ในการวิเคราะห์การอินทิเกรตเชิงตัวเลขประกอบด้วยตระกูลอัลกอริธึม ที่กว้างขวาง สำหรับการคำนวณค่าเชิงตัวเลขของอินทิกรัล จำกัด คำว่าการหาปริพันธ์เชิงตัวเลข (มักย่อว่าการหาปริพันธ์ ) เป็นคำพ้องความหมายกับ "การอินทิเกรตเชิงตัวเลข" โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อใช้กับอินทิกรัลหนึ่งมิติ ผู้เขียนบางคนเรียกการอินทิเกรตเชิงตัวเลขในมิติที่มากกว่าหนึ่งว่า การหาปริพันธ์แบบลูกบาศก์[ ^{1 ] คน}อื่นๆ ถือว่า "การหาปริพันธ์แบบลูกบาศก์" รวมถึงการอินทิเกรตในมิติที่สูงกว่าด้วย

ปัญหาพื้นฐานในการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขคือการหาคำตอบโดยประมาณของปริพันธ์จำกัด

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

ให้มีความแม่นยำในระดับหนึ่ง หากf ( x )เป็นฟังก์ชันเรียบที่อินทิเกรตในช่วงมิติจำนวนน้อย และโดเมนของการอินทิเกรตมีขอบเขตจำกัด จะมีวิธีการมากมายในการประมาณค่าอินทิกรัลให้มีความแม่นยำตามที่ต้องการ

การอินทิเกรตเชิงตัวเลขมีรากฐานมาจากปัญหาทางเรขาคณิตในการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนด ( การหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส ) เช่น การหา พื้นที่ สี่เหลี่ยมจัตุรัสของวงกลมบางครั้งคำนี้ก็ใช้เพื่ออธิบายการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยวิธีเชิงตัวเลขด้วย

มีเหตุผลหลายประการในการดำเนินการหาปริพันธ์เชิงตัวเลข แทนที่จะหาปริพันธ์เชิงวิเคราะห์โดยการหาอนุพันธ์ผกผัน :

1. ฟังก์ชันอินทิกรัลf ( x )อาจทราบได้เฉพาะที่บางจุดเท่านั้น เช่น ได้มาจากการสุ่มตัวอย่างระบบฝังตัวบาง ระบบ และแอปพลิเคชันคอมพิวเตอร์อื่นๆ อาจต้องการการอินทิเกรตเชิงตัวเลขด้วยเหตุผลนี้
2. อาจทราบสูตรสำหรับตัวอินทิกรัลแล้ว แต่การหาอนุพันธ์ผกผันที่เป็นฟังก์ชันพื้นฐาน อาจเป็นเรื่องยากหรือเป็นไปไม่ได้ ตัวอย่างของตัวอินทิกรัลดังกล่าวคือf ( x ) = exp (−x² )ซึ่งอนุพันธ์ผกผันของมัน ( ฟังก์ชันความคลาดเคลื่อนคูณด้วยค่าคงที่) ไม่สามารถเขียนใน รูป แบบพื้นฐาน^ได้
3. อาจเป็นไปได้ที่จะหาอนุพันธ์ผกผันโดยใช้สัญลักษณ์ แต่การคำนวณค่าประมาณเชิงตัวเลขอาจง่ายกว่าการคำนวณอนุพันธ์ผกผันโดยตรง กรณีนี้อาจเป็นไปได้หากอนุพันธ์ผกผันนั้นอยู่ในรูปอนุกรมหรือผลคูณอนันต์ หรือหากการคำนวณต้องใช้ฟังก์ชันพิเศษที่ไม่สามารถหาได้

คำว่า "การบูรณาการเชิงตัวเลข" ปรากฏครั้งแรกในปี พ.ศ. 2458 ในสิ่งพิมพ์A Course in Interpolation and Numeric Integration for the Mathematical LaboratoryโดยDavid Gibb ^{[ 2 ]}

