ถ้า${\displaystyle \,(M,g)}$เป็นแมนิโฟลด์ลอเรนซ์ (สำหรับเมตริก)${\displaystyle g}$บนท่อร่วม${\displaystyle M}$จากนั้น เวกเตอร์สัมผัสที่ไม่เป็นศูนย์ ณ แต่ละจุดในแมนิโฟลด์สามารถจำแนกออกเป็นสาม ประเภท ที่ไม่ซ้ำกันได้เวกเตอร์สัมผัส${\displaystyle X}$เป็น:

• เหมือนเวลาถ้า${\displaystyle \,g(X,X)<0}$
• ว่างเปล่าหรือเหมือนแสงถ้า${\displaystyle \,g(X,X)=0}$
• เหมือนอวกาศถ้า${\displaystyle \,g(X,X)>0}$

ที่นี่เราใช้${\displaystyle (-,+,+,+,\cdots )}$ลายเซ็นเมตริกเรากล่าวว่าเวกเตอร์สัมผัสไม่ใช่เวกเตอร์เชิงพื้นที่หากมันเป็นเวกเตอร์ศูนย์หรือเวกเตอร์เชิงเวลา

ระนาบโลเรนซ์มาตรฐานคือปริภูมิเวลาของมินคอฟสกีโดยที่${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{4}}$และ${\displaystyle g}$คือเมตริกมินคอฟสกีแบบราบ ชื่อของเวกเตอร์สัมผัสมาจากฟิสิกส์ของแบบจำลองนี้ ความสัมพันธ์เชิงสาเหตุระหว่างจุดในปริภูมิเวลาของมินคอฟสกีมีรูปแบบที่เรียบง่ายเป็นพิเศษ เนื่องจากปริภูมิสัมผัสก็เป็นเช่นกัน${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ดังนั้น เวกเตอร์สัมผัสจึงสามารถระบุได้ว่าเป็นจุดในปริภูมิ เวกเตอร์สี่มิติ${\displaystyle X=(t,r)}$จัดประเภทตามสัญลักษณ์ของ${\displaystyle g(X,X)=-c^{2}t^{2}+\|r\|^{2}}$, ที่ไหน${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{3}}$คือ พิกัด คาร์ทีเซียนในปริภูมิ 3 มิติ${\displaystyle c}$คือค่าคงที่ที่แสดงถึงขีดจำกัดความเร็วสากล และ${\displaystyle t}$คือเวลา การจำแนกเวกเตอร์ใดๆ ในปริภูมิจะเหมือนกันในทุกกรอบอ้างอิงที่สัมพันธ์กันด้วยการแปลงลอเรนซ์ (แต่ไม่ใช่ด้วยการแปลงปวงกาเร ทั่วไป เพราะจุดกำเนิดอาจถูกเลื่อนไป) เนื่องมาจากความไม่แปรเปลี่ยนของเมตริก

ณ จุดแต่ละจุดใน${\displaystyle M}$เวกเตอร์สัมผัสเชิงเวลาในปริภูมิสัมผัส ของจุดนั้น สามารถแบ่งออกได้เป็นสองประเภท ในการทำเช่นนั้น เราต้องกำหนดความสัมพันธ์สมมูลระหว่างคู่ของเวกเตอร์สัมผัสเชิงเวลาเสีย ก่อน

ถ้า${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$เป็นเวกเตอร์สัมผัสเวลาสองตัวที่จุดหนึ่งที่เรากล่าวว่า${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$เทียบเท่ากัน (เขียน)${\displaystyle X\sim Y}$) ถ้า${\displaystyle \,g(X,Y)<0}$.

ดังนั้นจึงมีกลุ่มสมมูล สองกลุ่ม ซึ่งครอบคลุมเวกเตอร์สัมผัสเวลาทั้งหมด ณ จุดนั้น เราสามารถเรียกกลุ่มสมมูลกลุ่มหนึ่งว่ากลุ่มที่ชี้ไปในอนาคตและเรียกอีกกลุ่มหนึ่ง ว่ากลุ่ม ที่ชี้ไปในอดีตได้ (โดยพลการ) ในทางกายภาพ การกำหนดกลุ่มเวกเตอร์เวลาที่ชี้ไปในอนาคตและในอดีตนี้ สอดคล้องกับการเลือกทิศทางของเวลาณ จุดนั้น การกำหนดที่ชี้ไปในอนาคตและในอดีตสามารถขยายไปยังเวกเตอร์ศูนย์ ณ จุดนั้นได้โดยอาศัยความต่อเนื่อง

