ในทางคณิตศาสตร์จำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์เป็นคำดั้งเดิมที่ใช้เรียกองค์ประกอบของพีชคณิตเอกลักษณ์มิติจำกัด บนฟิลด์ของจำนวนจริงการศึกษาจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 เป็นพื้นฐานของทฤษฎี การแทนกลุ่ม สมัยใหม่

ในศตวรรษที่สิบเก้าระบบจำนวนที่เรียกว่าควอเทอร์เนียนเท สซารี นโคควอเทอร์เนียนไบควอเทอร์ เนียน และอ็อกโทเนียน ได้กลายเป็นแนวคิดที่ได้รับการยอมรับในวรรณกรรมทางคณิตศาสตร์ โดยเป็นการขยายขอบเขตของ จำนวนจริงและ จำนวนเชิงซ้อน แนวคิดของจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ครอบคลุมระบบจำนวนเหล่านี้ทั้งหมด และจำเป็นต้องมีสาขาวิชาเฉพาะเพื่ออธิบายและจำแนกประเภทของระบบจำนวนเหล่านี้

โครงการจัดทำแคตตาล็อกเริ่มต้นในปี พ.ศ. 2415 เมื่อเบนจามิน เพียร์ซตีพิมพ์พีชคณิตเชิงสัมพันธ์เชิงเส้น เป็นครั้งแรก และได้รับการสานต่อโดยชาร์ลส์ แซนเดอร์ส เพียร์ซ บุตรชาย ของเขา ^{[ 1 ]} ที่สำคัญที่สุดคือ พวกเขาระบุองค์ประกอบนิลโพเทนต์และ องค์ประกอบไอเดมโพเทนต์ ว่าเป็นจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ที่มีประโยชน์สำหรับการจำแนกประเภทการสร้างของเคย์ลีย์-ดิกสันใช้การผกผันเพื่อสร้างจำนวนเชิงซ้อน ควอเทอร์เนียน และอ็อกโทเนียนจากระบบจำนวนจริง Hurwitz และ Frobenius พิสูจน์ทฤษฎีบทที่กำหนดขีดจำกัดของไฮเปอร์คอมเพล็กซ์: ทฤษฎีบทของ Hurwitz กล่าวว่า พีชคณิตการประกอบจริงมิติจำกัดคือจำนวนจริง,จำนวนเชิงซ้อน, ควอเทอร์เนียน, และอ็อกโทเนียนและทฤษฎีบทของFrobenius กล่าวว่าพีชคณิตการหารแบบเชื่อมโยงจริงเพียงอย่างเดียวคือ , , และในปี1958 J. Frank Adams ได้ตีพิมพ์การสรุปทั่วไปเพิ่มเติมในแง่ของตัวแปร Hopf บนH -spaces ซึ่งยังคงจำกัดมิติไว้ที่ 1, 2, 4 หรือ8 ^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {O} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

พีชคณิตเมทริกซ์เป็นสิ่งที่ควบคุมระบบไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ ตัวอย่างเช่นพบ ว่า เมทริกซ์จริงมีโครงสร้างเหมือนกับโคควอเทอร์เนียนในไม่ช้าแบบแผนเมทริกซ์ก็เริ่มอธิบายแบบแผนอื่นๆ อีกหลายอย่าง เนื่องจากเมทริกซ์และการดำเนินการของเมทริกซ์แทนระบบเหล่านั้น ในปี 1907 โจเซฟ เว็ดเดอร์เบิร์นแสดงให้เห็นว่าระบบไฮเปอร์คอมเพล็กซ์แบบเชื่อมโยงสามารถแทนได้ด้วยเมทริกซ์จัตุรัสหรือผลคูณโดยตรงของพีชคณิตของเมทริกซ์จัตุรัส^{[ 3 ] [ 4 ]}นับจากนั้นเป็นต้นมา คำที่นิยมใช้สำหรับระบบไฮเปอร์คอมเพล็กซ์จึงกลายเป็นพีชคณิตแบบเชื่อมโยงดังที่เห็นได้ในชื่อวิทยานิพนธ์ของเว็ดเดอร์เบิร์นที่มหาวิทยาลัยเอดินบะระอย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าระบบที่ไม่เชื่อมโยงกัน เช่น อ็อกโทเนียนและ ควอเทอร์เนียนไฮเปอร์โบลิกแทนจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์อีกประเภทหนึ่ง ${\displaystyle 2\times 2}$

