ในเรขาคณิตแนวคิดเรื่องการเชื่อมต่อทำให้เห็นภาพชัดเจนขึ้นถึงการเคลื่อนย้ายวัตถุทางเรขาคณิตเฉพาะที่ เช่นเวกเตอร์สัมผัสหรือเทนเซอร์ในปริภูมิสัมผัสไปตามเส้นโค้งหรือกลุ่มของเส้นโค้งใน ลักษณะ ขนานและสอดคล้องกัน การเชื่อมต่อในเรขาคณิตสมัยใหม่มีหลายประเภท ขึ้นอยู่กับชนิดของข้อมูลที่ต้องการเคลื่อนย้าย ตัวอย่างเช่นการเชื่อมต่อแบบแอฟฟินซึ่งเป็นการเชื่อมต่อพื้นฐานที่สุด ให้วิธีการเคลื่อนย้ายเวกเตอร์สัมผัสบนแมนิโฟลด์จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งตามเส้นโค้งในลักษณะขนาน การเชื่อมต่อแบบแอฟฟินมักแสดงในรูปของอนุพันธ์ร่วมแปรซึ่งเป็นวิธีการหาอนุพันธ์เชิงทิศทางของสนามเวกเตอร์ โดยวัดการเบี่ยงเบนของสนามเวกเตอร์จากการขนานในทิศทางที่กำหนด

การเชื่อมต่อมีความสำคัญอย่างยิ่งในเรขาคณิตสมัยใหม่ ส่วนหนึ่งเป็นเพราะมันช่วยให้สามารถเปรียบเทียบเรขาคณิตเฉพาะที่ ณ จุดหนึ่งกับเรขาคณิตเฉพาะที่ ณ อีกจุดหนึ่งได้ เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ครอบคลุมรูปแบบต่างๆ ของการเชื่อมต่อ ซึ่งแบ่งออกเป็นสองกลุ่มหลัก ได้แก่ ทฤษฎีอนันต์เล็กและทฤษฎีเฉพาะที่ ทฤษฎีเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดของการขนส่งแบบขนานและโฮโลโนมี เป็นหลัก ส่วน ทฤษฎีอนันต์เล็กเกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์ของข้อมูลทางเรขาคณิต ดังนั้นอนุพันธ์ร่วมแปรจึงเป็นวิธีหนึ่งในการระบุอนุพันธ์ของสนามเวกเตอร์ตามสนามเวกเตอร์อื่นบนแมนิโฟลด์การเชื่อมต่อของคาร์ตันเป็นวิธีหนึ่งในการกำหนดบางแง่มุมของทฤษฎีการเชื่อมต่อโดยใช้รูปแบบเชิงอนุพันธ์และกลุ่มลีการเชื่อมต่อของเอเรสแมนน์เป็นการเชื่อมต่อในบันเดิลไฟเบอร์หรือบันเดิลหลักโดยการระบุทิศทางการเคลื่อนที่ที่อนุญาตของสนามการเชื่อมต่อของโคซูลเป็นการเชื่อมต่อที่กำหนดอนุพันธ์ทิศทางสำหรับส่วนต่างๆ ของบันเดิลเวกเตอร์ที่ทั่วไปกว่าบันเดิลสัมผัส

ความเชื่อมโยงเหล่านี้ยังนำไปสู่การกำหนดสูตรที่สะดวกสำหรับค่าคงที่ทางเรขาคณิตเช่นความโค้ง (ดูเพิ่มเติมที่ เทนเซอร์ความโค้งและรูปแบบความโค้ง ) และ เทน เซอร์ แรงบิด

