ลูกบอล (คณิตศาสตร์)

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ ลูกบอล (คณิตศาสตร์)

ในทางคณิตศาสตร์ลูกบอลคือรูปทรงตันที่ล้อมรอบด้วยทรงกลมเรียกอีกอย่างว่าทรงกลมตัน อาจเป็นลูกบอลปิด (รวมถึงจุดขอบเขตที่ประกอบเป็นทรงกลม) หรือลูกบอลเปิด (ไม่รวมจุดขอบเขตเหล่านั้น)

Q: ในปริภูมิยูคลิด

ในปริภูมิยูคลิด n มิติ ลูกบอล n มิติ แบบเปิดรัศมี r และจุดศูนย์กลาง x คือเซตของจุดทั้งหมดที่อยู่ห่างจาก x เป็นระยะทางน้อยกว่า r ลูกบอล n มิติ แบบปิดรัศมี r คือเซตของจุดทั้งหมดที่อยู่ ห่างจาก x เป็น ระยะทางน้อยกว่าหรือเท่ากับ r

ในทางคณิตศาสตร์ลูกบอลคือรูปทรงตันที่ล้อมรอบด้วยทรงกลมเรียกอีกอย่างว่าทรงกลมตัน [ ¹^]^อาจเป็นลูกบอลปิด (รวมถึงจุดขอบเขตที่ประกอบเป็นทรงกลม) หรือลูกบอลเปิด (ไม่รวมจุดขอบเขตเหล่านั้น)

แนวคิดเหล่านี้ไม่ได้ถูกกำหนดไว้เฉพาะใน ปริภูมิยูคลิดสามมิติเท่านั้นแต่ยังรวมถึงมิติที่ต่ำกว่าและสูงกว่า และสำหรับปริภูมิเมตริกโดยทั่วไปด้วยลูกบอลใน $n$ มิติเรียกว่าไฮเปอร์บอลหรือ $n-$ บอลและมีขอบเขตโดยไฮเปอร์สเฟียร์หรือ( $n -1$ )-สเฟียร์ดังนั้น ตัวอย่างเช่น ลูกบอลในระนาบยูคลิดก็คือสิ่งเดียวกันกับดิสก์ซึ่ง เป็น บริเวณระนาบที่มีขอบเขตโดยวงกลมในปริภูมิยูคลิด 3 มิติลูกบอลถือเป็นบริเวณของปริภูมิที่มีขอบเขตโดยทรงกลม 2 มิติในปริภูมิหนึ่งมิติ ลูกบอลคือ ส่วนของ เส้นตรง

ในบริบทอื่นๆ เช่น ในเรขาคณิตแบบยุคลิดและการใช้แบบไม่เป็นทางการ บางครั้ง คำว่าทรงกลมก็ถูกใช้เพื่อหมายถึงลูกบอลในสาขาโทโพโลยี คำว่าทรงกลมปิด $n$ ลูกบอลมิติ - มักถูกแสดงด้วยสัญลักษณ์ $B^{n}$ หรือ $D^{n}$ ในขณะที่เปิดอยู่ $n$ ลูกบอลมิติ - คือ $\operatorname {int} B^{n}$ หรือ $\operatorname {int} D^{n}$ .

ในปริภูมิยูคลิด

ในปริภูมิยูคลิด $n มิติ ลูกบอล$ $n$ มิติ แบบเปิดรัศมี $r$ และจุดศูนย์กลาง $x$ คือเซตของจุดทั้งหมดที่อยู่ห่างจาก $x เป็นระยะทางน้อยกว่า$ $r ลูกบอล$ $n$ มิติ แบบปิดรัศมี $r$ คือเซตของจุดทั้งหมดที่อยู่ ห่างจาก $x$ เป็น ระยะทางน้อยกว่าหรือเท่ากับ $r$

ในปริภูมิยูคลิด $n$ มิติ ทรงกลม ทุกรูปถูกล้อมรอบด้วยไฮเปอร์สเฟียร์ทรงกลมนั้นเป็นช่วง ที่มีขอบเขต เมื่อ $n = 1$ เป็นดิสก์ที่ล้อมรอบด้วยวงกลมเมื่อ $n = 2$ และถูกล้อมรอบด้วยทรงกลมเมื่อ $n =$ 3

