ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีโฮโมโลยีและโทโพโลยีเชิงพีชคณิตโคโฮโมโลยีเป็นวิธีหนึ่งในการเชื่อมโยงตัวแปรคงที่เชิงพีชคณิต เข้ากับปริภูมิ โทโพโลยีหรือวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่เข้ารหัสคุณสมบัติของมันในลักษณะที่มักจะคำนวณได้ โคโฮโมโลยีมักเกี่ยวข้องกับคำถามที่ว่าคุณสมบัติเฉพาะที่บางอย่างของปริภูมิถูกขัดขวางหรือไม่เมื่อเปลี่ยนไปเป็นคุณสมบัติโดยรวม ตัวอย่างเช่นแถบโมเบียสไม่ใช่ปริภูมิผลคูณของส่วนของเส้นตรงกับวงกลม (เช่น ทรงกระบอก) แต่ในระดับท้องถิ่นบนส่วนใดๆ ของวงกลม มันคล้ายกับสี่เหลี่ยมผืนผ้าธรรมดา (ผลคูณของส่วนของเส้นตรงสองส่วน) โดยไม่มีการบิดโดยรวม อุปสรรคในการทำให้โครงสร้างผลคูณเป็นคุณสมบัติโดยรวมนั้นถูกเข้ารหัสไว้ในโคโฮโมโลยีแรกของวงกลมพื้นฐาน ซึ่งจำแนกวิธีการบิดรอบวงกลมสองวิธีที่ไม่เท่ากัน (จำนวนการบิดเป็นเลขคู่หรือจำนวนการบิดเป็นเลขคี่) ข้อเท็จจริงที่ว่ามีเพียงสองวิธีที่ไม่เท่ากันในการบิดเส้นตรงรอบวงกลมนั้นถูกเข้ารหัสไว้ในกลุ่ม โคฮอโมโลยีที่เกี่ยวข้อง ซึ่งสามารถคำนวณได้ว่าเป็นกลุ่มที่สมมาตรกับกลุ่มที่สอดคล้องกับจำนวนการบิดที่เป็นเลขคู่ และสอดคล้องกับจำนวนการบิดที่เป็นเลขคี่ ${\displaystyle H^{1}(S^{1},\{+1,-1\})}$${\displaystyle \{+1,-1\}}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle -1}$

ในรูปแบบนามธรรมทั่วไป โคฮอโมโลยีคือลำดับของกลุ่มอาเบเลียนซึ่งมักกำหนดจากคอมเพล็กซ์โคเชนโคฮอโมโลยีสามารถมองได้ว่าเป็นวิธีการกำหนดตัวแปรเชิงพีชคณิตที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นให้กับปริภูมิมากกว่าโฮโมโลยีโคฮอโมโลยีบางรูปแบบเกิดขึ้นจากการสร้างแบบ ทวิภาค ของโฮโมโลยี

แนวคิดนี้ เริ่มต้นจากวิชาโทโพโลยี และกลายเป็นวิธีการหลักในคณิตศาสตร์ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20 จากแนวคิดเริ่มต้นของโฮโมโลยีในฐานะวิธีการสร้างตัวแปรเชิงพีชคณิตของปริภูมิโทโพโลยี ขอบเขตการประยุกต์ใช้ทฤษฎีโฮโมโลยีและโคโฮโมโลยีได้แพร่กระจายไปทั่วเรขาคณิตและพีชคณิตคำศัพท์มักจะปกปิดข้อเท็จจริงที่ว่าโคโฮโมโลยี ซึ่งเป็น ทฤษฎี คอนทราแวเรียนต์นั้น เป็นธรรมชาติมากกว่าโฮโมโลยีในการประยุกต์ใช้หลายอย่าง ในระดับพื้นฐาน สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันและการดึงกลับในสถานการณ์ทางเรขาคณิต: กำหนดปริภูมิและและฟังก์ชันบางอย่างบนสำหรับการแมป ใดๆ การประกอบกับจะทำให้เกิดฟังก์ชันบนทฤษฎีโคโฮโมโลยีที่สำคัญที่สุดมีผลคูณ คือ ผลคูณคัพซึ่งทำให้มี โครงสร้าง แบบวงแหวนเนื่องจากคุณลักษณะนี้ โคโฮโมโลยีจึงมักเป็นตัวแปรที่แข็งแกร่งกว่าโฮโมโลยี ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\circ f}$${\displaystyle X}$

โคฮอโมโลยีเป็นกลุ่มของโครงสร้างที่เกี่ยวข้องกันซึ่งพบได้ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ รูปแบบทั่วไปคือมีวัตถุที่เรียกว่าโคเชน ตัวดำเนินการ โคบาวน์ดารีที่วัดความล้มเหลวของโคเชนในการตอบสนองเงื่อนไขความเข้ากันได้ และคลาสโคฮอโมโลยีที่ได้จากการระบุโคเชนที่แตกต่างกันด้วยส่วนประกอบที่ไม่สำคัญหรือส่วนประกอบที่แน่นอน

ตัวอย่างง่ายๆ คือโคฮอโมโลยีเดอแรมของวงกลม ในที่นี้เราพิจารณาฟังก์ชันเรียบบนวงกลม ซึ่งสามารถคิดได้ว่าเป็นฟังก์ชันคาบ โดยที่สำหรับทุก(ในที่นี้เรากำหนดพารามิเตอร์ของฟังก์ชันด้วย การวัด เป็นเรเดียนรอบวงกลมหน่วย ) อนุพันธ์ของฟังก์ชันถูกกำหนดโดยนิพจน์อนุพันธ์ของฟังก์ชันคาบมีคุณสมบัติว่าปริพันธ์ของมันตลอดคาบทั้งหมดเป็นศูนย์: โดยทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสเพราะ เป็น ฟังก์ชันคาบเหนือวงกลม อนุพันธ์บางครั้งเรียกว่า อนุพันธ์ ที่ แม่นยำ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(\theta +2\pi )=f(\theta )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(\theta )}$${\displaystyle df(\theta )=f'(\theta )d\theta }$${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }f'(\theta )d\theta =f(2\pi )-f(0)=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle df(\theta )}$

นอกจากนี้ ยังสามารถพิจารณาอนุพันธ์อีกประเภทหนึ่ง ซึ่งไม่จำเป็นต้องแม่นยำเสมอไป ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์นี้ไม่มีค่าอินทิกรัลเป็นศูนย์ตลอดทั้งคาบ ตรงกันข้ามดังนั้น อนุพันธ์นี้จึงไม่แม่นยำอนุพันธ์ใดๆ ที่มีรูปแบบ โดย ที่ เป็นคาบที่เหมาะสม จะเป็นอนุพันธ์บนวงกลม มันจะไม่แม่นยำก็ต่อเมื่อและแม่นยำเมื่ออันที่จริง ในกรณีหลัง เราสามารถเขียนได้ว่าโดยที่จุดสำคัญคือเป็นคาบ (และดังนั้นจึงกำหนดฟังก์ชันบนวงกลม) ยิ่งไปกว่านั้น อนุพันธ์ใดๆ ก็สามารถทำให้แม่นยำได้โดยการลบ ออกจากมันโดย ที่${\displaystyle d\theta }$${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi }$${\displaystyle d\theta }$${\displaystyle g(\theta )d\theta }$${\displaystyle g(\theta )}$${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }g(\theta )d\theta \neq 0}$${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }g(\theta )d\theta =0}$${\displaystyle g(\theta )=f'(\theta )}$${\displaystyle f(\theta )=\int _{0}^{\theta }g(t)\,dt}$${\displaystyle f(\theta )}$${\displaystyle g(\theta )d\theta }$${\displaystyle C\,d\theta }$${\displaystyle C={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }g(\theta )d\theta }$

ดังนั้นสิ่งที่เราได้แสดงให้เห็นก็คือ แม้ว่าจะมีอนุพันธ์จำนวนมากบนวงกลม (ทั้งแบบแม่นยำและไม่แม่นยำ) แต่ปริภูมิผลหารของอนุพันธ์ที่ไม่แม่นยำมอดูลอนุพันธ์ที่แม่นยำนั้นมีมิติเดียว โดยมีพารามิเตอร์เป็นค่าคงที่ของอนุพันธ์ ${\displaystyle C\,d\theta }$

ในที่นี้ โคบาวน์ดารีคืออนุพันธ์ที่แน่นอน และโคเชนคืออนุพันธ์ทั้งหมด ผลหารของโคเชนโมดูลโคบาวน์ดารีมีมิติเดียว นั่นคือ กลุ่มโคฮอโมโลยีเดอแรมกลุ่มแรกของวงกลมมีความสมมาตรกับจำนวนจริง(ในฐานะกลุ่มบวก) ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle H^{1}(S^{1},\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} }$

วงกลมซึ่งมีมิติเดียว จึงมีกลุ่มโคฮอโมโลยีบวกเพียงกลุ่มเดียว กลุ่มโคฮอโมโลยีอื่น ๆ ของมันประกอบด้วยฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์เป็นศูนย์ กล่าวคือ ค่าคงที่ โคฮอโมโลยีเป็นการขยายโครงสร้างพื้นฐานนี้ไปยังมิติที่สูงกว่าและสถานการณ์อื่น ๆ ${\displaystyle H^{0}(S^{1},\mathbb {R} )}$

