ระบบเลข ฐานหกสิบหรือที่รู้จักกันในชื่อ^ฐาน 60 [ ^{1 ]}เป็นระบบตัวเลขที่มีฐานเป็นหกสิบ มีต้นกำเนิดมาจากชาวสุเมเรียน โบราณในช่วงสหัสวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช ได้รับการถ่ายทอดไปยังชาวบาบิโลน โบราณ และยังคงใช้—ในรูปแบบที่ดัดแปลง—สำหรับการวัดเวลามุมและพิกัดทางภูมิศาสตร์

เลข 60 ซึ่งเป็นจำนวนประกอบชั้นสูงมีตัวหาร 12 ตัว ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 และ 60 โดยที่ 2, 3 และ 5 เป็นจำนวนเฉพาะด้วยตัวประกอบจำนวนมากเช่นนี้ ทำให้เศษส่วน หลายๆ ตัวที่เกี่ยวข้องกับจำนวนฐานหกสิบสามารถลดรูปได้ ตัวอย่างเช่น หนึ่งชั่วโมงสามารถแบ่งออกเป็น 30 นาที, 20 นาที, 15 นาที, 12 นาที, 10 นาที, 6 นาที, 5 นาที, 4 นาที, 3 นาที, 2 นาที และ 1 นาที ได้อย่างลงตัว 60 เป็นจำนวนที่เล็กที่สุดที่หารลงตัวด้วยทุกจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง 6 กล่าวคือ เป็นตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6

ในบทความนี้ ตัวเลขฐานหกสิบทั้งหมดจะถูกแสดงเป็นตัวเลขฐานสิบ ยกเว้นในกรณีที่ระบุไว้เป็นอย่างอื่น ตัวอย่างเช่น ตัวเลขฐานหกสิบที่ใหญ่ที่สุดคือ "59"

ตามที่Otto Neugebauer กล่าวไว้ ต้นกำเนิดของระบบเลขฐานหกสิบนั้นไม่ได้เรียบง่าย สม่ำเสมอ หรือเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียวในช่วงเวลาหนึ่งอย่างที่มักถูกกล่าวถึง ตลอดหลายศตวรรษของการใช้งาน ซึ่งยังคงดำเนินต่อไปในปัจจุบันสำหรับหัวข้อเฉพาะทาง เช่น เวลา มุม และระบบพิกัดทางดาราศาสตร์ สัญกรณ์เลขฐานหกสิบนั้นมักมีรากฐานมาจากสัญกรณ์เลขฐานสิบ เช่น วิธีการเขียนตัวเลขฐานหกสิบ การใช้งานยังรวมถึง (และยังคงรวมถึง) ความไม่สอดคล้องกันในที่และวิธีการใช้ฐานต่างๆ เพื่อแสดงตัวเลข แม้แต่ในข้อความเดียวกัน^{[ 2 ]}

แรงผลักดันที่ทรงพลังที่สุดสำหรับการใช้เลขฐานหกสิบอย่างเข้มงวดและสอดคล้องกันอย่างสมบูรณ์คือข้อได้เปรียบทางคณิตศาสตร์ในการเขียนและการคำนวณเศษส่วน ในตำราโบราณ สิ่งนี้ปรากฏให้เห็นในข้อเท็จจริงที่ว่าเลขฐานหกสิบถูกใช้อย่างสม่ำเสมอและต่อเนื่องที่สุดในตารางข้อมูลทางคณิตศาสตร์^{[ 2 ]}ปัจจัยเชิงปฏิบัติอีกประการหนึ่งที่ช่วยขยายการใช้เลขฐานหกสิบในอดีต แม้ว่าจะไม่สม่ำเสมอเท่าในตารางทางคณิตศาสตร์ ก็คือข้อได้เปรียบที่ชัดเจนสำหรับพ่อค้าและผู้ซื้อในการทำให้ธุรกรรมทางการเงินในชีวิตประจำวันง่ายขึ้นเมื่อเกี่ยวข้องกับการต่อรองและการแบ่งสินค้าจำนวนมาก ในช่วงปลายสหัสวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราชหน่วยน้ำหนักของชาวสุเมเรียน / อัคคาเดียน ประกอบด้วย kakkaru ( talentประมาณ 30 กก.) แบ่งออกเป็น 60 manû ( mina ) ซึ่งแบ่งย่อยออกเป็น 60 šiqlu ( shekel ) หน่วยวัดเหล่านี้ยังคงสืบทอดมาเป็นเวลาหลายพันปี แม้ว่าต่อมาชาวกรีกจะปรับเปลี่ยนความสัมพันธ์นี้ให้เข้ากับอัตราส่วนฐานสิบมากขึ้น โดยกำหนดให้เชเกลเท่ากับ 1 ใน 50 ของมิ นา

