ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งในคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทของ Darbouxเป็นทฤษฎีบทที่ให้รูปแบบปกติสำหรับคลาสพิเศษของ1-ฟอร์มเชิงอนุพันธ์ ซึ่ง เป็นการขยาย ทฤษฎีบทการอินทิเกรตของ Frobeniusบางส่วน ทฤษฎีบท นี้ตั้งชื่อตามJean Gaston Darboux ^{[ 1 ]}ผู้ซึ่งได้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ว่าเป็นคำตอบของปัญหาPfaff ^{[ 2 ]}

นี่เป็นผลลัพธ์พื้นฐานในหลายสาขา โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติกอันที่จริง หนึ่งในผลที่ตามมามากมายของมันก็คือ ซิมเพล็กติก แมนิโฟลด์ สองอันใดๆ ที่มีมิติเดียวกัน จะมีความสัมพันธ์ แบบซิมเพล็กติกในระดับท้องถิ่น ต่อกัน กล่าวคือ ซิม เพล็กติกแมนิโฟลด์ทุกอันที่มีมิติ n สามารถทำให้มีลักษณะในระดับท้องถิ่นเหมือนกับ ปริภูมิ ซิมเพล็กติกเชิงเส้นที่มีรูปแบบซิมเพล็กติกแบบแคนอนิกได้ ${\displaystyle 2n}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

นอกจากนี้ ยังมีผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันของทฤษฎีบทนี้ที่สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับเรขาคณิตสัมผัสได้ อีกด้วย

สมมติว่าเป็นรูปแบบ 1 มิติเชิงอนุพันธ์บนแมนิโฟลด์มิติ n โดยที่มีอันดับ คงที่ แล้ว ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$${\displaystyle p}$

• ถ้าทุกหนทุกแห่งมีระบบพิกัดท้องถิ่นอยู่${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}=0}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{np},y_{1},\ldots ,y_{p})}$$${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{p}\,\mathrm {d} y_{p};}$$
• ถ้าทุกหนทุกแห่งมีระบบพิกัดท้องถิ่นอยู่${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}\neq 0}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n-p},y_{1},\ldots ,y_{p})}$$${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{p}\,\mathrm {d} y_{p}+\mathrm {d} x_{p+1}.}$$

การพิสูจน์ดั้งเดิมของ Darboux ใช้การเหนี่ยวนำบนและสามารถนำเสนอในรูปแบบที่เทียบเท่ากันได้ในแง่ของการกระจาย^{[ 3 ]}หรือของอุดมคติเชิงอนุพันธ์^{[ 4 ]}${\displaystyle p}$

ทฤษฎีบทของ Darboux สำหรับรับประกันว่า 1-ฟอร์มใดๆที่มีคุณสมบัติสามารถเขียนได้เป็นในระบบพิกัดบางระบบ ${\displaystyle p=0}$${\displaystyle \theta \neq 0}$${\displaystyle \theta \wedge d\theta =0}$${\displaystyle \theta =dx_{1}}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

สิ่งนี้กู้คืนสูตรหนึ่งของทฤษฎีบทFrobeniusในแง่ของรูปแบบเชิงอนุพันธ์: ถ้าเป็นอุดมคติเชิงอนุพันธ์ที่สร้างขึ้นโดยแล้วบ่งชี้ถึงการมีอยู่ของระบบพิกัดที่สร้างขึ้นโดยจริงๆ^{[ 4 ]}${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset \Omega ^{*}(M)}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta \wedge d\theta =0}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset \Omega ^{*}(M)}$${\displaystyle dx_{1}}$

สมมติว่าเป็น2-ฟอร์มเชิงซิมเพล็กติกบนแมนิโฟลด์มิติในบริเวณใกล้เคียงของแต่ละจุดบนตามทฤษฎีบทของปวงกาเรจะมี 1-ฟอร์มที่มีนอกจากนี้ ยังสอดคล้องกับสมมติฐานชุดแรกในทฤษฎีบทของดาร์บูซ์ ดังนั้น ในระดับท้องถิ่นจะมีแผนภูมิพิกัดใกล้ซึ่ง${\displaystyle \omega }$${\displaystyle n=2m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathrm {d} \theta =\omega }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{m}\,\mathrm {d} y_{m}.}$$

การหาอนุพันธ์ภายนอกในตอนนี้แสดงให้เห็นว่า

$${\displaystyle \omega =\mathrm {d} \theta =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\ldots +\mathrm {d} x_{m}\wedge \mathrm {d} y_{m}.}$$

