สมการความต่อเนื่อง

Q: รูปแบบที่แตกต่างกัน

ตาม ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ สมการความต่อเนื่องทั่วไปสามารถเขียนใน "รูปแบบเชิงอนุพันธ์" ได้เช่นกัน:

สมการความต่อเนื่องหรือสมการการขนส่งคือสมการที่อธิบายการขนส่งของปริมาณบางอย่าง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการนี้มีความเรียบง่ายและทรงพลังเมื่อใช้กับปริมาณ ที่อนุรักษ์ไว้แต่สามารถขยายให้ครอบคลุมปริมาณ ใดๆ ก็ได้เนื่องจากมวล พลังงานโมเมนตัมประจุไฟฟ้าและ ปริมาณ ทางธรรมชาติอื่นๆถูกอนุรักษ์ไว้ภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสม จึงสามารถอธิบายปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์ต่างๆ ได้โดยใช้สมการความต่อเนื่อง

สมการความต่อเนื่องเป็นรูปแบบที่เข้มงวดกว่าและเฉพาะที่ของกฎการอนุรักษ์ตัวอย่างเช่น กฎการอนุรักษ์พลังงาน แบบอ่อน ระบุว่าพลังงานไม่สามารถสร้างขึ้นหรือทำลายได้ กล่าวคือ ปริมาณพลังงานทั้งหมดในจักรวาลนั้นคงที่ คำกล่าวนี้ไม่ได้ตัดความเป็นไปได้ที่พลังงานปริมาณหนึ่งจะหายไปจากจุดหนึ่งในขณะเดียวกันก็ปรากฏขึ้นที่อีกจุดหนึ่ง คำกล่าวที่เข้มงวดกว่าคือพลังงานได้ รับการอนุรักษ์ ในระดับท้องถิ่นพลังงานไม่สามารถสร้างขึ้นหรือทำลายได้และไม่สามารถ " เทเลพอร์ต " จากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่งได้ มันสามารถเคลื่อนที่ได้โดยการไหลอย่างต่อเนื่องเท่านั้น สมการความต่อเนื่องเป็นวิธีการทางคณิตศาสตร์ในการแสดงคำกล่าวประเภทนี้ ตัวอย่างเช่น สมการความต่อเนื่องสำหรับประจุไฟฟ้ากล่าวว่าปริมาณประจุไฟฟ้าในปริมาตรใด ๆ ของพื้นที่สามารถเปลี่ยนแปลงได้โดยปริมาณกระแสไฟฟ้าที่ไหลเข้าหรือออกจากปริมาตรนั้นผ่านขอบเขตของมันเท่านั้น

โดยทั่วไปแล้ว สมการความต่อเนื่องสามารถรวมถึงพจน์ "แหล่งกำเนิด" และ "ปลายทาง" ซึ่งช่วยให้สามารถอธิบายปริมาณที่มักจะคงที่ แต่ไม่เสมอไป เช่น ความหนาแน่นของโมเลกุลชนิดหนึ่งที่สามารถเกิดขึ้นหรือถูกทำลายได้ด้วยปฏิกิริยาเคมี ในตัวอย่างในชีวิตประจำวัน มีสมการความต่อเนื่องสำหรับจำนวนประชากรที่ยังมีชีวิตอยู่ โดยมี "พจน์แหล่งกำเนิด" เพื่ออธิบายการเกิดของคน และ "พจน์ปลายทาง" เพื่ออธิบายการตายของคน

สมการความต่อเนื่องใดๆ สามารถแสดงได้ใน "รูปแบบปริพันธ์" (ในรูปของปริพันธ์ฟลักซ์ ) ซึ่งใช้ได้กับบริเวณจำกัดใดๆ หรือใน "รูปแบบเชิงอนุพันธ์" (ในรูปของ ตัวดำเนินการ ไดเวอร์เจนซ์) ซึ่งใช้ได้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง

สมการความต่อเนื่องเป็นพื้นฐานของสมการการขนส่งที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้น เช่นสมการการพาความร้อนและการแพร่กระจายสมการการขนส่งของโบลต์ซมันน์และสมการนาเวียร์-สโตกส์

การไหลที่ควบคุมโดยสมการความต่อเนื่องสามารถแสดงให้เห็นภาพได้โดยใช้แผนภาพซานคีย์

สมการทั่วไป

นิยามของฟลักซ์

สมการความต่อเนื่องมีประโยชน์เมื่อสามารถกำหนดฟลักซ์ได้ ในการกำหนดฟลักซ์ ก่อนอื่นต้องมีปริมาณ q ที่สามารถไหลหรือเคลื่อนที่ได้ เช่น มวล พลังงาน ประจุไฟฟ้า โมเมนตัมจำนวน $โมเลกุล$ เป็นต้นให้ ρ เป็น ความหนาแน่นเชิง $ปริมาตร$ ของปริมาณนี้ นั่นคือ ปริมาณ $q$ ต่อหน่วยปริมาตร

ลักษณะการไหลของปริมาณ $q$ นี้ อธิบายได้ด้วยฟลักซ์ ฟลักซ์ของ $q$ คือสนามเวกเตอร์ซึ่งเราใช้สัญลักษณ์j แทน ต่อ ไปนี้คือตัวอย่างและคุณสมบัติของฟลักซ์:

มิติของฟลักซ์คือ "ปริมาณ $q$ ที่ไหลต่อหน่วยเวลา ผ่านหน่วยพื้นที่" ตัวอย่างเช่น ในสมการความต่อเนื่องของมวลสำหรับน้ำที่ไหล ถ้ามีน้ำ 1 กรัมต่อวินาทีไหลผ่านท่อที่มีพื้นที่หน้าตัด 1 ^cm² แล้วฟลักซ์มวลเฉลี่ย $j$ ภายในท่อคือ(1 g/s) / cm² ^และทิศทางของฟลักซ์จะอยู่ตามแนวท่อในทิศทางที่น้ำไหล ส่วนภายนอกท่อซึ่งไม่มีน้ำ ฟลักซ์จะเป็นศูนย์
ถ้ามีสนามความเร็ว $u$ ที่อธิบายการไหลที่เกี่ยวข้อง กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้าปริมาณ $q$ ทั้งหมด ณ จุด $x$ เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว $u (x)$ แล้ว ฟลักซ์จะเท่ากับความหนาแน่นคูณด้วยสนามความเร็วตามคำนิยาม

\mathbf {j} =\rho \mathbf {u}

ตัวอย่างเช่น หากในสมการความต่อเนื่องของมวลสำหรับน้ำที่ไหล

u

คือความเร็วของน้ำ ณ แต่ละจุด และ

ρ

คือความหนาแน่นของน้ำ ณ แต่ละจุด แล้ว

j

จะเป็นฟลักซ์มวล หรือที่เรียกว่าปริมาณการไหล ของ วัสดุ

ในตัวอย่างที่รู้จักกันดี ฟลักซ์ของประจุไฟฟ้าคือความหนาแน่นของกระแสไฟฟ้า

ถ้ามีพื้นผิวสมมติ $S$ อยู่จริง ปริมาณ การไหลที่คำนวณได้ จากปริพันธ์พื้นผิว ของ $S$ จะเท่ากับปริมาณ $q$ ที่ไหลผ่านพื้นผิว $S$ ต่อหน่วยเวลา:

$({\text{อัตราที่ }}q{\text{ไหลผ่านพื้นผิวสมมติ }}S)=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S}$

ซึ่ง

{\textstyle \iint _{S}d\mathbf {S} }

เป็นปริพันธ์พื้นผิว

(โปรดทราบว่า แนวคิดที่เรียกว่า "ฟลักซ์" ในที่นี้ อาจถูกเรียกว่า " ความหนาแน่นฟลักซ์ " ในเอกสารบางฉบับ ซึ่งในบริบทนั้น "ฟลักซ์" หมายถึงปริพันธ์พื้นผิวของความหนาแน่นฟลักซ์ ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ในบทความหลักเรื่องฟลักซ์ )

รูปแบบอินทิกรัล

รูปแบบปริพันธ์ของสมการความต่อเนื่องระบุว่า:

ปริมาณ $q$ ในบริเวณหนึ่งจะเพิ่มขึ้นเมื่อมี $q$ เพิ่มเติม ไหลเข้ามาทางพื้นผิวของบริเวณนั้น และจะลดลงเมื่อมี q ไหลออกไปด้านนอก
ปริมาณของ $q$ ในบริเวณหนึ่งจะเพิ่มขึ้นเมื่อ มีการสร้าง $q$ ใหม่ ภายในบริเวณนั้น และจะลดลงเมื่อ $q$ ถูกทำลาย
นอกเหนือจากสองกระบวนการนี้แล้ว ไม่มีวิธีอื่นใดที่จะทำให้ปริมาณ $q$ ในภูมิภาคหนึ่งเปลี่ยนแปลงได้

ในทางคณิตศาสตร์ รูปแบบปริพันธ์ของสมการความต่อเนื่องที่แสดงอัตราการเพิ่มขึ้นของ $q$ ภายในปริมาตร $V$ คือ:

${\frac {\partial q}{\partial t}}+\oint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} =\Sigma$

ในรูปแบบปริพันธ์ของสมการความต่อเนื่อง $S$ คือพื้นผิวปิด ใดๆ ที่ล้อมรอบปริมาตร $V$ อย่างสมบูรณ์ เช่นเดียวกับพื้นผิวใดๆ ทางด้านซ้าย $S$ จะต้อง*ไม่ใช่*พื้นผิวที่มีขอบเขต เช่นเดียวกับพื้นผิวทางด้านขวา (พื้นผิวเป็นสีน้ำเงิน ขอบเขตเป็นสีแดง)