แมนิโฟลด์ลอเรนซ์สามารถกำหนดทิศทางเวลาได้^{[ 1 ]}หากสามารถกำหนดทิศทางอนาคตและทิศทางอดีตอย่างต่อเนื่องสำหรับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่สเปซไลค์บนแมนิโฟลด์ทั้งหมดได้

เส้นทางใน​${\displaystyle M}$เป็นแผนที่ต่อเนื่อง${\displaystyle \mu$ :\Sigma \to M} โดยที่${\displaystyle \Sigma }$เป็นช่วงที่ไม่เสื่อมสภาพ (กล่าวคือ เซตที่เชื่อมต่อกันซึ่งมีจุดมากกว่าหนึ่งจุด) ใน${\displaystyle \mathbb {R} }$เส้นทางที่ราบรื่น${\displaystyle \mu }$สามารถหาอนุพันธ์ได้จำนวนครั้งที่เหมาะสม (โดยทั่วไป)${\displaystyle C^{\infty }}$และ เส้นทาง ปกติจะมีอนุพันธ์ที่ไม่เป็นศูนย์

เส้นโค้งใน${\displaystyle M}$คือภาพของเส้นทาง หรือที่ถูกต้องกว่านั้นคือ กลุ่มสมมูลของเส้นทางที่สัมพันธ์กันโดยการกำหนดพารามิเตอร์ใหม่ กล่าวคือโฮมีโอเมอร์ฟิซึมหรือดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึมของ${\displaystyle \Sigma }$. เมื่อไร${\displaystyle M}$หากเส้นโค้งสามารถกำหนดทิศทางตามเวลาได้ เส้นโค้งนั้นจะมีทิศทางก็ต่อเมื่อการเปลี่ยนแปลงของพารามิเตอร์จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันโมโนโทนิกที่ เพิ่มขึ้นอย่าง เคร่งครัด

เส้นโค้ง (หรือเส้นทาง) ที่เรียบและสม่ำเสมอใน${\displaystyle M}$สามารถจำแนกประเภทได้ตามเวกเตอร์สัมผัส เส้นโค้งดังกล่าวคือ

• ตามลำดับเวลา (หรือเหมือนเวลา ) หากเวกเตอร์สัมผัสเหมือนเวลา ณ ทุกจุดบนเส้นโค้ง เรียกอีกอย่างว่าเส้นโลก^{[ 2 ]}
• จะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์สัมผัสเป็นศูนย์ที่ทุกจุดบนเส้นโค้ง
• เวกเตอร์สัมผัสจะเป็น แบบสเปซไลค์ (spacelike)หากเวกเตอร์สัมผัสเป็นแบบสเปซไลค์ที่ทุกจุดบนเส้นโค้ง
• เป็นแบบเหตุและผล (หรือไม่เป็นแบบเชิงพื้นที่ ) หากเวกเตอร์สัมผัสเป็นแบบเชิงเวลาหรือเป็นศูนย์ที่ทุกจุดบนเส้นโค้ง

ข้อกำหนดเรื่องความสม่ำเสมอและการไม่เสื่อมถอยของ${\displaystyle \Sigma }$ตรวจสอบให้แน่ใจว่าเส้นโค้งเหตุและผลแบบปิด (เช่น เส้นโค้งที่ประกอบด้วยจุดเดียว) ไม่ได้รับการยอมรับโดยอัตโนมัติในทุกปริภูมิเวลา

หากแมนิโฟลด์สามารถกำหนดทิศทางตามเวลาได้ เส้นโค้งที่ไม่ใช่แบบอวกาศสามารถจำแนกเพิ่มเติมได้โดยขึ้นอยู่กับทิศทางของเส้นโค้งเหล่านั้นเมื่อเทียบกับเวลา

เส้นโค้งตามลำดับเวลา เส้นโค้งว่าง หรือเส้นโค้งเชิงสาเหตุใน${\displaystyle M}$เป็น

• ชี้ไปในอนาคตหากเวกเตอร์สัมผัสทุกจุดบนเส้นโค้งชี้ไปในอนาคต
• ชี้ไปทางอดีตหากเวกเตอร์สัมผัสทุกจุดบนเส้นโค้งชี้ไปทางอดีต

คำจำกัดความเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับเส้นโค้งเชิงสาเหตุ (ตามลำดับเวลาหรือเส้นโค้งศูนย์) เท่านั้น เพราะมีเพียงเวกเตอร์สัมผัสที่มีลักษณะคล้ายเวลาหรือเวกเตอร์สัมผัสศูนย์เท่านั้นที่สามารถกำหนดทิศทางเทียบกับเวลาได้

• เส้นโค้งไทม์ไลค์แบบปิดคือเส้นโค้งปิดที่มีทิศทางไปข้างหน้าทุกจุด (หรือทิศทางไปอดีตทุกจุด)
• เส้นโค้งศูนย์ปิดคือเส้นโค้งปิดที่ชี้ไปในอนาคตทุกจุด (หรือชี้ไปในอดีตทุกจุด)
• ค่าโฮโลโนมีของอัตราส่วนของอัตราการเปลี่ยนแปลงของพารามิเตอร์เชิงเส้นรอบเส้นโค้งจีโอเดสิกศูนย์แบบปิด คือค่าตัวประกอบการเลื่อนไปทางแดง (redshift factor )

มีความสัมพันธ์ เชิงสาเหตุหลายประการ ระหว่างจุดต่างๆ${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$ในท่อร่วม${\displaystyle M}$.

• ${\displaystyle x}$ตามลำดับเวลามาก่อน${\displaystyle y}$(มักจะใช้สัญลักษณ์แทน)${\displaystyle \,x\ll y}$) หากมีเส้นโค้งลำดับเวลา (คล้ายเวลา) ที่มุ่งไปในอนาคตจาก${\displaystyle x}$ถึง${\displaystyle y}$.
• ${\displaystyle x}$เกิดขึ้นก่อนโดยหลักเหตุและผลอย่างเคร่งครัด${\displaystyle y}$(มักจะใช้สัญลักษณ์แทน)${\displaystyle x<y}$) หากมีเส้นโค้งเชิงสาเหตุที่มุ่งไปในอนาคต (ไม่ใช่เส้นโค้งเชิงพื้นที่) จาก${\displaystyle x}$ถึง${\displaystyle y}$.
• ${\displaystyle x}$เกิดขึ้นก่อนในเชิงสาเหตุ${\displaystyle y}$(มักจะใช้สัญลักษณ์แทน)${\displaystyle x\prec y}$หรือ${\displaystyle x\leq y}$) ถ้า${\displaystyle x}$เกิดขึ้นก่อนโดยหลักเหตุและผลอย่างเคร่งครัด${\displaystyle y}$หรือ${\displaystyle x=y}$.
• ${\displaystyle x}$โฮริสมอส${\displaystyle y}$^{[ 3 ]} (มักจะแสดงด้วย${\displaystyle x\to y}$หรือ${\displaystyle x\nearrow y}$) ถ้า${\displaystyle x=y}$หรือมีเส้นโค้งศูนย์ที่มุ่งไปสู่อนาคตจาก${\displaystyle x}$ถึง${\displaystyle y}$^{[ 4 ]} (หรือเทียบเท่า,${\displaystyle x\prec y}$และ${\displaystyle x\not \ll y}$หมายความว่า${\displaystyle x\prec y}$(สิ่งนี้เป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความ) ^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle x\ll y}$,${\displaystyle y\prec z}$หมายความว่า${\displaystyle x\ll z}$^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle x\prec y}$,${\displaystyle y\ll z}$หมายความว่า${\displaystyle x\ll z}$^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle \ll }$,${\displaystyle <}$,${\displaystyle \prec }$เป็น กริยา ที่ต้องการกรรม^{[ 5 ]}${\displaystyle \to }$ไม่ใช่คุณสมบัติถ่ายทอด ความสัมพันธ์เชิงสาเหตุ${\displaystyle \prec }$เป็นการขยายแบบถ่ายทอดที่เล็กที่สุดของความสัมพันธ์โฮริสมอส${\displaystyle \to }$[ ^{6 ]​}
• ${\displaystyle \prec }$,${\displaystyle \to }$สะท้อนกลับ^{[ 4 ]}

