ทฤษฎีบทของไซโลว์

ในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะในสาขาทฤษฎีกลุ่มจำกัดทฤษฎีบทของไซโลว์เป็นชุดของทฤษฎีบทที่ตั้งชื่อตามปีเตอร์ ลุดวิก ไซโลว์ นักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์ ^{[ 1 ]}ซึ่งให้ข้อมูลโดยละเอียดเกี่ยวกับจำนวนกลุ่มย่อย ที่มี ลำดับคงที่ที่กลุ่มจำกัด ที่กำหนด ประกอบด้วย ทฤษฎีบทของไซโลว์เป็นส่วนพื้นฐานของทฤษฎีกลุ่มจำกัดและมีการประยุกต์ใช้ที่สำคัญมากในการจำแนก กลุ่มง่ายจำกัด

สำหรับจำนวนเฉพาะ p กลุ่มpคือกลุ่มที่มีขนาดสมาชิกเป็นกำลังของ p หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง คือ อันดับของสมาชิกแต่ละตัวในกลุ่มเป็นกำลังของp กลุ่มย่อยไซโลว์p (บางครั้งเรียกว่า กลุ่มย่อย p-ไซโลว์ ) ของกลุ่มจำกัดคือ กลุ่มย่อย สูงสุดของp กล่าวคือ กลุ่มย่อยของ p ที่เป็นpกลุ่มและไม่ใช่กลุ่มย่อยแท้ของกลุ่มย่อย p อื่นใดของp เซตของกลุ่มย่อยไซโลว์ p ทั้งหมดสำหรับจำนวนเฉพาะที่กำหนดบางครั้งเขียนว่า $p$ $p;$ $p$ $G$ $p$ $G$ $G$ $p$ $G$ $p$ $p$ ${\text{Syl}}_{p}(G)$

ทฤษฎีบทของไซโลว์กล่าวอ้างถึงบทกลับบางส่วนของทฤษฎีบทของลากรองจ์ทฤษฎีบทของลากรองจ์กล่าวว่า สำหรับกลุ่มจำกัดใดๆอันดับ (จำนวนสมาชิก) ของทุกกลุ่มย่อยของกลุ่มนั้นจะหารอันดับของกลุ่มนั้นลงตัวทฤษฎีบทของไซโลว์กล่าวว่า สำหรับตัวประกอบเฉพาะ ทุกตัว ของอันดับของกลุ่มจำกัดจะมีกลุ่มย่อยไซโลว์ของ กลุ่มนั้นที่มี อันดับ ซึ่ง เป็นกำลังสูงสุดของที่หารอันดับของกลุ่มนั้นลงตัวยิ่งไปกว่านั้น ทุกกลุ่มย่อยที่มีอันดับเป็นกลุ่มย่อยไซโลว์ของ กลุ่มนั้น และกลุ่มย่อยไซโลว์ของกลุ่มหนึ่ง (สำหรับตัวประกอบเฉพาะที่กำหนดให้) จะเป็นคู่สมซึ่งกันและกัน นอกจากนี้ จำนวนกลุ่มย่อยไซโลว์ของกลุ่มหนึ่งสำหรับตัวประกอบเฉพาะที่กำหนดให้จะสมมูลกับ 1 (mod ) $G$ $G$ $G$ $p$ $G$ $p$ $G$ $p^{n}$ $p$ $G$ $p^{n}$ $p$ $G$ $p$ $p$ $p$ $p$ $p$

ทฤษฎีบท

แรงจูงใจ

ทฤษฎีบทของไซโลว์เป็นข้อความที่ทรงพลังเกี่ยวกับโครงสร้างของกลุ่มโดยทั่วไป แต่ก็ทรงพลังในการประยุกต์ใช้ทฤษฎีกลุ่มจำกัดด้วยเช่นกัน เนื่องจากทฤษฎีบทเหล่านี้ให้วิธีการใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนสมาชิกของกลุ่มจำกัดเพื่อให้ได้ข้อความเกี่ยวกับโครงสร้างของกลุ่มย่อย กล่าวคือ เป็นเทคนิคในการถ่ายทอดข้อมูลทางทฤษฎีจำนวนพื้นฐานเกี่ยวกับกลุ่มไปยังโครงสร้างของกลุ่ม จากข้อสังเกตนี้ การจำแนกกลุ่มจำกัดจึงกลายเป็นเกมของการค้นหาว่าการรวมกัน/การสร้างกลุ่มที่มีลำดับเล็กกว่าสามารถนำมาใช้สร้างกลุ่มได้อย่างไร ตัวอย่างเช่น การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเหล่านี้โดยทั่วไปคือการจำแนกกลุ่มจำกัดที่มีจำนวนสมาชิกคงที่เช่น^[²^] $G$ $||G|=60$

คำแถลง

ในทฤษฎีกลุ่ม การรวมกลุ่มย่อยที่แต่ละกลุ่มมีขนาดใหญ่ที่สุดในแง่ใดแง่หนึ่งนั้นเป็นเรื่องปกติ ผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจในที่นี้คือ ในกรณีของสมาชิกทั้งหมดนั้นสมisomorphicกันและมีอันดับที่ใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้: ถ้าโดยที่ $p$ ไม่หาร $m$ ลงตัว แล้วกลุ่มย่อย Sylow $p$ ทุก กลุ่ม $P$ จะมีอันดับนั่นคือ $P$ เป็น กลุ่ม $p$ และคุณสมบัติเหล่านี้สามารถนำมาใช้เพื่อวิเคราะห์โครงสร้างของG $ได้ ต่อไป$ $\operatorname {Syl} _{p}(G)$ $|G|=p^{n}m$ $n>0$ $|P|=p^{n}$ ${\text{gcd}}(|G:P|,p)=1$

