คำจำกัดความนี้ปรับการนำเสนอพื้นที่เชิงทอพอโลยีในแง่ของระบบเพื่อนบ้านชุดข้อมูลที่ไม่ว่างเปล่า${\displaystyle \Phi }$ของเซตย่อยของ${\displaystyle X\times X}$เป็นโครงสร้างที่เป็นเนื้อเดียวกัน (หรือความสม่ำเสมอ ) หากเป็นไปตามสัจพจน์ต่อไปนี้:

1. ถ้า${\displaystyle U\in \Phi }$แล้ว${\displaystyle \Delta \subseteq U,}$ที่ไหน${\displaystyle \Delta =\{(x,x):x\in X\}}$เส้นทแยงมุมบน${\displaystyle X\times X.}$
2. ถ้า${\displaystyle U\in \Phi }$และ${\displaystyle U\subseteq V\subseteq X\times X}$แล้ว${\displaystyle V\in \Phi .}$
3. ถ้า${\displaystyle U\in \Phi }$และ${\displaystyle V\in \Phi }$แล้ว${\displaystyle U\cap V\in \Phi .}$
4. ถ้า${\displaystyle U\in \Phi }$แล้วก็มีบางอย่าง${\displaystyle V\in \Phi }$โดยที่${\displaystyle V\circ V\subseteq U}$, ที่ไหน${\displaystyle V\circ V}$หมายถึงองค์ประกอบของ${\displaystyle V}$กับตัวมันเองส่วนประกอบของสองเซตย่อย${\displaystyle V}$และ${\displaystyle U}$ของ${\displaystyle X\times X}$ถูกกำหนดโดย$${\displaystyle V\circ U=\{(x,z)~:~{\text{ there exists }}y\in X\,{\text{ such that }}\,(x,y)\in U\wedge (y,z)\in V\,\}.}$$
5. ถ้า${\displaystyle U\in \Phi }$แล้ว${\displaystyle U^{-1}\in \Phi ,}$ที่ไหน${\displaystyle U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}}$คือสิ่งที่ตรงกันข้ามกับ${\displaystyle U.}$

ความไม่ว่างเปล่าของ${\displaystyle \Phi }$เมื่อนำมารวมกับ (2) และ (3) ระบุว่า${\displaystyle \Phi }$เป็นตัวกรองบน${\displaystyle X\times X.}$หากละเว้นคุณสมบัติสุดท้าย เราจะเรียกช่องว่างนั้นว่ากึ่งสม่ำเสมอองค์ประกอบหนึ่ง${\displaystyle U}$ของ${\displaystyle \Phi }$เรียกว่าบริเวณใกล้เคียงหรือคำ ว่า entourageมาจากฝรั่งเศสซึ่งแปลว่าสภาพแวดล้อม

โดยปกติแล้วคนหนึ่งจะเขียนว่า${\displaystyle U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),}$ที่ไหน${\displaystyle U\cap (\{x\}\times X)}$คือหน้าตัดแนวตั้งของ${\displaystyle U}$และ${\displaystyle \operatorname {pr} _{2}}$คือการฉายภาพแบบแคนอนิกไปยังพิกัดที่สอง บนกราฟ กลุ่มวัตถุโดยทั่วไปจะถูกวาดเป็นก้อนล้อมรอบ "${\displaystyle y=x}$"แนวทแยง; ที่แตกต่างกันทั้งหมด"${\displaystyle U[x]}$'s ก่อตัวเป็นหน้าตัดแนวตั้ง ถ้า${\displaystyle (x,y)\in U}$แล้วก็มีคนพูดว่า${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$เป็น${\displaystyle U}$-ปิด ในทำนองเดียวกัน หากจุดทุกคู่ในเซตย่อย${\displaystyle A}$ของ${\displaystyle X}$เป็น${\displaystyle U}$-ปิด (นั่นคือ ถ้า${\displaystyle A\times A}$บรรจุอยู่ใน${\displaystyle U}$),${\displaystyle A}$เรียกว่า${\displaystyle U}$-เล็ก . คณะติดตาม${\displaystyle U}$เป็นสมมาตรถ้า${\displaystyle (x,y)\in U}$เมื่อไหร่กันแน่${\displaystyle (y,x)\in U}$หรือในทำนองเดียวกัน ถ้า${\displaystyle U^{-1}=U}$สัจพจน์ข้อแรกกล่าวว่าแต่ละจุดคือ${\displaystyle U}$-อยู่ใกล้กันสำหรับผู้ติดตามแต่ละคน${\displaystyle U.}$สัจพจน์ข้อที่สามรับประกันว่าการเป็น "ทั้งสองอย่าง"${\displaystyle U}$-ปิดและ${\displaystyle V}$"-ใกล้ชิด" ยังเป็นความสัมพันธ์ใกล้ชิดในความสม่ำเสมออีกด้วย สัจพจน์ข้อที่สี่ระบุว่าสำหรับแต่ละกลุ่ม${\displaystyle U}$มีคณะติดตาม${\displaystyle V}$นั่นคือ "ไม่เกินครึ่งหนึ่งของขนาด" สุดท้ายแล้ว สัจพจน์ข้อสุดท้ายระบุว่า คุณสมบัติ "ความใกล้ชิด" เมื่อเทียบกับโครงสร้างที่เป็นเอกรูปนั้นมีความสมมาตรใน${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y.}$

