พลวัตเชิงซ้อนหรือพลวัตเชิงโฮโลมอร์ฟิกคือการศึกษาระบบพลวัตที่ได้จากการทำซ้ำ การแม ป เชิง วิเคราะห์เชิงซ้อนบทความนี้มุ่งเน้นไปที่กรณีของพลวัตเชิงพีชคณิตซึ่ง มีการทำซ้ำ ฟังก์ชันพหุนามหรือฟังก์ชันตรรกยะในทางเรขาคณิต นั่นหมายถึงการทำซ้ำการแมปจากวาไรตี้เชิงพีชคณิต บางอย่าง ไปยังตัวมันเอง ทฤษฎีที่เกี่ยวข้องของพลวัตเชิงเลขคณิตศึกษาการทำซ้ำบนจำนวนตรรกยะ หรือจำนวนp-adicแทนที่จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน

ตัวอย่างง่ายๆ ที่แสดงให้เห็นถึงประเด็นหลักบางประการในพลศาสตร์เชิงซ้อนคือ การแมปจากจำนวนเชิงซ้อนCไปยังตัวมันเอง การมองสิ่งนี้เป็นการแมปจากเส้นโปรเจคทีฟเชิงซ้อนไปยังตัวมันเอง โดยการเพิ่มจุดเข้าไปในจำนวนเชิงซ้อน จะช่วยให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น ( ซึ่งมีข้อดีคือกระชับ ) คำถามพื้นฐานคือ: เมื่อกำหนดจุดใน แล้ว วงโคจร (หรือวงโคจรไปข้างหน้า ) ของจุด นั้นจะเป็นอย่างไร${\displaystyle f(z)=z^{2}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

${\displaystyle z,\;f(z)=z^{2},\;f(f(z))=z^{4},f(f(f(z)))=z^{8},\;\ldots }$

พฤติกรรมในเชิงคุณภาพเป็นอย่างไร? คำตอบคือ: ถ้าค่าสัมบูรณ์ | z | น้อยกว่า 1 วงโคจรจะลู่เข้าสู่ 0 ซึ่งเร็วกว่าแบบเลขชี้กำลัง มาก ถ้า | z | มากกว่า 1 วงโคจรจะลู่เข้าสู่จุดใน ซึ่ง เร็วกว่าแบบเลขชี้กำลังมากเช่นกัน (ในที่นี้ 0 และเป็นจุดคงที่ดึงดูดยิ่งยวดของfหมายความว่าอนุพันธ์ของfเป็นศูนย์ที่จุดเหล่านั้น จุดคง ที่ดึงดูดหมายถึงจุดที่อนุพันธ์ของfมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 1) ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$${\displaystyle \infty }$

ในทางกลับกัน สมมติว่าหมายความว่าzอยู่บนวงกลมหน่วยในCที่จุดเหล่านี้ พลวัตของfจะอลวนในหลายๆ ด้าน ตัวอย่างเช่น สำหรับจุดz เกือบทั้งหมด บนวงกลมในแง่ของทฤษฎีการวัดวงโคจรไปข้างหน้าของzจะหนาแน่นในวงกลม และในความเป็นจริงกระจายอย่างสม่ำเสมอทั่ววงกลม นอกจากนี้ยังมีจุดคาบจำนวนอนันต์บนวงกลม หมายถึงจุดที่มีสำหรับจำนวนเต็มบวกr บางตัว (ในที่นี้หมายถึงผลลัพธ์ของการใช้fกับz rครั้ง) แม้แต่ที่จุดคาบzบนวงกลม พลวัตของfก็สามารถพิจารณาได้ว่าอลวน เนื่องจากจุดใกล้zจะเบี่ยงเบนออกจากz อย่างรวดเร็วแบบเอกซ์โพเนนเชียล เมื่อทำซ้ำf (จุดคาบของfบนวงกลมหน่วยจะผลักกัน : ถ้าอนุพันธ์ของที่zจะมีค่าสัมบูรณ์มากกว่า 1) ${\displaystyle |z|=1}$${\displaystyle f^{r}(z)=z}$${\displaystyle f^{r}(z)}$${\displaystyle f(f(\cdots (f(z))\cdots ))}$${\displaystyle f^{r}(z)=z}$${\displaystyle f^{r}}$