นอกเหนือจากตารางทางคณิตศาสตร์แล้ว ความไม่สอดคล้องกันในการแสดงตัวเลขในข้อความส่วนใหญ่ยังขยายไปถึง สัญลักษณ์ อักษรลิ่ม พื้นฐานที่สุด ที่ใช้แทนปริมาณตัวเลข^{[ 2 ]}ตัวอย่างเช่น สัญลักษณ์อักษรลิ่มสำหรับ 1 คือวงรีที่สร้างขึ้นโดยการใช้ปลายกลมของสไตลัสทำมุมกับดินเหนียว ในขณะที่สัญลักษณ์เลขฐานหกสิบสำหรับ 60 คือวงรีขนาดใหญ่หรือ "เลข 1 ใหญ่" แต่ในข้อความเดียวกันที่ใช้สัญลักษณ์เหล่านี้ ตัวเลข 10 จะถูกแทนด้วยวงกลมที่สร้างขึ้นโดยการใช้ปลายกลมของสไตลัสตั้งฉากกับดินเหนียว และวงกลมขนาดใหญ่หรือ "เลข 10 ใหญ่" ถูกใช้แทน 100 สัญลักษณ์ปริมาณตัวเลขหลายฐานดังกล่าวสามารถผสมกันได้และผสมกับตัวย่อ แม้กระทั่งในตัวเลขเดียว รายละเอียดและแม้แต่ขนาดที่บ่งบอก (เนื่องจากไม่ได้ใช้เลขศูนย์อย่างสม่ำเสมอ ) เป็นไปตามสำนวนเฉพาะของช่วงเวลา วัฒนธรรม และปริมาณหรือแนวคิดที่แสดง ในยุคปัจจุบันมีนวัตกรรมใหม่ล่าสุดคือการเพิ่มเศษส่วนทศนิยมลงในพิกัดทางดาราศาสตร์ฐานหกสิบ^{[ 2 ]}

ระบบเลขฐานหกสิบที่ใช้ในเมโสโปเตเมีย โบราณ ไม่ใช่ระบบฐาน 60 ที่แท้จริง ในแง่ที่ว่าไม่ได้ใช้สัญลักษณ์ที่แตกต่างกัน 60 แบบสำหรับตัวเลขแต่ละหลักแต่ ตัวเลข ในอักษรลิ่มใช้สิบเป็นฐานย่อยในลักษณะของการเขียนแบบสัญลักษณ์-ค่า : ตัวเลขฐานหกสิบประกอบด้วยกลุ่มของเครื่องหมายรูปทรงลิ่มแคบๆ ที่แทนหน่วยไม่เกินเก้า ( , , , , ..., ) และกลุ่มของเครื่องหมายรูปทรงลิ่มกว้างๆ ที่แทนหน่วยไม่เกินห้าสิบ ( , , , , ) ค่าของตัวเลขคือผลรวมของค่าของส่วนประกอบต่างๆ:

ตัวเลขที่มากกว่า 59 จะถูกระบุด้วยบล็อกสัญลักษณ์หลายบล็อกในรูปแบบนี้ในสัญกรณ์ค่าประจำหลักเนื่องจากไม่มีสัญลักษณ์สำหรับศูนย์จึงไม่ชัดเจนเสมอไปว่าควรตีความตัวเลขอย่างไร และบางครั้งค่าที่แท้จริงของตัวเลขนั้นจะต้องถูกกำหนดโดยบริบท ตัวอย่างเช่น สัญลักษณ์สำหรับ 1 และ 60 เหมือนกัน^{[ 3 ] [ 4 ]}ข้อความบาบิโลนในยุคหลังใช้ตัวยึดตำแหน่ง ( ) เพื่อแสดงศูนย์ แต่เฉพาะในตำแหน่งตรงกลางเท่านั้น และไม่ใช่ทางด้านขวามือของตัวเลข เช่น ในตัวเลขเช่น13 200 . ^{[ 4 ]}

