รูปหลายเหลี่ยมปกติที่มี${\displaystyle n}$ฝ่ายต่างๆ มี${\displaystyle 2n}$สมมาตรที่แตกต่างกัน:${\displaystyle n}$สมมาตรการหมุนและ${\displaystyle n}$สมมาตรการสะท้อน ; ในที่นี้${\displaystyle n\geq 3}$การหมุนและการสะท้อนที่เกี่ยวข้องเหล่านี้ประกอบกันเป็นกลุ่มไดเฮดรัล${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$. ถ้า${\displaystyle n}$เป็นรูปทรงที่แปลก เพราะแกนสมมาตรสะท้อนแต่ละแกนจะเชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านหนึ่งกับจุดยอดตรงข้าม ถ้า${\displaystyle n}$แม้แต่ยังมีอยู่${\displaystyle n/2}$แกนสมมาตรที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามและ${\displaystyle n/2}$แกนสมมาตรที่เชื่อมต่อจุดยอดตรงข้าม ในทั้งสองกรณีจะมี${\displaystyle n}$แกนสมมาตรและ${\displaystyle 2n}$องค์ประกอบในกลุ่มสมมาตร^{[ 5 ]}การสะท้อนในแกนสมมาตรหนึ่งแกนตามด้วยการสะท้อนในแกนสมมาตรอีกแกนหนึ่งจะทำให้เกิดการหมุนเป็นสองเท่าของมุมระหว่างแกน^{[ 6 ]}

เช่นเดียวกับวัตถุทางเรขาคณิตใดๆการประกอบสมมาตรสองแบบของรูปหลายเหลี่ยมปกติจะเป็นสมมาตรของวัตถุนี้อีกครั้ง โดยการประกอบสมมาตรเพื่อสร้างสมมาตรอีกแบบหนึ่งเป็นการดำเนินการแบบไบนารี ทำให้สมมาตรของรูปหลายเหลี่ยมมีโครงสร้างพีชคณิตของกลุ่มจำกัด^{[ 7 ]}

ตารางเคย์ลีย์ต่อไปนี้แสดงผลขององค์ประกอบในกลุ่มไดเฮดรัลลำดับที่ 6${\displaystyle \mathrm {D} _{3}}$—สมมาตรของสามเหลี่ยมด้านเท่า ที่นี่${\displaystyle \mathrm {r} _{0}}$แสดงถึงเอกลักษณ์${\displaystyle \mathrm {r} _{1}}$และ${\displaystyle \mathrm {r} _{2}}$กำหนดให้การหมุนทวนเข็มนาฬิกาเป็น 120° และ 240° ตามลำดับ รวมถึง${\displaystyle \mathrm {s} _{0}}$,${\displaystyle \mathrm {s} _{1}}$, และ${\displaystyle \mathrm {s} _{2}}$แสดงถึงการสะท้อนข้ามเส้นทั้งสามเส้นที่แสดงในภาพด้านข้าง

ตัวอย่างเช่น,${\displaystyle \mathrm {s} _{2}\mathrm {s} _{1}=\mathrm {r} _{1}}$เพราะการสะท้อน${\displaystyle \mathrm {s} _{1}}$ตามด้วยการสะท้อน s ส่งผลให้เกิดการหมุน 120° ลำดับขององค์ประกอบที่แสดงถึงการประกอบจะเป็นจากขวาไปซ้าย ซึ่งสะท้อนถึงธรรมเนียมที่ว่าองค์ประกอบจะกระทำกับนิพจน์ทางด้านขวา การดำเนินการประกอบไม่สามารถสลับที่ได้^{[ 7 ]}

โดยทั่วไป กลุ่ม${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$มีองค์ประกอบ${\displaystyle r_{0},\dots ,r_{n-1}}$และ${\displaystyle s_{0},\dots ,s_{n-1}}$โดยมีองค์ประกอบตามสูตรต่อไปนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {r} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {r} _{i+j},&\qquad \mathrm {r} _{i}\,\mathrm {s} _{j}=\mathrm {s} _{i+j},\\\mathrm {s} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {s} _{ij},&\qquad \mathrm {s} _{i}\,\mathrm {s} _{j}=\mathrm {r} _{ij}.\end{aligned}}}$$

ในทุกกรณี การบวกและการลบตัวเลขดัชนีจะต้องดำเนินการโดยใช้เลขคณิตแบบโมดูลาร์ด้วยโมดูลัส${\displaystyle n}$.

