรทางตัวเลขเมื่อมีข้อผิดพลาดจากการปัดเศษ การสูญเสียความแม่นยำอาจหลีกเลี่ยงได้โดยการแทนที่เวกเตอร์ด้วยเวกเตอร์ซึ่งอาจอยู่ห่างจากในฐานของปริภูมิย่อยสามมิติในขณะที่รักษาปริภูมิย่อยให้คงเดิมและหลีกเลี่ยงการตั้งฉากหรือการดำเนินการพิเศษอื่น ๆ^{[ 8 ]}นอกจากนี้ การทำให้ฐานของปริภูมิย่อยสามมิติเป็นฐานตั้งฉากอาจจำเป็นสำหรับ ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะ ที่มีเงื่อนไขไม่ดีเพื่อปรับปรุงเสถียรภาพและความแม่นยำที่สามารถทำได้ ${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle x^{i-1}}$${\displaystyle x^{i-1}}$${\displaystyle p^{i}}$${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle \operatorname {span} \{x^{i},w^{i},x^{i-1}\}}$

นี่คือเวอร์ชันเวกเตอร์เดี่ยวของวิธี LOBPCG ซึ่งเป็นหนึ่งในวิธีการทั่วไปที่เป็นไปได้ของ ตัวแก้เชิง เส้นแบบไล่ระดับคอนจูเกตแบบ ปรับ สภาพล่วงหน้า สำหรับกรณีของปัญหาค่าลักษณะ เฉพาะสมมาตร ^{[ 8 ]}แม้ในกรณีที่ไม่สำคัญและการประมาณค่าที่ได้จะแตกต่างจากที่ได้จากอัลกอริทึม Lanczosแม้ว่าการประมาณค่าทั้งสองจะอยู่ในปริภูมิย่อย Krylov เดียวกัน ก็ตาม ${\displaystyle T=I}$${\displaystyle B=I}$${\displaystyle i>3}$

ความเรียบง่ายอย่างยิ่งและประสิทธิภาพสูงของ LOBPCG เวอร์ชันเวกเตอร์เดี่ยว ทำให้เป็นที่น่าสนใจสำหรับการใช้งานที่เกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะภายใต้ข้อจำกัดของฮาร์ดแวร์อย่างรุนแรง ตั้งแต่การตรวจจับความผิด ปกติแบบ เรียลไทม์โดยใช้การจัดกลุ่มสเปกตรัมผ่านการแบ่งพาร์ติชันกราฟบนASICหรือFPGAแบบฝังตัว ไปจนถึงการจำลองปรากฏการณ์ทางกายภาพที่มีความซับซ้อนในการคำนวณสูงสุดบนซูเปอร์คอมพิวเตอร์ ระดับเอ็กซาสเกล TOP500

สามารถคำนวณคู่ค่าลักษณะเฉพาะที่ตามมาได้ทีละรายการโดยใช้ LOBPCG แบบเวกเตอร์เดี่ยวที่เสริมด้วยการลดขนาดเชิงตั้งฉาก หรือคำนวณพร้อมกันเป็นบล็อก ในวิธีการแรก ความไม่แม่นยำในเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะโดยประมาณที่คำนวณไว้แล้วจะส่งผลต่อความแม่นยำของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่คำนวณในภายหลังแบบบวก ทำให้ข้อผิดพลาดเพิ่มขึ้นทุกครั้งที่มีการคำนวณใหม่ การวนซ้ำเวกเตอร์ ลักษณะเฉพาะโดยประมาณหลายตัว พร้อมกันในบล็อกในลักษณะที่เหมาะสมที่สุดในระดับท้องถิ่นในเวอร์ชันบล็อกของ LOBPCG ^{[ 8 ]}ช่วยให้สามารถคำนวณเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะได้อย่างรวดเร็ว แม่นยำ และแข็งแกร่ง รวมถึงเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะเกือบหลายค่า ซึ่ง LOBPCG แบบเวกเตอร์เดี่ยวประสบปัญหาการลู่เข้าช้า ขนาดของบล็อกสามารถปรับได้เพื่อให้สมดุลระหว่างความเสถียรเชิงตัวเลข ความเร็วในการลู่เข้า และต้นทุนการคำนวณของการตั้งฉากและวิธี Rayleigh-Ritz ในแต่ละรอบการวนซ้ำ