ในปฏิทินจีนมีระบบที่ใช้กันทั่วไปในการตั้งชื่อวันหรือปี โดยกำหนดชื่อตามตำแหน่งในลำดับของลำต้น 10 ต้น และลำดับของกิ่ง 12 กิ่ง โดยลำต้นและกิ่งเดียวกันจะวนซ้ำทุกๆ 60 ขั้นในวัฏจักรนี้

หนังสือเล่มที่ 8 ของสาธารณรัฐของเพลโตเกี่ยวข้องกับอุปมาเรื่องการแต่งงานซึ่งมีศูนย์กลางอยู่ที่เลข 60 ⁴ =12,960,000 และตัวหารของมัน จำนวนนี้มีการแสดง เลข ฐานหกสิบที่เรียบง่ายเป็นพิเศษ คือ 1,0,0,0,0 นักวิชาการรุ่นหลังได้อ้างถึงทั้งคณิตศาสตร์บาบิโลนและทฤษฎีดนตรีเพื่อพยายามอธิบายข้อความนี้^{[ 5 ]}

ตำรา Almagestของปโตเลมีซึ่งเป็นตำราเกี่ยวกับดาราศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ที่เขียนขึ้นในศตวรรษที่ 2 หลังคริสต์ศักราช ใช้ฐาน 60 ในการแสดงส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวเลข โดยเฉพาะอย่างยิ่งตารางคอร์ด ของเขา ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเป็นตารางตรีโกณมิติที่ ครอบคลุมมากที่สุดเพียงตารางเดียวเป็นเวลากว่าพันปี มีส่วนที่เป็นเศษส่วนขององศาในฐาน 60 และแทบจะเทียบเท่ากับตารางค่าของ ฟังก์ชัน ไซน์ในปัจจุบัน

นักดาราศาสตร์ในยุคกลางยังใช้เลขฐานหกสิบเพื่อบันทึกเวลาอัล-บิรูนีเป็นคนแรกที่แบ่งชั่วโมงออกเป็นนาทีวินาทีหนึ่งในสามและ หนึ่ง ใน สี่โดยใช้เลขฐาน หกสิบในปี ค.ศ. 1000 ขณะที่กำลังอภิปรายเกี่ยวกับเดือนของชาวยิว^{[ 6 ]}ประมาณปี ค.ศ. 1235 จอห์นแห่งซาโครบอสโกได้สืบทอดประเพณีนี้ต่อไป แม้ว่านอธาฟต์จะคิดว่าซาโครบอสโกเป็นคนแรกที่ทำเช่นนั้น^{[ 7 ]}ตารางอัลฟองซีนฉบับปารีส(ประมาณปี ค.ศ. 1320) ใช้หนึ่งวันเป็นหน่วยพื้นฐานของเวลา โดยบันทึกจำนวนเท่าและเศษส่วนของวันในระบบเลขฐานหกสิบ^{[ 8 ]}

ระบบเลขฐานหกสิบยังคงถูกใช้บ่อยครั้งโดยนักดาราศาสตร์ชาวยุโรปในการคำนวณจนถึงปี 1671 ^{[ 9 ]}ตัวอย่างเช่นJost BürgiในFundamentum Astronomiae (นำเสนอต่อจักรพรรดิรูดอล์ฟที่ 2ในปี 1592) เพื่อนร่วมงานของเขา Ursus ในFundamentum AstronomicumและอาจรวมถึงHenry Briggs ด้วย ได้ใช้ตารางการคูณตามระบบเลขฐานหกสิบในช่วงปลายศตวรรษที่ 16 เพื่อคำนวณค่าไซน์^{[ 10 ]}

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 18 และต้นศตวรรษที่ 19 พบว่านักดาราศาสตร์ชาวทมิฬ ทำการคำนวณทางดาราศาสตร์โดยใช้เปลือกหอย โดยใช้การผสมผสานระหว่างสัญกรณ์ทศนิยมและเลขฐานหกสิบที่พัฒนาโดย นักดาราศาสตร์ชาวเฮลเลนิ สติก ^{[ 11 ]}