ดังที่Thomas Hawkins ^{[ 5 ]}อธิบายไว้ จำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์เป็นก้าวสำคัญในการเรียนรู้เกี่ยวกับกลุ่ม Lieและ ทฤษฎี การแทนกลุ่มตัวอย่างเช่น ในปี 1929 Emmy Noetherได้เขียนเกี่ยวกับ "ปริมาณไฮเปอร์คอมเพล็กซ์และทฤษฎีการแทน" ^{[ 6 ]}ในปี 1973 Kantorและ Solodovnikov ได้ตีพิมพ์ตำราเกี่ยวกับจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ ซึ่งได้รับการแปลในปี 1989 ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Karen Parshallได้เขียนคำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับยุคทองของจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์^{[ 9 ]}รวมถึงบทบาทของนักคณิตศาสตร์ เช่นTheodor Molien ^{[ 10 ]}และEduard Study [ ^{11 ] สำหรับ}การเปลี่ยนผ่านไปสู่พีชคณิตสมัยใหม่Bartel van der Waerdenได้อุทิศสามสิบหน้าให้กับจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ในหนังสือประวัติศาสตร์พีชคณิตของ เขา ^{[ 12 ]}

Kantor & Solodovnikov (1989)ได้ให้นิยามของจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ ไว้ ว่า คือองค์ประกอบของ พีชคณิตมิติจำกัด ที่มีเอกลักษณ์แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นแบบสมาคมหรือ แบบ สลับที่ได้บนจำนวนจริง องค์ประกอบเหล่านี้ถูกสร้างขึ้นโดยใช้สัมประสิทธิ์จำนวนจริงสำหรับฐาน⁠ ⁠โดยทั่วไปแล้ว หากเป็นไปได้ จะเลือกฐานเพื่อให้⁠ ⁠แนวทางทางเทคนิคเกี่ยวกับจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์จะมุ่งความสนใจไปที่จำนวนที่มีมิติสอง ก่อน${\displaystyle (a_{0},\dots ,a_{n})}$${\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}}$${\displaystyle i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}}$

ทฤษฎีบท: ^{[ 7 ] : 14, 15 [ 13 ] [ 14 ]}จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม มีพีชคณิตเอกลักษณ์ 2 มิติเหนือจำนวนจริงอยู่ 3 แบบ ได้แก่จำนวนเชิงซ้อน ธรรมดา จำนวนเชิงซ้อนแบบแยกและจำนวนคู่โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พีชคณิตเอกลักษณ์ 2 มิติเหนือจำนวนจริงทุกตัวเป็นแบบสมาคมและสลับที่ได้

บทพิสูจน์: เนื่องจากพีชคณิตมีมิติ 2 มิติ เราจึงสามารถเลือกฐานได้⁠ ⁠${\displaystyle \{1,u\}}$เนื่องจากพีชคณิตปิดภายใต้การยกกำลังสอง องค์ประกอบฐานที่ไม่ใช่จำนวนจริงจะยกกำลังสองเป็นผลรวมเชิงเส้นของ⁠ ⁠และ⁠ ⁠ : ${\displaystyle u}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle u^{2}=a_{0}+a_{1}u}$

สำหรับจำนวนจริงบางจำนวนและ⁠ ⁠ . ${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{1}}$

การใช้วิธีการทั่วไปในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์โดยการลบและบวกกำลังสองส่วนเติมเต็มทั้งสองข้างจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle a_{1}u}$${\displaystyle a_{1}^{2}/4}$

${\displaystyle u^{2}-a_{1}u+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$

เขียนครึ่งซ้ายของสมการข้างต้นใหม่เป็นและจากนั้นแทนค่าองค์ประกอบใหม่⁠ ⁠โดยที่⁠ ⁠จะได้ ${\textstyle \left(u-{\frac {1}{2}}a_{1}\right)^{2}}$${\displaystyle {\tilde {u}}}$${\displaystyle {\tilde {u}}=u-{\tfrac {1}{2}}a_{1}}$

