ทฤษฎีเชิร์น-ไซมอนส์ เป็น ทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงทอพอโลยี 3 มิติแบบชวาร์ซค้นพบครั้งแรกโดยนักฟิสิกส์คณิตศาสตร์อัลเบิร์ต ชวาร์ซตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชิง-เชน เชิร์นและเจมส์ แฮร์ริส ไซมอนส์ผู้แนะนำฟอร์ม 3 มิติของเชิร์น-ไซมอนส์ในทฤษฎีเชิร์น-ไซมอนส์แอคชั่นจะเป็นสัดส่วนกับปริพันธ์ของฟอร์ม 3 มิติของเชิร์น-ไซมอนส์

ในฟิสิกส์สสารควบแน่นทฤษฎี Chern–Simons อธิบายเฟอร์มิออนแบบผสมและลำดับโทโพโลยีใน สถานะ ผลกระทบควอนตัมฮอลล์เศษส่วนในทางคณิตศาสตร์ มีการใช้ทฤษฎีนี้ในการคำนวณค่าคงที่ของปมและ ค่าคงที่ ของสามมิติเช่นพหุนาม Jones ^{[ 1 ]}

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีเชิร์น-ไซมอนส์ถูกกำหนดโดยการเลือกกลุ่มลี ง่ายๆ G ที่เรียกว่ากลุ่มเกจของทฤษฎี และจำนวนที่เรียกว่าระดับของทฤษฎี ซึ่งเป็นค่าคงที่ที่คูณกับแอคชั่น แอคชั่นนั้นขึ้นอยู่กับเกจ อย่างไรก็ตามฟังก์ชันพาร์ติชันของทฤษฎีควอนตัมนั้น ถูก กำหนดไว้อย่างดีเมื่อระดับเป็นจำนวนเต็ม และความแรงของสนาม เกจเป็นศูนย์ที่ ขอบเขตทั้งหมดของปริภูมิเวลา 3 มิติ

นอกจากนี้ยังเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์หลักในแบบจำลองเชิงทฤษฎีสำหรับคอมพิวเตอร์ควอนตัมเชิงทอพอโลยี (TQC) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎี Chern–Simons SU(2) อธิบาย แบบจำลอง anyonic ที่ ไม่เชิงอะเบเลียนที่ง่ายที่สุด ของ TQC ซึ่งก็คือแบบจำลอง Yang–Lee–Fibonacci ^{[ 2 ] [ 3 ]}

พลวัตของทฤษฎี Chern–Simons บนขอบเขต 2 มิติของ 3-manifold เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับกฎการหลอมรวมและบล็อกคอนฟอร์มอลในทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอลและโดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎี WZW ^{[ 1 ] [ 4 ]}

ในช่วงทศวรรษ 1940 SS ChernและA. Weilได้ศึกษาคุณสมบัติความโค้งทั่วโลกของแมนิโฟลด์เรียบMในฐานะโคฮอโมโลยีเดอแรม ( ทฤษฎี Chern–Weil ) ซึ่งเป็นขั้นตอนสำคัญในทฤษฎีของชั้นลักษณะเฉพาะในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เมื่อกำหนดบันเดิล หลัก GแบบแบนPบนMจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว เรียกว่าโฮโมมอร์ฟิซึม Chern–Weilจากพีชคณิตของพหุนามไม่แปรเปลี่ยนG -adjoint จาก g (พีชคณิต Lie ของG ) ไปยังโคฮอโมโลยีถ้าพหุนามไม่แปรเปลี่ยนนั้นเป็นเอกพันธุ์ เราสามารถเขียนk-ฟอร์มใดๆ ของการเชื่อมต่อแบบปิดω ได้อย่างเป็นรูปธรรม ใน รูปของ 2k- ฟอร์ม บางอย่างของรูปแบบความโค้งที่เกี่ยวข้อง Ω ของω${\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {R} )}$

ในปี พ.ศ. 2517 SS Chern และJH Simonsได้สร้างรูปแบบ (2 k  − 1) df ( ω ) ขึ้นมาอย่างเป็นรูปธรรม โดยที่