ระบบตัวเลขฐาน 60 ยังถูกใช้ในวัฒนธรรมอื่นๆ ที่ไม่เกี่ยวข้องกับชาวสุเมเรียน เช่น โดยชาวเอคารีแห่งนิวกินีตะวันตก^{[ 12 ] [ 13 ]}

การใช้งานระบบเลขฐานหกสิบในปัจจุบัน ได้แก่ การวัด^มุมพิกัดทางภูมิศาสตร์ การนำทาง ด้วยระบบอิเล็กทรอนิกส์ และเวลา^{[ 14} ]

หนึ่งชั่วโมงแบ่งออกเป็น 60 นาทีและหนึ่งนาทีแบ่งออกเป็น 60 วินาที ดังนั้น การวัดเวลาเช่น 3:23:17 (3 ชั่วโมง 23 นาที และ 17 วินาที)สามารถตีความได้ว่าเป็นจำนวนเต็มฐานหกสิบ (ไม่มีจุดทศนิยม) ซึ่งหมายถึง3 × 60² ⁺ 23 × ^60¹ + 17 × 60⁰ ^{วินาที}อย่างไรก็ตามตัวเลขฐานหกสิบทั้งสามหลักในจำนวนนี้ (3, 23 และ 17) เขียนโดยใช้ระบบ เลขฐานสิบ

ในทำนองเดียวกัน หน่วยวัดมุมที่ใช้ในทางปฏิบัติคือองศาซึ่งมี360 องศา (หกสิบองศา) ในวงกลมหนึ่งวง มี 60 นาทีของส่วนโค้งในหนึ่งองศา และ 60 วินาทีของส่วนโค้งในหนึ่งนาที

ในเวอร์ชัน 1.1 ^{[ 15 ]}ของ รูปแบบการจัดเก็บข้อมูล YAMLนั้น รองรับเลขฐานหกสิบสำหรับค่าสเกลาร์ธรรมดา และระบุอย่างเป็นทางการทั้งสำหรับจำนวนเต็ม^{[ 16 ]}และเลขทศนิยม^{[ 17 ]}ซึ่งนำไปสู่ความสับสน เช่นที่อยู่ MAC บางที่อยู่ จะถูกรับรู้ว่าเป็นเลขฐานหกสิบและโหลดเป็นจำนวนเต็ม ในขณะที่บางที่อยู่ไม่เป็นเช่นนั้นและโหลดเป็นสตริง ใน YAML 1.2 การสนับสนุนเลขฐานหกสิบถูกยกเลิก^{[ 18 ]}

ใน ตำราดาราศาสตร์ กรีกสมัยเฮลเลนิสติกเช่น งานเขียนของปโตเลมี ตัวเลขฐานหกสิบถูกเขียนโดยใช้ตัวเลขอักษรกรีกโดยแต่ละหลักของตัวเลขฐานหกสิบถือเป็นตัวเลขที่แตกต่างกัน นักดาราศาสตร์สมัยเฮลเลนิสติกได้นำสัญลักษณ์ใหม่มาใช้สำหรับเลขศูนย์—°ซึ่งเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลาจนกลายเป็นรูปแบบอื่น ๆ รวมถึงอักษรกรีกโอไมครอน ο ซึ่งโดยปกติหมายถึง 70 แต่สามารถใช้ได้ในระบบเลขฐานหกสิบซึ่งค่าสูงสุดในตำแหน่งใด ๆ ก็คือ 59 ^{[ 19 ] [ 20 ]}ชาวกรีกจำกัดการใช้เลขฐานหกสิบไว้เฉพาะส่วนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนเท่านั้น^{[ 21 ]}