${\displaystyle {\tilde {u}}^{2}=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$

ทั้งสามกรณีขึ้นอยู่กับค่าจริงนี้:

• ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle 4a_{0}=-a_{1}^{2}}$สูตรข้างต้นจะให้ผลลัพธ์เป็น ⁠ ⁠${\displaystyle {\tilde {u}}^{2}=0}$ดังนั้น จึงสามารถระบุได้โดยตรงกับองค์ประกอบนิลโพเทนต์ของฐานของจำนวนคู่${\displaystyle {\tilde {u}}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \{1,~\varepsilon \}}$
• ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle 4a_{0}>-a_{1}^{2}}$สูตรข้างต้นจะให้ผลลัพธ์เป็น⁠ ⁠${\displaystyle {\ตัวหนอน {u}}^{2}>0}$ซึ่งนำไปสู่จำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วน ซึ่งมีฐานมาตรฐานเป็น⁠ ⁠เพื่อให้ได้จาก⁠ ⁠จะต้องหารจำนวนจริงบวก ⁠ ⁠ซึ่งมีกำลังสองเท่ากับ${\displaystyle \{1,~j\}}$${\displaystyle j^{2}=+1}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\tilde {u}}}$${\displaystyle \textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}}}}$${\displaystyle {\tilde {u}}}$
• ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle 4a_{0}<-a_{1}^{2}}$สูตรข้างต้นจะให้ผลลัพธ์เป็น⁠ ⁠${\displaystyle {\ตัวหนอน {u}}^{2}<0}$ซึ่งนำไปสู่จำนวนเชิงซ้อนที่มีฐานมาตรฐานเป็น⁠ ⁠เพื่อให้ได้ผลลัพธ์จาก⁠ ⁠ จะต้องหาร ⁠ ⁠ ด้วยจำนวนจริงบวก ⁠ ⁠ ซึ่งยกกำลังสองจะได้ค่าลบของ⁠ ⁠${\displaystyle \{1,~i\}}$${\displaystyle i^{2}=-1}$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\tilde {u}}}$${\displaystyle \textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {-(a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2})}}}$${\displaystyle {\tilde {u}}^{2}}$

จำนวนเชิงซ้อนเป็นพีชคณิตกำลังสอง เพียงชนิดเดียว ที่เป็นฟิลด์ พีชคณิต แบบแยกส่วนเช่น จำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วนที่มีรากที่ไม่ใช่จำนวนจริงของ 1 ก็มีตัวผกผัน และตัวหารศูนย์ ด้วย ดังนั้น พีชคณิตดังกล่าว จึงไม่สามารถเป็นพีชคณิตการหารได้อย่างไรก็ตามคุณสมบัติเหล่านี้อาจมีความหมายมาก ตัวอย่างเช่น ในการแสดงกรวยแสงด้วยกรวย ศูนย์${\textstyle {\frac {1}{2}}(1\pm j)}$${\displaystyle (1+j)(1-j)=0}$

ใน นิตยสารคณิตศาสตร์ฉบับปี 2004 พีชคณิตจริง 2 มิติได้รับการขนานนามว่า "จำนวนเชิงซ้อนทั่วไป" ^{[ 15 ]}แนวคิดเรื่องอัตราส่วนไขว้ของจำนวนเชิงซ้อนสี่จำนวนสามารถขยายไปสู่พีชคณิตจริง 2 มิติได้^{[ 16 ]}

พีชคณิตคลิฟฟอร์ด (Clifford algebra)คือพีชคณิตแบบสมาคมที่มีเอกลักษณ์ ซึ่งสร้างขึ้นบนปริภูมิเวกเตอร์พื้นฐานที่มาพร้อมกับรูปแบบกำลังสองบนจำนวนจริง สิ่งนี้เทียบเท่ากับการสามารถกำหนดผลคูณสเกลาร์สมมาตรซึ่งสามารถใช้เพื่อ ทำให้รูปแบบกำลังสอง เป็นแบบตั้งฉากเพื่อให้ได้ฐานที่ สอดคล้องกับเงื่อนไข ดังต่อไปนี้: ${\displaystyle u\cdot v={\tfrac {1}{2}}(uv+vu)}$${\displaystyle \{e_{1},\,\dots ,\,e_{k}\}}$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}\right)={\begin{cases}-1,0,+1&i=j,\\0&i\not =j.\end{cases}}}$$

