ตามหลักการนี้ เมื่อตัวแปรดัชนีปรากฏสองครั้งในเทอม เดียวกัน และไม่ได้ถูกกำหนดไว้เป็นอย่างอื่น (ดูตัวแปรอิสระและตัวแปรที่ถูกผูกไว้ ) จะหมายถึงการหาผลรวมของเทอมนั้นเหนือค่าทั้งหมดของดัชนี ดังนั้นในกรณีที่ดัชนีสามารถอยู่ในช่วงของเซต${\displaystyle \{1,2,3\}}$, $${\displaystyle y=\sum _{i=1}^{3}x^{i}e_{i}=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+x^{3}e_{3}}$$ ตามธรรมเนียมแล้วจะถูกทำให้ง่ายขึ้นเป็น: $${\displaystyle y=x^{i}e_{i}}$$

ดัชนีด้านบนไม่ใช่เลขชี้กำลังแต่เป็นดัชนีของพิกัด สัมประสิทธิ์หรือเวกเตอร์ฐานกล่าวคือ ในบริบทนี้${\displaystyle x^{2}}$ควรเข้าใจว่าเป็นองค์ประกอบที่สองของ${\displaystyle x}$แทนที่จะเป็นกำลังสองของ${\displaystyle x}$(บางครั้งอาจนำไปสู่ความคลุมเครือได้) ตำแหน่งดัชนีบนใน${\displaystyle x^{i}}$เนื่องจากโดยทั่วไปแล้ว ดัชนีจะปรากฏเพียงครั้งเดียวในตำแหน่งตัวยก (superscript) และอีกครั้งในตำแหน่งตัวห้อย (subscript) ในคำศัพท์ (ดูหัวข้อ§  การประยุกต์ใช้ด้านล่าง) โดยทั่วไปแล้ว${\displaystyle (x^{1}\ x^{2}\ x^{3})}$จะเทียบเท่ากับแบบดั้งเดิม${\displaystyle (x\ y\ z)}$.

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปข้อตกลงที่ใช้กันโดยทั่วไปคือ

• อักษรกรีกใช้สำหรับส่วนประกอบของพื้นที่และเวลา โดยดัชนีจะมีค่าเป็น 0, 1, 2 หรือ 3 (ตัวอักษรที่ใช้บ่อย ได้แก่${\displaystyle \mu }$,${\displaystyle \nu }$เป็นต้น)
• อักษรละตินใช้สำหรับส่วนประกอบเชิงพื้นที่เท่านั้น โดยดัชนีจะมีค่าเป็น 1, 2 หรือ 3 (ตัวอักษรที่ใช้บ่อย ได้แก่${\displaystyle i}$,${\displaystyle j}$,...),

โดยทั่วไป ดัชนีสามารถครอบคลุมเซตดัชนี ใดๆ ก็ได้ รวมถึงเซตอนันต์สิ่งนี้ไม่ควรสับสนกับธรรมเนียมที่คล้ายคลึงกันทางด้านการพิมพ์ซึ่งใช้เพื่อแยกความแตกต่างระหว่างสัญกรณ์ดัชนีเทนเซอร์ และ สัญกรณ์ดัชนีเชิงนามธรรมที่ไม่ขึ้นกับฐานซึ่งมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดแต่แตกต่างกัน

ดัชนีที่นำมาบวกกันเรียกว่าดัชนีผลรวมในกรณีนี้คือ "${\displaystyle i}$"เรียกอีกอย่างว่าดัชนีจำลองเนื่องจากสัญลักษณ์ใดๆ ก็สามารถใช้แทนได้"${\displaystyle i}$"โดยไม่เปลี่ยนแปลงความหมายของคำ (โดยมีเงื่อนไขว่าต้องไม่ซ้ำซ้อนกับสัญลักษณ์ดัชนีอื่นในคำเดียวกัน)"

ดัชนีที่ไม่ถูกรวมเข้าด้วยกันเรียกว่าดัชนีอิสระและควรปรากฏเพียงครั้งเดียวต่อพจน์ หากดัชนีดังกล่าวปรากฏ มักจะปรากฏในพจน์เว้นพจน์ในสมการด้วย ตัวอย่างของดัชนีอิสระคือ "${\displaystyle i}$" ในสมการ${\displaystyle v_{i}=a_{i}b_{j}x^{j}}$ซึ่งเทียบเท่ากับสมการ${\textstyle v_{i}=\sum _{j}(a_{i}b_{j}x^{j})}$.