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้รับการเสนอและพิสูจน์เป็นครั้งแรกโดยลุดวิก ไซโลว์ ในปี ค.ศ. 1872 และตีพิมพ์ในวารสารMathematische Annalen

ทฤษฎีบท (1) —สำหรับตัวประกอบเฉพาะ $p$ ทุกตัว ที่มีความซ้ำซ้อน $n$ ของอันดับของกลุ่มจำกัด $G$ จะมีกลุ่มย่อย Sylow $p$ ของ $G$ ที่มีอันดับ $p^{n}$

ทฤษฎีบทที่ 1 ในรูปแบบที่อ่อนกว่าต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดยออกัสติน-หลุยส์ โคชีและเป็นที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของโคชี

บทสรุป—เมื่อกำหนดกลุ่มจำกัด $G$ และจำนวนเฉพาะ $p$ ที่หารอันดับของ $G$ ลงตัว จะมีองค์ประกอบ (และด้วยเหตุนี้จึงมีกลุ่มย่อยวัฏจักรที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบนี้) ที่มี^{อันดับ} $p$ ใน $G$ [ ³^]

ทฤษฎีบท (2) —กำหนดให้กลุ่มจำกัด $G$ และจำนวนเฉพาะ $p กลุ่มย่อย Sylow$ $p$ ทั้งหมดของ $G$ จะเป็นคู่สมซึ่งกันและกัน นั่นคือ ถ้า $H$ และ $K$ เป็นกลุ่มย่อย Sylow $p$ ของ $G$ แล้วจะมีสมาชิกที่มี $g\in G$ $g^{-1}Hg=K$

ทฤษฎีบท (3) —ให้ $p$ เป็นตัวประกอบเฉพาะที่มีความซ้ำซ้อน $n$ ของอันดับของกลุ่มจำกัด $G$ โดยที่อันดับของ $G$ สามารถเขียนได้เป็น โดยที่และ $p$ ไม่หาร $m$ ลงตัวให้ เป็นจำนวนของกลุ่มย่อย Sylow $p$ ของ $G$ แล้วข้อต่อไปนี้เป็นจริง: $p^{n}m$ $n>0$ $n_{p}$

$n_{p}$ หาร $m$ ซึ่งเป็นดัชนีของกลุ่มย่อย Sylow $p$ ใน $G$ ลงตัว
$n_{p}\equiv 1{\pmod {p}}$
$n_{p}=|G:N_{G}(P)|$ โดยที่ $P$ คือกลุ่มย่อย Sylow $p$ ใดๆ ของ $G$ และหมายถึงตัวทำให้เป็นปกติ $N_{G}$

ผลที่ตามมา

ถ้าเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะใดๆ ที่หารอันดับของ ลงตัวแล้ว จะมีกลุ่มย่อยของที่มีอันดับ อยู่ ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ง่ายว่าเป็นจริงสำหรับกลุ่ม pและทฤษฎีบทไซโลว์ข้อแรกรับประกันการมีอยู่ของ กลุ่มย่อย p ที่มีขนาดใหญ่ พอ ของ $p^{m}$ $G$ $G$ $p^{m}$ $G$

ทฤษฎีบทของไซโลว์บ่งชี้ว่า สำหรับจำนวนเฉพาะ n กลุ่มย่อย ไซโลว์ทั้งหมดของn จะมีอันดับเดียวกัน คือ กำลังสูงสุดของn ที่หารอันดับของ n ลงตัวในทางกลับกัน กลุ่มย่อยทั้งหมดของ n ที่ มีอันดับ n เป็นกลุ่มย่อยไซโลว์ และดังนั้นกลุ่มย่อยเหล่านั้นจึงเป็นคู่สมกัน นอกจากนี้ เนื่องจากเงื่อนไขความสูงสุดกลุ่มย่อยไซโลว์ใด ๆ ของ n จะเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มย่อยไซโลว์ของ n ที่มีอันดับn $p$ $p$ $G$ $p^{n}$ $p$ $G$ $p^{n}$ $p$ $p$ $G$ $p$ $G$ $p^{n}$

ผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทที่ 2 คือ เงื่อนไขดังกล่าวเทียบเท่ากับเงื่อนไขที่ว่ากลุ่มย่อยไซโลว์ของเป็นกลุ่มย่อยปกติ (ทฤษฎีบทที่ 3 มักใช้เพื่อแสดงเงื่อนไขนี้ได้) อย่างไรก็ตาม มีกลุ่มบางกลุ่มที่มีกลุ่มย่อยปกติที่แท้จริงและไม่ใช่กลุ่มย่อยที่ไม่สำคัญ แต่ไม่มีกลุ่มย่อยไซโลว์ปกติ เช่นกลุ่มที่มีอันดับเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะจะไม่มีกลุ่มย่อย ไซโลว์ที่แท้จริง $n_{p}=1$ $p$ $G$ $n_{p}=1$ $S_{4}$ $p$

