วิกิพีเดียภาษาไทย
กลับไปหน้าบทความ

อ่าน 11 นาที

ไม่มีชื่อบทความ

ในทาง คณิตศาสตร์ คำ ว่า "อนุพันธ์" หมายถึงแนวคิดที่เกี่ยวข้องหลายประการ [ 1 ] ซึ่งได้มาจาก แคลคูลัส ในยุคแรกๆที่ได้รับการวางรากฐานอย่างเข้มงวด เช่น ผลต่าง อนันต์ และ อนุพันธ์...

อนุพันธ์ (คณิตศาสตร์)

ในทางคณิตศาสตร์ คำ ว่า "อนุพันธ์"หมายถึงแนวคิดที่เกี่ยวข้องหลายประการ[ 1 ] ซึ่งได้มาจาก แคลคูลัสในยุคแรกๆที่ได้รับการวางรากฐานอย่างเข้มงวด เช่น ผลต่าง อนันต์และอนุพันธ์ของฟังก์ชัน[ 2 ]

คำนี้ใช้ในสาขาคณิตศาสตร์ต่างๆ เช่นแคลคูลัสเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เรขาคณิตเชิงพีชคณิตและโทโพโลยีเชิงพีชคณิต

การแนะนำ

ใน แคลคูลัสคำว่า " ดิ ฟเฟอเรน เชียล " ถูกใช้แบบไม่เคร่งครัดเพื่อหมายถึงการเปลี่ยนแปลงที่เล็กน้อยมาก ("เล็กอย่างไม่มีที่สิ้นสุด") ใน ปริมาณที่เปลี่ยนแปลงได้ บางอย่าง ตัวอย่างเช่น ถ้าxเป็นตัวแปรการเปลี่ยนแปลงในค่าของxมักจะเขียนแทนด้วย Δx (อ่านว่าเดลต้า x ) ดิฟเฟอเรน เชียล dxแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงที่เล็กอย่างไม่มีที่สิ้นสุดในตัวแปรxแนวคิดของการเปลี่ยนแปลงที่เล็กอย่างไม่มีที่สิ้นสุดหรือช้าอย่างไม่มีที่สิ้นสุดนั้น เป็นประโยชน์อย่างยิ่งในเชิงสัญชาตญาณ และมีหลายวิธีที่จะทำให้แนวคิดนี้มีความแม่นยำทางคณิตศาสตร์

โดยใช้แคลคูลัส เราสามารถเชื่อมโยงการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยมาก ๆ ของตัวแปรต่าง ๆ เข้าด้วยกันทางคณิตศาสตร์ได้โดยใช้การอนุพันธ์ถ้าyเป็นฟังก์ชันของxแล้ว อนุพันธ์dyของyจะสัมพันธ์กับdxโดยสูตร งy=งyงxงx,{\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx,} ที่ไหนงyงx{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,}คำว่า `y` ไม่ได้หมายถึง 'dy หารด้วย dx' อย่างที่หลายคนอาจเข้าใจ แต่หมายถึง ' อนุพันธ์ของyเทียบกับx ' สูตรนี้สรุปแนวคิดที่ว่า อนุพันธ์ของyเทียบกับxคือลิมิตของอัตราส่วนของผลต่าง Δy / Δx เมื่อ Δx เข้าใกล้ศูนย์

แนวคิดพื้นฐาน

ประวัติและการใช้งาน

ปริมาณ อนันต์มีบทบาทสำคัญในการพัฒนาแคลคูลัสอาร์คิมิดีสใช้ปริมาณอนันต์ แม้ว่าเขาจะไม่เชื่อว่าข้อโต้แย้งที่เกี่ยวข้องกับปริมาณอนันต์นั้นมีความเข้มงวด[ 3 ]ไอแซค นิวตันเรียกปริมาณอนันต์ว่าฟลัก ซ์ชัน อย่างไรก็ตามกอตต์ฟรีด ไลบ์นิซ เป็น ผู้บัญญัติศัพท์คำว่า ดิฟเฟอเรน เชียลสำหรับปริมาณอนันต์และแนะนำสัญลักษณ์สำหรับปริมาณอนันต์ซึ่งยังคงใช้กันอยู่ในปัจจุบัน