ที่ไหน

$S$ คือพื้น ผิวปิดสมมุติใดๆที่ล้อมรอบปริมาตร $V$
$\oint _{S}d\mathbf {S}$ หมายถึงปริพันธ์พื้นผิวเหนือพื้นผิวปิดนั้น
$q$ คือปริมาณรวมของสาร ในปริมาตร $V$
$j$ คือฟลักซ์ของ $q$
$ได้$ เวลาแล้ว
$Σ$ คืออัตราสุทธิที่ $q$ ถูกสร้างขึ้นภายในปริมาตร $V$ ต่อหน่วยเวลา เมื่อ $q$ ถูกสร้างขึ้น (เช่น เมื่อ ${\tfrac {\partial q}{\partial t}}>0$ ) บริเวณนั้นเรียกว่าแหล่งกำเนิดของ $q$ และทำให้ $Σ$ มีค่าเป็นบวกมากขึ้น เมื่อ $q$ ถูกทำลาย (เช่น เมื่อ ${\tfrac {\partial q}{\partial t}}<0$ บริเวณดังกล่าวเรียกว่าแหล่งดูดซับของ $q$ และทำให้ $Σ$ มีค่าเป็นลบมากขึ้น บางครั้งคำว่า $Σ$ จะเขียนว่า $dq/dt|_{\text{gen}}$ หรือการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดของ $q$ จากการสร้างหรือการทำลายภายในปริมาตรควบคุม

ในตัวอย่างง่ายๆ $V$ อาจเป็นอาคาร และ $q$ อาจเป็นจำนวนคนมีชีวิตในอาคาร พื้นผิว $S$ จะประกอบด้วยผนัง ประตู หลังคา และฐานรากของอาคาร จากนั้นสมการความต่อเนื่องระบุว่าจำนวนคนมีชีวิตในอาคาร (1) เพิ่มขึ้นเมื่อมีคนมีชีวิตเข้ามาในอาคาร (กล่าวคือ เมื่อมีการไหลเข้าผ่านพื้นผิว) (2) ลดลงเมื่อมีคนมีชีวิตออกจากอาคาร (กล่าวคือ เมื่อมีการไหลออกผ่านพื้นผิว) (3) เพิ่มขึ้นเมื่อมีคนในอาคารให้กำเนิดชีวิตใหม่ (กล่าวคือ เมื่อมีอัตราการเปลี่ยนแปลงตามเวลาที่เป็นบวกภายในปริมาตร) และ (4) ลดลงเมื่อมีคนในอาคารเสียชีวิต (กล่าวคือ เมื่อมีอัตราการเปลี่ยนแปลงตามเวลาที่เป็นลบภายในปริมาตร) สรุปได้ว่า ในตัวอย่างนี้มีสี่วิธีที่แตกต่างกันที่อัตราสุทธิ $Σ$ อาจเปลี่ยนแปลงได้

รูปแบบที่แตกต่างกัน

ตามทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์สมการความต่อเนื่องทั่วไปสามารถเขียนใน "รูปแบบเชิงอนุพันธ์" ได้เช่นกัน:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =\sigma$

ที่ไหน

$\nabla\cdot$ คือค่าไดเวอร์เจนซ์
$ρ$ คือความหนาแน่นของปริมาณ $q$ (กล่าวคือ ปริมาณ $q$ ต่อหน่วยปริมาตร)
$j$ คือฟลักซ์ของ $q$ (นั่นคือ j = ρ vโดยที่ vคือสนามเวกเตอร์ที่อธิบายการเคลื่อนที่ของปริมาณ $q$ )
$ได้$ เวลาแล้ว
$σ$ คือปริมาณ $q$ ที่เกิดขึ้น ต่อหน่วยปริมาตรต่อหน่วยเวลา เทอมที่สร้าง $q$ (เช่น $σ > 0$ ) หรือกำจัด $q$ (เช่น $σ < 0$ ) จะถูกเรียกว่าแหล่งกำเนิดและตัวดูดซับตามลำดับ

สมการทั่วไปนี้สามารถใช้ในการสร้างสมการความต่อเนื่องใดๆ ก็ได้ ตั้งแต่สมการความต่อเนื่องของปริมาตรอย่างง่าย ไปจนถึงสมการที่ซับซ้อนอย่างสมการนาเวียร์-สโตกส์สมการนี้ยังเป็นการขยายความของสมการการพาความร้อน อีกด้วย สมการอื่นๆ ในฟิสิกส์ เช่นกฎของเกาส์เกี่ยวกับสนามไฟฟ้าและกฎของเกาส์เกี่ยวกับแรงโน้มถ่วงมีรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายคลึงกับสมการความต่อเนื่อง แต่โดยทั่วไปแล้วจะไม่ถูกเรียกว่า "สมการความต่อเนื่อง" เพราะ ในกรณีเหล่านั้น $j$ ไม่ได้แสดงถึงการไหลของปริมาณทางกายภาพที่แท้จริง

ในกรณีที่ $q$ เป็นปริมาณอนุรักษ์ที่ไม่สามารถสร้างหรือทำลายได้ (เช่นพลังงาน ) $σ = 0$ และสมการจะกลายเป็น: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0$

แม่เหล็กไฟฟ้า

ในทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าสมการความต่อเนื่องเป็นกฎเชิงประจักษ์ที่แสดงถึงการอนุรักษ์ประจุ (ในระดับท้องถิ่น) ในทางคณิตศาสตร์แล้ว มันเป็นผลลัพธ์โดยอัตโนมัติจากสมการของแม็กซ์เวลล์แม้ว่าการอนุรักษ์ประจุจะเป็นพื้นฐานมากกว่าสมการของแม็กซ์เวลล์ก็ตาม สมการนี้กล่าวว่าการเปลี่ยนแปลงของความหนาแน่นกระแส $J$ (ในหน่วยแอมแปร์ต่อตารางเมตร) เท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงเชิงลบของความหนาแน่นประจุ $ρ$ (ในหน่วยคูลอมบ์ต่อลูกบาศก์เมตร) $\nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