ลองพิจารณาปัญหาต่อไปนี้ สมมติว่าเวกเตอร์สัมผัสของทรงกลมSกำหนดไว้ที่ขั้วเหนือ และเราต้องการกำหนดวิธีการเคลื่อนย้ายเวกเตอร์นี้ไปยังจุดอื่นๆ บนทรงกลมอย่างสม่ำเสมอ นั่นคือ วิธีการเคลื่อนย้ายแบบขนานโดยทั่วไปแล้ว อาจทำได้โดยใช้ระบบพิกัด เฉพาะระบบหนึ่ง อย่างไรก็ตาม หากไม่ระมัดระวัง การเคลื่อนย้ายแบบขนานที่กำหนดในระบบพิกัดหนึ่งจะไม่สอดคล้องกับการเคลื่อนย้ายแบบขนานที่กำหนดในระบบพิกัดอื่น ระบบการเคลื่อนย้ายแบบขนานที่เหมาะสมกว่านั้นใช้ประโยชน์จากสมมาตรของทรงกลมภายใต้การหมุน เมื่อกำหนดเวกเตอร์ที่ขั้วเหนือแล้ว เราสามารถเคลื่อนย้ายเวกเตอร์นี้ไปตามเส้นโค้งได้โดยการหมุนทรงกลมในลักษณะที่ขั้วเหนือเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งโดยไม่เกิดการกลิ้งตามแกน วิธีการเคลื่อนย้ายแบบขนานแบบหลังนี้คือการเชื่อมต่อ Levi-Civitaบนทรงกลม ถ้ากำหนดเส้นโค้งสองเส้นที่แตกต่างกันโดยมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเดียวกัน และเวกเตอร์vถูกเคลื่อนย้ายอย่างคงที่ไปตามเส้นโค้งแรกโดยการหมุน เวกเตอร์ที่ได้ ณ จุดสิ้นสุดจะแตกต่างจากเวกเตอร์ที่ได้จากการเคลื่อนย้ายv อย่างคงที่ ไปตามเส้นโค้งที่สอง ปรากฏการณ์นี้สะท้อนถึงความโค้งของทรงกลม อุปกรณ์เชิงกลอย่างง่ายที่สามารถใช้เพื่อแสดงภาพการขนส่งแบบขนานได้คือรถ ม้าชี้ทิศใต้

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าSเป็นทรงกลมที่กำหนดพิกัดโดยการฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิกให้ถือว่าSประกอบด้วยเวกเตอร์หน่วยในR³แล้วS ^จะมีคู่ของส่วนพิกัดที่สอดคล้องกับการฉายภาพจากขั้วเหนือและขั้วใต้ การแมป

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{0}(x,y)&=\left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)\\[8pt]\varphi _{1}(x,y)&=\left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {x^{2}+y^{2}-1}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

ครอบคลุมบริเวณใกล้เคียงU ของขั้วโลกเหนือและU ของขั้วโลกใต้ ตามลำดับ ให้X , Y , Zเป็นพิกัดแวดล้อมในR ³จากนั้น φ และ φ จะมีอินเวอร์ส

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{0}^{-1}(X,Y,Z)&=\left({\frac {X}{Z+1}},{\frac {Y}{Z+1}}\right),\\[8pt]\varphi _{1}^{-^{-1}}(X,Y,Z)&=\left({\frac {-X}{Z-1}},{\frac {-Y}{Z-1}}\right),\end{aligned}}}$

ดังนั้นฟังก์ชันการเปลี่ยนพิกัดจึงเป็นการผกผันในวงกลม :

${\displaystyle \varphi _{01}(x,y)=\varphi _{0}^{-1}\circ \varphi _{1}(x,y)=\left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right)}$

ต่อไปนี้เราจะแสดงสนามเวกเตอร์ บน S (การกำหนดเวกเตอร์สัมผัสให้กับแต่ละจุดใน S) ในพิกัดท้องถิ่น ถ้าPเป็นจุดของU ⊂ Sแล้ว สนามเวกเตอร์อาจแสดงได้โดยการส่งต่อสนามเวกเตอร์v บนR ²โดย: ${\displaystyle v}$${\displaystyle \varphi _{0}}$

${\displaystyle v(P)=J_{\varphi _{0}}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)\cdot {\mathbf {v} _{0}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)}$