ในตำราภาษาละตินยุคกลาง ตัวเลขฐานหกสิบเขียนโดยใช้ตัวเลขอาหรับส่วนเศษส่วนระดับต่างๆ จะใช้สัญลักษณ์minuta (เช่น เศษส่วน), minuta secunda , minuta tertiaเป็นต้น ในศตวรรษที่ 17 เป็นเรื่องปกติที่จะใช้เลขศูนย์กำกับไว้เหนือตัวเลขจำนวนเต็มของฐานหกสิบ และใช้เครื่องหมายเน้นเสียงหนึ่งตัวหรือมากกว่านั้นแทนส่วนที่เป็นเศษส่วนจอห์น วอลลิสในหนังสือ Mathesis universalis ของเขา ได้ขยายสัญลักษณ์นี้ให้ครอบคลุมถึงจำนวนทวีคูณที่สูงกว่าของ 60 โดยยกตัวอย่างเช่น ตัวเลข49‵‵‵‵36‵‵‵25‵‵15‵1°15′25″36‴49⁗ ; โดยที่ตัวเลขทางซ้ายจะถูกคูณด้วยกำลังที่สูงกว่าของ 60 ตัวเลขทางขวาจะถูกหารด้วยกำลังของ 60 และตัวเลขที่ทำเครื่องหมายด้วยเลขศูนย์ยกกำลังจะถูกคูณด้วย 1 ^{[ 22 ]}สัญกรณ์นี้ทำให้เกิดสัญลักษณ์สมัยใหม่สำหรับองศา นาที และวินาที คำศัพท์นาทีและวินาทีเดียวกันนี้ยังใช้สำหรับหน่วยเวลา และสัญกรณ์สมัยใหม่สำหรับเวลาที่มีชั่วโมง นาที และวินาทีเขียนเป็นเลขฐานสิบและคั่นด้วยเครื่องหมายโคลอนอาจถูกตีความว่าเป็นรูปแบบหนึ่งของสัญกรณ์เลขฐานหกสิบ

ในระบบการใช้งานบางระบบ ตำแหน่งแต่ละตำแหน่งที่เลยจุดฐานหกสิบจะถูกกำหนดหมายเลข โดยใช้รากศัพท์ภาษาละตินหรือฝรั่งเศส เช่นprimeหรือprimus , secondeหรือsecundus , tierce , quatre , quinteเป็นต้น จนถึงทุกวันนี้ เรายังคงเรียกส่วนลำดับที่สองของชั่วโมงหรือองศาว่า "วินาที" อย่างน้อยก็จนถึงศตวรรษที่181/60⁠ของวินาทีเรียกว่า "tierce" หรือ "third" ^{[ 23 ] [ 24 ]}

ในช่วงทศวรรษ 1930 Otto Neugebauerได้นำเสนอระบบการเขียนตัวเลขแบบสมัยใหม่สำหรับตัวเลขบาบิโลนและเฮลเลนิสติก ซึ่งแทนที่การเขียนตัวเลขแบบทศนิยมสมัยใหม่ตั้งแต่ 0 ถึง 59 ในแต่ละตำแหน่ง โดยใช้เครื่องหมายเซมิโคลอน (;) เพื่อแยกส่วนจำนวนเต็มและส่วนทศนิยมของตัวเลข และใช้เครื่องหมายจุลภาค (,) เพื่อแยกตำแหน่งภายในแต่ละส่วน^{[ 25 ]}ตัวอย่างเช่นเดือนสุริยคติ เฉลี่ย ที่นักดาราศาสตร์ทั้งชาวบาบิโลนและเฮลเลนิสติกใช้ และยังคงใช้ในปฏิทินฮิบรูคือ 29, 31, 50, 8, 20 วัน การเขียนตัวเลขแบบนี้ใช้ในบทความนี้

ในระบบเลขฐานหกสิบเศษส่วน ใดๆ ที่ตัวส่วนเป็นจำนวนปกติ (มีเพียง 2, 3 และ 5 ในการแยกตัวประกอบเฉพาะ ) สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำ^{[ 26 ]}เศษส่วนประเภทนี้ทั้งหมดที่แสดงไว้ด้านล่างนี้ ซึ่งตัวส่วนมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 60:

อย่างไรก็ตาม ตัวเลขที่ไม่เป็นไปตามรูปแบบปกติจะก่อให้เกิดเศษส่วนซ้ำที่ ซับซ้อนกว่า ตัวอย่างเช่น:

1/7 = 0; 8 , 34, 17 (เส้นขีดแสดงถึงลำดับของตัวเลขฐานหกสิบ 8, 34, 17 ที่ซ้ำกันเป็นจำนวนครั้งไม่สิ้นสุด)