ปิแอร์ ฟาตูและกาสตง จูเลียได้แสดงให้เห็นในช่วงปลายทศวรรษ 1910 ว่าเรื่องราวส่วนใหญ่ในที่นี้สามารถขยายไปถึงแผนที่พีชคณิตเชิงซ้อนใดๆ จากไปยังตัวมันเองที่มีดีกรีมากกว่า 1 ได้ (แผนที่ดังกล่าวอาจกำหนดโดยพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน หรือโดยทั่วไปแล้วโดยฟังก์ชันตรรกยะ) กล่าวคือ จะมีเซตย่อยกระชับของ เสมอ ซึ่งเรียกว่าเซตจูเลียซึ่งพลวัตของf นั้น มีความวุ่นวาย สำหรับแผนที่เซตจูเลียคือวงกลมหน่วย สำหรับแผนที่พหุนามอื่นๆ เซตจูเลียมักจะไม่สม่ำเสมออย่างมาก ตัวอย่างเช่น เป็นแฟรกทัลในแง่ที่ว่ามิติเฮาส์ดอร์ฟ ของมัน ไม่ใช่จำนวนเต็ม สิ่งนี้เกิดขึ้นแม้แต่กับแผนที่ที่ง่ายเช่นสำหรับค่าคงที่เซตแมนเดลบร็อตคือเซตของจำนวนเชิงซ้อนcเช่นนั้นเซตจูเลียของเป็นเซตเชื่อมต่อ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$${\displaystyle f(z)=z^{2}}$${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$${\displaystyle c\in \mathbf {C} }$${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$

มีการจำแนกประเภทพลวัตที่เป็นไปได้ของฟังก์ชันตรรกยะในเซตฟาตูซึ่งเป็นส่วนเติมเต็มของเซตจูเลีย โดยที่พลวัตนั้น "เชื่อง" กล่าวคือเดนนิส ซัลลิแวน แสดงให้เห็นว่า ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันแต่ละ ส่วน Uของเซตฟาตูเป็นแบบพรีคาบ หมายความว่ามีจำนวนธรรมชาติที่ทำให้ดังนั้น ในการวิเคราะห์พลวัตบนส่วนประกอบUเราสามารถสมมติหลังจากแทนที่fด้วยค่าวนซ้ำว่าจากนั้น (1) Uมีจุดตรึงที่ดึงดูดสำหรับf (2) Uเป็นพาราโบลาในแง่ที่ว่าทุกจุดในUเข้าใกล้จุดตรึงในขอบเขตของU (3) Uเป็นดิสก์ซีเกลหมายความว่าการกระทำของfบนUเป็นคู่ควบกับการหมุนแบบอตรรกยะของดิสก์หน่วยเปิด หรือ (4) Uเป็นวงแหวนเฮอร์แมนหมายความว่าการกระทำของfบนUเป็นคู่ควบกับการหมุนแบบอตรรกยะของวงแหวนเปิด^{[ 1 ]} (โปรดทราบว่า "วงโคจรย้อนกลับ" ของจุดzในU ซึ่ง เป็นเซตของจุดที่แมปไปยังzภายใต้การวนซ้ำบางอย่างของfไม่จำเป็นต้องอยู่ในU ) ${\displaystyle f\colon \mathbf {CP} ^{1}\to \mathbf {CP} ^{1}}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle f^{a}(U)=f^{b}(U)}$${\displaystyle f(U)=U}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

พลวัตที่ซับซ้อนได้รับการพัฒนาอย่างมีประสิทธิภาพในทุกมิติ ส่วนนี้มุ่งเน้นไปที่การแมปจากพื้นที่เชิงโปรเจกทีฟที่ซับซ้อน ไปยังตัวมันเอง ซึ่งเป็นแหล่งตัวอย่างที่อุดมสมบูรณ์ที่สุด ผลลัพธ์หลักได้รับการขยายไปยังคลาสของการแมปเชิงตรรกะจากวาไรตี้เชิงโปรเจก ทีฟใด ๆ ไปยังตัวมันเอง^{[ 2 ]}อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าวาไรตี้จำนวนมากไม่มีการแมปตัวเองที่น่าสนใจ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$

ให้fเป็นเอนโดมอร์ฟิซึมของซึ่งหมายถึงมอร์ฟิซึมของวาไรตี้พีชคณิตจากไปยังตัวมันเอง สำหรับจำนวนเต็มบวกnการแมปดังกล่าวแสดงได้ในพิกัดเอกพันธุ์โดย ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$

