ในทางคณิตศาสตร์วงแหวนเชิงทอพอโลยีคือวงแหวน${\displaystyle R}$ซึ่งเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีเช่นกัน โดยที่ทั้งการบวกและการคูณมีความต่อเนื่องในฐานะแผนที่^{[ 1 ]}${\displaystyle R\times R\to R}$ที่ไหน${\displaystyle R\times R}$แสดงถึงโครงสร้างผลิตภัณฑ์ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle R}$เป็นกลุ่มทอพอโลยี แบบบวก และเซมิกรุปทอพอโลยีแบบ คูณ

วงแหวนเชิงทอพอโลยีมีความสัมพันธ์พื้นฐานกับฟิลด์เชิงทอพอโลยีและเกิดขึ้นตามธรรมชาติในขณะที่ศึกษาฟิลด์เหล่านั้น เนื่องจากตัวอย่างเช่น การเติมเต็มของฟิลด์เชิงทอพอโลยีอาจเป็นวงแหวนเชิงทอพอโลยีซึ่งไม่ใช่ฟิลด์^{[ 2 ]}

กลุ่มหน่วย${\displaystyle R^{\times }}$ของวงแหวนเชิงทอพอโลยี${\displaystyle R}$เป็นกลุ่มเชิงทอพอโลยีเมื่อได้รับทอพอโลยีที่ได้มาจากการฝังตัวของ${\displaystyle R^{\times }}$เข้าสู่ผลิตภัณฑ์${\displaystyle R\times R}$เช่น${\displaystyle \left(x,x^{-1}\right).}$อย่างไรก็ตาม หากกลุ่มหน่วยนั้นมีโทโพโลยีของปริภูมิ ย่อย เป็นปริภูมิย่อยของ${\displaystyle R,}$มันอาจไม่ใช่กลุ่มทางทอพอโลยี เพราะการผกผันบน${\displaystyle R^{\times }}$ไม่จำเป็นต้องต่อเนื่องเมื่อเทียบกับโทโพโลยีของปริภูมิย่อย ตัวอย่างของสถานการณ์นี้คือวงแหวนอะเดลของฟิลด์ทั่วโลกกลุ่มหน่วยของมัน ซึ่งเรียกว่ากลุ่มไอเดลไม่ใช่กลุ่มโทโพโลยีในโทโพโลยีของปริภูมิย่อย ถ้าการผกผันบน${\displaystyle R^{\times }}$มีความต่อเนื่องในโทโพโลยีของปริภูมิย่อยของ${\displaystyle R}$จากนั้นโทโพโลยีทั้งสองนี้บน${\displaystyle R^{\times }}$เหมือนกัน

ถ้าหากไม่ต้องการให้วงแหวนมีหน่วย ก็จำเป็นต้องเพิ่มเงื่อนไขความต่อเนื่องของตัวผกผันการบวก หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ กำหนดวงแหวนเชิงทอพอโลยีให้เป็นวงแหวนที่เป็นกลุ่มเชิงทอพอโลยี (โดยสัมพันธ์กับการบวก) ซึ่งการคูณก็มีความต่อเนื่องด้วยเช่นกัน

วงแหวนเชิงทอพอโลยีปรากฏในคณิตศาสตร์วิเคราะห์ ตัวอย่างเช่น ในรูปของวงแหวนของ ฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องบนปริภูมิเชิงทอพอโลยีบางอย่าง (โดยที่ทอพอโลยีถูกกำหนดโดยการลู่เข้าแบบจุดต่อจุด) หรือในรูปของวงแหวนของตัวดำเนินการเชิงเส้น ต่อเนื่อง บนปริภูมิเวกเตอร์แบบมีบรรทัดฐาน บางอย่าง พีชคณิตบานาคทั้งหมดเป็นวงแหวนเชิงทอพอโลยีจำนวนตรรกยะจำนวนจริงจำนวนเชิงซ้อนและ${\displaystyle p}$จำนวนเชิงอะ ดิก (-adic numbers) ยังเป็นวงแหวนเชิงทอพอโลยี (หรือแม้แต่ฟิลด์เชิงทอพอโลยี ดูด้านล่าง) ที่มีทอพอโลยีมาตรฐานของมัน ในระนาบจำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วน (split-complex numbers)และจำนวนคู่ (dual numbers)ก่อให้เกิดวงแหวนเชิงทอพอโลยีทางเลือก ดูจำนวนเชิงซ้อนไฮเปอร์ (hypercomplex numbers)สำหรับตัวอย่างมิติที่ต่ำกว่าอื่นๆ

ในพีชคณิตเชิงสลับที่การสร้างต่อไปนี้เป็นเรื่องปกติ: เมื่อกำหนดไอเดียลมา ให้${\displaystyle I}$ในวงแหวนสลับที่ได้${\displaystyle R,}$โท โพโลยี I -adicบน${\displaystyle R}$นิยามไว้ดังนี้: เซตย่อย${\displaystyle U}$ของ${\displaystyle R}$เปิดได้ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกๆ${\displaystyle x\in U}$มีจำนวนธรรมชาติอยู่${\displaystyle n}$โดยที่${\displaystyle x+I^{n}\subseteq U.}$สิ่งนี้เปลี่ยน${\displaystyle R}$เข้าไปในวงแหวนเชิงทอพอโลยี${\displaystyle I}$โทโพโลยีแบบ -adic เป็น แบบ Hausdorffก็ต่อเมื่อจุดตัดของกำลังทั้งหมดของ${\displaystyle I}$คืออุดมคติศูนย์${\displaystyle (0).}$