1 ⁄ 11 = 0; 5,27,16,21,49

1/13 = 0 ; 4,36,55,23

1 ⁄ 14 = 0;4, 17,8,34

1 ⁄ 17 = 0; 3,31,45,52,56,28,14,7

1 ⁄ 19 = 0; 3,9,28,25,15,47,22,6,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41

1 ⁄ 59 = 0; 1

1 ⁄ 61 = 0; 0.59

ข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนสองจำนวนที่อยู่ติดกับหกสิบ คือ 59 และ 61 ต่างก็เป็นจำนวนเฉพาะ บ่งชี้ว่าเศษส่วนที่ซ้ำกันโดยมีคาบเป็นจำนวนฐานหกสิบหนึ่งหรือสองหลัก จะมีตัวส่วนเป็นจำนวนปกติที่เป็นผลคูณของ 59 หรือ 61 เท่านั้น และจำนวนที่ไม่ปกติอื่นๆ จะมีเศษส่วนที่ซ้ำกันโดยมีคาบที่ยาวกว่า

การแสดงจำนวนอตรรกยะในระบบเลขตำแหน่งใดๆ (รวมถึงระบบเลขฐานสิบและระบบเลขฐานหกสิบ) จะไม่สิ้นสุดและไม่ซ้ำกัน

รากที่สองของ 2ซึ่งเป็นความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยถูกประมาณค่าโดยชาวบาบิโลนในยุคบาบิโลนโบราณ ( 1900 ปีก่อนคริสตกาล – 1650 ปีก่อนคริสตกาล ) ดังนี้

${\displaystyle 1;24,51,10=1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}\approx 1.41421296\ldots }$^{[ 27 ]}

เนื่องจาก√ 2  ≈ 1.414 213 56 ... เป็นจำนวนอตรรกยะไม่สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำในระบบเลขฐานหกสิบ (หรือระบบเลขฐานจำนวนเต็มใดๆ) แต่การขยายในระบบเลขฐานหกสิบเริ่มต้นด้วย 1;24,51,10,7,46,6,4,44... ( OEIS :  A070197 )

ค่าของπที่นักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกปโตเลมี ใช้ คือ 3;8,30 = 3 + ⁠8/60+​​30/60 ²=​​377/120⁠ ≈3.141 666 .... ^{[ 28 ]} Jamshīd al-Kāshī นักคณิตศาสตร์ ชาวเปอร์เซียในศตวรรษที่ 15 คำนวณ 2 πเป็นนิพจน์เลขฐานหกสิบให้ได้ค่าที่ถูกต้องเมื่อปัดเศษเป็นเก้าหลักย่อย (ดังนั้นเป็น⁠1/60 ⁹) ; ค่าของเขาสำหรับ 2π คือ 6;16,59,28,1,34,51,46,14,50 ^{[ 29 ] [ 30 ]}เช่นเดียวกับ√2ข้างต้น 2π เป็น จำนวนอตรรกยะและไม่สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำในระบบเลขฐานหกสิบ การขยายเลขฐานหกสิบเริ่มต้น ด้วย 6;16,59,28,1,34,51,46,14,49,55,12,35... ( OEIS :  A091649 )

• นาฬิกา
• ละติจูด
• ตรีโกณมิติ

• อิฟราห์, จอร์จส์ (1999), ประวัติศาสตร์สากลของตัวเลข: จากยุคก่อนประวัติศาสตร์จนถึงการประดิษฐ์คอมพิวเตอร์ , ไวลีย์, ISBN 0-471-37568-3.
• Nissen, Hans J.; Damerow, P.; Englund, R. (1993), Archaic Bookkeeping , University of Chicago Press, ISBN 0-226-58659-6

• "ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับการคำนวณองศาและนาที"เป็นหนังสือภาษาอาหรับโดยSibṭ al-Māridīnī, Badr al-Dīn Muḥammad ibn Muḥammad (เกิดปี 1423) งานเขียนชิ้นนี้เสนอรายละเอียดอย่างมากเกี่ยวกับการคำนวณเลขฐานหกสิบ และรวมถึงสิ่งที่ดูเหมือนจะเป็นการกล่าวถึงความเป็นคาบของเศษส่วนเลขฐานหกสิบเป็นครั้งแรก