โคโฮโมโลจีมักแสดงออกมาในรูปของคอมเพล็กซ์โคเชน

${\displaystyle C^{0}\xrightarrow {d^{0}} C^{1}\xrightarrow {d^{1}} C^{2}\xrightarrow {d^{2}} \cdots }$

โดย ที่ . กลุ่มโคฮอโมโลยีลำดับที่ -th คือ ${\displaystyle d^{n+1}d^{n}=0}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle H^{n}(C^{\bullet })=\ker(d^{n})/\operatorname {im} (d^{n-1}).}$

องค์ประกอบของเรียกว่าโคไซเคิลองค์ประกอบของเรียกว่าโคบาวน์ดารีและองค์ประกอบของกลุ่มผลหารเรียกว่าคลาสโคฮอโมโลยี^{[ 1 ] [ 2 ]}ในกรณีตัวอย่างของโคฮอโมโลยีเดอแรมของวงกลมคือฟังก์ชันคาบเรียบทั้งหมดคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออนุพันธ์ทั้งหมดที่เรียบและเป็นคาบ และ และที่สูงกว่าทั้งหมดเป็นศูนย์ ${\displaystyle \ker(d^{n})}$${\displaystyle \operatorname {im} (d^{n-1})}$${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle d^{0}}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle g(\theta )d\theta }$${\displaystyle g}$${\displaystyle C^{i}}$${\displaystyle d^{i}}$

วิธีหนึ่งที่ไม่เป็นทางการในการทำความเข้าใจโคฮอโมโลยีคือ โคไซเคิลเป็นข้อมูลที่สอดคล้องกันในระดับท้องถิ่นหรือในเชิงรูปแบบ ในขณะที่โคบาวน์ดารีเป็นข้อมูลที่เกิดขึ้นจากการเลือกพื้นฐานมากกว่า กลุ่มโคฮอโมโลยีจะวัดส่วนของข้อมูลที่สอดคล้องกันซึ่งไม่สามารถลบออกได้ด้วยวิธีนี้ ดังนั้นในกรณีของโคฮอโมโลยีของวงกลมของเดอแรม การเลือกพื้นฐานมากกว่าคือฟังก์ชัน ข้อมูลที่สอดคล้องกันในเชิงรูปแบบคือวันฟอร์มแบบคาบซึ่งเป็น อนุพันธ์ของฟังก์ชันบางอย่าง ในระดับท้องถิ่น เสมอ และปริพันธ์ของวันฟอร์มเหนือวงกลมทั้งหมดคือส่วนที่ไม่สามารถดูดซับเข้าไปในอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้ ด้วยเหตุนี้ โคฮอโมโลยีจึงมักปรากฏในคำถามเกี่ยวกับว่าข้อมูลท้องถิ่นสามารถเชื่อมต่อกันได้ทั่วโลกหรือไม่ โครงสร้างสามารถยกขึ้นหรือขยายได้หรือไม่ หรือวัตถุสองชิ้นที่ดูเหมือนจะเทียบเท่ากันในระดับท้องถิ่นนั้นแตกต่างกันในระดับโลกหรือไม่ การตีความนี้ชัดเจนเป็นพิเศษในโคฮอโมโลยีชีฟซึ่งโคฮอโมโลยีจะวัดความล้มเหลวของส่วนท้องถิ่นของชีฟในการเชื่อมต่อกับส่วนระดับโลก^{[ 3 ]}

โคฮอโมโลยีเอกฐานเป็นตัวแปรคงที่ที่มีประสิทธิภาพในทางโทโพโลยี ซึ่งเชื่อมโยงวงแหวนสลับเปลี่ยนแบบมีระดับ กับปริภูมิโทโพโลยีใดๆ แผนที่ต่อเนื่อง ทุก แผนที่ กำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมจากวงแหวนโคฮอโมโลยีของไปยังวงแหวนโคฮอโมโลยีของซึ่งทำให้เกิดข้อจำกัดที่เข้มงวดต่อแผนที่ที่เป็นไปได้จากไปยัง แตกต่างจากตัวแปรคงที่ที่ละเอียดอ่อนกว่า เช่นกลุ่มโฮโมโทปี วงแหวนโคฮอโมโลยีมักจะคำนวณได้ในทางปฏิบัติสำหรับปริภูมิที่สนใจ ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยี นิยามของโคฮอโมโลยีเอกฐานเริ่มต้นด้วยคอมเพล็กซ์โซ่เอกฐาน : ^{[ 1 ]} ตามนิยามโฮโมโลยีเอกฐานของคือ โฮโมโลยีของคอมเพล็กซ์โซ่นี้ (เคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมหนึ่งโมดูลภาพของโฮโมมอร์ฟิซึมก่อนหน้า) ในรายละเอียดเพิ่มเติมคือกลุ่มอาเบเลียนอิสระบนเซตของแผนที่ต่อเนื่องจากซิมเพล็กซ์มาตรฐาน ไปยัง(เรียกว่า "ซิมเพล็กซ์เอกฐานใน") และคือโฮโมมอร์ฟิซึมขอบเขตที่ กลุ่มเป็นศูนย์สำหรับค่าลบ ${\displaystyle X}$$${\displaystyle \cdots \to C_{i+1}{\stackrel {\partial _{i+1}}{\to }}C_{i}{\stackrel {\partial _{i}}{\to }}\ C_{i-1}\to \cdots }$$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \partial _{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle i}$

ต่อไปนี้ ให้กำหนดกลุ่มอาเบเลียนกลุ่มหนึ่ง แล้วแทนที่แต่ละกลุ่มด้วยกลุ่มคู่ ของมัน (เมื่อสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์ กลุ่มคู่คือปริภูมิเวกเตอร์คู่ของกลุ่มนั้น) และด้วยโฮโมมอร์ฟิซึมคู่ ของมัน${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle C_{i}^{*}=\mathrm {Hom} (C_{i},A)}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle \partial _{i}}$$${\displaystyle d_{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.}$$

ผลลัพธ์ที่ได้คือการ "พลิกกลับทิศทางของลูกศรทั้งหมด" ในโครงสร้างเชิงซ้อนเดิม ทำให้เกิดโครงสร้างเชิงซ้อนแบบโคเชนขึ้น$${\displaystyle \cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {d_{i}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {d_{i-1}}{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots }$$

สำหรับจำนวนเต็มn กลุ่มโคฮอโมโลยีที่ⁿของ n ที่มีสัมประสิทธิ์ใน n ถูกกำหนดให้เป็น n_n และใช้สัญลักษณ์ n_n แทนกลุ่มนี้มีค่าเป็นศูนย์สำหรับ n_n ที่ เป็นลบสมาชิกของ n_n เรียกว่าโคเชน เอกฐาน n_n ที่มีสัมประสิทธิ์ในn_n (หรืออีกนัย หนึ่ง โคเชน n_n บน n_n สามารถระบุได้ด้วยฟังก์ชันจากเซตของซิมเพล็กซ์เอกฐาน n_n ในn_n ไปยังn_n) สมาชิกของ n_n และ n_n เรียกว่าโคไซเคิลและ โคบา วน์ดารีตามลำดับ ในขณะที่สมาชิกของ n_n เรียกว่าชั้นโคฮอโมโลยี (เพราะเป็นชั้นสมมูลของโคไซเคิล) ${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {ker} (d_{i})/\operatorname {im} (d_{i-1})}$${\displaystyle H^{i}(X,A)}$${\displaystyle H^{i}(X,A)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle C_{i}^{*}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \ker(d)}$${\displaystyle {\textrm {im}}(d)}$${\displaystyle \operatorname {ker} (d_{i})/\operatorname {im} (d_{i-1})=H^{i}(X,A)}$

ต่อไปนี้บางครั้งจะไม่เขียนกลุ่มสัมประสิทธิ์ โดยทั่วไปมักกำหนดให้เป็นวงแหวนสลับที่ดังนั้นกลุ่มโคฮอโมโลยีจึงเป็นโมดูลตัวเลือก มาตรฐานคือวงแหวนของจำนวนเต็ม${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

คุณสมบัติเชิงรูปแบบบางประการของโคฮอโมโลจีเป็นเพียงรูปแบบที่แตกต่างกันเล็กน้อยของคุณสมบัติของโฮโมโลจี:

• แผนที่ต่อเนื่องกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมแบบผลักไปข้างหน้าบนโฮโมโลยีและ โฮโม มอร์ฟิซึมแบบดึงกลับบนโคโฮโมโลยี ซึ่งทำให้โคโฮโมโลยีกลายเป็นฟังก์ชันผกผันจากปริภูมิเชิงทอพอโลยีไปยังกลุ่มอาเบเลียน (หรือโมดูล -)${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f_{*}:H_{i}(X)\to H_{i}(Y)}$${\displaystyle f^{*}:H^{i}(Y)\to H^{i}(X)}$${\displaystyle R}$
• แผนที่โฮโมโทปิกสอง แผนที่จากกัน จะเหนี่ยวนำให้เกิดโฮโมมอร์ฟิซึมเดียวกันบนโคโฮโมโลยี (เช่นเดียวกับบนโฮโมโลยี)${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
• ลำดับMayer–Vietorisเป็นเครื่องมือคำนวณที่สำคัญในโคฮอโมโลยี เช่นเดียวกับในโฮโมโลยี โปรดสังเกตว่าโฮโมมอร์ฟิซึมขอบเขตจะเพิ่ม (แทนที่จะลด) ระดับในโคฮอโมโลยี กล่าวคือ ถ้าปริภูมิเป็นผลรวมของเซตย่อยเปิดและแล้วจะมีลำดับที่แน่นอนยาวๆ ดังนี้ :${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(U)\oplus H^{i}(V)\to H^{i}(U\cap V)\to H^{i+1}(X)\to \cdots }$$
• มีกลุ่มโคฮอโมโลยีสัมพัทธ์สำหรับปริภูมิย่อย ใดๆ ของปริภูมิหนึ่งๆกลุ่มเหล่านี้มีความสัมพันธ์กับกลุ่มโคฮอโมโลยีปกติโดยลำดับที่แน่นอนยาวๆ ดังนี้:${\displaystyle H^{i}(X,Y;A)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X,Y)\to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to \cdots }$$
• ทฤษฎีสัมประสิทธิ์สากลอธิบายโคฮอโมโลยีในแง่ของโฮโมโลยี โดยใช้กลุ่มเอ็กซ์ทีกล่าวคือ มีลำดับที่แน่นอนสั้นๆ ข้อความที่เกี่ยวข้องคือ สำหรับฟิลด์นั้นคือปริภูมิคู่ของปริภูมิเวกเตอร์อย่าง แม่นยำ$${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\operatorname {H} _{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\to H^{i}(X,A)\to \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(H_{i}(X,\mathbb {Z} ),A)\to 0.}$$${\displaystyle F}$${\displaystyle H^{i}(X,F)}$${\displaystyle H_{i}(X,F)}$
• ถ้าเป็นแมนิโฟลด์ เชิงทอพอโลยี หรือคอมเพล็กซ์ CWแล้วกลุ่มโคฮอโมโลยีจะเป็นศูนย์สำหรับมิติที่มากกว่าของ^{[ 4 ]}ถ้าเป็น แมนิโฟลด์ กระชับ (อาจมีขอบเขต) หรือคอมเพล็กซ์ CW ที่มีเซลล์จำนวนจำกัดในแต่ละมิติ และเป็นวงแหวนโนเธอร์เรียน แบบสลับที่ได้ แล้วโมดูล - จะถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดสำหรับแต่ละ^{[ 5 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{i}(X,A)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle H^{i}(X,R)}$${\displaystyle i}$

ในทางกลับกัน โคฮอโมโลยีมีโครงสร้างที่สำคัญซึ่งโฮโมโลยีไม่มี: สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีและวงแหวนสลับเปลี่ยน ใดๆ จะมีแผนที่ทวิเชิงเส้นที่เรียกว่าผลคูณคัพ : กำหนดโดยสูตรที่ชัดเจนบนโคเชนเอกฐาน ผลคูณของคลาสโคฮอโมโลยีและเขียนเป็นหรือเขียนง่ายๆ ว่าผลคูณนี้ทำให้ผลรวมโดยตรง กลายเป็นวงแหวนแบบมีระดับเรียกว่าวงแหวนโคฮอโมโลยีของมันเป็นแบบสลับเปลี่ยนที่มีระดับในแง่ที่ว่า: ^{[ 6 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle H^{i}(X,R)\times H^{j}(X,R)\to H^{i+j}(X,R),}$$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u\cup v}$${\displaystyle uv}$$${\displaystyle H^{*}(X,R)=\bigoplus _{i}H^{i}(X,R)}$$${\displaystyle X}$$${\displaystyle uv=(-1)^{ij}vu,\qquad u\in H^{i}(X,R),v\in H^{j}(X,R).}$$

สำหรับแผนที่ต่อเนื่องใดๆการดึงกลับ (pullback) เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตแบบแบ่งระดับ( graded algebras ) ดังนั้น หากปริภูมิสองปริภูมิ สมมูลกัน ในเชิงโฮโมโทปี (homotopy equivalent ) แล้ว วงแหวนโคโฮโมโลยี (cohomology rings) ของปริภูมิทั้งสองจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน ${\displaystyle f\colon X\to Y,}$${\displaystyle f^{*}:H^{*}(Y,R)\to H^{*}(X,R)}$${\displaystyle R}$

ต่อไปนี้เป็นการตีความทางเรขาคณิตบางส่วนของผลคูณถ้วย ในส่วนต่อไปนี้แมนิโฟลด์จะถือว่าไม่มีขอบเขต เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่นแมนิโฟลด์ปิดหมายถึงแมนิโฟลด์กระชับ (ไม่มีขอบเขต) ในขณะที่ซับแมนิโฟลด์ ปิด Nของแมนิโฟลด์Mหมายถึงซับแมนิโฟลด์ที่เป็นเซตย่อยปิดของMซึ่งไม่จำเป็นต้องกระชับ (ถึงแม้ว่าNจะกระชับโดยอัตโนมัติหากMกระชับ)

• ให้Xเป็นแมนิโฟลด์แบบปิดที่ มี ทิศทางและมีมิติnแล้วทฤษฎีบทคู่ของปวงกาเรจะให้ไอโซมอร์ฟิซึมH ⁱ X ≅ H Xส่งผลให้ซับแมนิโฟลด์แบบปิดที่มี ทิศทาง Sที่มีโคไดเมนชันiในXกำหนดคลาสโคฮอโมโลยีในH ⁱ Xเรียกว่า [ S ] ในแง่นี้ ผลคูณคัพอธิบายถึงจุดตัดของซับแมนิโฟลด์ กล่าวคือ ถ้าSและTเป็นซับแมนิโฟลด์ที่มีโคไดเมนชันiและjที่ตัดกันในแนวตั้งฉากแล้วโดยที่จุดตัดS ∩ Tเป็นซับแมนิโฟลด์ที่มีโคไดเมนชันi + jโดยมีทิศทางที่กำหนดโดยทิศทางของS , TและXในกรณีของแมนิโฟลด์เรียบถ้าSและTไม่ตัดกันในแนวตั้งฉาก สูตรนี้ยังคงสามารถใช้คำนวณผลคูณคัพ [ S ][ T ] ได้ โดยการรบกวนSหรือTเพื่อให้จุดตัดตัดกันในแนวตั้งฉาก$${\displaystyle [S][T]=[S\cap T]\in H^{i+j}(X),}$$
  โดยทั่วไปแล้ว หากไม่สมมติว่าXมีทิศทาง สับแมนิโฟลด์ปิดของXที่มีทิศทางบนบันเดิลปกติ ของมัน จะกำหนดคลาสโคฮอโมโลยีบนXถ้าXเป็นแมนิโฟลด์ที่ไม่กระชับ สับแมนิโฟลด์ปิด (ไม่จำเป็นต้องกระชับ) จะกำหนดคลาสโคฮอโมโลยีบนXในทั้งสองกรณี ผลคูณคัพสามารถอธิบายได้อีกครั้งในแง่ของการตัดกันของสับแมนิโฟลด์
  โปรดทราบว่าThomได้สร้างคลาสโคฮอโมโลยีเชิงอินทิกรัลที่มีดีกรี 7 บนแมนิโฟลด์เรียบ 14 มิติ ซึ่งไม่ใช่คลาสของซับแมนิโฟลด์เรียบใดๆ^{[ 7 ]}ในทางกลับกัน เขาแสดงให้เห็นว่าคลาสโคฮอโมโลยีเชิงอินทิกรัลทุกคลาสที่มีดีกรีเป็นบวกบนแมนิโฟลด์เรียบจะมีตัวคูณที่เป็นบวกซึ่งเป็นคลาสของซับแมนิโฟลด์เรียบ^{[ 8 ]}นอกจากนี้ คลาสโคฮอโมโลยีเชิงอินทิกรัลทุกคลาสบนแมนิโฟลด์สามารถแสดงได้ด้วย "ซูโดแมนิโฟลด์" นั่นคือ คอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลที่เป็นแมนิโฟลด์นอกเซตย่อยปิดที่มีมิติร่วมอย่างน้อย 2
• สำหรับแมนิโฟลด์เรียบX ทฤษฎีบท ของเดอแรมกล่าวว่า โคฮอโมโลยีเอกฐานของXที่มี สัมประสิทธิ์เป็นจำนวน จริงนั้นสมมูลกับโคฮอโมโลยีเดอแรมของXซึ่งกำหนดโดยใช้รูปแบบเชิงอนุพันธ์ผลคูณคัพสอดคล้องกับผลคูณของรูปแบบเชิงอนุพันธ์ การตีความนี้มีข้อดีคือ ผลคูณบนรูปแบบเชิงอนุพันธ์นั้นมีคุณสมบัติการสลับที่แบบมีระดับ ในขณะที่ผลคูณบนโคเชนเอกฐานนั้นมีคุณสมบัติการสลับที่แบบมีระดับเพียงแค่ระดับโฮโมโทปีของเชน เท่านั้น ในความเป็นจริง เป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ไขนิยามของโคเชนเอกฐานที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มหรือเป็นจำนวนเฉพาะpเพื่อให้ผลคูณมีคุณสมบัติการสลับที่แบบมีระดับได้อย่างสมบูรณ์แบบ ความล้มเหลวของคุณสมบัติการสลับที่แบบมีระดับในระดับโคเชนนำไปสู่การดำเนินการของสตีนรอดบนโคฮอโมโลยี mod p${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$