เอฐานของขบวนผู้ติดตามหรือระบบพื้นฐานของกลุ่มคนรอบข้าง (หรือบริเวณใกล้เคียง) ที่มีความสม่ำเสมอ${\displaystyle \Phi }$เป็นชุดใด ๆ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ของผู้ติดตามของ${\displaystyle \Phi }$โดยที่ผู้ติดตามทุกคนของ${\displaystyle \Phi }$ประกอบด้วยเซตที่เป็นของ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ดังนั้น จากคุณสมบัติข้อ 2 ข้างต้น ระบบพื้นฐานของกลุ่มคนรอบข้างจึง...${\displaystyle {\mathcal {B}}}$การระบุความสม่ำเสมอก็เพียงพอแล้ว${\displaystyle \Phi }$อย่างชัดเจน:${\displaystyle \Phi }$คือเซตของเซตย่อยของ${\displaystyle X\times X}$ซึ่งประกอบด้วยชุดของ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$พื้นที่ที่เป็นเอกภาพทุกแห่งมีระบบพื้นฐานของกลุ่มวัตถุที่ประกอบขึ้นจากกลุ่มวัตถุสมมาตร

ความเข้าใจโดยสัญชาตญาณเกี่ยวกับความสม่ำเสมอสามารถอธิบายได้จากตัวอย่างของปริภูมิเมตริก : ถ้า${\displaystyle (X,d)}$เป็นปริภูมิเมตริก เซต $${\displaystyle U_{a}=\{(x,y)\in X\times X:d(x,y)\leq a\}\quad {\text{where}}\quad a>0}$$ สร้างระบบพื้นฐานของกลุ่มสิ่งมีชีวิตที่ล้อมรอบโครงสร้างมาตรฐานที่เป็นเอกภาพของ${\displaystyle X.}$แล้ว${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$เป็น${\displaystyle U_{a}}$-ปิดสนิทเมื่อระยะห่างระหว่าง${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$มากที่สุด${\displaystyle a.}$

ความสม่ำเสมอ${\displaystyle \Phi }$ละเอียดกว่าความสม่ำเสมออีกแบบหนึ่ง${\displaystyle \Psi }$บนชุดเดียวกัน ถ้า${\displaystyle \Phi \supseteq \Psi$ ใน กรณีนั้น${\displaystyle \Psi }$กล่าวกันว่าหยาบกว่า${\displaystyle \Phi .}$