${\displaystyle f([z_{0},\ldots ,z_{n}])=[f_{0}(z_{0},\ldots ,z_{n}),\ldots ,f_{n}(z_{0},\ldots ,z_{n})]}$

สำหรับพหุนามเอกพันธุ์บางตัว ที่มีดีกรี dเดียวกันซึ่งไม่มีรากร่วมกันใน(ตามทฤษฎีบทของ Chowนี่คือสิ่งเดียวกันกับ การแมปแบบ โฮโลมอร์ฟิกจากไปยังตัวมันเอง) สมมติว่าdมากกว่า 1 ดังนั้นดีกรีของการแมปfคือซึ่งมากกว่า 1 เช่นกัน ${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{n}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle d^{n}}$

จากนั้นจะมีมาตรวัดความน่าจะเป็น เฉพาะ บน ซึ่ง เป็น มาตรวัดสมดุลของfที่อธิบายส่วนที่วุ่นวายที่สุดของพลวัตของf (เรียกอีกอย่างว่ามาตรวัดกรีนหรือมาตรวัดเอนโทรปีสูงสุด ) มาตรวัดนี้ได้รับการกำหนดโดย Hans Brolin (1965) สำหรับพหุนามในตัวแปรเดียว โดย Alexandre Freire, Artur Lopes , Ricardo MañéและMikhail Lyubichสำหรับ(ประมาณปี 1983) และโดยJohn Hubbard , Peter Papadopol, John FornaessและNessim Sibonyในมิติใดๆ (ประมาณปี 1994) ^{[ 3 ]}เซตJulia ขนาดเล็กคือส่วนรองรับของมาตรวัดสมดุลในซึ่งก็คือเซต Julia เมื่อ ${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle n=1}$

• สำหรับการแมปบน นั้นมาตรวัดสมดุลคือมาตรวัดฮาร์ (มาตรวัดมาตรฐาน ซึ่งปรับขนาดให้มีมาตรวัดรวมเท่ากับ 1) บนวงกลมหน่วย${\displaystyle f(z)=z^{2}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle |z|=1}$
• โดยทั่วไปแล้ว สำหรับจำนวนเต็มให้เป็นฟังก์ชันการแมป${\displaystyle d>1}$${\displaystyle f\colon \mathbf {CP} ^{n}\to \mathbf {CP} ^{n}}$

${\displaystyle f([z_{0},\ldots ,z_{n}])=[z_{0}^{d},\ldots ,z_{n}^{d}].}$

ดังนั้น มาตรวัดสมดุลจึงเป็นมาตรวัดฮาร์บนทอรัสnมิติสำหรับการแมปโฮโลมอร์ฟิกทั่วไปจากไปยังตัวมันเอง มาตรวัดสมดุลอาจซับซ้อนกว่ามาก ดังที่เห็นได้แล้วในมิติเชิงซ้อน 1 จากภาพของเซตจูเลีย${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \{[1,z_{1},\ldots ,z_{n}]:|z_{1}|=\cdots =|z_{n}|=1\}.}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$

คุณสมบัติพื้นฐานอย่างหนึ่งของการวัดสมดุลคือ มันไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้fในแง่ที่ว่าการวัดแบบผลักไปข้าง หน้าเท่ากับเนื่องจากfเป็นมอร์ฟิซึมจำกัดการวัดแบบดึงกลับจึงถูกกำหนดขึ้นด้วย และไม่เปลี่ยนแปลงโดยสมบูรณ์ในแง่ที่ว่า ${\displaystyle f_{*}\mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle f^{*}\mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle f^{*}\mu _{f}=\deg(f)\mu _{f}}$