ปริมาณ

ปริมาตร $n$ มิติของลูกบอลยุคลิดรัศมี $r$ ใน ปริภูมิยุคลิด $n$ มิติ กำหนดโดย^{[ 2 ]} $V_{n}(r)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma {\left({\frac {n}{2}}+1\right)}}}r^{n},$ โดยที่ $Γ$ คือฟังก์ชันแกมมาของเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (ซึ่งอาจมองได้ว่าเป็นส่วนขยายของ ฟังก์ชัน แฟกทอเรียลสำหรับค่าเศษส่วน) การใช้สูตรที่ชัดเจนสำหรับค่าเฉพาะของฟังก์ชันแกมมาที่จำนวนเต็มและครึ่งจำนวนเต็มจะให้สูตรสำหรับปริมาตรของทรงกลมยุคลิดที่ไม่จำเป็นต้องประเมินค่าฟังก์ชันแกมมา สูตรเหล่านั้นได้แก่: ${\begin{aligned}V_{2k}(r)&={\frac {\pi ^{k}}{k!}}r^{2k}\,,\\[2pt]V_{2k+1}(r)&={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{\left(2k+1\right)!!}}r^{2k+1}={\frac {2\left(k!\right)\left(4\pi \right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}}r^{2k+1}\,.\end{aligned}}$

ในสูตรสำหรับปริมาตรมิติคี่ แฟกทอเรียลคู่ $(2 k + 1)!!$ ถูกกำหนดสำหรับจำนวนเต็มคี่ $2 k + 1$ เป็น $(2 k + 1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2 k - 1) \cdot (2 k + 1)$ .

พื้นที่ผิวของทรงกลม n-ball (ทรงกลม (n-1)) คือ: $A_{n}(r)={\frac {dV_{n}}{dr}}={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma {\left({\frac {n}{2}}\right)}}}r^{n-1},$

ในปริภูมิเมตริกทั่วไป

ให้ $(M, d)$ เป็นปริภูมิเมตริกกล่าวคือ เซต $M$ ที่มีเมตริก (ฟังก์ชันระยะทาง) $d$ และให้⁠ $r$ ให้เป็นจำนวนจริงบวกทรงกลมเปิด (เมตริก) รัศมี $r$ ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $p$ ใน $M$ ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ $B (p)$ หรือ $B (p; r)$ นั้น นิยามในลักษณะเดียวกับทรงกลมยุคลิด คือเป็นเซตของจุดใน $M$ ที่ อยู่ห่างจาก $p$ เป็น ระยะทางน้อยกว่า $r$ $B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\}.$

ทรง กลม ปิด (เมตริก) ซึ่งบางครั้งแสดงด้วยสัญลักษณ์B $r p] หรือ$ B $[p; r] นั้น$ นิยามได้เช่นเดียวกันว่าเป็นเซตของจุดที่มีระยะ ห่างจาก $p$ น้อยกว่าหรือเท่ากับ $r$ $B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทรงกลม (เปิดหรือปิด) จะรวม $p$ ไว้ ด้วยเสมอ เนื่องจากนิยามกำหนดให้ $r > 0$ ทรงกลมหน่วย (เปิดหรือปิด) คือทรงกลมที่มีรัศมี 1

ทรงกลมในปริภูมิเมตริกทั่วไปไม่จำเป็นต้องกลมเสมอไป ตัวอย่างเช่น ทรงกลมในปริภูมิพิกัดจริงภายใต้ระยะทางเชบิเชฟคือไฮเปอร์คิวบ์และทรงกลมภายใต้ระยะทางแท็กซี่คือครอสโพลีโทปทรงกลมปิดก็ไม่จำเป็นต้องกะทัดรัดเสมอไป ตัวอย่างเช่น ทรงกลมปิดในปริภูมิเวกเตอร์เชิงบรรทัดฐาน มิติอนันต์ใดๆ จะไม่กะทัดรัดเลย อย่างไรก็ตาม ทรงกลมในปริภูมิเวกเตอร์เชิงบรรทัดฐานจะเป็นทรงนูน เสมอ อันเป็นผลมาจากอสมการสามเหลี่ยม

เซตย่อยของปริภูมิเมตริกเรียกว่าเซตจำกัดหากเซตนั้นบรรจุอยู่ในทรงกลมบางลูก เซตจำกัดโดยสมบูรณ์ เรียกว่าเซต หากกำหนดรัศมีบวกใดๆ ให้กับเซตนั้น เซตนั้นจะถูกคลุมด้วยทรงกลมที่มีรัศมีนั้นจำนวนจำกัด