ความสอดคล้องกับสมการของแม็กซ์เวลล์

หนึ่งในสมการของแม็กซ์เวลล์กฎของแอมแปร์ (พร้อมการแก้ไขของแม็กซ์เวลล์)กล่าวว่า $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}.$

เมื่อทำการหาไดเวอร์เจนซ์ทั้งสองข้าง (ไดเวอร์เจนซ์และอนุพันธ์ย่อยเทียบกับเวลาสามารถสลับตำแหน่งกันได้) จะได้ผลลัพธ์ดังนี้ $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )=\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}},$ แต่ค่าไดเวอร์เจนซ์ของเคิร์ลเป็นศูนย์ ดังนั้น $\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {D} )}{\บางส่วน t}}=0.$

แต่กฎของเกาส์ (ซึ่งเป็นสมการของแม็กซ์เวลล์อีกสมการหนึ่ง) กล่าวว่า $\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho ,$ ซึ่งสามารถนำไปแทนในสมการก่อนหน้าเพื่อให้ได้สมการความต่อเนื่อง $\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0.$

กระแสไฟฟ้าคือการเคลื่อนที่ของประจุ สมการความต่อเนื่องกล่าวว่า ถ้าประจุเคลื่อนที่ออกจากปริมาตรที่แตกต่างกัน (กล่าวคือ ความแตกต่างของความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าเป็นบวก) ปริมาณประจุภายในปริมาตรนั้นจะลดลง ดังนั้นอัตราการเปลี่ยนแปลงของความหนาแน่นประจุจึงเป็นลบ ด้วยเหตุนี้ สมการความต่อเนื่องจึงเท่ากับการอนุรักษ์ประจุ

ถ้าโมโนโพลแม่เหล็กมีอยู่จริง ก็จะมีสมการความต่อเนื่องสำหรับกระแสโมโนโพลด้วยเช่นกัน โปรดดูบทความเกี่ยวกับโมโนโพลสำหรับข้อมูลพื้นฐานและความสัมพันธ์แบบทวิภาคระหว่างกระแสไฟฟ้าและกระแสแม่เหล็ก

พลศาสตร์ของไหล

ในพลศาสตร์ของไหลสมการความต่อเนื่องระบุว่าอัตราที่มวลเข้าสู่ระบบเท่ากับอัตราที่มวลออกจากระบบบวกกับการสะสมของมวลภายในระบบ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} รูปแบบเชิงอนุพันธ์ของสมการความต่อเนื่องคือ: ^{[ 1 ]} ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$ ที่ไหน

$ρ$ คือความหนาแน่นของ
$ได้$ เวลาแล้ว
$u$ คือเวกเตอร์แสดงความเร็วการไหล

อนุพันธ์เทียบกับเวลาสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการสะสม (หรือการลดลง) ของมวลในระบบ ในขณะที่ พจน์ ไดเวอร์เจนซ์แสดงถึงความแตกต่างระหว่างการไหลเข้าและการไหลออก ในบริบทนี้ สมการนี้ยังเป็นหนึ่งในสมการของออยเลอร์ (พลศาสตร์ของไหล) ด้วย สมการ นาเวียร์-สโตกส์เป็นสมการความต่อเนื่องแบบเวกเตอร์ที่อธิบายการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้น

หากของเหลวไม่สามารถอัดได้ (อัตราความเครียดเชิงปริมาตรเป็นศูนย์) สมการความต่อเนื่องของมวลจะลดรูปเป็นสมการความต่อเนื่องของปริมาตร: ^{[ 3 ]} $\nabla \cdot \mathbf {u} =0,$ ซึ่งหมายความว่าค่าการล divergenceของสนามความเร็วเป็นศูนย์ทุกที่ ในทางกายภาพแล้ว นี่เทียบเท่ากับการกล่าวว่าอัตราการขยายตัวของปริมาตรในบริเวณนั้นเป็นศูนย์ ดังนั้นการไหลของน้ำผ่านท่อที่แคบลงจะปรับตัวได้โดยการเพิ่มความเร็วเท่านั้น เนื่องจากน้ำนั้นแทบจะอัดไม่ได้

คอมพิวเตอร์วิชั่น

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ด้านการมองเห็นการไหลของแสง (optical flow) คือรูปแบบการเคลื่อนที่ที่ปรากฏของวัตถุในฉากภาพ ภายใต้สมมติฐานที่ว่าความสว่างของวัตถุที่เคลื่อนที่ไม่ได้เปลี่ยนแปลงระหว่างเฟรมภาพสองเฟรม เราสามารถหาอนุพันธ์ของสมการการไหลของแสงได้ดังนี้: ${\frac {\partial I}{\partial x}}V_{x}+{\frac {\partial I}{\partial y}}V_{y}+{\frac {\partial I}{\partial t}}=\nabla I\cdot \mathbf {V} +{\frac {\partial I}{\partial t}}=0$ ที่ไหน