ข้อที่สามของทฤษฎีบทที่สามนั้น มีผลโดยตรงคือการหาร $n_{p}$ $|G|$

ทฤษฎีบทของไซโลว์สำหรับกลุ่มอนันต์

มีทฤษฎีบทที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีบทของ Sylow สำหรับกลุ่มอนันต์ เรากำหนด กลุ่มย่อย $p$ ของ Sylow ในกลุ่มอนันต์ว่าเป็น กลุ่มย่อย p (นั่นคือ สมาชิกทุกตัวในกลุ่มย่อยนี้มี อันดับกำลัง $p ) ที่มีขนาดใหญ่ที่สุดสำหรับการรวมในบรรดากลุ่มย่อย$ $p$ ทั้งหมดในกลุ่ม ให้แทนเซตของสมาชิกสังยุคของกลุ่มย่อย $\operatorname {Cl} (K)$ $K\subset G$

ทฤษฎีบท—ถ้า $K$ เป็นกลุ่มย่อยไซโลว์ $p$ ของ $G$ และ G เป็นกลุ่มจำกัด แล้วกลุ่มย่อยไซโลว์ $p$ ทุกกลุ่มจะ เป็น คู่สมกับ $K$ และ $n_{p}=|\operatorname {Cl} (K)|$ $n_{p}\equiv 1\ (\mathrm {mod} \ p)$

ตัวอย่าง

โลว์และทฤษฎีบทไซโลว์คือกลุ่มไดเฮดรัลของรูปเหลี่ยม D₂n สำหรับ n ที่เป็นจำนวนคี่ 2ᵢ = 2ᵢ₁ ^คือกำลังสูงสุดของ 2 ที่หารอันดับลงตัว ดังนั้นกลุ่มย่อยที่มีอันดับ 2 จึงเป็นกลุ่มย่อยไซโลว์ กลุ่มเหล่านี้เกิดจากการสะท้อน ซึ่งมีอยู่nกลุ่ม และกลุ่มเหล่านี้ทั้งหมดเป็นคู่กันภายใต้การหมุน ในทางเรขาคณิต แกนสมมาตรจะผ่านจุดยอดและด้าน

ในทางตรงกันข้าม ถ้าnเป็นจำนวนคู่ 4 จะหารลงตัวกับอันดับของกลุ่ม และกลุ่มย่อยที่มีอันดับ 2 จะไม่ใช่กลุ่มย่อยของ Sylow อีกต่อไป และในความเป็นจริงแล้ว พวกมันจะตกอยู่ในชั้นสมมูลสองชั้นทางเรขาคณิต โดยขึ้นอยู่กับว่าพวกมันผ่านจุดยอดสองจุดหรือหน้าสองหน้า ความสัมพันธ์ระหว่างกลุ่มเหล่านี้เกิดจากออโตมอร์ฟิซึมภายนอกซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยการหมุนผ่าน π/ nซึ่งเป็นครึ่งหนึ่งของการหมุนขั้นต่ำในกลุ่มไดเฮดรัล

อีกตัวอย่างหนึ่งคือกลุ่มย่อย Sylow p ของGL ( F ) โดยที่pและqเป็นจำนวนเฉพาะ ≥ 3 และ $p \equiv 1 (mod q)$ ซึ่งทั้งหมดเป็นกลุ่มอาเบเลียนอันดับของGL ( F ) คือ $(q 2 - 1)(q 2 - q) = (q)(q + 1)(q - 1) 2$ เนื่องจาก $q = p n m + 1$ ดังนั้นอันดับของ $GL (F) = p 2 n m'$ ดังนั้นโดยทฤษฎีบท ที่ 1 อันดับของกลุ่มย่อย Sylow pคือp ^{2 n}

กลุ่มย่อย Pกลุ่มหนึ่งดังกล่าวคือเซตของเมทริกซ์แนวทแยง โดยที่xคือรากปฐมภูมิ ใดๆ ของ F เนื่องจากอันดับของF คือ $q$ $- 1$ ดังนั้นรากปฐมภูมิของมันจึงมีอันดับq − 1 ซึ่งหมายความว่า $x$ $($ $q$ $- 1)/$ $p$ $n$ หรือx ^mและกำลังทั้งหมดของมันมีอันดับเป็นกำลังของ pดังนั้นPเป็นกลุ่มย่อยที่สมาชิกทั้งหมดของมันมีอันดับเป็นกำลังของ pมี ตัวเลือก p ⁿสำหรับทั้งaและbทำให้ $|$ $P$ $| =$ $p$ $2$ $n$ ซึ่งหมายความว่าPเป็นกลุ่มย่อย Sylow pซึ่งเป็นกลุ่มสลับที่ได้ เนื่องจากเมทริกซ์แนวทแยง ทั้งหมดสลับที่ได้ และเนื่องจากทฤษฎีบทที่ 2 ระบุว่ากลุ่มย่อย Sylow p ทั้งหมด เป็นคู่สมซึ่งกันและกัน ดังนั้นกลุ่มย่อย Sylow pของGL ( F ) ทั้งหมดจึงเป็นกลุ่มสลับที่ได้ ${\begin{bmatrix}x^{im}&0\\0&x^{jm}\end{bmatrix}}$

