ในทางเศรษฐศาสตร์ แบบจำลอง การเลือกแบบไม่ต่อเนื่องหรือแบบจำลองการเลือกเชิงคุณภาพอธิบาย ชี้แจง และทำนายการเลือกที่เกิดขึ้นระหว่าง ทางเลือกที่ ไม่ต่อเนื่อง สองทางขึ้นไป เช่น การเข้าหรือไม่เข้าตลาดแรงงานหรือการเลือกวิธีการเดินทางการเลือกแบบนี้แตกต่างจากแบบจำลองการบริโภคแบบมาตรฐาน ซึ่งปริมาณสินค้าแต่ละชนิดที่บริโภคนั้นถือว่าเป็นตัวแปรต่อเนื่องในกรณีต่อเนื่องนั้น สามารถใช้วิธีการคำนวณ (เช่น เงื่อนไขอันดับแรก) เพื่อกำหนดปริมาณที่เหมาะสมที่สุด และสามารถจำลองความต้องการได้โดยใช้การวิเคราะห์การถดถอย ในทาง กลับกัน การวิเคราะห์การเลือกแบบไม่ต่อเนื่องจะตรวจสอบสถานการณ์ที่ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ไม่ต่อเนื่อง ซึ่งหมายความว่าค่าที่เหมาะสมที่สุดไม่ได้ถูกกำหนดโดยเงื่อนไขอันดับแรกแบบมาตรฐาน ดังนั้น แทนที่จะตรวจสอบ "มากแค่ไหน" เหมือนในปัญหาที่มีตัวแปรการเลือกแบบต่อเนื่อง การวิเคราะห์การเลือกแบบไม่ต่อเนื่องจะตรวจสอบ "อันไหน" อย่างไรก็ตาม การวิเคราะห์ตัวเลือกแบบไม่ต่อเนื่องยังสามารถใช้ในการตรวจสอบปริมาณที่เลือกได้เมื่อต้องเลือกเพียงไม่กี่ปริมาณที่แตกต่างกัน เช่น จำนวนยานพาหนะที่ครัวเรือนเลือกที่จะเป็นเจ้าของ^{[ 1 ]}และจำนวนนาทีของบริการโทรคมนาคมที่ลูกค้าตัดสินใจซื้อ^{[ 2 ]}เทคนิคต่างๆ เช่นการถดถอยโลจิสติกและการถดถอยโพรบิตสามารถใช้สำหรับการวิเคราะห์เชิงประจักษ์ของตัวเลือกแบบไม่ต่อเนื่องได้

แบบจำลองการเลือกแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Choice Models) จำลองการเลือกที่บุคคลทำขึ้นจากชุดทางเลือกที่มีจำนวนจำกัด ทั้งในเชิงทฤษฎีและเชิงประจักษ์ แบบจำลองเหล่านี้ถูกนำมาใช้เพื่อตรวจสอบ เช่น การเลือกซื้อรถยนต์^{[ 1 ] [ 3 ]} การเลือก มหาวิทยาลัยที่จะไปเรียน^{[ 4 ]}การเลือกวิธีการเดินทาง (รถยนต์ รถบัส รถไฟ) ที่จะใช้ไปทำงาน^{[ 5 ]}และการใช้งานอื่นๆ อีกมากมาย แบบจำลองการเลือกแบบไม่ต่อเนื่องยังถูกนำมาใช้เพื่อตรวจสอบการเลือกขององค์กร เช่น บริษัทหรือหน่วยงานของรัฐ ในการอภิปรายด้านล่างนี้ หน่วยการตัดสินใจจะถือว่าเป็นบุคคล แม้ว่าแนวคิดจะสามารถนำไปใช้ได้โดยทั่วไปมากกว่านั้นก็ตามแดเนียล แมคแฟดเดนได้รับรางวัลโนเบลในปี 2000 จากผลงานบุกเบิกในการพัฒนาพื้นฐานทางทฤษฎีสำหรับแบบจำลองการเลือกแบบไม่ ต่อเนื่อง

แบบจำลองการเลือกแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete choice models) เชื่อมโยงการตัดสินใจของแต่ละบุคคลเข้ากับคุณลักษณะของบุคคลนั้นและคุณลักษณะของทางเลือกต่างๆ ที่มีให้แก่บุคคลนั้นในเชิงสถิติ ตัวอย่างเช่น การเลือกซื้อรถยนต์ของบุคคลหนึ่งๆ มีความสัมพันธ์ทางสถิติกับรายได้และอายุของบุคคลนั้น รวมถึงราคาประสิทธิภาพการใช้เชื้อเพลิงขนาด และคุณลักษณะอื่นๆ ของรถยนต์แต่ละคันที่มีอยู่ แบบจำลองเหล่านี้ประมาณความน่าจะเป็นที่บุคคลจะเลือกทางเลือกใดทางเลือกหนึ่ง แบบจำลองเหล่านี้มักใช้ในการคาดการณ์ว่าการตัดสินใจของบุคคลจะเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรภายใต้การเปลี่ยนแปลงทางด้านประชากรศาสตร์และ/หรือคุณลักษณะของทางเลือกต่างๆ

แบบจำลองการเลือกแบบไม่ต่อเนื่องระบุความน่าจะเป็นที่บุคคลจะเลือกตัวเลือกหนึ่งจากชุดทางเลือกต่างๆ คำอธิบายเชิงความน่าจะเป็นของพฤติกรรมการเลือกแบบไม่ต่อเนื่องไม่ได้ใช้เพื่อสะท้อนพฤติกรรมของแต่ละบุคคลที่มองว่ามีความน่าจะเป็นโดยเนื้อแท้ แต่เป็นเพราะการขาดข้อมูลที่ทำให้เราต้องอธิบายการเลือกในลักษณะเชิงความน่าจะเป็น ในทางปฏิบัติ เราไม่สามารถทราบปัจจัยทั้งหมดที่ส่งผลต่อการตัดสินใจเลือกของแต่ละบุคคลได้ เนื่องจากปัจจัยกำหนดเหล่านั้นได้รับการสังเกตเพียงบางส่วนหรือวัดได้ไม่สมบูรณ์ ดังนั้น แบบจำลองการเลือกแบบไม่ต่อเนื่องจึงอาศัยสมมติฐานและข้อกำหนดเชิงสุ่มเพื่ออธิบายปัจจัยที่ไม่สามารถสังเกตได้ที่เกี่ยวข้องกับ ก) ทางเลือกต่างๆ ข) ความแปรปรวนของรสนิยมระหว่างบุคคล (ความแตกต่างระหว่างบุคคล) และในช่วงเวลา (พลวัตการเลือกภายในบุคคล) และ ค) ชุดทางเลือกที่แตกต่างกัน สูตรต่างๆ ได้รับการสรุปและจัดกลุ่มเป็นกลุ่มของแบบจำลอง^{[ 6 ]}เมื่อแบบจำลองการเลือกแบบไม่ต่อเนื่องรวมกับแบบจำลองสมการโครงสร้างเพื่อบูรณาการตัวแปรทางจิตวิทยา (แฝง) จะเรียกว่าแบบจำลองการเลือกแบบไฮบริด^{[ 7 ]}