${\displaystyle dTf(\omega )=f(\Omega ^{k}),}$

โดยที่Tคือโฮโมมอร์ฟิซึมของ Chern–Weil รูปแบบนี้เรียกว่ารูปแบบ Chern–Simonsถ้าdf ( ω ) ปิด เราสามารถอินทิเกรตสูตรข้างต้นได้

${\displaystyle Tf(\omega )=\int _{C}f(\Omega ^{k}),}$

โดยที่Cคือวัฏจักรที่มีมิติ ( 2k  − 1) บนMค่าคงที่นี้เรียกว่าค่าคงที่เชิร์น-ไซมอนส์ดังที่ได้กล่าวไว้ในบทนำของบทความเชิร์น-ไซมอนส์ ค่าคงที่เชิร์น-ไซมอนส์ CS( M ) คือพจน์ขอบเขตที่ไม่สามารถกำหนดได้ด้วยสูตรเชิงการจัดเรียงแบบบริสุทธิ์ใดๆ นอกจากนี้ยังสามารถนิยามได้ดังนี้

${\displaystyle \operatorname {CS} (M)=\int _{s(M)}{\tfrac {1}{2}}Tp_{1}\in \mathbb {R} /\mathbb {Z} ,}$

โดยที่คือจำนวน Pontryagin ตัวแรก และs ( M ) คือส่วนของมัดตั้งฉากปกติPยิ่งไปกว่านั้น เทอม Chern–Simons ถูกอธิบายว่าเป็นค่าคงที่ etaที่กำหนดโดย Atiyah, Patodi และ Singer ${\displaystyle p_{1}}$

ความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้เกจและความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้เมตริกสามารถมองได้ว่าเป็นความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การกระทำของกลุ่มลีแบบผกผันในทฤษฎีเชิร์น-ไวล์ อินทิกรัล การกระทำ ( อิน ทิกรัลเส้นทาง ) ของทฤษฎีสนามในฟิสิกส์ถูกมองว่าเป็น อิน ทิกรัลลากรางจ์ของรูปแบบเชิร์น-ไซมอนส์และลูปวิลสัน ซึ่งเป็นโฮโลโนมีของเวกเตอร์บันเดิลบนMสิ่งเหล่านี้อธิบายว่าทำไมทฤษฎีเชิร์น-ไซมอนส์จึงมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีสนามเชิงทอพอ โล ยี

ทฤษฎี Chern–Simons สามารถนิยามได้บนแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี 3 มิติ M ใดๆ ก็ได้ไม่ ว่าจะมีขอบเขตหรือไม่ก็ตาม เนื่องจากทฤษฎีเหล่านี้เป็นทฤษฎีเชิงทอพอโลยีแบบ Schwarz จึงไม่จำเป็นต้องมีการแนะนำเมตริก ใดๆ บน M

ทฤษฎี Chern–Simons เป็นทฤษฎีเกจซึ่งหมายความว่า การกำหนดค่า แบบคลาสสิกในทฤษฎี Chern–Simons บนMที่มีกลุ่มเกจGนั้น อธิบายได้ด้วยบันเดิลหลักGบนMการเชื่อมต่อของบันเดิลนี้มีลักษณะเฉพาะด้วยฟอร์มหนึ่งการเชื่อมต่อAซึ่งมีค่าอยู่ในพีชคณิต Lie gของกลุ่ม Lie Gโดยทั่วไป การเชื่อมต่อAจะถูกกำหนดเฉพาะบนแพ็กพิกัด แต่ละส่วนเท่านั้น และค่าของAบนแพ็กที่แตกต่างกันนั้นมีความสัมพันธ์กันด้วยแผนที่ที่เรียกว่าการแปลงเกจ การแปลงเหล่านี้มีลักษณะเฉพาะด้วยข้อ assertion ที่ว่าอนุพันธ์ร่วมแปรซึ่งเป็นผลรวมของตัวดำเนินการอนุพันธ์ภายนอกdและการเชื่อมต่อAนั้น แปลงสภาพในตัวแทนผกผันของกลุ่มเกจGกำลังสองของอนุพันธ์ร่วมแปรกับตัวเองสามารถตีความได้ว่าเป็นฟอร์ม 2 ค่าg Fที่เรียกว่าฟอร์มความโค้งหรือความแรงของสนามมันยังแปลงสภาพในตัวแทนผกผันด้วย