โดยคร่าวๆ สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีX ใดๆ เราสามารถคิดว่าองค์ประกอบของ X นั้นแทนด้วยปริภูมิย่อยที่มีมิติร่วม iของXซึ่งสามารถเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระบนXตัวอย่างเช่น วิธีหนึ่งในการกำหนดองค์ประกอบของ X คือการให้แผนที่ต่อเนื่องfจากXไปยังแมนิโฟลด์Mและแมนิโฟลด์ย่อยปิดที่มีมิติร่วมiของMที่มีการวางแนวบนบันเดิลปกติ โดยคร่าวๆ เราคิดว่าคลาสที่ได้นั้นอยู่บนปริภูมิย่อยของXซึ่งมีเหตุผลเพราะคลาสนี้จำกัดให้เป็นศูนย์ในโคฮอโมโลยีของเซตย่อยเปิดคลาสโคฮอโมโลยีสามารถเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระบนXในแง่ที่ว่าNสามารถถูกแทนที่ด้วยการเปลี่ยนแปลงต่อเนื่องใดๆ ของNภายในMได้ ${\displaystyle H^{i}(X)}$${\displaystyle H^{i}(X)}$${\displaystyle f^{*}([N])\in H^{i}(X)}$${\displaystyle f^{-1}(N)}$${\displaystyle f^{*}([N])}$${\displaystyle X-f^{-1}(N).}$${\displaystyle f^{*}([N])}$

ต่อไปนี้ เราจะใช้โคฮอโมโลยีที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มZเว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น

• วงแหวนโคฮอโมโลยีของจุดหนึ่งคือวงแหวนZที่มีดีกรี 0 โดยอาศัยความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลงโฮโมโทปี นี่จึงเป็นวงแหวนโคฮอโมโลยีของ ปริภูมิ ที่หดตัวได้ ใดๆ เช่น ปริภูมิยุคลิดR ⁿด้วย

• 

  สำหรับจำนวนเต็มบวกnวงแหวนโคฮอโมโลยีของทรงกลม คือZ [ x ]/( x ² ) ( วงแหวนผลหารของวงแหวนพหุนามโดยอุดมคติ ที่กำหนด ) โดยที่xมีดีกรีnในแง่ของทฤษฎีบทคู่ของปวงกาเรดังที่กล่าวมาข้างต้นxคือคลาสของจุดบนทรงกลม${\displaystyle S^{n}}$
• วงแหวนโคฮอโมโลยีของทอรัส คือพีชคณิตภายนอกเหนือZบน ตัวสร้าง nตัวในระดับ 1 ^{[ 9 ]}ตัวอย่างเช่น ให้PแทนจุดในวงกลมและQแทนจุด ( P , P ) ในทอรัส 2 มิติจากนั้นโคฮอโมโลยีของ ( S ¹ ) ²มีฐานเป็นโมดูลZอิสระในรูปแบบ: องค์ประกอบ 1 ในระดับ 0, x  := [ P × S ¹ ] และy  := [ S ¹ × P ] ในระดับ 1 และxy = [ Q ] ในระดับ 2 (โดยปริยาย ทิศทางของทอรัสและวงกลมทั้งสองได้รับการกำหนดไว้ที่นี่) โปรดทราบว่าyx = − xy = −[ Q ] โดยการสลับตำแหน่งแบบมีระดับ${\displaystyle (S^{1})^{n}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle (S^{1})^{2}}$
• โดยทั่วไปแล้ว ให้Rเป็นวงแหวนสลับที่ และให้XและYเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีใดๆ ที่H ^* ( X , R ) เป็นโมดูล Rอิสระที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดในแต่ละระดับ (ไม่จำเป็นต้องมีข้อสมมติใดๆ เกี่ยวกับY ) จากนั้นสูตรของ Künnethแสดงให้เห็นว่าวงแหวนโคฮอโมโลยีของปริภูมิผลคูณX × Yเป็นผลคูณเทนเซอร์ของ พีชคณิต R : ^{[ 10 ]}$${\displaystyle H^{*}(X\times Y,R)\cong H^{*}(X,R)\otimes _{R}H^{*}(Y,R).}$$
• วงแหวนโคฮอโมโลยีของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟจริงRP ⁿที่มี สัมประสิทธิ์ Z /2 คือZ /2[ x ]/( x ^{n +1} ) โดยที่xอยู่ในระดับ 1 ^{[ 11 ]}ในที่นี้xคือคลาสของไฮเปอร์เพลนRP ^{n −1}ในRP ⁿซึ่งสมเหตุสมผลแม้ว่าRP ^jจะไม่สามารถกำหนดทิศทางได้สำหรับjที่เป็นเลขคู่และเป็นบวก เนื่องจากความเป็นคู่ของปวงกาเรที่มี สัมประสิทธิ์ Z /2 ใช้ได้กับแมนิโฟลด์ใดๆ
  เมื่อใช้สัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม คำตอบจะซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย โคฮอโมโลยี ZของRP ^{2 a}มีองค์ประกอบyที่มีดีกรี 2 โดยที่โคฮอโมโลยีทั้งหมดเป็นผลรวมโดยตรงของสำเนาของZที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบ 1 ที่มีดีกรี 0 พร้อมกับสำเนาของZ /2 ที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบy ⁱสำหรับi =1,..., aโค ฮอโมโลยี ZของRP ^{2 a +1}ก็เหมือนกันพร้อมกับสำเนาเพิ่มเติมของZที่มีดีกรี 2 a +1 ^{[ 12 ]}
• วงแหวนโคฮอโมโลยีของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนCP ⁿคือZ [ x ]/( x ^{n +1} ) โดยที่xมีดีกรี 2 ^{[ 11 ]}ในที่นี้xคือคลาสของไฮเปอร์เพลนCP ^{n −1}ในCP ⁿโดยทั่วไปแล้วx ^jคือคลาสของปริภูมิย่อยเชิงเส้นCP ^{n − j}ในCP ⁿ
• วงแหวนโคฮอโมโลยีของพื้นผิวปิดที่มีทิศทางXของจีนัสg ≥ 0 มีฐานเป็น โมดูล Z อิสระ ในรูปแบบ: องค์ประกอบ 1 ในระดับ 0, A ,..., A และB ,..., B ในระดับ 1 และคลาสPของจุดในระดับ 2 ผลคูณกำหนดโดย: A A = B B = 0 สำหรับทุกiและj , A B = 0 ถ้าi ≠ jและA B = Pสำหรับทุกi ^{[ 13 ]}โดยความสามารถในการสลับตำแหน่งแบบแบ่งระดับ จะได้ว่าB i i − P
• ในปริภูมิเชิงทอพอโลยีใดๆ การสลับตำแหน่งแบบมีระดับของวงแหวนโคฮอโมโลยีบ่งชี้ว่า 2 x ² = 0 สำหรับคลาสโคฮอโมโลยีx ที่มีดีกรีคี่ทั้งหมด ดังนั้น สำหรับวงแหวนRที่มี 1/2 อยู่ด้วย สมาชิกที่มีดีกรีคี่ทั้งหมดของH ^* ( X , R ) จะมีกำลังสองเป็นศูนย์ ในทางกลับกัน สมาชิกที่มีดีกรีคี่ไม่จำเป็นต้องมีกำลังสองเป็นศูนย์ ถ้าRเป็นZ /2 หรือZดังจะเห็นได้ในตัวอย่างของRP ² (ที่มี สัมประสิทธิ์ Z /2) หรือRP ⁴ × RP ² (ที่มี สัมประสิทธิ์ Z )

ผลคูณคัพบนโคฮอโมโลยีสามารถมองได้ว่ามาจากแผนที่แนวทแยงมุม กล่าวคือ สำหรับปริภูมิใดๆและที่มีคลาสโคฮอโมโลยีและจะมี คลาสโคฮอโมโลยี ผลคูณภายนอก (หรือผลคูณไขว้ ) ผลคูณคัพของคลาสและสามารถกำหนดได้ว่าเป็นพูลแบ็กของผลคูณภายนอกโดยแนวทแยงมุม: ^{[ 14 ]}${\displaystyle \Delta :X\to X\times X}$${\displaystyle x\mapsto (x,x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle u\in H^{i}(X,R)}$${\displaystyle v\in H^{j}(Y,R)}$${\displaystyle u\times v\in H^{i+j}(X\times Y,R)}$${\displaystyle u\in H^{i}(X,R)}$${\displaystyle v\in H^{j}(X,R)}$$${\displaystyle uv=\Delta ^{*}(u\times v)\in H^{i+j}(X,R).}$$

อีกทางเลือกหนึ่ง ผลคูณภายนอกสามารถกำหนดได้ในรูปของผลคูณถ้วย สำหรับปริภูมิและให้เขียนและสำหรับการฉายภาพทั้งสอง จากนั้น ผลคูณภายนอกของคลาสและคือ: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\times Y\to X}$${\displaystyle g:X\times Y\to Y}$${\displaystyle u\in H^{i}(X,R)}$${\displaystyle v\in H^{j}(Y,R)}$$${\displaystyle u\times v=(f^{*}(u))(g^{*}(v))\in H^{i+j}(X\times Y,R).}$$

