ทฤษฎีจำนวนพื้นฐาน

ผู้เขียน	อ็องเดร ไวล์
ประเภท	คณิตศาสตร์
วันที่เผยแพร่	พ.ศ. 2517
ISBN	978-3-540-58655-5

ทฤษฎีจำนวนพื้นฐานเป็นหนังสือที่มีอิทธิพล ^{[ 1 ]}โดย André Weilซึ่งเป็นการอธิบายทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตและทฤษฎีฟิลด์ชั้นโดยเน้นเป็นพิเศษที่ วิธีการทางทฤษฎีการ ประเมินค่า หนังสือเล่มนี้ มีพื้นฐานส่วนหนึ่งมาจากหลักสูตรที่สอนที่มหาวิทยาลัยพรินซ์ตันในปี 1961–62 และตีพิมพ์เป็นเล่มที่ 144 ในชุด Grundlehren der mathematischen Wissenschaften ของ Springer ^{[ 2 ]}แนวทางนี้ครอบคลุม 'ฟิลด์ A' หรือฟิลด์ทั่วโลก ทั้งหมด ซึ่งหมายถึง ส่วนขยายเชิงพีชคณิตแบบจำกัดของฟิลด์จำนวนตรรกยะและฟิลด์ฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปรเดียวที่มี ฟิลด์คงที่ แบบจำกัดทฤษฎีนี้ได้รับการพัฒนาในลักษณะที่เป็นเอกภาพ โดยเริ่มต้นจากฟิลด์เชิงทอพอโลยี คุณสมบัติของการวัด Haarบนฟิลด์ที่กะทัดรัดเฉพาะที่ทฤษฎีบทหลักของ ทฤษฎีจำนวน adelicและ idelic และทฤษฎีฟิลด์ชั้นผ่านทฤษฎีพีชคณิตแบบง่ายเหนือฟิลด์เฉพาะที่และฟิลด์ทั่วโลก คำว่า "พื้นฐาน" ในชื่อเรื่องมีความหมายใกล้เคียงกับ "รากฐาน" มากกว่า "เบื้องต้น" และอาจตีความได้ดีที่สุดว่าเนื้อหาที่พัฒนาขึ้นนั้นเป็นรากฐานสำหรับการพัฒนาทฤษฎีของรูปแบบอัตโนมัติทฤษฎีการแทนของกลุ่มพีชคณิตและหัวข้อขั้นสูงอื่นๆ ในทฤษฎีจำนวนพีชคณิต รูปแบบการเขียนนั้นเรียบง่าย เน้นเฉพาะการพัฒนาทฤษฎีอย่างมีเหตุผล และแทบไม่มีตัวอย่างประกอบ

ในคำนำ ผู้เขียนอธิบายว่า แทนที่จะทำ “ภารกิจที่ไร้ประโยชน์และเป็นไปไม่ได้” ในการปรับปรุงวิธีการแบบคลาสสิกของ Hecke ในทฤษฎีจำนวนพีชคณิต ^{[ 3 ] [ 4 ]}เขา “กลับพยายามสรุปจากพัฒนาการในช่วงสามสิบปีที่ผ่านมา ซึ่งกลุ่มกระชับเฉพาะที่การวัดและการอินทิเกรต มีบทบาทสำคัญมากขึ้นเรื่อยๆ ในทฤษฎีจำนวนแบบคลาสสิก” Weil อธิบายต่อไปถึงมุมมองที่เติบโตมาจากงานของHensel , Hasse , ^{[ 5 ] [ 6 ]} Chevalley , ^{[ 7 ]} Artin , ^{[ 8 ]} Iwasawa , ^{[ 9 ] [ 10 ]} Tate , ^{[ 11 ]}และTamagawa ^{[ 12 ] [ 13 ]}ซึ่งจำนวนจริง อาจถูกมองว่าเป็นเพียงหนึ่งใน จำนวนเต็มที่แตกต่างกันอย่างไม่มีที่สิ้นสุดของจำนวนตรรกยะ โดยไม่มีเหตุผลเชิงตรรกะใดๆ ที่จะเลือกมันเหนือจำนวนเต็มp-adic ต่างๆ ในบริบทนี้อะเดล (หรือเวกเตอร์การประเมินค่า ) ก่อให้เกิด วงแหวน ขนาดกะทัดรัดเฉพาะที่ตาม ธรรมชาติ ซึ่งการประเมินค่าทั้งหมดถูกนำมารวมกันในลักษณะที่สอดคล้องกันเพียงหนึ่งเดียว โดยที่พวกมัน “ร่วมมือกันเพื่อจุดประสงค์ร่วมกัน” การนำจำนวนจริงออกจากแท่นและวางไว้เคียงข้างจำนวน p-adic นำไปสู่การพัฒนาทฤษฎีของฟิลด์ฟังก์ชันเหนือฟิลด์จำกัดใน “การจัดการพร้อมกันอย่างสมบูรณ์กับฟิลด์จำนวน” อย่างเป็นธรรมชาติ – “ไม่ต้องพูดถึง” ในการเลือกใช้ถ้อยคำที่โดดเด่นสำหรับคำนำที่เขียนในสหรัฐอเมริกาในปี 1967 ผู้เขียนเลือกที่จะเน้นย้ำมุมมองนี้โดยอธิบายว่าฟิลด์ทั่วโลก ทั้งสองประเภท “ต้องได้รับการจัดการพร้อมกันอย่างสมบูรณ์ […] แทนที่จะเป็นสถานะที่แยกจากกัน และอย่างดีที่สุดก็คือสิ่งอำนวยความสะดวกที่แยกจากกันแต่เท่าเทียมกัน ซึ่งเป็นชะตากรรมของพวกมันมาจนถึงปัจจุบัน ข้อเท็จจริงที่ว่า แทนที่จะเสียประโยชน์จากการจัดการเช่นนี้ ทั้งสองประเภทกลับได้ประโยชน์จากมัน ซึ่งผมหวังว่าจะปรากฏชัดเจนจากหนังสือเล่มนี้”