ตัวอย่างการใช้งาน

เนื่องจากทฤษฎีบทของ Sylow รับรองการมีอยู่ของกลุ่มย่อย p ของกลุ่มจำกัด จึงคุ้มค่าที่จะศึกษากลุ่มที่มีอันดับเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะอย่างละเอียดมากขึ้น ตัวอย่างส่วนใหญ่ใช้ทฤษฎีบทของ Sylow เพื่อพิสูจน์ว่ากลุ่มที่มีอันดับเฉพาะนั้นไม่ใช่กลุ่มง่ายสำหรับกลุ่มที่มีอันดับเล็ก เงื่อนไขความสอดคล้องของทฤษฎีบทของ Sylow มักจะเพียงพอที่จะบังคับให้มีกลุ่มย่อยปกติ ทฤษฎีบท p ^a q ^b ของ Burnside กล่าวว่า ถ้าอันดับของกลุ่มเป็นผลคูณของ กำลังของจำนวนเฉพาะหนึ่งหรือสอง ตัว กลุ่ม นั้นจะเป็นกลุ่มที่แก้ได้ดังนั้นจึงไม่ใช่กลุ่มง่าย (ยกเว้นถ้าเป็นกลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับเป็นจำนวนเฉพาะ)

ลำดับกลุ่มวัฏจักร

จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะn บาง จำนวนทำให้ทุกกลุ่มที่มีอันดับnเป็นกลุ่มวัฏจักร เราสามารถแสดงได้ว่าn = 15 เป็นจำนวนดังกล่าวโดยใช้ทฤษฎีบทของไซโลว์: ให้Gเป็นกลุ่มที่มีอันดับ 15 = 3 · 5 และn เป็นจำนวนของกลุ่มย่อยไซโลว์ 3 แล้วn ≡ 5 และn ≡ 1 (mod 3) ค่าเดียวที่สอดคล้องกับข้อจำกัดเหล่านี้คือ 1 ดังนั้นจึงมีกลุ่มย่อยที่มีอันดับ 3 เพียงกลุ่มเดียว และกลุ่มย่อยนั้นจะต้องเป็นหมู่ย่อยปกติ (เนื่องจากไม่มีกลุ่มย่อยสังยุคที่แตกต่างกัน) ในทำนองเดียวกันn ต้องหาร 3 ลงตัว และn ต้องเท่ากับ 1 (mod 5) ดังนั้นจึงต้องมีกลุ่มย่อยปกติเพียงกลุ่มเดียวที่มีอันดับ 5 เนื่องจาก 3 และ 5 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันการตัดกันของกลุ่มย่อยทั้งสองนี้จึงเป็นกลุ่มย่อยที่ไม่มีสมาชิกอื่น และดังนั้นGต้องเป็นผลคูณโดยตรงภายในของกลุ่มที่มีอันดับ 3 และ 5 ซึ่งก็คือกลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับ 15 ดังนั้นจึงมีกลุ่มที่มีอันดับ 15 เพียงกลุ่มเดียว ( โดยพิจารณาจากความเหมือนกัน) $\mid$

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถแสดงด้วยเหตุผลที่คล้ายกันว่า ถ้าn = pqโดยที่pและqเป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันและpไม่หารq-1 ลงตัว แล้วทุกกลุ่มที่มีอันดับnจะเป็นกลุ่มวัฏจักร เงื่อนไขที่ ว่า pไม่หารq-1 ลงตัว นั้นเป็นสิ่งจำเป็น ตัวอย่างเช่นกลุ่มไดเฮดรัลD โดยที่pเป็นจำนวนเฉพาะคี่ มีอันดับ2pแต่ไม่ใช่กลุ่มวัฏจักร

กลุ่มเล็กๆ ไม่ใช่เรื่องง่าย

การประยุกต์ใช้ที่ซับซ้อนกว่านั้นคือการหาอันดับของกลุ่มอย่างง่าย ที่เล็กที่สุด ที่ไม่ใช่กลุ่มวัฏจักรทฤษฎีบทp ^a q ^b ของ Burnsideตัดกลุ่มทุกกลุ่มที่มีอันดับไม่เกิน 30 = 2 · 3 · 5ออก ไป

ถ้า | G | = 30 และGเป็นกลุ่มอย่างง่ายแล้วn > 1 เพื่อหลีกเลี่ยงกลุ่มย่อยปกติที่มีอันดับ 3 และn ต้องหาร 10 = 2 · 5 ลงตัวและเท่ากับ 1 (มอด 3) ดังนั้นn = 10 กลุ่มนี้จะมีกลุ่มย่อยวัฏจักรที่แตกต่างกัน 10 กลุ่มที่มีอันดับ 3 โดยแต่ละกลุ่มมีสมาชิกที่มีอันดับ 3 จำนวน 2 ตัว ซึ่งหมายความว่าGมีสมาชิกที่แตกต่างกันอย่างน้อย 20 ตัวที่มีอันดับ 3 ในทำนองเดียวกันn = 6 เนื่องจากn > 1 ต้องหาร 6 = 2 · 3 ลงตัว และn ต้องเท่ากับ 1 (มอด 5) ดังนั้นGจึงมีสมาชิกที่แตกต่างกัน 24 ตัวที่มีอันดับ 5 แต่เนื่องจากอันดับของGมีเพียง 30 ดังนั้นกลุ่มอย่างง่ายที่มีอันดับ 30 จึงไม่สามารถมีอยู่ได้

ต่อไปสมมติว่า | G | = 42 = 2 · 3 · 7 และGเป็นจำนวนเชิงเดี่ยว ในที่นี้n > 1 จะต้องหาร 6 = 2 · 3 ลงตัว และn จะต้องเท่ากับ 1 (mod 7) ซึ่งเป็นไปไม่ได้