• นักวิจัยการตลาดใช้แบบจำลองทางเลือกแบบไม่ต่อเนื่องเพื่อศึกษาความต้องการของผู้บริโภคและเพื่อคาดการณ์การตอบสนองทางธุรกิจของคู่แข่ง ทำให้ผู้สร้างแบบจำลองทางเลือกสามารถแก้ปัญหาทางธุรกิจได้หลากหลาย เช่นการกำหนดราคา การพัฒนาผลิตภัณฑ์และ ปัญหา การประมาณการความต้องการในการวิจัยตลาด มักเรียกสิ่งนี้ว่าการวิเคราะห์ร่วม^{[ 1 ]}
• นักวางแผนการขนส่งใช้แบบจำลองทางเลือกแบบไม่ต่อเนื่องเพื่อทำนายความต้องการ ระบบ ขนส่ง ที่วางแผนไว้ เช่น เส้นทางที่ผู้ขับขี่จะใช้ และว่าใครจะใช้ระบบขนส่งด่วน^{[ 5 ] [ 8 ]}การประยุกต์ใช้แบบจำลองทางเลือกแบบไม่ต่อเนื่องครั้งแรกเกิดขึ้นในการวางแผนการขนส่ง และงานวิจัยขั้นสูงส่วนใหญ่ในแบบจำลองทางเลือกแบบไม่ต่อเนื่องนั้นดำเนินการโดยนักวิจัยด้านการขนส่ง
• นักวางแผนและวิศวกรด้านภัยพิบัติอาศัยแบบจำลองการเลือกแบบไม่ต่อเนื่องเพื่อทำนายการตัดสินใจของเจ้าของบ้านหรือผู้พักอาศัยในอาคารในการอพยพขนาดเล็กและขนาดใหญ่ เช่น ไฟไหม้อาคาร ไฟป่า พายุเฮอริเคน และอื่นๆ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}แบบจำลองเหล่านี้ช่วยในการพัฒนาแผนการจัดการภัยพิบัติ ที่เชื่อถือได้ และการออกแบบที่ปลอดภัยยิ่งขึ้นสำหรับสภาพแวดล้อมที่สร้างขึ้น
• นักพยากรณ์พลังงานและผู้กำหนดนโยบายใช้แบบจำลองการเลือกแบบไม่ต่อเนื่องสำหรับการเลือกของระบบทำความร้อน ระดับประสิทธิภาพของเครื่องใช้ไฟฟ้า และระดับประสิทธิภาพการใช้เชื้อเพลิงของยานพาหนะของครัวเรือนและบริษัท^{[ 12 ] [ 13 ]}
• การศึกษาด้านสิ่งแวดล้อมใช้แบบจำลองการเลือกแบบแยกส่วนเพื่อตรวจสอบการเลือกของผู้พักผ่อนหย่อนใจ เช่น สถานที่ตกปลาหรือเล่นสกี และอนุมานคุณค่าของสิ่งอำนวยความสะดวก เช่น ลานตั้งแคมป์ สต็อกปลา และกระท่อมพักผ่อนคลายความหนาวเย็น และประเมินคุณค่าของการปรับปรุงคุณภาพน้ำ^{[ 14 ]}
• นักเศรษฐศาสตร์แรงงานใช้แบบจำลองทางเลือกแบบแยกส่วนเพื่อตรวจสอบการมีส่วนร่วมในกำลังแรงงาน การเลือกอาชีพ และการเลือกวิทยาลัยและโปรแกรมฝึกอบรม^{[ 4 ]}
• การศึกษาเชิงนิเวศวิทยาใช้แบบจำลองการเลือกแบบไม่ต่อเนื่องเพื่อตรวจสอบพารามิเตอร์ที่ขับเคลื่อนการเลือกถิ่นที่อยู่ของสัตว์^{[ 15 ]}

แบบจำลองการเลือกแบบไม่ต่อเนื่องมีหลายรูปแบบ ได้แก่ Binary Logit, Binary Probit, Multinomial Logit, Conditional Logit, Multinomial Probit, Nested Logit, Generalized Extreme Value Models, Mixed Logit และ Exploded Logit แบบจำลองเหล่านี้ทั้งหมดมีคุณสมบัติร่วมกันดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง

ชุดตัวเลือกคือชุดของทางเลือกที่มีให้แก่บุคคลนั้น สำหรับแบบจำลองตัวเลือกแบบไม่ต่อเนื่อง ชุดตัวเลือกต้องเป็นไปตามข้อกำหนดสามประการ:

1. ชุดทางเลือกจะต้องครอบคลุมทุกทางเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด หมายความว่าชุดนั้นต้องรวมทางเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดไว้ด้วย ข้อกำหนดนี้บ่งชี้ว่าบุคคลนั้นจะต้องเลือกทางเลือกใดทางเลือกหนึ่งจากชุดนั้นอย่างแน่นอน
2. ตัวเลือกต่างๆ จะต้องเป็นตัวเลือกที่ตัดกันโดยสิ้นเชิงหมายความว่า การเลือกตัวเลือกหนึ่งหมายถึงการไม่เลือกตัวเลือกอื่นๆ อีกเลย ข้อกำหนดนี้บ่งชี้ว่าบุคคลนั้นจะเลือกเพียงตัวเลือกเดียวจากชุดตัวเลือกที่มีอยู่
3. ชุดตัวเลือกต้องมี จำนวนตัวเลือก ที่จำกัดข้อกำหนดข้อที่สามนี้ทำให้การวิเคราะห์ตัวเลือกแบบไม่ต่อเนื่องแตกต่างจากการวิเคราะห์การถดถอยรูปแบบต่างๆ ซึ่งตัวแปรตามสามารถมีค่าได้ไม่จำกัดจำนวน (ในทางทฤษฎี)