การกำหนดให้มีการปิดภายใต้การคูณจะสร้างปริภูมิเวกเตอร์หลายตัวซึ่งครอบคลุมโดยฐานขององค์ประกอบ⁠ ⁠ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นฐานของระบบจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ ต่างจากฐาน⁠ ⁠องค์ประกอบฐานที่เหลือไม่จำเป็นต้องสลับตำแหน่งกันได้ขึ้นอยู่กับจำนวนการสลับแบบง่ายที่ต้องดำเนินการเพื่อสลับตัวประกอบทั้งสอง ดังนั้น⁠ ⁠แต่⁠ ⁠ . ${\displaystyle 2^{k}}$${\displaystyle \{1,\,e_{1},\,e_{2},\dots ,\,e_{1}e_{2},\,\dots ,\,e_{1}e_{2}e_{3},\,\dots \}}$${\displaystyle \{e_{1},\,\dots ,\,e_{k}\}}$${\displaystyle e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}}$${\displaystyle e_{1}(e_{2}e_{3})=+(e_{2}e_{3})e_{1}}$

หากไม่นับฐานที่มีองค์ประกอบซึ่งมีคุณสมบัติดังกล่าว(กล่าวคือ ทิศทางในปริภูมิเดิมที่รูปแบบกำลังสองเสื่อมสภาพ ) พีชคณิตคลิฟฟอร์ดที่เหลือสามารถระบุได้ด้วยป้ายกำกับ⁠ ⁠ซึ่งบ่งชี้ว่าพีชคณิตนั้นสร้างขึ้นจากองค์ประกอบฐานแบบง่ายที่มี⁠ ⁠ , ⁠ ⁠และ โดยที่ บ่งชี้ว่านี่คือพีชคณิตค ลิฟฟอร์ดเหนือจำนวนจริง กล่าวคือ สัมประสิทธิ์ขององค์ประกอบของพีชคณิตจะต้องเป็นจำนวนจริง ${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle e_{i}^{2}=0}$${\displaystyle {\text{Cl}}_{p,q}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle e_{i}^{2}=+1}$${\displaystyle q}$${\displaystyle e_{i}^{2}=-1}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

พีชคณิตเหล่านี้ ซึ่งเรียกว่าพีชคณิตเชิงเรขาคณิตประกอบกันเป็นชุดระบบที่พิสูจน์แล้วว่ามีประโยชน์อย่างมากในปัญหาทางฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้องกับการหมุนเฟสหรือสปินโดยเฉพาะอย่างยิ่งในกลศาสตร์คลาสสิกและควอนตัม ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าและ ทฤษฎี สัมพัทธภาพ

ตัวอย่างได้แก่: จำนวนเชิงซ้อน, ${\displaystyle {\text{Cl}}_{0,1}(\mathbb {R} )}$จำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วน , ค${\displaystyle {\text{Cl}}_{1,0}(\mathbb {R} )}$วอเทอร์เนียน , ไบควอ${\displaystyle {\text{Cl}}_{0,2}(\mathbb {R} )}$เทอร์เนียนแบบแยกส่วน, ค ${\displaystyle {\text{Cl}}_{0,3}(\mathbb {R} )}$วอเทอร์เนียนแบบแยกส่วน(พีชคณิตธรรมชาติของปริภูมิยุคลิดสองมิติ); (พีชคณิตธรรมชาติของ ปริภูมิยุค ลิดสามมิติ และพีชคณิตของเมทริกซ์เปาลี ); และ พีชคณิต ปริภูมิเวลา${\displaystyle {\text{Cl}}_{1,1}(\mathbb {R} )\approx {\text{Cl}}_{2,0}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\text{Cl}}_{3,0}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\text{Cl}}_{1,3}(\mathbb {R} )}$