พื้นที่สม่ำเสมอสามารถกำหนดได้ด้วยวิธีอื่นและเทียบเท่ากันโดยใช้ระบบเมตริกเทียมซึ่งเป็นแนวทางที่มีประโยชน์อย่างยิ่งในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน (โดยใช้เมตริกเทียมจากเซมิ-นอร์ม ) กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น ให้${\displaystyle f:X\times X\to \mathbb {R} }$เป็นการวัดแบบเทียมบนชุดข้อมูล${\displaystyle X.}$ภาพผกผัน${\displaystyle U_{a}=f^{-1}([0,a])}$สำหรับ${\displaystyle a>0}$สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าก่อให้เกิดระบบพื้นฐานของกลุ่มสิ่งรอบข้างที่มีความสม่ำเสมอ ความสม่ำเสมอที่เกิดขึ้นจาก${\displaystyle U_{a}}$ความสม่ำเสมอที่กำหนดโดยมาตรวัดเทียมตัวเดียว${\displaystyle f.}$นักเขียนบางคนเรียกปริภูมิที่มีโทโพโลยีซึ่งกำหนดโดยใช้เมตริกเทียมว่า ปริภูมิเกจ ( gauge spaces )

สำหรับครอบครัว${\displaystyle \left(f_{i}\right)}$ของมาตรวัดเทียมบน${\displaystyle X,}$โครงสร้างเอกรูปที่กำหนดโดยตระกูลนั้นเป็นขอบเขตบนต่ำสุดของโครงสร้างเอกรูปที่กำหนดโดยเมตริกเทียมแต่ละตัว${\displaystyle f_{i}.}$ระบบพื้นฐานของกลุ่มสิ่งรอบข้างที่มีความสม่ำเสมอเช่นนี้ ได้มาจากเซตของ การตัดกัน แบบจำกัดของกลุ่มสิ่งรอบข้างที่มีความสม่ำเสมอซึ่งกำหนดโดยเมตริกเทียมแต่ละตัว${\displaystyle f_{i}.}$หากตระกูลของซูโดเมตริกมีจำนวนจำกัดจะเห็นได้ว่าโครงสร้างเอกรูปเดียวกันนั้นถูกกำหนดโดย ซูโดเมตริก เพียงตัวเดียวนั่นคือซองบน${\displaystyle \sup _{}f_{i}}$ของครอบครัว

ในทางที่ซับซ้อนกว่านั้น สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าโครงสร้างเอกรูปที่ยอมรับระบบพื้นฐานของกลุ่มรอบข้างที่นับได้ (ดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งความเป็นเอกรูปที่กำหนดโดยตระกูลของเมตริกเทียมที่นับได้) สามารถกำหนดได้ด้วยเมตริกเทียมเพียงตัวเดียว ผลที่ตามมาคือโครงสร้างเอกรูป ใดๆก็สามารถกำหนดได้ดังที่กล่าวมาข้างต้นโดยตระกูลของเมตริกเทียม (ซึ่งอาจนับไม่ได้) (ดู Bourbaki: General Topology บทที่ IX §1 ข้อ 4)

พื้นที่สม่ำเสมอ${\displaystyle (X,\Theta )}$เป็นชุด${\displaystyle X}$มาพร้อมกับวัสดุหุ้มที่โดดเด่นหลากหลายชนิด${\displaystyle \Theta ,}$เรียกว่า "ปกแบบเดียวกัน" ซึ่งดึงมาจากชุดปกของ${\displaystyle X,}$ซึ่งก่อตัวเป็นตัวกรองเมื่อเรียงลำดับตามการกลั่นกรองแบบดาว กล่าวกันว่าเป็นฝาครอบ${\displaystyle \mathbf {P} }$เป็นการ ปรับปรุง ปกที่โดดเด่น${\displaystyle \mathbf {Q} ,}$เขียนไว้${\displaystyle \mathbf {P} <^{*}\mathbf {Q} ,}$ถ้าสำหรับทุกๆ${\displaystyle A\in \mathbf {P} ,}$มี${\displaystyle U\in \mathbf {Q} }$โดยที่ถ้า${\displaystyle A\cap B\neq \varnothing ,B\in \mathbf {P} ,}$แล้ว${\displaystyle B\subseteq U.}$ตามหลักการพื้นฐานแล้ว เงื่อนไขของการเป็นตัวกรองสามารถลดทอนได้ดังนี้:

1. ${\displaystyle \{X\}}$เป็นปกที่สม่ำเสมอ (นั่นคือ${\displaystyle \{X\}\in \Theta }$)
2. ถ้า${\displaystyle \mathbf {P} <^{*}\mathbf {Q} }$กับ${\displaystyle \mathbf {P} }$ปกที่สม่ำเสมอและ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ปกของ${\displaystyle X,}$แล้ว${\displaystyle \mathbf {Q} }$นอกจากนี้ยังเป็นชุดคลุมที่สม่ำเสมออีกด้วย
3. ถ้า${\displaystyle \mathbf {P} }$และ${\displaystyle \mathbf {Q} }$มีฝาครอบที่เป็นแบบเดียวกัน ดังนั้นจึงมีฝาครอบที่เป็นแบบเดียวกัน${\displaystyle \mathbf {R} }$ที่ปรับปรุงดาวทั้งสอง${\displaystyle \mathbf {P} }$และ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

เมื่อกำหนดจุดหนึ่งแล้ว${\displaystyle x}$และปกที่เป็นแบบเดียวกัน${\displaystyle \mathbf {P} ,}$เราสามารถพิจารณาถึงสหภาพของสมาชิกของ${\displaystyle \mathbf {P} }$ที่มี${\displaystyle x}$ในฐานะที่เป็นย่านทั่วไปของ${\displaystyle x}$ของ "ขนาด"${\displaystyle \mathbf {P} ,}$และมาตรการที่เข้าใจง่ายนี้สามารถนำไปใช้ได้อย่างสม่ำเสมอทั่วทั้งพื้นที่

เมื่อกำหนดพื้นที่สม่ำเสมอในแง่ของสภาพแวดล้อม ให้กำหนดสิ่งปกคลุม${\displaystyle \mathbf {P} }$ควรแต่งกายให้เป็นแบบเดียวกันหากมีผู้ติดตาม${\displaystyle U}$โดยที่สำหรับแต่ละ${\displaystyle x\in X,}$มี${\displaystyle A\in \mathbf {P} }$โดยที่${\displaystyle U[x]\subseteq A.}$การปกคลุมแบบสม่ำเสมอเหล่านี้ก่อให้เกิดปริภูมิสม่ำเสมอตามคำนิยามที่สอง ในทางกลับกัน เมื่อกำหนดปริภูมิสม่ำเสมอในความหมายของการปกคลุมแบบสม่ำเสมอแล้ว เซตย่อยของ${\displaystyle \bigcup \{A\times A:A\in \mathbf {P} \},}$เช่น${\displaystyle \mathbf {P} }$ช่วงต่างๆ เหนือฝาครอบที่เป็นเอกรูป คือกลุ่มของพื้นที่เอกรูปตามคำจำกัดความแรก ยิ่งไปกว่านั้น การแปลงทั้งสองนี้เป็นตัวผกผันซึ่งกันและกัน^{[ 1 ]}

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีเรียกว่าอะไร?สามารถทำให้เป็นเอกรูปได้หากมีโครงสร้างเอกรูปที่เข้ากันได้กับโทโพโลยี

ทุกปริภูมิที่สามารถทำให้เป็นเอกรูปได้ล้วนเป็น ปริภูมิเชิงทอพอโลยี แบบปกติโดยสมบูรณ์ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับปริภูมิที่สามารถทำให้เป็นเอกรูปได้${\displaystyle X}$สิ่งต่อไปนี้มีความหมายเทียบเท่ากัน:

• ${\displaystyle X}$เป็นพื้นที่โคลโมโกรอฟ
• ${\displaystyle X}$เป็นพื้นที่เฮาส์ดอร์ฟ
• ${\displaystyle X}$เป็นพื้นที่ของไทโคนอฟ
• สำหรับโครงสร้างเอกรูปที่เข้ากันได้ใดๆ จุดตัดของกลุ่มวัตถุทั้งหมดคือเส้นทแยงมุม${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}.}$

นักเขียนบางท่าน (เช่น Engelking) เพิ่มเงื่อนไขสุดท้ายนี้เข้าไปในนิยามของปริภูมิที่สามารถทำให้เป็นเอกรูปได้โดยตรง