สัญกรณ์ของไอน์สไตน์สามารถนำไปใช้ได้ในรูปแบบที่แตกต่างกันเล็กน้อย โดยทั่วไป ดัชนีแต่ละตัวจะปรากฏหนึ่งครั้งในตำแหน่งตัวยก (superscript) และหนึ่งครั้งในตำแหน่งตัวห้อย (subscript) ในเทอม อย่างไรก็ตาม ธรรมเนียมนี้สามารถนำไปใช้กับดัชนีที่ซ้ำกันใดๆ ภายในเทอมได้โดยทั่วไป^{[ 2 ]}เมื่อจัดการกับ เวกเตอร์ โคแวเรียนต์และคอนทราแวเรียนต์ซึ่งตำแหน่งของดัชนีบ่งบอกถึงประเภทของเวกเตอร์ กรณีแรกมักจะใช้ได้ เวกเตอร์โคแวเรียนต์สามารถหดตัวได้เฉพาะกับเวกเตอร์คอนทราแวเรียนต์ ซึ่งสอดคล้องกับการรวมผลคูณของสัมประสิทธิ์ ในทางกลับกัน เมื่อมีฐานพิกัดคงที่ (หรือเมื่อไม่พิจารณาเวกเตอร์พิกัด) อาจเลือกใช้เฉพาะตัวห้อยได้ ดู§  ตัวยกและตัวห้อยเทียบกับตัวห้อยอย่างเดียวด้านล่าง

ในแง่ของความแปรปรวนร่วมและความแปรปรวนผกผันของเวกเตอร์

• ดัชนีบนแสดงถึงส่วนประกอบของเวกเตอร์คอนทราเวเรียนต์ ( เวกเตอร์ )
• ดัชนีที่ต่ำกว่าแสดงถึงส่วนประกอบของ เวกเตอร์ ร่วมแปร ( โคเวกเตอร์ )

พวกมัน แปลงแบบคอนทราแวเรียนต์หรือโคแวเรียนต์ตามลำดับ โดยสัมพันธ์กับการเปลี่ยนฐาน

เพื่อเป็นการยอมรับข้อเท็จจริงนี้ สัญลักษณ์ต่อไปนี้จึงใช้สัญลักษณ์เดียวกันทั้งสำหรับเวกเตอร์หรือโคเวกเตอร์และส่วนประกอบ ของมัน ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}v=e_{i}v^{i}={\begin{bmatrix}e_{1}&e_{2}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\\vdots \\v^{n}\end{bmatrix}}\\w=w_{i}e^{i}={\begin{bmatrix}w_{1}&w_{2}&\cdots &w_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{1}\\e^{2}\\\vdots \\e^{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

ที่ไหน${\displaystyle v}$คือเวกเตอร์และ${\displaystyle v^{i}}$คือส่วนประกอบของมัน (ไม่ใช่ตัวมันเอง)${\displaystyle i}$โคเวกเตอร์ที่ th${\displaystyle v}$),${\displaystyle w}$คือโคเวกเตอร์และ${\displaystyle w_{i}}$คือส่วนประกอบของมัน องค์ประกอบเวกเตอร์พื้นฐาน${\displaystyle e_{i}}$แต่ละเวกเตอร์คอลัมน์และองค์ประกอบฐานโคเวกเตอร์${\displaystyle e^{i}}$แต่ละแถวเป็นโคเวกเตอร์ (ดูเพิ่มเติมในหัวข้อ§  คำอธิบายเชิงนามธรรม ; ความเป็นคู่ด้านล่าง และตัวอย่าง )

ในกรณีที่มีรูปแบบที่ไม่เสื่อมสลาย (ไอโซมอร์ฟิซึม)${\displaystyle V\to V^{*}}$ตัวอย่างเช่น ในเมตริกแบบรีมันน์หรือเมตริกแบบมินคอฟสกีเราสามารถเพิ่มและลดดัชนีได้

ฐานจะให้รูปแบบดังกล่าว (ผ่านฐานคู่ ) ดังนั้นเมื่อทำงานกับ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ด้วยเมตริกแบบยุคลิดและฐานออร์โทนอร์มอล คงที่ เราสามารถเลือกที่จะทำงานโดยใช้เพียงตัวห้อยได้