1

โดยที่แทนเมทริกซ์จาโคเบียนของ φ ( ) และv  =  v ( x ,  y ) คือฟิลด์เวกเตอร์บนR ²ที่กำหนดโดยv อย่างไม่ซ้ำกัน (เนื่องจากการผลักดันไปข้างหน้าของการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลเฉพาะที่ ณ จุดใด ๆ สามารถผกผันได้) ยิ่งไปกว่านั้น บนส่วนที่ทับซ้อนกันระหว่างแผนภูมิพิกัดU ∩ U เป็นไปได้ที่จะแสดงฟิลด์เวกเตอร์เดียวกันโดยสัมพันธ์กับพิกัด φ : ${\displaystyle J_{\varphi _{0}}}$${\displaystyle d{\varphi _{0}__{x}({\mathbf {u} })=J_{\varphi _{0}}(x)\cdot {\mathbf {u} }}$

${\displaystyle v(P)=J_{\varphi _{1}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right)\cdot {\mathbf {v} _{1}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right)}$

2

ในการเชื่อมโยงส่วนประกอบv และv ให้ใช้กฎลูกโซ่กับเอกลักษณ์ φ = φ o φ :

${\displaystyle J_{\varphi _{1}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right)=J_{\varphi _{0}}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)\cdot J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right).}$

การนำสมการเมทริกซ์นี้ไปใช้กับเวกเตอร์ส่วนประกอบv (φ ⁻¹ ( P )) ทั้งสองด้าน และเรียกใช้ ( 1 ) และ ( 2 ) จะได้

${\displaystyle {\mathbf {v} }_{0}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)=J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{1}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right).}$

3

ต่อไปนี้เราจะมาถึงคำถามหลักเกี่ยวกับการกำหนดวิธีการเคลื่อนย้ายสนามเวกเตอร์ขนานไปตามเส้นโค้ง สมมติว่าP ( t ) เป็นเส้นโค้งในSโดยทั่วไปแล้ว เราอาจพิจารณาว่าสนามเวกเตอร์ขนานกันได้ก็ต่อเมื่อส่วนประกอบพิกัดของสนามเวกเตอร์นั้นคงที่ตลอดเส้นโค้ง อย่างไรก็ตาม ความกำกวมก็เกิดขึ้นทันที: ส่วนประกอบเหล่านี้ควรคงที่ในระบบพิกัด ใด ?

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าv ( P ( t )) มีส่วนประกอบคงที่ใน ระบบพิกัด U นั่นคือ ฟังก์ชันv ( φ ⁻¹ ( P ( t ))) มีค่าคงที่ อย่างไรก็ตาม การใช้กฎผลคูณกับ ( 3 ) และใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าd v / dt = 0 จะได้

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\mathbf {v} }_{0}\left(\varphi _{0}^{-1}(P(t))\right)=\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P(t))\right)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{1}\left(\varphi _{1}^{-1}\left(P(t)\right)\right).}$

แต่ เมทริกซ์ จะเป็นเมทริกซ์ที่ไม่เอกฐานเสมอ (โดยที่เส้นโค้งP ( t ) ไม่ใช่เส้นโค้งนิ่ง) ดังนั้นv1และv0 จึงไม่สามารถมีค่าคงที่พร้อมกันตลอดเส้นโค้ง ${\displaystyle \left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P(t))\right)\right)}$

ปัญหาที่กล่าวมาข้างต้นคืออนุพันธ์เชิงทิศทาง ตามปกติ ของแคลคูลัสเวกเตอร์นั้นทำงานได้ไม่ดีนักเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงระบบพิกัดเมื่อนำไปใช้กับส่วนประกอบของสนามเวกเตอร์ ทำให้การอธิบายวิธีการแปลสนามเวกเตอร์ในลักษณะขนานนั้นค่อนข้างยาก หรืออาจกล่าวได้ว่าแนวคิดดังกล่าวไม่มีความหมายอะไรเลย มีสองวิธีที่แตกต่างกันโดยพื้นฐานในการแก้ปัญหานี้