"การหาพื้นที่" (Quadrature) เป็นศัพท์ทางคณิตศาสตร์ในอดีตที่หมายถึงการคำนวณพื้นที่ โจทย์การหาพื้นที่เป็นหนึ่งในแหล่งข้อมูลหลักของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ในสมัยกรีกโบราณ ตามหลักคำสอนของพีทาโกรัส เข้าใจว่าการคำนวณพื้นที่คือกระบวนการสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากันทางเรขาคณิต ( การสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากัน ) นั่นคือเหตุผลที่กระบวนการนี้ถูกเรียกว่า "การหาพื้นที่" ตัวอย่างเช่นการหาพื้นที่ของวงกลมส่วนโค้งของฮิปโปเครติสและตำราการหาพื้นที่ของพาราโบลาการสร้างนี้ต้องทำโดยใช้เพียงวงเวียนและไม้บรรทัดเท่านั้น

ชาวบาบิโลนโบราณใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูเพื่อคำนวณการเคลื่อนที่ของดาวพฤหัสบดีตามระนาบสุริยวิถี^{[ 3 ]}

ในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านยาวaและbจำเป็นต้องสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของa และ b เพื่อจุดประสงค์นี้ เราสามารถใช้ข้อเท็จจริงต่อไปนี้ได้: ถ้าเราวาดวงกลมโดยให้ผลรวมของaและbเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง แล้วความสูง BH (จากจุดเชื่อมต่อของด้านทั้งสองไปยังจุดตัดกับวงกลม) จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของด้านทั้งสอง การสร้างทางเรขาคณิตที่คล้ายกันนี้สามารถใช้แก้ปัญหาการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและรูปสามเหลี่ยมได้เช่นกัน ${\displaystyle x={\sqrt {ab}}}$

ปัญหาการหาพื้นที่สำหรับเส้นโค้งนั้นยากกว่ามากการหาพื้นที่ของวงกลมด้วยวงเวียนและไม้บรรทัดนั้นได้รับการพิสูจน์แล้วในศตวรรษที่ 19 ว่าเป็นไปไม่ได้ อย่างไรก็ตาม สำหรับบางรูปทรง (เช่นส่วนโค้งของฮิปโปเครติส ) ก็สามารถหาพื้นที่ได้ การหาพื้นที่ของพื้นผิวทรงกลมและส่วนของพาราโบลาที่ทำโดยอาร์คิมิดีสถือเป็นความสำเร็จสูงสุดของการวิเคราะห์ในสมัยโบราณ

• พื้นที่ผิวของทรงกลมมีค่าเท่ากับสี่เท่าของพื้นที่วงกลมใหญ่ของทรงกลมนั้น
• พื้นที่ของส่วนของพาราโบลาที่ถูกตัดด้วยเส้นตรงจะมีค่าเท่ากับ 4/3 ของพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่อยู่ภายในส่วนของพาราโบลานั้น

เพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์ อาร์คิมิดีสใช้วิธีการหาปริมาณโดยประมาณของยูโดซัส

ในยุโรปยุคกลาง การหาพื้นที่โดยใช้วิธีใดๆ ก็ตาม เรียกว่าการหาพื้นที่โดย ใช้ สัดส่วนของส่วนที่แบ่งไม่ได้ซึ่งเป็นวิธีที่ไม่เข้มงวดนัก แต่เรียบง่ายและมีประสิทธิภาพมากกว่า ด้วยความช่วยเหลือของวิธีนี้กาลิเลโอ กาลิเลอีและจิลส์ เดอ โรแบร์วาลได้ค้นพบพื้นที่ของส่วนโค้งไซคลอยด์เกรกัวร์ เดอ แซงต์-วินเซนต์ได้ศึกษาพื้นที่ใต้เส้นโค้งไฮเปอร์โบลา ( Opus Geometricum , 1647) และอัลฟองส์ อันโตนิโอ เดอ ซาราซาศิษย์ และผู้วิจารณ์ของเดอ แซงต์-วินเซนต์ ได้สังเกตความสัมพันธ์ของพื้นที่นี้กับลอการิทึม