หลังสงครามโลกครั้งที่สองการพัฒนาหลายอย่างในทฤษฎีฟิลด์คลาสทำให้ความสำคัญของพีชคณิตวัฏจักร (และโดยทั่วไปแล้วพีชคณิตผลคูณไขว้ ) ซึ่งกำหนดในแง่ของฟิลด์จำนวนในการพิสูจน์ทฤษฎีฟิลด์คลาสลดลง ในทางกลับกัน รูป แบบโคฮอโม โลยีกลายเป็นส่วนสำคัญมากขึ้น ^{ของ ทฤษฎีฟิลด์คลาส ใน}ระดับท้องถิ่นและระดับโลก โดยเฉพาะอย่างยิ่งในงานของHochschildและNakayama [ ^{14 ]} Weil ^{[ 15 ]} Artin [ ^{16 ]}และTate ^{[ 11 ]} ในช่วง ปี 1950–1952

นอกเหนือจากความปรารถนาที่จะพิจารณาฟิลด์จำนวนพีชคณิตควบคู่ไปกับฟิลด์ฟังก์ชันเหนือฟิลด์จำกัดแล้ว งานของChevalleyยังได้รับการเน้นย้ำเป็นพิเศษ เพื่อที่จะได้มาซึ่งทฤษฎีบทของทฤษฎีฟิลด์คลาสทั่วโลกจากทฤษฎีฟิลด์คลาสท้องถิ่นChevalleyได้แนะนำสิ่งที่เขาเรียกว่า élément idéal ซึ่งต่อมาเรียกว่าidèleตามคำแนะนำของHasse ^{[ 17 ]}กลุ่มidèleของฟิลด์จำนวนได้รับการแนะนำครั้งแรกโดยChevalleyเพื่ออธิบายทฤษฎีฟิลด์คลาสทั่วโลกสำหรับส่วนขยายอนันต์ แต่หลายปีต่อมาเขาได้ใช้มันในวิธีใหม่เพื่อได้มาซึ่งทฤษฎีฟิลด์คลาสทั่วโลกจากทฤษฎีฟิลด์คลาสท้องถิ่น Weil กล่าวถึงงาน (ที่ยังไม่ได้ตีพิมพ์) นี้ว่าเป็นอิทธิพลสำคัญต่อทางเลือกบางอย่างในการดำเนินการที่เขาใช้