การกระทำSของทฤษฎี Chern–Simons เป็นสัดส่วนกับปริพันธ์ของChern–Simons 3-ฟอร์ม

${\displaystyle S={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}{\text{tr}}\,(A\wedge dA+{\tfrac {2}{3}}A\wedge A\wedge A).}$

ค่าคงที่kเรียกว่าระดับของทฤษฎี ฟิสิกส์คลาสสิกของทฤษฎีเชิร์น-ไซมอนส์ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกค่าระดับ k

ในทางคลาสสิก ระบบนี้มีลักษณะเฉพาะด้วยสมการการเคลื่อนที่ ซึ่งเป็นค่าสุดขีดของการกระทำเมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของสนามAในแง่ของความโค้งของสนาม

${\displaystyle F=dA+A\wedge A\,}$

สมการสนามนั้นระบุไว้อย่างชัดเจน

${\displaystyle 0={\frac {\delta S}{\delta A}}={\frac {k}{2\pi }}F.}$

ดังนั้น สมการการเคลื่อนที่แบบคลาสสิกจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อความโค้งเป็นศูนย์ทุกที่ ซึ่งในกรณีนี้เรียกว่าการเชื่อมต่อแบบราบ (flat connection ) ดังนั้น ผลเฉลยแบบคลาสสิกของ ทฤษฎี G Chern–Simons จึงเป็นการเชื่อมต่อแบบราบของ กลุ่ม G หลัก บนMการเชื่อมต่อแบบราบถูกกำหนดโดยสมบูรณ์โดยโฮโลโนมีรอบวัฏจักรที่ไม่สามารถหดตัวได้บนฐานMกล่าวคือ การเชื่อมต่อแบบราบมีความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับชั้นสมมูลของโฮโมมอร์ฟิซึมจากกลุ่มพื้นฐานของMไปยังกลุ่มเกจGจนถึงการผันแปร

ถ้าMมีขอบเขตNแล้วจะมีข้อมูลเพิ่มเติมที่อธิบายถึงทางเลือกของการทำให้กลุ่มหลักGบนN เป็นเรื่องง่าย ทางเลือกดังกล่าวจะกำหนดลักษณะของแผนที่จากNไปยังGพลวัตของแผนที่นี้อธิบายได้ด้วย แบบจำลอง Wess–Zumino–Witten (WZW) บนNที่ ระดับk

ในการหาค่าควอนตัมแบบแคนอนิกของทฤษฎีเชิร์น-ไซมอนส์นั้น จำเป็นต้องกำหนดสถานะบนพื้นผิว 2 มิติ Σ แต่ละพื้นผิวใน M เช่นเดียวกับในทฤษฎีสนามควอนตัมใดๆ สถานะเหล่านี้จะสอดคล้องกับรังสีในปริภูมิฮิลเบิร์ตไม่มีแนวคิดเรื่องเวลาที่เฉพาะเจาะจงในทฤษฎีสนามเชิงทอพอโลยีแบบชวาร์ซ ดังนั้นจึงสามารถกำหนดให้ Σ เป็นพื้นผิวโคชีได้อันที่จริงแล้ว สามารถกำหนดสถานะบนพื้นผิวใดก็ได้

Σ มีมิติร่วมเท่ากับหนึ่ง ดังนั้นจึงสามารถตัด M ตามแนว Σ ได้ หลังจากการตัดดังกล่าว M จะเป็นแมนิโฟลด์ที่มีขอบเขต และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทางคลาสสิก พลวัตของ Σ จะถูกอธิบายโดยแบบจำลอง WZW วิทเทนได้แสดงให้เห็นว่าความสอดคล้องนี้ยังคงใช้ได้แม้ในทางกลศาสตร์ควอนตัม กล่าวคือ เขาได้แสดงให้เห็นว่าปริภูมิฮิลเบิร์ตของสถานะมีมิติจำกัดเสมอ และสามารถระบุได้อย่างเป็นไปตามหลักการกับปริภูมิของบล็อกคอนฟอร์มอลของแบบจำลอง G WZW ที่ระดับ k