เพื่อเป็นประเด็น${\displaystyle x}$ในท่อร่วม${\displaystyle M}$เรากำหนด^{[ 5 ]}

• อนาคตตามลำดับเวลาของ${\displaystyle x}$ซึ่งแสดงด้วย${\displaystyle \,I^{+}(x)}$เนื่องจากเป็นเซตของจุดทั้งหมด${\displaystyle y}$ใน${\displaystyle M}$โดยที่${\displaystyle x}$ตามลำดับเวลามาก่อน${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \,I^{+}(x)=\{y\in M|x\ll y\}}$

• อดีตตามลำดับเวลาของ${\displaystyle x}$ซึ่งแสดงด้วย${\displaystyle \,I^{-}(x)}$เนื่องจากเป็นเซตของจุดทั้งหมด${\displaystyle y}$ใน${\displaystyle M}$โดยที่${\displaystyle y}$ตามลำดับเวลามาก่อน${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \,I^{-}(x)=\{y\in M|y\ll x\}}$

เรากำหนดในทำนองเดียวกัน

• อนาคตเชิงสาเหตุ (หรือเรียกว่าอนาคตสัมบูรณ์ ) ของ${\displaystyle x}$ซึ่งแสดงด้วย${\displaystyle \,J^{+}(x)}$เนื่องจากเป็นเซตของจุดทั้งหมด${\displaystyle y}$ใน${\displaystyle M}$โดยที่${\displaystyle x}$เกิดขึ้นก่อนในเชิงสาเหตุ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \,J^{+}(x)=\{y\in M|x\prec y\}}$

• อดีตเชิงสาเหตุ (หรือเรียกว่าอดีตสัมบูรณ์ ) ของ${\displaystyle x}$ซึ่งแสดงด้วย${\displaystyle \,J^{-}(x)}$เนื่องจากเป็นเซตของจุดทั้งหมด${\displaystyle y}$ใน${\displaystyle M}$โดยที่${\displaystyle y}$เกิดขึ้นก่อนในเชิงสาเหตุ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \,J^{-}(x)=\{y\in M|y\prec x\}}$

• กรวยว่างในอนาคตของ${\displaystyle x}$ในฐานะเซตของจุดทั้งหมด${\displaystyle y}$ใน${\displaystyle M}$โดยที่${\displaystyle x\to y}$.
• กรวยว่างในอดีตของ${\displaystyle x}$ในฐานะเซตของจุดทั้งหมด${\displaystyle y}$ใน${\displaystyle M}$โดยที่${\displaystyle y\to x}$.
• กรวยแสงของ${\displaystyle x}$ในฐานะกรวยว่างแห่งอนาคตและอดีตของ${\displaystyle x}$ด้วยกัน^{[ 7 ]}
• ที่อื่น ๆเป็นจุดที่ไม่อยู่ในกรวยแสง อนาคตเชิงสาเหตุ หรืออดีตเชิงสาเหตุ^{[ 7 ]}

ประเด็นต่างๆ ที่มีอยู่ใน${\displaystyle \,I^{+}(x)}$ตัวอย่างเช่น สามารถเข้าถึงได้จาก${\displaystyle x}$โดยเส้นโค้งเวลาที่มุ่งไปสู่อนาคต จุดนั้น${\displaystyle x}$สามารถเข้าถึงได้ ตัวอย่างเช่น จากจุดต่างๆ ที่อยู่ใน${\displaystyle \,J^{-}(x)}$โดยเส้นโค้งที่ไม่ใช่แบบอวกาศที่มุ่งไปสู่อนาคต

ในปริภูมิเวลาของมินโกวสกี้ชุด${\displaystyle \,I^{+}(x)}$ภายใน ของ กรวยแสงแห่งอนาคตอยู่ที่${\displaystyle x}$ชุด${\displaystyle \,J^{+}(x)}$กรวยแสงแห่งอนาคตทั้งหมดอยู่ที่${\displaystyle x}$รวมถึงตัวกรวยนั้นด้วย

ชุดเหล่านี้${\displaystyle \,I^{+}(x),I^{-}(x),J^{+}(x),J^{-}(x)}$ กำหนดไว้สำหรับทุกคน${\displaystyle x}$ใน${\displaystyle M}$สิ่งเหล่านี้โดยรวมเรียกว่าโครงสร้างเชิงสาเหตุของ${\displaystyle M}$.