วิธีการแบบบล็อกใน LOBPCG แทนที่เวกเตอร์เดี่ยวด้วยเวกเตอร์บล็อก กล่าวคือ เมทริกซ์และโดยที่ เช่น แต่ละคอลัมน์ของจะประมาณค่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะตัวใดตัวหนึ่ง คอลัมน์ทั้งหมดจะถูกวนซ้ำพร้อมกัน และเมทริกซ์ของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะโดยประมาณถัดไปจะถูกกำหนดโดยวิธี Rayleigh–Ritzบนปริภูมิย่อยที่เกิดจากคอลัมน์ทั้งหมดของเมทริกซ์และแต่ละคอลัมน์ของจะถูกคำนวณอย่างง่ายๆ โดยใช้ค่าตกค้างที่ปรับสภาพแล้วสำหรับแต่ละคอลัมน์ของเมทริกซ์จะถูกกำหนดเพื่อให้ปริภูมิย่อยที่เกิดจากคอลัมน์ของและเหมือนกัน ${\displaystyle x^{i},\,w^{i},}$${\displaystyle p^{i}}$${\displaystyle X^{i},\,W^{i},}$${\displaystyle P^{i}}$${\displaystyle X^{i}}$${\displaystyle X^{i+1}}$${\displaystyle X^{i},\,W^{i},}$${\displaystyle P^{i}}$${\displaystyle W^{i}}$${\displaystyle X^{i}.}$${\displaystyle P^{i}}$${\displaystyle [X^{i},\,P^{i}]}$${\displaystyle [X^{i},\,X^{i-1}]}$

ผลลัพธ์ของวิธี Rayleigh–Ritzถูกกำหนดโดยปริภูมิย่อยที่เกิดจากคอลัมน์ทั้งหมดของเมทริกซ์และโดยที่ฐานของปริภูมิย่อยนั้นในทางทฤษฎีสามารถเป็นค่าใดก็ได้ อย่างไรก็ตาม ในการคำนวณทางคอมพิวเตอร์ที่ไม่แม่นยำวิธี Rayleigh–Ritzจะไม่เสถียรทางตัวเลขหากเวกเตอร์ฐานบางตัวมีความสัมพันธ์เชิงเส้นโดยประมาณ ความไม่เสถียรทางตัวเลขมักเกิดขึ้น เช่น หากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะบางตัวในบล็อกการวนซ้ำมีความแม่นยำที่สามารถทำได้แล้วสำหรับความแม่นยำของคอมพิวเตอร์ที่กำหนด และจะเด่นชัดเป็นพิเศษในความแม่นยำต่ำ เช่น ความ แม่นยำ เดี่ยว${\displaystyle X^{i},\,W^{i},}$${\displaystyle P^{i}}$

ศิลปะของการนำ LOBPCG ไปใช้ที่แตกต่างกันหลายแบบคือการรับประกันเสถียรภาพเชิงตัวเลขของ วิธี Rayleigh–Ritzด้วยต้นทุนการคำนวณที่น้อยที่สุดโดยการเลือกฐานที่ดีของปริภูมิย่อย วิธีการที่มีเสถียรภาพมากที่สุดในการทำให้เวกเตอร์ฐานตั้งฉากกัน เช่น โดยกระบวนการ Gram–Schmidtก็เป็นวิธีที่ใช้ต้นทุนการคำนวณสูงที่สุดเช่นกัน ตัวอย่างเช่น การนำ LOBPCG ไปใช้^{[ 9 ] [ 10 ]} ใช้ การแยกส่วน Choleskyที่ไม่เสถียรแต่มีประสิทธิภาพของเมทริกซ์ปกติซึ่งดำเนินการเฉพาะกับเมทริกซ์แต่ละตัวและแทนที่จะดำเนินการกับปริภูมิย่อยทั้งหมด ปริมาณหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องทำให้ขนาดบล็อกทั่วไปในปัจจุบันอยู่ในช่วงที่เปอร์เซ็นต์ของเวลาการคำนวณที่ใช้ไปกับการตั้งฉากและวิธี Rayleigh-Ritz เริ่มมีบทบาทสำคัญ ${\displaystyle W^{i}}$${\displaystyle P^{i}}$${\displaystyle 10^{3}-10^{4}}$