ลักษณะเด่นประการหนึ่งของการวัดสมดุลคือ การอธิบายลักษณะเชิงอะซิมโทติกของเกือบทุกจุดในเมื่อติดตามย้อนกลับไปในเวลา โดย Jean-Yves Briend, Julien Duval, Tien-Cuong Dinhและ Sibony กล่าวคือ สำหรับจุดzในและจำนวนเต็มบวกrให้พิจารณาการวัดความน่าจะเป็นซึ่งมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอที่จุดwที่มี จากนั้นจะมีเซตย่อยปิด Zariskiเช่นนั้น สำหรับจุดz ทั้งหมด ที่ไม่ได้อยู่ในEการวัดที่เพิ่งกำหนดจะลู่เข้าอย่างอ่อนไปยังการวัดสมดุลเมื่อrเข้าสู่อนันต์ ในรายละเอียดเพิ่มเติม: มีเพียงปริภูมิย่อยเชิงซ้อนปิดจำนวนจำกัดของ เท่านั้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงโดยสมบูรณ์ภายใต้f (หมายความว่า) และเราสามารถใช้เซตพิเศษE เป็นปริภูมิย่อยเชิงซ้อนปิดที่ไม่เปลี่ยนแปลงโดยสมบูรณ์ที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่ซ้ำกันซึ่ง ไม่เท่ากับ^{[ 4 ]}${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle (1/d^{rn})(f^{r})^{*}(\เดลต้า _{z})}$${\displaystyle d^{rn}}$${\displaystyle f^{r}(w)=z}$${\displaystyle E\subsetneq \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle f^{-1}(S)=S}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$

ลักษณะเฉพาะอีกประการหนึ่งของการวัดสมดุล (โดย Briend และ Duval) มีดังนี้ สำหรับจำนวนเต็มบวกr แต่ละตัว จำนวนจุดคาบที่มีคาบr (หมายความว่า) เมื่อนับรวมความซ้ำซ้อน คือซึ่งโดยประมาณคือพิจารณาการวัดความน่าจะเป็นที่กระจายอย่างสม่ำเสมอในจุดที่มีคาบrจากนั้นการวัดเหล่านี้จะลู่เข้าสู่การวัดสมดุลเมื่อrเข้าสู่ค่าอนันต์ ยิ่งไปกว่านั้น จุดคาบส่วนใหญ่เป็นจุดผลักและอยู่ในดังนั้นจึงได้การวัดลิมิตเดียวกันโดยการหาค่าเฉลี่ยเฉพาะจุดคาบที่ผลักใน เท่านั้น[ ^{5 ] อาจ}มีจุดคาบที่ผลักอยู่นอกด้วย^{[ 6 ]}${\displaystyle f^{r}(z)=z}$${\displaystyle (d^{r(n+1)}-1)/(d^{r}-1)}$${\displaystyle d^{rn}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle J^{*}(f)}$

การวัดสมดุลทำให้มวลเป็นศูนย์สำหรับปริภูมิย่อยเชิงซ้อนปิดใดๆที่ไม่ใช่ปริภูมิทั้งหมด^{[ 7 ]}เนื่องจากจุดคาบในมีความหนาแน่นในจึงสรุปได้ว่าจุดคาบของfมีความหนาแน่นแบบ Zariskiในการพิสูจน์ความหนาแน่นแบบ Zariski นี้ในเชิงพีชคณิตมากขึ้นนั้นได้มาจาก Najmuddin Fakhruddin ^{[ 8 ]}ผลที่ตามมาอีกประการหนึ่งของการให้มวลเป็นศูนย์แก่ปริภูมิย่อยเชิงซ้อนปิดที่ไม่เท่ากับคือ จุดแต่ละจุดมีมวลเป็นศูนย์ ส่งผลให้ส่วนรองรับของไม่มีจุดโดดเดี่ยว ดังนั้นจึงเป็นเซตที่สมบูรณ์ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle \mu _{f}}$

การสนับสนุนของการวัดสมดุลนั้นไม่เล็กเกินไป ในแง่ที่ว่ามิติเฮาส์ดอร์ฟของมันมีค่ามากกว่าศูนย์เสมอ^{[ 7 ]}ในแง่นั้น เอนโดมอร์ฟิซึมของปริภูมิเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟที่มีดีกรีมากกว่า 1 จะมีพฤติกรรมอลหม่านอย่างน้อยในส่วนหนึ่งของปริภูมิเสมอ (มีตัวอย่างที่คือทั้งหมดของ[ ^{9 ] )}อีกวิธีหนึ่งที่จะทำให้fมีพฤติกรรมอลหม่านอย่างแม่นยำคือ เอนโทรปีเชิงโทโพโลยีของfมีค่ามากกว่าศูนย์เสมอ ในความเป็นจริงเท่ากับโดยMikhail Gromov , Michał Misiurewiczและ Feliks Przytycki ^{[ 10 ]}${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle n\log d}$