ในสัญลักษณ์ของไลบ์นิซถ้าxเป็นปริมาณที่เปลี่ยนแปลงได้dxจะหมายถึงการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของตัวแปรxดังนั้น ถ้าyเป็นฟังก์ชันของxอนุพันธ์ของy เทียบกับxมักจะเขียนแทนด้วยdy / dxซึ่งหากใช้สัญลักษณ์แบบนิวตันหรือลากรองจ์จะ เขียนแทนด้วย ẏหรือy ′การใช้ดิฟเฟอเรนเชียลในรูปแบบนี้ได้รับคำวิจารณ์มากมาย ตัวอย่างเช่น ในหนังสือเล่มเล็กที่มีชื่อเสียงเรื่องThe Analystโดยบิชอปเบิร์กลีย์ อย่างไรก็ตาม สัญลักษณ์นี้ยังคงได้รับความนิยมเพราะมันสื่อถึงแนวคิดที่ว่าอนุพันธ์ของyที่xคืออัตราการเปลี่ยนแปลงทันที ( ความชัน ของ เส้นสัมผัสของกราฟ) ซึ่งสามารถหาได้โดยการหาลิมิตของอัตราส่วน Δy / Δx เมื่อ Δx มีค่าเล็กมาก ๆ นอกจากนี้ ดิฟเฟอเร นเชียลยังเข้ากันได้กับการวิเคราะห์มิติโดยที่ดิฟเฟอเรนเชียล เช่นdxจะมีมิติเดียวกับตัวแปรx

แคลคูลัสพัฒนาขึ้นเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่แตกต่างออกไปในช่วงศตวรรษที่ 17 แม้ว่าจะมีต้นกำเนิดย้อนกลับไปในสมัยโบราณก็ตาม การนำเสนอของนิวตันและไลบ์นิซนั้นโดดเด่นด้วยคำจำกัดความที่ไม่เข้มงวดของคำต่างๆ เช่น อนุพันธ์ความลื่นไหลและ "เล็กอย่างไม่มีที่สิ้นสุด" ในขณะที่ข้อโต้แย้งหลายอย่างใน หนังสือ The Analyst ของ บิชอปเบิร์กลีย์ในปี 1734 นั้นมีลักษณะทางศาสนศาสตร์ นักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ยอมรับความถูกต้องของข้อโต้แย้งของเขาเกี่ยวกับ " ผีของปริมาณที่จากไปแล้ว " อย่างไรก็ตาม แนวทางสมัยใหม่ไม่มีปัญหาทางเทคนิคแบบเดียวกัน แม้จะขาดความเข้มงวด แต่ก็มีความก้าวหน้าอย่างมากในศตวรรษที่ 17 และ 18 ในศตวรรษที่ 19 คอชีและคนอื่นๆ ค่อยๆ พัฒนา แนวทาง เอปซิลอน-เดลต้าสำหรับความต่อเนื่อง ลิมิต และอนุพันธ์ ซึ่งเป็นรากฐานทางแนวคิดที่มั่นคงสำหรับแคลคูลัส

ในศตวรรษที่ 20 แนวคิดใหม่หลายอย่างในสาขาต่างๆ เช่น แคลคูลัสหลายตัวแปร เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ดูเหมือนจะรวบรวมเจตนารมณ์ของคำศัพท์เดิม โดยเฉพาะคำว่าเชิงอนุพันธ์ทั้งคำว่า เชิงอนุพันธ์ และ อนันต์เล็ก ถูกนำมาใช้ในความหมายใหม่ที่เข้มงวดมากขึ้น

นอกจากนี้ ดิฟเฟอเรนเชียลยังถูกนำมาใช้ในสัญลักษณ์ของอินทิกรัลด้วยเพราะอินทิกรัลสามารถมองได้ว่าเป็นผลรวมอนันต์ของปริมาณที่เล็กมาก ๆ กล่าวคือ พื้นที่ใต้กราฟได้มาจากการแบ่งกราฟออกเป็นแถบที่บางมาก ๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด แล้วนำพื้นที่เหล่านั้นมารวมกัน ในนิพจน์เช่น ∫เอฟ(x)งx,{\displaystyle \int f(x)\,dx,} เครื่องหมายอินทิกรัล (ซึ่งเป็นตัวs ยาว ที่ดัดแปลงแล้ว ) หมายถึงผลรวมอนันต์f ( x ) หมายถึง "ความสูง" ของแถบที่บาง และดิฟเฟอเรนเชียลdxหมายถึงความกว้างที่บางเป็นอนันต์