$ได้$ เวลาแล้ว
$พิกัด x และ y$ ในภาพ
$I$ คือความเข้มของภาพที่พิกัดภาพ $(x, y)$ และเวลา $t$
$V$ คือเวกเตอร์ความเร็วการไหลของแสง $(V_{x},V_{y})$ ที่พิกัดภาพ $(x, y)$ และเวลา $t$

พลังงานและความร้อน

หลักการอนุรักษ์พลังงานกล่าวว่า พลังงานไม่สามารถสร้างขึ้นหรือทำลายได้ (ดู รายละเอียด เพิ่มเติมเกี่ยวกับความแตกต่างที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปด้านล่าง) ดังนั้น จึงมีสมการความต่อเนื่องสำหรับการไหลของพลังงาน: ${\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {q} =0$ ที่ไหน

$u$ คือความหนาแน่นพลังงาน เฉพาะที่ (พลังงานต่อหน่วยปริมาตร)
$q$ คือฟลักซ์พลังงาน (การถ่ายโอนพลังงานต่อหน่วยพื้นที่หน้าตัดต่อหน่วยเวลา) ในรูปเวกเตอร์

ตัวอย่างที่สำคัญในทางปฏิบัติคือการไหลของความร้อนเมื่อความร้อนไหลภายในของแข็ง สมการความต่อเนื่องสามารถนำมารวมกับกฎของฟูเรียร์ (ฟลักซ์ความร้อนเป็นสัดส่วนกับความชันของอุณหภูมิ) เพื่อให้ได้สมการความร้อนสมการการไหลของความร้อนอาจมีพจน์แหล่งกำเนิดด้วย แม้ว่าพลังงานจะไม่สามารถสร้างหรือทำลายได้ แต่ความร้อนสามารถเกิดขึ้นได้จากพลังงานประเภทอื่น เช่น ผ่านแรงเสียดทานหรือความร้อนจูล

การแจกแจงความน่าจะเป็น

ถ้ามีปริมาณใดที่เคลื่อนที่อย่างต่อเนื่องตามกระบวนการสุ่ม (stochastic) เช่น ตำแหน่งของโมเลกุลที่ละลายอยู่เพียงโมเลกุลเดียวที่มีการเคลื่อนที่แบบบราวน์ก็จะมีสมการความต่อเนื่องสำหรับฟังก์ชันความน่าจะเป็นของปริมาณนั้น ในกรณีนี้ ฟลักซ์คือความน่าจะเป็นต่อหน่วยพื้นที่ต่อหน่วยเวลาที่อนุภาคเคลื่อนที่ผ่านพื้นผิว ตามสมการความต่อเนื่อง ค่าไดเวอร์เจนซ์ที่เป็นลบของฟลักซ์นี้จะเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงของความหนาแน่นของความน่าจะเป็น สมการความต่อเนื่องสะท้อนให้เห็นว่าโมเลกุลนั้นอยู่ที่ใดที่หนึ่งเสมอ—ปริพันธ์ของฟังก์ชันความน่าจะเป็นของมันเท่ากับ 1 เสมอ—และมันเคลื่อนที่ด้วยการเคลื่อนที่อย่างต่อเนื่อง (ไม่ใช่การเทเลพอร์ต )

กลศาสตร์ควอนตัม

กลศาสตร์ควอนตัมเป็นอีกสาขาหนึ่งที่มีสมการความต่อเนื่องที่เกี่ยวข้องกับการอนุรักษ์ความน่าจะเป็นเงื่อนไขในสมการนี้จำเป็นต้องมีการกำหนดความหมายดังต่อไปนี้ และอาจไม่ชัดเจนเท่ากับตัวอย่างอื่นๆ ข้างต้น ดังนั้นจึงขออธิบายไว้ที่นี่:

ฟังก์ชันคลื่น $Ψ สำหรับ$ อนุภาคเดี่ยวในปริภูมิตำแหน่ง (แทนที่จะเป็นปริภูมิโมเมนตัม ) ซึ่งเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งr $และ$ เวลา $t$ คือ $Ψ = Ψ(r, t)$
ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นคือ $\rho (\mathbf {r} ,t)=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)=|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}.$
ความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคภายใน $V$ ณ เวลา $t$ ถูกกำหนดและนิยามโดย $P=P_{\mathbf {r} \in V}(t)=\int _{V}\Psi ^{*}\Psi dV=\int _{V}|\Psi |^{2}dV.$
กระแสความน่าจะเป็น (ฟลักซ์ความน่าจะเป็น) คือ $\mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi ^{*}\left(\nabla \Psi \right)-\Psi \left(\nabla \Psi ^{*}\right)\right].$

จากนิยามเหล่านี้ สมการความต่อเนื่องจึงเป็นดังนี้: $\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0\mathrel {\rightleftharpoons } \nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0.$

สามารถอ้างอิงได้ทั้งสองรูปแบบ โดยสัญชาตญาณแล้ว ปริมาณข้างต้นบ่งชี้ว่านี่คือการไหลของความน่าจะเป็นโอกาสที่จะพบอนุภาค ณ ตำแหน่ง $r$ และเวลา $t$ ใดๆ ไหลเหมือนของเหลวดังนั้นจึงเรียกว่ากระแสความน่าจะเป็นซึ่งเป็นสนามเวกเตอร์อนุภาคเองไม่ได้ไหลอย่างแน่นอนในสนามเวกเตอร์นี้