สำหรับเอนโดมอร์ฟิซึมต่อเนื่องf ใดๆ ของปริภูมิเมตริกกระชับXเอนโทรปีเชิงโทโพโลยีของfจะเท่ากับค่าสูงสุดของเอนโทรปีเชิงทฤษฎีการวัด (หรือ "เอนโทรปีเมตริก") ของ การวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ f ทั้งหมด บนXสำหรับเอนโดมอร์ฟิซึมเชิงโฮโลมอร์ฟิกfของการวัดสมดุลคือ การวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลง เพียงหนึ่งเดียวของเอนโทรปีสูงสุด ตามที่ Briend และ Duval กล่าวไว้^{[ 3 ]}นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งที่จะกล่าวว่าพฤติกรรมที่วุ่นวายที่สุดของfกระจุกตัวอยู่บนส่วนรองรับของการวัดสมดุล ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mu _{f}}$

สุดท้ายนี้ เราสามารถพูดเพิ่มเติมเกี่ยวกับพลวัตของfบนฐานรองรับของการวัดสมดุลได้: fเป็นแบบเออร์โกดิกและยิ่งไปกว่านั้นคือการผสมผสานตามการวัดนั้น โดย Fornaess และ Sibony ^{[ 11 ]}ตัวอย่างเช่น เป็นผลให้สำหรับเกือบทุกจุดที่เกี่ยวข้องกับ วงโคจรไปข้างหน้าของ จุด นั้นมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอตาม${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$

แผนที่Lattèsคือเอนโดมอร์ฟิซึมfที่ได้มาจากเอนโดมอร์ฟิซึมของวาไรตี้อาเบเลียนโดยการหารด้วยกลุ่มจำกัดในกรณีนี้ การวัดสมดุลของfจะต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์เมื่อเทียบกับการวัด Lebesgueบนในทางกลับกัน โดยAnna Zdunik , François Berteloot และ Christophe Dupont เอนโดมอร์ฟิซึมเพียงอย่างเดียวของที่มีการวัดสมดุลต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์เมื่อเทียบกับการวัด Lebesgue คือตัวอย่าง Lattès ^{[ 12 ]}นั่นคือ สำหรับเอนโดมอร์ฟิซึมที่ไม่ใช่ Lattès ทั้งหมดจะกำหนดมวลเต็ม 1 ให้กับเซต Borel บางเซต ที่มีการวัด Lebesgue 0 ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mu _{f}}$

ในมิติที่ 1 เราจะทราบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ "ความไม่สม่ำเสมอ" ของการวัดสมดุล กล่าวคือ กำหนดมิติเฮาส์ดอร์ฟของการวัดความน่าจะเป็นบน(หรือโดยทั่วไปบนแมนิโฟลด์เรียบ) โดย ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

${\displaystyle \dim(\mu )=\inf\{\dim _{H}(Y):\mu (Y)=1\},}$

โดยที่หมายถึงมิติเฮาส์ดอร์ฟของเซตโบเรลYสำหรับเอนโดมอร์ฟิซึมfของที่มีดีกรีมากกว่า 1 Zdunik แสดงให้เห็นว่ามิติของเท่ากับมิติเฮาส์ดอร์ฟของส่วนรองรับ (เซตจูเลีย) ก็ต่อเมื่อfเป็นคู่สมกับแผนที่ Lattès พหุนามเชบีเชฟ (ยกเว้นเครื่องหมาย) หรือแผนที่กำลังที่มี[ ^{14 ] (}ในกรณีหลัง เซตจูเลียคือทั้งหมดของช่วงปิด หรือวงกลม ตามลำดับ^{[ 15 ]} ) ดังนั้น นอกเหนือจากกรณีพิเศษเหล่านั้น การวัดสมดุลจึงไม่สม่ำเสมออย่างมาก โดยกำหนดมวลบวกให้กับเซตย่อยปิดบางส่วนของเซตจูเลียที่มีมิติเฮาส์ดอร์ฟน้อยกว่าเซตจูเลียทั้งหมด ${\displaystyle \dim _{H}(Y)}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle f(z)=z^{\pm d}}$${\displaystyle d\geq 2}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