สำหรับ${\displaystyle S}$เซตย่อยของ${\displaystyle M}$เรากำหนด^{[ 5 ]}

${\displaystyle I^{\pm }[S]=\bigcup _{x\in S}I^{\pm }(x)}$

${\displaystyle J^{\pm }[S]=\bigcup _{x\in S}J^{\pm }(x)}$

สำหรับ${\displaystyle S,T}$สองกลุ่มย่อยของ${\displaystyle M}$เรากำหนด

• อนาคต ตามลำดับเวลาของ${\displaystyle S}$เมื่อเทียบกับ${\displaystyle T}$,${\displaystyle I^{+}[S;T]}$คืออนาคตตามลำดับเวลาของ${\displaystyle S}$ถือว่าเป็นส่วนย่อยของ${\displaystyle T}$โปรดทราบว่านี่เป็นแนวคิดที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงจาก${\displaystyle I^{+}[S]\cap T}$ซึ่งให้เซตของจุดใน${\displaystyle T}$ซึ่งสามารถเข้าถึงได้โดยเส้นโค้งเวลาที่มุ่งไปในอนาคต โดยเริ่มต้นจาก${\displaystyle S}$ในกรณีแรก เส้นโค้งจะต้องอยู่ใน${\displaystyle T}$ในกรณีที่สอง พวกเขาไม่ได้ทำเช่นนั้น ดูอย่างฮอว์คิงและเอลลิสประกอบ
• อนาคตเชิงสาเหตุของ${\displaystyle S}$เมื่อเทียบกับ${\displaystyle T}$,${\displaystyle J^{+}[S;T]}$คืออนาคตเชิงสาเหตุของ${\displaystyle S}$ถือว่าเป็นส่วนย่อยของ${\displaystyle T}$โปรดทราบว่านี่เป็นแนวคิดที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงจาก${\displaystyle J^{+}[S]\cap T}$ซึ่งให้เซตของจุดใน${\displaystyle T}$ซึ่งสามารถเข้าถึงได้โดยเส้นโค้งเชิงสาเหตุที่มุ่งเน้นอนาคต โดยเริ่มต้นจาก${\displaystyle S}$ในกรณีแรก เส้นโค้งจะต้องอยู่ใน${\displaystyle T}$ในกรณีที่สอง พวกเขาไม่ได้ทำเช่นนั้น ดูอย่างฮอว์คิงและเอลลิสประกอบ
• เซตอนาคตคือเซตที่ปิดภายใต้เงื่อนไขอนาคตตามลำดับเวลา
• เซตในอดีตคือเซตที่ปิดสนิทภายใต้ลำดับเวลาในอดีต
• เซตอดีตที่ไม่สามารถแยกย่อยได้ (IP) คือเซตอดีตที่ไม่ใช่การรวมกันของเซตย่อยอดีตแบบเปิดสองเซตที่แตกต่างกัน
• ทศนิยมตำแหน่งที่ไม่ตรงกับอดีตของจุดใด ๆ${\displaystyle M}$เรียกว่าเซตอดีตที่ไม่สามารถแยกย่อยได้แบบเทอร์มินัล (TIP)
• ชุดอดีตที่ไม่สามารถแยกย่อยได้ที่เหมาะสม (PIP) คือ IP ที่ไม่ใช่ TIP${\displaystyle I^{-}(x)}$เป็นเซตอดีตที่ไม่สามารถแยกย่อยได้อย่างเหมาะสม (PIP)
• โครงการพัฒนาในอนาคตของ คอชี${\displaystyle S}$,${\displaystyle D^{+}(S)}$คือเซตของจุดทั้งหมด${\displaystyle x}$ซึ่งเส้นโค้งเชิงสาเหตุที่ไม่สามารถขยายได้ในอดีตทุกเส้นจะมุ่งตรงผ่าน${\displaystyle x}$ตัดกัน${\displaystyle S}$อย่างน้อยหนึ่งครั้ง ในทำนองเดียวกันสำหรับพัฒนาการของโคชีในอดีต พัฒนาการของโคชีคือการรวมกันของพัฒนาการของโคชีในอนาคตและในอดีต พัฒนาการของโคชีมีความสำคัญต่อการศึกษาเรื่องลัทธิกำหนดนิยม
• เซตย่อย${\displaystyle S\subset M}$เป็นสิ่งที่ไม่เกี่ยวข้องกับเวลาหากไม่มีอยู่จริง${\displaystyle q,r\in S}$โดยที่${\displaystyle r\in I^{+}(q)}$หรือในทำนองเดียวกัน ถ้า${\displaystyle S}$แยกออกจากกัน${\displaystyle I^{+}[S]}$.