โทโพโลยีของปริภูมิที่สามารถทำให้เป็นเอกรูปได้จะเป็นโทโพโลยีสมมาตรเสมอนั่นคือปริภูมินั้นเป็นปริภูมิR

ในทางกลับกัน พื้นที่ปกติสมบูรณ์ทุกแห่งสามารถทำให้เป็นเอกรูปได้ เอกรูปที่สอดคล้องกับโทโพโลยีของพื้นที่ปกติสมบูรณ์${\displaystyle X}$สามารถนิยามได้ว่าเป็นความสม่ำเสมอที่หยาบที่สุดที่ทำให้ฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องทั้งหมดบน${\displaystyle X}$มีความต่อเนื่องสม่ำเสมอ ระบบพื้นฐานของกลุ่มตัวแปรที่ทำให้เกิดความต่อเนื่องสม่ำเสมอนี้ได้มาจากจุดตัดจำกัดทั้งหมดของเซต${\displaystyle (f\times f)^{-1}(V),}$ที่ไหน${\displaystyle f}$เป็นฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องบน${\displaystyle X}$และ${\displaystyle V}$เป็นกลุ่มผู้ติดตามของพื้นที่ที่เป็นเอกภาพ${\displaystyle \mathbf {R} .}$ความสม่ำเสมอนี้กำหนดโทโพโลยี ซึ่งหยาบกว่าโทโพโลยีเดิมอย่างเห็นได้ชัด${\displaystyle X;}$การที่มันมีความละเอียดกว่าโทโพโลยีเดิม (ดังนั้นจึงตรงกัน) เป็นผลสืบเนื่องมาจากความสม่ำเสมออย่างสมบูรณ์: สำหรับใดๆ${\displaystyle x\in X}$และย่านหนึ่ง${\displaystyle X}$ของ${\displaystyle x,}$มีฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องอยู่${\displaystyle f}$กับ${\displaystyle f(x)=0}$และเท่ากับ 1 ในส่วนเติมเต็มของ${\displaystyle V.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พื้นที่เฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับสามารถทำให้เป็นเอกรูปได้ อันที่จริง สำหรับพื้นที่เฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับ${\displaystyle X}$เซตของย่านใกล้เคียงทั้งหมดของเส้นทแยงมุมใน${\displaystyle X\times X}$ก่อให้เกิด ความสม่ำเสมอ ที่เป็นเอกลักษณ์ซึ่งสอดคล้องกับโครงสร้างทางเรขาคณิต

ปริภูมิเอกรูปเฮาส์ดอร์ฟสามารถกำหนดเมตริกได้ก็ต่อเมื่อความเอกรูปของปริภูมินั้นสามารถนิยามได้ด้วยตระกูลของซูโดเมตริกที่นับได้ ที่ จริงแล้ว ดังที่ได้กล่าวไว้ ข้างต้นความเอกรูปดังกล่าวสามารถนิยามได้ด้วย ซูโดเมตริก เพียงตัวเดียวซึ่งจำเป็นต้องเป็นเมตริกหากปริภูมินั้นเป็นเฮาส์ดอร์ฟ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากโทโพโลยีของปริภูมิเวกเตอร์เป็นเฮาส์ดอร์ฟและสามารถนิยามได้ด้วยตระกูลของเซมิ-นอร์ม ที่นับได้ ปริภูมิ นั้นก็สามารถกำหนดเมตริกได้

เช่นเดียวกับปริภูมิเมตริก ปริภูมิเอกรูปทุกปริภูมิ${\displaystyle X}$มีการเติมเต็มแบบเฮาส์ดอร์ฟ : กล่าวคือ มีปริภูมิเอกรูปเฮาส์ดอร์ฟที่สมบูรณ์อยู่จริง${\displaystyle Y}$และแผนที่ที่มีความต่อเนื่องสม่ำเสมอ${\displaystyle i:X\to Y}$(ถ้า${\displaystyle X}$ถ้าเป็นปริภูมิเอกรูปเฮาส์ดอร์ฟแล้ว${\displaystyle i}$เป็นการฝังเชิงโทโพโลยีที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