โดยทั่วไปแล้ว พลวัตเชิงซ้อนมุ่งที่จะอธิบายพฤติกรรมของแผนที่เชิงตรรกะภายใต้การวนซ้ำ กรณีหนึ่งที่ได้รับการศึกษาอย่างประสบความสำเร็จในระดับหนึ่งคือกรณีของออโตมอร์ฟิซึมของวาไรตีเชิงซ้อนแบบเรียบXซึ่งหมายถึงไอโซมอร์ฟิซึมfจากXไปยังตัวมันเอง กรณีที่น่าสนใจหลักคือกรณีที่fกระทำอย่างไม่ธรรมดาต่อ โคฮอโมโล ยี เอกฐาน${\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {Z} )}$

Gromov และ Yosef Yomdin แสดงให้เห็นว่าเอนโทรปีเชิงโทโพโลยีของเอนโดมอร์ฟิซึม (เช่น ออโตมอร์ฟิซึม) ของวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนเรียบนั้นถูกกำหนดโดยการกระทำบนโคฮอโมโลยี^{[ 16 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับXที่มีมิติเชิงซ้อนnและให้เป็นรัศมีสเปกตรัมของfที่กระทำโดยการดึงกลับบนกลุ่มโคฮอโมโลยี Hodgeจากนั้นเอนโทรปีเชิงโทโพโลยีของfคือ ${\displaystyle 0\leq p\leq n}$${\displaystyle d_{p}}$${\displaystyle H^{p,p}(X)\subset H^{2p}(X,\mathbf {C} )}$

${\displaystyle h(f)=\max _{p}\log d_{p}.}$

(เอนโทรปีเชิงโทโพโลยีของfก็คือลอการิทึมของรัศมีสเปกตรัมของfบนโคฮอโมโลยีทั้งหมด) ดังนั้นf จึง มีพฤติกรรมอลวนบางอย่าง ในแง่ที่ว่าเอนโทรปีเชิงโทโพโลยีของมันมีค่ามากกว่าศูนย์ ก็ต่อเมื่อมันกระทำกับกลุ่มโคฮอโมโลยีบางกลุ่มที่มี ค่าไอเกนที่มี ค่าสัมบูรณ์มากกว่า 1 วาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟจำนวนมากไม่มีออโตมอร์ฟิซึมดังกล่าว แต่ (ตัวอย่างเช่น) พื้นผิวเชิงตรรกะและพื้นผิว K3 จำนวนมาก มีออโตมอร์ฟิซึมดังกล่าว^{[ 17 ]}${\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {C} )}$

ให้Xเป็นแมนิโฟลด์ Kähler ขนาดกะทัดรัด ซึ่งรวมถึงกรณีของวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนเรียบ ออโตมอร์ฟิซึมfของXมีการกระทำแบบง่ายบนโคฮอโมโลยีถ้า: มีเพียงจำนวนp เพียงจำนวนเดียว ที่รับค่าสูงสุด การกระทำของfบนมีค่าลักษณะเฉพาะเพียงค่าเดียวที่มีค่าสัมบูรณ์และค่าลักษณะเฉพาะนี้เป็นค่าลักษณะเฉพาะแบบง่ายตัวอย่างเช่นSerge Cantatแสดงให้เห็นว่าออโตมอร์ฟิซึมทุกตัวของพื้นผิว Kähler ขนาดกะทัดรัดที่มีเอนโทรปีเชิงโทโพโลยีเป็นบวกมีการกระทำแบบง่ายบนโคฮอโมโลยี^{[ 18 ]} (ในที่นี้ "ออโตมอร์ฟิซึม" เป็นเชิงซ้อนวิเคราะห์ แต่ไม่ได้ถือว่ารักษาเมตริก Kähler บนXในความเป็นจริง ออโตมอร์ฟิซึมทุกตัวที่รักษาเมตริกจะมีเอนโทรปีเชิงโทโพโลยีเป็นศูนย์) ${\displaystyle d_{p}}$${\displaystyle H^{p,p}(X)}$${\displaystyle d_{p}}$