ในทางกลับกัน ถ้า | G | = 60 = 2 ² · 3 · 5 แล้วn = 10 และn = 6 ก็เป็นไปได้เช่นกัน อันที่จริง กลุ่มที่ไม่เป็นวัฏจักรแบบง่ายที่เล็กที่สุดคือA ซึ่ง เป็น กลุ่มสลับที่มีสมาชิก 5 ตัว มีอันดับ 60 และมีลำดับการเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักร 24 แบบ ที่มีอันดับ 5 และ 20 แบบที่มีอันดับ 3 อันที่จริง ถ้า | G | = 60 และn > 1 แล้ว G เป็นกลุ่มแบบง่าย

ทฤษฎีบทของวิลสัน

ส่วนหนึ่งของทฤษฎีบทของวิลสันกล่าวว่า

(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}

สำหรับจำนวนเฉพาะp ทุกตัว เราสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ได้ง่ายๆ โดยใช้ทฤษฎีบทที่สามของ Sylow อันที่จริง สังเกตว่าจำนวนn ของกลุ่มย่อย pของ Sylow ในกลุ่มสมมาตรS คือ⁠1/พี − 1คูณ ด้วยจำนวนวัฏจักร p ในSpนั่นคือ $(p - 2)!$ ในทางกลับกัน $np$ $1 (mod$ $p$ $)$ ดังนั้น $($ $- 2)! \equiv 1 (mod$ $p$ $)$ $ดังนั้น$ ( $p$ $-$ 1) ! $\equiv -1 (mod$ $p$ $)$

ผลลัพธ์การหลอมรวม

ข้อโต้แย้งของ Frattiniแสดงให้เห็นว่ากลุ่มย่อย Sylow ของกลุ่มย่อยปกติให้การแยกตัวประกอบของกลุ่มจำกัด การขยายความทั่วไปเล็กน้อยที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทการหลอมรวมของ Burnsideกล่าวว่า ถ้าGเป็นกลุ่มจำกัดที่มีกลุ่มย่อย Sylow p - Pและเซตย่อยสองเซตAและBที่ถูกทำให้เป็นปกติโดยPแล้วAและBจะเป็นG -conjugate ก็ต่อเมื่อพวกมันเป็นN ( P )-conjugate การพิสูจน์เป็นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของ Sylow อย่างง่าย: ถ้าB = A ^gแล้วตัวทำให้เป็นปกติของBไม่เพียงแต่มีP เท่านั้น แต่ยังมีP ^g ด้วย (เนื่องจากP ^gมีอยู่ในตัวทำให้เป็นปกติของA ^g ) โดยทฤษฎีบทของ Sylow PและP ^gเป็น conjugate ไม่เพียงแต่ในG เท่านั้น แต่ยังอยู่ในตัวทำให้เป็นปกติของBด้วย ดังนั้นgh ^{−1 ทำให้}Pเป็นปกติสำหรับh บางตัว ที่ทำให้B เป็นปกติ และจากนั้นA ^{gh ⁻¹} = B ^{h ⁻¹} = Bดังนั้นAและB จึง เป็นN ( P )-conjugate ทฤษฎีบทการหลอมรวมของ Burnside สามารถนำมาใช้เพื่อให้ได้การแยกตัวประกอบที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น เรียกว่า ผลคูณกึ่งตรง (semidirect product) : ถ้าGเป็นกลุ่มจำกัดที่มีกลุ่มย่อย Sylow p -subgroup Pอยู่ในศูนย์กลางของตัวทำให้ปกติ (normalizer) แล้วGจะมีกลุ่มย่อยปกติKที่มีอันดับเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับP , G = PKและP ∩ K = {1} นั่นคือGเป็นp - nilpotent

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของ Sylow ที่ซับซ้อนกว่านั้น ได้แก่ทฤษฎีบทกลุ่มย่อยโฟกัสซึ่งศึกษาการควบคุมที่กลุ่มย่อย Sylow pของกลุ่มย่อยที่ได้มามีต่อโครงสร้างของกลุ่มทั้งหมด การควบคุมนี้ถูกนำไปใช้ในหลายขั้นตอนของการจำแนกกลุ่มง่ายจำกัดและตัวอย่างเช่น กำหนดการแบ่งกรณีที่ใช้ในทฤษฎีบท Alperin–Brauer–Gorensteinซึ่งจำแนกกลุ่มง่าย จำกัด ที่มีกลุ่มย่อย Sylow 2 เป็นกลุ่มกึ่งไดเฮดรัลสิ่งเหล่านี้อาศัย การเสริมความแข็งแกร่งของส่วนการสมมูลของทฤษฎีบทของ Sylow โดย JL Alperinเพื่อควบคุมว่าองค์ประกอบประเภทใดถูกใช้ในการสมมูล

การพิสูจน์ทฤษฎีบทของไซโลว์

ทฤษฎีบทของ Sylow ได้รับการพิสูจน์ในหลายวิธี และประวัติของบทพิสูจน์เองก็เป็นหัวข้อของเอกสารจำนวนมาก รวมถึง Waterhouse ^{[ 4 ]} Scharlau ^{[ 5 ]} Casadio และ Zappa ^{[ 6 ]} Gow ^{[ 7 ]}และ Meo ^{[ 8 ]}

การพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Sylow อย่างหนึ่งใช้ประโยชน์จากแนวคิดเรื่องการกระทำของกลุ่มในรูปแบบสร้างสรรค์ต่างๆ กลุ่ม $G$ กระทำต่อตัวเองหรือต่อเซตของ กลุ่มย่อย p ของมัน ในรูปแบบต่างๆ และการกระทำแต่ละอย่างดังกล่าวสามารถนำมาใช้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Sylow ข้อพิสูจน์ต่อไปนี้อิงตามการโต้แย้งเชิงการจัดเรียงของ Wielandt ^{[ 9 ]}ต่อไปนี้ เราใช้สัญลักษณ์แทน "a หาร b ลงตัว" และสัญลักษณ์แทนการปฏิเสธของข้อความนี้ $a\mid b$ $a\nmid b$

ทฤษฎีบท (1) —กลุ่มจำกัดGที่มีอันดับหารลงตัวด้วยกำลังของจำนวนเฉพาะp ^kจะ มีกลุ่มย่อยที่มีอันดับp ^k $|G|$

การพิสูจน์

ให้ $| G | = p k m = p k + r u$ โดยที่และให้ Ω แทนเซตของเซตย่อยของ $G$ ที่มีขนาดp ^k G กระทำต่อ Ω โดยการคูณทางซ้าย: สำหรับ $g$ $\in$ $G$ และ $ω$ $\in Ω$ $, g \cdot$ ω $=$ ${$ $g$ $x$ $|$ $x$ $\in$ $ω$ $}$ $สำหรับ$ $เซต$ ω ∈ Ω ที่กำหนด ให้ $เขียน$ $G$ ω แทนย่อยเสถียร ${$ $g$ $\in$ $G$ $|$ $g$ $\cdot$ $ω$ $=$ $ω$ $}$ และG ωแทนวงโคจร ${$ $g$ $\cdot$ $ω$ $|$ $g$ $\in$ $G$ $}$ ใน Ω $p\nmid u$

การพิสูจน์จะแสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของ $ω \in Ω$ บางตัว ที่ $G$ มี สมาชิก p ^kตัว ซึ่งให้กลุ่มย่อยที่ต้องการ นี่คือขนาดสูงสุดที่เป็นไปได้ของกลุ่มย่อยรักษาเสถียรภาพ $G$ เนื่องจากสำหรับสมาชิก $α \in ω \subseteq G$ ที่ กำหนด ไว้ โคเซตขวา $G$ $α$ จะบรรจุอยู่ใน $ω$ ดังนั้น $| G | = | G α | \leq | ω | = p k$

จากทฤษฎีบทการรักษาเสถียรภาพวงโคจรเรามี $| G | | G ω | = | G |$ สำหรับแต่ละ $ω \in Ω$ และด้วยเหตุนี้ การใช้การประเมินค่าแบบ p-adic บวกν ซึ่งนับจำนวนปัจจัยpจะได้ $ν (| G |) + ν (| G ω |) = ν (| G |) = k + r$ ซึ่งหมายความว่าสำหรับ $ω$ ที่ มี $| G | = p k$ ซึ่งเป็น ω ที่เรากำลังมองหา จะมี $ν (| G ω |) = r$ $ในขณะที่สำหรับ ω$ อื่นๆจะมี $ν (| G ω |) > r$ (เนื่องจาก $0 < | G | < p k$ หมายความว่า $ν (| G |) < k)$ เนื่องจาก $| Ω |$ คือผลรวมของ $| G ω |$ เหนือวงโคจรที่แตกต่างกันทั้งหมด $G$ $ω$ เราสามารถแสดงการมีอยู่ของ ω ประเภทแรกได้โดยการแสดงว่า $ν (| Ω |) = r$ (ถ้าไม่มีอยู่จริง ค่าที่ได้จะเกินr ) นี่เป็นตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทของ Kummer (เนื่องจากในสัญกรณ์ฐานpจำนวน $| G |$ ลงท้ายด้วย เลขศูนย์ k + rหลักพอดี การลบp ^k ออก จากจำนวนนี้เกี่ยวข้องกับการทดในrตำแหน่ง) และยังสามารถแสดงได้ด้วยการคำนวณอย่างง่าย:

|\Omega |={p^{k}m \choose p^{k}}=\prod _{j=0}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k}mj}{p^{k}-j}}=m\prod _{j=1}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k-\nu _{p}(j)}mj/p^{\nu _{p}(j)}}{p^{k-\nu _{p}(j)}-j/p^{\nu _{p}(j)}}}

และไม่มีกำลังของpเหลืออยู่ในตัวประกอบใดๆ ภายในผลคูณทางด้านขวา ดังนั้น $ν (| Ω |) = ν (m) = r$ ซึ่งเป็นการพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์

อาจสังเกตได้ว่าในทางกลับกัน ทุกกลุ่มย่อยHที่มีอันดับp ^kจะก่อให้เกิดเซต $ω \in Ω$ ซึ่งG = Hกล่าวคือ โคเซตHg ที่แตกต่างกัน mเซต

บทตั้ง—ให้ $H เป็นกลุ่ม$ $p$ จำกัดให้ Ω เป็นเซตจำกัดที่ถูกกระทำโดย $H$ และให้ Ω แทนเซตของจุดใน Ω ที่ถูกตรึงภายใต้การกระทำของ $H$ แล้ว $| Ω | \equiv | Ω$ | ( $mod$ $p$ $)$

การพิสูจน์

องค์ประกอบใดๆ $x \in Ω$ ที่ไม่ได้ถูกตรึงโดย $H$ จะอยู่ในวงโคจรลำดับ $| H |/| H |$ (โดยที่H หมายถึงตัวรักษาเสถียรภาพ ) ซึ่งเป็นพหุคูณของ $p$ ตามสมมติฐาน ผลลัพธ์นี้ได้มาทันทีโดยการเขียน $| Ω |$ เป็นผลรวมของ $| H x | เหนือวงโคจร$ $H$ $x$ ที่แตกต่างกันทั้งหมดและ ลดทอนมอด $p$