ยกตัวอย่างเช่น ชุดตัวเลือกสำหรับบุคคลที่กำลังตัดสินใจว่าจะเลือกวิธีการเดินทางไปทำงานแบบใดนั้น ได้แก่ การขับรถคนเดียว การใช้รถร่วมกัน การนั่งรถประจำทาง เป็นต้น ชุดตัวเลือกจะซับซ้อนขึ้นเนื่องจากบุคคลหนึ่งอาจใช้หลายวิธีการเดินทางสำหรับการเดินทางครั้งเดียวกัน เช่น การขับรถไปยังสถานีรถไฟแล้วนั่งรถไฟไปทำงาน ในกรณีนี้ ชุดตัวเลือกอาจรวมถึงการผสมผสานวิธีการเดินทางที่เป็นไปได้ทั้งหมด หรืออีกทางหนึ่ง ตัวเลือกอาจถูกกำหนดเป็นตัวเลือกวิธีการเดินทาง "หลัก" โดยมีชุดตัวเลือกประกอบด้วย รถยนต์ รถประจำทาง รถไฟ และอื่นๆ (เช่น การเดิน การปั่นจักรยาน เป็นต้น) โปรดสังเกตว่าตัวเลือก "อื่นๆ" ถูกรวมไว้เพื่อให้ชุดตัวเลือกครอบคลุมทุกกรณี

ผู้คนแต่ละคนอาจมีชุดตัวเลือกที่แตกต่างกันไป ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ของแต่ละบุคคล ตัวอย่างเช่น รถยนต์ Scionไม่ได้วางจำหน่ายในแคนาดาตั้งแต่ปี 2009 ดังนั้นผู้ซื้อรถยนต์ใหม่ในแคนาดาจึงมีชุดตัวเลือกที่แตกต่างจากผู้บริโภคชาวอเมริกัน ปัจจัยเหล่านี้ถูกนำมาพิจารณาในการกำหนดแบบจำลองตัวเลือกแบบไม่ต่อเนื่อง

แบบจำลองการเลือกแบบไม่ต่อเนื่องระบุความน่าจะเป็นที่บุคคลจะเลือกทางเลือกใดทางเลือกหนึ่ง โดยความน่าจะเป็นนั้นแสดงเป็นฟังก์ชันของตัวแปรที่สังเกตได้ซึ่งเกี่ยวข้องกับทางเลือกและบุคคลนั้น ในรูปแบบทั่วไป ความน่าจะเป็นที่บุคคลnเลือกทางเลือกiจะแสดงได้ดังนี้:

${\displaystyle P_{ni}\equiv \Pr({\text{Person }}n{\text{ chooses alternative }}i)=G(x_{ni},\;x_{nj,j\neq i},\;s_{n},\;\beta ),}$

ที่ไหน

${\displaystyle x_{ni}}$เป็นเวกเตอร์ของคุณลักษณะของทางเลือกiที่บุคคลn เผชิญ

${\displaystyle x_{nj,j\neq i}}$คือเวกเตอร์ของคุณลักษณะของทางเลือกอื่นๆ (นอกเหนือจากi ) ที่บุคคลn เผชิญอยู่

${\displaystyle s_{n}}$เป็นเวกเตอร์ของลักษณะเฉพาะของบุคคลnและ

${\displaystyle \beta }$คือชุดของพารามิเตอร์ที่แสดงผลกระทบของตัวแปรต่อความน่าจะเป็น ซึ่งประมาณค่าได้ทางสถิติ

ในตัวอย่างเรื่องรูปแบบการเดินทางข้างต้น คุณลักษณะของรูปแบบการเดินทาง ( x _ni ) เช่น เวลาเดินทางและค่าใช้จ่าย และลักษณะเฉพาะของผู้บริโภค ( s _n ) เช่น รายได้ต่อปี อายุ และเพศ สามารถนำมาใช้คำนวณความน่าจะเป็นในการเลือกได้ คุณลักษณะของทางเลือกต่างๆ อาจแตกต่างกันไปในแต่ละบุคคล เช่น ค่าใช้จ่ายและเวลาในการเดินทางไปทำงานด้วยรถยนต์ รถโดยสาร และรถไฟ จะแตกต่างกันไปตามสถานที่ตั้งบ้านและที่ทำงานของแต่ละคน

คุณสมบัติ:

• P _niอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1
• ${\displaystyle \forall n:\;\sum _{j=1}^{J}P_{nj}=1,}$ โดยที่Jคือจำนวนทางเลือกทั้งหมด
• (สัดส่วนที่คาดหวังของคนที่เลือกตัวเลือกi ) โดยที่ N คือจำนวนคนที่เลือกตัวเลือกนั้น${\displaystyle ={1 \over N}{\sum _{n=1}^{N}P_{ni}},}$

แบบจำลองที่แตกต่างกัน (เช่น แบบจำลองที่ใช้ฟังก์ชัน G ที่แตกต่างกัน) จะมีคุณสมบัติที่แตกต่างกัน แบบจำลองที่สำคัญๆ จะถูกนำเสนอไว้ด้านล่าง

แบบจำลองการเลือกแบบไม่ต่อเนื่องสามารถอนุมานได้จากทฤษฎีอรรถประโยชน์การอนุมานนี้มีประโยชน์ด้วยเหตุผลสามประการ:

1. มันให้ความหมายที่แม่นยำแก่ความน่าจะเป็นP _ni
2. สิ่งนี้ช่วยกระตุ้นและแยกแยะข้อกำหนดแบบจำลองทางเลือกต่างๆ เช่น การเลือกรูปแบบฟังก์ชันสำหรับG
3. เป็นการวางรากฐานทางทฤษฎีสำหรับการคำนวณการเปลี่ยนแปลงในส่วนเกินของผู้บริโภค (การผันแปรชดเชย) จากการเปลี่ยนแปลงในคุณลักษณะของทางเลือกต่างๆ

U _niคืออรรถประโยชน์ (หรือผลประโยชน์สุทธิหรือความเป็นอยู่ที่ดี) ที่บุคคลnได้รับจากการเลือกทางเลือกiพฤติกรรมของบุคคลนั้นเป็นการเพิ่มอรรถประโยชน์สูงสุด กล่าวคือ บุคคล n เลือกทางเลือกที่ให้อรรถประโยชน์สูงสุด การเลือกของบุคคลนั้นถูกกำหนดโดยตัวแปรดัมมีy _niสำหรับแต่ละทางเลือก:

${\displaystyle y_{ni}={\begin{cases}1&U_{ni}>U_{nj}\quad \forall j\neq i\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ลองพิจารณาถึงนักวิจัยที่กำลังตรวจสอบทางเลือกนั้น ทางเลือกของบุคคลนั้นขึ้นอยู่กับหลายปัจจัย บางปัจจัยนักวิจัยสังเกตเห็น และบางปัจจัยนักวิจัยสังเกตเห็นไม่ได้ ประโยชน์ที่บุคคลนั้นได้รับจากการเลือกทางเลือกหนึ่งจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรที่นักวิจัยสังเกตเห็น และส่วนที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรที่นักวิจัยสังเกตเห็นไม่ได้ ในรูปแบบเชิงเส้นการแบ่งส่วนนี้แสดงได้ดังนี้