สำหรับออโตมอร์ฟิ ซึม fที่มีการกระทำอย่างง่ายบนโคฮอโมโลยี เป้าหมายบางประการของพลวัตเชิงซ้อนได้บรรลุผลสำเร็จแล้ว Dinh, Sibony และ Henry de Thélin แสดงให้เห็นว่ามีมาตรวัดความน่าจะเป็นไม่แปรผันที่ไม่ซ้ำกันของเอนโทรปีสูงสุดสำหรับfซึ่งเรียกว่ามาตรวัดสมดุล (หรือมาตรวัดกรี น หรือมาตรวัดเอนโทรปีสูงสุด ) ^{[ 19 ]} (โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีเอนโทรปีเมื่อเทียบกับf ) ส่วนรองรับของเรียกว่าเซตจูเลียขนาดเล็ก อย่างไม่เป็นทางการ: fมีพฤติกรรมอลหม่านบางอย่าง และพฤติกรรมอลหม่านที่สุดจะกระจุกตัวอยู่ในเซตจูเลียขนาดเล็ก อย่างน้อยที่สุดเมื่อXเป็นโปรเจคทีฟจะมีมิติเฮาส์ดอร์ฟเป็นบวก (กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นกำหนดมวลเป็นศูนย์ให้กับเซตทั้งหมดที่มีมิติเฮาส์ดอร์ฟเล็กพอ) ^{[ 20 ]}${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \log d_{p}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle \mu _{f}}$

วาไรตี้อาเบเลียนบางชนิดมีออโตมอร์ฟิซึมที่มีเอนโทรปีเป็นบวก ตัวอย่างเช่น ให้Eเป็นเส้นโค้งวงรี เชิงซ้อน และให้Xเป็นพื้นผิวอาเบเลียนจากนั้นกลุ่มของเมทริกซ์จำนวนเต็มที่ผกผันได้จะกระทำบนXสมาชิกกลุ่มใดๆfที่ มีค่าสัมบูรณ์ ของร่องรอยมากกว่า 2 เช่นจะมีรัศมีสเปกตรัมมากกว่า 1 ดังนั้นจึงให้ออโตมอร์ฟิซึมที่มีเอนโทรปีเป็นบวกของXการวัดสมดุลของfคือการวัดฮาร์ (การวัดเลเบสมาตรฐาน) ^บน X ^{[ 21} ]${\displaystyle E\times E}$${\displaystyle GL(2,\mathbf {Z} )}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}}$

การแปลงอัตโนมัติของ Kummerถูกกำหนดโดยการใช้พื้นที่ผลหารโดยกลุ่มจำกัดของพื้นผิวอาเบเลียนที่มีการแปลงอัตโนมัติ จากนั้นจึงเป่าขึ้นเพื่อให้พื้นผิวเรียบ พื้นผิวที่ได้นั้นรวมถึงพื้นผิว K3 พิเศษบางส่วนและพื้นผิวเชิงตรรกะ สำหรับการแปลงอัตโนมัติของ Kummer การวัดสมดุลมีส่วนรองรับเท่ากับXและเรียบภายนอกเส้นโค้งจำนวนจำกัด ในทางกลับกัน Cantat และ Dupont แสดงให้เห็นว่าสำหรับการแปลงอัตโนมัติของพื้นผิวทั้งหมดที่มีเอนโทรปีเป็นบวก ยกเว้นตัวอย่างของ Kummer การวัดสมดุลจะไม่ต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์เมื่อเทียบกับการวัดของ Lebesgue ^{[ 22 ]}ในแง่นี้ เป็นเรื่องปกติที่การวัดสมดุลของการแปลงอัตโนมัติจะค่อนข้างไม่สม่ำเสมอ

จุดคาบzของfเรียกว่า จุดคาบ อานม้าถ้าสำหรับจำนวนเต็มบวกrที่อย่างน้อยหนึ่งค่าไอเกนของอนุพันธ์ของบนปริภูมิสัมผัสที่zมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 1 อย่างน้อยหนึ่งค่ามีค่าสัมบูรณ์มากกว่า 1 และไม่มีค่าใดมีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 1 (ดังนั้นfจึงขยายตัวในบางทิศทางและหดตัวในทิศทางอื่น ๆ ใกล้z ) สำหรับออโตมอร์ฟิซึมfที่มีการกระทำแบบง่ายบนโคฮอโมโลยี จุดคาบอานม้ามีความหนาแน่นในส่วนรองรับของการวัดสมดุล[ ^{20 ] ใน}ทางกลับกัน การวัดเป็นศูนย์บนปริภูมิย่อยเชิงซ้อนปิดที่ไม่เท่ากับX ^{[ 20 ]}เป็นผลให้จุดคาบของf (หรือแม้แต่จุดคาบอานม้าที่อยู่ในส่วนรองรับของ ) มีความ หนาแน่น แบบ Zariski ใน X${\displaystyle f^{r}(z)=z}$${\displaystyle f^{r}}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$