แนวทางแรกคือการตรวจสอบสิ่งที่จำเป็นสำหรับการวางนัยทั่วไปของอนุพันธ์ทิศทางเพื่อให้ "ทำงานได้ดี" ภายใต้การเปลี่ยนพิกัด นี่คือกลยุทธ์ที่ใช้ใน แนวทาง อนุพันธ์ร่วมแปรสำหรับการเชื่อมต่อ: การทำงานที่ดีนั้นเทียบเท่ากับความร่วมแปรในที่นี้เราพิจารณาการปรับเปลี่ยนอนุพันธ์ทิศทางโดยตัวดำเนินการเชิงเส้น บางอย่าง ซึ่งส่วนประกอบของมันเรียกว่าสัญลักษณ์คริสตอฟเฟลซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์บนฟิลด์เวกเตอร์เอง อนุพันธ์ทิศทางD vของส่วนประกอบของเวกเตอร์vในระบบพิกัดφในทิศทางuจะถูกแทนที่ด้วยอนุพันธ์ร่วมแปร :

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }=D_{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }+\Gamma (\varphi )\{{\mathbf {u} },{\mathbf {v} }\}}$

โดยที่ Γ ขึ้นอยู่กับระบบพิกัดφและเป็นฟังก์ชันทวิเชิงเส้นในuและvโดยเฉพาะอย่างยิ่ง Γ ไม่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ใดๆ บนuหรือvในแนวทางนี้ Γ จะต้องแปลงไปในลักษณะที่กำหนดไว้เมื่อระบบพิกัดφเปลี่ยนไปเป็นระบบพิกัดอื่น การแปลงนี้ไม่ใช่การแปลงแบบเทนเซอร์เนื่องจากเกี่ยวข้องกับอนุพันธ์อันดับแรกของการเปลี่ยนพิกัดและอนุพันธ์อันดับสองการระบุถึงกฎการแปลงของ Γ เพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอที่จะกำหนด Γ ได้อย่างไม่ซ้ำกัน ต้องมีการกำหนดเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานอื่นๆ ซึ่งโดยปกติจะขึ้นอยู่กับประเภทของเรขาคณิตที่กำลังพิจารณา ในเรขาคณิตแบบรีมันน์การเชื่อมต่อ Levi-Civitaต้องการความเข้ากันได้ของสัญลักษณ์ Christoffelกับเมตริก (รวมถึงเงื่อนไขสมมาตรบางอย่าง) ด้วยการทำให้เป็นมาตรฐานเหล่านี้ การเชื่อมต่อจึงถูกกำหนดได้อย่างไม่ซ้ำกัน

แนวทางที่สองคือการใช้กลุ่มลี (Lie groups)เพื่อพยายามจับเอาความสมมาตรบางส่วนบนปริภูมิ นี่คือแนวทางของการเชื่อมต่อแบบคาร์ตัน (Cartan connections ) ตัวอย่างข้างต้นที่ใช้การหมุนเพื่อระบุการเคลื่อนย้ายเวกเตอร์แบบขนานบนทรงกลมนั้นก็อยู่ในแนวทางนี้เช่นกัน

ในอดีต การเชื่อมต่อได้รับการศึกษาจาก มุมมอง ระดับอนันต์ในเรขาคณิตแบบรีมันน์การศึกษาการเชื่อมต่อในระดับอนันต์เริ่มต้นขึ้นในระดับหนึ่งโดยเอลวิน คริสโตเฟลต่อมาได้รับการศึกษาอย่างละเอียดมากขึ้นโดยเกรกอริโอ ริชชี-เคอร์บาสโตรและทุลลิโอ เลวี-ซิวิทา ( Levi-Civita & Ricci 1900 ) ซึ่งสังเกตว่าการเชื่อมต่อในความหมายระดับอนันต์ของคริสโตเฟลยังช่วยให้เกิดแนวคิดเรื่องการขนส่งแบบขนานได้ อีกด้วย