เมื่อวางรูปหลายเหลี่ยมปกติไว้ที่จุดกำเนิด องค์ประกอบของกลุ่มไดเฮดรัลจะทำหน้าที่เป็นการแปลงเชิงเส้นของระนาบซึ่งทำให้องค์ประกอบของ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$แสดงอยู่ในรูปเมทริกซ์โดยการประกอบคือการคูณเมทริกซ์นี่เป็นตัวอย่างของการแสดงกลุ่ม (สองมิติ )

ตัวอย่างเช่น องค์ประกอบของกลุ่มไดเฮดรัลอันดับ 8${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$—สมมาตรกลุ่มของสี่เหลี่ยมจัตุรัส—สามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์แปดเมทริกซ์ต่อไปนี้: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {r} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right),\\[1em]\mathrm {s} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right).\end{matrix}}}$$ ในที่นี้ เมทริกซ์เหล่านี้แสดงถึงสมมาตรของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่วางตัวตามแกนและมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดซึ่งกระทำต่อระนาบโดยการคูณเวกเตอร์คอลัมน์ของพิกัด${\textstyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$องค์ประกอบ${\displaystyle \mathrm {r} _{0}}$แสดงถึงเอกลักษณ์ องค์ประกอบต่างๆ${\displaystyle \mathrm {s} _{0}}$และ${\displaystyle \mathrm {s} _{2}}$แสดงถึงการสะท้อนตามแกนแนวนอนและแนวตั้ง องค์ประกอบต่างๆ${\displaystyle \mathrm {s} _{1}}$และ${\displaystyle \mathrm {s} _{3}}$แสดงถึงการสะท้อนตามแนวทแยงมุม องค์ประกอบอื่นๆ อีกสามอย่าง${\displaystyle \mathrm {r} _{1}}$,${\displaystyle \mathrm {r} _{2}}$, และ${\displaystyle \mathrm {r} _{3}}$เป็นการหมุนรอบจุดศูนย์กลาง^{[ 8 ]}

r ตำแหน่งเริ่มต้นของสี่เหลี่ยมจัตุรัส

r การหมุน 270°

r การหมุน 180°

r การหมุน 90° ทวนเข็มนาฬิกา

s การสะท้อนแนวนอน

s การสะท้อนแนวตั้ง

s การสะท้อนแนวทแยง NW–SE

s การสะท้อนแนวทแยง NE–SW

โดยทั่วไป เมทริกซ์สำหรับองค์ประกอบของ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$มีรูปแบบดังต่อไปนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {r} _{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&-\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}\ \ {\text{and}}\\[5pt]\mathrm {s} _{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$ ในที่นี้ องค์ประกอบ${\displaystyle \mathrm {r} _{k}}$เป็นเมทริกซ์การหมุนซึ่งแสดงถึงการหมุนทวนเข็มนาฬิกาด้วยมุม θ${\displaystyle 2\pi k/n}$องค์ประกอบ${\displaystyle \mathrm {s} _{k}}$คือการสะท้อนข้ามเส้นที่ทำมุมกับมุมหนึ่ง${\displaystyle \pi k/n}$ด้วย${\displaystyle x}$-แกน .

D คือผลคูณกึ่งตรงของ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}=\{1,s\}}$ดำเนินการตาม${\displaystyle \mathrm {C} _{n}}$ผ่านทางออโตมอร์ฟิซึม${\displaystyle \varphi _{s}(r)=r^{-1}}$[ ^{9 ]​}

ดังนั้นจึงมีการนำเสนอ^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{n}&=\left\langle r,s\mid \operatorname {ord} (r)=n,\operatorname {ord} (s)=2,srs^{-1}=r^{-1}\right\rangle \\&=\left\langle r,s\mid \operatorname {ord} (r)=n,\operatorname {ord} (s)=2,srs=r^{-1}\right\rangle \\&=\left\langle r,s\mid r^{n}=s^{2}=(sr)^{2}=1\right\rangle .\end{aligned}}}$

โดยใช้ความสัมพันธ์${\displaystyle s^{2}=1}$เราจึงได้ความสัมพันธ์ดังกล่าว${\displaystyle r=s\cdot sr}$ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ถูกสร้างขึ้นโดย${\displaystyle s}$และ${\displaystyle t:=sr}$การแทนที่นี้ยังแสดงให้เห็นว่า${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$มีการนำเสนอ

${\displaystyle \mathrm {D} _{n}=\left\langle s,t\mid s^{2}=1,t^{2}=1,(st)^{n}=1\right\rangle .}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งD จัดอยู่ในกลุ่มCoxeter

• 
  สมมาตร2 มิติ D –ตราประทับจักรพรรดิแห่งญี่ปุ่น ซึ่งแสดงถึงดอกเบญจมาศ แปด กลีบที่มีสิบหกกลีบ
• 
  สมมาตร2D D – ดาวแดงแห่งดาวิด
• 
  สมมาตร 2 มิติ D — ธงนาวีของสาธารณรัฐจีน (ดวงอาทิตย์ขาว)
• 
  สมมาตร2 มิติ D – อโศกจักรดังที่ปรากฏบนธงชาติของสาธารณรัฐอินเดีย