วิธีการแบบบล็อกสำหรับปัญหาค่าลักษณะเฉพาะที่วนซ้ำในปริภูมิย่อย มักจะมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะบางตัวที่ลู่เข้าเร็วกว่าตัวอื่น ๆ ซึ่งเป็นแรงจูงใจให้ล็อกเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ลู่เข้าแล้ว กล่าวคือ ลบออกจากลูปการวนซ้ำ เพื่อกำจัดการคำนวณที่ไม่จำเป็นและปรับปรุงเสถียรภาพเชิงตัวเลข การลบเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอย่างง่ายอาจส่งผลให้เกิดสำเนาของเวกเตอร์นั้นในเวกเตอร์ที่ยังคงวนซ้ำอยู่ ข้อเท็จจริงที่ว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของปัญหาค่าลักษณะเฉพาะแบบสมมาตรตั้งฉากกันเป็นคู่ ๆ ชี้ให้เห็นว่าควรเก็บเวกเตอร์ที่วนซ้ำทั้งหมดให้ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ถูกล็อกไว้

การล็อกสามารถนำไปใช้ได้หลายวิธี โดยยังคงรักษาความแม่นยำและความเสถียรเชิงตัวเลขไว้ พร้อมทั้งลดต้นทุนการคำนวณให้น้อยที่สุด ตัวอย่างเช่น การใช้งาน LOBPCG ^{[ 9 ] [ 10 ]}เป็นไปตาม^{[ 8 ] [ 11 ]}โดยแยกการล็อกแบบแข็ง (hard locking) ซึ่งก็คือการลดขนาดโดยการจำกัด โดยที่เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ถูกล็อกจะทำหน้าที่เป็นอินพุตของโค้ดและไม่เปลี่ยนแปลง ออกจากการล็อกแบบอ่อน (soft locking) ซึ่งเวกเตอร์ที่ถูกล็อกจะไม่เข้าร่วมในขั้นตอนการวนซ้ำที่มีค่าใช้จ่ายสูงที่สุดในการคำนวณค่าตกค้าง อย่างไรก็ตาม จะเข้าร่วมอย่างเต็มที่ในวิธีการ Rayleigh-Ritz และดังนั้นจึงสามารถเปลี่ยนแปลงได้โดยวิธีการ Rayleigh-Ritz

LOBPCG รวมคอลัมน์ทั้งหมดของเมทริกซ์เข้าไว้ในวิธี Rayleigh–Ritzส่งผลให้ต้องแก้ปัญหาค่าลักษณะ เฉพาะขนาดใหญ่ถึง -by- และคำนวณ ผลคูณดอท ขนาดใหญ่ ถึงในแต่ละรอบการทำซ้ำ โดยที่หมายถึงขนาดบล็อก — จำนวนคอลัมน์ สำหรับขนาดบล็อกขนาดใหญ่วิธีนี้จะเริ่มครอบงำต้นทุนการคำนวณและ I/O และจำกัดการทำงานแบบขนานในกรณีที่อุปกรณ์คำนวณหลายตัวทำงานพร้อมกัน ${\displaystyle X^{i},\,W^{i},}$${\displaystyle P^{i}}$${\displaystyle 3k}$${\displaystyle 3k}$${\displaystyle 9k^{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