อีกหนึ่งการตีความของทฤษฎีทวิภาวะของปวงกาเรคือ วงแหวนโคฮอโมโลยีของแมนิโฟลด์ปิดที่มีทิศทางนั้นเป็นทวิภาวะในตัวเองในความหมายที่เข้มงวด กล่าวคือ ให้เป็นแมนิโฟลด์ปิดที่เชื่อมต่อกัน และ มีทิศทางที่มีมิติและให้เป็นฟิลด์ แล้ว นั้นสม isomorphic กับและผลคูณของ ${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle H^{n}(X,F)}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle H^{i}(X,F)\times H^{n-i}(X,F)\to H^{n}(X,F)\cong F}$

เป็นการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบสำหรับจำนวนเต็มแต่ละจำนวน[ ^{15 ] โดย}เฉพาะอย่างยิ่ง ปริภูมิเวกเตอร์และมีมิติเดียวกัน (จำกัด) ในทำนองเดียวกัน ผลคูณบนโคฮอโมโลยีเชิงปริพันธ์โมดูลัสทอร์ชั่นที่มีค่าในเป็นการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบเหนือ ${\displaystyle i}$${\displaystyle H^{i}(X,F)}$${\displaystyle H^{n-i}(X,F)}$${\displaystyle H^{n}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

บันเดิลเวกเตอร์ จริงเชิง ทิศทาง Eที่มีอันดับrบนปริภูมิเชิงทอพอโลยีXกำหนดชั้นโคฮอโมโลยีบนXซึ่ง ก็คือ ชั้นออยเลอร์ χ( E ) ∈ H ^r ( X , Z ) โดยทั่วไปแล้ว ชั้นออยเลอร์คือชั้นของเซตศูนย์ของส่วนตัด ทั่วไป ของEการตีความนี้สามารถทำให้ชัดเจนยิ่งขึ้นได้เมื่อEเป็นบันเดิลเวกเตอร์เรียบเหนือแมนิโฟลด์เรียบXเนื่องจากในกรณีนั้น ส่วนตัดเรียบทั่วไปของX จะเป็นศูนย์บนซับแมนิโฟลด์ที่มีมิติร่วมrของX

นอกจากนี้ยังมีคลาสลักษณะเฉพาะ ประเภทอื่นๆ อีกหลายประเภท สำหรับเวกเตอร์บันเดิลที่รับค่าในโคฮอโมโลยี ได้แก่คลาสเชิร์น คลาสสตีเฟล-วิทนีย์และคลาสปอนทรียาจิน

สำหรับแต่ละกลุ่มอาเบเลียนAและจำนวนธรรมชาติjจะมีปริภูมิหนึ่งซึ่ง กลุ่มโฮโมโทปีที่ jสมสัณฐานกับAและกลุ่มโฮโมโทปีอื่นๆ เป็นศูนย์ ปริภูมิดังกล่าวเรียกว่าปริภูมิไอเลนเบิร์ก-แมคเลนปริภูมินี้มีคุณสมบัติที่น่าทึ่งคือเป็นปริภูมิจำแนกสำหรับโคฮอโมโลยี กล่าวคือ มีสมาชิกธรรมชาติuของและชั้นโคฮอโมโลยีทุกชั้นที่มีดีกรีjบนทุกปริภูมิXคือการดึงกลับของuโดยแผนที่ต่อเนื่องบางแผนที่ กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น การดึงกลับชั้นuจะให้การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ${\displaystyle K(A,j)}$${\displaystyle H^{j}(K(A,j),A)}$${\displaystyle X\to K(A,j)}$

${\displaystyle [X,K(A,j)]{\stackrel {\cong }{\to }}H^{j}(X,A)}$

สำหรับพื้นที่X ทุกแห่ง ที่มีประเภทโฮโมโทปีของคอมเพล็กซ์ CW ^{[ 16 ]}ในที่นี้หมายถึงเซตของคลาสโฮโมโทปีของแผนที่ต่อเนื่องจากXไปยัง Y${\displaystyle [X,Y]}$

ตัวอย่างเช่น พื้นที่(ที่นิยามโดยความสมมูลแบบโฮโมโทปี) สามารถถือได้ว่าเป็นวงกลมดังนั้นคำอธิบายข้างต้นจึงกล่าวว่า ทุกองค์ประกอบของถูกดึงกลับมาจากคลาสuของจุด บนโดยแผนที่บางอย่าง ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle X\to S^{1}}$

มีการอธิบายที่เกี่ยวข้องกับโคฮอโมโลยีแรกที่มีสัมประสิทธิ์ในกลุ่มอาเบเลียนA ใดๆ เช่น สำหรับคอมเพล็กซ์ CW Xกล่าว คือ มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเซตของชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิปกคลุม กาโลอิส ของXที่มีกลุ่มAซึ่งเรียกอีกอย่างว่าบันเดิลAหลักเหนือXสำหรับX ที่ เชื่อมต่อกัน จะได้ว่ามีไอโซมอร์ฟิกกับโดยที่คือกลุ่มพื้นฐานของXตัวอย่างเช่นจัดประเภทปริภูมิปกคลุมคู่ของXโดยมีองค์ประกอบ ที่สอดคล้องกับการปกคลุมคู่แบบไม่สำคัญ ซึ่ง เป็นการ รวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของสำเนาสองชุดของX${\displaystyle H^{1}(X,A)}$${\displaystyle H^{1}(X,A)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),A)}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle 0\in H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$

สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีX ใดๆ ผลคูณแคปเป็นแผนที่เชิงเส้นคู่

${\displaystyle \cap :H^{i}(X,R)\times H_{j}(X,R)\to H_{j-i}(X,R)}$

สำหรับจำนวนเต็มiและj ใดๆ และวงแหวนสลับที่R ใดๆ แผนที่ที่ได้จะเป็นดังนี้

${\displaystyle H^{*}(X,R)\times H_{*}(X,R)\to H_{*}(X,R)}$

ทำให้โฮโมโล ยี เอกฐานของXกลายเป็นโมดูลเหนือวงแหวนโคโฮโมโลยีเอกฐานของX

สำหรับi = jผลคูณแคปจะให้โฮโมมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ

${\displaystyle H^{i}(X,R)\to \operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X,R),R),}$

ซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิซึมสำหรับR ซึ่ง เป็นฟิลด์

ตัวอย่างเช่น ให้Xเป็นแมนิโฟลด์แบบมีทิศทาง ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นแมนิโฟลด์กระชับ แล้วซับแมนิโฟลด์แบบปิดที่มีทิศทางและมี มิติร่วม iของX (ไม่จำเป็นต้องเป็นแมนิโฟลด์กระชับ) จะกำหนดองค์ประกอบของH ⁱ ( X , R ) และซับแมนิโฟลด์แบบกระชับที่มีทิศทางและมีมิติjของXจะกำหนดองค์ประกอบของH ( X , R ) ผลคูณแคป [ Y ] ∩ [ Z ] ∈ H ( X , R ) สามารถคำนวณได้โดยการรบกวนYและZ เพื่อให้พวกมันตัดกันในแนวตั้งฉาก แล้วจึงเลือกคลาสของจุดตัด ซึ่งเป็นซับแมนิโฟลด์แบบกระชับ ที่ มีทิศทางและมีมิติj − i

แมนิโฟลด์แบบปิดที่มีทิศทางX ที่มีมิติ nมีคลาสพื้นฐาน [ X ] ในH ( X , R ) ไอโซมอร์ฟิซึมทวิภาวะของปวงกาเร ถูกกำหนดโดยผลคูณแคปกับ คลาส พื้นฐานของX$${\displaystyle H^{i}(X,R){\overset {\cong }{\to }}H_{n-i}(X,R)}$$

แม้ว่าโคฮอโมโลยีจะเป็นพื้นฐานสำคัญของโทโพโลยีเชิงพีชคณิตสมัยใหม่ แต่ความสำคัญของมันกลับไม่ปรากฏให้เห็นจนกระทั่งผ่านไปประมาณ 40 ปีหลังจากที่โฮโมโลยีได้รับการพัฒนาขึ้น แนวคิดเรื่องโครงสร้างเซลล์คู่ขนานซึ่งอองรี ปวงกาเรใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบททวิภาวะของปวงกาเรนั้น มีจุดเริ่มต้นของแนวคิดเรื่องโคฮอโมโลยีอยู่ด้วย แต่แนวคิดนี้กลับไม่ปรากฏให้เห็นจนกระทั่งภายหลัง

มีปัจจัยเบื้องต้นต่างๆ มากมายสำหรับโคฮอโมโลยี^{[ 17 ]}ในช่วงกลางทศวรรษ 1920 JW AlexanderและSolomon Lefschetzได้ก่อตั้งทฤษฎีจุดตัด ของวัฏจักรบนแม นิโฟลด์ บนแมนิโฟลด์ปิดแบบมีทิศทางnมิติM วัฏจักร iและ วัฏจักร j ที่มีจุดตัดที่ไม่ว่างเปล่า หากอยู่ใน ตำแหน่งทั่วไปจะมีจุดตัดเป็นวัฏจักร ( i  +  j  −  n ) ซึ่งนำไปสู่การคูณของคลาสโฮโมโลยี