${\displaystyle U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle z_{ni}}$ เป็นเวกเตอร์ของตัวแปรที่สังเกตได้ซึ่งเกี่ยวข้องกับทางเลือกiสำหรับบุคคลnซึ่งขึ้นอยู่กับคุณลักษณะของทางเลือกx _niโดยอาจมีปฏิสัมพันธ์กับคุณลักษณะของบุคคลs _nเพื่อให้สามารถแสดงได้เป็น สำหรับฟังก์ชันเชิงตัวเลข z บางฟังก์ชัน${\displaystyle z_{ni}=z(x_{ni},s_{n})}$
• ${\displaystyle \beta }$เป็นเวกเตอร์สัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันของตัวแปรที่สังเกตได้ และ
• ${\displaystyle \varepsilon _{ni}}$บันทึกผลกระทบของปัจจัยที่ไม่สามารถสังเกตได้ทั้งหมด ซึ่งมีผลต่อการตัดสินใจของบุคคลนั้น

ความน่าจะเป็นในการเลือกคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{ni}&=\Pr(y_{ni}=1)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}>U_{nj},\right)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj},\right)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\varepsilon _{nj}-\varepsilon _{ni}<\beta z_{ni}-\beta z_{nj},\right)\end{aligned}}}$

เมื่อกำหนดค่า βแล้ว ความน่าจะเป็นในการเลือกคือความน่าจะเป็นที่พจน์สุ่มε _nj − ε _ni (ซึ่งเป็นพจน์สุ่มจากมุมมองของนักวิจัย เนื่องจากนักวิจัยไม่ได้สังเกตเห็นพจน์เหล่านั้น) จะต่ำกว่าปริมาณที่เกี่ยวข้องรูปแบบการเลือกที่แตกต่างกัน (เช่น ข้อกำหนดที่แตกต่างกันของ G) เกิดขึ้นจากการกระจายที่แตกต่างกันของε _niสำหรับทุกiและการจัดการβ ที่ แตกต่างกัน${\displaystyle \forall j\neq i:\beta z_{ni}-\beta z_{nj}.}$

ความน่าจะเป็นที่บุคคลจะเลือกทางเลือกใดทางเลือกหนึ่งนั้น พิจารณาได้จากการเปรียบเทียบประโยชน์ของการเลือกทางเลือกนั้นกับประโยชน์ของการเลือกทางเลือกอื่นๆ:

${\displaystyle P_{ni}=\Pr(y_{ni}=1)=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}>U_{nj}\right)=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}-U_{nj}>0\right)}$

ดังที่พจน์สุดท้ายแสดงให้เห็น ความน่าจะเป็นในการเลือกขึ้นอยู่กับความแตกต่างของอรรถประโยชน์ระหว่างทางเลือกต่างๆ เท่านั้น ไม่ได้ขึ้นอยู่กับระดับอรรถประโยชน์สัมบูรณ์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเพิ่มค่าคงที่ให้กับอรรถประโยชน์ของทุกทางเลือกจะไม่เปลี่ยนแปลงความน่าจะเป็นในการเลือก

เนื่องจากอรรถประโยชน์ไม่มีหน่วย จึงจำเป็นต้องปรับขนาดของอรรถประโยชน์ให้เป็นมาตรฐาน ขนาดของอรรถประโยชน์มักถูกกำหนดโดยความแปรปรวนของพจน์ความคลาดเคลื่อนในแบบจำลองการเลือกแบบไม่ต่อเนื่อง ความแปรปรวนนี้อาจแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับลักษณะของชุดข้อมูล เช่น เวลาหรือสถานที่เก็บรวบรวมข้อมูล ดังนั้น การปรับขนาดความแปรปรวนให้เป็นมาตรฐานจึงส่งผลต่อการตีความพารามิเตอร์ที่ประมาณค่าจากชุดข้อมูลที่หลากหลาย

แบบจำลองการเลือกแบบไม่ต่อเนื่องสามารถจำแนกได้ตามจำนวนทางเลือกที่มีอยู่เป็นอันดับแรก

* แบบจำลองการเลือกแบบทวิภาค (แบบสองตัวเลือก): มีทางเลือก 2 ทาง

* แบบจำลองการเลือกแบบหลายตัวเลือก ( polytomous ): มีทางเลือกให้เลือก 3 ตัวเลือกขึ้นไป

แบบจำลองตัวเลือกหลายตัวเลือกสามารถจำแนกเพิ่มเติมได้ตามข้อกำหนดของแบบจำลอง:

* แบบจำลอง เช่น แบบจำลองโลจิตมาตรฐาน ที่สมมติว่าไม่มีความสัมพันธ์กันระหว่างปัจจัยที่ไม่สามารถสังเกตได้กับทางเลือกต่างๆ

* แบบจำลองที่อนุญาตให้มีความสัมพันธ์ในปัจจัยที่ไม่สามารถสังเกตได้ระหว่างทางเลือกต่างๆ

นอกจากนี้ ยังมีรูปแบบเฉพาะของแบบจำลองที่สามารถใช้ตรวจสอบการจัดอันดับทางเลือกต่างๆ (เช่น ตัวเลือกแรก ตัวเลือกที่สอง ตัวเลือกที่สาม เป็นต้น) และสำหรับข้อมูลการให้คะแนนได้อีกด้วย

รายละเอียดของแต่ละรุ่นมีอยู่ในหัวข้อต่อไปนี้

U _nคืออรรถประโยชน์ (หรือผลประโยชน์สุทธิ) ที่บุคคล n ได้รับจากการกระทำ (ตรงข้ามกับการไม่กระทำ) อรรถประโยชน์ที่บุคคลได้รับจากการกระทำนั้นขึ้นอยู่กับลักษณะเฉพาะของบุคคล ซึ่งบางส่วนนักวิจัยสามารถสังเกตได้ และบางส่วนไม่สามารถสังเกตได้ บุคคลจะกระทำy _n = 1ถ้าU _n > 0 ส่วนที่ไม่สามารถสังเกตได้ε _nนั้น สันนิษฐานว่ามีการกระจายแบบโลจิสติกข้อกำหนดสามารถเขียนได้อย่างกระชับดังนี้:

${\displaystyle {\begin{cases}U_{n}=\beta s_{n}+\varepsilon _{n}\\y_{n}={\begin{cases}1&U_{n}>0\\0&U_{n}\leqslant 0\end{cases}}\\\varepsilon \sim {\text{Logistic}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}={\frac {1}{1+\exp(-\beta s_{n})}}}$

คำอธิบายของแบบจำลองนี้เหมือนกับแบบจำลองAทุกประการ ยกเว้นว่าตัวแปรที่ไม่สามารถสังเกตได้จะมีการกระจายแบบปกติมาตรฐานแทนที่จะเป็นแบบโลจิสติก