ฉบับพิมพ์ครั้งแรกได้รับการวิจารณ์โดย George Whaples สำหรับMathematical Reviews ^{[ 18 ]}และ Helmut Koch สำหรับZentralblatt [ ^{19 ] ฉบับ}พิมพ์ครั้งต่อมาได้รับการวิจารณ์โดย Fernando Q. Gouvêa สำหรับMathematical Association of America ^{[ 20 ]}และโดย Koch สำหรับZentralblattในการวิจารณ์ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง Koch ได้กล่าวว่า " Shafarevichได้แสดงฉบับพิมพ์ครั้งแรกให้ผมดูในฤดูใบไม้ร่วงปี 1967 ที่มอสโก และบอกว่าหนังสือเล่มนี้จะเป็นหนังสือเกี่ยวกับทฤษฎีฟิลด์คลาสตั้งแต่นี้เป็นต้นไป" ^{[ 19 ]}ความสอดคล้องของการนำเสนอ และคุณลักษณะที่โดดเด่นบางประการ ได้รับการเน้นย้ำโดยผู้วิจารณ์หลายคน โดย Koch กล่าวต่อไปว่า "หนังสือเล่มนี้เขียนขึ้นด้วยจิตวิญญาณของช่วงต้นทศวรรษที่ 1940 และนี่เองที่ทำให้มันเป็นแหล่งข้อมูลที่มีค่าสำหรับทุกคนที่ทำงานเกี่ยวกับปัญหาที่เกี่ยวข้องกับฟิลด์จำนวนและฟังก์ชัน" ^{[ 19 ]}

โดยคร่าวๆ แล้ว ครึ่งแรกของหนังสือเล่มนี้มีความทันสมัยในแง่ของการใช้ระเบียบวิธี อะเดลิกและไอ เดลิ กอย่างสม่ำเสมอ และการศึกษาพร้อมกันทั้งฟิลด์จำนวนพีชคณิตและฟิลด์ฟังก์ชันตรรกยะบนฟิลด์จำกัด ส่วนครึ่งหลังนั้นอาจกล่าวได้ว่าเป็นแบบก่อนสมัยใหม่ในแง่ของการพัฒนา พีชคณิตอย่างง่ายและทฤษฎีฟิลด์ชั้นโดยไม่ใช้ภาษาของโคฮอโมโลยีและโดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยไม่ใช้ภาษาของกาโลอิสโคฮอโมโลยีผู้เขียนยอมรับว่านี่เป็นข้อแลกเปลี่ยน โดยอธิบายว่า “การพัฒนาแนวทางดังกล่าวอย่างเป็นระบบจะหมายถึงการบรรทุกเครื่องจักรที่ไม่จำเป็นจำนวนมากบนเรือที่ดูเหมือนจะพร้อมสำหรับการเดินทางครั้งนี้ แทนที่จะทำให้เรือมีความแข็งแกร่งมากขึ้น มันอาจทำให้เรือจมได้” การศึกษาทฤษฎีฟิลด์ชั้นใช้วิธีการวิเคราะห์ทั้งในฟิลด์สลับที่และพีชคณิตอย่างง่าย วิธีการเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงพลังของมันในการให้การพิสูจน์แบบเอกภาพครั้งแรกว่า ถ้า K/k เป็นส่วนขยายปกติ จำกัด ของฟิลด์ A แล้วออโตมอร์ฟิซึม ใดๆ ของ K เหนือ k จะถูกเหนี่ยวนำโดยออโตมอร์ฟิซึม Frobeniusสำหรับตำแหน่งอนันต์ของ K วิธีการนี้ยังช่วยให้การพิสูจน์ข้อความทางพีชคณิตง่ายขึ้นและมีเหตุผลมากขึ้นอย่างมีนัยสำคัญ ตัวอย่างเช่น ผลลัพธ์ที่ว่าพีชคณิตแบบง่ายเหนือฟิลด์ A แยกออก (ทั่วโลก) ก็ต่อเมื่อมันแยกออกทุกที่ในระดับท้องถิ่น การใช้พีชคณิตแบบง่ายอย่างเป็นระบบยังทำให้การจัดการทฤษฎีฟิลด์คลาสท้องถิ่นง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น การพิสูจน์ว่าพีชคณิตแบบง่ายเหนือฟิลด์ท้องถิ่นมีฟิลด์แยกออกที่ไม่แตกแขนง นั้น ง่ายกว่าการพิสูจน์ข้อความที่สอดคล้องกันสำหรับคลาส 2-โคฮอโมโลยี

• Weil, André (1974). ทฤษฎีจำนวนพื้นฐาน . เบอร์ลิน, ไฮเดลเบิร์ก: Springer Berlin Heidelberg. doi : 10.1007/978-3-642-61945-8 . ISBN 978-3-540-58655-5.