ตัวอย่างเช่น เมื่อ Σ เป็นทรงกลม 2 มิติ ปริภูมิฮิลเบิร์ตนี้จะมีมิติเดียว ดังนั้นจึงมีสถานะเพียงสถานะเดียว เมื่อ Σ เป็นทอรัส 2 มิติ สถานะต่างๆ จะสอดคล้องกับการแสดง แทนแบบอินทิกรัล ของพีชคณิตลีเชิงเส้น ตรง ที่สอดคล้องกับ g ที่ระดับ k การกำหนดลักษณะเฉพาะของบล็อกคอนฟอร์มอลในจีนาที่สูงกว่านั้นไม่จำเป็นสำหรับวิธีแก้ปัญหาของวิทเทนในทฤษฎีเชิร์น-ไซมอนส์

ปริมาณที่สังเกตได้ในทฤษฎี Chern–Simons คือฟังก์ชันสหสัมพันธ์nจุดของตัวดำเนินการที่ไม่ขึ้นกับเกจ กลุ่มของตัวดำเนินการที่ไม่ขึ้นกับเกจที่ได้รับการศึกษาบ่อยที่สุดคือWilson loop Wilson loop คือโฮโลโนมีรอบลูปในMซึ่งถูกติดตามในตัวแทนR ที่กำหนด ของGเนื่องจากเราสนใจผลคูณของ Wilson loop โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เราอาจจำกัดความสนใจของเราไว้ที่ตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ R

กล่าวโดยละเอียดแล้ว เมื่อกำหนดการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้RและวงวนKในMเราสามารถกำหนดวงวนวิลสันได้โดย ${\displaystyle W_{R}(K)}$

${\displaystyle W_{R}(K)=\operatorname {Tr} _{R}\,{\mathcal {P}}\exp \left(i\oint _{K}A\right)}$

โดยที่Aคือ 1-ฟอร์มการเชื่อมต่อ และเราใช้ค่าหลักของโคชีของอินทิกรัลเส้นโค้งและคือเลขชี้กำลัง เรียงลำดับตามเส้นทาง${\displaystyle {\mathcal {P}}\exp }$

พิจารณาลิงก์LในMซึ่งเป็นชุดของ วงวนที่ไม่ซ้ำกัน ℓวง ตัวแปรที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือ ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ ℓจุด ซึ่งเกิดจากผลคูณของวงวนวิลสันรอบวงวนที่ไม่ซ้ำกันแต่ละวง โดยแต่ละวงวนถูกลากเส้นในรูปแบบพื้นฐานของGเราสามารถสร้างฟังก์ชันสหสัมพันธ์แบบนอร์มาไลซ์ได้โดยการหารตัวแปรนี้ด้วยฟังก์ชันพาร์ติชันZ ( M ) ซึ่งก็คือฟังก์ชันสหสัมพันธ์ 0 จุดนั่นเอง

ในกรณีพิเศษที่ M คือทรงกลม 3 มิติ วิทเทนได้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันสหสัมพันธ์แบบนอร์มาไลซ์เหล่านี้เป็นสัดส่วนกับพหุนามปม ที่ทราบแล้ว ตัวอย่างเช่น ใน ทฤษฎีเชอร์น-ไซมอนส์ G  =  U ( N ) ที่ระดับkฟังก์ชันสหสัมพันธ์แบบนอร์มาไลซ์นั้น มีค่าเท่ากับ (โดยไม่รวมเฟส)

${\displaystyle {\frac {\sin(\pi /(k+N))}{\sin(\pi N/(k+N))}}}$

คูณด้วยพหุนาม HOMFLYโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อN  = 2 พหุนาม HOMFLY จะลดรูปเป็นพหุนาม Jonesในกรณี SO( N ) จะพบการแสดงออกที่คล้ายกันกับ พหุ นาม Kauffman