สำหรับออโตมอร์ฟิซึมfที่มีการกระทำง่ายๆ บนโคฮอโมโลยีfและแผนที่ผกผันของมันเป็นเออร์โกดิก และยิ่งไปกว่านั้นคือการผสมกันโดยสัมพันธ์กับการวัดสมดุล[ ^{23 ] เป็น}ผลให้สำหรับเกือบทุกจุดzโดยสัมพันธ์กับวงโคจรไปข้างหน้าและย้อนกลับของzต่างก็มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอโดยสัมพันธ์กับ ${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle \mu _{f}}$

ความแตกต่างที่สำคัญกับกรณีของเอนโดมอร์ฟิซึมของคือ สำหรับออโตมอร์ฟิซึมfที่มีการกระทำแบบง่ายบนโคฮอโมโลยี อาจมีเซตย่อยเปิดที่ไม่ว่างของXซึ่งวงโคจรไปข้างหน้าหรือข้างหลังไม่เข้าใกล้ส่วนรองรับของการวัดสมดุล ตัวอย่างเช่น Eric Bedford, Kyounghee Kim และCurtis McMullenได้สร้างออโตมอร์ฟิซึมfของพื้นผิวเชิงตรรกะแบบโปรเจคทีฟเรียบที่มีเอนโทรปีเชิงโทโพโลยีเป็นบวก (ดังนั้นจึงมีการกระทำแบบง่ายบนโคฮอโมโลยี) โดยที่fมีดิสก์ Siegel ซึ่งการกระทำของfนั้นเป็นคู่ควบกับการหมุนที่ไม่เป็นตรรกะ^{[ 24 ]}จุดในเซตเปิดนั้นไม่เคยเข้าใกล้ภายใต้การกระทำของfหรือผกผันของมัน ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle J^{*}(f)}$${\displaystyle J^{*}(f)}$

อย่างน้อยในมิติเชิงซ้อน 2 การวัดสมดุลของfอธิบายการกระจายของจุดคาบที่แยกเดี่ยวของf (อาจมีเส้นโค้งเชิงซ้อนที่ตรึงโดยfหรือตัววนซ้ำ ซึ่งถูกละเลยในที่นี้) กล่าวคือ ให้fเป็นออโตมอร์ฟิซึมของพื้นผิว Kähler ขนาดกะทัดรัดXที่มีเอนโทรปีเชิงโทโพโลยีเป็น บวก พิจารณาการวัดความน่าจะเป็นซึ่งกระจายอย่างสม่ำเสมอบนจุดคาบที่แยกเดี่ยวของคาบr (หมายความว่า) จากนั้นการวัดนี้จะลู่เข้าอย่างอ่อนไปยังเมื่อrเข้าสู่อินฟินิตี้ โดย Eric Bedford, Lyubich และJohn Smillie [ ^{25 ] เช่น} เดียวกันนี้ใช้ได้กับเซตย่อยของจุดคาบ อานม้า เนื่องจากทั้งสองเซตของจุดคาบเติบโตในอัตรา${\displaystyle h(f)=\log d_{1}}$${\displaystyle f^{r}(z)=z}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle (d_{1})^{r}}$

• พลวัตในมิติเชิงซ้อน 1
  • การวิเคราะห์ที่ซับซ้อน
  • พหุนามกำลังสองเชิงซ้อน
  • การประกอบฟังก์ชันวิเคราะห์แบบอนันต์
  • ทฤษฎีบทของมอนเทล
  • เมตริกปวงกาเร
  • เลมมาของชวาร์ซ
  • ทฤษฎีบทการแมปของรีมันน์
  • ทฤษฎีบทของคาราเธโอโดรี (การแปลงแบบคอนฟอร์มอล)
  • สมการของ Böttcher
  • ภาพถ่ายวงโคจร
  • ปริศนาYoccoz

• พื้นที่ที่เกี่ยวข้องกับพลศาสตร์
  • พลศาสตร์เชิงเลขคณิต
  • ทฤษฎีความโกลาหล
  • พลวัตเชิงสัญลักษณ์

• แกลเลอรีแห่งพลวัต (เคอร์ติส แมคมัลเลน)
• การสำรวจในระบบพลวัต