${\displaystyle H_{i}(M)\times H_{j}(M)\to H_{i+j-n}(M),}$

ซึ่ง (เมื่อมองย้อนกลับไป) สามารถระบุได้ว่าเป็นผลคูณของถ้วยบนโคฮอโมโลยีของ M

ในปี 1930 อเล็กซานเดอร์ได้กำหนดแนวคิดแรกของโคเชน โดยคิดถึงi- โค เชน บนปริภูมิXว่าเป็นฟังก์ชันบนย่านเล็กๆ ของเส้นทแยงมุมในX ^{i +1}

ในปี ค.ศ. 1931 จอร์จ เดอ แรมได้เชื่อมโยงความสัมพันธ์ระหว่างโฮโมโลยีและรูปแบบเชิงอนุพันธ์ โดยพิสูจน์ทฤษฎีบทของเดอ แรมผลลัพธ์นี้สามารถกล่าวได้ง่ายกว่าในแง่ของโคโฮโมโลยี

ในปี พ.ศ. 2475–2476 โคฮอโมโลยีปรากฏขึ้นในงานของไฮนซ์ ฮอปฟ์^{[ 18 ]}และเอ็กเบิร์ต ฟาน คัมเปน^{[ 19 ]} เกี่ยวกับสิ่งกีดขวาง ฮอปฟ์คิดค้นสิ่งกีดขวางต่อโฮโมโทปี (และการจำแนกโฮโมโทปี) ของแผนที่ต่อเนื่องจากทรงหลายเหลี่ยมมิติk ไปยัง ทรงกลมมิติk ในงานของเขา โคฮอโมโลยีปรากฏขึ้นโดยปริยาย และสูตรที่เป็นธรรมชาติมากขึ้นซึ่งเกี่ยวข้องกับโคฮอโมโลยีอย่างชัดเจนนั้นได้รับจาก ฮัสเลอร์ วิทนีย์ในปี พ.ศ. 2480 ^{[ 20 ]}ฟาน คัมเปนคิดค้นสิ่งกีดขวาง (และสำหรับk>2เกณฑ์สำหรับ) การฝังตัวของทรงหลายเหลี่ยมมิติk ลงในปริภูมิยุคลิดมิติ 2kในงานของเขา โคฮอโมโลยีปรากฏขึ้นอย่างชัดเจน แต่เฉพาะในกรณีเฉพาะ (ของปริภูมิการกำหนดค่าบางอย่างผลคูณที่ถูกลบ )

ในปี ค.ศ. 1934 เลฟ ปอนทรียาจินพิสูจน์ทฤษฎีบททวิภาวะของปอนทรียาจินซึ่งเป็นผลลัพธ์เกี่ยวกับกลุ่มเชิงทอพอโลยีสิ่งนี้ (ในกรณีพิเศษบางประการ) ให้การตีความทวิภาวะของปวงกาเรและทวิภาวะของอเล็กซานเดอร์ใน แง่ของลักษณะเฉพาะ ของกลุ่ม

ในการประชุมที่มอสโก เมื่อปี 1935 อันเดรย์ โคลโมโกโรฟและอเล็กซานเดอร์ ต่างก็แนะนำโคฮอโมโลจีและพยายามสร้างโครงสร้างผลคูณโคฮอโมโลจี

ในปี 1936 นอร์แมน สตีนรอดได้สร้างčech cohomologyโดยการทำให้ čech homology เป็นสองเท่า

ระหว่างปี 1936 ถึง 1938 ฮัสเลอร์ วิทนีย์และเอ็ดเวิร์ด เช็กได้พัฒนาผลคูณคัพ (ทำให้โคฮอโมโลยีกลายเป็นวงแหวนแบบไล่ระดับ) และผลคูณแคปและตระหนักว่าทฤษฎีทวิภาวะของปวงกาเรสามารถระบุได้ในรูปของผลคูณแคป ทฤษฎีของพวกเขายังคงจำกัดอยู่เฉพาะคอมเพล็กซ์เซลล์จำกัดเท่านั้น

ในปี ค.ศ. 1944 ซามูเอล ไอเลนเบิร์กได้เอาชนะข้อจำกัดทางเทคนิค และให้คำจำกัดความสมัยใหม่ของเอกพจน์โฮโมโลจีและโคโฮโมโลจี

ในปี ค.ศ. 1945 ไอเลนเบิร์กและสตีนรอดได้กล่าวถึงสัจพจน์ที่กำหนดทฤษฎีโฮโมโลจีหรือโคโฮโมโลจี ซึ่งจะกล่าวถึงต่อไป ในหนังสือของพวกเขาในปี ค.ศ. 1952 เรื่อง Foundations of Algebraic Topologyพวกเขาได้พิสูจน์ว่าทฤษฎีโฮโมโลจีและโคโฮโมโลจีที่มีอยู่แล้วนั้นเป็นไปตามสัจพจน์ของพวกเขาจริง ๆ

ในปี ค.ศ. 1946 ฌอง เลอเรย์ได้กำหนดนิยามของโคฮอโมโลยีของชีฟ (sheaf cohomology)

ในปี ค.ศ. 1948 เอ็ดวิน สแปเนียร์ ได้พัฒนา โคฮอโมโลยีอเล็กซานเดอร์-สแปเนียร์ โดยต่อยอดจากงานของอเล็กซานเดอร์และโคลโมโกโรฟ

โคฮอโมโลยีชีฟเป็นการขยายความที่ครอบคลุมมากขึ้นของโคฮอโมโลยีเอกฐาน ซึ่งอนุญาตให้ใช้ "สัมประสิทธิ์" ที่ทั่วไปกว่ากลุ่มอาเบเลียนธรรมดา สำหรับทุกชีฟของกลุ่มอาเบเลียนEบนปริภูมิเชิงทอพอโลยีXจะมีกลุ่มโคฮอโมโลยีH ⁱ ( X , E ) สำหรับจำนวนเต็มiโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในกรณีของชีฟคงที่บนXที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มอาเบเลียนAกลุ่มที่ได้H ⁱ ( X , A ) จะตรงกับโคฮอโมโลยีเอกฐานสำหรับXซึ่งเป็นแมนิโฟลด์หรือคอมเพล็กซ์ CW (แต่ไม่ใช่สำหรับปริภูมิX ใดๆ ) ตั้งแต่ทศวรรษ 1950 เป็นต้นมา โคฮอโมโลยีชีฟได้กลายเป็นส่วนสำคัญของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและการวิเคราะห์เชิงซ้อนส่วนหนึ่งเป็นเพราะความสำคัญของชีฟของฟังก์ชันปกติหรือชีฟของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก

Grothendieckได้กำหนดและอธิบายลักษณะเฉพาะของโคฮอโมโลยีชีฟอย่างสง่างามในภาษาของพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีจุดสำคัญคือการกำหนดพื้นที่Xและคิดว่าโคฮอโมโลยีชีฟเป็นฟังก์ชันจาก หมวด หมู่อาเบลของชีฟบนXไปยังกลุ่มอาเบล เริ่มต้นด้วยฟังก์ชันที่นำชีฟEบนXไปยังกลุ่มอาเบลของส่วนทั่วโลกเหนือX , E ( X ) ฟังก์ชันนี้เป็น ฟังก์ชัน ที่แน่นอนทางซ้ายแต่ไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันที่แน่นอนทางขวา Grothendieck ได้กำหนดกลุ่มโคฮอโมโลยีชีฟให้เป็นฟังก์ชันอนุพันธ์ ทางขวา ของฟังก์ชันที่แน่นอนทางซ้ายE ↦ E ( X ) ^{[ 3 ]}

นิยามดังกล่าวชี้ให้เห็นถึงการสรุปทั่วไปหลายประการ ตัวอย่างเช่น เราสามารถกำหนดโคฮอโมโลยีของปริภูมิเชิงทอพอโลยีXด้วยสัมประสิทธิ์ในคอมเพล็กซ์ของชีฟใดๆ ซึ่งก่อนหน้านี้เรียกว่าไฮเปอร์โคฮอโมโลยี (แต่ปัจจุบันมักเรียกสั้นๆ ว่า "โคฮอโมโลยี") จากมุมมองนั้น โคฮอโมโลยีของชีฟจึงกลายเป็นลำดับของฟังก์ชันจากหมวดหมู่ที่ได้มาของชีฟบนXไปยังกลุ่มอาเบเลียน

ในความหมายกว้างๆ คำว่า "โคโฮโมโลจี" มักใช้กับฟังก์ชันอนุพันธ์ทางขวาของฟังก์ชันที่แน่นอนทางซ้ายบนหมวดหมู่แบบอาเบเลียน ในขณะที่ "โฮโมโลจี" ใช้กับฟังก์ชันอนุพันธ์ทางซ้ายของฟังก์ชันที่แน่นอนทางขวา ตัวอย่างเช่น สำหรับริงRกลุ่มTor i ( M , N ⁾ก่อให้เกิด "ทฤษฎีโฮโมโลจี" ในแต่ละตัวแปร ซึ่งเป็นฟังก์ชันอนุพันธ์ทางซ้ายของผลคูณเทนเซอร์M ⊗ NของโมดูลR ในทำนองเดียวกัน กลุ่ม Ext ⁱ ( M , N ) สามารถมองได้ว่าเป็น "ทฤษฎีโคโฮโมโลจี" ในแต่ละตัวแปร ซึ่งเป็นฟังก์ชันอนุพันธ์ทางขวาของฟังก์ชัน Hom ( M , N )