อย่างไรก็ตาม หากเปลี่ยนพิกัด วิธีที่สัมประสิทธิ์เปลี่ยนแปลงจะขึ้นอยู่กับความแปรปรวนของวัตถุ และเราไม่สามารถละเลยความแตกต่างนี้ได้ โปรดดูที่ความแปรปรวนร่วมและความแปรปรวนผกผันของเวกเตอร์

ในตัวอย่างข้างต้น เวกเตอร์จะถูกแทนด้วย${\displaystyle n\times 1}$เมทริกซ์ (เวกเตอร์คอลัมน์) ในขณะที่โคเวกเตอร์แสดงเป็น${\displaystyle 1\times n}$เมทริกซ์ (เวกเตอร์ร่วมแถว)

เมื่อใช้รูปแบบเวกเตอร์คอลัมน์:

• " ดัชนีขาขึ้น จะเคลื่อนตัวจากขา ขึ้นไปขาลง; ดัชนีขาลงจะเคลื่อนตัวจากซ้ายไปขวา"
• " เทนเซอร์ โคแวริแอนต์คือ เวกเตอร์ แถวที่มีดัชนีอยู่ด้านล่าง ( โค-แถว-ล่าง )"
• โคเวกเตอร์คือเวกเตอร์แถว:$${\displaystyle {\begin{bmatrix}w_{1}&\cdots &w_{k}\end{bmatrix}}.}$$ดังนั้น ดัชนีด้านล่างจะบ่งบอกว่าคุณอยู่ในคอลัมน์ ใด
• เวกเตอร์คอนทราเวเรียนท์คือเวกเตอร์คอลัมน์:$${\displaystyle {\begin{bmatrix}v^{1}\\\vdots \\v^{k}\end{bmatrix}}}$$ดังนั้น ดัชนีบนสุดจึงบ่งบอกว่าคุณอยู่ในแถว ใด

ข้อดีของสัญกรณ์ของไอน์สไตน์คือ สามารถแทน ปริมาณ ที่ไม่เปลี่ยนแปลงได้ด้วยสัญลักษณ์ที่เรียบง่าย

ในทางฟิสิกส์ ปริมาณสเกลาร์จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่งปริมาณสเกลาร์ลอเรนซ์จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลอเรนซ์ แต่พจน์แต่ละตัวในผลรวมนั้นไม่เปลี่ยนแปลง เมื่อเปลี่ยนฐานส่วนประกอบของเวกเตอร์จะเปลี่ยนไปโดยการแปลงเชิงเส้นที่อธิบายโดยเมทริกซ์ นี่ทำให้ไอน์สไตน์เสนอข้อตกลงว่า ดัชนีที่ซ้ำกันหมายถึงการหาผลรวม

ส่วนโคเวกเตอร์นั้น จะเปลี่ยนแปลงไปตามเมทริกซ์ผกผันซึ่งมีจุดประสงค์เพื่อรับประกันว่าฟังก์ชันเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับโคเวกเตอร์ ซึ่งก็คือผลรวมข้างต้นนั้น จะเหมือนเดิมไม่ว่าฐานจะเป็นอะไรก็ตาม

คุณค่าของแบบแผนของไอน์สไตน์คือสามารถนำไปใช้กับปริภูมิเวกเตอร์ อื่นๆ ที่สร้างขึ้นจากแบบแผนเดียวกันได้${\displaystyle V}$โดยใช้ผลคูณเทนเซอร์และความเป็นคู่กันตัวอย่างเช่น${\displaystyle V\otimes V}$ผลคูณเทนเซอร์ของ${\displaystyle V}$เมื่อพิจารณาตัวเอง จะมีฐานประกอบด้วยเทนเซอร์ในรูปแบบ${\displaystyle \mathbf {e} _{ij}=\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$เทนเซอร์ใดๆ${\displaystyle \mathbf {T} }$ใน${\displaystyle V\otimes V}$สามารถเขียนได้ดังนี้: $${\displaystyle \mathbf {T} =T^{ij}\mathbf {e} _{ij}.}$$

พื้นที่สองส่วน${\displaystyle V^{*}}$ของ${\displaystyle V}$มีพื้นฐาน${\displaystyle \mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\dots ,\mathbf {e} ^{n}}$ซึ่งปฏิบัติตามกฎ $${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{j}^{i}.}$$ ที่ไหน${\displaystyle \delta }$คือเดลต้าโครเนกเกอร์เช่น $${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)=V^{*}\otimes W}$$ พิกัดแถว/คอลัมน์บนเมทริกซ์จะสอดคล้องกับดัชนีบน/ล่างในผลคูณเทนเซอร์