แนวทาง

มีหลายวิธีในการทำให้แนวคิดเรื่องอนุพันธ์มีความแม่นยำทางคณิตศาสตร์มากขึ้น

  1. อนุพันธ์เป็นแผนที่เชิงเส้นแนวทางนี้เป็นพื้นฐานของคำจำกัดความของอนุพันธ์และอนุพันธ์ภายนอกในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์[ 4 ]
  2. ดิฟเฟอเรนเชียลเป็น องค์ประกอบ นิลโพ เทนต์ ของวงแหวนสลับ ที่ วิธีนี้เป็นที่นิยมในเรขาคณิตพีชคณิต[ 5 ]
  3. อนุพันธ์ในแบบจำลองเรียบของทฤษฎีเซต แนวทางนี้เรียกว่าเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์สังเคราะห์หรือการวิเคราะห์อนันต์แบบเรียบและมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวทางเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ยกเว้นว่ามีการใช้ แนวคิดจาก ทฤษฎีโทโพส เพื่อ ซ่อนกลไกที่นำอนันต์แบบนิลโพเทนต์เข้ามา[ 6 ]
  4. ดิฟเฟอเรนเชีย ลเป็นอนันต์เล็ก ๆ ใน ระบบ จำนวนไฮเปอร์เรียลซึ่งเป็นส่วนขยายของจำนวนจริงที่มีอนันต์เล็ก ๆ ที่ผกผันได้และจำนวนอนันต์ขนาดใหญ่ นี่คือแนวทางการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานที่ริเริ่มโดยAbraham Robinson [ 7 ]

แนวทางเหล่านี้แตกต่างกันมาก แต่มีจุดร่วมกันคือแนวคิดเชิงปริมาณกล่าวคือ ไม่ได้เพียงแค่บอกว่าค่าความแตกต่างนั้นเล็กจนเป็นอนันต์ แต่ยังบอกด้วยว่าเล็กแค่ไหน

อนุพันธ์ในฐานะแผนที่เชิงเส้น

มีวิธีง่ายๆ ที่จะทำความเข้าใจอนุพันธ์อย่างแม่นยำ ซึ่งใช้ครั้งแรกบนเส้นจำนวนจริงโดยมองว่าเป็นแผนที่เชิงเส้นวิธีนี้สามารถนำไปใช้กับ...อาร์{\displaystyle \mathbb {R} },อาร์n{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}ปริภูมิฮิลเบิร์ตปริภูมิบานาคหรือโดยทั่วไปแล้ว ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี กรณีของเส้นจำนวนจริงนั้นอธิบายได้ง่ายที่สุด อนุพันธ์ประเภทนี้ยังรู้จักกันในชื่อเวกเตอร์โคแวเรียนต์หรือเวกเตอร์โคแทนเจนต์ขึ้นอยู่กับบริบท

อนุพันธ์ในฐานะแผนที่เชิงเส้นบน R

สมมติเอฟ(x){\displaystyle f(x)}เป็นฟังก์ชันค่าจริงบนอาร์{\displaystyle \mathbb {R} }เราสามารถตีความตัวแปรใหม่ได้x{\displaystyle x}ในเอฟ(x){\displaystyle f(x)}เนื่องจากเป็นฟังก์ชันมากกว่าตัวเลข กล่าวคือฟังก์ชันเอกลักษณ์บนเส้นจำนวนจริง ซึ่งรับค่าเป็นจำนวนจริงพี{\displaystyle p}สำหรับตัวมันเอง:x(พี)=พี{\displaystyle x(p)=p}. แล้วเอฟ(x){\displaystyle f(x)}เป็นส่วนประกอบของเอฟ{\displaystyle f}กับx{\displaystyle x}ซึ่งมีค่าอยู่ที่พี{\displaystyle p}เป็นเอฟ(x(พี))=เอฟ(พี){\displaystyle f(x(p))=f(p)}ความแตกต่างง⁡เอฟ{\displaystyle \operatorname {d} f}(ซึ่งแน่นอนว่าขึ้นอยู่กับ...)เอฟ{\displaystyle f}) จึงเป็นฟังก์ชันที่มีค่า ณพี{\displaystyle p}(โดยปกติจะใช้สัญลักษณ์ )งเอฟพี{\displaystyle df_{p}}) ไม่ใช่ตัวเลข แต่เป็นการแมปเชิงเส้นจากอาร์{\displaystyle \mathbb {R} }ถึงอาร์{\displaystyle \mathbb {R} }เนื่องจากแผนที่เชิงเส้นจากอาร์{\displaystyle \mathbb {R} }ถึงอาร์{\displaystyle \mathbb {R} }ได้รับจาก1×1{\displaystyle 1\times 1}เมทริกซ์นั้นโดยพื้นฐานแล้วก็คือตัวเลข แต่การเปลี่ยนมุมมองทำให้เราสามารถคิดได้ว่า...งเอฟพี{\displaystyle df_{p}}ในฐานะปริมาณอนันต์เล็ก และเปรียบเทียบกับปริมาณอนันต์เล็กมาตรฐานงxพี{\displaystyle dx_{p}}ซึ่งก็คือแผนที่เอกลักษณ์จากนั่นเองอาร์{\displaystyle \mathbb {R} }ถึงอาร์{\displaystyle \mathbb {R} }(ก)1×1{\displaystyle 1\times 1}เมทริกซ์ที่มีรายการ1{\displaystyle 1}แผนที่เอกลักษณ์มีคุณสมบัติว่า ถ้าε{\displaystyle \varepsilon }เล็กมากงxพี(ε){\displaystyle dx_{p}(\varepsilon )}มีขนาดเล็กมาก ทำให้เราสามารถมองว่ามันเป็นสิ่งเล็กน้อยมาก อนุพันธ์งเอฟพี{\displaystyle df_{p}}มีคุณสมบัติเดียวกัน เพราะมันเป็นเพียงผลคูณของงxพี{\displaystyle dx_{p}}และผลคูณนี้คืออนุพันธ์เอฟ′(พี){\displaystyle f'(p)}ตามนิยาม ดังนั้นเราจึงได้ว่างเอฟพี=เอฟ′(พี)งxพี{\displaystyle df_{p}=f'(p)\,dx_{p}}และด้วยเหตุนี้งเอฟ=เอฟ′งx{\displaystyle df=f'\,dx}ดังนั้นเราจึงได้แนวคิดที่ว่าเอฟ′{\displaystyle f'}คืออัตราส่วนของอนุพันธ์งเอฟ{\displaystyle df}และงx{\displaystyle dx}.