ความสอดคล้องกับสมการชโรดิงเกอร์

สมการชโรดิงเกอร์ที่ขึ้นอยู่กับเวลาและคู่สมเชิงซ้อน ( $i \to - i$ ตลอดทั้งสมการ) คือ: ^{[ 4 ]} ${\begin{aligned}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi &=i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}},\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi ^{*}&=-i\hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}},\\\end{aligned}}$ โดยที่ $U$ คือฟังก์ชันศักย์อนุพันธ์ย่อยของ $ρ$ เทียบกับ $t$ คือ: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\Psi ^{*}\Psi \right)=\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}.$

คูณสมการชโรดิงเกอร์ด้วย $Ψ*$ แล้วแก้หา $Ψ* ⁠ \partialΨ / \partial t ⁠$ และในทำนองเดียวกัน คูณสมการชโรดิงเกอร์เชิงซ้อนแบบสังยุคด้วย $Ψ$ แล้วแก้หา $Ψ ⁠ \partialΨ* / \partial t ⁠$ ; ${\begin{aligned}\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right],\\\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi \Psi ^{*}\right],\\\end{aligned}}$

แทนค่าลงในอนุพันธ์เทียบกับเวลาของ $ρ$ : ${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right]-{\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi \Psi ^{*}\right]\\&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right]+{\frac {1}{i\hbar }}\left[+{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}-U\Psi ^{*}\Psi \right]\\[2pt]&=-{\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +{\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}\\[2pt]&={\frac {\hbar }{2im}}\left[\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}-\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi \right]\\\end{aligned}}$

ตัวดำเนินการ ลาปลาเซียน ( $\nabla$ $2$ ) ในผลลัพธ์ข้างต้นแสดงให้เห็นว่าด้านขวามือคือไดเวอร์เจนซ์ของ $j$ และลำดับของพจน์ที่กลับด้านหมายความว่านี่คือค่าลบของ $j$ โดยรวม: ${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {j} &=\nabla \cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\left(\nabla \Psi \right)-\Psi \left(\nabla \Psi ^{*}\right)\right)\right]\\&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi ^{*}\left(\nabla ^{2}\Psi \right)-\Psi \left(\nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)\right]\\&=-{\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi \left(\nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)-\Psi ^{*}\left(\nabla ^{2}\Psi \right)\right]\\\end{aligned}}$ ดังนั้นสมการความต่อเนื่องคือ: ${\begin{aligned}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \\[3pt]{}\Rightarrow {}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0\\\end{aligned}}$

รูปแบบอินทิกรัลเป็นไปในลักษณะเดียวกับสมการทั่วไป

เซมิคอนดักเตอร์

กระแสไฟฟ้ารวมที่ไหลในสารกึ่งตัวนำประกอบด้วยกระแสดริฟต์และกระแสดิฟฟิวชันของทั้งอิเล็กตรอนในแถบนำไฟฟ้าและโฮลในแถบวาเลนซ์

รูปแบบทั่วไปของอิเล็กตรอนในมิติเดียว: ${\frac {\partial n}{\partial t}}=n\mu _{n}{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n}{\partial x}}+D_{n}{\frac {\partial ^{2}n}{\partial x^{2}}}+(G_{n}-R_{n})$ ที่ไหน:

nคือความเข้มข้นของอิเล็กตรอนในบริเวณนั้น
$\mu _{n}$ คือการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอน
Eคือสนามไฟฟ้าที่คร่อมบริเวณที่เกิดการพร่องประจุ
D คือค่าสัมประสิทธิ์การแพร่ของอิเล็กตรอน
Gn อัตราการสร้างอิเล็กตรอน
Rnคืออัตราการรวมตัวใหม่ของ

ในทำนองเดียวกัน สำหรับรู: ${\frac {\partial p}{\partial t}}=-p\mu _{p}{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial p}{\partial x}}+D_{p}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}+(G_{p}-R_{p})$ ที่ไหน:

pคือความเข้มข้นของรูในบริเวณนั้น
$\mu _{p}$ ความคล่องตัวของรู
Eคือสนามไฟฟ้าที่คร่อมบริเวณที่เกิดการพร่องประจุ
Dpคือสัมประสิทธิ์การแพร่ของโฮ
G คืออัตราการเกิดรู
R คืออัตราการรวมตัวใหม่ของโฮล

อนุพันธ์

ส่วนนี้จะนำเสนอการพิสูจน์สมการข้างต้นสำหรับอิเล็กตรอน สามารถหาการพิสูจน์ที่คล้ายกันได้สำหรับสมการสำหรับโฮล

ลองพิจารณาข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนอิเล็กตรอนจะคงที่ตลอดปริมาตรของวัสดุเซมิคอนดักเตอร์ที่มีพื้นที่หน้าตัดAและความยาวdxตาม แนวแกน xกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นก็คือ: ${\text{Rate of change of electron density}}=({\text{Electron flux in}}-{\text{Electron flux out}})+{\text{Net generation inside a volume}}$