องค์ประกอบของพีชคณิต ก่อให้เกิด พีชคณิตย่อยคู่ของพีชคณิตซึ่งสามารถใช้กำหนดพารามิเตอร์การหมุนในพีชคณิตที่ใหญ่กว่าได้ ดังนั้นจึงมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดระหว่างจำนวนเชิงซ้อนและการหมุนในปริภูมิสองมิติ ระหว่างควอเทอร์เนียนและการหมุนในปริภูมิสามมิติ ระหว่างจำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วนและการหมุน (ไฮเปอร์โบลิก) ( การแปลงลอเรนซ์ ) ในปริภูมิ (1+1) มิติ และอื่นๆ ${\displaystyle {\text{Cl}}_{p,q}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\text{Cl}}_{q+1,p}^{[0]}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\text{Cl}}_{q+1,p}(\mathbb {R} )}$

ในขณะที่พีชคณิต Cayley–Dickson และพีชคณิตเชิงซ้อนแบบแยกส่วนที่มีแปดมิติขึ้นไปไม่มีคุณสมบัติการสลับที่เมื่อพิจารณาการคูณ แต่พีชคณิต Clifford ยังคงรักษาคุณสมบัติการสลับที่ได้ไม่ว่าจะมีจำนวนมิติเท่าใดก็ตาม

ในปี พ.ศ. 2538 Ian R. Porteousได้เขียนเกี่ยวกับ "การรับรู้ของซับอัลเจบรา" ในหนังสือของเขาเกี่ยวกับอัลเจบราของคลิฟฟอร์ด ข้อเสนอ 11.4 ของเขาสรุปกรณีไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ไว้ดังนี้: ^{[ 17 ]}

ให้เป็นพีชคณิตแบบสมาคมจริงที่มีเอกลักษณ์⁠ ⁠แล้ว ${\displaystyle A}$${\displaystyle 1}$

• 1 สร้าง( พีชคณิตของจำนวนจริง )${\displaystyle \mathbb {R} }$
• พีชคณิตย่อยสองมิติใดๆ ที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบของซึ่งสมมาตรกับ( พีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน )${\displaystyle e_{0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle e_{0}^{2}=-1}$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• พีชคณิตย่อยสองมิติใดๆ ที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบของซึ่งสมมาตรกับ(คู่ของจำนวนจริงที่มีผลคูณแบบส่วนประกอบ ซึ่งสมมาตรกับพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วน )${\displaystyle e_{0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle e_{0}^{2}=1}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• พีชคณิตย่อยสี่มิติใดๆ ที่สร้างขึ้นโดยเซตขององค์ประกอบที่สลับกันไม่ได้ซึ่งกันและกันโดยที่สมมาตรกับ( พีชคณิตของควอเทอร์เนียน )${\displaystyle \{e_{0},\,e_{1}\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1}$${\displaystyle \mathbb {H} }$
• พีชคณิตย่อยสี่มิติใดๆ ที่สร้างขึ้นโดยเซตขององค์ประกอบที่สลับกันไม่ได้ซึ่งสมมาตรกับ( เมทริกซ์จริง,โคควอเทอร์เนียน )${\displaystyle \{e_{0},\,e_{1}\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1}$${\displaystyle {\text{M}}_{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle 2\times 2}$
• พีชคณิตย่อยแปดมิติใดๆ ที่สร้างขึ้นโดยเซตขององค์ประกอบที่สลับตำแหน่งกันไม่ได้ซึ่งสมมาตรกับ( สปลิตไบควอเทอร์เนียน )${\displaystyle \{e_{0},\,e_{1},\,e_{2}\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1}$${\displaystyle {}^{2}\mathbb {H} }$
• พีชคณิตย่อยแปดมิติใดๆ ที่สร้างขึ้นโดยเซตขององค์ประกอบที่สลับตำแหน่งกันไม่ได้ซึ่งสมมาตรกับ( เมท ริก ซ์เชิงซ้อน, ไบควอเทอร์เนียน , พีชคณิตของเปาลี )${\displaystyle \{e_{0},\,e_{1},\,e_{2}\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1}$${\displaystyle {\text{M}}_{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle 2\times 2}$