เอกสาร LOBPCG ฉบับดั้งเดิม^{[ 8 ]}อธิบายถึงการปรับเปลี่ยนที่เรียกว่า LOBPCG II เพื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวโดยการเรียกใช้เวอร์ชันเวกเตอร์เดี่ยวของวิธี LOBPCG สำหรับแต่ละคู่ค่าลักษณะเฉพาะที่ต้องการด้วยขั้นตอน Rayleigh-Ritz ในการแก้ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะที่ฉายภาพขนาด 3x3 ขั้นตอน Rayleigh-Ritz ทั่วโลกสำหรับคู่ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดจะ ดำเนินการ ในทุกรอบการทำซ้ำ แต่เฉพาะบนคอลัมน์ของเมทริกซ์เท่านั้นดังนั้นจึงลดจำนวนผลคูณดอท ที่จำเป็น จากและขนาดของปัญหาค่าลักษณะเฉพาะที่ฉายภาพทั่วโลกจากในแต่ละรอบการทำซ้ำ เหลือ -by- เอกสารอ้างอิง ^{[ 12 ]}ไปไกลกว่านั้นโดยการประยุกต์ใช้อัลกอริทึม LOBPCG กับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะโดยประมาณแต่ละตัวแยกกัน กล่าวคือ การเรียกใช้เวอร์ชันที่ไม่ถูกบล็อกของวิธี LOBPCG สำหรับแต่ละคู่ค่าลักษณะเฉพาะที่ต้องการเป็นจำนวนรอบการทำซ้ำคงที่ ขั้นตอน Rayleigh-Ritz ในการทำงานเหล่านี้จำเป็นต้องแก้ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะที่ฉายภาพขนาด 3 × 3 เพียงชุดเดียวเท่านั้น กระบวนการ Rayleigh-Ritz ทั่วโลกสำหรับคู่ค่าลักษณะเฉพาะที่ต้องการทั้งหมดจะถูกนำมาใช้เป็นระยะ ๆ เท่านั้น เมื่อสิ้นสุดการวนซ้ำ LOBPCG ที่ไม่ถูกปิดกั้นจำนวนคงที่ ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X^{i}}$${\displaystyle k^{2}+3k}$${\displaystyle 9k^{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 3k}$${\displaystyle 3k}$

การปรับเปลี่ยนดังกล่าวอาจมีความเสถียรน้อยกว่าเมื่อเทียบกับ LOBPCG ดั้งเดิม การเรียกใช้สาขาแต่ละสาขาของ LOBPCG แบบเวกเตอร์เดี่ยวอาจไม่เป็นไปตามเส้นทางการวนซ้ำอย่างต่อเนื่อง แต่จะกลับสร้างการประมาณค่าซ้ำซ้อนของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเดียวกันแทน LOBPCG แบบเวกเตอร์เดี่ยวอาจไม่เหมาะสมสำหรับค่าลักษณะเฉพาะที่รวมกลุ่มกัน แต่การเรียกใช้ LOBPCG แบบบล็อกขนาดเล็กแยกกันจำเป็นต้องกำหนดขนาดบล็อกโดยอัตโนมัติในระหว่างกระบวนการวนซ้ำ เนื่องจากจำนวนกลุ่มของค่าลักษณะเฉพาะและขนาดของกลุ่มเหล่านั้นอาจไม่เป็นที่ทราบล่วงหน้า