จอห์น วอลลิสได้นำวิธีการนี้มาใช้ในเชิงพีชคณิต โดยเขาได้เขียนชุดปริพันธ์ที่เราเรียกว่าปริพันธ์จำกัดไว้ ในหนังสือ Arithmetica Infinitorum (1656) และคำนวณค่าของมันไอแซค แบร์โรว์และเจมส์ เกรกอรีได้พัฒนาต่อยอดไปอีกขั้น โดยได้คำนวณปริพันธ์เชิงพื้นที่สำหรับเส้นโค้งพีชคณิตและเกลียว บางประเภท คริสเตียน ฮุยเกนส์ประสบความสำเร็จในการคำนวณปริพันธ์เชิงพื้นที่สำหรับทรงเรขาคณิต ที่เกิดจากการหมุนบางทรง

การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งไฮเปอร์โบลาโดยแซงต์-วินเซนต์และเดอ ซาราซา ได้ให้ฟังก์ชัน ใหม่ คือลอการิทึมธรรมชาติซึ่งมีความสำคัญอย่างยิ่ง

ด้วยการคิดค้นแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ทำให้เกิดวิธีการคำนวณพื้นที่ที่เป็นสากล ส่งผลให้คำว่า "quadrature" กลายเป็นคำที่ใช้กันทั่วไปในอดีต และในปัจจุบันมักใช้ คำว่า " การคำนวณปริพันธ์จำกัดตัวแปรเดียว " แทน

กฎการหาปริพันธ์เชิงตัวเลข (quadrature rule)คือการประมาณค่าปริพันธ์จำกัดของฟังก์ชันโดยปกติจะระบุเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักของค่าฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดภายในขอบเขตของการหาปริพันธ์

โดยทั่วไปแล้ว วิธีการอินทิเกรตเชิงตัวเลขสามารถอธิบายได้ว่าเป็นการรวมการประเมินค่าของตัวถูกอินทิเกรตเพื่อให้ได้ค่าประมาณของอินทิเกรต โดยจะประเมินค่าของตัวถูก อินทิเกรตที่เซตจำกัดซึ่งเรียกว่า จุดอินทิเกรตและใช้ผลรวมถ่วงน้ำหนักของค่าเหล่านี้เพื่อประมาณค่าอินทิเกรต จุดอินทิเกรตและน้ำหนักจะขึ้นอยู่กับวิธีการเฉพาะที่ใช้และความแม่นยำที่ต้องการจากการประมาณค่า

ส่วนสำคัญของการวิเคราะห์วิธีการอินทิเกรตเชิงตัวเลขใดๆ คือการศึกษาพฤติกรรมของข้อผิดพลาดในการประมาณค่าโดยขึ้นอยู่กับจำนวนครั้งของการประเมินค่าฟังก์ชันที่ต้องการอินทิเกรต วิธีการที่ให้ข้อผิดพลาดน้อยเมื่อใช้จำนวนครั้งในการประเมินค่าน้อย มักจะถือว่าดีกว่า การลดจำนวนครั้งในการประเมินค่าฟังก์ชันที่ต้องการอินทิเกรตจะช่วยลดจำนวนการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง และด้วยเหตุนี้จึงช่วยลดข้อผิดพลาดโดยรวม นอกจากนี้ การประเมินค่าแต่ละครั้งใช้เวลา และฟังก์ชันที่ต้องการอินทิเกรตอาจมีความซับซ้อนได้ตามต้องการ

การหาปริพันธ์เชิงตัวเลขแบบ "ใช้กำลังทั้งหมด" สามารถทำได้ หากฟังก์ชันที่ต้องการหาปริพันธ์มีพฤติกรรมที่ดีพอสมควร (เช่นต่อเนื่องเป็นช่วงๆ และมีความแปรผันจำกัด ) โดยการประเมินค่าฟังก์ชันที่ต้องการหาปริพันธ์ด้วยค่าเพิ่มขึ้นทีละน้อยมาก

วิธีที่ง่ายที่สุดนี้ประมาณค่าฟังก์ชันโดยใช้ฟังก์ชันขั้นบันได (ฟังก์ชันค่าคงที่แบบเป็นช่วง หรือพหุนามแบ่งส่วนดีกรีศูนย์) ที่ผ่านจุดนั้นวิธีนี้เรียกว่ากฎจุดกึ่งกลางหรือกฎสี่เหลี่ยมผืนผ้า${\textstyle \left({\frac {a+b}{2}},f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right)}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (ba)f\left({\frac {a+b}{2}}\right).}$$

กฎการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขจำนวนมากสามารถได้มาจากการสร้าง ฟังก์ชัน การประมาณค่าที่ง่ายต่อการหาปริพันธ์ โดยทั่วไปฟังก์ชันการประมาณค่าเหล่านี้จะเป็นพหุนามในทางปฏิบัติ เนื่องจากพหุนามที่มีดีกรีสูงมากมักจะแกว่งไปมาอย่างรุนแรงจึงมักใช้เฉพาะพหุนามที่มีดีกรีต่ำ ซึ่งโดยทั่วไปจะเป็นพหุนามเชิงเส้นและพหุนามกำลังสอง

ฟังก์ชันการประมาณค่าอาจเป็นเส้นตรง ( ฟังก์ชันเชิงเส้นตรงกล่าวคือ พหุนามดีกรี 1) ที่ผ่านจุดและซึ่งเรียกว่ากฎสี่เหลี่ยมคางหมู${\displaystyle \left(a,f(a)\right)}$${\displaystyle \left(b,f(b)\right)}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (ba)\left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}\right).}$$

สำหรับกฎข้อใดข้อหนึ่งเหล่านี้ เราสามารถประมาณค่าได้อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นโดยการแบ่งช่วงเวลาออกเป็นช่วงย่อยจำนวนหนึ่งคำนวณค่าประมาณสำหรับแต่ละช่วงย่อย แล้วนำผลลัพธ์ทั้งหมดมารวมกัน วิธีนี้เรียกว่ากฎแบบผสมกฎแบบขยายหรือกฎแบบวนซ้ำตัวอย่างเช่น กฎสี่เหลี่ยมคางหมูแบบผสมสามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {ba}{n}}\left({f(a) \over 2}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(f\left(a+k{\frac {ba}{n}}\right)\right)+{f(b) \over 2}\right),}$$

โดยช่วงย่อยจะมีรูปแบบดังนี้และในที่นี้เราใช้ช่วงย่อยที่มีความยาวเท่ากันแต่เราสามารถใช้ช่วงย่อยที่มีความยาวแตกต่างกันได้เช่นกัน ${\displaystyle [a+kh,a+(k+1)h]\subset [a,b],}$${\textstyle h={\frac {ba}{n}}}$${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1.}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \left(h_{k}\right)_{k}}$

การประมาณค่าในช่วงด้วยพหุนามที่ประเมินค่า ณ จุดที่เว้นระยะห่างเท่าๆ กันในปริภูมิ จะได้สูตรของนิวตัน-โคตส์ซึ่งกฎสี่เหลี่ยมผืนผ้าและกฎสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นตัวอย่างหนึ่งกฎของซิมป์สันซึ่งอิงจากพหุนามอันดับ 2 ก็เป็นสูตรของนิวตัน-โคตส์เช่นกัน ${\displaystyle [a,b]}$

กฎการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขที่มีจุดเว้นระยะเท่ากันนั้นมีคุณสมบัติที่สะดวกมากอย่างหนึ่ง คือ การซ้อนกันได้ กฎที่สอดคล้องกับการแบ่งช่วงแต่ละช่วงย่อยนั้นรวมจุดปัจจุบันทั้งหมดไว้ด้วย ดังนั้นค่าปริพันธ์เหล่านั้นจึงสามารถนำกลับมาใช้ใหม่ได้

หากเราอนุญาตให้ช่วงระหว่างจุดการแทรกสอดเปลี่ยนแปลงได้ เราจะพบสูตรการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขอีกกลุ่มหนึ่ง เช่น สูตร การหาปริพันธ์เชิงตัวเลขแบบเกาส์เซียน โดยทั่วไปแล้ว กฎการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขแบบเกาส์เซียนจะมีความแม่นยำมากกว่ากฎแบบนิวตัน-โคทส์ที่ใช้จำนวนการประเมินฟังก์ชันเท่ากัน หากฟังก์ชันที่ต้องการหาปริพันธ์มีความเรียบ (กล่าวคือ หากสามารถหาอนุพันธ์ได้เพียงพอ) วิธีการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขอื่นๆ ที่มีช่วงเปลี่ยนแปลงได้ ได้แก่ วิธี การหาปริพันธ์เชิงตัวเลขแบบคลีนชอว์-เคอร์ติส (หรือเรียกว่าวิธีการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขแบบเฟเยอร์) ซึ่งสามารถซ้อนกันได้

กฎการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขแบบเกาส์เซียนไม่สามารถซ้อนกันได้ แต่สูตรการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขแบบเกาส์-โครนรอด ที่เกี่ยวข้อง สามารถซ้อนกันได้

ความแม่นยำของกฎการหาปริพันธ์เชิงตัวเลข แบบ นิวตัน-โคทส์โดยทั่วไปขึ้นอยู่กับจำนวนจุดประเมิน ผลลัพธ์มักจะแม่นยำมากขึ้นเมื่อจำนวนจุดประเมินเพิ่มขึ้น หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เมื่อความกว้างของช่วงระหว่างจุดลดลง จึงเป็นเรื่องปกติที่จะถามว่าผลลัพธ์จะเป็นอย่างไรหากอนุญาตให้ช่วงเข้าใกล้ศูนย์ คำถามนี้สามารถตอบได้โดยการประมาณค่าผลลัพธ์จากช่วงที่ไม่เป็นศูนย์สองช่วงขึ้นไป โดยใช้ วิธี การเร่งความเร็วแบบอนุกรมเช่นการประมาณค่าแบบริชาร์ดสัน ฟังก์ชันการประมาณค่าอาจเป็นฟังก์ชันพหุนามหรือฟังก์ชันตรรกยะวิธีการประมาณค่าจะอธิบายไว้โดยละเอียดเพิ่มเติมโดย Stoer และ Bulirsch (ส่วนที่ 3.4) และมีการนำไปใช้ในหลายๆ รูทีนในไลบรารี QUADPACK

ให้อนุพันธ์อันดับแรกมีขอบเขตเหนือ นั่นคือทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยสำหรับโดยที่ให้ สำหรับบางค่าที่ ขึ้นอยู่กับ${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b],}$${\displaystyle f\in C^{1}([a,b]).}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle x\in [a,b),}$$${\displaystyle (xa)f'(\xi _{x})=f(x)-f(a),}$$${\displaystyle \xi _{x}\in (a,x]}$${\displaystyle x}$

ถ้าเราทำการอินทิเกรตจากถึงทั้งสองข้างและหาค่าสัมบูรณ์ เราจะได้ ${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx-(ba)f(a)\right|=\left|\int _{a}^{b}(xa)f'(\xi _{x})\,dx\right|.}$$

เราสามารถประมาณค่าอินทิกรัลทางด้านขวามือได้ดียิ่งขึ้นโดยการนำค่าสัมบูรณ์มาใส่ในตัวอินทิกรัล และแทนที่พจน์ด้วยขอบเขตบน ${\displaystyle f'}$

โดยใช้ ค่าสูงสุด ในการประมาณ

ดังนั้น หากเราประมาณค่าอินทิกรัลโดยใช้กฎการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขข้อผิดพลาดของเราจะไม่เกินค่าด้านขวาของ1เราสามารถแปลงสิ่งนี้เป็นการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดสำหรับผลรวมรีมันน์ซึ่งให้ขอบเขตบน ของข้อผิดพลาดของการประมาณค่าเฉพาะนั้น (โปรดทราบว่านี่คือข้อผิดพลาดที่เราคำนวณสำหรับตัวอย่าง) โดยใช้ค่าอนุพันธ์เพิ่มเติม และโดยการปรับแต่งการหาปริพันธ์เชิงตัวเลข เราสามารถทำการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดที่คล้ายกันโดยใช้ชุดอนุกรมเทย์เลอร์ (โดยใช้ผลรวมย่อยที่มีพจน์เหลือ) สำหรับfการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดนี้ให้ขอบเขตบนที่เข้มงวดของข้อผิดพลาด หากมีค่าอนุพันธ์ของfอยู่ ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$${\displaystyle (ba)f(a)}$$${\displaystyle {\frac {n^{-1}}{2}}\sup _{0\leq x\leq 1}\left|f'(x)\right|}$$${\displaystyle f(x)=x}$