ความกำกวมของเฟสสะท้อนให้เห็นถึงข้อเท็จจริงที่ว่า ดังที่วิทเทนได้แสดงให้เห็นแล้ว ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ควอนตัมไม่ได้ถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยข้อมูลแบบคลาสสิกจำนวนการเชื่อมโยงของวงรอบกับตัวเองเข้ามาเกี่ยวข้องในการคำนวณฟังก์ชันพาร์ติชัน แต่จำนวนนี้ไม่คงที่ภายใต้การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ไม่ใช่ค่าคงที่ทางโทโพโลยี จำนวนนี้สามารถทำให้ชัดเจนได้หากเลือกกรอบสำหรับแต่ละวงรอบ ซึ่งเป็นการเลือกเวกเตอร์ปกติ ที่ไม่เป็นศูนย์ที่ต้องการ ณ แต่ละจุดที่ใช้ในการเปลี่ยนรูปของวงรอบเพื่อคำนวณจำนวนการเชื่อมโยงกับตัวเอง ขั้นตอนนี้เป็นตัวอย่างของ ขั้นตอน การทำให้เป็นระเบียบโดยการแยกจุด ซึ่งนำเสนอโดยพอล ดิแรกและรูดอล์ฟ ไพเออร์ลส์เพื่อกำหนดปริมาณที่ดูเหมือนจะล diverges ในทฤษฎีสนามควอนตัมในปี 1934

เซอร์ไมเคิล อะติยาห์ได้แสดงให้เห็นว่ามีทางเลือกมาตรฐานของการจัดเฟรม 2 เฟรม^{[ 5 ]}ซึ่งโดยทั่วไปใช้ในวรรณกรรมในปัจจุบันและนำไปสู่จำนวนการเชื่อมโยงที่กำหนดไว้อย่างดี ด้วยการจัดเฟรมมาตรฐาน เฟสข้างต้นจะเป็นเลขชี้กำลังของ 2π i /( k  +  N ) คูณด้วยจำนวนการเชื่อมโยงของLกับตัวมันเอง

โจทย์ (การขยายพหุนามโจนส์ไปยังแมนิโฟลด์ 3 มิติโดยทั่วไป)

"พหุนามโจนส์ดั้งเดิมถูกกำหนดขึ้นสำหรับลิงก์ 1 ตัวในทรงกลม 3 มิติ (ลูกบอล 3 มิติ หรือปริภูมิ 3 มิติ R3) คุณสามารถกำหนดพหุนามโจนส์สำหรับลิงก์ 1 ตัวในแมนิโฟลด์ 3 มิติใดๆ ได้หรือไม่"

ดูส่วนที่ 1.1 ของเอกสารนี้^{[ 6 ]}สำหรับข้อมูลพื้นฐานและประวัติของปัญหานี้ Kauffman ได้เสนอวิธีแก้ปัญหาในกรณีของแมนิโฟลด์ผลคูณของพื้นผิวปิดที่มีทิศทางและช่วงปิด โดยการแนะนำปมเสมือน 1 ปม^{[ 7 ]}ปัญหานี้ยังคงเปิดอยู่ในกรณีอื่นๆ ปริพันธ์เส้นทางของ Witten สำหรับพหุนาม Jones ถูกเขียนขึ้นสำหรับลิงก์ในแมนิโฟลด์ 3 มิติแบบกะทัดรัดใดๆ อย่างเป็นทางการ แต่การคำนวณยังไม่ได้ทำแม้ในระดับฟิสิกส์ในกรณีใดๆ นอกเหนือจากทรงกลม 3 มิติ (ลูกบอล 3 มิติ พื้นที่ 3 มิติR ³ ) ปัญหานี้ยังคงเปิดอยู่ในระดับฟิสิกส์เช่นกัน ในกรณีของพหุนาม Alexander ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขแล้ว

ในบริบทของทฤษฎีสตริง ทฤษฎี Chern–Simons U ( N )บน 3-submanifold M ที่มีทิศทางของ Lagrangian บน 6-manifold Xเกิดขึ้นเป็นทฤษฎีสนามสตริงของสตริงเปิดที่สิ้นสุดบนD-braneที่ห่อหุ้มXในทฤษฎีสตริงเชิงทอพอโลยีแบบ A บน Xส่วน ทฤษฎีสนามสตริงเปิดเชิงทอพอโลยี แบบ Bบนปริมาตรโลกที่เติมเต็มพื้นที่ของกอง D5-brane เป็นรูปแบบ 6 มิติของทฤษฎี Chern–Simons ที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎี Chern–Simons แบบโฮโลมอร์ฟิก