${\displaystyle {\begin{cases}U_{n}=\beta s_{n}+\varepsilon _{n}\\y_{n}={\begin{cases}1&U_{n}>0\\0&U_{n}\leqslant 0\end{cases}}\\\varepsilon \sim {\text{Standard normal}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}=\Phi (\beta s_{n}),}$

โดยที่คือฟังก์ชันการกระจายสะสมของค่าปกติมาตรฐาน ${\displaystyle \Phi }$

U _niคืออรรถประโยชน์ที่บุคคลnได้รับจากการเลือกทางเลือกiอรรถประโยชน์ของแต่ละทางเลือกขึ้นอยู่กับคุณลักษณะของทางเลือกต่างๆ ที่อาจมีปฏิสัมพันธ์กับคุณลักษณะของบุคคลนั้นๆ เงื่อนไขที่ไม่สามารถสังเกตได้นั้นถือว่ามีการกระจายค่าสุดขั้ว^{[ nb 1 ]}

${\displaystyle {\begin{cases}U_{n1}=\beta z_{n1}+\varepsilon _{n1}\\U_{n2}=\beta z_{n2}+\varepsilon _{n2}\\\varepsilon _{n1},\varepsilon _{n2}\sim {\text{iid extreme value}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}={\frac {\exp(\beta z_{n1})}{\exp(\beta z_{n1})+\exp(\beta z_{n2})}}}$

เราสามารถเชื่อมโยงข้อกำหนดนี้กับแบบจำลองAข้างต้น ซึ่งเป็นแบบจำลองโลจิตแบบไบนารีเช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งP _{n 1}สามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle P_{n1}={\frac {1}{1+\exp(-\beta (z_{n1}-z_{n2}))}}}$

โปรดทราบว่าหากค่าความคลาดเคลื่อนสองค่าเป็นค่าสุดขั้วแบบ iid [ ^{nb 1 ]}ผลต่างของค่าความคลาดเคลื่อนทั้งสองจะเป็นแบบโลจิสติกแบบกระจาย^ซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับความเท่าเทียมกันของข้อกำหนดทั้งสอง

คำอธิบายของแบบจำลองนั้นเหมือนกับแบบจำลองCยกเว้นว่าความแตกต่างของพจน์ที่ไม่สามารถสังเกตได้สองพจน์นั้นมีการกระจายแบบปกติมาตรฐานแทนที่จะเป็นแบบโลจิสติก

ดังนั้น ความน่าจะเป็นของการกระทำนั้นคือ

${\displaystyle P_{n1}=\Phi (\beta (z_{n1}-z_{n2})),}$

โดยที่ Φ คือฟังก์ชันการกระจายสะสมของค่าปกติมาตรฐาน

อรรถประโยชน์สำหรับทางเลือกทั้งหมดขึ้นอยู่กับตัวแปรเดียวกันคือs _nแต่ค่าสัมประสิทธิ์จะแตกต่างกันสำหรับทางเลือกที่แตกต่างกัน:

• คุณ_{พรรณี} = β _ฉัน s _n + ε _{พรรณี} ,
• เนื่องจากมีเพียงความแตกต่างในด้านอรรถประโยชน์เท่านั้นที่มีผล จึงจำเป็นต้องปรับค่าให้เป็นมาตรฐานสำหรับทางเลือกหนึ่ง สมมติว่า${\displaystyle \beta _{i}=0}$${\displaystyle \beta _{1}=0}$
• ε _niเป็นค่าที่สูงมาก[ ^{nb 1 ]}

ความน่าจะเป็นของการเลือกมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle P_{ni}={\exp(\beta _{i}s_{n}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta _{j}s_{n})},}$

โดยที่ J คือจำนวนทางเลือกทั้งหมด

ประโยชน์ของแต่ละทางเลือกขึ้นอยู่กับคุณลักษณะของทางเลือกนั้น ๆ ซึ่งอาจมีปฏิสัมพันธ์กับคุณลักษณะของบุคคลด้วย:

${\displaystyle {\begin{cases}U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}\\\varepsilon _{ni}\sim {\text{iid extreme value}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{ni}={\exp(\beta z_{ni}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})},}$

โดยที่Jคือจำนวนทางเลือกทั้งหมด

โปรดทราบว่าแบบจำลองEสามารถแสดงในรูปแบบเดียวกับแบบจำลองFได้โดยการกำหนดตัวแปรใหม่ให้เหมาะสม กำหนดให้โดยที่คือเดลต้าโครเนกเกอร์และs _n มาจากแบบจำลองEจากนั้นจะได้แบบจำลองFโดยใช้ ${\displaystyle w_{nj}^{k}=s_{n}\delta _{jk}}$${\displaystyle \delta _{jk}}$

${\displaystyle z_{nj}=\left\{w_{nj}^{1},\cdots ,w_{nj}^{J}\right\}\quad {\text{and}}\quad \beta =\left\{\beta _{1},\cdots ,\beta _{J}\right\},}$

โดยที่Jคือจำนวนทางเลือกทั้งหมด

แบบจำลองโลจิตมาตรฐานไม่เหมาะสมเสมอไป เนื่องจากถือว่าไม่มีความสัมพันธ์ในปัจจัยที่ไม่สามารถสังเกตได้ระหว่างทางเลือกต่างๆ การขาดความสัมพันธ์นี้ส่งผลให้เกิดรูปแบบการทดแทนเฉพาะระหว่างทางเลือกต่างๆ ซึ่งอาจไม่สมจริงเสมอไปในสถานการณ์ที่กำหนด รูปแบบการทดแทนนี้มักเรียกว่าคุณสมบัติความเป็นอิสระของทางเลือกที่ไม่เกี่ยวข้อง (IIA)ของแบบจำลองโลจิตมาตรฐาน^{[ 16 ] [ 17 ]}มีการเสนอแบบจำลองหลายแบบเพื่ออนุญาตให้มีความสัมพันธ์ระหว่างทางเลือกต่างๆ และรูปแบบการทดแทนทั่วไปมากขึ้น:

• แบบจำลองโลจิตแบบซ้อน (Nested Logit Model) - จับความสัมพันธ์ระหว่างทางเลือกต่างๆ โดยแบ่งชุดตัวเลือกออกเป็น 'กลุ่มย่อย'
  • แบบจำลองโลจิตแบบซ้อนข้าม^{[ 18 ]} (CNL) - ทางเลือกอาจอยู่ในรังมากกว่าหนึ่งรัง
  • แบบจำลอง C-logit ^{[ 19 ]} - จับความสัมพันธ์ระหว่างทางเลือกต่างๆ โดยใช้ 'ปัจจัยร่วม'
  • แบบจำลองโลจิตเชิงผสมแบบจับคู่^{[ 20 ]} - เหมาะสำหรับปัญหาการเลือกเส้นทาง
• แบบจำลองค่าสุดขีดทั่วไป^{[ 21 ]} - คลาสทั่วไปของแบบจำลองที่ได้มาจากแบบจำลองยูทิลิตี้แบบสุ่ม^{[ 17 ]}ซึ่งโลจิตแบบหลายตัวเลือกและโลจิตแบบซ้อนกันเป็นส่วนหนึ่ง
• โพรบิตแบบมีเงื่อนไข^{[ 22 ] [ 23 ]} - อนุญาตให้มีความแปรปรวนร่วมกันอย่างเต็มที่ระหว่างทางเลือกต่างๆ โดยใช้การแจกแจงปกติร่วมกัน
• โลจิตแบบผสม^{[ 13 ] [ 14 ] [ 23 ]} - อนุญาตให้มีรูปแบบความสัมพันธ์และการทดแทนได้ทุกรูปแบบ^{[ 24 ]}เมื่อโลจิตแบบผสมมีเงื่อนไขสุ่มแบบปกติร่วมกัน บางครั้งโมเดลนี้เรียกว่า "โมเดลพหุนามโพรบิตที่มีเคอร์เนลโลจิต" ^{[ 17 ] [ 25 ]}สามารถนำไปใช้กับการเลือกเส้นทางได้^{[ 26 ]}

ส่วนต่อไปนี้จะอธิบายแบบจำลอง Nested Logit, GEV, Probit และ Mixed Logit โดยละเอียด

แบบจำลองนี้เหมือนกับแบบจำลองFทุกประการ ยกเว้นว่าส่วนประกอบที่ไม่สามารถสังเกตได้ของอรรถประโยชน์มีความสัมพันธ์กันระหว่างทางเลือกต่างๆ แทนที่จะเป็นอิสระต่อกันระหว่างทางเลือกต่างๆ

• คุณ_{พรรณี} = βz _{พรรณี} + ε _{พรรณี} ,
• การกระจายแบบมาร์จินัลของε _ni แต่ละตัว เป็นค่าสุดขั้ว^{[ nb 1 ]}แต่การกระจายร่วมของพวกมันทำให้สามารถมีความสัมพันธ์กันได้
• ความน่าจะเป็นมีหลายรูปแบบ ขึ้นอยู่กับรูปแบบความสัมพันธ์ที่ระบุไว้ ดูค่าสุดขั้วทั่วไป (Generalized Extreme Value )

แบบจำลองนี้เหมือนกับแบบจำลองGยกเว้นว่าค่าที่ไม่สามารถสังเกตได้นั้นมีการกระจายแบบปกติ ร่วมกัน ซึ่งอนุญาตให้มีรูปแบบความสัมพันธ์และความแปรปรวนที่ไม่คงที่ได้ ทุกรูปแบบ :

${\displaystyle {\begin{cases}U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}\\\varepsilon _{n}\equiv (\varepsilon _{n1},\cdots ,\varepsilon _{nJ})\sim N(0,\Omega )\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{ni}=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj}\right)=\int I\left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj}\right)\phi (\varepsilon _{n}|\Omega )\;d\varepsilon _{n},}$

โดยที่คือความหนาแน่นร่วมปกติที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนร่วม ${\displaystyle \phi (\varepsilon _{n}|\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$

อินทิกรัลสำหรับความน่าจะเป็นของการเลือกนี้ไม่มีสูตรสำเร็จรูป ดังนั้นจึงประมาณความน่าจะเป็นโดยใช้วิธีการคำนวณเชิงตัวเลขหรือการจำลอง

เมื่อเมทริกซ์เอกลักษณ์คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์ (ซึ่งหมายความว่าไม่มีความสัมพันธ์หรือความแปรปรวนที่ไม่คงที่ ) โมเดลนั้นจะเรียกว่าโมเดลโพรบิตอิสระ ${\displaystyle \Omega }$

แบบจำลองโลจิตแบบผสมได้รับความนิยมเพิ่มมากขึ้นในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมาด้วยเหตุผลหลายประการ ประการแรก แบบจำลองนี้อนุญาต ให้มีความสุ่มนอกเหนือจากความสุ่มในรองรับความแปรผันของรสนิยมแบบสุ่มในหมู่ผู้คนและความสัมพันธ์ระหว่างทางเลือกต่างๆ ซึ่งสร้างรูปแบบการทดแทนที่ยืดหยุ่น ประการที่สอง ความก้าวหน้าในการจำลองทำให้การประมาณค่าแบบจำลองทำได้ค่อนข้างง่าย นอกจากนี้McFaddenและTrainได้แสดงให้เห็นว่าแบบจำลองทางเลือกที่แท้จริงใดๆ ก็สามารถประมาณค่าได้ในระดับความแม่นยำใดๆ โดยใช้โลจิตแบบผสมที่มีการกำหนดตัวแปรอธิบายและการกระจายสัมประสิทธิ์ที่เหมาะสม^{[ 24 ]}${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \beta }$

• คุณ_{พรรณี} = βz _{พรรณี} + ε _{พรรณี} ,
• ${\displaystyle \beta \sim f(\beta |\theta )}$สำหรับการแจกแจงใดๆโดยที่คือเซตของพารามิเตอร์การแจกแจง (เช่น ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน) ที่ต้องการประมาณค่า${\displaystyle {\it {f}}}$${\displaystyle \theta }$
• ε _ni ~ iid ค่าสุดขีด , ^{[ nb 1 ]}

ความน่าจะเป็นของการเลือกคือ

${\displaystyle P_{ni}=\int _{\beta }L_{ni}(\beta )f(\beta |\theta )\,d\beta ,}$

ที่ไหน

${\displaystyle L_{ni}(\beta )={\exp(\beta z_{ni}) \over {\sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}}}$

ความน่าจะเป็นแบบ logit จะถูกประเมินโดยพิจารณาจากจำนวนทางเลือกทั้งหมด ${\displaystyle \beta ,}$${\displaystyle J}$

อินทิกรัลสำหรับความน่าจะเป็นของการเลือกนี้ไม่มีรูปแบบปิด ดังนั้นความน่าจะเป็นจึงถูกประมาณโดยการจำลอง^{[ 27 ]}