โคฮอโมโลยีของชีฟสามารถระบุได้กับกลุ่ม Ext ประเภทหนึ่ง กล่าวคือ สำหรับชีฟEบนปริภูมิเชิงทอพอโลยีXนั้นH ⁱ ( X , E ) จะสมสัณฐานกับ Ext ⁱ ( Z , E ) โดยที่Z หมายถึงชีฟคงที่ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็มZและ Ext อยู่ในหมวดหมู่อาเบเลียนของชีฟบน X

มีเครื่องมือมากมายที่สร้างขึ้นเพื่อคำนวณโคฮอโมโลยีของวาไรตีเชิงพีชคณิตกรณีที่ง่ายที่สุดคือการหาโคฮอโมโลยีสำหรับ วาไรตี เชิงโปรเจกทีฟ เรียบ เหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะ เครื่องมือจากทฤษฎีฮอดจ์เรียกว่าโครงสร้างฮอดจ์ช่วยในการคำนวณโคฮอโมโลยีของวาไรตีประเภทนี้ (โดยเพิ่มข้อมูลที่ละเอียดขึ้น) ในกรณีที่ง่ายที่สุด โคฮอโมโลยีของไฮเปอร์เซอร์เฟซเรียบในสามารถหาได้จากดีกรีของพหุนามเพียงอย่างเดียว ${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

เมื่อพิจารณาวาไรตี้บนฟิลด์จำกัดหรือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะจำเป็นต้องใช้เครื่องมือที่มีประสิทธิภาพมากกว่า เนื่องจากนิยามคลาสสิกของโฮโมโลยี/โคโฮโมโลยีใช้ไม่ได้ผล เนื่องจากวาไรตี้บนฟิลด์จำกัดจะเป็นเพียงเซตของจุดที่มีจำนวนจำกัดเท่านั้น Grothendieck ได้คิดค้นแนวคิดเกี่ยวกับโทโพโลยี Grothendieckและใช้โคโฮโมโลยีชีฟบนโทโพโลยีเอทาลเพื่อกำหนดทฤษฎีโคโฮโมโลยีสำหรับวาไรตี้บนฟิลด์จำกัด โดยใช้โทโพโลยีเอทาลสำหรับวาไรตี้บนฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเราสามารถสร้างโคโฮโมโลยี -adicสำหรับ ได้ซึ่งนิยามว่าเป็นลิมิตเชิงโปรเจกทีฟ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell \neq p}$

${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Q} _{\ell }):=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }H_{et}^{k}(X;\mathbb {Z} /(\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }.}$

ถ้าเรามีแบบแผนประเภทจำกัด

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Z} \left[x_{0},\ldots ,x_{n}\right]}{\left(f_{1},\ldots ,f_{k}\right)}}\right)}$

ดังนั้น มิติของโคฮอโมโลยีเบตติของและโคฮอโมโลยี -adic ของ จึง เท่ากัน เมื่อใดก็ตามที่วาไรตี้มีความเรียบเนียนเหนือทั้งสองฟิลด์ นอกจากทฤษฎีโคฮอโมโลยีเหล่านี้แล้ว ยังมีทฤษฎีโคฮอโมโลยีอื่นๆ ที่เรียกว่าทฤษฎีโคฮอโมโลยีไวล์ ซึ่งมีพฤติกรรมคล้ายกับโคฮอโมโลยีเอกฐาน มีทฤษฎีโมทีฟที่คาดการณ์ไว้ซึ่งเป็นพื้นฐานของทฤษฎีโคฮอโมโลยีไวล์ทั้งหมด ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle X(\mathbb {F} _{q})}$

เครื่องมือคำนวณที่มีประโยชน์อีกอย่างหนึ่งคือลำดับการพองตัว (blowup sequence) เมื่อกำหนดแผนผังย่อยที่มีมิติร่วม (codimension subscheme) แล้ว จะมี สี่เหลี่ยมจัตุรัสคาร์ทีเซียนอยู่${\displaystyle \geq 2}$${\displaystyle Z\subset X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}E&\longrightarrow &Bl_{Z}(X)\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\longrightarrow &X\end{matrix}}}$

จากสิ่งนี้จะมีลำดับที่แน่นอนยาวที่เกี่ยวข้อง

${\displaystyle \cdots \to H^{n}(X)\to H^{n}(Z)\oplus H^{n}(Bl_{Z}(X))\to H^{n}(E)\to H^{n+1}(X)\to \cdots }$

ถ้าซับวาไรตี้เรียบ มอร์ฟิซึมที่เชื่อมต่อทั้งหมดจะเป็นมอร์ฟิซึมที่ไม่สำคัญ ดังนั้น ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle H^{n}(Bl_{Z}(X))\oplus H^{n}(Z)\cong H^{n}(X)\oplus H^{n}(E)}$

มีวิธีการต่างๆ มากมายในการกำหนดโคฮอโมโลยีสำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยี (เช่น โคฮอโมโลยี เอกฐาน โคฮอโมโลยีเช็ก โคฮอโมโลยีอเล็กซานเดอร์ - สแปเนียร์หรือโคฮอโมโลยีชีฟ ) (ในที่นี้จะพิจารณาโคฮอโมโลยีชีฟเฉพาะกับสัมประสิทธิ์ในชีฟคงที่เท่านั้น) ทฤษฎีเหล่านี้ให้คำตอบที่แตกต่างกันสำหรับบางปริภูมิ แต่มีปริภูมิจำนวนมากที่ทฤษฎีเหล่านี้เห็นพ้องกัน สิ่งนี้เข้าใจได้ง่ายที่สุดในเชิงสัจพจน์: มีรายการคุณสมบัติที่เรียกว่าสัจพจน์ Eilenberg–Steenrodและโครงสร้างสองแบบใดๆ ที่มีคุณสมบัติเหล่านั้นร่วมกันจะเห็นพ้องกันอย่างน้อยในคอมเพล็กซ์ CW ทั้งหมด^{[ 21 ]}มีสัจพจน์เวอร์ชันสำหรับทฤษฎีโฮโมโลยีเช่นเดียวกับทฤษฎีโคฮอโมโลยี บางทฤษฎีสามารถมองได้ว่าเป็นเครื่องมือสำหรับการคำนวณโคฮอโมโลยีเอกฐานสำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีพิเศษ เช่นโคฮอโมโลยี ซิมพลิเชียลสำหรับคอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียล โคฮอโมโล ยีเซลลูลาร์สำหรับคอมเพล็กซ์ CW และโคฮอโมโลยีเดอแรมสำหรับแมนิโฟลด์เรียบ

หนึ่งในสัจพจน์ของ Eilenberg–Steenrod สำหรับทฤษฎีโคฮอโมโลยีคือสัจพจน์มิติ : ถ้าPเป็นจุดเดี่ยวแล้วH ⁱ ( P ) = 0 สำหรับทุกi ≠ 0 ประมาณปี 1960 George W. Whiteheadสังเกตว่าการละเว้นสัจพจน์มิติโดยสิ้นเชิงนั้นมีประโยชน์มากกว่า: ซึ่งให้แนวคิดของทฤษฎีโฮโมโลยีแบบทั่วไปหรือทฤษฎีโคฮอโมโลยีแบบทั่วไป ซึ่งจะนิยามไว้ด้านล่าง มีทฤษฎีโคฮอโมโลยีแบบทั่วไป เช่น ทฤษฎี K หรือโคบอร์ดิซึมเชิงซ้อน ที่ให้ข้อมูลมากมายเกี่ยวกับปริภูมิเชิงทอพอโลยี ซึ่งไม่สามารถเข้าถึงได้โดยตรงจากโคฮอโมโลยีเอกฐาน (ในบริบทนี้ โคฮอโมโลยีเอกฐานมักเรียกว่า "โคฮอโมโลยีธรรมดา")

ตามนิยามทฤษฎีโฮโมโลยีทั่วไปคือลำดับของฟังก์ชันh (สำหรับจำนวนเต็มi ) จากหมวดหมู่ ของ คู่ CW ( X ,  A ) (ดังนั้นXคือคอมเพล็กซ์ CW และAคือซับคอมเพล็กซ์) ไปยังหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียน พร้อมด้วยการแปลงตามธรรมชาติ∂ : h ( X , A ) → h ( A )ที่เรียกว่าโฮโมมอร์ฟิซึมขอบเขต (ในที่นี้h ( A ) เป็นตัวย่อของh ( A ,∅)) สัจพจน์มีดังนี้:

1. โฮโมโทปี : ถ้าเป็นโฮโมโทปีกับแล้วโฮโมมอร์ฟิซึมที่เหนี่ยวนำบนโฮโมโลจีจะเหมือนกัน${\displaystyle f:(X,A)\to (Y,B)}$${\displaystyle g:(X,A)\to (Y,B)}$
2. ความแม่นยำ : แต่ละคู่ ( X , A ) ก่อให้เกิดลำดับที่แม่นยำยาวในโฮโมโลยี ผ่านการรวมf : A → Xและg : ( X , ∅) → ( X , A )$${\displaystyle \cdots \to h_{i}(A){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X){\overset {g_{*}}{\to }}h_{i}(X,A){\overset {\partial }{\to }}h_{i-1}(A)\to \cdots .}$$
3. การตัดออก : ถ้า Xคือการรวมกันของซับคอมเพล็กซ์ Aและ Bแล้วการรวม f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) จะเหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมสำหรับทุก i$${\displaystyle h_{i}(A,A\cap B){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X,B)}$$
4. การบวก : ถ้า ( X , A ) คือการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกัน ของเซตของคู่ ( Xα , Aα ) แล้วการรวม ( Xα Aα ) → ( X , จะเหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมจากผลรวมโดยตรง : สำหรับทุกi$${\displaystyle \bigoplus _{\alpha }h_{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })\to h_{i}(X,A)}$$