พีชคณิตคลิฟฟอร์ดทั้งหมดยกเว้นจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน และควอเทอร์เนียน ประกอบด้วยองค์ประกอบที่ไม่ใช่จำนวนจริงซึ่งยกกำลังสองได้ +1 ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นพีชคณิตการหารได้ แนวทางที่แตกต่างในการขยายจำนวนเชิงซ้อนถูกนำมาใช้โดยการสร้างแบบเคย์ลีย์-ดิกสันซึ่งสร้างระบบจำนวนที่มีมิติ⁠ ⁠โดยมีฐาน⁠ ⁠ซึ่งองค์ประกอบฐานที่ไม่ใช่จำนวนจริงทั้งหมดจะสลับที่ได้และเป็นไปตาม⁠ ⁠ในมิติ 8 หรือมากกว่า ( ⁠ ⁠ ) พีชคณิตเหล่านี้จะไม่เป็นแบบสมาคม ในมิติ 16 หรือมากกว่า ( ⁠ ⁠ ) พีชคณิตเหล่านี้ยังมีตัวหารศูนย์ ที่ไม่เป็นศูนย์ อีก ด้วย${\displaystyle {\text{Cl}}_{p,q}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {1}}$${\displaystyle \left\{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\right\}}$${\displaystyle {i_{m}}^{2}=-1}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle n\geq 4}$

พีชคณิตชุดแรกในลำดับนี้ประกอบด้วย ควอเทอร์เนียน 4 มิติ , อ็อกโทเนียน 8 มิติและเซเดเนียน 16 มิติ สมมาตรทางพีชคณิตจะหายไปเมื่อมิติเพิ่มขึ้นแต่ละครั้ง: การคูณควอเทอร์เนียนไม่เป็นไปตามกฎ การสลับที่ การคูณอ็อกโทเนียน ไม่เป็นไปตามกฎการสมาพันธ์ และนอร์มของเซเดเนียนไม่เป็นไปตามกฎการคูณ หลังจากเซเดเนียนแล้วจะเป็นไตรจินทาดูโอเนียน 32 มิติ (หรือ 32-เนียน), เซกซาจินทาควอตรอนเนียน 64 มิติ (หรือ 64-เนียน), เซนตัมดูโอเดไตรจินทาเนียน 128 มิติ (หรือ 128-เนียน), ดูเซนติควินควอจินทาเซกชัน 256 มิติ (หรือ 256-เนียน) และอื่นๆ อีกมากมายตามที่สรุปไว้ในตารางด้านล่าง^{[ 18 ]}

ชื่อ	จำนวนมิติ	มิติ( 2 n )	เครื่องหมาย
ตัวเลขจริง	1	2 0	${\displaystyle \mathbb {R} }$
จำนวนเชิงซ้อน	2	2 1	${\displaystyle \mathbb {C} }$
ควอเทอร์เนียน	4	2 2	${\displaystyle \mathbb {H} }$
อ็อกโทเนียน	8	2 3	${\displaystyle \mathbb {O} }$
การประชุม	16	2 4	${\displaystyle \mathbb {S} }$
ไตรกินทาดูโอเนียน	32	2 5	${\displaystyle \mathbb {T} }$
เซกซาจินตาควอโทรเนียน	64	2 6
เซนทัมดูโอเดทริจินทาเนียนส์	128	2 7
ducentiquinquagintasexions	256	2 8

โครงสร้าง Cayley–Dickson สามารถปรับเปลี่ยนได้โดยการแทรกเครื่องหมายพิเศษในบางขั้นตอน จากนั้นจะสร้าง "พีชคณิตแบบแยกส่วน" ในชุดของพีชคณิตการประกอบแทนที่จะเป็นพีชคณิตการหาร:

จำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วนที่มีฐานที่สอดคล้อง กับ ⁠ ⁠ ,${\displaystyle \{1,\,i_{1}\}}$${\displaystyle i_{1}^{2}=+1}$

ควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนที่มีฐานที่สอดคล้อง กับ ⁠ ⁠และ${\displaystyle \{1,\,i_{1},\,i_{2},\,i_{3}\}}$${\displaystyle i_{1}^{2}=-1,\,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1}$

สปลิตอ็อกโทเนียนที่มีฐานที่สอดคล้อง กับ ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ .${\displaystyle \{1,\,i_{1},\,\dots ,\,i_{7}\}}$${\displaystyle i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1}$${\displaystyle i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1}$