ทฤษฎี Chern–Simons เกี่ยวข้องกับทฤษฎีสนามอื่นๆ อีกมากมาย ตัวอย่างเช่น หากพิจารณาทฤษฎี Chern–Simons ที่มีกลุ่มเกจ G บนแมนิโฟลด์ที่มีขอบเขตแล้ว ระดับความเป็นอิสระที่แพร่กระจายใน 3 มิติทั้งหมดอาจถูกกำจัดออกไปโดยเกจ เหลือเพียงทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอลสองมิติที่เรียกว่าแบบจำลอง G Wess–Zumino–Wittenบนขอบเขต นอกจากนี้ ทฤษฎี Chern–Simons U ( N ) และ SO( N ) ที่N มีค่ามาก ยังสามารถประมาณค่าได้ดีด้วยแบบจำลองเมทริกซ์

ในปี 1982 S. Deser , R. Jackiwและ S. Templeton ได้เสนอทฤษฎีแรงโน้มถ่วง Chern–Simons ในสามมิติ ซึ่ง เป็นการปรับเปลี่ยนสม การการกระทำของ Einstein–Hilbertในทฤษฎีแรงโน้มถ่วงโดยการเพิ่มพจน์ Chern–Simons เข้าไป ( Deser, Jackiw & Templeton (1982) )

ในปี 2003 R. Jackiw และ SY Pi ได้ขยายทฤษฎีนี้ไปสู่มิติที่สี่ ( Jackiw & Pi (2003) ) และทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของ Chern–Simons มีผลกระทบอย่างมากไม่เพียงแต่ต่อฟิสิกส์พื้นฐานเท่านั้น แต่ยังรวมถึงทฤษฎีสสารควบแน่นและดาราศาสตร์ด้วย

กรณีสี่มิติมีความคล้ายคลึงกับกรณีสามมิติมาก ในสามมิติ เทอม Chern–Simons ของแรงโน้มถ่วงคือ

${\displaystyle \operatorname {CS} (\Gamma )={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int d^{3}x\varepsilon ^{ijk}{\biggl (}\Gamma _{iq}^{p}\partial _{j}\Gamma _{kp}^{q}+{\frac {2}{3}}\Gamma _{iq}^{p}\Gamma _{jr}^{q}\Gamma _{kp}^{r}{\biggr )}.}$

การเปลี่ยนแปลงนี้ทำให้ได้ผ้าฝ้ายเทนเซอร์

${\displaystyle =-{\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}{\bigl (}\varepsilon ^{mij}D_{i}R_{j}^{n}+\varepsilon ^{nij}D_{i}R_{j}^{m})}$

จากนั้น จะทำการปรับเปลี่ยนแรงโน้มถ่วงสามมิติแบบ Chern–Simons โดยการเพิ่มเทนเซอร์ Cotton ข้างต้นเข้าไปในสมการสนาม ซึ่งสามารถหาได้จากผลเฉลยสุญญากาศโดยการเปลี่ยนแปลงแอคชั่นของ Einstein–Hilbert

ในปี 2013 Kenneth A. Intriligator และNathan Seibergได้แก้ปัญหาทฤษฎีเกจ Chern–Simons 3 มิติและเฟสต่างๆ โดยใช้โมโนโพลที่มีระดับความเป็นอิสระเพิ่มเติมดัชนี Wittenของสุญญากาศ จำนวนมาก ที่ค้นพบนั้นคำนวณได้โดยการบีอัดพื้นที่โดยการเปิดใช้งานพารามิเตอร์มวลแล้วคำนวณดัชนี ในสุญญากาศบางแห่ง พบว่า สมมาตร ยิ่งยวดถูกทำลาย โมโนโพลเหล่านี้มีความเกี่ยวข้องกับกระแสน้ำวนของสสารควบแน่น ( Intriligator & Seiberg (2013) )

ทฤษฎี ส  สาร Chern–Simons N = 6 เป็นคู่โฮโลแกรมของทฤษฎี M บน ${\displaystyle AdS_{4}\times S_{7}}$