LOBPCG ตามโครงสร้างรับประกัน^{[ 8 ]}ว่าจะลดค่าRayleigh quotient ให้น้อย ที่สุดโดยไม่ช้ากว่าการไล่ระดับความชันแบบ บล็อกที่ชันที่สุด ซึ่งมีทฤษฎีการลู่เข้าที่ ครอบคลุม เวกเตอร์ ลักษณะเฉพาะทุก ตัวเป็นจุดนิ่งของRayleigh quotientซึ่ง ความชันเป็นศูนย์ ดังนั้นการไล่ระดับความชันอาจช้าลงในบริเวณใกล้เคียงกับเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะใดๆ อย่างไรก็ตาม รับประกันว่าจะลู่เข้าสู่เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้วยอัตราการลู่เข้าเชิงเส้น หรือหากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะนี้เป็นจุดอานม้าค่า Rayleigh quotientแบบวนซ้ำมีแนวโน้มที่จะลดลงต่ำกว่าค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันและเริ่มลู่เข้าเชิงเส้นไปยังค่าลักษณะเฉพาะถัดไปด้านล่าง ค่าที่แย่ที่สุดของอัตราการลู่เข้าเชิงเส้นได้รับการกำหนดแล้ว^{[ 8 ]}และขึ้นอยู่กับช่องว่างสัมพัทธ์ระหว่างค่าลักษณะเฉพาะและส่วนที่เหลือของสเปกตรัมเมทริกซ์และคุณภาพของตัวปรับสภาพหากมีอยู่

สำหรับเมทริกซ์ทั่วไป เห็นได้ชัดว่าไม่มีวิธีใดที่จะทำนายเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและสร้างค่าประมาณเริ่มต้นที่ใช้ได้ดีเสมอไป วิธีแก้ปัญหาแบบวนซ้ำโดย LOBPCG อาจมีความไวต่อค่าประมาณเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเริ่มต้น เช่น ใช้เวลานานขึ้นในการลู่เข้าและช้าลงเมื่อผ่านคู่เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะระดับกลาง ยิ่งไปกว่านั้น ในทางทฤษฎี เราไม่สามารถรับประกันการลู่เข้าสู่คู่เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เล็กที่สุดได้เสมอไป แม้ว่าความน่าจะเป็นที่จะพลาดจะเป็นศูนย์ก็ตามฟังก์ชันเกาส์เซียนแบบสุ่ม คุณภาพดีที่มี ค่า เฉลี่ย เป็นศูนย์มักเป็นค่าเริ่มต้นใน LOBPCG เพื่อสร้างค่าประมาณเริ่มต้น ในการกำหนดค่าประมาณเริ่มต้นให้คงที่ เราสามารถเลือกค่าเริ่มต้นคงที่สำหรับตัวสร้างเลขสุ่มได้

ตรงกันข้ามกับวิธีของ Lanczos วิธี LOBPCG แทบจะไม่แสดงการลู่เข้าแบบซูเปอร์ลิเนียร์เชิงอะซิม โทติก ในทางปฏิบัติเลย

LOBPCG สามารถปรับใช้เพื่อคำนวณค่าเอกลักษณ์ ที่ใหญ่ที่สุดหลายค่า และเวกเตอร์เอกลักษณ์ที่สอดคล้องกัน (SVD บางส่วน) ได้อย่างง่ายดาย เช่น สำหรับการคำนวณ PCA แบบวนซ้ำสำหรับเมทริกซ์ข้อมูลDที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ โดยไม่ต้องคำนวณเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมD ^T D อย่างชัดเจน กล่าว คือ ใน ลักษณะที่ไม่ต้องใช้ เมทริกซ์การคำนวณหลักคือการประเมินฟังก์ชันของผลคูณD ^T ( D X )ของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมD ^T Dและเวกเตอร์บล็อกXที่ประมาณเวกเตอร์เอกลักษณ์ที่ต้องการแบบวนซ้ำ PCA ต้องการค่าไอเกนที่ใหญ่ที่สุดของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม ในขณะที่ LOBPCG มักถูกนำไปใช้เพื่อคำนวณค่าที่เล็กที่สุด วิธีแก้ปัญหาง่ายๆ คือการกลับเครื่องหมายของฟังก์ชัน โดยแทนที่− D ^T ( D X )ด้วยD ^T ( D X )และด้วยเหตุนี้จึงกลับลำดับของค่าไอเกน เนื่องจาก LOBPCG ไม่สนใจว่าเมทริกซ์ของปัญหาค่าไอเกนจะเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนหรือไม่^{[ 9 ]}