ทรงกลมเปิดของปริภูมิเมตริกสามารถใช้เป็นฐานได้ทำให้ปริภูมินี้มีโทโพโลยีซึ่งเซตเปิดของโทโพโลยีนี้เป็นผลรวมที่เป็นไปได้ทั้งหมดของทรงกลมเปิด โทโพโลยีนี้บนปริภูมิเมตริกเรียกว่าโทโพโลยีที่เหนี่ยวนำโดยเมตริก $d$

อนุญาต ${\overline {B_{r}(p)}}$ แสดงถึงการปิดของลูกบอลที่เปิดอยู่ $B_{r}(p)$ ในโทโพโลยีนี้ แม้ว่าจะเป็นเช่นนั้นเสมอว่า $B_{r}(p)\subseteq {\overline {B_{r}(p)}}\subseteq B_{r}[p],$ ไม่ใช่ว่าทุกกรณีจะเป็นเช่นนั้นเสมอไป ${\overline {B_{r}(p)}}=B_{r}[p].$ ตัวอย่างเช่น ในปริภูมิเมตริก $X$ ด้วยเมตริกแบบไม่ต่อเนื่องจะได้ว่า ${\overline {B_{1}(p)}}=\{p\}$ แต่ $B_{1}[p]=X$ สำหรับใดๆ $p\in X.$

ในปริภูมิเวกเตอร์แบบมีบรรทัดฐาน

ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน ใดๆ $V$ ที่มีบรรทัดฐาน $\|\cdot \|$ เป็นปริภูมิเมตริกที่มีเมตริกเช่นกัน $d(x,y)=\|xy\|.$ ในพื้นที่ดังกล่าว ลูกบอลใดๆ ก็ตาม $B_{r}(y)$ คะแนน $x$ รอบจุดหนึ่ง $y$ โดยมีระยะทางน้อยกว่า $r$ อาจมองได้ว่าเป็นมาตราส่วน (โดย $r$ ) และแปล (โดย $y$ ) สำเนาของลูกบอลหน่วย $B_{1}(0).$ ลูกบอลที่ "อยู่ตรงกลาง" ดังกล่าวที่มี $y=0$ ถูกกำหนดด้วย $B(r).$

ทรงกลมยุคลิดที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้เป็นตัวอย่างของทรงกลมในปริภูมิเวกเตอร์แบบมีบรรทัดฐาน

$พี$ -นอร์ม

ในปริภูมิคาร์ทีเซียน $R n$ ที่มีนอร์ม $p$ $คือ L p$ นั่นคือเลือกค่าบางค่า $p\geq 1$ และกำหนด $\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p},$ จากนั้นเป็นทรงกลมเปิดรอบจุดกำเนิดที่มีรัศมี $r$ กำหนดโดยเซต $B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}<r\right\}.$ สำหรับ $n = 2$ ในระนาบ 2 มิติ $\mathbb {R} ^{2}$ ตามค่า p ในเมตริก L₁ (มักเรียกว่าเมตริกแท็กซี่หรือเมตริกแมนฮัตตัน) "ทรงกลม" $จะ$ $ถูก$ ล้อมรอบด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเส้นทแยงมุมขนานกับแกนพิกัด ส่วนทรงกลมตามค่า p ใน $เมตริก$ $L\infty$ หรือที่เรียกว่า เมตริก เชบิเชฟจะมีขอบเขตเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านขนานกับแกนพิกัด เมตริก $L₂ หรือที่รู้จักกันในชื่อเมตริกยุค ลิด$ จะสร้างวงกลมภายในวงกลมที่รู้จักกันดี และสำหรับค่า $p$ อื่นๆ ทรงกลมที่สอดคล้องกันจะเป็นพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งลาเม (ไฮโปอิลิปส์หรือไฮเปอร์อิลิปส์)

สำหรับ $n = 3$ ลูกบอล $L 1$ จะอยู่ภายในทรงแปดเหลี่ยมที่มีเส้นทแยงมุมของตัวทรง วางตัวตามแนวแกน ลูกบอล $L \infty$ จะอยู่ภายในทรงลูกบาศก์ที่มีขอบ วางตัวตามแนวแกน และขอบเขตของลูกบอลสำหรับ $L p$ โดยที่ $p > 2$ จะเป็นทรงรีขนาดใหญ่พิเศษส่วน $p = 2$ จะสร้างส่วนภายในของทรงกลมทั่วไป

บ่อยครั้งยังสามารถพิจารณากรณีของ $p=\infty$ ในกรณีนั้นเราจะกำหนด $\lVert x\rVert _{\infty }=\max\{\left|x_{1}\right|,\dots ,\left|x_{n}\right|\}$