โดยคร่าวๆ แล้ว สัจพจน์สำหรับทฤษฎีโคฮอโมโลยีทั่วไปได้มาจากการกลับทิศทางของลูกศร กล่าวโดยละเอียดแล้วทฤษฎีโคฮอโมโลยีทั่วไปคือลำดับของฟังก์ชันผกผันh ⁱ (สำหรับจำนวนเต็มi ) จากหมวดหมู่ของคู่ CW ไปยังหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียน พร้อมด้วยการแปลงธรรมชาติd : h ⁱ ( A ) → h ^{i +1} ( X , A )ที่เรียกว่าโฮโมมอร์ฟิซึมขอบเขต (เขียนh ⁱ ( A ) แทนh ⁱ ( A ,∅)) สัจพจน์มีดังนี้:

1. โฮโมโทปี : แผนที่โฮโมโทปีเหนี่ยวนำให้เกิดโฮโมมอร์ฟิซึมเดียวกันบนโคโฮโมโลจี
2. ความแม่นยำ : แต่ละคู่ ( X , A ) ก่อให้เกิดลำดับที่แม่นยำยาวในโคฮอโมโลยี ผ่านการรวมf : A → Xและg : ( X , ∅) → ( X , A ):$${\displaystyle \cdots \to h^{i}(X,A){\overset {g_{*}}{\to }}h^{i}(X){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A){\overset {d}{\to }}h^{i+1}(X,A)\to \cdots .}$$
3. การตัดออก : ถ้า Xคือการรวมกันของซับคอมเพล็กซ์ Aและ Bแล้วการรวม f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) จะเหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมสำหรับทุก i$${\displaystyle h^{i}(X,B){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A,A\cap B)}$$
4. การบวก : ถ้า ( X , A ) คือการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของเซตของคู่ ( Xα , Aα ) แล้วการรวม ( Xα Aα ) → ( X , จะเหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมกับกลุ่มผลคูณ : สำหรับทุกi$${\displaystyle h^{i}(X,A)\to \prod _{\alpha }h^{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })}$$

สเปกตรัมกำหนดทั้งทฤษฎีโฮโมโลยีทั่วไปและทฤษฎีโคโฮโมโลยีทั่วไป ผลลัพธ์พื้นฐานโดย Brown, Whitehead และAdams กล่าวว่าทฤษฎีโฮโมโลยีทั่วไปทุก ทฤษฎีมาจากสเปกตรัม และในทำนองเดียวกัน ทฤษฎีโคโฮโมโลยีทั่วไปทุกทฤษฎีก็มาจากสเปกตรัมเช่นกัน^{[ 22 ]}สิ่งนี้ทำให้ความสามารถในการแสดงแทนของโคโฮโมโลยีทั่วไปโดยปริภูมิ Eilenberg–MacLane เป็นแบบทั่วไป

ประเด็นที่ละเอียดอ่อนคือฟังก์ชันจากหมวดหมู่โฮโมโทปีเสถียร (หมวดหมู่โฮโมโทปีของสเปกตรัม) ไปยังทฤษฎีโฮโมโลยีทั่วไปบนคู่ CW ไม่ใช่ความสมมูล แม้ว่าจะให้การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งบนคลาสไอโซมอร์ฟิซึมก็ตาม มีแผนที่ที่ไม่เป็นศูนย์ในหมวดหมู่โฮโมโทปีเสถียร (เรียกว่าแผนที่แฟนทอม ) ที่เหนี่ยวนำแผนที่ศูนย์ระหว่างทฤษฎีโฮโมโลยีบนคู่ CW ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันจากหมวดหมู่โฮโมโทปีเสถียรไปยังทฤษฎีโคโฮโมโลยีทั่วไปบนคู่ CW ไม่ใช่ความสมมูล^{[ 23 ]}เป็นหมวดหมู่โฮโมโทปีเสถียร ไม่ใช่หมวดหมู่อื่นๆ เหล่านี้ ที่มีคุณสมบัติที่ดี เช่น เป็นแบบ สามเหลี่ยม

หากต้องการให้ทฤษฎีโฮโมโลยีหรือโคโฮโมโลยีถูกกำหนดบนปริภูมิโทโพโลยีทั้งหมดแทนที่จะเป็นบนคอมเพล็กซ์ CW วิธีการมาตรฐานวิธีหนึ่งคือการรวมสัจพจน์ที่ว่าความสมมูลโฮโมโทปีแบบอ่อน ทุกตัว จะเหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมบนโฮโมโลยีหรือโคโฮโมโลยี (ซึ่งเป็นจริงสำหรับโฮโมโลยีเอกฐานหรือโคโฮโมโลยีเอกฐาน แต่ไม่ใช่สำหรับโคโฮโมโลยีชีฟ เป็นต้น) เนื่องจากทุกปริภูมิยอมรับความสมมูลโฮโมโทปีแบบอ่อนจากคอมเพล็กซ์ CW สัจพจน์นี้จึงลดทฤษฎีโฮโมโลยีหรือโคโฮโมโลยีบนทุกปริภูมิให้เหลือทฤษฎีที่สอดคล้องกันบนคอมเพล็กซ์ CW ^{[ 24 ]}

ตัวอย่างของทฤษฎีโคฮอโมโลยีทั่วไป ได้แก่:

• กลุ่มโคโฮโมโท ปีเสถียรทฤษฎีโฮโมโลยีที่เกี่ยวข้องมักถูกนำมาใช้บ่อยกว่า: กลุ่มโฮโมโทปีเสถียร${\displaystyle \pi _{S}^{*}(X).}$${\displaystyle \pi _{*}^{S}(X).}$
• กลุ่ม โคบอร์ดิซึมมีหลายรูปแบบโดยพิจารณาจากการศึกษาปริภูมิโดยคำนึงถึงแผนที่ทั้งหมดจากปริภูมินั้นไปยังแมนิโฟลด์ ได้แก่โคบอร์ ดิซึมแบบไร้ทิศทาง โคบอร์ดิซึม แบบมีทิศทาง โคบอร์ดิซึมเชิงซ้อน และอื่นๆ โคบอร์ดิซึมเชิงซ้อนพิสูจน์แล้วว่ามีประสิทธิภาพอย่างยิ่งในทฤษฎีโฮโมโทปี มันมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับกลุ่มเชิงรูปธรรมผ่านทฤษฎีบทของแดเนียล ควิลเลน${\displaystyle MO^{*}(X)}$${\displaystyle MSO^{*}(X),}$${\displaystyle MU^{*}(X),}$
• ทฤษฎี Kทางทอพอโลยีมีหลายรูปแบบโดยอาศัยการศึกษาปริภูมิโดยพิจารณาจากกลุ่มเวกเตอร์ทั้งหมดที่อยู่เหนือปริภูมินั้น ได้แก่(ทฤษฎี K แบบคาบจริง), (ทฤษฎี K แบบเชื่อมต่อจริง), (ทฤษฎี K แบบคาบเชิงซ้อน), (ทฤษฎี K แบบเชื่อมต่อเชิงซ้อน) และอื่นๆ${\displaystyle KO^{*}(X)}$${\displaystyle ko^{*}(X)}$${\displaystyle K^{*}(X)}$${\displaystyle ku^{*}(X)}$
• โคฮอโมโลยีของบราวน์-ปีเตอร์สัน , ทฤษฎี K ของโมราวา , ทฤษฎี E ของโมราวา และทฤษฎีอื่นๆ ที่สร้างขึ้นจากโคบอร์ดิซึมเชิงซ้อน
• รูปแบบต่างๆ ของโคฮอโมโลยีเชิงวงรี

ทฤษฎีเหล่านี้จำนวนมากมีข้อมูลที่ละเอียดกว่าโคฮอโมโลยีแบบธรรมดา แต่ก็คำนวณได้ยากกว่า

ทฤษฎีโคฮอโมโลยีEเรียกว่าเป็นแบบทวีคูณได้ถ้ามีโครงสร้างเป็นวงแหวนแบบแบ่งระดับสำหรับแต่ละปริภูมิXในภาษาของสเปกตรัม มีแนวคิดที่แม่นยำกว่านั้นเกี่ยวกับสเปกตรัมของวงแหวนเช่นสเปกตรัมของวงแหวนE ซึ่งผลคูณเป็นแบบสลับที่ได้และแบบเชื่อมโยงได้ในความหมายที่เข้มงวด ${\displaystyle E^{*}(X)}$

ทฤษฎีโคฮอโมโลยีในความหมายที่กว้างขึ้น (ค่าคงที่ของโครงสร้างพีชคณิตหรือเรขาคณิตอื่นๆ มากกว่าของปริภูมิเชิงทอพอโลยี) ได้แก่:

• ทฤษฎีโคฮอโมโลยีเชิงซ้อน