วิธีการอินทิเกรตนี้สามารถนำไปใช้ร่วมกับเลขคณิตช่วงเพื่อสร้างบทพิสูจน์ทางคอมพิวเตอร์และการคำนวณ ที่ได้รับการตรวจสอบแล้วได้

มีวิธีการประมาณค่าอินทิกรัลบนช่วงที่ไม่จำกัดอยู่หลายวิธี เทคนิคมาตรฐานเกี่ยวข้องกับกฎการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขที่ได้มาเป็นพิเศษ เช่นการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขแบบ Gauss-Hermiteสำหรับอินทิกรัลบนเส้นจำนวนจริงทั้งหมด และ การหา ปริพันธ์เชิงตัวเลขแบบ Gauss-Laguerreสำหรับอินทิกรัลบนจำนวนจริงบวก^{[ 4 ]}นอกจากนี้ยังสามารถใช้วิธี Monte Carlo หรือการเปลี่ยนตัวแปรเป็นช่วงจำกัดได้ เช่น สำหรับเส้นจำนวนทั้งหมด สามารถใช้ และสำหรับช่วงกึ่งอนันต์สามารถใช้ เป็นการ แปลงที่เป็นไปได้ อ่านเพิ่มเติม^{[ 5 ]}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{-1}^{+1}f\left({\frac {t}{1-t^{2}}}\right){\frac {1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)^{2}}}\,dt,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f\left(a+{\frac {t}{1-t}}\right){\frac {dt}{(1-t)^{2}}},\\\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f\left(a-{\frac {1-t}{t}}\right){\frac {dt}{t^{2}}},\end{aligned}}}$$

กฎการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขที่กล่าวถึงมาแล้วทั้งหมดถูกออกแบบมาเพื่อคำนวณปริพันธ์หนึ่งมิติ สำหรับการคำนวณปริพันธ์ในหลายมิติ วิธีหนึ่งคือการกำหนดปริพันธ์หลายมิติให้เป็นปริพันธ์หนึ่งมิติซ้ำๆ โดยใช้ทฤษฎีบทของฟูบินี (กฎผลคูณเทนเซอร์) วิธีนี้ต้องการให้การประเมินค่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณเมื่อจำนวนมิติเพิ่มขึ้น มีสามวิธีที่ทราบกันดีว่าสามารถเอาชนะสิ่งที่เรียกว่า " คำสาปแห่งมิติ"นี้ ได้

เทคนิคเพิ่มเติมมากมายสำหรับการสร้างกฎการอินทิเกรตปริมาตรหลายมิติสำหรับฟังก์ชันถ่วงน้ำหนักที่หลากหลายมีอยู่ในเอกสารของ Stroud ^{[ 6 ]} การอินทิเกรตบนทรงกลมได้รับการทบทวนโดย Hesse et al. (2015) ^{[ 7 ]}

วิธีการมอนเตคาร์โลและวิธีการกึ่งมอนเตคาร์โลนั้นง่ายต่อการนำไปใช้กับปริพันธ์หลายมิติ และอาจให้ความแม่นยำมากกว่าการคำนวณปริพันธ์ซ้ำโดยใช้วิธีการหนึ่งมิติสำหรับจำนวนการประเมินฟังก์ชันที่เท่ากัน

กลุ่มวิธีการมอนเตคาร์โลที่มีประโยชน์จำนวนมาก ได้แก่ อั ลกอริทึมมอนเตคาร์โลแบบ ลูกโซ่มาร์คอฟ ซึ่งรวมถึงอัลกอริทึมเมโทรโพลิส-เฮสติงส์และการสุ่มตัวอย่างแบบกิบส์

เดิมที Smolyak พัฒนา ตารางแบบเบาบาง (Sparse grids)ขึ้นมาเพื่อใช้ในการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันที่มีมิติสูง วิธีนี้ใช้กฎการหาปริพันธ์แบบหนึ่งมิติเป็นหลัก แต่เป็นการผสมผสานผลลัพธ์แบบตัวแปรเดียวที่ซับซ้อนกว่า อย่างไรก็ตาม ในขณะที่กฎผลคูณเทนเซอร์รับประกันว่าน้ำหนักของจุดหาปริพันธ์ทั้งหมดจะเป็นบวกหากน้ำหนักของจุดหาปริพันธ์เป็นบวก แต่กฎของ Smolyak ไม่รับประกันว่าน้ำหนักทั้งหมดจะเป็นบวก