ในทางคณิตศาสตร์ ความเท่าเทียมกันนี้สามารถเขียนได้ดังนี้: ${\begin{aligned}{\frac {dn}{dt}}A\,dx&=\left[J(x+dx)-J(x)\right]{\frac {A}{e}}+(G_{n}-R_{n})A\,dx\\&=\left[J(x)+{\frac {dJ}{dx}}dx-J(x)\right]{\frac {A}{e}}+(G_{n}-R_{n})A\,dx\\[1.2ex]{\frac {dn}{dt}}&={\frac {1}{e}}{\frac {dJ}{dx}}+(G_{n}-R_{n})\end{aligned}}$ ในที่นี้Jแทนความหนาแน่นกระแสไฟฟ้า (ซึ่งตามธรรมเนียมแล้วมีทิศทางสวนทางกับการไหลของอิเล็กตรอน) อันเนื่องมาจากการไหลของอิเล็กตรอนภายในปริมาตรที่พิจารณาของสารกึ่งตัวนำ เรียกอีกอย่างว่าความหนาแน่นกระแสอิเล็กตรอน

ความหนาแน่นกระแสอิเล็กตรอนรวมคือผลรวมของความหนาแน่นกระแสดริฟต์และความหนาแน่นกระแสดิฟฟิวชัน: $J_{n}=en\mu _{n}E+eD_{n}{\frac {dn}{dx}}$

ดังนั้น เราจึงมี ${\frac {dn}{dt}}={\frac {1}{e}}{\frac {d}{dx}}\left(en\mu _{n}E+eD_{n}{\frac {dn}{dx}}\right)+(G_{n}-R_{n})$

การใช้กฎผลคูณส่งผลให้ได้นิพจน์สุดท้ายดังนี้: ${\frac {dn}{dt}}=\mu _{n}E{\frac {dn}{dx}}+\mu _{n}n{\frac {dE}{dx}}+D_{n}{\frac {d^{2}n}{dx^{2}}}+(G_{n}-R_{n})$

สารละลาย

หัวใจสำคัญของการแก้สมการเหล่านี้ในอุปกรณ์จริงคือ การเลือกบริเวณที่กลไกส่วนใหญ่มีผลน้อยมากเท่าที่จะเป็นไปได้ เพื่อให้สมการลดรูปไปเป็นรูปแบบที่ง่ายกว่ามาก

เวอร์ชันสัมพัทธภาพ

ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

สัญลักษณ์และเครื่องมือของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษโดยเฉพาะเวกเตอร์ 4 มิติและเกรเดียนต์ 4 มิตินำเสนอวิธีที่สะดวกในการเขียนสมการความต่อเนื่องใดๆ

ความหนาแน่นของปริมาณ $ρ$ และกระแส $j$ สามารถรวมกันเป็นเวกเตอร์ 4 มิติเรียกว่ากระแส 4 มิติ ได้ดังนี้ : $J=\left(c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}\right)$ โดยที่ $c$ คือความเร็วแสง ค่า ไดเวอร์เจนซ์ 4 ของกระแสนี้คือ: $\partial _{\mu }J^{\mu }=c{\frac {\partial \rho }{\partial ct}}+\nabla \cdot \mathbf {j}$ โดยที่ $\partial$ คือเกรเดียนต์ 4 มิติและ $μ$ คือดัชนีที่ระบุถึงมิติของ ปริภูมิเวลา ดังนั้นสมการความต่อเนื่องคือ: $\partial _{\mu }J^{\mu }=0$ ในกรณีปกติที่ไม่มีแหล่งกำเนิดหรือแหล่งดูดซับ กล่าวคือ สำหรับปริมาณที่อนุรักษ์ไว้อย่างสมบูรณ์ เช่น พลังงานหรือประจุ สมการความต่อเนื่องนี้เป็นไปตามสมมาตรลอเรนซ์อย่าง ชัดเจน ("เห็นได้ชัด")

ตัวอย่างของสมการความต่อเนื่องที่มักเขียนในรูปแบบนี้ ได้แก่ สมการการอนุรักษ์ประจุไฟฟ้า $\partial _{\mu }J^{\mu }=0$ โดยที่ $J$ คือกระแสไฟฟ้า4 มิติและการอนุรักษ์พลังงาน-โมเมนตัม $\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0$ โดยที่ $T$ คือ เท นเซอร์พลังงานความเครียด

ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปซึ่งปริภูมิเวลาโค้งงอ สมการความต่อเนื่อง (ในรูปแบบเชิงอนุพันธ์) สำหรับพลังงาน ประจุ หรือปริมาณอนุรักษ์อื่นๆ จะเกี่ยวข้องกับไดเวอร์เจนซ์แบบโคแวเรียนต์แทนที่จะเป็นไดเวอร์เจนซ์แบบปกติ

ตัวอย่างเช่นเทนเซอร์ความเครียด-พลังงาน เป็น สนามเทนเซอร์อันดับสองที่ประกอบด้วยความหนาแน่นของพลังงาน-โมเมนตัม ฟลักซ์ของพลังงาน-โมเมนตัม และความเครียดเฉือนของการกระจายมวล-พลังงาน รูปแบบเชิงอนุพันธ์ของการอนุรักษ์พลังงาน-โมเมนตัมในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไประบุว่า ไดเวอร์ เจนซ์โคแวเรียนต์ของเทนเซอร์ความเครียด-พลังงานเป็นศูนย์: ${\displaystyle {T^{\mu }}_{\nu$