ผลคูณภายในของเวกเตอร์สองตัวคือผลรวมของผลคูณของส่วนประกอบที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ทั้งสอง โดยที่ดัชนีของเวกเตอร์ตัวหนึ่งถูกลดระดับลง (ดู#การเพิ่มและลดดัชนี ): $${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\rangle u^{i}v^{j}=u_{j}v^{j}}$$ ในกรณีของฐานออร์โทนอร์มอลเราจะได้ว่า${\displaystyle u^{j}=u_{j}}$และนิพจน์นั้นจะลดรูปเหลือดังนี้: $${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\sum _{j}u^{j}v^{j}=u_{j}v^{j}}$$

ในสามมิติผลคูณเชิงเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวเทียบกับ ฐานเชิงตั้งฉาก ปกติที่มีทิศทางเป็นบวก หมายความว่า${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3}}$สามารถแสดงได้ดังนี้: $${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{\,jk}^{i}u^{j}v^{k}\mathbf {e} _{i}}$$

ที่นี่,${\displaystyle \varepsilon _{\,jk}^{i}=\varepsilon _{ijk}}$คือสัญลักษณ์ Levi-Civitaเนื่องจากฐานเป็นแบบตั้งฉากปกติ การยกดัชนีขึ้น${\displaystyle i}$ไม่เปลี่ยนแปลงค่าของ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$เมื่อพิจารณาในฐานะเทนเซอร์

ผลคูณของเมทริกซ์${\displaystyle A_{ij}}$ด้วยเวกเตอร์คอลัมน์${\displaystyle v_{j}}$เป็น: $${\displaystyle \mathbf {u} _{i}=(\mathbf {A} \mathbf {v} )_{i}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}v_{j}}$$ เทียบเท่ากับ $${\displaystyle u^{i}={A^{i}}_{j}v^{j}}$$

นี่เป็นกรณีพิเศษของการคูณเมทริกซ์

ผลคูณเมทริกซ์ของเมทริกซ์สองเมทริกซ์${\displaystyle A_{ij}}$และ${\displaystyle B_{jk}}$เป็น: $${\displaystyle \mathbf {C} _{ik}=(\mathbf {A} \mathbf {B} )_{ik}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}}$$

เทียบเท่ากับ $${\displaystyle {C^{i}}_{k}={A^{i}}_{j}{B^{j}}_{k}}$$

สำหรับเมทริกซ์จัตุรัส${\displaystyle {A^{i}}_{j}}$ค่าเทรซคือผลรวมขององค์ประกอบในแนวทแยง ดังนั้นจึงเป็นผลรวมเหนือดัชนีร่วม${\displaystyle {A^{i}}_{i}}$.

ผลคูณภายนอกของเวกเตอร์คอลัมน์${\displaystyle u^{i}}$โดยเวกเตอร์แถว${\displaystyle v_{j}}$ส่งผลให้${\displaystyle m\times n}$เมทริกซ์${\displaystyle \mathbf {A} }$: $${\displaystyle {A^{i}}_{j}=u^{i}v_{j}={(uv)^{i}}_{j}}$$

เนื่องจาก${\displaystyle i}$และ${\displaystyle j}$เนื่องจากตัวเลขทั้งสองแทน ดัชนี ที่แตกต่างกัน จึงไม่มีการบวก และดัชนีจะไม่ถูกกำจัดออกไปโดยการคูณ

เมื่อกำหนดเทนเซอร์ มาแล้ว เราสามารถยกกำลังหรือลดกำลังดัชนีได้โดยการยุบเทนเซอร์นั้นด้วย เทน เซอร์เมตริก${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ตัวอย่างเช่น การนำเทนเซอร์มาใช้${\displaystyle {T^{\alpha }}_{\beta }}$เราสามารถลดดัชนีลงได้: $${\displaystyle g_{\mu \sigma }{T^{\sigma }}_{\beta }=T_{\mu \beta }}$$

หรืออาจจะปรับดัชนีขึ้นก็ได้: $${\displaystyle g^{\mu \sigma }{T_{\sigma }}^{\alpha }=T^{\mu \alpha }}$$