• พื้นผิวโคชี (Cauchy surface)คือเซตปิดที่ไม่ขึ้นกับเวลา (achronal set) ซึ่งการพัฒนาแบบโคชี (Cauchy development) คือ${\displaystyle M}$.
• เมตริกจะเรียกว่าเป็นไฮเปอร์โบลิกทั่วโลกหากสามารถแบ่งออกเป็นชั้นๆ ได้ด้วยพื้นผิวโคชี
• เซตที่ละเมิดลำดับเวลาคือเซตของจุดที่เส้นโค้งเวลาปิดผ่านไป
• เซตที่ละเมิดความสัมพันธ์เชิงสาเหตุคือ เซตของจุดที่เส้นโค้งเชิงสาเหตุแบบปิดผ่านไป
• ขอบเขตของเซตที่ละเมิดหลักเหตุและผลคือขอบฟ้าโคชีหากขอบฟ้าโคชีเกิดจากเส้นทางจีโอเดสิกที่เป็นศูนย์แบบปิด ก็จะมี ปัจจัย การเลื่อนไปทางแดงที่เกี่ยวข้องกับแต่ละเส้นทางนั้น
• สำหรับเส้นโค้งเชิงสาเหตุ${\displaystyle \gamma }$เพชรแห่งเหตุและผลคือ${\displaystyle J^{+}(\gamma (t_{1}))\cap J^{-}(\gamma (t_{2}))}$(ในที่นี้เราใช้ความหมายที่กว้างกว่าของคำว่า 'เส้นโค้ง' ซึ่งหมายถึงเพียงชุดของจุด) โดยที่จุดนั้นคือ${\displaystyle \gamma (t_{1})}$ในอดีตเชิงสาเหตุของ${\displaystyle \gamma (t_{2})}$กล่าวโดยสรุป: เพชรแห่งเหตุและผลของเส้นทางโลกของอนุภาค${\displaystyle \gamma }$คือเซตของเหตุการณ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้นในอดีตหรือ ณ จุดใดจุดหนึ่งในปัจจุบัน${\displaystyle \gamma }$และอนาคตของจุดใดจุดหนึ่งใน${\displaystyle \gamma }$ในเวอร์ชันแบบไม่ต่อเนื่อง รูปเพชรเชิงสาเหตุคือเซตของเส้นทางเชิงสาเหตุทั้งหมดที่เชื่อมต่อกัน${\displaystyle \gamma (t_{2})}$จาก${\displaystyle \gamma (t_{1})}$.

ดู Penrose (1972), หน้า 13

• จุดหนึ่ง${\displaystyle x}$อยู่ใน${\displaystyle \,I^{-}(y)}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle y}$อยู่ใน${\displaystyle \,I^{+}(x)}$.
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{-}(x)\subset I^{-}(y)}$
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{+}(y)\subset I^{+}(x)}$
• ${\displaystyle I^{+}[S]=I^{+}[I^{+}[S]]\subset J^{+}[S]=J^{+}[J^{+}[S]]}$
• ${\displaystyle I^{-}[S]=I^{-}[I^{-}[S]]\subset J^{-}[S]=J^{-}[J^{-}[S]]}$
• เส้นโฮริสมอสถูกสร้างขึ้นโดยความสอดคล้องของเส้นจีโอเดสิกที่เป็นศูนย์

คุณสมบัติ เชิงทอพอโลยี :

• ${\displaystyle I^{\pm }(x)}$เปิดให้บริการสำหรับทุกจุด${\displaystyle x}$ใน${\displaystyle M}$.
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]}$เปิดรับสำหรับทุกกลุ่มย่อย${\displaystyle S\subset M}$.
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]=I^{\pm }[{\overline {S}}]}$สำหรับชุดย่อยทั้งหมด${\displaystyle S\subset M}$. ที่นี่${\displaystyle {\overline {S}}}$คือการปิดของเซตย่อย${\displaystyle S}$.
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]\subset {\overline {J^{\pm }[S]}}}$