เดอะ${\displaystyle p}$โทโพโลยีแบบ -adic บนจำนวนเต็มเป็นตัวอย่างหนึ่งของ${\displaystyle I}$-โทโพโลยีแบบอะดิก (พร้อมด้วย${\displaystyle I=p\mathbb {Z} }$)

วงแหวนเชิงทอพอโลยีทุกวงเป็นกลุ่มเชิงทอพอโลยี (โดยสัมพันธ์กับการบวก) และด้วยเหตุนี้จึงเป็นปริภูมิเอกรูปโดยธรรมชาติ ดังนั้นจึงสามารถถามได้ว่าวงแหวนเชิงทอพอโลยีที่กำหนดให้เป็นอย่างไร${\displaystyle R}$สมบูรณ์แล้วหากไม่สมบูรณ์ ก็สามารถทำให้สมบูรณ์ได้ : เราสามารถหาวงแหวนทางทอพอโลยีที่สมบูรณ์และมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวได้${\displaystyle S}$ซึ่งประกอบด้วย${\displaystyle R}$เป็นวงแหวนย่อยที่มีความหนาแน่นสูง โดยที่โทโพโลยีที่กำหนดบน${\displaystyle R}$เท่ากับโทโพโลยีของปริภูมิย่อยที่เกิดขึ้นจาก${\displaystyle S.}$ ถ้าวงแหวนเริ่มต้น${\displaystyle R}$เป็นระบบเมตริก วงแหวน${\displaystyle S}$สามารถสร้างขึ้นเป็นชุดของชั้นสมมูลของลำดับโคชีใน${\displaystyle R,}$ความสัมพันธ์สมมูลนี้ทำให้เกิดวงแหวน${\displaystyle S}$โดยใช้หลักการของ Hausdorff และการใช้ลำดับคงที่ (ซึ่งเป็นลำดับโคชี) จะได้มอร์ฟิซึมแบบต่อเนื่อง (สม่ำเสมอ) (CM ในลำดับถัดไป)${\displaystyle c:R\to S}$โดยที่สำหรับ CM ทั้งหมด${\displaystyle f:R\to T}$ที่ไหน${\displaystyle T}$เป็นแบบเฮาส์ดอร์ฟและสมบูรณ์ มี CM ที่เป็นเอกลักษณ์อยู่${\displaystyle g:S\to T}$โดยที่ ${\displaystyle f=g\circ c.}$ถ้า${\displaystyle R}$ไม่ใช่เมตริก (เช่น วงแหวนของฟังก์ชันค่าตรรกยะตัวแปรจริงทั้งหมด นั่นคือ ฟังก์ชันทั้งหมด)${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {Q} }$ด้วยคุณสมบัติทางโทโพโลยีของการบรรจบกันแบบจุดต่อจุด การสร้างมาตรฐานจะใช้ตัวกรองโคชีขั้นต่ำและเป็นไปตามคุณสมบัติสากลเดียวกันกับข้างต้น (ดูBourbaki , General Topology, III.6.5)

วงแหวนของชุดอำนาจอย่างเป็นทางการและ${\displaystyle p}$จำนวนเต็ม -adicนั้นโดยธรรมชาติแล้วถูกนิยามว่าเป็นการเติมเต็มของวงแหวนทางทอพอโลยีบางประเภทที่บรรจุอยู่${\displaystyle I}$-adic topologies

ตัวอย่างที่สำคัญที่สุดบางส่วนคือฟิลด์เชิงทอพอโลยีฟิลด์เชิงทอพอโลยีคือวงแหวนเชิงทอพอโลยีที่เป็นฟิลด์ ด้วย และมีคุณสมบัติที่ว่าการผกผันของสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ตัวอย่างที่พบได้บ่อยที่สุดคือจำนวนเชิงซ้อน และ ฟิลด์ย่อยทั้งหมดของมันรวมถึงฟิลด์ค่าซึ่งรวมถึง${\displaystyle p}$-adic fields .

• กลุ่มคอมแพ็กต์– กลุ่มทางทอพอโลยีที่มีทอพอโลยีแบบคอมแพ็กต์ 
• ฟิลด์ที่สมบูรณ์
• สนามขนาดกะทัดรัดในท้องถิ่น
• กลุ่มกระชับเฉพาะที่– ประเภทหนึ่งของกลุ่มเชิงทอพอโลยีในทางคณิตศาสตร์ 
• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบเรียงลำดับ
• เซมิกรุปต่อเนื่องอย่างเข้มแข็ง– การวางนัยทั่วไปของฟังก์ชันเลขชี้กำลังหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง 
• กลุ่มอาเบเลียนเชิงทอพอโลยี
• ฟิลด์เชิงโทโพโลยี– โครงสร้างพีชคณิตที่มีการบวก การคูณ และการหาร หน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง 
• กลุ่มเชิงทอพอโลยี– กลุ่มที่เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีการดำเนินการกลุ่มแบบต่อเนื่อง 
• โมดูลเชิงทอพอโลยี
• เซมิกรุปเชิงทอพอโลยี
• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี– ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีแนวคิดเรื่องความใกล้เคียง