บรรทัดฐานนูนทั่วไป

โดยทั่วไปแล้ว หากกำหนดให้เซตย่อยX ของ R n ที่มีสมมาตรศูนย์กลาง มีขอบเขต เปิด และนูน $เรา$ สามารถ $กำหนด$ $นอร์ม$ บน R nได้โดยที่ลูกบอลทั้งหมดเป็น $สำเนา$ $ของ$ X ที่ถูกเลื่อนและปรับขนาดอย่างสม่ำเสมอ $โปรด$ ทราบว่าทฤษฎีบทนี้ใช้ไม่ได้หากเปลี่ยน "เซตย่อยเปิด" เป็น "เซตย่อยปิด" เพราะจุดกำเนิดมีคุณสมบัติแต่ไม่ได้กำหนดนอร์มบน $R$ $n$

ในปริภูมิเชิงทอพอโลยี

เราอาจพูดถึงทรงกลมในปริภูมิเชิงทอพอโลยี ใดๆ $X$ ซึ่งไม่จำเป็นต้องเกิดจากเมตริกทรงกลมเชิงทอพอโลยี $n$ มิติ (แบบเปิดหรือแบบปิด) ของ $X$ คือเซตย่อยใดๆ ของ $X$ ที่มีลักษณะสมมาตร กับทรงกลมยูคลิด $n$ มิติ (แบบเปิดหรือแบบปิด) ทรง กลมเชิงทอพอโลยี $n$ มิติมีความสำคัญในทอพอโลยีเชิงการจัดเรียงเนื่องจากเป็นหน่วยพื้นฐานของคอมเพล็กซ์เซลล์

ทรง กลมโทโพโลยีแบบเปิด $n$ มิติใดๆ จะสมมูลกับปริภูมิคาร์ทีเซียน $R n$ และกับ ลูกบาศก์ หน่วยแบบ เปิด $n$ มิติ (ไฮเปอร์คิวบ์) $(0, 1) n \subseteq R n$ ทรงกลมโทโพโล ยีแบบปิด $n$ มิติใดๆ จะสมมูลกับลูกบาศก์แบบปิด $n$ มิติ $[0, 1] n$

ทรง กลม $n$ มิติจะเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับ ทรงกลม $m$ มิติก็ต่อเมื่อ $n = m$ เท่านั้น โฮมีโอเมอร์ฟิซึมระหว่างทรงกลมเปิด $n$ มิติ $B$ และ $R n$ สามารถจำแนกได้เป็นสองประเภท ซึ่งสามารถระบุได้ด้วยทิศทางเชิงโทโพโลยี ที่เป็นไปได้สอง แบบของ $B$

$ทรงกลม n$ มิติ เชิงทอพอโลยีไม่จำเป็นต้องเรียบและหากเรียบ ก็ไม่จำเป็นต้องสมมาตรกับทรง กลม $n$ มิติ แบบยุคลิด

ภูมิภาค

สามารถกำหนดพื้นที่พิเศษหลายส่วนสำหรับลูกบอลได้:

หมวกซึ่งถูกล้อมรอบด้วยระนาบหนึ่ง
ภาคส่วนที่ถูกล้อมรอบด้วยขอบเขตทรงกรวยที่มีจุดยอดอยู่ที่ศูนย์กลางของทรงกลม
ส่วนของเส้นตรงที่ถูกล้อมรอบด้วยระนาบขนานสองระนาบ
เปลือกหุ้มซึ่งล้อมรอบด้วยทรงกลมสองลูกที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกันและมีรัศมีต่างกัน
ลิ่มซึ่งถูกล้อมรอบด้วยระนาบสองระนาบที่ผ่านจุดศูนย์กลางของทรงกลมและพื้นผิวของทรงกลม

ดูเพิ่มเติม

ลูกบอล – ความหมายทั่วไป
ดิสก์ (คณิตศาสตร์)
ทรงกลมเชิงรูปธรรมซึ่งเป็นส่วนขยายของรัศมีเชิงลบ
ละแวกบ้าน (คณิตศาสตร์)
ทรงกลมรูปทรงเรขาคณิตที่คล้ายคลึงกัน
3 ทรงกลม
$n-$ ทรงกลมหรือ ไฮเปอร์ทรงกลม
อเล็กซานเดอร์ทรงกลมมีเขา
ท่อร่วม
ปริมาตรของลูกบอล $n$
ทรงแปดเหลี่ยม – ทรงกลม 3 ลูกในหน่วยเมตริก $l$

1

[ 2 ]