งานของ Levi-Civita มุ่งเน้นไปที่การพิจารณาการเชื่อมต่อในฐานะตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ ชนิดหนึ่ง ซึ่งการเคลื่อนที่แบบขนานนั้นเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เมื่อศตวรรษที่ 20 ดำเนินไปÉlie Cartanได้พัฒนาแนวคิดใหม่เกี่ยวกับการเชื่อมต่อ เขาพยายามประยุกต์ใช้เทคนิคของระบบ Pfaffianกับเรขาคณิตของโครงการ ErlangenของFelix Kleinในการศึกษาเหล่านี้ เขาพบว่าแนวคิดการเชื่อมต่อแบบอนันต์ ( การเชื่อมต่อแบบ Cartan ) สามารถนำไปใช้กับเรขาคณิตเหล่านี้และอื่นๆ ได้ แนวคิดการเชื่อมต่อของเขาอนุญาตให้มีความโค้งซึ่งจะไม่มีอยู่ในเรขาคณิตแบบ Klein คลาสสิก (ดูตัวอย่างเช่น ( Cartan 1926 ) และ ( Cartan 1983 )) ยิ่งไปกว่านั้น การใช้พลศาสตร์ของGaston Darbouxทำให้ Cartan สามารถสรุปแนวคิดของการขนส่งแบบขนานสำหรับการเชื่อมต่อแบบอนันต์ของเขาได้ สิ่งนี้ได้สร้างประเด็นสำคัญอีกประเด็นหนึ่งในทฤษฎีการเชื่อมต่อ นั่นคือ การเชื่อมต่อเป็น รูปแบบ เชิง อนุพันธ์ ชนิดหนึ่ง

แนวคิดหลักสองประการในทฤษฎีการเชื่อมต่อยังคงมีอยู่จนถึงปัจจุบัน ได้แก่ การเชื่อมต่อในฐานะตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ และการเชื่อมต่อในฐานะรูปแบบเชิงอนุพันธ์ ในปี 1950 ฌอง-หลุยส์ โคซูล ( Koszul 1950 ) ได้วางกรอบพีชคณิตสำหรับการพิจารณาการเชื่อมต่อในฐานะตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์โดยใช้การเชื่อมต่อของโคซูลการเชื่อมต่อของโคซูลมีความทั่วไปมากกว่าการเชื่อมต่อของเลวี-ซีวิทา และใช้งานง่ายกว่าเพราะในที่สุดก็สามารถกำจัด (หรืออย่างน้อยก็ซ่อน) สัญลักษณ์คริสตอฟเฟล ที่ยุ่งยาก ออกจากรูปแบบการเชื่อมต่อได้ การดำเนินการการเคลื่อนย้ายแบบขนานที่เกี่ยวข้องก็มีการตีความทางพีชคณิตที่เป็นธรรมชาติในแง่ของการเชื่อมต่อ คำจำกัดความของโคซูลได้รับการยอมรับจากชุมชนเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ส่วนใหญ่ในเวลาต่อมา เนื่องจากเป็นการแปลง ความสอดคล้อง เชิงวิเคราะห์ระหว่างการหาอนุพันธ์ร่วมแปรและการแปลแบบขนานให้เป็นความสอดคล้องเชิง พีชคณิต ได้อย่างมีประสิทธิภาพ

ในปีเดียวกันนั้นชาร์ลส์ เอเรสแมนน์ ( Ehresmann 1950 ) ศิษย์ของคาร์ตัน ได้นำเสนอแนวคิดการเชื่อมต่อในรูปแบบที่แตกต่างออกไป โดยมองในมุมมองของรูปแบบเชิงอนุพันธ์ในบริบทของบันเดิลหลักและโดยทั่วไปแล้ว บันเดิ ล ไฟเบอร์การเชื่อมต่อของเอเรสแมนน์นั้นโดยแท้จริงแล้วไม่ใช่การวางนัยทั่วไปของการเชื่อมต่อของคาร์ตัน การเชื่อมต่อของคาร์ตันนั้นผูกพันอย่างแน่นหนากับ โทโพ โลยีเชิงอนุพันธ์ พื้นฐาน ของแมนิโฟลด์ เนื่องจากความสัมพันธ์กับวิธีการสมมูลของคาร์ตันการเชื่อมต่อของเอเรสแมนน์จึงเป็นกรอบที่มั่นคงสำหรับการพิจารณาผลงานพื้นฐานของนักเรขาคณิตคนอื่นๆ ในยุคนั้น เช่นชิง-เชน เชิร์นซึ่งเริ่มหันเหออกจากการเชื่อมต่อของคาร์ตันเพื่อศึกษาในสิ่งที่อาจเรียกว่าการเชื่อมต่อเกจในมุมมองของเอเรสแมนน์ การเชื่อมต่อในบันเดิลหลักประกอบด้วยการกำหนดฟิลด์เวกเตอร์แนวนอนและแนวตั้งบนปริภูมิทั้งหมดของบันเดิล การแปลแบบขนานจึงเป็นการยกเส้นโค้งจากฐานไปยังเส้นโค้งในบันเดิลหลักซึ่งเป็นแนวนอน มุมมองนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีคุณค่าอย่างยิ่งในการศึกษาเรื่ององค์รวม (holonomy )