การสะท้อนทั้งหมดจะเป็นคู่สมกันเมื่อnเป็นจำนวนคี่ แต่จะแบ่งออกเป็นสองกลุ่มความคู่สมหากnเป็นจำนวนคู่ ลองนึกถึงการแปลงสมมาตรของรูปหลายเหลี่ยมปกติnด้าน: สำหรับn ที่เป็นจำนวนคี่ จะมีการหมุนในกลุ่มระหว่างกระจกทุกคู่ ในขณะที่สำหรับn ที่เป็นจำนวนคู่ จะมีเพียงครึ่งหนึ่งของกระจกเท่านั้นที่สามารถเข้าถึงได้จากกระจกบานหนึ่งโดยการหมุนเหล่านี้ ในทางเรขาคณิต ในรูปหลายเหลี่ยมที่มี n เป็นจำนวนคี่ แกนสมมาตรทุกแกนจะผ่านจุดยอดและด้านหนึ่งด้าน ในขณะที่ในรูปหลายเหลี่ยมที่มี n เป็นจำนวนคู่ จะมีแกนสองชุด แต่ละชุดสอดคล้องกับกลุ่มความคู่สม: แกนที่ผ่านจุดยอดสองจุด และแกนที่ผ่านด้านสองด้าน

ในทางพีชคณิต นี่เป็นตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทไซโลว์ แบบสังยุค (สำหรับnที่เป็นจำนวนคี่): สำหรับnที่เป็นจำนวนคี่ การสะท้อนแต่ละครั้งพร้อมกับเอกลักษณ์จะก่อให้เกิดกลุ่มย่อยที่มีอันดับ 2 ซึ่งเป็นกลุ่มย่อยไซโลว์ 2 ( 2 = 2 ¹คือกำลังสูงสุดของ 2 ที่หาร2 n = 2[2 k + 1] ลงตัว ) ในขณะที่สำหรับnที่เป็นจำนวนคู่ กลุ่มย่อยอันดับ 2 เหล่านี้ไม่ใช่กลุ่มย่อยไซโลว์ เพราะ 4 (กำลังที่สูงกว่าของ 2) หารอันดับของกลุ่มลงตัว

สำหรับnที่เป็นจำนวนคู่ จะมีออโตมอร์ฟิซึมภายนอกที่สลับการสะท้อนทั้งสองประเภท (โดยที่ถูกต้องคือคลาสของออโตมอร์ฟิซึมภายนอก ซึ่งทั้งหมดเป็นคอนจูเกตโดยออโตมอร์ฟิซึมภายใน)

กลุ่ม D มีออโตมอร์ฟิซึมภายใน 18 ตัว ในฐานะกลุ่มไอโซเมตรี 2 มิติ D กลุ่มนี้มีกระจกที่ช่วงห่าง 20° ออโตมอร์ฟิซึมภายในทั้ง 18 ตัวนี้ทำให้เกิดการหมุนของกระจกด้วยมุมทวีคูณของ 20° และการสะท้อน ในฐานะกลุ่มไอโซเมตรี ออโตมอร์ฟิซึมเหล่านี้ทั้งหมด ในฐานะกลุ่มนามธรรม นอกเหนือจากนี้ยังมีออโตมอร์ฟิซึมภายนอก อีก 36 ตัว เช่น การคูณมุมการหมุนด้วย 2

กลุ่ม D มีออโตมอร์ฟิซึมภายใน 10 ตัว ในฐานะกลุ่มไอโซเมตรี 2 มิติ D กลุ่มนี้มีกระจกที่ช่วงห่าง 18° ออโตมอร์ฟิซึมภายใน 10 ตัวนี้ทำให้เกิดการหมุนของกระจกเป็นทวีคูณของ 36° และการสะท้อน ในฐานะกลุ่มไอโซเมตรี มีออโตมอร์ฟิซึมอีก 10 ตัว ซึ่งเป็นคอนจูเกตโดยไอโซเมตรีภายนอกกลุ่ม ทำให้กระจกหมุน 18° เมื่อเทียบกับออโตมอร์ฟิซึมภายใน ในฐานะกลุ่มนามธรรม นอกจากออโตมอร์ฟิซึมภายใน 10 ตัวและออโตมอร์ฟิซึมภายนอก 10 ตัวแล้ว ยังมีออโตมอร์ฟิซึมภายนอกอีก 20 ตัว เช่น การคูณการหมุนด้วย 3

เปรียบเทียบค่า 6 และ 4 สำหรับฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ซึ่งเป็นกลุ่มการคูณของจำนวนเต็มมอดูล nสำหรับn = 9 และ 10 ตามลำดับ ผลลัพธ์นี้ทำให้จำนวนออโตมอร์ฟิซึมเพิ่มขึ้นเป็นสามเท่าและสองเท่า เมื่อเทียบกับออโตมอร์ฟิซึมสองตัวที่เป็นไอโซเมตรี (โดยคงลำดับการหมุนไว้เหมือนเดิมหรือกลับลำดับ)

ค่าn เพียงค่าเดียว ที่φ ( n ) = 2 คือ 3, 4 และ 6 และด้วยเหตุนี้จึงมีกลุ่มไดเฮดรัลเพียงสามกลุ่มเท่านั้นที่เป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของตัวเอง ได้แก่D (อันดับ 6), D (อันดับ 8) และD (อันดับ 12) ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายในของD มีลักษณะสมมาตรกับ: ^{[ 14 ]}

• D ถ้าnเป็นจำนวนคี่;
• D / Z ถ้าnเป็นจำนวนคู่ (สำหรับn = 2 , D / Z = 1 )