เรื่องนี้คงเป็นแค่กลลวง ถ้าไม่ใช่เพราะข้อเท็จจริงที่ว่า:

  1. มันสื่อถึงแนวคิดของอนุพันธ์ของเอฟ{\displaystyle f}ที่พี{\displaystyle p}เป็นการประมาณเชิงเส้นที่ดีที่สุดสำหรับเอฟ{\displaystyle f}ที่พี{\displaystyle p};
  2. มันมีข้อสรุปทั่วไปหลายอย่าง

อนุพันธ์ในฐานะแผนที่เชิงเส้นบน R n

ถ้าเอฟ{\displaystyle f}เป็นฟังก์ชันจากอาร์n{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}ถึงอาร์{\displaystyle \mathbb {R} }แล้วเราก็พูดว่าเอฟ{\displaystyle f}สามารถหาอนุพันธ์ได้[ 8 ]ที่พี∈อาร์n{\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}หากมีแผนที่เชิงเส้นงเอฟพี{\displaystyle df_{p}}จากอาร์n{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}ถึงอาร์{\displaystyle \mathbb {R} }โดยที่สำหรับใดๆε>0{\displaystyle \varepsilon >0}มีละแวก หนึ่งเอ็น{\displaystyle N}ของพี{\displaystyle p}โดยที่สำหรับx∈เอ็น{\displaystyle x\in N}, |เอฟ(x)−เอฟ(พี)−งเอฟพี(x−พี)|<ε|x−พี|.{\displaystyle \left|f(x)-f(p)-df_{p}(xp)\right|<\varepsilon \left|xp\right|.}

ตอนนี้เราสามารถใช้กลวิธีเดียวกับในกรณีหนึ่งมิติและคิดถึงนิพจน์นั้นได้เอฟ(x1,x2,…,xn){\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}ในฐานะองค์ประกอบของเอฟ{\displaystyle f}ด้วยพิกัดมาตรฐานx1,x2,…,xn{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}บนอาร์n{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}(เพื่อที่ว่า)xเจ(พี){\displaystyle x_{j}(p)}คือเจ{\displaystyle j}ส่วนประกอบที่ - ของพี∈อาร์n{\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}). จากนั้นจึงทำการเปรียบเทียบความแตกต่าง(งx1)พี,(งx2)พี,…,(งxn)พี{\displaystyle \left(dx_{1}\right)_{p},\left(dx_{2}\right)_{p},\ldots ,\left(dx_{n}\right)_{p}}ณ จุดหนึ่งพี{\displaystyle p}สร้างพื้นฐานสำหรับปริภูมิเวกเตอร์ของแผนที่เชิงเส้นจากอาร์n{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}ถึงอาร์{\displaystyle \mathbb {R} }ดังนั้น ถ้าเอฟ{\displaystyle f}สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่พี{\displaystyle p}เราสามารถเขียนd f เป็นผลรวมเชิงเส้นขององค์ประกอบพื้นฐานเหล่านี้ได้: งเอฟพี=∑เจ=1nดีเจเอฟ(พี)(งxเจ)พี.{\displaystyle df_{p}=\sum _{j=1}^{n}D_{j}f(p)\,(dx_{j})_{p}.}