LOBPCG สำหรับ PCA และ SVD ถูกนำมาใช้ใน SciPy ตั้งแต่เวอร์ชัน 1.4.0 ^{[ 13 ]}

Andrew Knyazevผู้คิดค้น LOBPCG ได้เผยแพร่การใช้งานอ้างอิงที่เรียกว่า Block Locally Optimal Preconditioned Eigenvalue Xolvers (BLOPEX) ^{[ 14 ] [ 15 ]}พร้อมอินเทอร์เฟซไปยังPETSc , hypreและ Parallel Hierarchical Adaptive MultiLevel method (PHAML) ^{[ 16 ]}มีการใช้งานอื่นๆ เช่นGNU Octave [ ^{17 ] MATLAB} (รวมถึงสำหรับอาร์เรย์แบบกระจายหรือแบบเรียงต่อกัน) [ 9 ^{] Java [} 18 ] ^{Anasazi (} Trilinos ) [ ^{19 ] SLEPc} [ 20 ^{] [ 21 ] SciPy} [ 10 ^{] Julia} [ ^{22 ] MAGMA} [ ^{23 ] Pytorch} [ ^{24 ] Rust} [ ^{25 ] OpenMP}และ OpenACC [ 26 ^{] CuPy} (ไลบรารีอาร์เรย์ที่เข้ากันได้กับ NumPy ที่เร่งความเร็วโดย^{CUDA ) [ 27} ] Google JAX ^{[ 28 ]}และNVIDIA AMGX ^{[ 29} ] LOBPCGถูก^{นำไปใช้} [ ^{30 ] แต่}ไม่ ^ได้รวมอยู่ในTensorFlow

แพ็คเกจซอฟต์แวร์scikit-learnและ Megaman ^{[ 31 ]}ใช้ LOBPCG เพื่อปรับขนาดการจัดกลุ่มสเปกตรัม^{[ 32 ]}และการเรียนรู้แมนิโฟลด์^{[ 33 ]}ผ่านแผนที่ไอเกนของลาปลาเซียนไปยังชุดข้อมูลขนาดใหญ่NVIDIAได้นำ LOBPCG มาใช้^{[ 34 ]}ในไลบรารี nvGRAPH ที่เปิดตัวในCUDA 8 Sphynx ^{[ 35 ]}ซึ่งเป็นตัวแบ่งพาร์ติชันกราฟแบบขนานแบบไฮบริดที่เปิดใช้งานหน่วยความจำแบบกระจายและแบบใช้ร่วมกัน ซึ่งเป็นเครื่องมือแบ่งพาร์ติชันกราฟตัวแรกที่ทำงานบน GPU ในการตั้งค่าหน่วยความจำแบบกระจาย ใช้การจัดกลุ่มสเปกตรัมสำหรับการแบ่งพาร์ติชันกราฟโดยคำนวณเวกเตอร์ไอเกนบนเมทริกซ์ลาปลาเซียนของกราฟโดยใช้ LOBPCG จากแพ็คเกจ Anasazi

LOBPCG ถูกนำไปใช้ในABINIT ^{[ 36 ]} (รวมถึง เวอร์ชัน CUDA ) และOctopus ^[ 37 ^]มันถูกใช้สำหรับเมทริกซ์ขนาดหลายพันล้านโดย ผู้เข้ารอบสุดท้าย ของรางวัล Gordon Bellบนซูเปอร์คอมพิวเตอร์^Earth Simulator ในญี่ปุ่น^{[ 38 ] [ 39 ]}แบบจำลอง Hubbardสำหรับระบบอิเล็กตรอนที่มีความสัมพันธ์กันอย่างมากเพื่อทำความเข้าใจกลไกเบื้องหลังสภาพนำยิ่งยวดใช้ LOBPCG ในการคำนวณสถานะพื้นฐานของแฮมิลโทเนียนบนคอมพิวเตอร์ K ^{[ 40 ]}และระบบมัลติ GPU ^{[ 41 ]}