แตกต่างจากจำนวนเชิงซ้อนทั่วไป จำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วน (split-complex numbers) ไม่ปิดเชิงพีชคณิตและยังมีตัวหารศูนย์ที่ ไม่ใช่ตัวหารศูนย์ และตัวประกอบเอกลักษณ์ ที่ไม่ใช่ ตัวหาร ศูนย์ อีกด้วย เช่นเดียวกับควอเทอร์เนียน ควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนไม่เป็นไปตามกฎการสลับที่ แต่ยังมีตัวประกอบเอกลักษณ์ที่เป็นศูนย์อีกด้วยพวกมันมีโครงสร้างเหมือนกับเมทริกซ์จัตุรัสที่มีมิติสอง ส่วนอ็อกโทเนียนแบบแยกส่วนไม่เป็นไปตามกฎการสมาคมและมีตัวประกอบเอกลักษณ์ที่เป็นศูนย์

ผลคูณเทนเซอร์ของพีชคณิตสองตัวใดๆ ก็คือพีชคณิตอีกตัวหนึ่ง ซึ่งสามารถนำมาใช้สร้างระบบจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ได้อีกมากมาย

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การนำผลคูณเทนเซอร์มาใช้กับจำนวนเชิงซ้อน (ซึ่งถือว่าเป็นพีชคณิตเหนือจำนวนจริง) จะนำไปสู่จำนวนไบคอมเพล็กซ์ สี่มิติ (ซึ่งสมมาตรกับเทสซารีน) ไบควอเทอร์เนียนแปด มิติและอ็อกโทเนียนเชิงซ้อน 16 มิติ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }D}$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O} }$

อีกตัวอย่างหนึ่งคือผลคูณเทนเซอร์ของพีชคณิตควอเทอร์เนียนสองตัว(ซึ่งสมมาตรกับพีชคณิตคลิฟฟอร์ดและเมทริกซ์จริง)ซึ่งนำไปสู่การประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์เชิงสัมพัทธภาพ^{[ 19 ] [ 20 ]}${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 2}=\mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} }$${\displaystyle {\text{Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle 4\times 4}$${\displaystyle M(4,\mathbb {R} )}$

โดยทั่วไปแล้ว จะมีการนิยาม(และพีชคณิตย่อย) ว่าเป็น “พีชคณิตไฮเปอร์ควอเทอร์เนียน” โดยเฉพาะอย่างยิ่งจะได้เมทริกซ์ควอเทอร์เนียนและพีชคณิตย่อยคู่( พีชคณิตดิแรก ) ^{[ 21 ] [ 22 ]}${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes m}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 3}=M(4,\mathbb {H} )}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

• จำนวนไบคอมเพล็กซ์ : ปริภูมิเวกเตอร์ 4 มิติเหนือจำนวนจริง ปริภูมิเวกเตอร์ 2 มิติเหนือจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งสมมาตรกับเทสซารีน
• จำนวนเชิงซ้อนหลายมิติ : ปริภูมิเวกเตอร์มิติ n บนจำนวนจริง ปริภูมิเวกเตอร์ มิติ n บนจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 2^{n-1}}$
• พีชคณิตเชิงประกอบ : พีชคณิตที่มีรูปแบบกำลังสองซึ่งสามารถประกอบกับผลคูณได้

• จอร์จ เชฟเฟอร์ส
• การวิเคราะห์ไฮเปอร์คอมเพล็กซ์
• ริชาร์ด บราวเออร์
• โทมัส เคิร์กแมน

วิกิบุ๊กเรื่องพีชคณิตนามธรรมมีหน้าหนึ่งที่กล่าวถึงหัวข้อเรื่อง: จำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์

• "จำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "จำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์" . แมธเวิลด์ .
• การศึกษาโดย E. เกี่ยวกับระบบของจำนวนเชิงซ้อนและการประยุกต์ใช้กับทฤษฎีกลุ่มการแปลง (PDF)(คำแปลภาษาอังกฤษ)
• Frobenius, G., ทฤษฎีของปริมาณไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ (PDF)(คำแปลภาษาอังกฤษ)