สัมประสิทธิ์ดีเจเอฟ(พี){\displaystyle D_{j}f(p)}คือ (ตามนิยาม) อนุพันธ์ย่อยของเอฟ{\displaystyle f}ที่พี{\displaystyle p}ในส่วนที่เกี่ยวกับx1,x2,…,xn{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}ดังนั้น ถ้าเอฟ{\displaystyle f}สามารถหาอนุพันธ์ได้บนทุกด้านอาร์n{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}เราสามารถเขียนได้กระชับยิ่งขึ้นดังนี้: งเอฟ=∂เอฟ∂x1งx1+∂เอฟ∂x2งx2+⋯+∂เอฟ∂xnงxn.{\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\,dx_{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}.}

ในกรณีหนึ่งมิติ จะกลายเป็นแบบนี้ งเอฟ=งเอฟงxงx{\displaystyle df={\frac {df}{dx}}dx} เหมือนเดิม

แนวคิดนี้สามารถขยายไปสู่ฟังก์ชันต่างๆ ได้โดยตรงอาร์n{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}ถึงอาร์ม{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}นอกจากนี้ นิยามของอนุพันธ์นี้ยังมีข้อได้เปรียบที่สำคัญเหนือกว่านิยามอื่นๆ คือ มันไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเปลี่ยนพิกัด ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้แนวคิดเดียวกันนี้ในการกำหนดอนุพันธ์ของแผนที่เรียบระหว่างแมนิโฟลด์เรียบได้

หมายเหตุ: โปรดสังเกตว่าการมีอยู่ของอนุพันธ์ย่อย ทั้งหมด ของเอฟ(x){\displaystyle f(x)}ที่x{\displaystyle x}เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของอนุพันธ์ที่x{\displaystyle x}อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับตัวอย่างค้าน โปรดดูที่อนุพันธ์ของ Gateaux

อนุพันธ์ในฐานะแผนที่เชิงเส้นบนปริภูมิเวกเตอร์

วิธีการเดียวกันนี้ใช้ได้กับปริภูมิเวกเตอร์ที่มีโครงสร้างเพิ่มเติมเพียงพอที่จะพูดถึงความต่อเนื่องได้อย่างเหมาะสม กรณีที่เป็นรูปธรรมที่สุดคือปริภูมิฮิลเบิร์ต หรือที่รู้จักกันในชื่อ ปริภูมิ ผลคูณภายในสมบูรณ์ ซึ่งผลคูณภายในและ บรรทัดฐานที่เกี่ยวข้องกำหนดแนวคิดของระยะทางที่เหมาะสม วิธีการเดียวกันนี้ใช้ได้กับปริภูมิบานาค หรือที่รู้จักกันในชื่อปริภูมิเวกเตอร์บรรทัดฐาน สมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม สำหรับปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีทั่วไป รายละเอียดบางอย่างจะเป็นนามธรรมมากขึ้น เนื่องจากไม่มีแนวคิดของระยะทาง

สำหรับกรณีสำคัญของมิติจำกัด ปริภูมิผลคูณภายในใดๆ ก็เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐานใดๆ ก็เป็นปริภูมิบานาค และปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีใดๆ ก็เป็นปริภูมิสมบูรณ์ ดังนั้น เราจึงสามารถกำหนดระบบพิกัดจากฐานใดๆ และใช้วิธีการเดียวกันกับกรณีอื่นๆ ได้อาร์n{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.

ความแตกต่างในฐานะต้นกำเนิดของหน้าที่

วิธีการนี้ใช้ได้กับแมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ทุกแบบ ถ้า

  1. UและVเป็นเซตเปิดที่มีp อยู่ภายใน
  2. เอฟ:ยู→อาร์{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }ต่อเนื่อง
  3. จี:วี→อาร์{\displaystyle g\colon V\to \mathbb {R} }ต่อเนื่อง

ดังนั้นfจึงเทียบเท่ากับgที่pซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์เอฟ~พีจี{\displaystyle f\sim _{p}g}ก็ต่อเมื่อมีการเปิดอยู่เท่านั้นว⊆ยู∩วี{\displaystyle W\subseteq U\cap V}ประกอบด้วยpเช่นนั้นเอฟ(x)=จี(x){\displaystyle f(x)=g(x)}สำหรับทุกxในWเชื้อของfที่pแทนด้วย[เอฟ]พี{\displaystyle [f]_{p}}คือเซตของฟังก์ชันต่อเนื่องจริงทั้งหมดที่เทียบเท่ากับfที่จุดp ; ถ้าfเป็นฟังก์ชันเรียบที่จุดpแล้ว[เอฟ]พี{\displaystyle [f]_{p}}เป็นเชื้อโรคที่เรียบเนียน ถ้า