มีMATLAB ^{[ 42 ]}และJulia ^{[ 43 ] [ 44 ]} เวอร์ชันของ LOBPCG สำหรับ สมการ Kohn-Shamและทฤษฎีฟังก์ชันความหนาแน่น (DFT) โดยใช้ฐานคลื่นระนาบ การใช้งานล่าสุด ได้แก่ TTPY, ^{[ 45 ]} Platypus‐QM, ^{[ 46 ]} MFDn, ^{[ 47 ]} ACE-Molecule, ^{[ 48 ]} LACONIC ^{[ 49 ]}

LOBPCG จาก BLOPEX ใช้สำหรับ การตั้ง ค่าพรีคอนไฟเนอร์ในไลบรารีตัวแก้ปัญหา Multilevel Balancing Domain Decomposition by Constraints ⁽ BDDC) BDDCML ซึ่งรวมอยู่ใน OpenFTL (Open Finite element Template Library) และโปรแกรมจำลอง Flow123d สำหรับการไหลของน้ำใต้ดิน การขนส่งสารละลายและความร้อนในตัวกลางพรุน ที่มีรอยแตก LOBPCG ได้รับการนำไปใช้^{[ 50 ]}ในLS-DYNAและทางอ้อมในANSYS [ ^{51 ]}

LOBPCG เป็นหนึ่งในตัวแก้ค่าไอเกนหลักใน PYFEMax และซอฟต์แวร์ไฟไนต์เอเลเมนต์แบบหลายฟิสิกส์ประสิทธิภาพสูง Netgen/NGSolve LOBPCG จากhypreถูกรวมเข้ากับ ไลบรารี C++ แบบ โอเพน ซอร์ส น้ำหนักเบา และปรับ ขนาดได้ สำหรับวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์MFEMซึ่งใช้ในหลายโครงการ รวมถึงBLAST , XBraid, VisIt , xSDK, สถาบัน FASTMath ในSciDACและศูนย์ออกแบบร่วมเพื่อการแบ่งส่วนแบบเอ็กซาสเกลที่มีประสิทธิภาพ (CEED) ในโครงการ คอมพิวเตอร์เอ็กซาสเกล

ตัวกรองความถี่ต่ำโดยประมาณแบบวนซ้ำที่ใช้ LOBPCG สามารถใช้สำหรับการลดสัญญาณรบกวนดู^{[ 52 ]}เช่น เพื่อเร่งการ ลดสัญญาณรบกวนแบบแปรผันทั้งหมด

การแบ่งส่วนภาพผ่านการจัดกลุ่มสเปกตรัม จะทำการ ฝังข้อมูลมิติต่ำโดยใช้ เมทริกซ์ ความสัมพันธ์ระหว่างพิกเซล ตามด้วยการจัดกลุ่มส่วนประกอบของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะในพื้นที่มิติต่ำ เช่น การใช้กราฟลาปลาเซียนสำหรับตัวกรองแบบทวิภาคีการแบ่งส่วนภาพผ่านการแบ่งส่วนกราฟ สเปกตรัม โดย LOBPCG พร้อมการปรับสภาพล่วงหน้าแบบมัลติกริด ได้รับการเสนอครั้งแรกใน^{[ 53 ]}และได้รับการทดสอบจริงใน^{[ 54 ]}และ^{[ 55 ]}แนวทางหลังนี้ได้รับการนำไปใช้ใน Python scikit-learn ^{[ 56 ]} ในภายหลัง ซึ่งใช้ LOBPCG จากSciPyพร้อมการปรับสภาพล่วงหน้าแบบมัลติกริดเชิงพีชคณิตเพื่อแก้ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะสำหรับกราฟลาปลาเซียน

• LOBPCG in MATLAB
• LOBPCG in Octave
• LOBPCG in SciPy
• LOBPCG in Java at Google Code
• LOBPCG in Block Locally Optimal Preconditioned Eigenvalue Xolvers (BLOPEX) at GitHub and archived at Google Code