ทฤษฎีบท (2) —ถ้าHเป็นp -subgroup ของ $G$ และPเป็น Sylow p- subgroup ของ $G$ แล้วจะมีสมาชิกgใน $G$ ที่g ⁻¹Hg ≤ Pโดยเฉพาะอย่างยิ่ง Sylow p -subgroup ทั้งหมดของ $G$ นั้น เป็นคู่สมกัน (และดังนั้นจึงเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน ) กล่าวคือ ถ้าHและKเป็น Sylow p -subgroup ของ $G$ แล้วจะมีสมาชิกgใน $G$ ที่g ⁻¹Hg = K

การพิสูจน์

ให้ Ω เป็นเซตของโคเซต ซ้าย ของPใน $G$ และให้Hกระทำต่อ Ω โดยการคูณทางซ้าย เมื่อใช้ Lemma กับHบน Ω เราจะเห็นว่า $| Ω | \equiv | Ω | = [G : P] (mod p)$ โดยนิยามแล้วดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่ง $|$ $Ω$ $| \neq 0$ ดังนั้นจึงมี $gP$ $\in Ω$ อยู่ ด้วย gPนี้เราจะได้hgP = gPสำหรับทุก $h$ $\in$ $H$ ดังนั้นg ⁻¹HgP = Pและด้วยเหตุนี้g −1 ^Hg≤ P ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าHเป็น Sylow p- subgroup แล้ว $|$ $g$ $-1$ $Hg$ $| = |$ $H$ $| = |$ $P$ $|$ ดังนั้นg ⁻¹Hg = P $p\nmid [G:P]$ $p\nmid |\Omega _{0}|$

ทฤษฎีบท (3) —ให้qแทนอันดับของกลุ่มย่อย Sylow p ใดๆ Pของกลุ่มจำกัดGให้n แทนจำนวนกลุ่มย่อย Sylow pของGแล้ว (a) $n = [G : N (P)]$ (โดยที่N ( P ) คือตัวทำให้ปกติของP ) (b) $n$ $หาร | G |/ q$ ลงตัวและ (c) n $p 1 (mod p)$

การพิสูจน์

ให้ Ω เป็นเซตของกลุ่มย่อย Sylow p ทั้งหมด ของ $G$ และให้ $G$ กระทำต่อ Ω โดยการผันกลับ ให้ $P \in Ω$ เป็นกลุ่มย่อย Sylow pตามทฤษฎีบทที่ 2 วงโคจรของPมีขนาดn ดังนั้นตามทฤษฎีบทวงโคจร-ตัวรักษาเสถียรภาพ $n = [G : G]$ สำหรับการกระทำของกลุ่มนี้ ตัวรักษาเสถียรภาพ $G$ กำหนดโดย ${g \in G | gPg -1 = P} = N (P)$ ซึ่งเป็นตัวทำให้ปกติของPในGดังนั้น $n = [G : N (P)]$ และเป็นผลให้จำนวนนี้เป็นตัวหารของ[ $G : P] = | G |/ q$

ตอนนี้ให้Pกระทำต่อ Ω โดยการสังยุค และให้ Ω แทนเซตของจุดตรึงของการกระทำนี้ ให้ $Q \in Ω$ และสังเกตว่า $Q = xQx -1$ สำหรับทุก $x \in P$ ดังนั้นP ≤ N ( Q ) โดยทฤษฎีบทที่ 2 PและQสังยุคกันในN ( Q ) โดยเฉพาะ และQเป็นตัวตั้งฉากในN ( Q ) ดังนั้นP = Qจึงสรุปได้ว่า Ω = { P } ดังนั้นโดยเลมมา| $Ω | \equiv | Ω | = 1 (mod p)$

อัลกอริทึม

ปัญหาการค้นหากลุ่มย่อยไซโลว์ (Sylow subgroup) ของกลุ่มที่กำหนดให้ เป็นปัญหาสำคัญในทฤษฎีกลุ่มเชิงคำนวณ

หลักฐานหนึ่งของการมีอยู่ของ กลุ่มย่อย p ของ Sylow คือการสร้าง: ถ้าHเป็น กลุ่มย่อย pของGและดัชนี [ G : H ] หารด้วยp ลงตัว แล้วตัวทำให้ปกติN = N ( H ) ของHในGก็เป็นเช่นนั้นที่ [ N : H ] หารด้วยp ลงตัว กล่าวอีกนัยหนึ่ง ระบบสร้างโพลีไซคลิกของ กลุ่มย่อย p ของ Sylow สามารถหาได้โดยเริ่มจากกลุ่มย่อยp ใดๆ H (รวมถึงเอกลักษณ์) และเลือกองค์ประกอบที่มีอันดับ กำลัง pที่มีอยู่ในตัวทำให้ปกติของHแต่ไม่อยู่ในHเอง เวอร์ชันเชิงอัลกอริทึมของสิ่งนี้ (และการปรับปรุงมากมาย) ได้รับการอธิบายในรูปแบบตำราเรียนใน Butler ^{[ 10 ]}รวมถึงอัลกอริทึมที่อธิบายไว้ใน Cannon ^{[ 11 ]}เวอร์ชันเหล่านี้ยังคงใช้ในระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ GAP

ในกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนมีการพิสูจน์แล้วใน Kantor ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}และ Kantor และ Taylor ^{[ 15 ]} ว่า สามารถค้นหากลุ่มย่อยSylow p และตัวทำให้ปกติได้ใน เวลาพหุนามของอินพุต (ดีกรีของกลุ่มคูณด้วยจำนวนตัวสร้าง) อัลกอริทึมเหล่านี้ได้รับการอธิบายในรูปแบบตำราเรียนใน Seress ^{[ 16 ]}และกำลังกลายเป็นสิ่งที่ใช้งานได้จริงมากขึ้น เนื่องจากการรับรู้เชิงสร้างสรรค์ของกลุ่มง่ายจำกัดกลายเป็นความจริง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีการใช้อัลกอริทึมเวอร์ชันนี้ในระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ Magma

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

↑ ไซโลว์, แอล. (1872) "เตโอแรมส์ ซูร์ เลส์ กรูเปส เดอ ทดแทน " คณิตศาสตร์. แอน. (ในภาษาฝรั่งเศส) 5 (4): 584– 594. ดอย : 10.1007/BF01442913 . เจเอฟเอ็ม 04.0056.02 . S2CID 121928336 .
^ Gracia–Saz, Alfonso. "การจำแนกกลุ่มอันดับ 60" (PDF) . math.toronto.edu . เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อวันที่ 28 ตุลาคม 2020 . สืบค้นเมื่อ 8 พฤษภาคม 2021 .
↑ฟราลีห์, จอห์น บี. (2004) หลักสูตรแรกในพีชคณิตนามธรรม ด้วยการสนับสนุนจากวิกเตอร์ เจ. แคทซ์ การศึกษาเพียร์สัน. พี 322. ไอเอสบีเอ็น 9788178089973.
^ วอ เตอร์เฮาส์ 1980
^ ชา ร์เลา 1988
^ Casadio & Zappa 1990
^โกว์ 1994
^ Meo 2004
^วีแลนด์ 1959
^บัตเลอร์ 1991บทที่ 16
^แคนนอน 1971
^ Kantor 1985a .
^ Kantor 1985b .
^แคนเตอร์ 1990
^แคนเตอร์และเทย์เลอร์ 1988
^ เซเร ส 2003

ลิงก์ภายนอก

"ทฤษฎีบทของไซโลว์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
พีชคณิตนามธรรม/ทฤษฎีกลุ่ม/ทฤษฎีบทไซโลว์ที่วิกิบุ๊กส์
ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "กลุ่มย่อยไซโลว์ p" . MathWorld .
ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ทฤษฎีบทไซโลว์" . แมธเวิลด์ .

[Sylow1872-1] ไซโลว์, แอล. (1872) "เตโอแรมส์ ซูร์ เลส์ กรูเปส เดอ ทดแทน " คณิตศาสตร์. แอน. (ในภาษาฝรั่งเศส) 5 (4): 584– 594. ดอย : 10.1007/BF01442913 . เจเอฟเอ็ม 04.0056.02 . S2CID 121928336 .

[GraciaSaz_WebPDF-2] Gracia–Saz, Alfonso. "การจำแนกกลุ่มอันดับ 60" (PDF) . math.toronto.edu . เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อวันที่ 28 ตุลาคม 2020 . สืบค้นเมื่อ 8 พฤษภาคม 2021 .

[Fraleigh_2004_322-3] ฟราลีห์, จอห์น บี. (2004) หลักสูตรแรกในพีชคณิตนามธรรม ด้วยการสนับสนุนจากวิกเตอร์ เจ. แคทซ์ การศึกษาเพียร์สัน. พี 322. ไอเอสบีเอ็น 9788178089973.

[FOOTNOTEWaterhouse1980-4] วอ เตอร์เฮาส์ 1980

[FOOTNOTEScharlau1988-5] ชา ร์เลา 1988

[FOOTNOTECasadioZappa1990-6] Casadio & Zappa 1990

[FOOTNOTEGow1994-7] โกว์ 1994

[FOOTNOTEMeo2004-8] Meo 2004

[FOOTNOTEWielandt1959-9] วีแลนด์ 1959

[FOOTNOTEButler1991Chapter_16-10] บัตเลอร์ 1991บทที่ 16

[FOOTNOTECannon1971-11] แคนนอน 1971

[FOOTNOTEKantor1985a-12] Kantor 1985a .

[FOOTNOTEKantor1985b-13] Kantor 1985b .

[FOOTNOTEKantor1990-14] แคนเตอร์ 1990

[FOOTNOTEKantorTaylor1988-15] แคนเตอร์และเทย์เลอร์ 1988

[FOOTNOTESeress2003-16] เซเร ส 2003

[ 1 ]

[

อันดับ

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

ทฤษฎีบทของไซโลว์

ทฤษฎีบท

แรงจูงใจ

คำแถลง

ผลที่ตามมา

ทฤษฎีบทของไซโลว์สำหรับกลุ่มอนันต์

ตัวอย่าง

ตัวอย่างการใช้งาน

ลำดับกลุ่มวัฏจักร

กลุ่มเล็กๆ ไม่ใช่เรื่องง่าย

ทฤษฎีบทของวิลสัน

ผลลัพธ์การหลอมรวม

การพิสูจน์ทฤษฎีบทของไซโลว์

อัลกอริทึม

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

ลิงก์ภายนอก

ข้อมูลสำคัญจากบทความ