  1. ยู1{\displaystyle U_{1}},ยู2{\displaystyle U_{2}}วี1{\displaystyle V_{1}}และวี2{\displaystyle V_{2}}เป็นเซตเปิดที่มีp อยู่ภายใน
  2. เอฟ1:ยู1→อาร์{\displaystyle f_{1}\colon U_{1}\to \mathbb {R} },เอฟ2:ยู2→อาร์{\displaystyle f_{2}\colon U_{2}\to \mathbb {R} },จี1:วี1→อาร์{\displaystyle g_{1}\colon V_{1}\to \mathbb {R} }และจี2:วี2→อาร์{\displaystyle g_{2}\colon V_{2}\to \mathbb {R} }เป็นฟังก์ชันที่ราบรื่น
  3. เอฟ1~พีจี1{\displaystyle f_{1}\sim _{p}g_{1}}
  4. เอฟ2~พีจี2{\displaystyle f_{2}\sim _{p}g_{2}}
  5. rเป็นจำนวนจริง

แล้ว

  1. ร*เอฟ1~พีร*จี1{\displaystyle r*f_{1}\sim _{p}r*g_{1}}
  2. เอฟ1+เอฟ2:ยู1∩ยู2→อาร์~พีจี1+จี2:วี1∩วี2→อาร์{\displaystyle f_{1}+f_{2}\colon U_{1}\cap U_{2}\to \mathbb {R} \sim _{p}g_{1}+g_{2}\colon V_{1}\cap V_{2}\to \mathbb {R} }
  3. เอฟ1*เอฟ2:ยู1∩ยู2→อาร์~พีจี1*จี2:วี1∩วี2→อาร์{\displaystyle f_{1}*f_{2}\colon U_{1}\cap U_{2}\to \mathbb {R} \sim _{p}g_{1}*g_{2}\colon V_{1}\cap V_{2}\to \mathbb {R} }

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าเชื้อที่จุด p ก่อตัวเป็นพีชคณิต

กำหนดฉันพี{\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}}เพื่อเป็นเซตของเชื้อโรคเรียบทั้งหมดที่หายไปที่pและ ฉันพี2{\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}^{2}}เป็นผลผลิตจากอุดมคติฉันพีฉันพี{\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}{\mathcal {I}}_{p}}ดังนั้น อนุพันธ์ที่จุดp (เวกเตอร์โคแทนเจนต์ที่จุด p ) จึงเป็นองค์ประกอบของฉันพี/ฉันพี2{\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}/{\mathcal {I}}_{p}^{2}}อนุพันธ์ของฟังก์ชันเรียบfที่จุดpซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์งเอฟพี{\displaystyle \mathrm {d} f_{p}}, เป็น[เอฟ−เอฟ(พี)]พี/ฉันพี2{\displaystyle [f-f(p)]_{p}/{\mathcal {I}}_{p}^{2}}.

แนวทางที่คล้ายกันคือการกำหนดความสมมูลเชิงอนุพันธ์อันดับแรกในแง่ของอนุพันธ์ในระนาบพิกัดใดๆ จากนั้น อนุพันธ์ของfที่pคือเซตของฟังก์ชันทั้งหมดที่สมมูลเชิงอนุพันธ์กับเอฟ−เอฟ(พี){\displaystyle f-f(p)}ที่หน้า .

เรขาคณิตเชิงพีชคณิต

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต อนุพันธ์และแนวคิดอนันต์เล็ก ๆ อื่น ๆ จะถูกจัดการอย่างชัดเจนมากโดยการยอมรับว่าวงแหวนพิกัดหรือชีฟโครงสร้างของปริภูมิอาจมีองค์ประกอบนิลโพ เทนต์ ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือวงแหวนของจำนวนคู่R [ ε ] โดยที่ε 2 = 0

สิ่งนี้สามารถอธิบายได้จากมุมมองทางพีชคณิตเรขาคณิตเกี่ยวกับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันfจากRไปยังRที่จุดpก่อนอื่นต้องสังเกตว่าf − f ( p ) อยู่ในไอเดียล I ของฟังก์ชันบนRซึ่งมีค่าเป็นศูนย์ที่pถ้าอนุพันธ์fมีค่าเป็นศูนย์ที่pแล้วf − f ( p ) จะอยู่ในกำลังสองI 2ของไอเดียลนี้ ดังนั้น อนุพันธ์ของfที่pอาจถูกจับได้ด้วยชั้นสมมูล [ f − f ( p )] ในปริภูมิผลหารI / I 2และ1-jetของf (ซึ่งเข้ารหัสค่าและอนุพันธ์อันดับแรกของมัน) คือชั้นสมมูลของfในปริภูมิของฟังก์ชันทั้งหมดโมดูลI 2นักเรขาคณิตเชิงพีชคณิตถือว่าชั้นสมมูลนี้เป็นการจำกัด f ให้เป็น เวอร์ชัน ที่หนาขึ้นของจุดpซึ่งวงแหวนพิกัดไม่ใช่R (ซึ่งเป็นปริภูมิผลหารของฟังก์ชันบนRมอดูลI ) แต่ เป็น R [ ε ] ซึ่งเป็นปริภูมิผลหารของฟังก์ชันบนRมอดูลI 2จุดที่หนาขึ้นดังกล่าวเป็นตัวอย่างง่ายๆ ของสกีม[ 5 ]   

แนวคิดเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

อนุพันธ์ยังมีความสำคัญในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและมีแนวคิดสำคัญหลายประการ

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์สังเคราะห์

แนวทางที่ห้าสำหรับอินฟินิตี้ซิมอลคือวิธีเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์สังเคราะห์[ 9 ]หรือการวิเคราะห์อินฟินิตี้ซิมอลแบบเรียบ[ 10 ]วิธีนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวทางพีชคณิตเรขาคณิต ยกเว้นว่าอินฟินิตี้ซิมอลนั้นมีความชัดเจนและเข้าใจง่ายกว่า แนวคิดหลักของแนวทางนี้คือการแทนที่หมวดหมู่ของเซตด้วยหมวดหมู่ อื่น ของเซตที่เปลี่ยนแปลงอย่างราบรื่นซึ่งเป็นโทโพสในหมวดหมู่นี้ เราสามารถกำหนดจำนวนจริง ฟังก์ชันเรียบ และอื่นๆ ได้ แต่จำนวนจริง จะมีอินฟินิตี้ซิมอลแบบนิลโพเทนต์ โดยอัตโนมัติดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องแนะนำด้วยตนเองเหมือนในแนวทางพีชคณิตเรขาคณิต อย่างไรก็ตามตรรกะในหมวดหมู่ใหม่นี้ไม่เหมือนกับตรรกะที่คุ้นเคยของหมวดหมู่ของเซต โดยเฉพาะอย่างยิ่งกฎของตัวกลางที่ถูกยกเว้นไม่เป็นจริง ซึ่งหมายความว่าข้อโต้แย้งทางคณิตศาสตร์เชิงเซตจะขยายไปสู่การวิเคราะห์อินฟินิตี้ซิมอลแบบเรียบได้ก็ต่อเมื่อเป็นเชิงสร้างสรรค์ (เช่น ไม่ใช้การพิสูจน์โดยการขัดแย้ง ) นักปรัชญาแนวสร้างสรรค์นิยมมองว่าข้อเสียเปรียบนี้เป็นสิ่งที่ดี เพราะมันบังคับให้เราต้องค้นหาข้อโต้แย้งเชิงสร้างสรรค์ไม่ว่าจะมีโอกาสใดก็ตาม

การวิเคราะห์ที่ไม่เป็นไปตามมาตรฐาน

แนวทางสุดท้ายสำหรับอินฟินิตี้ซิมอลเกี่ยวข้องกับการขยายจำนวนจริงอีกครั้ง แต่ในลักษณะที่ไม่รุนแรงนัก ใน แนวทาง การวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานไม่มีอินฟินิตี้ซิมอลที่เป็นนิลโพเทนต์ มีเพียงอินฟินิตี้ซิมอลที่ผกผันได้ ซึ่งอาจมองได้ว่าเป็นส่วนกลับของจำนวนอนันต์ขนาดใหญ่[ 7 ]การขยายจำนวนจริงดังกล่าวอาจสร้างขึ้นอย่างชัดเจนโดยใช้ชั้นสมมูลของลำดับของจำนวนจริงดังนั้น ตัวอย่างเช่น ลำดับ (1,  1/2,  1/3,  ...,  1/ n ,  ...) แสดงถึงอินฟินิตี้ ซิ มอล ตรรกะลำดับที่หนึ่งของเซตใหม่ของจำนวนไฮเปอร์เรียล นี้ เหมือนกับตรรกะสำหรับจำนวนจริงทั่วไป แต่สัจพจน์ความสมบูรณ์ (ซึ่งเกี่ยวข้องกับตรรกะลำดับที่สอง ) ไม่เป็นจริง อย่างไรก็ตาม แค่นี้ก็เพียงพอที่จะพัฒนาแนวทางพื้นฐานและค่อนข้างเข้าใจง่ายสำหรับแคลคูลัสโดยใช้อินฟินิตี้ซิมอล ดูหลักการถ่ายโอน

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

แนวคิดเรื่องอนุพันธ์เป็นแรงบันดาลใจให้เกิดแนวคิดหลายอย่างในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ (และโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์ )