สำหรับการแมปแบบต่อเนื่องสม่ำเสมอใดๆ${\displaystyle f}$ของ${\displaystyle X}$สู่พื้นที่ที่เป็นระเบียบเรียบร้อยแบบเฮาส์ดอร์ฟอย่างสมบูรณ์${\displaystyle Z,}$มีแผนที่ต่อเนื่องสม่ำเสมอที่ไม่ซ้ำกัน${\displaystyle g:Y\to Z}$โดยที่${\displaystyle f=gi.}$

การก่อสร้างเสร็จสมบูรณ์ที่เฮาส์ดอร์ฟ${\displaystyle Y}$มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงระดับไอโซมอร์ฟิซึม ในฐานะเซต${\displaystyle Y}$สามารถถือได้ว่าประกอบด้วย ตัวกรอง Cauchy ขั้นต่ำบน${\displaystyle X.}$ในฐานะตัวกรองของย่านใกล้เคียง${\displaystyle \mathbf {B} (x)}$ของแต่ละจุด${\displaystyle x}$ใน${\displaystyle X}$เป็นตัวกรอง Cauchy ขั้นต่ำ แผนที่${\displaystyle i}$สามารถกำหนดได้โดยการแมป${\displaystyle x}$ถึง${\displaystyle \mathbf {B} (x).}$แผนที่${\displaystyle i}$นิยามดังกล่าวโดยทั่วไปแล้วไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ในความเป็นจริง กราฟของความสัมพันธ์สมมูล${\displaystyle i(x)=i(x')}$คือจุดตัดของกลุ่มผู้ติดตามทั้งหมดของ${\displaystyle X,}$และด้วยเหตุนี้${\displaystyle i}$เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งก็ต่อเมื่อ${\displaystyle X}$คือเฮาส์ดอร์ฟ

โครงสร้างที่เป็นเอกภาพบน${\displaystyle Y}$กำหนดไว้ดังนี้: สำหรับแต่ละกลุ่มสมมาตร${\displaystyle V}$(นั่นคือ ในลักษณะที่ว่า${\displaystyle (x,y)\in V}$หมายความว่า${\displaystyle (y,x)\in V}$), อนุญาต${\displaystyle C(V)}$เป็นเซตของคู่ทั้งหมด${\displaystyle (F,G)}$ของตัวกรองโคชีขั้นต่ำซึ่งมีคุณสมบัติร่วมกันอย่างน้อยหนึ่งอย่าง${\displaystyle V}$-ชุดเล็กชุดต่างๆ${\displaystyle C(V)}$สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าก่อให้เกิดระบบพื้นฐานของกลุ่มสิ่งมีชีวิตที่อยู่รอบตัว${\displaystyle Y}$มีโครงสร้างที่เป็นมาตรฐานตามที่กำหนดไว้

ชุด${\displaystyle i(X)}$ดังนั้นจึงเป็นเซตย่อยที่มีความหนาแน่นของ${\displaystyle Y.}$ ถ้า${\displaystyle X}$ถ้าอย่างนั้นก็คือเฮาส์ดอร์ฟนั่นเอง${\displaystyle i}$ เป็นการสมมาตรไปยัง${\displaystyle i(X),}$และด้วยเหตุนี้${\displaystyle X}$สามารถระบุได้ด้วยเซตย่อยที่มีความหนาแน่นสูงของความสมบูรณ์ นอกจากนี้${\displaystyle i(X)}$เป็นของเฮาส์ดอร์ฟเสมอ เรียกว่า...พื้นที่สม่ำเสมอของเฮาส์ดอร์ฟที่เกี่ยวข้องกับ${\displaystyle X.}$ ถ้า${\displaystyle R}$แสดงถึงความสัมพันธ์สมมูล${\displaystyle i(x)=i(x'),}$จากนั้นพื้นที่ผลหาร${\displaystyle X/R}$เป็นโฮโมมอร์ฟิกกับ${\displaystyle i(X).}$