ในปี 2013 เควิน คอสเตลโลได้กำหนดทฤษฎีที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดซึ่งกำหนดไว้บนแมนิโฟลด์สี่มิติที่ประกอบด้วยผลคูณของ 'ระนาบโทโพโลยี' สองมิติและเส้นโค้งเชิงซ้อนสองมิติ (หรือหนึ่งมิติเชิงซ้อน) ^{[ 8 ]}ต่อมาเขาได้ศึกษาทฤษฎีนี้อย่างละเอียดมากขึ้นร่วมกับวิทเทนและมาซาฮิโตะ ยามาซากิ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}โดยแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีเกจสามารถเชื่อมโยงกับแนวคิดหลายอย่างใน ทฤษฎี ระบบที่สามารถบูรณาการได้รวมถึงแบบจำลองแลตติซที่แก้ได้อย่างแม่นยำ (เช่นแบบจำลองหกจุดยอดหรือโซ่สปิน XXZ ) ทฤษฎีสนามควอนตัมที่สามารถบูรณาการได้ (เช่นแบบจำลอง Gross–Neveu แบบจำลองไครัลหลักและแบบจำลองซิกมาโคเซตพื้นที่สมมาตร) สมการ Yang–Baxterและกลุ่มควอนตัมเช่นYangianซึ่งอธิบายสมมาตรที่รองรับความสามารถในการบูรณาการของระบบดังกล่าว

การกระทำบน 4-แมนิโฟลด์โดยที่ เป็นแมนิโฟ ล ด์สองมิติ และเป็นเส้นโค้งเชิงซ้อน คือ โดยที่เป็นเมโรเมอร์ฟิกวันฟอร์มบน${\displaystyle M=\Sigma \times C}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle C}$$${\displaystyle S=\int _{M}\omega \wedge CS(A)}$$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle C}$

เทอม Chern–Simons สามารถเพิ่มเข้าไปในแบบจำลองที่ไม่ใช่ทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงทอพอโลยีได้เช่นกัน ใน 3 มิติ สิ่งนี้จะทำให้เกิดโฟตอน ที่มีมวล หากเทอมนี้ถูกเพิ่มเข้าไปในแอคชั่นของทฤษฎีอิเล็กโทร ไดนามิกส์ของแม็กซ์ เวลล์ เทอมนี้สามารถเหนี่ยวนำได้โดยการอินทิเกรตเหนือสนาม Dirac ที่มีประจุที่มีมวล นอกจากนี้ยังปรากฏในปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์ด้วย การเพิ่มเทอม Chern–Simons เข้าไปในทฤษฎีต่างๆ ทำให้เกิดโซลูชันประเภทกระแสน้ำวนหรือโซลิตอน^{[ 12 ] [ 13 ]} การขยายเทอม Chern–Simons ในมิติสิบและสิบเอ็ดปรากฏในแอคชั่นของ ทฤษฎี ซูเปอร์กราวิตี้ในมิติสิบและสิบเอ็ดทั้งหมด

โดยทั่วไปแล้ว หากเพิ่มสสารเข้าไปในทฤษฎีเกจ Chern–Simons ทฤษฎีนั้นจะไม่เป็นทฤษฎีเชิงทอพอโลยีอีกต่อไป อย่างไรก็ตาม หากเพิ่มเฟอร์มิออน Majorana จำนวน n ตัวเข้าไป เนื่องจากความผิดปกติของพาริตี เมื่อทำการอินทิเกรตแล้ว จะได้ทฤษฎี Chern–Simons ที่บริสุทธิ์ พร้อมกับการปรับค่าระดับ Chern–Simons ใหม่แบบหนึ่งลูปด้วยค่า−n /2 กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ทฤษฎีระดับ k ที่มีเฟอร์มิออน nตัว เทียบเท่ากับทฤษฎีระดับk  −n  /2 ที่ไม่มีเฟอร์มิออน

• ทฤษฎีเกจ (คณิตศาสตร์)
• รูปแบบเชิร์น-ไซมอนส์
• ทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงทอพอโลยี
• พหุนามอเล็กซานเดอร์
• พหุนามโจนส์
• แรงโน้มถ่วงเชิงทอพอโลยี 2+1 มิติ
• สกายร์มิออน
• ทฤษฎี ∞-เชิร์น-ไซมอนส์

• "ฟังก์ชัน Chern-Simons"สารานุกรมคณิตศาสตร์สำนักพิมพ์ EMS 2001 [1994]