การประมาณค่าอินทิ กรัลแบบเบย์เซียน (Bayesian quadrature)เป็นวิธีการทางสถิติในการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของการคำนวณอินทิกรัล และจัดอยู่ในสาขาการคำนวณเชิงความน่าจะเป็น วิธีนี้สามารถจัดการกับความไม่แน่นอนของคำตอบของอินทิกรัลที่แสดงออกมาในรูปของความแปรปรวนภายหลังของ กระบวนการเกาส์เซียน ได้อย่างครบถ้วน

ปัญหาของการประเมินค่าอินทิกรัลจำกัด

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(u)\,du}$

สามารถลดรูปให้เป็นปัญหาค่าเริ่มต้นสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ได้โดยใช้ ทฤษฎีบทพื้นฐานส่วนแรก ของแคลคูลัส โดยการหาอนุพันธ์ของทั้งสองข้างของสมการข้างต้นเทียบกับตัวแปรxจะเห็นได้ว่าฟังก์ชันFสอดคล้องกับเงื่อนไข ต่อไปนี้

${\displaystyle {\frac {dF(x)}{dx}}=f(x),\quad F(a)=0.}$

วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเช่นวิธี Runge–Kuttaสามารถนำมาประยุกต์ใช้กับปัญหาที่เขียนใหม่ได้ และใช้ในการประเมินค่าอินทิกรัลได้ ตัวอย่างเช่น วิธี Runge–Kutta อันดับสี่มาตรฐานที่ใช้กับสมการเชิงอนุพันธ์จะให้ผลลัพธ์เป็นกฎของ Simpson ดังที่กล่าวมาข้างต้น

สมการเชิงอนุพันธ์มีรูปแบบพิเศษ กล่าวคือ ด้านขวามือประกอบด้วยตัวแปรอิสระ (ในที่นี้คือ) เท่านั้น และไม่มีตัวแปรตาม (ในที่นี้คือ) ซึ่งทำให้ทฤษฎีและอัลกอริทึมง่ายขึ้นอย่างมาก ดังนั้น ปัญหาของการประเมินค่าอินทิกรัลจึงควรศึกษาแยกต่างหาก ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$

ในทางกลับกัน คำว่า "การหาปริพันธ์เชิงตัวเลข" (quadrature) อาจใช้สำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ได้เช่นกัน กล่าวคือ " การแก้โดยวิธีหาปริพันธ์เชิงตัวเลข " หรือ " การลดรูปเป็นวิธีหาปริพันธ์เชิงตัวเลข " หมายถึงการแสดงคำตอบในรูปของปริพันธ์

• ข้อผิดพลาดจากการตัดทอน (การอินทิเกรตเชิงตัวเลข)
• การหาปริพันธ์แบบ Clenshaw–Curtis
• การคำนวณเชิงตัวเลขแบบเกาส์-โครนรอด
• ผลรวมรีมันน์หรือปริพันธ์รีมันน์
• กฎสี่เหลี่ยมคางหมู
• วิธีการของรอมเบิร์ก
• การหาปริพันธ์แบบตันซิน
• อินทิกรัลที่ไม่ใช่พื้นฐาน

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับการอินทิเกรตเชิงตัวเลข

• การบูรณาการ: ข้อมูลพื้นฐาน การจำลอง ฯลฯที่สถาบันวิธีการเชิงตัวเลขแบบองค์ รวม
• การหาปริพันธ์แบบ Lobattoจาก Wolfram Mathworld
• สูตรการหาปริพันธ์ของโลบัตโตจากสารานุกรมคณิตศาสตร์
• มีการนำสูตรการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขและการหาปริมาตรหลายสูตรมาใช้งานในไลบรารีส่วนประกอบ Tracker ที่ให้ ใช้ งาน ฟรี
• ตัวผสานรวม SageMath ออนไลน์