กล่าวกันว่าแผนภูมินี้ เป็น แผนภูมิDarbouxประมาณ^{[ 5 ]}แมนิโฟลด์สามารถครอบคลุม ได้ ด้วยแผนภูมิดังกล่าว ${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ให้ระบุด้วยโดยให้ถ้าเป็นแผนภูมิ Darboux แล้วสามารถเขียนได้เป็นการดึงกลับของรูปแบบซิมเพล็กติกมาตรฐานบน: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$${\displaystyle z_{j}=x_{j}+{\textit {i}}\,y_{j}}$${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle \omega =\varphi ^{*}\omega _{0}.\,}$

การพิสูจน์ผลลัพธ์นี้ในยุคปัจจุบัน โดยไม่ต้องใช้ข้อความทั่วไปของ Darboux เกี่ยวกับ 1-ฟอร์ม ทำได้โดยใช้กลอุบายของ Moser ^{[ 5 ] [ 6 ]}

ทฤษฎีบทของดาร์บูซ์สำหรับแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติกบ่งชี้ว่าไม่มีตัวแปรคงที่เฉพาะที่ในเรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติก: ฐานดาร์บูซ์สามารถเลือกใช้ได้เสมอ ซึ่งใช้ได้ใกล้จุดใด ๆ ก็ตาม นี่เป็นสิ่งที่แตกต่างอย่างเห็นได้ชัดจากสถานการณ์ในเรขาคณิตแบบรีมันน์ซึ่งความโค้งเป็นตัวแปรคงที่เฉพาะที่ และเป็นอุปสรรคต่อการที่เมตริกจะเป็นผลรวมของกำลังสองของอนุพันธ์พิกัดเฉพาะที่

ความแตกต่างก็คือ ทฤษฎีบทของดาร์บูซ์กล่าวว่า เมตริกสามารถทำให้มีรูปแบบมาตรฐานได้ใน บริเวณ ใกล้เคียงทั้งหมดในขณะที่ในเรขาคณิตแบบรีมันน์ เมตริกสามารถทำให้มีรูปแบบมาตรฐานได้เสมอที่จุดใดจุดหนึ่ง แต่ไม่เสมอไปในบริเวณใกล้เคียงรอบจุดนั้น ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle p}$

กรณีพิเศษอีกกรณีหนึ่งจะได้รับการกู้คืนเมื่อ; ถ้าทุกที่ จะเป็นแบบฟอร์มการติดต่อสามารถให้การพิสูจน์ที่ง่ายกว่าได้ เช่นเดียวกับในกรณีของโครงสร้างซิมเพล็กติก โดยใช้กลอุบายของโมเซอร์^{[ 7 ]}${\displaystyle n=2p+1}$${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}\neq 0}$${\displaystyle \theta }$

Alan Weinsteinแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทของ Darboux สำหรับแมนิโฟลด์เชิงซิมเพลติกสามารถเสริมความแข็งแกร่งให้ใช้ได้กับบริเวณใกล้เคียงของซับแมนิโฟลด์ : ^{[ 8 ]}

ให้เป็นแมนิโฟลด์เรียบที่มีรูปแบบเชิงซิมเพล็กติกสองรูปแบบคือ และและให้เป็นซับแมนิโฟลด์ปิด ถ้าแล้วจะมีย่านใกล้เคียงของในและดิฟเฟโอโมฟิซึมที่ทำให้${\displaystyle M}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle N\subset M}$${\displaystyle \left.\omega _{1}\right|_{N}=\left.\omega _{2}\right|_{N}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f:U\to U}$${\displaystyle f^{*}\omega _{2}=\omega _{1}}$

ทฤษฎีบท Darboux มาตรฐานจะถูกกู้คืนเมื่อเป็นจุด และเป็นโครงสร้างเชิงซิมเพล็กติกมาตรฐานบนแผนภูมิพิกัด ${\displaystyle N}$${\displaystyle \omega _{2}}$

ทฤษฎีบทนี้ยังใช้ได้กับ แมนิโฟลด์บานาคที่มีมิติอนันต์ด้วย

• ทฤษฎีบทคาราเธโอโดรี-จาโคบี-ลีซึ่งเป็นการขยายความของทฤษฎีบทนี้
• กลอุบายของโมเซอร์
• ฐานซิมเพล็กติก

• จี. ดาร์บูซ์, "เกี่ยวกับปัญหาของแพฟฟ์", แปลโดย ดี.เอช. เดลเฟนิช
• G. Darboux, "เกี่ยวกับปัญหาของ Pfaff (ต่อ)", แปลโดย DH Delphenich