นี่เป็นข้อจำกัดที่สำคัญต่อรูปแบบของสมการสนามของไอน์สไตน์ใน ทฤษฎีสั มพัทธภาพทั่วไป^{[ 5 ]}

อย่างไรก็ตามความแตกต่างปกติ ของเทนเซอร์พลังงานความเครียดไม่จำเป็นต้องหายไปเสมอไป: ^[⁶^] $\partial _{\mu }T^{\mu \nu }=-\Gamma _{\mu \lambda }^{\mu }T^{\lambda \nu }-\Gamma _{\mu \lambda }^{\nu }T^{\mu \lambda },$

ด้านขวาจะหายไปอย่างสิ้นเชิงเฉพาะในกรณีที่รูปทรงเรขาคณิตเป็นแบบแบนราบเท่านั้น

ด้วยเหตุนี้ รูปแบบ อินทิกรัลของสมการความต่อเนื่องจึงยากที่จะกำหนดและไม่จำเป็นต้องใช้ได้ในบริเวณที่กาลอวกาศโค้งงออย่างมีนัยสำคัญ (เช่น รอบหลุมดำ หรือทั่วทั้งจักรวาล) ^{[ 7 ]}

ฟิสิกส์อนุภาค

ควาร์กและกลูออนมีประจุสีซึ่งจะถูกอนุรักษ์ไว้เสมอเช่นเดียวกับประจุไฟฟ้า และมีสมการความต่อเนื่องสำหรับกระแสประจุสีดังกล่าว (นิพจน์ที่ชัดเจนสำหรับกระแสเหล่านี้มีอยู่ในเทนเซอร์ความแข็งแรงของสนามกลูออน )

ในฟิสิกส์อนุภาคมีปริมาณอื่นๆ อีกมากมายที่มักจะหรืออนุรักษ์ไว้เสมอ ได้แก่จำนวนแบริออน (เป็นสัดส่วนกับจำนวนควาร์กลบด้วยจำนวนแอนติควาร์ก) จำนวนอิเล็กตรอน จำนวนมิว จำนวนเทาไอโซสปินและอื่นๆ^{[ 8 ]}แต่ละปริมาณเหล่านี้มีสมการความต่อเนื่องที่สอดคล้องกัน ซึ่งอาจรวมถึงเทอมแหล่งกำเนิด/ตัวดูดซับด้วย

ทฤษฎีบทของโนเธอร์

เหตุผลหนึ่งที่สมการอนุรักษ์ปรากฏบ่อยในวิชาฟิสิกส์คือทฤษฎีบทของโนเธอร์ซึ่งกล่าวว่าเมื่อใดก็ตามที่กฎของฟิสิกส์มีสมมาตรต่อเนื่องจะมีสมการความต่อเนื่องสำหรับปริมาณทางกายภาพที่อนุรักษ์ไว้บางอย่าง ตัวอย่างที่โด่งดังที่สุดสามตัวอย่างได้แก่:

กฎทางฟิสิกส์ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเลื่อนเวลาเช่น กฎทางฟิสิกส์ในวันนี้ก็เหมือนกับเมื่อวานนี้ ความสมมาตรนี้ทำให้เกิดสมการความต่อเนื่องสำหรับ การ อนุรักษ์พลังงาน
กฎทางฟิสิกส์ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเคลื่อนที่ในอวกาศ ตัวอย่างเช่น จรวดในอวกาศจะไม่ได้รับแรงหรือศักย์ที่แตกต่างกันหากมันถูกเคลื่อนย้ายไปในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง (เช่น x, y, z) ซึ่งนำไปสู่การอนุรักษ์องค์ประกอบทั้งสามของโมเมนตัม
กฎทางฟิสิกส์ไม่เปลี่ยนแปลงตามทิศทาง ตัวอย่างเช่น เมื่อลอยอยู่ในอวกาศ คุณไม่สามารถวัดอะไรเพื่อบอกได้ว่า "ทิศไหนคือทิศขึ้น" กฎทางฟิสิกส์ยังคงเหมือนเดิมไม่ว่าคุณจะอยู่ในทิศทางใดก็ตาม ความสมมาตรนี้ทำให้เกิดสมการความต่อเนื่องสำหรับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

ดูเพิ่มเติม

อ่านเพิ่มเติม

แลมบ์, เอช. (2006) [1932]. อุทกพลศาสตร์ ( ฉบับที่ 6). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-0-521-45868-9.
Griffiths, DJ (1999). บทนำสู่พลศาสตร์ไฟฟ้า ( ฉบับที่ 3). Pearson Education Inc. ISBN 81-7758-293-3.
Grant, IS; Phillips, WR (2008). แม่เหล็กไฟฟ้า . ชุดฟิสิกส์แมนเชสเตอร์ ( ฉบับที่ 2). ISBN 978-0-471-92712-9.
วีลเลอร์, เจ.เอ.; มิสเนอร์, ซี.; ธอร์น, เค.เอส. (1973). แรงโน้มถ่วง . ดับเบิลยู.เอช. ฟรีแมน แอนด์ โค. ISBN 0-7167-0344-0.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[

[ 7 ]

[ 8 ]