แบบจำลองการเลือกแบบไม่ต่อเนื่องมักจะประมาณค่าโดยใช้การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดแบบจำลองโลจิตสามารถประมาณค่าได้โดยการถดถอยโลจิสติกและแบบจำลองโพรบิตสามารถประมาณค่าได้โดยการถดถอยโพรบิตวิธี การ ที่ไม่ใช้พารามิเตอร์เช่นตัวประมาณค่าคะแนนสูงสุดได้รับการเสนอ^{[ 28 ] [ 29 ]}การประมาณค่าแบบจำลองดังกล่าวโดยทั่วไปจะทำผ่านวิธีการความน่าจะเป็นสูงสุดแบบพารามิเตอร์ แบบกึ่งพารามิเตอร์ และแบบไม่ใช้พารามิเตอร์^{[ 30 ]}แต่ยังสามารถทำได้ด้วยวิธีการสร้างแบบจำลองเส้นทางกำลังสองน้อยที่สุดบางส่วน^{[ 31 ]}

ในหลายสถานการณ์ การจัดอันดับทางเลือกของบุคคลจะถูกพิจารณามากกว่าแค่ทางเลือกที่พวกเขาเลือกไว้เพียงอย่างเดียว ตัวอย่างเช่น บุคคลที่ซื้อรถยนต์ใหม่ อาจถูกถามว่าเขา/เธอจะซื้ออะไรหากไม่มีรถยนต์คันนั้นให้เลือก ซึ่งให้ข้อมูลเกี่ยวกับตัวเลือกที่สองของบุคคลนั้น นอกเหนือจากตัวเลือกแรก หรือในการสำรวจ ผู้ตอบแบบสอบถามอาจถูกถามว่า:

ตัวอย่าง : เรียงลำดับแผนการโทรศัพท์มือถือต่อไปนี้จากที่คุณชอบมากที่สุดไปจนถึงที่คุณชอบน้อยที่สุด

* 60 ดอลลาร์ต่อเดือน สำหรับการโทรไม่จำกัดเวลาทุกเมื่อ สัญญา 2 ปี พร้อมค่าธรรมเนียมการยกเลิกก่อนกำหนด 100 ดอลลาร์

* 30 ดอลลาร์ต่อเดือน สำหรับ 400 นาทีใช้งานได้ตลอดเวลา นาทีที่เกิน 400 คิดค่าบริการ 3 เซนต์ต่อนาที สัญญา 1 ปี พร้อมค่าธรรมเนียมการยกเลิกก่อนกำหนด 125 ดอลลาร์

* 35 ดอลลาร์ต่อเดือน สำหรับ 500 นาทีแรกที่ใช้งานได้ตลอดเวลา นาทีถัดไปคิดราคา 3 เซนต์ ไม่มีสัญญาผูกมัดและไม่มีค่าธรรมเนียมการยกเลิกก่อนกำหนด

* 50 ดอลลาร์ต่อเดือน สำหรับ 1000 นาทีใช้งานได้ตลอดเวลา นาทีละ 5 เซนต์หลังจาก 1000 นาที สัญญา 2 ปี พร้อมค่าธรรมเนียมการยกเลิกก่อนกำหนด 75 ดอลลาร์

แบบจำลองที่อธิบายไว้ข้างต้นสามารถปรับใช้เพื่อรองรับการจัดอันดับที่นอกเหนือไปจากตัวเลือกแรกได้ แบบจำลองที่โดดเด่นที่สุดสำหรับข้อมูลการจัดอันดับคือแบบจำลองโลจิตแบบขยาย (exploded logit) และแบบจำลองผสม (mixed version) ของแบบจำลองนี้

ภายใต้สมมติฐานเดียวกันกับแบบจำลองโลจิตมาตรฐาน ( แบบจำลองF ) ความน่าจะเป็นสำหรับการจัดอันดับทางเลือกต่างๆ จะเป็นผลคูณของแบบจำลองโลจิตมาตรฐาน แบบจำลองนี้เรียกว่า "โลจิตแบบขยาย" (exploded logit) เพราะสถานการณ์การเลือกที่โดยปกติจะแสดงเป็นสูตรโลจิตเดียวสำหรับทางเลือกที่เลือกนั้น จะถูกขยาย ("แตกออก") เพื่อให้มีสูตรโลจิตแยกต่างหากสำหรับแต่ละทางเลือกที่ได้รับการจัดอันดับ แบบจำลองโลจิตแบบขยายเป็นผลคูณของแบบจำลองโลจิตมาตรฐาน โดยชุดตัวเลือกจะลดลงเมื่อแต่ละทางเลือกได้รับการจัดอันดับ และเหลือชุดตัวเลือกที่มีอยู่เสมอในการเลือกครั้งถัดไป

โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เราสามารถกำหนดชื่อใหม่ให้กับทางเลือกต่างๆ เพื่อแสดงถึงลำดับความสำคัญของบุคคลนั้น เช่น ทางเลือกที่ 1 คือตัวเลือกแรก ทางเลือกที่ 2 คือตัวเลือกที่สอง เป็นต้น ความน่าจะเป็นของการจัดอันดับทางเลือก J เป็น 1, 2, ..., J คือ

${\displaystyle \Pr({\text{ranking }}1,2,\ldots ,J)={\exp(\beta z_{1}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}{\exp(\beta z_{2}) \over \sum _{j=2}^{J}\exp(\beta z_{nj})}\ldots {\exp(\beta z_{J-1}) \over \sum _{j=J-1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}}$

เช่นเดียวกับแบบจำลองโลจิตมาตรฐาน แบบจำลองโลจิตแบบขยาย (exploded logit) สมมติว่าไม่มีความสัมพันธ์กันในปัจจัยที่ไม่สามารถสังเกตได้ระหว่างทางเลือกต่างๆ แบบจำลองโลจิตแบบขยายสามารถขยายความได้ในลักษณะเดียวกับที่แบบจำลองโลจิตมาตรฐานสามารถขยายความได้ เพื่อรองรับความสัมพันธ์กันระหว่างทางเลือกต่างๆ และความผันแปรของรสนิยมแบบสุ่ม แบบจำลอง "โลจิตแบบขยายผสม" (mixed exploded logit) ได้มาจากความน่าจะเป็นของการจัดอันดับที่ระบุไว้ข้างต้น สำหรับL _niในแบบจำลองโลจิตแบบผสม ( แบบจำลองI )

แบบจำลองนี้ยังเป็นที่รู้จักในสาขาเศรษฐศาสตร์ในชื่อแบบจำลองโลจิตเรียงลำดับและได้รับการแนะนำในสาขานี้โดย Beggs, Cardell และHausmanในปี 1981 ^{[ 32 ] [ 33 ]}การประยุกต์ใช้อย่างหนึ่งคือบทความของ Combes et al. ที่อธิบายการจัดอันดับผู้สมัครเป็นศาสตราจารย์^{[ 33 ]}นอกจากนี้ยังเป็นที่รู้จักในชื่อแบบจำลอง Plackett–Luceในวรรณกรรมทางการแพทย์^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]}