ความหมายอื่นๆ

คำว่า"ดิฟเฟอเรนเชียล"ยังถูกนำมาใช้ในพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีและโทโพโลยีเชิงพีชคณิตด้วย เนื่องจากบทบาทของอนุพันธ์ภายนอกในโคโฮโมโลยีของเดอแรม: ในคอมเพล็กซ์โคเชน(ซี∙,ง∙),{\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet }),}แผนที่ (หรือตัวดำเนินการขอบเขตร่วม ) d มักเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียล ในทางกลับกัน ตัวดำเนินการขอบเขตในคอมเพล็กซ์ลูกโซ่บางครั้งเรียกว่าโคดิฟเฟอเรนเชียล

คุณสมบัติของอนุพันธ์ยังเป็นแรงบันดาลใจให้เกิดแนวคิดทางพีชคณิตเกี่ยวกับการอนุพันธ์และพีชคณิตเชิงอนุพันธ์อีก ด้วย

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

การอ้างอิง

  1. ↑ "Differential" . Wolfram MathWorld . สืบค้นเมื่อ24 กุมภาพันธ์ 2022 . คำว่า "differential" มีความหมายที่เกี่ยวข้องกันหลายอย่างในทางคณิตศาสตร์ ในบริบทที่พบได้บ่อยที่สุด หมายถึง "เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์" ตัวอย่างเช่น ส่วนของแคลคูลัสที่เกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์ (เช่น การหาอนุพันธ์) เรียกว่า แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์คำว่า "differential" ยังมีความหมายทางเทคนิคมากขึ้นในทฤษฎีของ k-form เชิงอนุพันธ์ในฐานะที่เรียกว่า one-form
  2. ↑ "differential - ความหมายของ differential ในภาษาอังกฤษแบบอเมริกัน โดย Oxford Dictionaries" . Oxford Dictionaries - ภาษาอังกฤษ . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 3 มกราคม 2014 . สืบค้นเมื่อ13 เมษายน 2018 .
  3. ↑ บอยเออ ร์ 1991
  4. ↑ดาร์ลิ่ง 1994
  5. 1 2ไอเซนบัดและ แฮร์ริ ส 1998
  6. ↑ดู Kock 2006และ Moerdijk & Reyes 1991 .
  7. 1 2ดู Robinson 1996และ Keisler 1986
  8. ↑ดูตัวอย่างเช่น Apostol 1967
  9. ↑ดู Kock 2006และ Lawvere 1968
  10. ↑ดู Moerdijk & Reyes 1991และ Bell 1998

สรุปเนื้อหา

ข้อมูลสำคัญจากบทความ

ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ ไม่มีชื่อบทความ

ในทาง คณิตศาสตร์ คำ ว่า "อนุพันธ์" หมายถึงแนวคิดที่เกี่ยวข้องหลายประการ [ 1 ] ซึ่งได้มาจาก แคลคูลัส ในยุคแรกๆที่ได้รับการวางรากฐานอย่างเข้มงวด เช่น ผลต่าง อนันต์ และ อนุพันธ์...

การแนะนำ

ใน แคลคูลัส คำว่า " ดิ ฟเฟอเรน เชียล " ถูกใช้แบบไม่เคร่งครัดเพื่อหมายถึงการเปลี่ยนแปลง ที่เล็กน้อยมาก ("เล็กอย่างไม่มีที่สิ้นสุด") ใน ปริมาณที่เปลี่ยนแปลงได้ บางอย่าง ตัวอย่างเช่น ถ้า x เป็น ตัวแปร การเปลี่ยนแปลงในค่าของ x มักจะเขียนแทนด้วย Δx ( อ่านว่า...

แนวคิดพื้นฐาน

ใน วิชาแคลคูลัส อนุพันธ์ แสดงถึงการเปลี่ยนแปลงในความ เป็นเชิงเส้น ของ ฟังก์ชัน อนุพันธ์ รวม คือการขยายความทั่วไปของอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว ในวิธีการคำนวณแคลคูลัสแบบดั้งเดิม อนุพันธ์ (เช่น dx , dy , dt เป็นต้น) ถูกตีความว่าเป็น ปริมาณอนันต์เล็ก...

ประวัติและการใช้งาน

ปริมาณ อนันต์ มีบทบาทสำคัญในการพัฒนาแคลคูลัส อาร์คิมิดีส ใช้ปริมาณอนันต์ แม้ว่าเขาจะไม่เชื่อว่าข้อโต้แย้งที่เกี่ยวข้องกับปริมาณอนันต์นั้นมีความเข้มงวด [ 3 ] ไอแซค นิวตัน เรียกปริมาณอนันต์ว่า ฟลัก ซ์ชัน อย่างไรก็ตาม กอตต์ฟรีด ไลบ์นิซ เป็น ผู้บัญญัติศัพท์คำว่า...