• แนวทางที่ค่อนข้างตรงไปตรงมาคือการระบุว่าอนุพันธ์ร่วมแปรมีผลต่อองค์ประกอบของโมดูลของฟิลด์เวกเตอร์ อย่างไร ในฐานะตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์โดยทั่วไปแล้ว แนวทางที่คล้ายกันนี้สามารถนำไปใช้กับการเชื่อมต่อในบันเดิลเวกเตอร์ใด ๆ ก็ได้
• สัญกรณ์ดัชนีแบบดั้งเดิมระบุการเชื่อมต่อโดยใช้ส่วนประกอบ ดูสัญลักษณ์ของ Christoffel ( หมายเหตุ : มีดัชนีสามตัว แต่ไม่ใช่เทนเซอร์ )
• ในเรขาคณิตแบบซูโดรีมันน์และ แบบรีมันน์ การ เชื่อม ต่อแบบ เลวี-ซิวิทาเป็นการเชื่อมต่อพิเศษที่เกี่ยวข้องกับเทนเซอร์เมตริก
• นี่คือตัวอย่างของการเชื่อมต่อแบบแอฟฟินนอกจากนี้ยังมีแนวคิดเรื่องการเชื่อมต่อแบบโปรเจคทีฟซึ่งอนุพันธ์ชวาร์เซียนในวิเคราะห์เชิงซ้อนเป็นตัวอย่างหนึ่ง โดยทั่วไปแล้ว ทั้งการเชื่อมต่อแบบแอฟฟินและการเชื่อมต่อแบบโปรเจคทีฟต่างก็เป็นประเภทหนึ่งของการเชื่อมต่อแบบคาร์ตัน
• โดยใช้กลุ่มหลัก (principal bundles ) การเชื่อมต่อสามารถแสดงออกมาในรูปแบบเชิงอนุพันธ์ที่มีค่าเป็นพีชคณิตลี (Lie algebra ) ดูที่การเชื่อมต่อ (กลุ่มหลัก )
• แนวทางการเชื่อมต่อแบบหนึ่งที่ใช้ประโยชน์จากแนวคิดเรื่องการส่งผ่าน "ข้อมูล" (ไม่ว่าข้อมูลนั้นจะเป็นอะไรก็ตาม) โดยตรง คือ การเชื่อมต่อ แบบEhresmann
• แนวทางที่เป็นนามธรรมที่สุดอาจเป็นแนวทางที่เสนอโดยAlexander Grothendieckซึ่ง มองว่า การเชื่อมต่อ Grothendieckเป็น ข้อมูล สืบเนื่องมาจากบริเวณใกล้เคียงที่เล็กมากของเส้นทแยงมุมดู ( Osserman 2004 )

• การเชื่อมต่อแบบแอฟฟิน
• การเชื่อมต่อคาร์ตัน
• ความเชื่อมโยงของเอเรสแมนน์
• ความเชื่อมโยงของ Grothendieck
• ความเชื่อมโยงระหว่าง Levi-Civita
• แบบฟอร์มการเชื่อมต่อ
• การเชื่อมต่อ (ท่อร่วมไฟเบอร์)
• การเชื่อมต่อ (ชุดหลัก)
• การเชื่อมต่อ (ชุดเวกเตอร์)
• การเชื่อมต่อ (กลุ่มแอฟฟิน)
• การเชื่อมต่อ (ชุดรวม)
• การเชื่อมต่อ (กรอบพีชคณิต)
• ทฤษฎีเกจ (คณิตศาสตร์)
• การเชื่อมต่อคอนเนส

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ (คณิตศาสตร์)ในวิกิมีเดียคอมมอนส์
• การเชื่อมต่อที่ Manifold Atlas