ในการสำรวจ ผู้ตอบแบบสอบถามมักถูกขอให้ให้คะแนน เช่น:

ตัวอย่าง : โปรดให้คะแนนว่าประธานาธิบดีปฏิบัติหน้าที่ได้ดีเพียงใด

1: แย่มาก

2: แย่มาก

3: โอเค

4: ดี

5: ดีมาก

หรือ,

ตัวอย่าง : ในระดับ 1-5 โดยที่ 1 หมายถึงไม่เห็นด้วยอย่างยิ่ง และ 5 หมายถึงเห็นด้วยอย่างยิ่ง คุณเห็นด้วยกับข้อความต่อไปนี้มากน้อยเพียงใด "รัฐบาลกลางควรทำอะไรมากกว่านี้เพื่อช่วยเหลือผู้ที่กำลังเผชิญกับการถูกยึดบ้าน"

แบบจำลองการเลือกแบบไม่ต่อเนื่องหลายตัวเลือก (multinomial discrete-choice model) สามารถตรวจสอบการตอบสนองต่อคำถามเหล่านี้ได้ ( แบบจำลองG , แบบจำลองH , แบบจำลองI ) อย่างไรก็ตาม แบบจำลองเหล่านี้ได้มาภายใต้แนวคิดที่ว่าผู้ตอบแบบสอบถามได้รับประโยชน์บางอย่างจากคำตอบที่เป็นไปได้แต่ละข้อ และให้คำตอบที่ให้ประโยชน์สูงสุด อาจจะดูเป็นธรรมชาติมากกว่าหากคิดว่าผู้ตอบแบบสอบถามมีมาตรวัดหรือดัชนีแฝง บางอย่าง ที่เกี่ยวข้องกับคำถาม และคำตอบจะขึ้นอยู่กับว่ามาตรวัดนี้สูงเพียงใด แบบจำลองโลจิตแบบเรียงลำดับ (ordered logit) และแบบจำลองโพรบิตแบบเรียงลำดับ (ordered probit) ได้มาภายใต้แนวคิดนี้

ให้U _nแทนความเข้มข้นของความรู้สึกหรือความคิดเห็นของผู้ตอบแบบสอบถามn เกี่ยวกับหัวข้อแบบสอบถาม สมมติว่ามีจุดตัดของระดับความคิดเห็นในการเลือกคำตอบเฉพาะ ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างของการช่วยเหลือผู้ที่กำลังเผชิญกับการถูกยึดบ้าน บุคคลนั้นจะเลือก...

• 1. ถ้าU _n < a
• 2. ถ้า a < U _n < b
• 3. ถ้า b < U _n < c
• 4. ถ้า c < U _n < d
• 5. ถ้าU _n > d,

สำหรับจำนวนจริงบางจำนวน a , b , c , d

เมื่อกำหนดนิยามของโลจิสติกส์แล้ว ความน่าจะเป็นของการตอบสนองที่เป็นไปได้แต่ละอย่างคือ: ${\displaystyle U_{n}=\beta z_{n}+\varepsilon ,\;\varepsilon \sim }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr({\text{choosing }}1)&=\Pr(U_{n}<a)=\Pr(\varepsilon <a-\beta z_{n})={1 \over 1+\exp(-(a-\beta z_{n}))}\\\Pr({\text{choosing }}2)&=\Pr(a<U_{n}<b)=\Pr(a-\beta z_{n}<\varepsilon <b-\beta z_{n})={1 \over 1+\exp(-(b-\beta z_{n}))}-{1 \over 1+\exp(-(a-\beta z_{n}))}\\&\cdots \\\Pr({\text{choosing }}5)&=\Pr(U_{n}>d)=\Pr(\varepsilon >d-\beta z_{n})=1-{1 \over 1+\exp(-(d-\beta z_{n}))}\end{aligned}}}$

พารามิเตอร์ของแบบจำลองคือสัมประสิทธิ์βและจุดตัดa − dซึ่งจุดตัดจุดหนึ่งจะต้องถูกทำให้เป็นค่าปกติเพื่อการระบุ เมื่อมีค่าตอบสนองที่เป็นไปได้เพียงสองค่า แบบจำลองโลจิตแบบเรียงลำดับจะเหมือนกับแบบจำลองโลจิตแบบไบนารี ( แบบจำลองA ) โดยมีจุดตัดจุดหนึ่งถูกทำให้เป็นค่าปกติเท่ากับศูนย์

คำอธิบายของแบบจำลองนั้นเหมือนกับแบบจำลองKยกเว้นว่าค่าที่ไม่สามารถสังเกตได้จะมีการกระจายแบบปกติแทนที่จะเป็นแบบโลจิสติก

ความน่าจะเป็นในการเลือกคือ ( คือฟังก์ชันการกระจายสะสมของการแจกแจงปกติมาตรฐาน): ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr({\text{choosing }}1)&=\Phi (a-\beta z_{n})\\\Pr({\text{choosing }}2)&=\Phi (b-\beta z_{n})-\Phi (a-\beta z_{n})\\&\cdots \end{aligned}}}$

• การถดถอยแบบไบนารี  – วิธีการประมาณค่าทางสถิติ
• การเลือกแบบไดนามิกแบบไม่ต่อเนื่อง

• Anderson, S., A. de Palma และ J.-F. Thisse (1992), ทฤษฎีการเลือกแบบไม่ต่อเนื่องของการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ , สำนักพิมพ์ MIT
• เบน-อากิวา, เอ็ม.; เลอร์แมน, เอส. (1985). การวิเคราะห์ทางเลือกแบบไม่ต่อเนื่อง: ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้กับความต้องการการเดินทาง . สำนักพิมพ์ MIT.
• กรีน, วิลเลียม เอช. (2012). การวิเคราะห์ทางเศรษฐมิติ (ฉบับที่เจ็ด). อัปเปอร์ แซดเดิล ริเวอร์: เพียร์สัน เพรนติส-ฮอลล์. หน้า  770–862 . ISBN 978-0-13-600383-0.
• Hensher, D.; Rose, J.; Greene, W. (2005). การวิเคราะห์ทางเลือกประยุกต์: คู่มือเบื้องต้น . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์.
• Maddala, G. (1983). ตัวแปรตามแบบจำกัดและตัวแปรเชิงคุณภาพในเศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์
• McFadden, Daniel L. (1984). การวิเคราะห์ทางเศรษฐมิติของแบบจำลองการตอบสนองเชิงคุณภาพคู่มือเศรษฐมิติ เล่มที่ 2 บทที่ 24 สำนักพิมพ์ Elsevier Science Publishers BV.
• Train, K. (2009) [2003]. วิธีการเลือกแบบไม่ต่อเนื่องด้วยการจำลอง . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์.